年金精算现值
年金现值公式计算公式
年金现值公式计算公式年金现值是指在一定时期内按相同时间间隔在每期期末收付的相等金额折算到第一期初的现值之和。
要计算年金现值，就得用到年金现值公式。
年金现值公式为：P = A×(1 - (1 + i)^(-n)) / i 。
其中，P 表示年金现值，A 表示每期收付的金额，i 表示利率，n 表示期数。
比如说，小王打算在未来 5 年每年年末存入银行 1 万元，年利率为5%。
那这 5 年存的钱在现在值多少钱呢？咱们就可以用年金现值公式来算一算。
首先，每年存入的 1 万元就是 A，年利率 5%就是 i，5 年就是 n。
把这些数代入公式：P = 10000×(1 - (1 + 0.05)^(-5)) / 0.05 。
接下来就是计算啦，(1 + 0.05)^(-5) 约等于 0.7835 ，1 - 0.7835 约等于 0.2165 ，0.2165÷0.05 约等于 4.3295 ，最后 10000×4.3295 约等于43295 元。
所以，小王未来 5 年每年年末存 1 万元，在年利率 5%的情况下，这些钱在现在大约值 43295 元。
再举个例子，假如小李打算投资一个项目，这个项目未来 10 年每年能给他带来 2 万元的收益，假设市场平均收益率为 8%，那这一系列未来的收益在现在值多少钱呢？同样，A 就是 20000 元，i 是 8%，n 是 10 年。
代入公式：P = 20000×(1 - (1 + 0.08)^(-10)) / 0.08 。
经过计算，(1 + 0.08)^(-10) 约等于 0.4632 ，1 - 0.4632 约等于0.5368 ，0.5368÷0.08 约等于 6.71 ，20000×6.71 约等于 134200 元。
这就说明，在市场平均收益率 8%的情况下，未来 10 年每年 2 万元的收益，在现在大约值 134200 元。
年金精算现值
id i i(m) ( m ) ( m ) ax ( m ) ( m ) i d i d
( m)
( m)
(m) ax ( m) a x ( m)
( m) 精确公式：ax (m)ax (m)
m 1 i很小时 (m) 1, (m) ，因此有 2m 近似公式 m 1 (m) ax ax 2m
h|
ax:n
h
v t px dt ax:hn ax:h h Ex ax h:n
t
例3.3 设随机变量T的概率密度函数为 利力为0.05，求 （1） ax （2） a 基金足够用于实际支付年金的概率。
x
f (t ) 0.015e0.015t ,(t 0),
解：
l21 50000 9 E12 50000 v 9 p12 50000(1 0.06) l12
9 9
983226 50000(1 0.06) 988427 29439.20(元)
9
例3.2 使用生命表确定在i=6%下30岁人缴纳的5000元 在65岁的精算积累值。 解：
2 n年定期生存年金
模型假定：(x)购买了期初付n 年定期生存年金，
每个保单年度初给付年金1元
年金给付的现值随机变量：
1 v K 1 aK 1| , K 0,1, 2,..., n 1 d Y n a 1 v , K n, n 1,...... n| d
3. 生存年金精算现值的概念：
A 1 v n n px
x:n
定义精算现值因子：
n E v n x n px
保险精算学年金的精算现值
年缴m次年纯保费（全期缴费）
年缴m次年纯保费（限期缴费）
6.4 营业保费
保险费用的定义
保险公司支出的除了保险责任范围内的保险金给付 外，其它的维持保险公司正常运作的所有费用支出 统称为经营费用。这些费用必须由保费和投资收益 来弥补。
保险费用的范围：
税金、许可证、保险产品生产费用、保单销售服务费用、 合同成立后的维持费、投资费用等
保险人从保单生效起按年期初缴费。（给付离散， 缴费也离散） 厘定过程：
6.2.2 各种寿险的年缴纯保费
完全离散型年缴均衡纯保费（全期缴费）
完全离散型年缴均衡纯保费（限期缴费）
6.2.3 半连续型寿险的纯保费
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险
保费公式
P( Ax ) Ax ax
ax
a x:n
n Exaxn
k n
延期m年的n年定期生存年金
k nm1
m| ax
vk k px
a x:mn
