函数中的倒序相加
高中数学数列求和题解题方法技巧
高中数学数列求和题解题方法技巧数列求和的七种解法1.公式法：顾名思义就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行求解。
2.倒序相加：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。
例如等差数列的求和公式，就可以用该方法进行证明。
3.错位相减：形如An=Bn∙Cn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。
对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{An}的前n项和。
这种数列求和方式叫做错位相减。
4.裂项相消：把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这种数列求和方式叫做裂项相消。
5.分组求和：有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列适当的拆开，就会分成若个等差，等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。
6.周期数列：一般地，若数列{an}满足：存在一个最小的正整数T，使得an+T=an对于一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，接下来根据数列的周期性进行求和。
7.数学归纳法：是一种重要的数学方法，其对求数列通项，求和的归纳猜想证明起到了关键作用。
高中数学解题方法实用技巧1解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
高中数学数列倒序相加法归纳总结5(含答案)
高中数学倒序相加法归纳总结5（含答案）一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n个图案中正六边形的个数是f(n).由f(1)=1，f(2)=7，f(3)=19，…，可推出f(10)= ()A. 271B. 72C. 73D. 74【答案】A【解析】解：由于：(1)f(4)=37，f(5)=61．由于：f(2)−f(1)=7−1=6，f(3)−f(2)=19−7=2×6，f(4)−f(3)=37−19=3×6，f(5)−f(4)=61−37=4×6，因此：当n≥2时，有f(n)−f(n−1)=6(n−1)，所以：f(n)=[f(n)−f(n−1)]+[f(n−1)−f(n−2)]+⋯+[f(2)−f(1)]+f(1)= 6[(n−1)+(n−2)+⋯+2+1]+1=3n2−3n+1．又：f(1)=1=3×12−3×1+1，所以：f(n)=3n2−3n+1．所以：f(10)=3×102−3×10+1=271．故选：A．根据图象的规律可得f(4)和f(5)的值．根据相邻两项的差的规律可分析得出f(n)−f(n−1)=6(n−1)，进而根据合并求和的方法求得f(n)的表达式，即可求得f(10)的值．本题主要考查了数列的求和问题．数列的求和是数列的重要内容之一，出等差数列和等比数列外，大部分的数列求和都需要一定的技巧，如裂项法、倒序相加，错位相减，分组求和等．2. 已知a n =f(0)+f(1n )+f(2n )+⋯+f(n−1n)+f(1)(n ∈N ∗)，又函数F(x)=f(x +12)−1是R 上的奇函数，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A. S n =n 2B. S n =n(n+1)2C. S n =n(n+2)2D. S n =n(n+3)2【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数列的求和方法：倒序相加求和，考查函数的奇偶性的定义和运用，考查化简运算能力，属于中档题．由奇函数的定义可得f(−x +12)+f(x +12)=2，即为f(x)+f(1−x)=2，再由数列的倒序相加求和，化简可得所求和． 【解答】解：函数F(x)=f(x +12)−1是R 上的奇函数，可得F(−x)=−F(x)，即为：f(−x +12)−1=−f(x +12)+1， 即f(−x +12)+f(x +12)=2， 即为f(x)+f(1−x)=2， 由a n =f(0)+f(1n )+f(2n )+⋯+f(n−1n)+f(1)，可得a n =f(1)+f(n−1n)+⋯+f(1n )+f(0)，两式相加可得2a n =[f(0)+f(1)]+[f(1n )+f(n−1n)]+⋯+[f(1)+f(0)]=2(n +1)，故a n =n +1， 所以S n =n(n+3)2．故选D ．3. 已知函数f(x)=x 21+x2，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(12)+f(13)+f(14)=( ) A. 3B. 4C. 72D. 92【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒序相加法，属于中档题．先得出f (x )+f (1x )=1，再由倒序相加法求和即可． 【解答】解：因为f (x )=x 21+x 2，所以f (1x )=(1x)21+(1x)2=1x 2+1，所以f (x )+f (1x )=1，记M =f (4)+f (3)+f (2)+f (1)+f (12)+f (13)+f (14)， 则M =f (14)+f (13)+f (12)+f (1)+f (2)+f (3)+f (4)， 所以2M =7[f (4)+f (14)]=7，故f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (12)+f (13)+f (14)=72． 故选C ．4. 已知函数f(x)=11+x 2(x ∈R)，若等比数列{a n }满足a 1a 2019=1，f (a 1)+f (a 2)+⋯⋯+f (a 2019)=( )A.20192B. 2019C. 2D. 12【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用等比数列的性质及倒序相加求和问题，属于中档题． 根据函数的性质得f (x )+f (1x )=11+x 2+11+1x 2=1+x 21+x 2=1，再计算结果．【解答】解：由题意得a 1a 2019=1， 又{a n }是等比数列，有a 2018·a 2=a 2017·a 3=⋯=a 1009·a 1011=a 10102=1，因为f (x )=11+x 2，所以f (x )+f (1x )=11+x 2+11+1x 2=1+x 21+x 2=1，故有f(a 2019)+f(a 1)=1，f(a 2018)+f(2)=1，…，f(a 1009)+f(a 1011)=1，2f(a 1010)=1，令T =f (a 1)+f (a 2)+⋯⋯f (a 2019)，则T =f (a 2019)+f (a 2018)+⋯⋯+f (a 2)+f (a 1)，所以2T =f (a 1)+f (a 2019)+f (a 2)+f (a 2018)+⋯⋯+f (a 2019)+f (a 1)=2019， 所以T =20192．故选A ．5. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对1+2+3+⋯+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数f(x)=2x3m+6057(m >0)，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(m +2018)等于( )A.m+20183B.2m+40363C.m+40366D.2m+40376【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求函数值，考查倒序相加法，属于基础题． 正确应用倒序相加原理是解题的关键． 【解答】解：f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(m +2018) =2×13m+6057+2×23m+6057+⋯+2(m+2017)3m+6057+2(m+2018)3m+6057，又f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(m +2018) =2(m+2018)3m+6057+2(m+2017)3m+6057+⋯+2×23m+6057+2×13m+6057 ，两式相加可得f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(m +2018)=2m+40366=m+20183．故选A ．6. 已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)=2−f(2−x)，若函数y =x+1x−1与y =f(x)的图象交点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),⋯,(x m ,y m )，则∑(m i=1x i +y i )=( )A. 0B. 2mC. 4mD. m【答案】B 【解析】【分析】本题考查抽象函数的运用，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．由题意可得f(x)关于点(1,1)对称，函数y =x+1x−1=1+2x−1的图象关于点(1,1)对称，再根据对称性即可得到答案． 【解答】解：函数f(x)(x ∈R)满足f(x)=2−f(2−x)， 即为f(x)+f(2−x)=2， 可得f(x)关于点(1,1)对称，函数y =x+1x−1=1+2x−1的图象关于点(1,1)对称，即有(x 1,y 1)为交点，(2−x 1,2−y 1)也为交点，(x 2,y 2)为交点，(2−x 2,2−y 2)也为交点，...则有∑(x i +y i )m i=1=(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+⋯+(x m +y m )=12[(x 1+y 1)+(2−x 1+2−y 1)+(x 2+y 2)+(2−x 2+2−y 2)+⋯+(x m +y m )+(2−x m +2−y m )]=2m ． 故选B ．7. 已知F(x)=f(x +12)−1是R 上的奇函数，a n =f(0)+f(1n )+...+f(n−1n)+f(1)(n ∈N ∗)，则数列{a n }的通项公式为( )A. a n =n −1B. a n =nC. a n =n +1D. a n =n 2【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数奇偶性在解题中的运用以及数列求和方法，属于中档题． 利用条件得到f (x )+f (1−x )=2后，对等式倒序相加即可求出． 【解答】解：由F (−x )=−F (x )得到f (12+x)+f (12−x)=2， 令x 为x −12得f (x )+f (1−x )=2， 所以f (kn )+f (n−k n)=2，由a n =f (0)+f (1n )+...+f (n−1n)+f (1)，可得a n =f (1)+f (n−1n)+...+f (1n )+f (0)，两式相加，可得2a n =2(n +1)， 所以a n =n +1． 故选C ．8. 设函数f(x)=22x +1，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，求得f(−5)+f(−4)+⋯+f(0)+⋯+f(4)+f(5)的值为( )A. 9B. 11C. 92D. 112【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得f(x)+f(−x)=2是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．由题意求得f(x)+f(−x)=2，设s =f(−5)+f(−4)+⋯+f(0)+⋯+f(4)+f(5)，则s =f(5)+f(4)+⋯+f(0)+⋯+f(−4)+f(−5)，两式相加，计算可得所求和． 【解答】解：函数f(x)=22x +1，可得f(−x)=22−x +1=2⋅2x1+2x ，则f(x)+f(−x)=2(1+2x )1+2x =2，设s =f(−5)+f(−4)+⋯+f(0)+⋯+f(4)+f(5)， 则s =f(5)+f(4)+⋯+f(0)+⋯+f(−4)+f(−5)，相加可得2s =[f(−5)+f(5)]+[f(−4)+f(4)]+⋯+2f(0)+⋯+[f(4)+f(−4)]+[f(5)+f(−5)]=2+2+⋯+2+⋯+2+2=2×11， 可得s =11． 故选：B ．9. 已知函数f(x)=x +sinπx −3，则f(12017)+f(22017)+f(32017)+⋯+f(40332017)的值为( )A. 4033B. −4033C. 8066D. −8066【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，解题的关键是推导出f(x)+f(2−x)=−4．推导出f(x)+f(2−x)=−4，由此能求出f(12017)+f(22017)+f(32017)+⋯+f(40332017)=2016×(−4)+f(20172017)的值．