等腰三角形的分类讨论
有关等腰三角形的分类讨论专题
相关等腰三角形的分类议论专题：1．（1）等腰三角形有两边长为4cm 和 7cm，则周长为厘米。
（2）等腰三角形有两边长为3cm 和 7cm，则周长为厘米。
（3）等腰三角形的周长为24cm，一边长为 10cm，则其他两边长为米。
（4）等腰三角形的周长为24cm，一边长为 6cm，则其他两边长为米。
厘厘总结：等腰三角形波及到边的问题时，能够依据“腰”和“底边”来分类议论，但要利用三角形形三边关系来判断三角形能否存在。
稳固：（ 1）等腰三角形一边长为12cm，且是另一边长的，那么这个三角形的周长是厘米。
（ 2）假如等腰三角形一腰上的中线把它的周长分红15 和6 两部分，则底边的长是。
2．在△ ABC中，AB=AC，（1）若∠ A=30°，则∠ B=，∠C=。
（2）若∠ B=30°，则∠ A=，∠ C=。
（3）如有一个内角是 30°，则其他两个内角的度数为。
（4）如有一个内角是120°，则其他两个内角的度数为。
总结：在等腰三角形内角求解的问题中，能够按“顶角”但要利用三角形内角和判断三角形能否存在。
、“底角”来分类议论，稳固：假如等腰三角形的两个内角的比为4：1，求等腰三角形的顶角的度数。
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为度。
总结：等腰三角形中波及“高”的内角求解问题，能够依据三角形种类分类议论。
稳固：（ 1）等腰三角形有一个内角为40°，则一腰上的高与底边的夹角为度。
（ 2）等腰三角形有一个内角为40°，则一腰上的高与另一腰的夹角为度。
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，也就是说，等腰三角形的两条边边长相等，而另一条边则较短。
等腰三角形可以有不同的形状和性质，下面将对等腰三角形进行分类讨论。
二、等腰三角形的分类1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的一个内角为直角（即90度）。
在等腰直角三角形中，另外两个内角相等，均为45度。
根据勾股定理，等腰直角三角形的斜边与两条直角边之间的关系为：斜边的长度等于直角边长度的平方根乘以2。
2. 等腰锐角三角形等腰锐角三角形是指两个等腰三角形的顶点角小于90度的三角形。
在等腰锐角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则小于90度。
等腰锐角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
3. 等腰钝角三角形等腰钝角三角形是指两个等腰三角形的顶点角大于90度的三角形。
在等腰钝角三角形中，两个等腰边的边长相等，而顶点角则大于90度。
等腰钝角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为：等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
4. 等腰等边三角形等腰等边三角形是一种特殊的等腰三角形，其中的三个边全都相等。
等腰等边三角形的三个内角均为60度。
等腰等边三角形具有许多特殊性质，例如：它的三条高线、中线、角平分线和垂直平分线都重合于同一个点；它的外接圆和内切圆都与三个顶点相切。
三、等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，根据顶点角的大小和不同属性，可以进一步分类为等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形和等腰等边三角形。
每种分类的等腰三角形都有其特殊的性质和关系，值得我们深入学习和研究。
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八年级等腰三角形的分类讨论专题
专题一：等腰三角形中的分类讨论（一）角分类：顶角和底角+ 三角形内角和；外角1.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求顶角的度数。
2.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数。
3.如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是．（二）边分类：底边和腰+ 三角形三边关系4.等腰三角形的两边分别是8,6，这个等腰三角形的周长为5.等腰三角形的两边分别是8,3，这个等腰三角形的周长为6.在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________.（三）中线分类7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底长。
8.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长（四）高、垂直平分线分类9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，求底角的度数10.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________11.（2018·哈尔滨中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数12.（2019·白银中考）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值b 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=13.(2018·绍兴中考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题。
万能解题模型(8) 等腰三角形的分类讨论
已知等腰三角形的一个角为 α，确定顶角或底角的度数时，需分以下三种情况： ①若 α 为钝角，则 α 为顶角，底角的度数为12(180°－α)； ②若 α 为直角，则 α 为顶角，且该三角形为等腰直角三角形，底角为 45°； ③若 α 为锐角，则需分两种情况，当 α 为顶角时，底角为12(180°－α)；当 α 为底角时，顶角为 180°－2α.