a x:m
n
Ex
a xm:n
k m
5.3.2 期初付生存年金的精算现值与寿险精 算现值之间的关系
5.3.3 期末付生存年金及其精算现值
终身生存年金 定期生存年金 延期n年的终身生存年金
5.2.3 年金的精算累积值
5.3 离散型生存年金
简介：
离散生存年金定义：
在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期支付一次年金 的保险。
离散生存年金与连续生存年金的关系
计算精算现值时理论基础完全相同 连续－积分离散－求和 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、延付要分别考虑
保费的构成
6.1 全连续型寿险的纯保费
年金现值系数 公式
年金现值系数公式年金现值系数公式是一种用于计算年金现值的数学公式。
在金融领域中，年金是指一定期限内按照一定频率支付的固定金额。
年金现值系数公式可以帮助我们计算出未来的年金现值，从而帮助我们做出更加明智的投资决策。
年金现值系数公式的基本形式为：PV = PMT x [(1 - (1 + r)^-n) / r]其中，PV表示年金现值，PMT表示每期支付的金额，r表示折现率，n表示年金的期数。
这个公式的核心思想是将未来的现金流折现到现在的价值。
在金融领域中，折现率是指投资的风险和时间价值的考虑。
如果我们将未来的现金流直接计算为现值，那么我们就会忽略时间价值和风险的影响，从而导致投资决策的错误。
年金现值系数公式的应用非常广泛。
例如，我们可以使用这个公式来计算退休金的现值。
假设我们每年需要支付10万美元的退休金，退休时间为20年，折现率为5%。
那么我们可以使用年金现值系数公式来计算出退休金的现值：PV = 10,000 x [(1 - (1 + 0.05)^-20) / 0.05] = 122,180.89这意味着，如果我们想要在未来20年内支付10万美元的退休金，那么我们需要在现在投资122,180.89美元。
这个数字可以帮助我们做出更加明智的投资决策，从而确保我们在退休时有足够的资金支持我们的生活。
除了计算退休金的现值之外，年金现值系数公式还可以用于计算其他类型的年金，例如房屋贷款、汽车贷款等。
在这些情况下，我们可以使用年金现值系数公式来计算每月还款金额的现值，从而帮助我们做出更加明智的贷款决策。
需要注意的是，年金现值系数公式只适用于固定金额的年金。
如果年金金额不固定，那么我们需要使用其他的数学公式来计算现值。
此外，年金现值系数公式也不适用于复利计算，因为复利计算需要考虑复利的影响。
年金现值系数公式是一种非常有用的数学工具，可以帮助我们计算未来现金流的现值。
在金融领域中，这个公式被广泛应用于计算退休金、房屋贷款、汽车贷款等。
生存年金的精算现值
通过对生存年金精算现值的计算和分析，投资者可以 优化资产配置，降低投资风险并提高投资收益。
风险与收益平衡
生存年金精算现值有助于投资者在追求收益的同时， 合理控制风险，实现风险与收益的平衡。
07
总结与展望
研究结论
生存年金精算现值模型的有效性
通过实证研究，验证了所提出的生存年金精算现值模型的有效性和准确性，该模型能够较好地预测和评估生存年金的 未来现金流和现值。
精算现值概念
精算现值是一种用于评估保险产品（如生存 年金）未来支付责任的现值的技术。
它考虑了多种因素，如被保险人的预期寿命 、死亡率、利率和费用等，以确定保险公司 为履行未来支付责任所需的当前资金。
精算现值可以帮助保险公司更准确地定价和 评估风险，从而确保公司的稳健运营和客户 的权益保障。
03
生存年金精算现值计算方法
精算符号的定义
定义一系列精算符号，表示生存年金的各种参数和变量。
精算等式的建立
根据生存年金的定义和性质，建立包含精算符号的精算等式。
精算等式的求解
通过代数运算或数值计算，求解精算等式，得出精算现值。
数值解法
数值模型的建立
根据生存年金的实际情况，建立合适的数值 模型。
参数的确定
利用计算机程序或专业软件，进行数值计算 ，得出精算现值。
进一步研究方向
未来研究可以进一步探讨生存年金精 算现值模型在不同人群和不同地区的 应用效果，以及在不同经济环境和政 策背景下的适用性和有效性。同时， 可以进一步研究如何将生存年金精算 现值模型与其他相关模型进行融合和 优化，以提供更全面、准确的评估和 预测结果。
