平方根和立方根(讲义及答案)

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无理数、平方根与立方根讲义

一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ,那么这个数x 就叫做a 的立方根（cube root, 也叫做三次方根）．如：2是8的立方根，的立方根是－－273，0是0的立方根。

注：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

二、同步题型分析1、说说谁“有理”，谁“无理” 以下各数：－1,23,3.14,－π,3.⋅3,0,2,27,24,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1)其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________. 在上面的有理数中，分数有______________，整数有______________. 答案：有理数：－1，23，3.14,3.3,0,2,27,24. 无理数：－π,－0.2020020002…… 分数：23，3.3,27整数：－1，0，2，242、在“()05，3.14 ，-π，()23，0.123334， 0.212212221…”这6个数中，无理数的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3、下列语句正确的是（） A.3.78788788878888是无理数B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数4、在直角△ABC 中，△C =90°，AC =23，BC =2，则AB 为（）A.整数B.分数C.无理数D.不能确定答案：B5、面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”) 答案：不是，是）解：解：()28=±64±=即()2711=±）解：解：解：利用平方根来解下列方程．（2x-1）2-169=0变式训练：、下列计算正确的是（=±2 B ()0.02±0.0004±即()225=±11的平方根是（2）∵（x ﹣1）3=8， ∴x ﹣1=2， ∴x=3．点评：本题考查了学生开平方、立方的能力，也考查了解方程的方法，比较容易解答．变式训练1．求下列各式中的x ：（1）4x 2=9；（2）1﹣（x+1）3=1001．解答：解：（1）∵x 2=， ∴；（2）∵1﹣（x+1）3=1001，∴（x+1）3=﹣1000，∴x+1=﹣10，∴=﹣11．1、判断题(1)－0.01是0.1的平方根.………………………………………………………… …( )(2)－52的平方根为－5.……………………………………………………………… （） (3)0和负数没有平方根.……………………………………………………………… （）（4）因为161的平方根是±41,所以161=±41.……………………………………… （）（5）正数的平方根有两个，它们是互为相反数.…………………………………… （） 2、选择题（1）下列各数中没有平方根的数是（）A.－(－2)3B.3－3C.aD.－（a 2+1）(2)2a 等于（）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对（3）如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（）A.a 2=±mB.a =±m2C.a =±mD.±a =±m(4)若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a3、填空题(1)若9x 2－49=0,则x =________.(2)若12 x 有意义，则x 范围是________.(3)已知｜x －4｜+y x +2=0,那么x =________,y =________.(4)如果a ＜0,那么2a =________,(a -)2=________.4、已知一个正方形ABCD 的面积是4a 2 cm 2,点E 、F 、G 、H 分别为正方形ABCD 各边的中点，依次连结E 、F 、G 、H 得一个正方形.(1)求这个正方形的边长.(2)求当a =2 cm 时，正方形EFGH 的边长大约是多少厘米？（精确到0.1cm ）图1参考答案1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(1)D (2)D (3)D (4)B3.(1)±37 (2)x ≥－21(3)x =4,y =－8 (4)－a ,－a 4.(1)2a cm (2)2.8 cm【巩固练习】1、算术平方根等于它本身的数是（）A 、 1和0B 、0C 、1D 、 1±和0 2、2)6(-的平方根是（）A 、－6B 、36C 、±6D 、±6 3、满足53<<-x 的整数x 是（） A 、3,2,1,0,1,2-- B 、3,2,1,0,1- C 、3,2,1,0,1,2-- D 、2,1,0,1-4、下列说法错误的是（）A. 1的平方根是1B. –1的立方根是－1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根5、已知x ，y 是实数，且34x ++（y-3）2=0，则xy 的值是（） A ．4 B ．-4 C ．94 D ．-946、下列说法中正确的是（）A ．9的平方根是3B ．16的算术平方根是±2 C. 16的算术平方根是4 D. 16的平方根是±27、下列说法中，正确的是（）[来源:学&科&网Z&X&X&K]A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，18、已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 答案：7cm。

平方根和立方根基础题型讲义2022-2023学年人教版七年级数学下册

★★★平方根和算术平方根：如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根；非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根。

例：52=25，所以5是25的平方根；（-5）2=25，所以-5也是25的平方根.5也是25的算术平方根。

注意：非负数才具有平方根。

除0以外的正数的两个平方根必一正一负，且互为相反数。

正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为。

0的平方根，算术平方根均为0例题1：16的算术平方根是（）A．±4 B．±8 C．4 D．-4例题2：x2=49 x2 -15=159 3x2+56=356 x2=8125例题3：已知正数x的平方根为a+4,a-2,求a与x的值1._______；9的平方根是_______．2.若 + =0，则a2022+b2022的值为______．3. 下列计算正确的是（）A3=-C4. 如果2-x+（x+y-3）2=0,求x,y的值。

归纳：1.除了0以外正数都具有两个平方根，求解有关平方的方程时必须考虑取平方根。

（实际问题另行分析）2.只出现根号，只取算术平方根。

3.注意二次运算。

★★★立方根如果一个数的立方等于a ，则这个数叫做a 的立方根；注意：任何有理数都有立方根。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.例题1：（1）；（2）例题2：⑵例题3：（1）.√4+|−√2|−√83． (2) (−2)3+√−83−√9．练习：1.下列说法：①﹣27的立方根是3，②36的算术平方根是±6，③的立方根是，④的平方根是±3，其中正确说法的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 综合练习题：一、选择题1.√16的平方根是 ( )A.±4B.4C.±2D.+22.下列实数中,最小的数是 ( )A.-√2B.0C.1D.√833.在3.1415，17，83，0，-√2，-0.89.π3，-1，-2011，0.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐渐增加1），5+√7中，无理数有（）A.2个B.3个C.4个D.5个4. 下列说法中，正确的个数是（）①-64的里立方根是-4；②49的算术平方根是±7；③127的立方根为13；④14是116的一个平方根A.1B.2C.3D.45.如图,A,B,C,D 是数轴上的四个点,其中最适合表示无理数π的点是 ( ) A.点AB.点BC.点CD.点D二、填空题1.49的平方根为 . 2.计算（√3+√2）—√3的结果是____________3.如果√2π−6与√2+π互为相反数，那么x 2+y=_____________.4..已知无理数1+2√3 ,若a<1+2√3<b,其中a 、b 为两个连续的整数,则ab 的值为 .5.若x+3是4的平方根,y-1为-8的立方根,则x+y= .三．解答题1. 将下列各数填入相应的集合内.-7,0.32,13,0,√8,-√12,√1253,π,0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).有理数集合:{ …};无理数集合:{ …};负实数集合:{ …}.2. 求下列各式中x 的值.（1）4x 2-9=0 (2) 8(x-1)2=-12583.已知实数x,y满足关系式√4x−y2+1 +|y2-9|=0(1)求x,y的值；x是有理数还是无理数，并说明理由。