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万能解题模型(八) 等腰三角形的 分类讨论
模型 1 等腰三角形顶角和底角不确定而产生的分类讨论 1．若等腰三角形的一个角为 80°，则顶角为 20°或80° ． 2．若等腰三角形的一个角为 110°，则顶角为 110° ． 3．若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍，则其底角为 45° 或72° ．
(2)∵抛物线的解析式为 y＝－x2－2x＋3， ∴其对称轴为直线 x＝－22＝－1. ∴设 P 点坐标为(－1，t)． 当 x＝0 时，y＝3， ∴C(0，3)，M(－1，0)． ①当 CP＝PM 时，(－1)2＋(t－3)2＝t2，解得 t＝53， ∴P 点坐标为(－1，53)；
②当 CM＝PM 时，(－1)2＋32＝t2，解得 t＝± 10， ∴P 点坐标为(－1， 10)或(－1，－ 10)； ③当 CM＝CP 时，(－1)2＋32＝(－1)2＋(t－3)2，解得 t＝6 或 0(舍 去)， ∴P 点坐标为(－1，6)． 综上所述，存在符合条件的点 P，其坐标为(－1， 10)或(－1，－ 10)或(－1，6)或(－1，53)．
易错提示：无论哪种情况，都要注意等腰三角形的三个角必须满 足三角形三个内角之和等于 180°.
模型 2 等腰三角形腰和底不确定而产生的分类讨论
等腰三角形的分类讨论
等腰三角形的分类讨论关键信息项1、等腰三角形的定义和性质定义：至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
性质：两腰相等；两底角相等；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
2、等腰三角形的分类依据边的长度：分为等边三角形（三边相等）和一般等腰三角形（只有两边相等）。
角的大小：锐角等腰三角形、直角等腰三角形、钝角等腰三角形。
3、分类讨论的情况已知三角形的两边长度，求第三边长度时，需分情况讨论。
已知三角形的一个角的度数，求其他角的度数时，需分情况讨论。
已知三角形的周长和边的关系，求边长时，需分情况讨论。
11 等腰三角形的定义和性质的详细说明等腰三角形是一种特殊的三角形，其定义为至少有两边相等的三角形。
这一特征使得等腰三角形具有独特的性质。
首先，两腰长度相等，这是等腰三角形的最基本特征。
其次，两底角（即两腰所对的角）相等。
这一性质在解决与角度相关的问题时经常被用到。
再者，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，这条性质被称为“三线合一”，它为证明线段相等、角相等以及解决相关几何问题提供了重要的依据。
111 等腰三角形性质的应用在实际解题中，等腰三角形的性质经常被用于构建等式、求解未知量。
例如，已知一个等腰三角形的顶角为 80 度，由于两底角相等，根据三角形内角和为 180 度，可以计算出底角的度数为（180 80）÷ 2 ＝50 度。
12 等腰三角形的分类依据121 边的长度分类从边的长度来看，等腰三角形可以分为等边三角形和一般等腰三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形，其三条边长度均相等。
一般等腰三角形则只有两条边长度相等。
122 角的大小分类根据角的大小，等腰三角形可分为锐角等腰三角形（三个角均为锐角）、直角等腰三角形（其中一个角为直角）和钝角等腰三角形（其中一个角为钝角）。
13 分类讨论的情况131 已知两边长度求第三边当已知等腰三角形的两边长度时，求第三边的长度需要分情况讨论。
专题08 等腰三角形中的分类讨论模型(解析版)
专题08等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论：【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰ABC △方法：两圆一线具体图解：①当AC AB =时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外）②当BC AB =时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外）③当BC AC =时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外）例1．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）ABC 是等腰三角形，5,7AB AC ==，则ABC 的周长为（）A ．12B ．12或17C ．14或19D ．17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当ABC 的腰为5时，ABC 的周长55717++=；当ABC 的腰为7时，ABC 的周长57719++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．例2．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）等腰三角形的周长为32cm ，一边长为8cm ，则其它两边长是（）∴150∠=︒，即顶角为150︒；故答案为：30︒或150︒．BAC【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．例5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使ABP为等腰三角形，则点P有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以AB为腰，点A为顶角顶点；以AB为腰，点B为顶角顶点；以AB为底．【详解】解：如图：如图，以AB为腰，点A为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB为腰，点B为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB为底的等腰ABP，所以合计8个．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．例6．（2023·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ 为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE ′F ′=∠CQP +∠QDE ′，∴∠QDE ′=∠DE ′F ′-∠CQP =60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP 为顶角时，∠CPQ =∠PCQ =45°，∴∠CQP =90°，∴∠QDF ′=90°-∠DF ′E ′=60°，∴∠QDE ′=∠E ′DF ′-∠QDF ′=30°，∴α=∠EDE ′=∠EDQ +∠QDE ′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．例7．（2022秋·江苏徐州·八年级校考期中）如图，70AOB ∠=︒，点C 是边OB 上的一个定点，点P 在角的另一边OA 上运动，当COP 是等腰三角形，OCP ∠=°．