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THANKS
研究不足与展望
保险精算 第4章 年金精算现值
1 Z
Ax 1 ax
Ax:n 1 ax:n
24
现值与纯保费之间的关系
未来保险金给付在签单时的现值随机变量：均值
1 Ax 1 Ax:n Ax:n Ax
n
ax ax ax:n
m
ax:n ax:mn ax:m
Ax:m Ax:mn
Actuarial Science
第 4 章 年金精算现值
生存年金的概念和种类 连续给付型年金 离散型年金 每年给付数次的年金 利用换算函数计算年金精算现值
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
保险精算
1
Actuarial Science
4.1 生存年金的概念和种类
4.1.1 生存年金的概念 4.1.2 生存年金的种类 4.1.3 生存年金精算现值的概念
l xn sx:n (1 i)n lx ax:n
29
Actuarial Science
3.3 离散型年金
3.3.1 期初付年金及其精算现值 3.3.2 期初付年金的精算现值 与寿险趸缴纯保费之间的关系 3.3.3 期末付年金的精算现值 3.3.4 年金的精算累积值
保险精算
30
Actuarial Science
25
应用实例
例 年龄为35岁的人，购买按连续方式给付年金 额2000元的生存年金，利率 i 6%，试利用生命表求 在UDD假设下的下列生存年金的精算现值。1）终身 生存年金；2）20年定期生存年金；3）延期10年的终 身生存年金；4）延期10年的20年定期生存年金。
解
2000a35 2000 1）
第三章生命年金的精算现值47课件
则 T=T(x)的密度函数是 fT t t pxxt
2024/8/2
4
其支付年金的现值记作Y，则Y a T vtdt
T
0
利用总额支付法，则ax
E
a T
0
a T
t
px xtdt
利用现时支付法，则a x
0
v
t
t
p
x
dt
利用总额支付法和利用现时支付法是等价的，
3.2.1按年付的定额生命年金
按年付生命年金是以年为时间间隔 , 每年支付一次 , 每次
支付的金额均相等的生命年金
2024/8/2
24
以期初付的定额的终身生命年金为例 , 考虑其生命年 金的精算现值:
设年龄为x岁的生存者在每个年度初领取年金额为 1 个单位的终身生命年金 ( 即期初付终身生命年金 ) 的 精算现值
2024/8/2
14
比较“延期n年的终身生命年金”、“终身生命年金”和“n年期 定期生命年金”，可以发现：“终身生命年金”=“延期n年的终身 生命年金”+“n年期定期生命年金”
例3-3已知死亡概率在（0.100）上均匀分布，i=4%。 年龄为40岁的人购买每年给付额为3000元的连续给付 型生命年金，求下列各种生命年金的精算现值。（1） 终身生命年金（2）20年定期生命年金（3）延期10年 的终身生命年金（4）延期10年的10年定期生命年金
了连续递增的连续支付型终身生命年金。 这种年金的现值随机变量
2024/8/2
20
（6）如果g(t)=n-[t]，a=0，b=n时，上述一般年金就变
成了年度递减的连续支付型n年期定期生命年金。
2024/8/2
年金现值公式系数表
年金现值公式系数表
年金公式分为年金现值公式和年金终值公式。
年金现值计算公式为：P=A×（P/A，i，n）。
其中，（P/A，i，n）称作“年金现值系数”，可查普通年金现值系数表。
年金终值计算公式为：F=A×（F/A，i，n）。
其中，（F/A，i，n）称作“年金终值系数”，可查普通年金终值系数表。
年金分为普通年金、即付年金、递延年金和永续年金。
普通年金指每期末收付等额款项的年金，也称后付年金。
即付年金指每期期初获得收入的年金，也称先付年金。
递延年金指第一次收付款项发生时间不在第一期末，而是隔若干期后才开始发生的系列等额收付款项，它是普通年金的特殊形式。
永续年金指无限期等额收付的年金，可视为普通年金的特殊形式。
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i(m) m
1 Y a i( m ) m L1 m
