复合函数求导试题及答案
复合函数求导
不妨设在A点处切线的斜率为1，
则有 ， ，
则可得 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解题的关键是利用导数得出切线斜率在 范围内，从而根据垂直得出斜率必须一个是1，一个是-1.
2．（2020·全国高二课时练习）已知函数 的导函数是 ，且 ，则实数 的值为（）
C．向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的 倍
D．向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
【答案】D
【分析】
先求得 ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.
【详解】
依题意 ，所以由 向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到 的图像.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
6．（2020·河北张家口市·涿鹿中学高二月考）已知下列四个命题，其中正确的个数有（）
① ，② ，③ （ ，且 ），④
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】
由指数，对数，三角函数的求导公式一一判断即可.
【详解】
① ，所以①错误；
② ，所以②错误；
③ （ ，且 ），所以③错误；
④ ，所以④错误.
．
（Ⅱ）因为 ，所以 ， ，
所以 ．
故函数 在 上单调递减．
当 时， ．
又当 时， ， ，
所以函数 在 上的取值范围是 ．
[说明：对当 时， 的证法：
因为 （当 时，取等号），
所以 ，
而当 时， ，
所以当 时， ．
又 （当，
故当 时， ]
2020高中数学 检测(四)复合函数求导及应用(含解析)2-2
课时跟踪检测（四）复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一简单复合函数求导问题1．y＝cos3x的导数是（)A．y′＝－3cos2x sin x B．y′＝－3cos2xC．y′＝－3sin2x D．y′＝－3cos x sin2x解析:选A 令t＝cos x，则y＝t3,y′＝y t′·t x′＝3t2·（－sin x)＝－3cos2x sin x。
2．求下列函数的导数．(1）y＝ln（e x＋x2);（2）y＝102x＋3；(3)y＝sin4x＋cos4x。
解：(1）令u＝e x＋x2，则y＝ln u.∴y′x＝y′u·u′x＝错误!·（e x＋x2）′＝错误!·(e x＋2x)＝错误!。
（2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·（2x＋3）′＝2×102x＋3ln 10。
(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x）2－2sin2x·cos2x＝1－12sin22x＝1－错误!(1－cos 4x)＝错误!＋错误!cos 4x.所以y′＝错误!′＝－sin 4x。
对点练二复合函数与导数运算法则的综合应用3．函数y＝x2cos 2x的导数为( )A．y′＝2x cos 2x－x2sin 2x B．y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC．y′＝x2cos 2x－2x sin 2x D．y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x解析：选B y′＝（x2）′cos 2x＋x2（cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·（2x）′＝2x cos 2x－2x2sin 2x。
4．函数y＝x ln(2x＋5）的导数为（)A．ln(2x＋5)－错误!B．ln(2x＋5)＋错误!C．2x ln（2x＋5) D．错误!解析：选B y′＝[x ln（2x＋5）]′＝x′ln（2x＋5）＋x［ln（2x＋5)］′＝ln(2x＋5）＋x·12x＋5·(2x＋5)′＝ln（2x＋5）＋错误!。
复合函数求导公式进阶练习三
《复合函数求导公式》进阶练习一、选择题xsin)xcos(siny?e y( )1 等于′(0)，则 D 2C －1 A 0B 19?x y=经过原点且与曲线2 相切的方程是( ) 5x?xx yyxxyy=0=0或 B +A +－=0或+ =0 2525xx yxyyxy=0－C －+=0=0或－=0 D 或2525二、填空题)f(xkf(x?)?00xf =_________3 若)=2,′(lim0k20?k ffxxnxxx(0)=_________ ()=则(+1)(…4 设+2)(′+),三、解答题求函数的导数5x22exxy;+3)2(1)=(－x y =(2)3x?1参考答案B 1、A 2、1 3、－n!、4y 0,注意到两端取对数，得＞5、解 (1)x222xxyxxex ln2=ln(=ln(－2+3)+2+3)+ln－22?)2?x?22(x1(x?2x?3)?2x??22???y???222y3??2x2x?3xx?2x?3x?22)2x2)(x?2(x??x?2x22?e?2x?3??y??