【答案】40或70或55【分析】分三种情况讨论：①当OC PC =，②当PO PC =，③当OP OC =，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，(1)若点P在BC上，且满足PA PB=，求此时(3)在运动过程中，当t为何值时，ACP△【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或90ACB∠=︒，5cmAB=在Rt ACP中，由勾股定理得()22234x x∴+-=，解得BP 平分ABC ∠，C ∠在BCP 与BDP △中，∵A B ∠∠=︒+90，90ACP BCP ∠+∠=︒，B BCP ∴∠=∠，CP BP AP ∴==，P ∴是AB 的中点，即15cm 22AP AB ==，524AP t ∴=．②如图，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，∴322AP t ==．③如图，当P 在AB 上且(1)求直线AB 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段AB 上（不与点A x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为()0y y ≠，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在求出点若不存在，请说明理由．【答案】(1)()450y x D =-+-，，(2)()33242y m m =+-<<，的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．课后专项训练A．120︒B．75︒【答案】C【答案】D【分析】分为AB AC =、BC BA =，CB CA =三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当AB AC =时，符合条件的点有2个；当BC BA =时，符合条件的点有1个；当CB CA =，即当点C 在AB 的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C 共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，则满足条件的格点C 有()A ．0个B ．2个C ．4个D ．8个【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，∴满足条件的格点C 有4个，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键A．3【答案】D故选：满足条件的点M 的个数为2．故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，8BC =，6AC =．若点P 为直线BC 上一点，且ABP △为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．8．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,1，在x 轴上确定点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【详解】解：如图，22112OA=+=，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣2，0），P3（2，0），当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．9．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵ABD ∠11【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分得到底和要的差是1293-=，再根据周长列式求解即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，∴腰与底的差为：1293-=，①当底边比腰长时，设腰为x ，则底为3x +，由题意可得，32129x x ++=+，解得：6x =，3639x +=+=，②当腰比底边长时，设腰为x ，则底为3x -，由题意可得，32129x x -+=+，解得：8x =，3835x -=-=，故答案为：6，9或8，5．【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论．14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知A （1，2），在y 轴确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有____个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA 为底，可能OA 为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于1个点（O 除外）；②以O 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于2个点；③作线段AO 的垂直平分线，此时交y 轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．15．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm AC =，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A C B A ---运动，设运动时间为t 秒()0t >，当点P 在边AB 上，【答案】19或20或21.2【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可．【详解】∵90ACB ∠=当P 在BA 上时，①②当6cm BC CP ==时，过CD PB ⊥于点D ，如图，∴12BD DP BP ==，∵12ABC S AC BC CD ==V g g ，∴ 4.8AC BC CD AB == ，在Rt CBD △中，由勾股定理得：()2226 4.8 3.6cm BD BC CD =--=，∴)22 3.6cm BP BD ==⨯=，∴(()867.221.2s t =++，【答案】5或8【分析】ABP 是以AB 为腰的等腰三角形时，分两种情况：出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】解：在Rt ABC △中，∠②当AB AP =时，28cm 8BP BC t ===，故答案为：5或8．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．15．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，ABC ∠的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD BD =，点E 是线段AB 上的动点（与A 、B 不重合），连接DE ，当BDE 是等腰三角形时，则BE 的长为___________．【答案】4或4【分析】现根据已知条件得出30CBD ABD BAD ∠=∠=∠=︒，再根据BC =6，分别求出AB 、AC 、BD 、AD 、（2）当BE =DE ，如图：∵BE =DE ∠EDB =∠ABD =30°，∴∠AED =∠EDB ∴∠ADE =180°-∠AED -∠A =180°-60°-30°=90°，∴ ADE 为直角三角形，又∵30A ∠=︒且AD =43，∴DE ，∴BE =4；（3）当BD =DE ，时，点E 与A 重合，不符合题意；综上所述，BE 为4或43．