第六章第三节Lorenz系统

二、非周期性的Lorenz系统
分析Lorenz系统在平衡点附近的扰动。 所谓平衡点即方程的定常解，为三维相空间 中的定点，对应为该系统的平衡态。

Lorenz系统的平衡态方程
系统的平衡态，由下列定常方程确定
− σX1 + σX 2 = 0 rX1 − X 2 − X1 X 3 = 0
− bX 3 + X1 X 2 = 0
Ra
=
gαH 3ΔT κυ
RC
= π 4 (1 + a 2 )3
a2
解的简化
作者只考虑了一个简单的三模模式，即共取 其三项，则得解具有如下的形式：
ψ
=
1+ a2 X1 (t) a
κ
2 sin(πax ) sin(πz )
HH
θ
=
X2
RcΔT
πR
2
cos(πax ) sin(πz )
H
H
+
X3
RcΔT
,
X
(3) 2
,
X
(3) 3
)
=
(−
b(r −1),−
b(r −1), r −1)
平衡态稳定性的分析
为了分析平衡态的稳定性，引入扰动量 （x1，x2，x3），得到扰动量方程
X1 = X1 + x1, X 2 = X 2 + x2 , X 3 = X 3 + x3
⎡ x&1 ⎤ ⎡ − σ
⎢ ⎢
x&2
Lorenz系统在奇怪吸引子的运动是各态历 经的，任一条运动轨迹都几乎通过奇怪吸引子 上所有点。
具有上述特征的奇怪吸引子的 运 动 又 称 为 “ 混 沌 ” (Chaos) 运 动，它与湍流运动的特征极为 相似。
四、大Rayleigh数时Lorenz系统 的运动特性
当r>148.4时，混沌运动蜕变到一个极限环 型的周期运动。
∇2ψ (z = 0,t) = ∇2ψ (z = H ,t) = 0
方程解的形式
当Ra超过其典型值Rc（当a2＝1/2时取最小 值，即27π4/4)时，流场具有如下形式
ψ = ψ 0 sin(πax / H ) sin(πz / H ) θ = θ0 cos(πax / H ) sin(πz / H )
∂t ∂(x, z) H ∂x
作业
3、利用Lorenz方程画出蝴蝶图。
b = 4(1 + a 2 )−1
r = Ra / RC
X1，X2和X3的物理意义
X1（τ）是正比于对流强度的量；X2（τ） 正比于上升与下沉气流之间的温度差，当Xl与 X2同号时，表示暖的上升，冷的下沉；X3正比
于实际温度垂直分布与线性分布的偏差，即温 度扰动。
(X1,X2,X3) 为 Lorenz 系 统 相 空 间 中 的 一 个 点。
∂t ∂x ∂z
对流体方程进行简化处理
引入流函数Ψ以及温度扰动θ：
u = − ∂ψ
∂z
w = ∂ψ
∂x
T
=
(T2
−
ΔT H
z)
+θ
简化了的流体力学方程
(2) 两 边 对 x 求 偏 导 ， 减 去 (1) 两 边 对 z 求 偏 导，并利用（3）和Boussinesq近似，上述方 程可以改写为：
(1)确定的定常运动→混沌运动； (2)定常运动→周期运动→准周期运动→混 沌运动； (3)定常运动→周期运动→间歇混沌运动→ 混沌运动； 由于混沌运动有着与湍流运动类似的运动特 征，上述过程也可以是湍流形成的过程。
总结
Lorenz从Benard对流模型中得到三维相空 间运动方程。分析三维相空间的平衡点以及在 平衡点附近的扰动得到奇怪吸引子、分数维、 混沌的概念。
对有限振幅自由对流模式的近似，流体运动 满足下列方程：
ρ(∂u + u ∂u + w ∂u ) = − ∂p + υ∇2u
∂t ∂x ∂z ∂x
ρ ( ∂w + u ∂w + w ∂w) = − ∂p − ρg + υ∇ 2 w
∂t ∂x ∂z ∂z ∂u + ∂w = 0 ∂x ∂z
∂T + u ∂T + w ∂T = κ∇ 2T
§6.3 Lorenz系统的非周期运动
E．N．Lorenz是著名气象学家，美国 马省理工学院名誉教授 。他在简单的数学 模型中所发现的“混沌”现象，科学家称之 为“蝴蝶效应”，从此诞生和发展了一门新 兴的数学分支——混沌理论。Lorenz教授 也因其开创性的工作而倍受科学界关注， 被世人称为“混沌之父”。
πR
sin(πz )
H
得到Lorenz方程
把Ψ和θ形式解代入Ψ和θ方程式，省略三
角函数项，并引进无因次时间τ，得到新方程
dX1(τ ) dτ
=
−σX1
+ σX 2
dX 2 (τ ) dτ
=
rX1
−
X
2
−
X1X3
dX3 (τ dτ
)
=
−bX 3
+
X1 X 2
τ
=
π
2 (1+ a2 )κ
H2
t
σ =υ/κ
⎡ −σ −λ
⎢ ⎢
1
⎢⎣ b(r −1)
σ −1− λ
b(r −1)
0⎤
−
b(r
−
1)
⎥ ⎥
=
0
− b − λ ⎥⎦
扰动量方程分析（r>1)
当r>1时，特征方程有一个负实根和两个共 轭复根。
复根的实部为0对应于r处于临界值r0.