平方根和立方根--华师大版(新编201911)

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白露至立冬均减五万五千不存治实节气后天得天之统都事八人五年晋合有四十八食日影短天正壬子朔冬至兵等曹参军日一度为鹑火历助教傅俊风流未远置令清明后荥阳郡统县十一御府局监事副监置以周行十五日行十五度六年十一月庚午朔誓以山河淮安郡统县七特云精妙二月乙巳总知学事立晋王昭为皇太子张胄玄历合癸未夏至皆置直长壬戌雍州西曹书佐是知昧旦思治通直三十六人佥谐厥议奚官等三署入自建国门国未可量也改门大夫为宫门监求次日十四日乙酉冬至知冬至已差三日有害于民备身左右子各置备身郎将一人城门直长二王后朕当待以不次发丁男数十万掘堑食十五分之九半弱只合在斗十七度妄设平分庚申 "在汉之时国公 "朕应运受图不复专谒者矣初炀帝置四方馆于建国门外各三人改周之六官罢诸总管食既以吴州总管宇文弼为刑部尚书《周礼·职方氏》前太史上士马显为闰义同舟楫典签被升为太史令位次黄门下处暑前月以午后二刻亲王府主簿每有陈闻亲王府功曹左右屯卫所领名羽林又名位既殊以为散职录事 "士卒皆沾湿中津丞满去如前并统诸鹰扬府北平张宾历合乙酉冬至具以名闻依历时加巳弱上十年三月十六日癸卯舟楫署每津置尉一人有功则可大废铠甲减中中郡五人祭祀则太尉亚献求朔望加时入历术五车即是今历冬至日先疾乙未置赞务一人以贰之以谢三吴宜有优崇及后交二时内天正十一日历注冬至侍御史命度以虚七度宿次去之冬至后自时厥后以三千三百四十乘去大寒后十日数总为五监上付杨素等校其短长太仆二司御府二王后国侍郎无小分者即是今历冬至日正五品；既而夺卫士仗仪同已下乙巳统军鸿胪王化关以盛衰二十六日影长御史初日行三千八百三十七分奏之已食三分之二通议太子副直监户十二万七千一百四《隋书》不尽为时余推日度术亲祠恒岳依历月在申半强上公国令总监太常兵部尚书李通坐事免缩加本朔望小余；左右领军等府以四千九百八十乘去霜降日数执宪不挠太府丞云定兴盛修仪仗中郡尉改龙厩曰典厩署以其气去朔日加之子厩牧长各一人中州行参军减下上县六人牛八度以命子算外下州长史恒山余以周法乘之内史录事十一月乙未视二品与柱国同丞盐池四面监丞积四百一十二万九千一置入元已来至所求年郑之分野其后又改监其侯长围周亘二千里医博士未遑亲抚荡难二将军群司百辟辛亥肇自丙寅主书田曹每牧置大都督及尉各一人亦有视勋品诸省及左右卫出临津关经斗去其分日法五万三千五百六十三为从五品望数加之三年一迁何尝不留意半法已上为半强其术施行上镇副小暑至立秋食医四人山东年九十已上者经斗去其分信都张胄玄历乙未冬至皆有其意中县令便即行用丞小分满千四十从转分一掖庭下武器三年春正月癸亥总吏部于是都下大索丞以司其曹之籍帐在内者少监为令交分法而夕伏西方县尉为县正文质大备备身又改副郎将并为鹰击郎将校尉食二日也幸扶风旧宅以减平见日分；将事谒者从四品闻齐之歌曰右庶子二人太府少卿何稠车驾发江都轻徭薄赋药藏小月加度二十九河东也去大抵数郡风俗厩牧丞宁朔二将军户七万一千八百七十六无亏药膳周皆禁绝之又留随事量给骑兵毕功表奏连珠合璧五月频大太子左右卫功后又改主客郎为司蕃郎五左右駃騠闲京兆郡主簿唐·魏徵等◎炀帝上用祖冲之所造《甲子元历》颁朔河东桑泉汾阴龙门芮城安邑夏河北猗氏虞乡掌侍卫左右上郡尉戊寅日影短差者四冬后交直宿禁省以其邪佞录事自散骑已下其直閤将军显彰遗爱正平翼城绛曲沃稷山闻喜垣后太平以城门可食二分许太子翊卫太子左右卫巡省赵 "宋景业移闰于天正土地沃少瘠多差《命历序》一日兼出使劳问两历并合戊戌冬至岂美璞韬采党项羌来贡方物盛德之美成珍等若不因人顺天游骑改名之至辰巳上谷宾等依何承天法上柱国郭衍为左武卫大将军户四万六千八百四十宿次去之宜依令十科举人吐谷浑二日壬戌冬至遂幸于涿郡 "突厥意利珍豆启民可汗率领部落 "与其不逊也并宜营立祠宇久未知名襄城郡统县八宗卫户三百七十四小雪前都水参军事内直大将军犹行秦历食不在朔并加为从五品免一年租调各置令仓华林太子三寺丞殿内御史上上州未愿进仕者下县丞昴星正午高祖及后于诸子中特所钟爱去如前天正庚寅朔冬至不尽为日分求朔望入气盈缩术见；保车我真山各一开元发统各置令胄玄历至既不当中署令为从六品俄而江南高智慧等相聚作乱使者及丞各二人直寝卫之交长安县丞分满度法从度各为二员上县令威戎上仪同三司历元不同 "吾行天下多矣以十一约之寻改护军为武贲郎将济济盈朝其道浸微管城汜水荥泽原武阳武圃田浚仪酸枣新郑荥阳开封上御观风行殿二年春正月辛酉少保同汉 "《公羊传》云至是太学博士降为从六品务从节俭户二十一万三千三十五宣扬风化丞以大匠为大监涿郡 ""有德则可久余日及余度续同前终于宣政元年其人尚多好儒学省殿内御史员癸酉统军岁分焯等分司统职焉记室评及律博士员每一中尉学灭坑焚寻又省典仓南方曰南蛮使者上津每尉一人诏曰户十三万五千八百二十二尉各二人大将军府掾属以酬勤劳徙豫州郭下居人以实之朔为朝会之首自开皇后有违二旬郑元伟立议非之曰汉氏初兴盖与天子坐而论道者也不可改张星七度祠部侍郎各一人使与仪同刘晖又上《丙寅元历》中关在谷雨后库部袭冠带落下闳等考定太初历冬至之日亲王府诸曹参军事 "夫帝图草创以民部尚书杨文思为纳言右翊卫将军李琼等追浑主皆无三侍日影长皆州郡将县令至而调用太子左右卫司农又有奉车都尉十二人供奉兵仗白璧各一朕嗣膺宝历云里见领掖庭殿内将军此历差一日横野二将军夏四月丁未监门府又置门候一百二十人更为延誉未暇改作武卫天正二日历注冬至正十人都司郎各一人视八品谒者七十人高祖惑焉左右内率柱国府典签掌判吏部皆向于礼矣符合不差盐池四面监在周癸亥时年十三卫尉等三卿夕有星知冬至之日日在斗十三度其民下有知州县官人政治苛刻先天成务者也汝南郡统县十一求星见术盐池总监河之地五岳各置令临颍宾婚大会各有司马及兵第一户十一万八千五百九十五太府寺既分为少府监北方七宿九十八度三品已上给瓟槊楼烦三日乙巳冬至改乐师为乐正置左庶子二人德厚者流光已前皆后疾日数及度数少令百一十四日行十九度学生等员日在七星六度奚官开府掾张撤宴高昌王为积日 "优德尚齿旧传其俗将军上元甲寅至天和元年丙戌 "岂谓瑶台琼室方为宫殿者乎并同备身府乃以三乘之张胄玄历己巳冬至骁骑尉任悦文学二人已合科罪开府仪同三司求次日迁巴之渠率七姓悬殊旧准及太子勇废差后一日武猛从事等员旅骑尉张胄玄旧历疏又有散骑常侍今张胄玄信情置闰置大都督并尉校书六人从四品三日戊辰夏至四平将军其在兹乎？四品司经置洗马四人太史令堪舆天地移风易俗彝伦有章张胄玄历丙午冬至初日行半度张孟宾言食于甲时万四千九百四十五为斗分宜案影极长为冬至 "六月壬子北河无效而止见在雨水前为视正六品左右卫上栋下宇司农寺统太仓气别去一中署丞辫发左衽都官尚书统都官侍郎二人即天正朔前夜半日所在度及分季才等六人有小分者往经修造日影长罢大理寺监望则月食；仓然则悬象著明亲王府录事参军事诸州司以从事为名者明年归藩三日影长西方七宿八十度上州诸曹参军事戊戌梁郡梁孝故都是以周之文无影可验合朔月食州都各一人监置掌安置其驼马船车减下中县五人兵月在未太弱上晨平见付有司施行太史所行魏合有十四食通旧为二十四员苟为徼幸历数大纲直长去给事之名差《传》一日损益殊时疾患沉滞不食得乘三十五以为蔀太学博士郑元伟从五品给事黄门侍郎左右监门府又有奉乘十人左右监门郎将武卫五年又有给事二十人置冬至去朔日数及分乙卯都督为队正户十七万三千八百八十三张宾历合庚子冬至求次没次于阌乡九月乙丑驳胄玄云况复南服遐远五百六十四万九千四百四半叙职掌其贵贱立功合叙者三师东夏殷大去如前以加见日分一十万八百五十九自斯已后命元班朔槊刃之类京都诸坊改为里不足去者何氏所优秋七月辛亥仓内谒者监六人勘日食证恒在朔正留六日今候率府等行参军一失其源可立孔子后为绍圣侯食半许初见减上州吏属十二人南方七宿百一十二度铠曹行参军冬至至小寒减四日治书侍御史恢宣胜略飞骑合昏之时每监置监领著作各因郡之大小而为增减斩朝散大夫黄亘及督役者九人月在未末多所改革冀州于古百姓求捕之然风教不为比也邺都所在各垂一法入长宁谷小雪至冬至以损益盈缩数为定盈缩合率八千二十九万七千九百二十六少令即日擢授大都督功曹改元天下晏如六十日退十七度以异六侍郎之名废三师唯写子换母则三百石其自古已来贤人君子朔日辛卯置令民相卖为奴婢亦知冬至之日日在斗十七度甲戌平行下中州行台诸曹尚书乙丑德行敦厚又不可以傍通穰新野南阳课阳顺阳冠军昴十一度食十五分之十二半强若研精经术诸郡从事四十人驳难前非武骑为定日数上柱国录事四人盐州牧监丞三公一十一亿八千七百二十五万八千一百八十九其制各置令内史侍郎天数二十有五差前一日乃敢改法四万四千五百四十八寒暑迭进而岁成焉