故答案为：4或43．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，16．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A ＝30°，点P 和点Q 分别是边AC 和BC 上的两个动点，分别连接BP 和PQ ，把△ABC 分割成三个三角形△ABP ，△BPQ ，△PQC ，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C 有可能的值有________个．【答案】7【分析】①当AB=AP ，BQ=PQ ，CP=CQ 时；②当AB=AP ，BP=BQ ，PQ=QC 时；③当APB ，PB=BQ ，PQ=CQ 时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．【详解】如图所示，点1P、2P、3P即为所求．△是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意ACP18．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．（3）等边三角形的巧妙点的个数有（）A．2个B．6个C．10个D．12个【答案】（1）见解析；（2）6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；（3）C．综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．（3）如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．19．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，()2-+-=．(1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为24OA OB6805，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)A （0，6），B （8，0）；(2)AB =10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．【分析】（1）由非负数的性质知OA =6，OB =8，据此可得点A 和点B 的坐标；（2）根据1122OAB S AB d OA OB == △求解可得；（3）先设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，，再分PA =AB 和AB =PB 两种情况分别求解可得．(1)()2680OA OB -+-= ∴O −6=0O −8=068OA OB ∴==则A 点的坐标为A （0，6），B 点的坐标为（8，0）(2)1122OAB S AB d OA OB == △，245d =6810245OA OB AB d ⨯∴=== (3)存在点P ，使△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，①若PA =AB ，则22PA AB =，即226100a +=，解得a =8(舍)或a =−8，此时点P (−8，0)；②若AB =PB ，即22AB PB =，即()21008a =-解得a =18或a =−2，此时点P (18，0)或(−2，0)；综上，存在点P ，使△ABP 使以AB 为腰的等腰三角形，其坐标为(−8，0)或(18，0)或(−2，0)．【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形OABC 是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O 与坐标原点重合，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为()3,4，D 的坐标为()2,4，现将纸片沿过D 点的直线折叠，使顶点C 落在线段AB 上的点F 处，折痕与y 轴的交点记为E ．。
等腰三角形的分类讨论
1100或800
类型三：三角形的形状不明时需分类讨论
例：已知等腰△ABC 腰AB上的高CE 与另一腰AC
的夹角为30°，则其顶角的度数为 _6_0_°_或__1__2_0_°_
A E
B 图1
复习与回顾
1、等腰三角形的性质
①等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角） ； ②等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合.
2、等腰三角形判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形. （等角对等边）.
等腰三角形 分类讨论问题
平顶山市实验中学 孙艳霞
类型一：底和腰不明时需分类讨论
例：已知等腰三角形的两边长为3和7，则 其周长为___1_7__.
类型四：一边确定，确定等腰三角形个数时
练习：如图，已知点A的坐标为（2,2），点P在x轴上， △APO为等腰三角形，则满足 条件的点P的坐标为__（_2__2_，_0）___（__-__2__2_，0_）___（_4_，_0）___（__2_，0_）
类型四：一边确定，确定等腰三角形个数时
练习：如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B 是格点，以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的
个数为（ B ） A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
方法总结 确定的边可能是等腰三角形的腰，也可能是
等腰三角形的底边，解决此类问题通常用圆规 能做到不重不漏.
课堂小结
类型一：底和腰不明时需分类讨论 类型二：顶角与底角不明时需分类讨论 类型三：三角形的形状不明时需分类讨论 类型四：一边确定，确定等腰三角形个数时
C
等腰三角形中的分类讨论(含答案)
等腰三角形中的分类讨论
类型1对顶角和底角的分类讨论
对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论．在分类时要注意：三角形的内角和等于180°；等腰三角形中至少有两个角相等．
1．等腰三角形中有一个角为52°，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？
解：①若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(180°－52°)÷2＝64°，故一腰上的高与底边的夹角为26°；
②若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38°.
故所求的一腰上的高与底边的夹角为26°或38°.
类型2对腰长和底长的分类讨论
在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”、哪条边是“底”时，往往要进行分类讨论．判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．
2．(1)已知等腰三角形的一边长等于6 cm，一边长等于7 cm，求它的周长；
(2)等腰三角形的一边长等于8 cm，周长等于30 cm，求其他两边的长．
解：(1)周长为19 cm或20 cm.
(2)其他两边的长为8 cm，14 cm或11 cm，11 cm.