【解答】解：∵函数f(x)=x +sinπx −3，∴f(x)+f(2−x)=x +sinπx −3+[(2−x)+sin(2−x)π−3]=−4，∴f(12017)+f(22017)+f(32017)+⋯+f(40332017)=2016×(−4)+f(20172017) =−8064+1+sinπ−3=−8066． 故选：D ．二、单空题（本大题共7小题，共35.0分）10. 若f(x)+f(1−x)=2,a n =f(0)+f(1n )+f(2n )+...+f(n−1n)+f(1)(n ∈N ∗)，则数列{a n }的通项公式是___________． 【答案】a n =n +1 【解析】 【分析】本题考查倒序相加法求和，重点考查推理能力和计算能力，属于基础题型．根据自变量的和为1时，函数值的和为2，运用数列的求和方法，倒序相加法求和，计算数列的通项公式． 【解答】解：a n =f (0)+f (1n )+f (2n )+...+f (n−1n )+f (1)，a n =f (1)+f (n−1n)+...+f (2n )+f (1n )+f (0) ，两式相加可得2a n =[f (0)+f (1)]+[f (1n )+f (n−1n)]+...+[f (n−1n)+f (1n )]+[f (1)+f (0)]，2a n =2(n +1)， 所以a n =n +1 ． 故答案为：a n =n +1．11. f(x)=2x2x−1，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (12021)+f (22021)+⋅⋅⋅+f (20202021)=______． 【答案】2020 【解析】 【分析】本题考查借助倒序相加求函数值的和，属于中档题．先证得f(x)+f(1−x)=2，利用倒序相加法求得表达式的值． 【解答】解： 因为f(x)=2x2x−1，所以f(1−x)=2(1−x )2(1−x )−1=2x−22x−1， 因此f(x)+f(1−x)=2x2x−1+2x−22x−1 =2(2x−1)2x−1=2，所以令S =f (12021)+f (22021)+⋯+f (20202021)， 则S =f (20202021)+f (20192021)+⋯+f (12021)， 两式相加得，2S =2020×2， 故S =2020． 故答案为2020．12. 已知函数f (x )=3x3x +1，(x ∈R )，正项等比数列{a n }满足a 50=1，则f (lna 1)+f (lna 2)+⋯+f (lna 99)等于______． 【答案】992 【解析】【分析】本题考查等比数列的性质的应用，考查倒序相加法的应用，属于中档题． 由条件得f(x)+f(−x)=1.利用倒序相加法即可求得结果． 【解答】 解：因为f(x)=3x 3x +1，所以f(x)+f(−x)=3x 3x +1+3−x 3−x +1=1．因为数列{a n }是等比数列，所以a 1a 99=a 2a 98=⋯=a 49a 51=a 502=1，即ln a 1+ln a 99=ln a 2+ln a 98=⋯=ln a 49+ln a 51=0．∴f(ln a 1)+f(ln a 99)=f(ln a 2)+f(ln a 98)=⋯=f(ln a 99)+f(ln a 1)=1 设S 99=f(ln a 1)+f(ln a 2)+f(ln a 3)+⋯+f(ln a 99)①， 又S 99=f(ln a 99)+f(ln a 98)+f(ln a 97)+⋯+f(ln a 1)②， ①+②，得2S 99=99，所以S 99=992．13. 已知，则．【答案】1008 【解析】 【分析】此题考查利用倒序相加求数列的和，关键是f(x)+f(1−x)=4x4x +2+41−x41−x +2=4x4x +2+44+2×4x=1的应用．【解答】解：因为f(x)+f(1−x)=4x4x +2+41−x41−x +2=4x4x +2+44+2×4x =1， 所以令S =f(12017)+f(22017)+⋯+f(20162017)， 则S =f(20162017)+⋯+f(22017)+f(12017)，两式相加得2S=2016[f(12017)+f(20162017)]=2016，所以S=1008．故答案为1008．14.已知lg x+lg y=1，且S n=lg x n+lg(x n−1y)+lg(x n−2y2)+⋯+lg(xy n−1)+lg y n，则S n=________．【答案】n(n+1)2【解析】【分析】本题考查对数的运算及倒序相加求和，属中档题。
倒序相加教案
倒序相加教案教案标题：倒序相加教案教案目标：1. 学生能够理解倒序相加的概念和方法。
2. 学生能够运用倒序相加的方法解决简单的数学问题。
3. 学生能够将倒序相加的方法应用于实际生活中的情境。
教学重点：1. 倒序相加的概念和方法。
2. 运用倒序相加解决数学问题。
3. 将倒序相加应用于实际生活情境。
教学难点：1. 学生理解倒序相加的概念和方法。
2. 学生能够独立运用倒序相加解决数学问题。
3. 学生能够将倒序相加方法应用于实际生活情境。
教学准备：1. 教师准备一些倒序相加的数学问题和实际生活情境。
2. 准备白板、彩色粉笔或白板笔。
3. 准备学生练习册或工作纸。
教学过程：引入：1. 教师可以通过一个简单的数学问题引入倒序相加的概念，例如：17 + 23 = ? 请学生思考如何解决这个问题。
讲解：1. 教师向学生讲解倒序相加的概念：倒序相加是指从个位数开始相加，然后逐位向前相加。
2. 教师通过示例向学生演示倒序相加的方法，例如：17 + 23 = 70 + 10 + 7 + 3 = 90 + 10 = 100。
3. 教师解释倒序相加的原理和步骤，强调每一位数相加时要进位。
练习：1. 教师提供一些倒序相加的练习题，要求学生独立完成。
2. 学生完成练习后，教师逐一核对答案并给予反馈。
应用：1. 教师提供一些实际生活情境，要求学生运用倒序相加的方法解决问题，例如：在超市购物，计算购买的商品价格总和。
2. 学生独立完成应用题后，教师与学生一起讨论解决方法和答案。
总结：1. 教师与学生一起回顾倒序相加的概念和方法。
2. 学生分享他们在解决练习题和应用题中的体会和困惑。
3. 教师解答学生的问题，并强调倒序相加的重要性和实际应用。
拓展：1. 针对学生掌握情况，教师可以提供更多的倒序相加练习题和实际应用情境，以巩固学生的学习成果。
2. 鼓励学生在日常生活中寻找更多倒序相加的实际应用情境，并与同学分享。
教学反思：1. 教师可以通过观察学生在练习和应用过程中的表现来评估他们对倒序相加的理解和运用能力。
专题08 数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和(解析版)
数列求和-倒序相加、绝对值、奇偶性求和◆倒序相加法求和等差数列的求和公式()12n n n a a S +=,其过程正是利用倒序相加的原理.这类题之所以能够利用倒序相加来求和,是因为其自身具备明显的特征,那就是首项与末项相加为定值.一般题中出现12x x k +=(k 为常数),()()12f x f x m +=(m 为常数)时,可以采用倒序相加的方法进行求和.【经典例题1】已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有()()11f x f x +-=，数列{}n a 满足()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭.求数列{}n a 的通项公式. 【答案】12n n a += 【解析】因为()()11f x f x +-=，∴111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭.① ∴()121n n n a f f f n n --⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()01f n f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.② ∴①+②，得21n a n =+，∴12n n a +=. 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a +=.【练习1】已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且120191a a =，试用推导等差数列前n 项和的方法探求：若24()1f x x=+，则()()()122019f a f a f a +++=（ ）A ．2018B ．4036C ．2019D ．4038【答案】D 【解析】120191a a ⋅=，∵函数24()1f x x =+ ∵222214444()41111+⎛⎫+=+== ⎪++⎝⎭+x f x f x x x x， 令122019()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+，则201920181()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+， ∵()()()()()()120192201820191242019T f a f a f a f a f a f a =++++⋅⋅⋅++=⨯， ∵4038T =. 故选：D.【练习2】已知函数1()1f x x =+，数列{}n a 是正项等比数列，且101a =，则()()()()()1231819f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++=__________．【答案】192【解析】函数1()1f x x =+，当0x >时，1111()()111111xf x f x x x xx+=+=+=++++， 因数列{}n a 是正项等比数列，且101a =，则2119218317101a a a a a a a =====，119111()()()()1f a f a f a f a +=+=，同理2183171010()()()()()()1f a f a f a f a f a f a +=+==+=，令()()()()()1231819S f a f a f a f a f a =+++++， 又()()()()()19181721S f a f a f a f a f a =+++++，则有219S =，192S =， 所以()()()()()1231819192f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++=. 故答案为：192【练习3】已知()442xx f x =+，求122010201120112011f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】1005. 【解析】因为()442x x f x =+，所以()1144214242442x x x x f x ---===++⨯+，所以()()11f x f x +-=.令12200920102011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，倒写得20102009212011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相加得22010S =，故1005S =.【练习4】函数()f x 对任意x ∈R ,都有1()(1)2f x f x +-=. (I)求12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值;(II)若数列{}n a 满足11(0)(1)n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,数列{}n a 是等差数列吗?【解析】(I)令 12x =,得1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (II)已知函数()f x 对任意x ∈R ,都有1()(1)2f x f x +-=,可得 11(0)(1)11(1)(0)n n n a f f f f n n n a f f f f n n ⎧-⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨-⎛⎫⎛⎫⎪=++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩由两式相加可得11(1)112(2)244n n n n n a a a n -++==⇒-=故数列{}n a 是等差数列.◆数列绝对值求和(1)对于首项小于0而公差大于0的等差数列{}n a 加绝对值后得到的数列{}n a 求和,设{}n a 的前n 项和为 {},n n S a 的前n 项和为n T ,数列{}n a 的第k 项小于0而从第1k +项开始大于或等于0,于是有 ,;2,n n nk S n k T S S n k -⎧=⎨->⎩(2)对于首项大于0而公差小于0的等差数列{}n a 加绝对值后得到的数列{}n a 求和,设{}n a 的前n 项和为 {},n n S a 的前n 项和为n T ,数列{}n a 的第k 项大于0而从第1k +项开始小于或等于0,于是有 ,2,n n kn S n k T S S n k ⎧=⎨->⎩ 。
高中数学一轮复习之函数之导数求和之倒序相加与错位相减法
高中数学一轮复习之函数之导数求和之倒序相加与错位相减法引言在高中数学的研究中，函数是一个非常重要的概念，而导数则是函数中的一种重要工具。