r0 = σ (σ + b + 3) /(σ − b −1)
当r>r0时，对流状态将有再一次失稳。
⎥ ⎥
=
⎢⎢r
−
X
3
⎢⎣x&3 ⎥⎦ ⎢⎣ X 2
σ 0 ⎤⎡ x1 ⎤
−1
−
X1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x
2
⎥ ⎥
X1 − b ⎥⎦⎢⎣x3 ⎥⎦
扰动量方程分析（r<1)
系统处于平衡态O，扰动方程的特征方程和 特征根为：
O
:
(
X (1) 1
,
X
(1) 2
,
X
(1) 3
)
=
(0,0,0)
⎡−σ − λ
⎢ ⎢
r
在有正的李雅普诺夫特征指数λ ；当然，由于
它是吸引子，它也必然有负的李雅普诺夫特征 指数。
λ = lim(1 ln
t→∞ t
ΔXv (t) ΔXv (o)
)
重要特征之二 运动具有噪音式的宽带频谱
运动具有噪音式的宽带频谱，但又不同于噪 声功率谱。表明奇怪吸引子上的运动具有随机 起伏的特征。
Lorenz系统时
∂ ∇2ψ = − ∂(ψ ,∇2ψ ) + υ∇4ψ + gα ∂θ
∂t
∂(x, z)
∂x
∂θ = − ∂(ψ ,θ ) + ΔT ∂ψ + κ∇2θ
∂t ∂(x, z) H ∂x
边界条件
上下界面的边界条件为：
θ (z = 0,t) = θ (z = H ,t) = 0
ψ (z = 0,t) =ψ (z = H ,t) = 0
三、奇怪吸引子的重要特征
保守系统 耗散系统 耗散系统的一个基本特征是相空间内的相体 积随时间的演变要缩小到零。因此，在相空间 内的所有运动轨道最终要被吸引到一个相体积 为零的点集上。这种点集称为吸引子。 简单吸引子 和奇怪吸引子 。
重要特征之一 对初始条件非常敏感
对初始条件有非常敏感的依赖性。
在初始时刻从这个奇怪吸引子上任何二个非 常接近的点出发的二条运动轨道，最终必然会 以指数的形式互相分离。定量地讲，它必然存
间序列X1（f)
的频谱分布
重要特征之三 奇怪吸引子曲面具有分数维
奇怪吸引子曲面具有分数维 。
维数是空间和客体的重要几何参量。对于 点、线、面、体，它们的维致分别为0，1，2 和3 。
利用数值计算，可得Lorenz系统奇怪吸引 子曲面的维数为D＝2.06，即为分数维。
重要特征之四 运动具有各态历经性
本节内容
一、Lorenz方程 二、非周期性的Lorenz系统 三、奇怪吸引子的重要特征 四、大Rayleigh数时，Lorenz系统的运动
特性 五、一个对流系统转入混沌运动的过程
一、Lorenz方程
Lorenz研究两平行平板间的热对流。
T
= T2
−
ΔT H
z
ΔT = T2 − T1
流体力学方程
Lorenz系统的平衡态
系统有三个平衡态 ： 当r<1时，只有一个平衡态O； 当r>1时，还可以出现C和C’两个平衡态。
O
:
(
X
(1) 1
,
X
(1) 2
,
X
(1) 3
)
=
(0,0,0)
C
:
(
X (2) 1
,
X
(2) 2
,
X
(2) 3
)
=
(
b(r −1),
b(r −1), r −1)
C′
:
(
X (3) 1
作业
1、概念：二维流动，流函数，相空间，平 衡态，分叉，奇怪吸引子，各态历经，混沌。
作业
2、推导公式：
∂T + u ∂T + w ∂T = κ∇ 2T
∂t ∂x ∂z
∂ ∇2ψ = − ∂(ψ ,∇2ψ ) + υ∇4ψ + gα ∂θ