(x)??y223x?3x?2x?2x?x22e?2)?2(x??x (2)两端取对数，得1xxy|), －|ln||=－ln|1(ln|3x求导，得两边解111?111??(??y)?y3x1?x3x(1?x)x111???y???y3x?x)1)3x(1?3x(1?x【解析】x0sin eyexxxxy0)=1－］,coscos(sin(1)－cos1、=′′sin(sin(0)=)［y0kxy, ,=),2、设切点为(则切线的斜率为00x0x?94?y)′另一方面，=′=(, 25x?)?5(xyx?9?4002xkxxy??+45=0或+18故(′即)=,0002xx(x?5))(x?50000?15?93 (2)(1)(1)(2) xxyy?,3,=－对应有=－15,=3,=得0000?15?553BA), 15,或，－因此得两个切点(33)(－5．1?4?4ByyA?? , )= ′ =从而得－′(1)=及(2325)?15?5()5(?3?x yllyx ::－=－=或由于切线过原点，故得切线BA25 A 答案、根据导数的定义3)(x)]?ff[(x?(?k00xf k???x)(′(这时)=lim0k?0k?)x?f(?)f(xk)f(x?k)?f(x10000]??[??limlimk?2k20k?k?0)x?f(f(x?k)1100?1?x)??f?(??lim02k2?0?k1 －答案xxgfxxxxxng),(+1)(则+2)……((+4、设)=(),)=(nnggxgxfgfxgx =·2(0)+0于是·′(·…)=′((0)=)+！′((0)=1),′(0)=n!答案y 0, (1)注意到两端取对数，得＞5、解x222xxxyxxe－+3)+ln2ln=ln(=ln(－2+3)+222?)?2?xx?22(1(xx?2?3)x2??22???y???222y3??2x2x?3xx?2x?3x?22)2x2(x?2(x??x?2)x22?e?3)xy??(??2x?y??223??2x?x?2x3x x22e?x2?x?)?2( (2)两端取对数，得1xyx|), ln|1－(ln||ln|－|=3x两边解求导，得111?111??(?y)??y3x1?x3x(1?x)x111??y????y3 x1x1x)?(3x1x3(?)?。
复合函数题
复合函数题一、选择题1. 已知f(x)=x^2，g(x)=2x + 1，则f(g(x))=（）- A.(2x + 1)^2- B.2x^2+1- C.4x^2+1- D.4x^2+4x+1解析：f(g(x))就是将g(x)作为f(x)的自变量代入f(x)中。
因为g(x)=2x + 1，f(x)=x^2，所以f(g(x))=(2x + 1)^2=4x^2+4x + 1。
答案为D。
2. 若y = f(u)，u=φ(x)，且f(u)和φ(x)均可导，y = f(φ(x))，则y^′=（） - A.f^′(u)- B.φ^′(x)- C.f^′(u)·φ^′(x)- D.f^′(φ(x))+φ^′(x)解析：根据复合函数求导法则，若y = f(u)，u=φ(x)，则y^′=f^′(u)·φ^′(x)。
答案为C。
3. 设f(x)=√(x)，g(x)=x + 1，则g(f(x))的定义域为（）- A.[0,+∞)- B.[-1,+∞)- C.(-1,+∞)- D.(0,+∞)解析：首先求g(f(x))的表达式，g(f(x))=√(x)+1。
对于√(x)，要使其有意义，则x≥slant0，所以g(f(x))的定义域为[0,+∞)。
答案为A。
4. 已知f(x)=sin x，g(x)=x^2，则f(g((π)/(2)))=（）- A.1- B.0- C.sinfrac{π^2}{4}- D.sin(π)/(2)解析：先求g((π)/(2))，g((π)/(2)) = ((π)/(2))^2=frac{π^2}{4}。
再求f(g((π)/(2)))=f(frac{π^2}{4})=sinfrac{π^2}{4}。
答案为C。
5. 若f(x)=e^x，g(x)=ln x，则f(g(x))=（）- A.x- B.e^ln x- C.ln e^x- D.1解析：f(g(x))=e^ln x=x（x>0）。
1.4 复合函数求导解析
1.4复合函数求导1．指出下列函数是怎样复合而成的．(1)y ＝(2x ＋3)2；(2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)；(4)y ＝sin 2(1－1x)． 解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数．(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看作函数y ＝e u 和u ＝－0.05x ＋1的复合函数．(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看作函数y ＝sin u 和u ＝πx ＋φ的复合函数．(4)函数y ＝sin 2(1－1x )可以看作函数y ＝u 2和u ＝sin v 及v ＝1－1x的复合函数． 2. 求下列函数的导数．(1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln(3x ＋2)．