本文将介绍函数的导数求和的两种方法，即倒序相加法和错位相减法。
函数的导数求和之倒序相加法倒序相加法是一种常用的方法，用于计算函数的导数的和。
具体步骤如下：1. 首先，找到函数的导数表达式，并按照x的幂次从高到低的顺序列出。
2. 然后，将每个导数的表达式从高到低的顺序相加，并化简。
3. 最后，得到函数的导数的和。
例如，对于函数f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1，求其导数的和的过程如下：1. 求导数：f'(x) = 9x^2 + 4x - 5。
2. 将导数的表达式按照x的幂次从高到低的顺序相加：9x^2 + 4x - 5。
3. 化简得到函数的导数的和：9x^2 + 4x - 5。
函数的导数求和之错位相减法错位相减法是另一种常用的方法，用于计算函数的导数的和。
具体步骤如下：1. 首先，找到函数的导数表达式，并按照x的幂次从高到低的顺序列出。
2. 然后，将相邻导数的表达式相减。
3. 最后，得到函数的导数的和。
例如，对于函数f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1，求其导数的和的过程如下：1. 求导数：f'(x) = 9x^2 + 4x - 5。
2. 将相邻导数的表达式相减：(9x^2 - 4x) + (4x - 5)。
3. 化简得到函数的导数的和：9x^2 - 5。
结论函数的导数求和是高中数学中的重要内容。
本文介绍了倒序相加法和错位相减法这两种常用的方法。
通过这些方法，我们可以得到函数的导数的和，进一步理解函数的性质和变化规律。
在数学一轮复中，掌握这些方法对于应对考试和解决实际问题都具有重要意义。
高一数学复习考点知识讲解课件57---倒序相加求和、裂项相消法
高一数学复习考点知识讲解课件倒序相加求和、裂项相消法考点知识1.熟练掌握等差数列与等比数列的前n项和公式.2.根据数列的结构形式会用倒序相加法和裂项相消法求和．一、倒序相加求和例1已知数列{a n}的通项公式为a n＝n－2(n∈N*)，设f(x)＝x＋log22＋x8－x，则数列{f(a n)}的各项之和为()A．36 B．33 C．30 D．27 答案D解析由f(x)＝x＋log22＋x8－x ，知2＋x8－x>0，解得－2<x<8.所以－2<a n<8.又因为a n＝n－2，所以满足f(a n)的a n所有的取值为－1,0,1,2，…，7，即a1，a2，…，a9.因为f(6－x)＝6－x＋log28－x2＋x，所以f(x)＋f(6－x)＝6.所以数列{f(a n)}的各项之和S＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝f(－1)＋f(0)＋…＋f(7)．因为S＝f(7)＋f(6)＋…＋f(－1)，所以2S＝[f(－1)＋f(7)]＋[f(0)＋f(6)]＋…＋[f(7)＋f(－1)]＝6×9＝54.所以S ＝27.反思感悟倒序相加法求和适合的题型一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n 项和公式的方法，倒序相加求和．跟踪训练1在推导等差数列前n 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________.答案44.5⎝ ⎛⎭⎪⎫或892 解析令S ＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°，则S ＝sin 289°＋sin 288°＋…＋sin 21°，两式相加可得2S ＝()sin 21°＋sin 289°＋()sin 22°＋sin 288°＋…＋()sin 289°＋sin 21°＝89， 故S ＝44.5，即sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝44.5.二、裂项相消法问题已知数列a n ＝1n (n ＋1)，如何求{a n }的前n 项和S n . 提示a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 知识梳理常见的裂项求和的形式：①1n (n ＋k )＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； ③2n (2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1； ④1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)； ⑤1n ＋1＋n＝n ＋1－n ； ⑥ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n . 注意点：(1)裂项前要先研究分子与分母的两个因式的差的关系；(2)若相邻项无法相消，则采用裂项后分组求和，即正项一组，负项一组；(3)检验所留的正项与负项的个数是否相同．例2已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 2＝2，S 4＝16，{a n ＋1}是等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a n >0，设b n ＝log 2(3a n ＋3)，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和．解(1)设等比数列{a n ＋1}的公比为q ，其前n 项和为T n ，因为S 2＝2，S 4＝16，所以T 2＝4，T 4＝20，易知q ≠1，所以T 2＝(a 1＋1)(1－q 2)1－q＝4，① T 4＝(a 1＋1)(1－q 4)1－q＝20，② 由②①得1＋q 2＝5，解得q ＝±2. 当q ＝2时，a 1＝13，所以a n ＋1＝43×2n －1＝2n ＋13；当q ＝－2时，a 1＝－5，所以a n ＋1＝(－4)×(－2)n －1＝－(－2)n ＋1.所以a n ＝2n ＋13－1或a n ＝－(－2)n ＋1－1.(2)因为a n >0，所以a n ＝2n ＋13－1，所以b n ＝log 2(3a n ＋3)＝n ＋1，所以1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n 2(n ＋2). 反思感悟(1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的．(2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．(3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 跟踪训练2设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3.(1)求a n ；(2)设b n ＝1S n，求数列{b n }的前n 项和T n . 解(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，(a 1＋7d )－2(a 1＋2d )＝3，解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)由(1)得S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (n ＋2)，∴b n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.1．知识清单：(1)倒序相加法求和．(2)裂项相消求和．2．方法归纳：倒序相加法、裂项求和法．3．常见误区：裂项求和中要关注正项与负项的个数是否相同及相消后前后剩余的项数．1．已知a n＝1n＋1＋n()n∈N*，则a1＋a2＋a3＋…＋a80等于()A．7B．8C．9D．10 答案B解析因为a n＝1n＋1＋n＝n＋1－n()n∈N*，所以a1＋a2＋a3＋…＋a80＝2－1＋3－2＋…＋81－80＝9－1＝8.2．数列12×5，15×8，18×11，…，1(3n－1)×(3n＋2)，…的前n项和为()A.n3n＋2B.n6n＋4C.3n6n＋4D.n＋1n＋2答案B解析由数列通项公式1(3n －1)(3n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2， 得前n 项和S n＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋15－18＋18－111＋…＋13n －1－13n ＋2 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝n 6n ＋4. 3．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1前n 项的和为()A ．4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1B ．4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1 C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋1答案A解析∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n (n ＋1)2n ＋1＝n 2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. 4．设函数f (x )＝12＋lg x 1－x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫210＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫910＝________. 答案92 解析若x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＋x 2＝1，则f (x 1)＋f (x 2)＝1＋lgx 1x 2(1－x 1)(1－x 2)＝1， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫210＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫910＝4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4＋12＝92. 课时对点练1．设函数f ()x ＝22x ＋1，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，求得f ()－5＋f ()－4＋…＋f ()0＋…＋f ()4＋f ()5的值为()A ．9B ．11C.92D.112答案B解析∵f ()x ＝22x ＋1，∴f ()x ＋f ()－x ＝22x ＋1＋22－x ＋1＝22x ＋1＋2·2x 2x ()2－x ＋1＝22x ＋1＋2·2x1＋2x ＝2()1＋2x2x ＋1＝2，设S ＝f ()－5＋f ()－4＋…＋f ()0＋…＋f ()4＋f ()5，则S ＝f ()5＋f ()4＋…＋f ()0＋…＋f ()－4＋f ()－5，两式相加得2S ＝11×2＝22，因此，S ＝11.2．在a ，b 中插入n 个数，使它们和a ，b 组成等差数列a ，a 1，a 2，…，a n ，b ，则a 1＋a 2＋…＋a n 等于()A ．n (a ＋b ) B.n (a ＋b )2 C.(n ＋1)(a ＋b )2 D.(n ＋2)(a ＋b )2答案B解析令S n ＝a ＋a 1＋a 2＋…＋a n ＋b ，倒过来写S n ＝b ＋a n ＋a n －1＋…＋a 1＋a ，两式相加得2S n ＝()n ＋2()a ＋b ，故S n ＝()n ＋2()a ＋b 2，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n －()a ＋b ＝n ()a ＋b 2，故选B. 3．数列{}a n ，{}b n 满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋5n ＋6，n ∈N *，则{}b n 的前10项之和为() A.413B.513C.839D.1039答案D解析因为a n b n ＝1，a n ＝n 2＋5n ＋6，故b n ＝1n 2＋5n ＋6＝1n ＋2－1n ＋3， 故{}b n 的前10项之和为13－14＋14－15＋…＋112－113＝13－113＝1039.4．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数(称为埃及分数)．则下列埃及分数11×3，13×5，15×7，…，12019×2021的和是() A.20202021B.10102021C.10092019D.20182019答案B解析∵1n ()n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴11×3＋13×5＋15×7＋…＋12019×2021＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12019－12021 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12021＝10102021. 5．