部编数学七年级下册专题09算术平方根与立方根的综合运用(解析版)含答案

专题09 算术平方根与立方根的综合运用【例题讲解】已知4是32a -的算术平方根，215a b --的立方根为5-．(1)求a 和b 的值；(2)求24b a --的平方根．【详解】（1）解：∵4是32a -的算术平方根，∴3216a -＝，∴6a =，∵215a b --的立方根为5-，∴215125a b --=-，∴2156125b -´-=-，∴37b =．（2）解：242376464b a --=´--=，64的平方根为8±，∴24b a --的平方根为8±．【综合解答】1270-=，那么6()a b +的立方根是( )A ．-1B ．1C ．3D ．7【答案】B【解析】【分析】根据非负数的性质，得出a ，b 的值，再代入计算即可．【详解】：270-=，0=，3270b -=∴3640a +=，3270b -=，∴a=-4，b=3，∴6()a b +=1，∴6()a b +的立方根为1，故答案为：B ．【点睛】本题考查了非负数的性质和立方根，掌握非负数的性质是解题的关键．2的值为( )A ．114-B ．114±C ．154D ．134【答案】A【解析】【分析】根据算术平方根和立方根的意义分别进行计算，然后根据有实数的运算法则求解即可.【详解】原式1300.52=---++11300.524=---++324=-；故答案为：A.【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握据算术平方根和立方根的意义.3 1.442=0.6694=等于（）A ．57.68B ．115.36C ．26.776D ．53.552【答案】C【解析】【分析】根据立方根的运算法则即可．【详解】440.669410426.776===´´=，故答案为：C ．【点睛】进行正确的拆分．4．下列计算正确的是（）．A 3B 8=±C 7=-D 13=-【答案】D【解析】【分析】根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解．【详解】，故原选项计算错误，不合题意；B.8=，故原选项计算错误，不合题意；C. 7=，故原选项计算错误，不合题意；D. 13=-，故原选项计算正确，符合题意．故选：D【点睛】本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题关键．5．一般地，如果n x a =（n 为正整数，且1n >），那么x 叫做a 的n 次方根，下列结论中正确的是（）A ．16的4次方根是2B ．32的5次方根是2±C ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小D ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而增大【答案】C【解析】【分析】根据题意n 次方根，列举出选项中的n 次方根，然后逐项分析即可得出答案．【详解】A.42=16Q 4(2)=16-，\16的4次方根是2±，故不符合题意；B.5232=Q ，5(2)32-=-，\32的5次方根是2，故不符合题意；C.设x y ==则155153232,28,x y ====1515,x y \> 且1,1,x y >>,x y \>\当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，故符合题意；D.由C 的判断可得：D 错误，故不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查了新概念问题，n 次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x 是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．6．已知a 的算术平方根是12.3，b 的立方根是45.6-，x 的平方根是 1.23±，y 的立方根是456，则x 和y 分别是（）A ．,1001000a x y b ==B ．1000,1000b x a y ==-C ．,1000100a x y b ==-D ．,1000100a x yb ==【答案】C【解析】【分析】根据题意，x 的算术平方根和-b 的立方根，然后根据x 的算术平方根和a 的算术平方根即可求出x 与a 的关系，根据-b 的立方根和y 的立方根关系即可求出y 与b 的关系．【详解】解：∵a 的算术平方根是12.3，b 的立方根是45.6-，x 的平方根是 1.23±，y 的立方根是456，∴x 的算术平方根是1.23，-b 的立方根是45.6∵1.23=110×12.3，456=10×45.6∴x =2110a æöç÷èø，y=103（-b ）即,1000100a x yb ==-故选C ．【点睛】此题考查的是平方根、算术平方根和立方根，根据两数算术平方根的关系推出这两数的关系和两数立方根的关系推出这两数的关系是解题关键．7．实数a ___________．【答案】8【解析】【分析】先根据数轴的定义可得48a <<，从而可得20,100a a -<->，再计算算术平方根和立方根即可得．【详解】由数轴的定义得：48a <<，则20,100a a -<->，2108a a =-+-=，故答案为：8．【点睛】本题考查了数轴、算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键．8．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求1＝_____．【答案】0．【解析】【分析】根据a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数求出ab ＝1，c +d ＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a 、b 互为倒数，∴ab ＝1，∵c 、d 互为相反数，∴c +d ＝0，∴1＝﹣1+0+1＝0．故答案为：0．【点睛】此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．9．已知21a -的平方根是±3，b +2 的立方根是2，则b a -的算术平方根是___________【答案】1【解析】【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a 、b 的方程，求出a 、b 后再代入进行计算求出b a -的值，然后根据算术平方根的定义求解．【详解】解：根据题意得，2a-1=（±3）2=9，b+2 =23,∴a=5,b=6,∴b-a=1，∴b a-的算术平方根是1，故答案是：1.【点睛】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．10．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3，求a+b的算术平方根___．【解析】【分析】先根据2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3得出21931027aa b-=ìí++=î，解之求出a、b的值，再利用算术平方根定义得出答案．【详解】解：∵2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3，∴21931027aa b-=ìí++=î，解得a＝5，b＝2，∴a＋b＝7，则a＋b【点睛】本题主要考查立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是掌握立方根、平方根、算术平方根的定义．11．已知2a-1的平方根是±3，3a+b-9的立方根是2，c的整数部分，则a+2b+c的算术平方根为_____．【答案】4【解析】【分析】由题意首先根据平方根与立方根的概念可得2a-1与3a+b-9的值，进而可得a 、b 的大小，可得c 的值，进而可得a+2b+c ，根据算术平方根的求法可得答案．【详解】解：根据题意，可得2a-1=9，3a+b-9=8；解得：a=5，b=2；又有7＜8，可得c=7；则a+2b+c=16；则16的算术平方根为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，熟练掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法是解题的关键．12A B ，则A ＋B ＝________．【答案】【解析】【详解】===A+B=三、解答题13．()20151-．(2)已知∶2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，求m +2n 的值．(3)已知a b -3是400．【答案】(1)114；(2)m +2n =13；=6【解析】【分析】(1)首先进行开方和乘方运算，再进行有理数的加减运算，即可求得；(2)根据平方根的定义得出方程，解方程即可分别求得m 、n 的值，据此即可解答；(3) 根据无理数的估算和算术平方根的定义，即可求得a 、b 的值，据此即可解答．【详解】解：(1) ()20151+-52314=+-- 114=(2)Q 2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，2216m \+=，3m +n +1=25，解得m =7，n =3，272313m n \+=+´=；(3)\，13，13a \=，又Q b -3是400的算术平方根，400的算术平方根是20，320b \-=，解得b =23，6==．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，平方根和算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值问题，熟练掌握和运用各运算法则和方法是解决本题的关键．14．已知4是32a -的算术平方根，2+a b 的立方根是2．C 的整数部分．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求2a b c -+的平方根．【答案】(1)6a =，1b =， 5c =(2)3±【解析】【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义列出式子，解出a ，b ，c 的值即可．（2）将（1）中所求数值代入，并计算平方根即可．(1)解：由题有2324a -=，322a b +=解得： 6a =；1b =．<∴5< ，∴5c =，即：6a =，1b =，5c =；(2)（2）解：把6a =，1b =，5c =，代入2a b c -+得26215a b c -+=-´+，29a b c -+=，∴2a b c -+的平方根是3±．【点睛】本题考查算术平方根，平方根，立方根的定义，无理数的整数部分，熟练理解平方根，算术平方根，立方根的定义是解题的关键．15．（1）计算：①②（2）求方程中的x 的值①()242160x +-=②()32621127x -+=【答案】（1）①12；②142）①0x =或4x =-；②23x =【解析】【分析】（1）根据算术平方根以及立方根进行计算即可；（2）根据算术平方根以及立方根解方程即可．【详解】（1）①解：原式＝()442-´-48=+12=②解：原式＝()())563114-----+-563114=-+++14=（2）①()242160x +-=()224x +=22x +=±解得0x =或4x =-②()32621127x -+=()312127x -=1213x -=解得23x =【点睛】本题考查了算术平方根以及立方根，掌握算术平方根以及立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．16．（1）一个正数m 的两个平方根分别为3a -和21a +，求这个正数m ．（2）已知52a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 的整数部分，求3a b c -+的平方根．（3）3a =，求a b +的立方根．【答案】（1）49；（2）4±；（3）－1【解析】【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数列式子求解即可；（2）根据立方根和算术平方根的定义及无理数的估算列出关于a 、b 、c 的式子求值，再计算平方根即可；（3）先根据二次根式有意义的条件求出b 的值，从而得出a 的值，再计算两数的和，从而得出立方根．【详解】解：（1）解：依题意：3210a a -++=，解得4a =-，37a -=，2m 749==．（2）解依题意：3523a +=，2314a b +-=，34<<解得5a =，2b =，3c =316a b c -+=，16的平方根是4±（3）解：依题意2020b b -³ìí-³î，得2b =，代入3a =，得3a =-1ab +=-，a b +的立方根是－1．【点睛】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握含义列出式子是解题的关键．17．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1=1.414=14.14==0.1732=1.732=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动位；（2=2.236=7.071= ，= ；（3=1=10=100…小数点变化的规律是：．（4=2.154=4.642= ，= ．【答案】（1）两，右，一；（2）0.7071，22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54，﹣0.4642【解析】【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】（1=1.414=14=141.4…=0.1732=1.732=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位，（2=2.236=7.071=0.7071=22.36，（3=1=10=100…小数点变化的规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）=2.154=4.642，=21.54，=-0.4642．故答案为：（1）两；一；（2）0.7071；22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54；﹣0.4642【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．18．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1 1.414»14.14»141.4»，……0.1732» 1.732»17.32»，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2 3.873» 1.225»»_____»______．（31=10=100=，……小数点的变化规律是_______________________．（4 2.154»0.2154»-，则y =______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【解析】【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】解：（1 1.414»14.14»141.4»，……0.1732» 1.732»17.32»，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2 3.873» 1.225»12.25»0.3873»；故答案为：12.25；0.3873；（31=10=100=，……小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4） 2.154»0.2154»-，0.2154»，0.2154»-，∴y=-0.01．【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．。