解：(1)因为函数y ＝(3x －2)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝3x －2的复合函数，所以y ＝(3x －2)2对x 的导数等于y ＝u 2对u 的导数与u ＝3x －2对x 的导数的乘积．根据复合函数的求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x －2)′＝2u ·3＝6u ＝6(3x －2)＝18x －12.(2)因为函数y ＝ln(3x ＋2)可以看作函数y ＝ln u 和u ＝3x ＋2的复合函数，所以y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(3x ＋2)′＝1u ·3＝33x ＋2.3.求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋3)2；(2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)；（4）y ＝sin 4x ＋cos 4x .．解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′(2x ＋3)′＝4u ＝8x ＋12.(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看作函数y ＝e u 和u ＝－0.05x ＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05e －0.05x ＋1.(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看作函数y ＝sin u 和u ＝πx ＋φ的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′(πx ＋φ)′＝πcos u ＝πcos(πx ＋φ)．(4)解法一：y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－12sin 2(2x ) ＝1－14(1－cos4x )＝34＋14cos4x .y ′＝－sin4x . 解法二：y ′＝(sin 4x )′＋(cos 4x )′＝4sin 3x (sin x )′＋4cos 3x (cos x )′ ＝4sin 3x cos x ＋4cos 3x (－sin x )＝4sin x cos x (sin 2x －cos 2x ) ＝－2sin2x cos2x ＝－sin4x .4.已知函数f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________.答案 32解析 ∵f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1，∴f ′(1)＝32. 5．函数y ＝2cos 2x 在x ＝π12处的切线斜率为________． 答案 －1解析 由函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ，得y ′＝(1＋cos 2x )′＝－2sin 2x ，所以函数在x ＝π12处的切线斜率为－2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＝－1. 6．曲线y ＝2e x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 e 2解析 y ′＝122e x ， 切线的斜率k ＝12e 2， 则切线方程为y －e 2＝e 22(x －4)， 令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴切线与坐标轴围成的面积为12×2×|－e 2|＝e 2.。
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题精品资料欢迎下载复合函数求导练题一、选择题（共26小题）1.设$f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}$，则$f'(2)=\frac{1}{9}$。
2.设函数$f(x)=g(x)+x+\ln x$，曲线$y=g(x)$在点$(1,g(1))$处的切线方程为$y=2x+1$，则曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x+2$。
3.下列式子不正确的是$(2sin2x)'=2cos2x$。
4.设$f(x)=sin2x$，则$f''(\frac{\pi}{4})=-1$。
5.函数$y=cos(2x+1)$的导数是$y'=-2sin(2x+1)$。
6.下列导数运算正确的是$(x^2)'=2x$。
7.下列式子不正确的是$(3x^2+xcosx)'=6x+cosx-xsinx$。
8.已知函数$f(x)=e^{2x}-3x$，则$f'(0)=2$。
9.函数$f(x)=\frac{1}{1+e^x}$的导数是$f'(x)=-\frac{e^x}{(1+e^x)^2}$。
10.已知函数$f(x)=sin2x$，则$f'(x)=2cos2x$。