已知正项数列{}a n 是公比不等于1的等比数列，且lg a 1＋lg a 2021＝0，若f (x )＝21＋x 2，则f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2021)等于()A ．2020B ．4036C ．2021D ．4038答案C解析∵正项数列{}a n 是公比不等于1的等比数列，且lg a 1＋lg a 2021＝0，∴lg(a 1·a 2021)＝0，即a 1·a 2021＝1.∵函数f ()x ＝21＋x2， ∴f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝21＋x 2＋21＋1x 2＝2＋2x 21＋x 2＝2. 令T ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2021)， 则T ＝f (a 2021)＋f (a 2020)＋…＋f (a 1)，∴2T ＝f (a 1)＋f (a 2021)＋f (a 2)＋f (a 2020)＋…＋f (a 2021)＋f (a 1)＝2×2021， ∴T ＝2021.6．(多选)设等差数列{a n }满足a 2＝5，a 6＋a 8＝30，公差为d ，则下列说法正确的是() A ．a n ＝2n ＋1 B ．d ＝2C.1a 2n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a 2n －1的前n 项和为n4(n ＋1)答案ABD解析设等差数列{a n }的公差为d .∵{a n }是等差数列，∴a 6＋a 8＝30＝2a 7，解得a 7＝15，又a 7－a 2＝5d .∴d ＝2.又a 2＝5，∴a n ＝2n ＋1.故AB 正确；∴1a 2n －1＝14n (n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故C 错误； ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1的前n 项和为 S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1).故D 正确． 7．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，n ∈N *，则a n ＝________ 答案2＋ln n解析∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n .又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln2－ln1＋ln3－ln2＋ln4－ln3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln1＝2＋ln n .8．设S n 是数列{}a n 的前n 项和，且a 1＝13，a n ＋1＋2S n S n ＋1＝0，n ∈N *，则S 1S 2＋S 2S 3＋…＋S 9S 10＝________. 答案17解析因为a n ＋1＋2S n S n ＋1＝0，所以S n ＋1－S n ＋2S n S n ＋1＝0，所以S n －S n ＋1＝2S n S n ＋1， 所以1S n ＋1－1S n＝2.又1S 1＝1a 1＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以3为首项，2为公差的等差数列，所以1S n ＝3＋()n －1×2＝2n ＋1，所以S n ＝12n ＋1，所以S n S n ＋1＝12n ＋1·12n ＋3＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， 所以S 1S 2＋S 2S 3＋…＋S 9S 10＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋119－121＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－121 ＝17.9．已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 解(1)由已知得⎩⎨⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 10．已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝2n ＋2－4(n ∈N *)，函数f (x )对一切实数x 总有f (x )＋f (1－x )＝1，数列{}b n 满足b n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)．分别求数列{}a n ，{}b n 的通项公式．解当n ＝1，a 1＝S 1＝21＋2－4＝4，当n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝()2n ＋2－4－()2n ＋1－4＝2n ＋1， n ＝1时满足上式，故a n ＝2n ＋1()n ∈N *. ∵f ()x ＋f ()1－x ＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＝1， ∵b n ＝f ()0＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ()1，① ∴b n ＝f ()1＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ()0，②∴由①＋②，得2b n ＝n ＋1，∴b n ＝n ＋12.11．在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 1＝2，且a 1·a 5＝64，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n (a n －1)(a n ＋1－1)的前n 项和是()A ．1－12n ＋1－1B ．1－12n ＋1C ．1－12n ＋1D ．1－12n －1答案A解析在各项都为正数，公比设为q (q >0)的等比数列{a n }中，若a 1＝2，且a 1·a 5＝64，则4q 4＝64，解得q ＝2，则a n ＝2n .数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n (a n －1)(a n ＋1－1)即为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n (2n －1)(2n ＋1－1). ∵2n (2n －1)(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n (a n －1)(a n ＋1－1)的前n 项和是12－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，故选A. 12．设S ＝1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142＋…＋1＋120202＋120212，[S ]表示不大于S 的最大整数(例如：[2.34]＝2，[－π]＝－4)，则[S ]等于()A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022 答案B 解析因为1＋1n 2＋1(1＋n )2＝()n 2＋n 2＋2()n 2＋n ＋1n 2(1＋n )2＝n 2＋n ＋1n ()n ＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以S ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12020－12021＝2021－12021，所以[]S ＝2020.13．已知F (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－3是R 上的奇函数，a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)，n ∈N *，则数列{}a n 的通项公式为() A ．a n ＝n ＋1B ．a n ＝3n ＋1 C ．a n ＝3n ＋3D ．a n ＝n 2－2n ＋3 答案C解析由题意知F ()x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－3是R 上的奇函数，故F ()－x ＝－F ()x ，代入得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝6()x ∈R ，∴函数f ()x 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3对称，令t ＝12－x ，则12＋x ＝1－t ，得到f ()t ＋f ()1－t ＝6， ∵a n ＝f ()0＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ()1， a n ＝f ()1＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ()0， 倒序相加可得2a n ＝6()n ＋1， 即a n ＝3()n ＋1.14．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝12n 2＋12n ，若b n ＝()－1n ·2n ＋1a n a n ＋1，则数列{}b n 的前n 项和T n ＝______________. 答案T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－nn ＋1，n 为偶数－n ＋2n ＋1，n 为奇数解析∵S n ＝12n 2＋12n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12()n －12＋12()n －1＝n ，满足a 1＝1， ∴a n ＝n ，∴b n ＝()－1n·2n ＋1a n a n ＋1＝()－1n ·2n ＋1n ()n ＋1＝()－1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1，当n 为偶数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＝－1＋1n ＋1＝－n n ＋1， 当n 为奇数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＝－1－1n ＋1＝－n ＋2n ＋1， ∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－nn ＋1，n 为偶数.－n ＋2n ＋1，n 为奇数.15．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45，…这些数叫做三角形数．设第n 个三角形数为a n ，则下面结论错误的是() A ．a n －a n －1＝n (n >1) B ．a 20＝210 C ．1024是三角形数 D.1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝2nn ＋1 答案C解析∵a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，由此可归纳得a n －a n －1＝n (n >1)，故A 正确；将前面的所有项累加可得a n ＝(n －1)(n ＋2)2＋a 1＝n (n ＋1)2，∴a 20＝210，故B 正确；令n (n ＋1)2＝1024，此方程没有正整数解，故C 错误；1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1，故D 正确．16．已知等比数列{}a n 的各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n . (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1(n ＋1)·log 2a n ＋1的前n 项和为S n ，求证：32≤S n <3.(1)解设等比数列{}a n 的公比为q (q >0)， 因为a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，所以q 2＝q ＋2(q >0)， 解得q ＝2， 所以a n ＝2n －1. (2)证明因为1a n＋1(n ＋1)log 2a n ＋1＝12n －1＋1(n ＋1)n ＝12n －1＋1n －1n ＋1，所以S n ＝1－12n 1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2－12n －1＋1－1n ＋1＝3－12n －1－1n ＋1， 因为对n ≥1,0<12n －1≤1,0<1n ＋1≤12，∴32≤3－12n －1－1n ＋1<3，即32≤S n <3.。
数列累加法 裂项求和倒序相加错位相减分组求和法结合
1分组求和法:就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等差（比）数列，它们的和当然就好求了。