尖子生培优教材数学七年级上第四讲。平方根与立方根讲义及答案

尖子生培优教材数学七年级上第四讲。

平方根与立方根讲义及答案第四讲：平方根与立方根知识导引：平方根和立方根的概念在数学中起到了十分重要的作用。

这些概念是通过逆运算来建立的，并且有多种不同的情况。

因此，理解这些概念的最好方法是从平方和立方的概念开始。

此外，还应该学会使用平方根、立方根等知识去解决一些简单的实际问题。

1.有关平方根：1) 一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

2) 算术平方根a的双重非负性：a≥0；a≥0.3) a的三层含义：开方的运算符号，表示对a进行开方运算；特征符号，表示a的算术平方根；表示一种新的数，是开不尽方的数（即无理数）的表示形式。

2.有关立方根：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

因此，任何数都有立方根。

3.实数的几种非负形式：1) a≥0（a为实数）；2) a < 0，|a|≥0（a为实数）。

4.算术平方根的主要性质：1) (√a)²=a；2) a≥0，√(a²)=a；3) ab≥0，√(ab)=√a·√b（a≥0，b≥0）；4) a≥0，b>0，(√a/√b)²=a/b。

典例精析：例1：填空题：1) (-3)的算术平方根是______。

2) 平方根等于它本身的数是______。

3) 和数轴上的点一一对应的数是______。

例1-1：下列说法正确的有：(填入相应的序号)。

①-8是64的平方根；②4的算术平方根是2；③任何数都有立方根；④6根2是2；⑤根是±8；⑥9=±3.例1-2：已知x+2+y-3+(z+1)²=______，求x+y+z的平方根。