11.$y=e^{sinx\ cosx\ sinx}$，则$y'=\frac{d}{dx}(e^{sinx\ cosx\ sinx})=cosx\ cos^2x\ e^{sinx\ cosx\ sinx}$，所以$y'(-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
12.下列求导运算正确的是$(e^{2x})'=2e^{2x}$。
13.若$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{1-x}}$，则函数$f(x)$可以是$ln\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$。
高一数学简单复合函数的求导法则试题
高一数学简单复合函数的求导法则试题1.（2014•榆林模拟）要得到函数的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的2倍（横坐标不变）C．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）【答案】D【解析】由题意可得f'（x）=2cos（2x+）==2sin[2（x+）+]，而由y=sin（2x+）y=2sin[2（x+）+]=f′（x），分析选项可判断解：∵的导函数f'（x）=2cos（2x+）==2sin[2（x+）+]而由y=sin（2x+）y=2sin[2（x+）+]=f′（x）故选D点评：本题主要考查三角函数的平移．复合函数的求导的应用，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．2.（2012•桂林模拟）设a∈R，函数f（x）=e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2B．﹣ln2C．D．【答案】A【解析】已知切线的斜率，要求切点的横坐标必须先求出切线的方程，我们可从奇函数入手求出切线的方程．解：对f（x）=e x+a•e﹣x求导得f′（x）=e x﹣ae﹣x又f′（x）是奇函数，故f′（0）=1﹣a=0解得a=1，故有f′（x）=e x﹣e﹣x，设切点为（x0，y），则，得或（舍去），得x=ln2．点评：熟悉奇函数的性质是求解此题的关键，奇函数定义域若包含x=0，则一定过原点．3.（2012•德阳三模）已知，将函数的图象按向量平移后，所得图象恰好为函数y=﹣f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数）的图象，则c的值可以为（）A．B．πC．D．【答案】D【解析】先根据辅助角公式进行化简，f（x）=cos（x+），按向量平移后得到y=cos（x﹣c+）的图象．由题意可得cos（x﹣c+）=sin（x+），从而得到c的值．解：∵f（x）==cosx﹣sinx=cos（x+），把函数的图象按向量平移后，所得图象对应的函数为y=cos（x﹣c+）．而﹣f′（x）=sin（x+），平移后，所得图象恰好为函数y=﹣f′（x），故cos（x﹣c+）=sin（x+），故可让c=，故选 D．点评：本题主要考查三角函数按照向量进行平移．其关键是要把向量的平移转化为一般的平移，然后根据三角函数的平移原则为左加右减上加下进行平移．4.设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8C．y=2x+2D．【答案】A【解析】据曲线在切点处的导数值为曲线切线的斜率，求g′（1）进一步求出f′（1），由点斜式求出切线方程．解：由已知g′（1）=2，而，所以f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，又g（1）=3，故f（1）=g（1）+1+ln1=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，故选A．点评：本题考查曲线在切点处的导数值为曲线切线的斜率．5.已知y=f（x）=ln|x|，则下列各命题中，正确的命题是（）A．x＞0时，f′（x）=，x＜0时，f′（x）=﹣B．x＞0时，f′（x）=，x＜0时，f′（x）无意义C．x≠0时，都有f′（x）=D．∵x=0时f（x）无意义，∴对y=ln|x|不能求导【答案】C【解析】利用绝对值的意义将函数中的绝对值去掉转换为分段函数；利用基本的初等函数的导数公式及复合函数的求导法则：外函数的导数与内函数的导数的乘积，分别对两段求导数，两段的导数合起来是f（x）的导数．解：根据题意，f（x）=，分两种情况讨论：（1）x＞0时，f（x）=lnx⇒f'（x）=（lnx）'=．（2）x＜0时f（x）=ln（﹣x）⇒f'（x）=[ln（﹣x）]'=（这里应用定义求导．）故选C点评：本题考查绝对值的意义、考查分段函数的导数的求法、考查基本初等函数的导数公式及简单的复合函数的求导法则．6.为得到函数y=sin（2x+）的导函数图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有点的（）A．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标向左平移D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移【答案】C【解析】求出函数的导数，利用诱导公式化为正弦函数的形式，然后利用函数的平移原则，判断正确选项即可．