例如：求1/2+3/4+7/8+9/16+......+(2^n-1)/(2^n)的话，可以将通项(2^n-1)/(2^n)写成1-2^(-n)这样就变成每一项都是1-X （X为通项）的公式对于通项-2^(-n)是一个等比数列，这个你就可以直接套用公式了2数列累加法逐差累加法例3 已知a1=1, an+1=an+2n 求an解：由递推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22, a4-a3=23, …an-an-1=2n-1将以上n-1个式子相加可得an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐差累加法求通项公式，特别的，当f(n)为常数时，数列即为等差数列。
逐商叠乘法例4 已知a1=1, an=2nan-1(n≥2)求an解：当n≥2时，=22, =23, =24, (2)将以上n-1个式子相乘可得an=a1.22+3+4+…+n=2当n=1时，a1=1满足上式故an=2 (n∈N*)注：对递推公式形如an+1an=g(n)的数列均可用逐商叠乘法求通项公式，特别的，当g (n)为常数时，数列即为等比数列3裂项求和：当一项可以拆时需要注意是否为了考察裂项求和，最有名的就是分数：1/2+1/6+1/12+……+1/n*（n+1）可拆为1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1））然后你会发现从-1/2 到1/n全部能想消掉，故只剩下首项和末项。
4倒序相加：最简单的是等差数列用倒序相加求和：1到9 1+9=10 2+8=10。
所以便有首项加末项乘以项数除以二。
1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100) (裂项）=1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100 (消元）=2-1/100=199/100一、基本概念：1、数列的定义及表示方法：2、数列的项与项数：3、有穷数列与无穷数列：4、递增（减）、摆动、循环数列：5、数列{an}的通项公式an：6、数列的前n项和公式Sn:7、等差数列、公差d、等差数列的结构：8、等比数列、公比q、等比数列的结构：二、基本公式：三、9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=四、10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。
专题12 数列求和方法之倒序相加法(解析版)
专题12 数列求和方法之倒序相加法一、单选题1．已知1()()32g x f x =+-是R 上的奇函数，1(0)()n a f f n=++1()(1)n f f n-++,n *∈N ,则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．1n a n =+B ．31n a n =+C ．33n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】C 【分析】 由()132F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在R 上为奇函数，知11622f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12t x =-，则112x t +=-，得到()()16f t f t +-=．由此能够求出数列{}n a 的通项公式． 【详解】由题已知()132F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数， 故()()F x F x -=-，代入得：()11622f x f x x R ⎛⎫⎛⎫-++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 关于点132⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称， 令12t x =-， 则112x t +=-， 得到()()16f t f t +-=， ∴()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，倒序相加可得()261n a n =+，即()31n a n =+， 故选：C ． 【点睛】思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题.先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到()()16f t f t +-=，最后利用倒序相加法求解数列的通项公式. 2．已知1()12F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，*121(0)(1)()n n a f f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．n a n =B ．2n a n =C ．1n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】C 【分析】由()112F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在R 上为奇函数，知11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12t x =-，则112x t +=-，得到()()12f t f t +-=．由此能够求出数列{}n a 的通项公式． 【详解】由题已知()112F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数， 故()()F x F x -=-， 代入得：()11222f x f x x R ⎛⎫⎛⎫-++=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 关于点112⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称， 令12t x =-， 则112x t +=-，得到()()12f t f t +-=， ∴()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，倒序相加可得()221n a n =+， 即1n a n =+， 故选：C ． 【点睛】思路点睛：先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再利用对称性以及倒序相加法求数列的通项公式. 3．已知12a =，121n n a a n +-=+（*n N ∈），则n a =（ ） A ．1n + B ．21nC ．21n +D ．221n +【答案】C 【分析】利用累加法即可求出通项公式． 【详解】解：∴121n n a a n +-=+，则当2n ≥时，121n n a a n --=-，……325a a -=， 213a a -=，∴132212153n n a a a a a a n --+⋅⋅⋅+-+-=-+⋅⋅⋅++，化简得()()21121312n n n a a n --+-==-，又12a =，∴21n a n =+，经检验12a =也符合上式， ∴()2*1n n N a n =+∈，故选：C ． 【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查数列的递推公式的应用，考查倒序相加法求数列的和，考查计算能力，属于中档题．4．设n 为满足不等式01222008nn n n n C C C nC ⋅+⋅<⋅+++的最大正整数，则n 的值为（ ）．A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】D 【分析】利用倒序相加法可求得0121221n n n n n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+=⋅+，进而解不等式求得最大正整数n .【详解】设0122nn n n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅+，则()()12012n n n n nn n S nC n C n C C --=+-+-+⋅⋅⋅+，又r n rn n C C -=，012102222n n n n n n n n n S nC nC nC nC nC C n -∴=++++++=⋅+，121n S n -∴=⋅+，由2008S <得：122007n n -⋅<，72128=，82256=，∴78210242007⨯=<，89223042007⨯=>，n ∴的值为8.故选：D . 【点睛】本题考查了与组合数有关的不等式的求解问题；涉及到了利用倒序相加法求解数列的前n 项和的问题，属于中档题.5．已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的前10项和为（ ）A ．652B ．33C ．672D ．34【答案】A 【分析】根据()(1)1f x f x +-=，并结合倒序相加法可求出12n n a +=，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，121(1)(0)n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，由∴+∴可得21n a n =+，12n n a +∴=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，其前10项和为10110165222+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=.故选：A. 【点睛】本题考查了函数的性质，考查倒序相加法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于中档题. 6．已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足12(0)n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1(1)n f f n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前20项和为（ ）A ．100B ．105C ．110D ．115【答案】D 【分析】根据函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，利用倒序相加法求出n a ，再求前20项和． 【详解】 解：函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴， ()()12110n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴，由∴+∴可得21n a n =+，12n n a +∴=，所以数列 {}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，其前20项和为20120121152+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题．7．已知函数()442x x f x =+，设2019n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n *∈N ），则数列{}n a 的前2019项和2019S 的值为（ ） A ．30293B ．30323C ．60563D ．60593【答案】A 【分析】首先可得()()11f x f x +-=，又2019n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则20192019120192019n n n f f a --⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20191n n a a -+=，则可得20181009S =，再由()91201120119422019423a f f ⎛⎫==== ⎪+⎝⎭及201920182019S S a =+计算可得； 【详解】解：因为()442xx f x =+，所以()114214242x x xf x ---==++ 所以()()21414242xx x f x f x +=-+=++因为2019n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 所以2019n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，20192019120192019n n n f f a --⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以20191n n a a -+=则数列{}n a 的前2018项和2018S 则1220182018a a S a =+++ 2018212018017S a a a =+++所以201820182S = 所以20181009S = 又()91201120119422019423a f f ⎛⎫==== ⎪+⎝⎭20192018201923029100933S S a ∴=+=+=故选：A 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，函数与数列，倒序相加法求和，属于中档题. 