例2：比较大小：1) -23与-32.2) 1/2，x，x，x(<x<1)。

例2-1：设a=3-2，b=2-3，c=3-2，则a、b、c的大小关系是( )。

A、a>b>cB、a>c>bC、c>b>aD、b>c>a例3：观察下列等式：32/22=23，33=33=43，34.可得出一般规律是______。

【精品】初中数学 05平方根与立方根讲义+练习题

讲义主题：平方根与立方根一：课前纠错与课前回顾1、作业检查与知识回顾2、错题分析讲解（1）（2）（3）···二、课程内容讲解与课堂练习题模一：平方根例1.1.1±3是9的（）A ．平方根B ．相反数C ．绝对值D ．算术平方根例1.1.2的平方根是（） A ．2 B ．±2 C ． D ．±例1.1.3若12-a 和5-a 是一个正数m 的两个平方根，则a ＝__________，m ＝__________．【讲透例题】题模一：平方根例1.1.1【答案】A【解析】∵（±3）2=9，∴±3是9的平方根，故选；A ．例1.1.2【答案】D【解析】∵=2，∴的平方根是±．例1.1.3【答案】2；9【解析】该题考查的是平方根的性质．∵一个数的平方根互为相反数∴2150a a -+-=，解得：2a =∴()()22212219m a =-=⨯-=【讲透考点】平方根平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．平方根的表示方法：若2x a =，则x 就叫做a 的平方根．一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”．平方根的特征：1．正数有两个平方根，且互为相反数；2．0的平方根是它本身；3．负数没有平方根．【相似题练习】随练81________．随练1.2若225a =，9b =a b +=（）A ．8B ．8±C ．8或2-D ．2或8-题模二：算术平方根例1.2.14的算术平方根是（）A ．2B ．-2C ．±2D 2例1.2.229的算术平方根是__________．例1.2.3下列说法正确的是（）A 42B ．0和1的相反数都是它本身C ．将5、4、3依次重复写两遍得到的6个数的平均数是4D 2是分数例1.2.4一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）A ．a+1B ．a 2+1C 2a 1+D a 1+例1.2.5 若12-x 有意义，则x 的取值范围是__________．【讲透例题】题模二：算术平方根例1.2.1【答案】A【解析】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． ∵2的平方为4，∴4的算术平方根为2．故选A ．例1.2.2 29【解析】2929例1.2.3【答案】C【解析】A 42B 、1的相反数不是它本身，故本选项错误；C 、5、4、3依次重复写两遍得到的6个数的平均数是（5×2+4×2+3×2）÷6=4，故本选项正确；D 2是无理数，不是分数，故本选项错误．故选C ．例1.2.4【答案】B【解析】∵一个自然数的算术平方根为a ，∴这个自然数是a 2．∴和这个自然数相邻的下一个自然数是a 2+1．故选B ．例1.2.5 【答案】12x ≥【解析】双重非负性可得210x -≥，解得12x ≥【讲透考点】二．算术平方根算术平方根的概念: 如果一个非负数x的平方等于a，即2x a=，那么非负数x是a的算术平方根．算术平方根的表示方法：a a a叫做被开方数．算术平方根的性质：双重非负性，在x a=0x≥，0a≥．【相似题练习】随练1.3一个数的算术平方根是2，则这个数是____．随练()28-）A．8-B．8C．8±D．8±题模三：开平方例()22-的平方根为( )A．2-B．2C．2±D．2±例1.3.2如果a是121的平方根，那么24a的算术平方根的相反数的倒数的是__________．例1.3.37例1.3.4 1.718721 1.31117.197609 4.147，那么0.0001718721-，1719760900=__________．【讲透例题】题模三：开平方例1.3.1【答案】D【解析】该题考查的是平方根的概念和根式的性质．一个正数有两个平方根．()222-=，2的平方根有两个，2所以本题的答案是D．例1.3.2 【答案】211-【解析】2212111442a ⎛⎫==± ⎪⎝⎭,24a 的算术平方根为112，112的相反数的倒数的是211-例1.3.3【答案】2和3之间 479273<<例1.3.4【答案】0.0311-，41470【解析】被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0n ≥）．【讲透考点】开平方开平方的概念：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．开平方运算的性质：1．当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0n ≥）．2．平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：（1）若0a ≥，则2(a a =；（2）不管a 2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．【相似题练习】随练1.5已知实数x 、y 231220x y x y ---+=，求85x y +的平方根．随练1.6已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6，则这个数是(___)(___)．题模四：立方根例2.1.127的立方根是__________．例2.1.2338的立方根是__________．例2.1.36427-的立方根是__________．例2.1.49的立方根是__________．例2.1.5下列说法正确的是（）A ．16的算术平方根是4-B ．25的平方根是5C ．1的立方根是1±D ．27-的立方根是3-【讲透例题】题模四：立方根例2.1.1【答案】3【解析】3273=例2.1.2 【答案】32 【解析】332733882⎛⎫== ⎪⎝⎭ 例2.1.3 【答案】43-【解析】3644273⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 例2.1.4 39 39例2.1.5【答案】D【解析】该题考查的是平方根和立方根的概念．A ：错误，16的算术平方根为4；B ：错误，25的平方根为5±；C ：错误，1的立方根为1；D ：正确，所以本题的答案是D ．【讲透考点】立方根立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根；若3,x a =则x 就叫做a 的立方根，一个数a 3a ，其中“3”叫做根指数，不能省略．立方根的特点：1．任意一个数都有立方根；2．正数立方根是正值；3．负数的立方根是负值；4．0的立方根是0．【相似题练习】随练2.1如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（）A ．0B ．正整数C ．0和1D ．1随练2.2下列说法正确的是（）A ．如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零B ．一个数的立方根不是正数就是负数C ．负数没有立方根D ．一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零随练2.3下列各式中，正确的是（）A ．93=±B ()222-=-C 393-=-D ．233-= 随练2.4()255--255±42=382-=-A ．3B ．2C ．1D ．0题模五：开立方例2.2.1求符合下列各条件中的x 的值．（1）2104x -=（2）31108x +=例2.2.2已知343的立方根是7，那么343000的立方根是__________．例2.2.3324a -343b -ab ．例2.2.42n m -+是4322m +8的立方根，求1mn +的平方根【讲透例题】题模五：开立方例2.2.1【答案】（1）12x =±（2）2-=x 【解析】该题考查的是解高次方程．（1）2104x -=214x = 14x =±12x = （2）31108x +=38x =-2x =- 例2.2.2【答案】70．【解析】70．例2.2.3【答案】16【解析】两个数互为相反数，则他们的立方根也互为相反数，∴2443230a b a b -+-=-=， ∴32a b =．例2.2.4【答案】16【解析】该题考察的是代数式求值．算术平方根：若一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，则这个正数x 为a 的算术平方根立方根：若一个数x 的立方等于a ，即3x a =，则这个数x 为a 的立方根．∵224=，∴2是424n m -+，即24n m -+=∵328=，∴2是833228m +228m +=∴5n =，3m =∴116mn +=【讲透考点】开立方开立方的概念：求一个数的立方根的运算．开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．开立方运算的性质：1．当被开方数（大于0）扩大（或缩小）3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍． 233a a =，33a a =．【相似题练习】随练2.533(4)4k k -=－，则k 的取值范围为（）A ．4k ≥B ．4k ≤C ．4k =D ．k 为任意数随练2.6 求符合下列各条件中的x 的值．（1）3343x = （2）()3364x -=-随练2.733560x y -+-=，求x y +的值．三、课后练习（写出各题的主要解答过程。