解：函数y=sin（2x+）的导函数为y=2cos（2x+）=2sin（2x+），所以只需把函数y=sin2x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y=2sin2x的图象，横坐标向左平移，得到y=2sin2（x+）的图象，即y=2sin（2x+）=2cos（2x+）．故选C．点评：本题主要考查复合函数的导数，诱导公式以及三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．7.函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）【答案】C【解析】设H（x）=f（u），u=g（x），则H′（x）=f′（u）g′（x）．解：设y=sinu，u=2x2+x，则y′=cosu，u′=4x+1，∴y′=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），故选C．点评：牢记复合函数的导数求解方法，在实际学习过程中能够熟练运用．8.函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x【答案】D【解析】将f（x）=sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．解：将y=sin2x写成，y=u2，u=sinx的形式．对外函数求导为y′=2u，对内函数求导为u′=cosx，故可以得到y=sin2x的导数为y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x故选D点评：考查学生对复合函数的认识，要求学生会对简单复合函数求导．9.已知函数f（x﹣1）=2x2﹣x，则f′（x）=（）A．4x+3B．4x﹣1C．4x﹣5D．4x﹣3【答案】A【解析】令x﹣1=t求出f（x）的解析式；利用导函数的运算法则求出f′（x）．解：令x﹣1=t，则x=t+1所以f（t）=2（t+1）2﹣（t+1）=2t2+3t+1所以f（x）=2x2+3x+1∴f′（x）=4x+3故选A点评：本题考查通过换元法求出函数的解析式、考查导数的四则运算法则．10.若函数f（x）=，则f′（x）是（）A．仅有最小值的奇函数B．仅有最大值的偶函数C．既有最大值又有最小值的偶函数D．非奇非偶函数【答案】C【解析】先求导，转化为二次函数型的函数并利用三角函数的单调性求其最值，再利用函数的奇偶性的定义进行判断其奇偶性即可．解：∵函数f（x）=，∴f′（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=，当cosx=时，f′（x）取得最小值；当cosx=1时，f′（x）取得最大值2．且f′（﹣x）=f′（x）．即f′（x）是既有最大值，又有最小值的偶函数．故选C．点评：熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函数的奇偶性是解题的关键．。
复合函数求导练习题
y=u2，u=sinx的形式．
对外函数求导为y′=2u，
对内函数求导为u′=cosx，
故可以得到y=sin2x的导数为
y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x
故选D
22．（2010春•朝阳区期末）函数 的导函数是（ ）
A．f'（x）=2e2xB．
C． D．
【解答】解：对于函数 ，
C． D．
8．已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（ ）
A．0B．﹣2C．2e﹣3D．e﹣3
9．函数 的导数是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（ ）
A．cos2xB．﹣cos2xC．sinxcosxD．2cos2x
11．y=esinxcosx（sinx），则y′（0）等于（ ）
【解答】解：函数的导数y′=﹣sin（2x+1）（2x+1）′=﹣2sin（2x+1），
故选：C
6．（2014春•福建月考）下列导数运算正确的是（ ）
A．（x+ ）′=1+ B．（2x）′=x2x﹣1C．（cosx）′=sinxD．（xlnx）′=lnx+1
【解答】解：根据导数的运算公式可得：
A，（x+ ）′=1﹣ ，故A错误．
B，（2x）′=lnx2x，故B错误．
C，（cosx）′=﹣sinx，故C错误．
D．（xlnx）′=lnx+1，正确．
故选：D
7．（2013春•海曙区校级期末）下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinxB．（sin2x）′=2cos2x
专升本求导练习题及答案
专升本求导练习题及答案### 专升本求导练习题及答案#### 练习题一：基本求导公式题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) 的导数。
解答：根据求导的基本公式，\( (x^n)' = nx^{n-1} \)，我们可以逐项求导：- 对于 \( 3x^2 \)，导数为 \( 2 \times 3x = 6x \)。
- 对于 \( 2x \)，导数为 \( 1 \times 2 = 2 \)。