8．已知22()(),1f x x x=∈+R 若等比数列{}n a 满足120201,a a =则122020()()()f a f a f a +++=（ ）A ．20192B ．1010C ．2019D ．2020【答案】D 【详解】22()(),1f x x x=∈+R 22222122()11122211f x f x x x x x x⎛⎫∴+=+ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+=++等比数列{}n a 满足120201,a a =120202019220201...1,a a a a a a ∴====()()()()()()120202019202012...2f a f a f a f a f a f a ∴+=+==+=即122020()()()f a f a f a +++=2020故选：D 【点睛】本题综合考查函数与数列相关性质，需要发现题中所给条件蕴含的倒数关系，寻找规律进而求出答案. 9．设函数()221xf x =+，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（ ）A ．9B ．11C ．92D ．112【答案】B 【分析】先计算出()()f x f x +-的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值. 【详解】()221x f x =+，()()()22222212121221x x x x x x f x f x --⋅∴+-=+=+++++()2122222211221xx x x x +⋅=+==+++， 设()()()()()54045S f f f f f =-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++， 则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-，两式相加得()()2115511222S f f ⎡⎤=⨯+-=⨯=⎣⎦，因此，11S =. 故选：B. 【点睛】本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得()()2f x f x +-=是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．10．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则145S S -=（ ） A ．102S B ．144C ．288D ．()1145a a +【答案】B【分析】根据等差数列求和公式表示出145S S -，根据21832a a +=结合等差数列性质求解. 【详解】由题：等差数列中：()()614218145671499 (14422)a a a a S S a a a ++-=+++===．故选：B 【点睛】此题考查等差数列求和公式和等差数列性质的综合应用，熟练掌握相关性质可以减少计算量. 11．已知F (x )=f (x +12)−2是R 上的奇函数，a n =f (0)+f (1n )+⋯+f (n−1n)+f (1)，n ∈N ∗则数列{a n }的通项公式为 A ．a n =n B ．a n =2(n +1) C ．a n =n +1 D ．a n =n 2−2n +3【答案】B 【分析】由F (x )=f (x +12)−2在R 上为奇函数，知f （12−x ）+f （12+x ）=4，令t =12−x ，则12+x =1−t ，得到f （t ）+f （1−t ）=4．由此能够求出数列{a n }的通项公式． 【详解】由题已知F (x )=f (x +12)−2是R 上的奇函数 故F （−x ）=−F （x ），代入得：f （12−x ）+f （12+x ）=4，（x ∈R ） ∴函数f （x ）关于点（12，2）对称，令t =12−x ，则12+x =1−t ，得到f （t ）+f （1−t ）=4． ∴a n =f (0)+f (1n )+⋯+f (n−1n )+f (1)，a n =f (1)+f (n−1n )+⋯+f (1n )+f (0)倒序相加可得2a n =4（n +1），即a n =2（n +1） ， 故选B∴ 【点睛】本题考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解f （12−x ）+f （12+x ）=4，（x ∈R ）∴属难题12．已知函数()sin 3f x x x π=+-，则12340332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．4033B ．-4033C ．8066D ．-8066【答案】D 【解析】试题分析：()()()2sin 32sin 234f x f x x x x x πππ+-=+-+-+--=-，所以原式()4033480662=-⋅=-. 考点：函数求值，倒序求和法.【思路点晴】本题主要考查函数求值与倒序相加法.注意到原式中第一个自变量加上最后一个自变量的值为2，依此类推，第二个自变量加上倒数第二个自变量的值也是2，故考虑()()2f x f x +-是不是定值.通过算，可以得到()()24f x f x +-=-，每两个数的和是4-，其中()()()114,12f f f +=-=-，所以原式等价于4033个2-即8066-.13．已知1()()12F x f x =+-为R 上的奇函数，121(0)()()()(1)n n a f f f f f n nn-=+++++*()n N ∈，则数列{}n a 的通项公式为 A ．1n a n =- B ．n a n =C ．1n a n =+D ．2n a n =【答案】C 【分析】观察到121(0)()()()(1)n n a f f f f f n nn-=+++++的自变量头尾加得1，根据()F x 为R 上的奇函数和1()()12F x f x =+-得到112,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫-++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求解. 【详解】∴()F x 为R 上的奇函数， ∴()()F x F x -=-代入1()()12F x f x =+-得：112,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫-++=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0x =时，112f ⎛⎫=⎪⎝⎭， 当n 为偶数时：()*121(0)(1)n n a f f f f f n N n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111122[(0)(1)]222n n n f f ff f f f n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯++⋯+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2112nn =⨯+=+当n 为奇数时：()*121(0)(1)n n a f f f f f n N n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111122[(0)(1)]n n n f f f f f f n n n n ⎡-+⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎡-⎤⎛⎫⎛⎫=++++⋯++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1212n n +=⨯=+ 综上所述，1n a n =+， 故选C. 【点睛】本题考查数列与函数的综合应用.关键在于发现规律，再建立与已知的联系. 二、填空题14．设数列{}n a 的通项公式为2cos ,n a n =︒该数列的前n 项和为n S ，则89S =_________.【答案】892【分析】利用诱导公式和同角三角函数基本关系式可知()22cos cos 901n n +-=，再利用倒序相加法求和.【详解】()22cos sin 90n n =- ，222289cos 1cos 2cos 3...cos 89S =++++， 222289cos 89cos 88cos 87...cos 1S =++++ ，22cos 89sin 1=，22cos 88sin 2=，22cos 87sin 3=，…22cos 1sin 89=，()()()222222892cos 1cos 89cos 2cos 88...cos 89cos 1S ∴=++++++， ()()()222222892cos 1sin 1cos 2sin 2...cos 89sin 89S ∴=++++++，18989=⨯=，89892S ∴=. 故答案为：892 【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的和，解题关键是找到()22cos cos 901n n +-=，然后利用倒序相加法求和.15．已知函数()331xx f x =+，()x R ∈，正项等比数列{}n a 满足501a =，则()()()1299f lna f lna f lna ++⋯+等于______．【答案】992【解析】试题分析：因为3()31x x f x =+，所以33()()13131x xx x f x f x --+-=+=++．因为数列{}n a 是等比数列，所以21992984951501a a a a a a a =====，即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+=．设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ∴，又99999897(ln )(ln )(ln )=++S f a f a f a ＋…＋1(ln )f a ∴，∴+∴，得99299=S ，所以99992=S ．考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和．【知识点睛】如果一个数列{}n a ，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．16．设()'f x 是函数()y f x =的导数，()''f x 是()'f x 的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()0,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设()32182133f x x x x =-++，数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，则()()()128f a f a f a ++⋅⋅⋅+=_______. 【答案】8 【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点(2,1)对称，即()(4)2f x f x +-=，即可得到结论． 【详解】 解：3218()2133f x x x x =-++，28()43f x x x ∴'=-+，()24f x x ∴'=-，令()0f x ''=，解得：2x =， 而88(2)821133f =-+⨯+=， 故函数()f x 关于点(2,1)对称，()(4)2f x f x ∴+-=，27n a n =-， 15a ∴=-，89a =， 18()()2f a f a ∴+=，同理可得27()()2f a f a +=，36()()2f a f a +=，45()()2f a f a +=，128()()()248f a f a f a ∴++⋯+=⨯=，故答案为：8.【点睛】本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．求和的过程中使用了倒序相加法． 17．已知()221x f x x +=-，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20181009S =，则()()()122018f a f a f a +++的值为___________.【答案】1009 【分析】先求出120181a a +=，并判断20181n n a a -+=，（n *∈N 且02018n <<），再由函数得到()()11f x f x +-=，最后求()()()122018f a f a f a +++的值即可.