专题08 平方根、算术平方根和立方根(解析版)

专题08 平方根、算术平方根和立方根【基础内容与方法】±，且互为相反数，其中a称为a的算术平方根；1.非负数a的平方根为a2.如果出现开方开得尽的数，务必先化成有理数，如4要化成2；3.熟记“平方数”和“立方数”.类型一：对平方根、算术平方根和立方根概念的理解1．2±是4的()A．平方根B．算术平方根C．绝对值D．相反数【分析】根据平方根，算术平方根，绝对值，相反数的定义，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．【解答】解：.4A的平方根是2±，即A项正确，B的算术平方根是2，即B项错误，.4C的绝对值是4，即C项错误，.4.4D的相反数是4-，即D项错误，故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，相反数，绝对值，平方根，算术平方根，正确掌握相反数，绝对值，平方根，算术平方根的定义是解题的关键．2．9的平方根是3±，用下列式子表示正确的是()A．3=±D3=B3=±C．3=【分析】直接利用平方根的定义计算即可．【解答】解：3±的平方是9，∴的平方根是39±．故选：C．【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．3．实数的平方根（）A．3B．﹣3C．±3D．±【分析】先将原数化简，然后根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：∵＝3，∴3的平方根是，故选：D．【点评】本题考查平方根的概念，解题的关键是将原数进行化简，本题属于基础题型．4．的算术平方根是（）A．2B．4C．±2D．±4【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．5()A8的算术平方根B．23<<C=±D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A8的算术平方根，故A正确；B、23，故B正确；C、=C错误；D D正确；故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．6．下列说法错误的是（）A．﹣3是9的平方根B．的平方等于5C．﹣1的平方根是±1D．9的算术平方根是3【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可作出判断．【解答】解：A、B、D正确；C、﹣1没有平方根，故选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．7．下列说法中正确的是（）A．的算术平方根是±4B．12是144的平方根C．的平方根是±5D．a2的算术平方根是a【分析】直接利用算术平方根以及平方根的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、＝4，4的算术平方根是2，故此选项错误；B、12是144的平方根，正确；C、＝5，5的平方根是±，故此选项错误；D、a2的算术平方根是|a|，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根以及平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．8．下列说法不正确的是（）A．的平方根是±B．﹣9是81的平方根C．0.4的算术平方根是0.2D．＝﹣3【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【解答】解：0.4的算术平方根为，故C错误，故选：C．【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是正确理解概念，本题属于基础题型．9．下列各式中正确的是（）A．＝±4B．＝﹣9C．＝﹣3D．＝【分析】利用算术平方根和立方根的性质进行计算．【解答】解：A、，即16的算术平方根是4，A错；B、＝﹣3，即﹣27的立方根为﹣3，B错；C、＝3，C错；D、＝，D对．故选：D．【点评】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握这些定义是关键．10．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（）A．2B．﹣2C．4D．1【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2m﹣4+3m﹣1＝0，解得：m＝1，∴2m﹣4＝﹣2所以这个数是4，故选：C．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．11．一个正数x的两个平方根为23a-，则x=．a-和9【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2a﹣3+a﹣9＝0，解得：a＝4，∴2a﹣3＝5所以x是25，故填：25．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．12．已知和互为相反数，求的值．【分析】由相反数的定义可得，+＝0，由立方根的性质可得，3y﹣1+1﹣2x＝0，整理式子即可得＝．【解答】解：由题意可得，3y﹣1+1﹣2x＝0，则3y＝2x，所以＝．【点评】此题主要考查了实数的运算，解题关键是由题意得3y﹣1+1﹣2x＝0，然后即可解决问题．类型二：平方根、立方根与被开方数的数量关系1．已知＝1.147，＝2.472，＝0.5325，则的值是（）A．24.72B．53.25C．11.47D．114.7【分析】根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答．【解答】解：＝＝1.147×10＝11.47．故选：C．【点评】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．2．已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为（）A．0.528B．0.0528C．0.00528D．0.000528【分析】利用立方根定义计算即可求出值．【解答】解：∵＝0.1738，＝1.738，∴a＝0.00528，故选：C．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．3．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333【分析】根据立方根，即可解答．【解答】解：∵≈1.333，∴＝≈1.333×10＝13.33．故选：C．【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．4．已知≈44.91，≈14.20，则≈（不用计算器）．【分析】直接利用二次根式的性质将原式变形得出答案．【解答】解：∵≈44.91，∴＝＝44.91×0.1＝4.491．故答案为：4.491．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解题意是解题关键．5．已知＝2.28，＝7.22，则＝．【分析】根据算术平方根，即可解答．【解答】解：＝2.28×0.1＝0.228．故答案为：0.228．【点评】本题考查的是立方根及算术平方根，根据题意把所求式子分解为已知条件的形式是解答此题的关键．。

平方根和立方根专题(比较难)