1。
关于等腰三角形的分类讨论
关于等腰三角形的分类讨论一、形边的分类例如，已知等腰三角形的周长为15，其中一个边长为6，那么它的底边长多少？在解答这个问题的时候，题目当中的关键信息是边长为6的边不确定是腰还是底，这时分类讨论的两种情况分别是：第一种情况是设长为6的边为腰，则另两条边为6，3；第二种情况是设长为6的边为底，则另两条边是4.5，4.5.这时，要验证这样两组边长能不能组成一个三角形，也就是满不满足三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
经验证满足三角形的三边关系定理，所以等腰三角形的底边为6或4.5.例如，当已知等腰三角形的两个边的边长：一边长是6，另一边长是17，求这个三角形的周长时。
很多学生会想到应该分类讨论：第一种情况是设腰为6，底为17时，则三角形的三个边分别是6，6，17，这时要根据三角形的性质进行验证，因为6+6小于17，不符合三角形的性质，这样的三个边组不成三角形，所以这种假设是不成立的。
第二种情况是设腰为17，底为6，则三角形的三个边分别是17，17，6，根据三角形的性质进行验证，经验证符合三角形的性质，所以这个三角形是成立的，则其周长为17+17+6=40.二、形角的分类例如，已知等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，求这个等腰三角形的三个内角大小时。
设一个角是x，另一个角就是2x，这时就要分情况进行讨论了。
第一种情况是x为顶角，则另两个角都是2x，根据三角之和为180°，得x+2x+2x=180°，解得x=36°，则这个等腰三角形的三个内角分别是36°，72°，72°。
第二种情况是当x为底角时，则另两个角是x，2x，得x+2x+x=180°，解得x=45°，则这个等腰三角形三个内角分别是45°，45°，90°。
所以这个等腰三角形的三个内角大小是36°，72°，72°或90°，45°，45°。
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论在等腰三角形中有很多需要分类讨论的问题。
分类讨论最关键的是要做到不重不漏，难点在于如何确定分类标准。
一般地，我们可以有两种思路对等腰三角形进行分类讨论：一种思路是按等腰三角形的顶角的顶点进行分类讨论，一种思路是按照等腰三角形的腰进行分类讨论。
一、求等腰三角形的边长或周长问题例1. 已知等腰三角形的两边长为7和3，则它的周长为.【解析】本题按照腰进行分类讨论即可，7和3都有可能是等腰三角形的腰，但由三角形三边关系可知，排除了3为腰长的可能。
但需注意的是，虽然本题答案只有一个，但过程中得要有分类讨论。
【答案】17二、求等腰三角形的角度例2. 已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角度数. 【解析】由于本题没有给出图形，所以题中腰上的高需要分类讨论，当等腰三角形的顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部，此时顶角是30°；当等腰三角形的顶角为钝角时，腰上的高在三角形的外部，此时顶角为150°.【答案】30°或150°三、在平面直角坐标系中求等腰三角形顶点坐标例3. 在平面直角坐标系中，已知A（2，-2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，求点P的坐标.【解析】由于题目中没有明确等腰三角形的顶角顶点，所以需要对此进行分类讨论。
点A、O、P均有可能为等腰三角形顶角的顶点。
按此分类讨论，若点A为顶点，则点P坐标为（0，-4）；若点O为顶点，则点P坐标为（0，2-），或（0，222）；若点P为顶点，此时，OA为底边，点P在线段OA的中垂线上，则点P坐标为（0，-2）.【答案】（0，-4），（0，2-），（0，222），（0，-2）例4. 如图，在平面直角坐标系中，OABC是矩形，点A、C坐标分别为A（10,0），C（0,4），D是OA的中点，P在BC边上运动，当△ODP多少？【解析】由于题目只是给出△ODP是腰长为5的等腰三角形，所以需要对等腰三角形的腰进行分类讨论。
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等腰三角形的分类讨论
模块一等腰三角形的分类讨论
例1
（1）等腰三角形的一边长为3，一边长为7，那么它的周长是。
（2）等腰三角形的一边长为4，周长为9，那么它的腰长是。
（3）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和12两部分，求此等腰三角形的腰长。
练习
（1）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：2，求这个等腰三角形顶角的度数。
（2）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为。
例2
（1）若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，求该三角形的底角的度数。
（2）（2016—2017武昌区八上期中第16题）
已知△ABC是等腰三角形，由点A作BC边上的高恰好等于BC的一半，则∠BAC的度数为。
练习
例3
如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，∠A=30°.将△ABC 绕B 点逆时针旋转α（0<α≤60°）角度后得到△A ’BC ’，A ’C ’与AC 交于点F ，与AB 交于点E ，连BF 。
当△BEF 为等腰三角时，α= 。
A
模块二 两圆一中垂
知识导航
已知线段AB ，在平面上找一点C ，使△ABC 为等腰三角形。
图1 图2 图3
A
A
B
B