【详解】解：因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20181009S =， 所以1201820182018()10092a a S +==，解得：120181a a +=，则20191n n a a -+=，（n *∈N 且02018n <<） 因为()221x f x x +=-，则()()2(1)211212(1)1x x f x f x x x +-++-=+=---， 所以()()()()20192(1)211212(1)1n n n n n n n n a a f a f a f a f a a a -+-++=+-=+=---设()()()122018T f a f a f a =+++，则()()()201821T f a f a f a =+++，由上述两式相加得：()()()()()()1201822017201812[][][]2018T f a f a f a f a f a f a =++++++=，则1009T = 故答案为：1009. 【点睛】本题考查等差数列的通项的性质、等差数列的前n 项和、倒序相加法，是中档题.18．设函数2()log f x =，数列{}n a 满足2020n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则124039a a a ++⋅⋅⋅+=______.【答案】40392- 【分析】由题得40391403924038403912()()()S a a a a a a =++++++，设k *∈N ,考虑一般情况，40401k k a a -+=-，即得解. 【详解】由题得4039124039S a a a =++⋅⋅⋅+,4039403921S a a a =+⋅⋅⋅++， 两式相加得40391403924038403912()()()S a a a a a a =++++++，考虑一般情况，设k *∈N ,则4040224040404020202020log log 404020202020424220202020k kk kk k a a f f k k ---⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-⨯-⨯2240401=log log 12k ⎤-==-⎢⎣ 所以40394039403924039,.2S S =-∴=- 故答案为：40392- 【点睛】本题主要考查对数的运算和倒序相加求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19．若121()(1)2,(0)()()...()(1)n n f x f x a f f f f f n n n-+-==+++++(*n N ∈)，则数列{}n a 的通项公式是___________. 【答案】1n a n =+ 【分析】根据自变量的和为1时，函数值的和为2，运用数列的求和方法，倒序相加法求和，计算数列的通项公式. 【详解】()()1210...1n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()1211...0n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加可得 ()()()()1111201...10n n n a f f ff f f f f n n n n ⎡-⎤⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， ()221n a n =+，所以1n a n =+ . 故答案为：1n a n =+ 【点睛】本题考查倒序相加法求和，重点考查推理能力和计算能力，属于基础题型. 20．()f x 对任意x ∈R 都有()()112f x f x +-=.数列{}n a 满足：()120n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则n a =__________.【答案】14n + 【分析】采用倒序相加法即可求得结果. 【详解】由题意得：()()1012f f +=，1112n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2212n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……， ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()12110n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 122n n a +∴=，解得：14n n a +=. 故答案为：14n +. 【点睛】本题考查利用倒序相加法求和的问题，属于基础题.21．函数2()2cos 2xf x π=，数列{}n a 满足()2020n na f =，其前n 项和为n S ，则2019S =_____. 【答案】2019 【分析】由二倍角公式可得2()2coscos 12xf x x ππ==+，则cos12020n na π=+，再求其前2019项的即可，或根据函数的解析式化简得到()+(1)2f x f x -=求解. 【详解】 （法一）：2()2cos cos 12xf x x ππ==+，()2020n n a f = cos12020n na π∴=+ ()cos cos 0απα+-=1201922018coscos cos cos 02020202020202020ππππ∴+=+= 201912320191220182019cos1cos 1cos1cos 120202020202020202019S a a a a ππππ=++++=++++++++= （法二）：2()2cos=cos 12xf x x ππ=+，()()(1)cos 11cos 1f x x x πππ-=-+=-+=cos cos sin sin 1cos 1x x x πππππ++=-+所以()+(1)2f x f x -=，20191232019++++S a a a a =所以20191232019()()()()2020202020202020S f f f f =++++， 20192019201820171()()()()2020202020202020S f f f f =++++，所以2019222019S =⨯，所以20192019S =. 故答案为：2019 【点睛】本题考查三角函数诱导公式及数列求和降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=， 22．推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89︒+︒+︒+⋯+︒+︒=__________.【答案】892. 【分析】通过诱导公式可知sin1cos89,sin2cos88,...,sin89cos1︒=︒︒=︒︒=︒，结合22sin cos 1αα+=，可求出原式为892. 【详解】解：设22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89S =︒+︒+︒+⋯+︒+︒，sin1cos89,sin2cos88,sin3cos87,...,sin88cos2,sin89cos1︒=︒︒=︒︒=︒︒=︒︒=︒，22222cos 1cos 2cos 3...cos 88cos 89S ∴=︒+︒+︒++︒+︒，则()()()2222222sin 1cos 1sin 2cos 2...sin 89cos 8989S =︒+︒+︒+︒++︒+︒=，即892S =， 故答案为:892【点睛】本题考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的关键是结合诱导公式对所求式子倒序求和. 23．设()f x =，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得12019f ⎛⎫ ⎪⎝⎭22019f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2017201820192019f f ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________．【答案】2【分析】由题干可证出()(1)f x f x +-=1009对的组合，即1009个2，计算即可得解. 【详解】()f x =，∴(1)x xf x -===，因此()(1)x xf x f x +-==2x ⎛⎫===， 所以12019f ⎛⎫⎪⎝⎭22019f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2017201820192019f f ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12018201920192019202201197f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎝⎭⎝⎭2=.故答案为：2. 【点睛】本题考查倒序相加法求数列的前n 项和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 24．已知数列{}n a 满足2120n n n a a a ++-+=，且42a π=，若函数()2sin 22cos2xf x x =+，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前7项和为__________. 【答案】7 【分析】利用等差数列的性质可得17263542a a a a a a a π+=+=+==，再利用二倍角的余弦公式可得()2sin22cos sin2cos 12xf x x x x =+=++，利用倒序相加法即可求解. 【详解】数列{}n a 满足211n n n n a a a a +++-=-，*N n ∈，∴数列{}n a 是等差数列，42a π=，17263542a a a a a a a π∴+=+=+==，()2sin22cos sin2cos 12xf x x x x =+=++，()()171177sin 2cos 1sin 2cos 1f a f a a a a a ∴+=+++++ ()()7777sin 22cos 1sin 2cos 1a a a a ππ=-+-++++7777sin 2cos 1sin 2cos 12a a a a =--++++=同理()()()()()2635422f a f a f a f a f a +=+==，∴数列{}n y 的前7项和为7.故答案为：7. 【点睛】本题考查了等差数列的性质、二倍角的余弦公式、诱导公式以及倒序相加法，属于中档题.25．给出定义 ：对于三次函数32()(0),f x ax bx cx d a =+++≠设'()f x 是函数()y f x =的导数，()f x ''是'()f x 的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点0,0((())x f x 为函数()y f x =的“拐点”，经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数3232115()32,()33212h x x x x g x x x x =-++=-+-.设1234037()()()......(),2019201920192019h h h h n ++++=1232018()()()......()2019201920192019g g g g m +++=.若2()(1),t x mx nxt '=+则(0)t '=__________．【答案】-4037 【分析】由题意对已知函数求两次导数,令二阶导数为零,即可求得函数的中心对称,即有()(1)2g x g x +-=,()(2)2h x h x +-=,借助倒序相加的方法,可得,m n 进而可求2()(1)t x mx nxt '=+的解析式,求导,当1x =代入导函数解得(1)t ',计算求解即可得出结果. 【详解】 函数32115()33212g x x x x =-+-函数的导数2()3,()21g x x x g x x '''=-+=-由()0g x ''=得0210x -=解得012x =,而112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭故函数()g x 关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称, ()(1)2g x g x ∴+-=故1232018()()()...+()2019201920192019g g g g m +++=，201820171201920192019g g g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 两式相加得220182m ⨯=，则2018m =.同理32()32h x x x x =-++,2()361h x x x '=-+,()66h x x ''=-,令()0h x ''=,则1x =,(1)1h =,故函数()h x 关于点()1,1对称,()(2)2h x h x ∴+-=,1234037()()()...(),2019201920192019h h h h n ++++=4037403640351()()()...(),2019201920192019h h h h n ++++=两式相加得240372n ⨯=,则4037n =. 所以2()20184037(1),t x x xt '=+()40364037(1),t x x t ''=+当1x =时, (1)40364037(1),t t ''=+解得:(1)=1t '-,所以()40364037,t x x '=-则(0)4037t =-'.故答案为: -4037.