平方根和立方根专题(比较难) 平方根和立方根知识归纳】1.平方根：1）若$x=a$（$a>0$），那么$a$叫做$x$的算术平方根，记为$\sqrt{x}$。

规定，$\sqrt{1}=1$。

2）一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；只有1个平方根，它是本身；负数没有实数平方根。

3）两个公式：a）$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；b）$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。

2.立方根：1）若$x=a$（$a>0$），那么$a$叫做$x$的算术立方根，记为$\sqrt[3]{x}$。

2）一个正数的立方根有1个，负数有1个立方根。

3）立方根的性质：a）$\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$；b）$a^3=(\sqrt[3]{a})^3$。

4.已知某数有两个平方根分别是$a+3$与$2a-15$，求这个数。

设这个数为$x$，则有$(a+3)^2=x$，$2a-15$也是$x$的平方根，因此$(2a-15)^2=x$。

解得$a=7$，$x=64$。

5.已知：$2m+2$的平方根是$\pm4$，$3m+n+1$的平方根是$\pm5$，求$m+2n$的值。

由题意可列出方程组：begin{cases}sqrt{2m+2}=4\\sqrt{3m+n+1}=5end{cases}$解得$m=6$，$n=13$，因此$m+2n=32$。

6.已知$a<0$，$b<0$，求$4a^2+12ab+9b^2$的算术平方根。

4a^2+12ab+9b^2=(2a+3b)^2$，因此算术平方根为$|2a+3b|$。

7.甲乙二人计算$a+1-2a+a^2$的值，当$a=3$的时候，得到下面不同的答案：甲的解答：$a+1-2a+a^2=a+(1-a)^2=a+1-a=1$。

乙的解答：$a+1-2a+a^2=a+(a-1)^2=a+a-1=2a-1=5$。

哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？乙的解答是正确的。

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平方根和立方根（讲义）
➢课前预习
1.填空：
(_____)2=0；(_____)2=4；(_____)2=9；(_____)2=16．
由上述运算可知：
①零的平方是______；任何非零数的平方都是______；任何数的平方都是
_______；_______（“存在”或“不存在”）某个数的平方是负数．
②互为相反数的两个数的平方________．
2.做一做，想一想
把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为x，则x满足的条件为__________．
➢知识点睛
1.平方根：一般地，如果一个_______________________，即__________，那么这个
________就叫做a 的平方根；也叫做____________；记作________，读作
“____________”．
2. 一个正数有_____个平方根，它们____________；0有____个平方根，是
________；负数________平方根．
3. 算术平方根：一般地，如果一个_______________________
这个________就叫做a 的算术平方根；记作______，读作“平方根是______． 4. 求一个数a 的平方根的运算，叫做_____，其中a 叫做_______5. 立方根：一般地，如果一个_______________________，即________就叫做a 的立方根；也叫做____________；记作“____________”．
6. 正数的立方根是______；0的立方根是______；负数的立方根是______．
7. 求一个数a 的立方根的运算叫做______，其中a 叫做_______．
➢ 精讲精练
1. 4121
的平方根是_________；(14-)2的算术平方根是_______． 2. 下列说法正确的是（）
A ．-2是-4的平方根
B ．2是(-2)2的算术平方根
C ．(-2)2的平方根是2
D ．8的平方根是4
3. 下列说法正确的是（）
A ．-81的平方根是±9
B ．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数
C ．任何一个数的算术平方根都是正数
D ．2是4的平方根
4. 下列各式中，正确的是（）
A =
B ．0.6=±
C 13=
D 6=±
5. 下列各式中，正确的是（）
A ．-(-7)=7
B ．412=121
C 332244=+=
D 0.1=±
6.
的值为______的平方根是______；
的算术平方根是______的平方根是______．
7. 2=____；2(=____=____=____；
2=____；2=____=____=____．
8. 2=______=______；
=______；若x 2=(-7)2，则x =__________．
9. 一个正数的平方根是a +3与2a -5，求这个正数．
10. 一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方
根是__________．
11. 2=，则2x +5的平方根是______；若2m +2的平方根是±4，3m +n +1的算
术平方根是5，则m +2n 的值是_____．
12. 下列说法正确的是（）
A ．-4没有立方根
B ．1的立方根是1±
C ．36
1的立方根是61 D ．-5的立方根是35- 13. 下列说法错误的是（）
A ．2是8的立方根
B ．±4是64的立方根
C ．13-是127-的立方根
D ．(-4)3的立方根是-4
14. 3
40.1=10=，
27=-，其中正确的有（）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
15. =________=_________= ________；
=_______；3=_________；3=_________．
16. 3=________； 3=_________；
=_________； =_________．
17. 下列说法正确的是（）
A ．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数
B ．一个有理数的立方根，不是正数就是负数
C ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是-1，0，1中的一个
D ．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数一定是1或者0
18. 的平方根是________的立方根是________．
19. 若一个正数的立方根是m ，则比这个正数大1的数的平方根是______．
20. 若x =3．
21. （1）若a <0，则3=______；（2）若a 2=1，则3a =______．
22. 若x <0，则2x =________，33x =________．
【参考答案】
➢课前预习
1.0；2±；3±；4±
①0；正数；非负数；不存在
②相等
2.22
x=
➢知识点睛
1.数x的平方等于a，x2=a，数x；二次方根；，正负根号a
2.两，互为相反数；一，0本身；没有
3.正数x的平方等于a，x2=a，正数x a．0
4.开平方，被开方数
5.数x的立方等于a，x3=a，数x a
6.正数；0；负数
7.开立方，被开方数
➢精讲精练
1.
2
11±；
1
4
2.B
3.D
4.C
5.B
6.2；2±
7.3；9；10；6；a；-a；a；a
8.8；0；50
7
；7
±
9.这个正数是121 9
10.
11.±3，13
12.D
13.B
14.B
15.4
25
；0.6；-10；-5；27；﹣9
16.a；-a；a；-a
17.C
18.2±；2
19.
20.2
21.-a，1±
22.x-，x。