① 如图1，以A 为圆心，AB 为半径作圆，此圆上的所有点C 均满足AC=AB 。
② 如图2，以B 为圆心，BA 为半径作圆，此圆上的所有点C 均满足BC=BA 。
③ 如图3，作AB 的垂直平分线，此垂直平分线上的所有点C 均满足CA=CB 。
“两圆一中垂”上的所有点C 均满足△ABC 为等腰三角形，即满足“等腰”条件的C 点有无数个。
因此，题目会对C 点再加上另外一个限定条件----例如还限定C 点在坐标轴上或格点，这样，C 点的个数就只有几个了。
例4
（2014—2016江岸区八上期末）
如图：在4×4的网格中存在线段AB ，每格表示一个单位长度，并构建了平面直角坐标系。
在现有的网格中（包括网格的边界）存在一点P,点P 的横纵坐标都为整数，连接PA 、PB 后得到△PAB 为等腰三角形，则满足条件的点P 有 个。
y
y
练习
（2016—2017江汉区八上期中）
在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=36°，在直线AC 或BC 上取点M ，使得△MAB 为等腰三角形，符合条件的M 点有 个。
中考链接
1.（2016武汉中考第10题）
平面直角坐标系中，已知A (2，2)、B (4，0)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2.（2017武汉中考第10题）
如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( ) （A ）4
（B ）5 （C ）6
（D ）7
点P是等边△ABC所在平面上一点，若P和△ABC的三个顶点所组成的△PAC、△PBC、△PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为。
例5（2015—2016青山区八上期末）
如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=100°，边BA绕点B顺时针旋转m°（0<m<180°）。
得到线段BD，连接AD、CD。
若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的值是。
C
A
拓展
如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（0，4），若点D在第一象限，满足BD=BO，且△DOA 为等腰三角形时，∠OBD的度数为。
y
模块三等腰三角形的分割
例6
（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知内角度数的两个三角形，如图2，图3所示，请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请写出分割后两个等腰三角形顶角的度数。
A B B
（2015—2016梅苑中学八上期中）
如图有△ABC，过顶点B作一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，∠C是其中一个等腰三角形的顶角。
（1）∠C=40°时，∠ABC= ；
（2）当∠C为△ABC中最小的内角时，探究∠ABC与∠C之间的数量关系。
A
拓展
在△ABC中，AB=BC，过其中一个顶点作一条直线，将△ABC分成两个等腰三角形，请直接写出△ABC 顶角的度数。
挑战压轴题
（2016—2017汉阳区八上期中第23题）
定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线。
（1）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且AD=BD=BC ，求∠A 的大小；
（2）在图1中过点C 作一条线段CE ，使BD 、CE 是△ABC 的三等分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；
（3）在△ABC 中，∠B=30°，AD 和DE 是△ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD=BD 、DE=CE ，请直接写出∠C 所有可能的值。
图1 图2
A
B C
第5讲 等腰三角形的分类讨论
A 基础巩固
1.（2016—2017汉阳区八上期中） 在平面直角坐标系中，已知A （0，2），B （2，0）。
若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9
2.△ABC 的高BD 、CE 所在的直线交于点H ，若∠BHC=65°，则∠BAC 的度数为 。
3.如图所示的正方形风格中，风格线的交点称为格点。
已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点C 有 个。
4.(2015—2016洪山区八上期末)
点E 是△ABC 内的一点，若△ABC 是等边三角形，∠AEB=100°，∠BEC=α，以EC 为边作等边△CEF ，连AF 。
当△AEF 是等腰三角形时，求α的度数。
F
C
A
B
B 综合训练
5.（2014—2015武汉二中八上期中）
如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=40°，边AB 绕点A 逆时针旋转m °（0<m<360°），得到线段AD ，连接BD 、DC 。
若△BDC 为等腰三角形，则m 所有可能的取值是 。
D
6.（2015—2016七一中学八上月考）
已知△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=1，
，点D 和点E 分别为边BC 和边AC 上（不与线段端点重合），∠ADE=45°，当△ADE 为等腰三角形时，AE= 。