- 对于常数项 \( -5 \)，导数为 \( 0 \)。
因此，\( f'(x) = 6x + 2 \)。
#### 练习题二：复合函数求导题目：求函数 \( g(x) = (2x^3 - 1)^4 \) 的导数。
解答：使用链式法则求导，设 \( u(x) = 2x^3 - 1 \)，则 \( g(x) = u^4 \)。
- 首先求 \( u(x) \) 的导数：\( u'(x) = 6x^2 \)。
- 然后应用链式法则：\( g'(x) = 4u^3 \cdot u'(x) \)。
- 代入 \( u(x) \) 和 \( u'(x) \) 的值：\( g'(x) = 4(2x^3 -1)^3 \cdot 6x^2 \)。
#### 练习题三：隐函数求导题目：已知 \( xy^3 + y\sin(x) = 1 \)，求 \( y \) 关于 \( x \) 的导数 \( \frac{dy}{dx} \)。
解答：首先对等式两边同时对 \( x \) 求导：- 对 \( xy^3 \) 求导，使用乘积法则：\( y^3 + 3xy^2 \cdot\frac{dy}{dx} \)。
- 对 \( y\sin(x) \) 求导，同样使用乘积法则：\( \sin(x) +y\cos(x) \cdot \frac{dy}{dx} \)。
将求导结果代入原方程，得到：\[ y^3 + 3xy^2 \cdot \frac{dy}{dx} + \sin(x) + y\cos(x) \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \]将含有 \( \frac{dy}{dx} \) 的项移到方程一边，解出\( \frac{dy}{dx} \)：\[ \frac{dy}{dx} (3xy^2 + y\cos(x)) = -y^3 - \sin(x) \]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{-y^3 - \sin(x)}{3xy^2 + y\cos(x)} \]#### 练习题四：参数方程求导题目：已知参数方程 \( x = t^2 \)，\( y = \sin(t) \)，求 \( y \) 关于 \( x \) 的导数 \( \frac{dy}{dx} \)。
复合函数求导例题
复合函数求导例题问题描述考虑函数y=f(g(x))，其中f(x)和g(x)均可导。
现给定 $f(x)=\\sqrt{x}$ 和g(x)=x2，求复合函数y=f(g(x))的导数。
解法分析要求复合函数的导数，一种有效的方法是使用链式法则。
根据链式法则，如果有函数y=f(u)和u=g(x)，那么y对于x的导数可表示为：$$ \\frac{{\\mathrm{d}y}}{{\\mathrm{d}x}}=\\frac{{\\mathrm{d}y}}{{\\mat hrm{d}u}}\\cdot\\frac{{\\mathrm{d}u}}{{\\mathrm{d}x}} $$应用链式法则，我们可以得到复合函数的导数。
解法步骤根据链式法则，我们可以按以下步骤求解复合函数y=f(g(x))的导数：1.先求f(x)对u的导数 $\\frac{{\\mathrm{d}f}}{{\\mathrm{d}u}}$2.再求u=g(x)对x的导数$\\frac{{\\mathrm{d}u}}{{\\mathrm{d}x}}$3.最后将两个导数乘积，得到复合函数的导数$\\frac{{\\mathrm{d}y}}{{\\mathrm{d}x}}=\\frac{{\\mathrm{d}f}}{{\\mathr m{d}u}}\\cdot\\frac{{\\mathrm{d}u}}{{\\mathrm{d}x}}$解法推导首先，求 $f(x)=\\sqrt{x}$ 对u的导数$\\frac{{\\mathrm{d}f}}{{\\mathrm{d}u}}$：$$ \\frac{{\\mathrm{d}f}}{{\\mathrm{d}u}}=\\frac{1}{{2\\sqrt{u}}} $$然后，求u=g(x)=x2对x的导数$\\frac{{\\mathrm{d}u}}{{\\mathrm{d}x}}$：$$ \\frac{{\\mathrm{d}u}}{{\\mathrm{d}x}}=2x $$将导数相乘，得到复合函数的导数$\\frac{{\\mathrm{d}y}}{{\\mathrm{d}x}}$：$$ \\frac{{\\mathrm{d}y}}{{\\mathrm{d}x}}=\\frac{{\\mathrm{d}f}}{{\\math rm{d}u}}\\cdot\\frac{{\\mathrm{d}u}}{{\\mathrm{d}x}}=\\frac{1}{{2\\sqrt{u}}} \\cdot2x $$最后，将u=g(x)=x2带入，并化简导数表达式，得到：$$ \\frac{{\\mathrm{d}y}}{{\\mathrm{d}x}}=\\frac{1}{{2\\sqrt{x^2}}}\\cdot 2x=\\frac{x}{{\\sqrt{x^2}}}=\\frac{x}{|x|} $$结论经过推导，我们得到复合函数 $y=f(g(x))=\\sqrt{x^2}$ 的导数为$\\frac{{\\mathrm{d}y}}{{\\mathrm{d}x}}=\\frac{x}{|x|}$。