【点睛】本题考查对新定义的理解,考查二阶导数的求法,仔细审题是解题的关键,考查倒序法求和,难度较难.三、解答题26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．（∴）若{}n a 为等差数列，求证：()12n n n a a S +=； （∴）若()12n n n a a S +=，求证：{}n a 为等差数列． 【答案】（∴）证明见解析；（∴）证明见解析.【分析】（1）根据{}n a 为等差数列，利用倒序相加法证明()12n n n a a S +=即可； （2）由前n 项和公式有1n n n a S S -=-、11n n n a S S ++=-，相加后整理可得11n n n n a a a a +--=-，{}n a 为等差数列得证．【详解】（∴）证明：已知数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则有1123(1),n n n a a n d S a a a a =+-=++++， 于是()()[]11112(1)n S a a d a d a n d =+++++++-，∴ 又()()[]2(1)n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，∴ ∴+∴得：()12n n S n a a =+，即()12n n n a a S +=． （∴）证明：∴()12n n n a a S +=，当2n ≥时，()111(1)2n n n a a S ---+=， ∴()()1111(1)22n n n n n n a a n a a a S S --+-+=-=-，∴ ()()11111(1)22n n n n n n a a n a a a S S ++++++=-=-，∴ ∴-∴并整理，得112n n n a a a -+=+，即11(2)n n n n a a a a n +--=-≥，∴数列{}n a 是等差数列．【点睛】本题考查了已知等差数列的通项公式，应用倒序相加法求证前n 项和公式，由前n 项和公式，结合等差数列的定义证明等差数列，属于基础题.27．已知函数()21x f x x =+，设数列{}n a 满足1()n n a f a +=，且112a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若记((21))(1i n b f i a i =--⨯=，2，3，⋯，)n ，求数列{}i b 的前n 项和n T .【答案】（1）12n a n =；（2）2n n T =. 【分析】（1）由1()n n a f a +=得到121n n n a a a +=+，然后变形为1112n n a a +-=，利用等差数列的定义求解. （2）由（1）得到121221i i b n i -+=⨯-+，由112112*********i n i i n i b b n i n i -+-+-++=⨯+⨯=-+-+，利用倒序相加法求解.【详解】（1）因为()21x f x x =+，所以由1()n n a f a +=得121n n na a a +=+， 所以121112n n n na a a a ++==+，∴1112n n a a +-=， 所以1{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列， 所以12(1)22n n n a =+-⨯=，所以12n a n=. （2）由（1）知21()(1,2,3,,)2i i b f i n n-=-=⋯， 则21(21)1212212[(21)]22212()12i i i i n b i i n n i -----+===⨯-⨯--+-+⨯-+， {}12(1)1[2(1)1]22(1)12[2(1)1]22[]12n i n i n i n b n i n i n n -+-+----+-==-+-⨯--+-+⨯-+， 12(1)112212[2(1)1]221n i n i n i n n i -+--+=⨯=⨯-+---+， 所以112112211(1,2,3,,)221221i n i i n i b b i n n i n i -+-+-++=⨯+⨯==⋯-+-+， 123n n T b b b b =+++⋯+，121n n n n T b b b b --=+++⋯+，两式相加，得：121321112()()()()()nn n n n n i n i i T b b b b b b b b b b n ---+==++++++⋯++=+=∑， 所以2n n T =. 【点睛】 本题主要考查数列的递推关系，等差数列的定义及通项公式以及倒序相加求和，话考查了运算求解的能力，属于中等题.28．已知f (x )＝142x + (x ∴R )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是函数y ＝f (x )的图像上的两点，且线段P 1P 2的中点P的横坐标是12. （1）求证：点P 的纵坐标是定值；（2）若数列{a n }的通项公式是a n ＝()*m N ,n 1,2,3,,m n f m ⎛⎫∈=⋯⎪⎝⎭，求数列{a n }的前m 项和S m . 【答案】（1）证明见解析；（2）S m ＝3112m - 【分析】（1）先根据中点坐标公式得x 1＋x 2＝1，再代入化简求得y 1＋y 2＝12，即证得结果； （2）先求()1f ，再利用倒序相加法求121S=m f f f m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两者相加得结果. 【详解】（1）证明：∴P 1P 2的中点P 的横坐标为12， ∴122x x +＝12，∴x 1＋x 2＝1. ∴P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是函数y ＝f (x )的图像上的两点，∴y 1＝1142+x ，y 2＝2142+x ， ∴y 1＋y 2＝1142+x ＋2142+x ＝121242424242()()+++++x x x x ＝12121244442444()++++++x x x x x x ＝121244442444()+++++x x x x ＝12124442444()++++x x x x ＝12， ∴点P 的纵坐标为122y y +＝14. ∴点P 的纵坐标是定值.（2）S m ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a m＝()12121=1m m f f f f f f f m m m m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令121S=m f f f m m m -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）知k f m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋m k f m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12.(k ＝1，2，3，…，m －1) ∴倒序相加得∴2S ＝12 (m －1)，∴S ＝14 (m －1). 又f （1）＝142+＝16， ∴S m ＝S ＋f （1）＝14 (m －1)＋16＝3112m -. 【点睛】本题考查利用指数性质运算、利用倒序相加法求和，考查基本求解能力，属基础题.29．已知f (x )＝142x + (x ∴R )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是函数y ＝f (x )的图像上的两点，且线段P 1P 2的中点P 的横坐标是12. （1）求证：点P 的纵坐标是定值；（2）若数列{a n }的通项公式是a n ＝()*N ,1,2,3,,n f m n m m ⎛⎫∈=⋯⎪⎝⎭，求数列{a n }的前m 项和S m . 【答案】（1）见证明过程（2）S m ＝3112m - 【分析】 （1）根据P 1P 2的中点P 的横坐标是12可得x 1＋x 2＝1，计算y 1＋y 2＝12121244442444()++++++x x x x x x ，代入x 1＋x 2＝1可得y 1＋y 2＝12，即可得证； （2）利用倒序相加法求数列的和即可.【详解】（1）证明：∴P 1P 2的中点P 的横坐标为12， ∴122x x +＝12，∴x 1＋x 2＝1. ∴P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是函数y ＝f (x )的图像上的两点，∴y 1＝1142+x ，y 2＝2142+x∴y 1＋y 2＝1142+x ＋2142+x ＝121242424242()()+++++x x x x ＝12121244442444()++++++x x x x x x ＝121244442444()+++++x x x x ＝12124442444()++++x x x x ＝12， ∴点P 的纵坐标为122y y +＝14. ∴点P 的纵坐标是定值．（2）S m ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a m＝f 1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝f 1m ⎛⎫⎪⎝⎭＋f 2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f 1m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f (1)． 令S ＝f 1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f 1m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴ 倒序得S ＝f 1m m -⎛⎫⎪⎝⎭＋f 2m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 3m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋f 1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴ ∴＋∴，得2S ＝11m f f m m -⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋[f 2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋ f 2m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭]＋[f 3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋ f 3m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭]＋…＋[f 1m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＋f 1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭]． ∴k m ＋m k m-＝1(k ＝1，2，3，…，m －1)， ∴由（1）知f k m ⎛⎫⎪⎝⎭＋f m k m -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12. ∴2S ＝12 (m －1)，∴S ＝14(m －1)． 又f (1)＝142+＝16， ∴S m ＝S ＋f (1)＝14(m －1)＋16＝3112m -【点睛】本题主要考查了定值问题，数列倒序相加求和，考查了推理分析问题能力，运算能力，属于中档题.30．已知数列{}n a 的前n 项和224()n n S n N ++=-∈，函数()f x 对一切实数x 总有()(1)1f x f x +-=，数列{}n b 满足121(0)()()()(1).n n b f f f f f n n n -=+++++分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式. 【答案】()1*2n n a n N +=∈；12n n b += 【分析】 利用,n n a S 的关系即可容易得到n a ；根据函数性质，利用倒序相加法即可求得n b .【详解】当12111,244n a S +===-=当()()21112,24242n n n n n n n a S S +++-≥=-=---= 1n =时满足上式，故()1*2n n a n N +=∈ ；∴()()1f x f x +-=1∴111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()120n b f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴ ∴()121n n n b f f f n n --⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()10f f ++ ∴ ∴∴+∴，得1212n n n b n b +=+∴=【点睛】 本题考查利用,n n a S 的关系求数列的通项公式，涉及倒序相加法求数列的前n 项和，属综合基础题.。