i ( m) ( L1) 1 (1 ) 1 1 m Y a i( m ) d ( m) m L1 m m m i ( m) ( L1) i ( m) ( L1) 1 (1 ) 1 E(1 ) ( m) 1 A m m x EY E d ( m) d ( m) d ( m)
§3.4 每年给付数次的年金
1 终身生存年金 模型：（x）,终身生存年金，每年支付m次，期初支付， 每次支付1/m. 精算现值： a( m)
x k 1 m v k px k 0 m m
给付现值随机变量：
(m)
视1/m段为一年，L表示活过的整1/m段数，实际利率为 ， 实际贴现率为 d ，于是考虑每次付款额为1/m的年金
l21 50000 9 E12 50000 v 9 p12 50000(1 0.06) l12
9 9
983226 50000(1 0.06) 988427 29439.20(元)
9
例3.2 使用生命表确定在i=6%下30岁人缴纳的5000元 在65岁的精算积累值。 解：
几种年金形式的精算现值 1. 终身生存年金 ax 模型假设： (x)购买终身生存年金，连续给付，年支付额1元 总额支付法考虑其精算现值： 设余命 T , 未来给付的现值随机变量 Y，则
Y aT
1 vT
0
ax EY EaT at fT (t )dt at t px x t dt
3. 生存年金精算现值的概念：
A 1 v n n px
x:n
定义精算现值因子：
n E v n x n px
注意： 精算现值因子与趸缴纯保费 1 精算积累因子 1
n
Ex
v n n px
例3.1 某人遗嘱中记录，其儿子年满21岁时可获得 其5万元遗产。若其子现年12岁，利用附录中生命 表计算其儿子所得遗产的精算现值（i=6%）。 解：
iax 1 (1 i) Ax
Ax vax ax
2 其他期末付年金形式
ax:n| v k k px ax:n| 1 v n n px
k 1 n
ax:n 1 ax:n1 Ax:n vax:n ax:n 1
险种
m
延期m年期末付 终身生存年金
每个保单年度初给付年金 给付现值随机变量：
Y aK 1|
1 v 1 v v ... v d
2 K
K 1
总额支付法中对上式求期望即得精算现值 ax
两种方法下的精算现值：
现时支付法：
ax v k k px
k 0
总额支付法:
1 v k 1 ax E (Y ) E (aK 1 ) ak 1 k qx k px qx k d k 0 k 0
ax v
k 1
k k
px v
k 0
k k
px 1 ax 1
总额支付法：
Y aK ax E (Y ) E (aK )
精算现值与趸缴纯保费的关系：
1 Ax 1 Ax d ax ax 1 1 d d 1 iv Ax 1 (1 i ) Ax iv i
2 n年定期生存年金
模型假定：(x)购买了期初付n 年定期生存年金，
每个保单年度初给付年金1元
年金给付的现值随机变量：
1 v K 1 aK 1| , K 0,1, 2,..., n 1 d Y n a 1 v , K n, n 1,...... n| d
ax： E (Y ) at t px x t dt an n px n
ax:n v t px dt
t 0
n
3. 延期年金 延期h年终身生存年金
h|
ax v t px dt ax ax:h h Ex ax h
t h hn
延期h年n年定期年金
(1)
0 t t
px fT (t )dt 0.015e0.015 s ds (e0.015 s ) |t e 0.015t
t t 0.05t 0.015t 0
ax v t px dt e
e
dt e 0.065t dt 15.384615 15.38
1
2 2 [ A ( A ) ] 2 x:n x:n
延期h年终身生存年金：
T h 0, Y h| aT h T h
EY (v at h ) t px xt dt v
2 h 2 h
2h
2 p ( a ) h x s px h x h s ds s 0
1 Z 1 Var[Y ] Var 2 Var[ Z ] d d
2
Ax:n| ( Ax:n| )2 d
2
延期付生存年金：
1 a ( Ax:m Ax ) m x d
1 a ( Ax:m Ax:m n ) mn x d
期末付年金的精算现值 1 期末付终身生存年金 ax 在每个保单年度末给付1元，直至终身死亡。 现时支付法：
0
现时支付法考虑其精算现值：
(x)生存至t的概率为
t
px
t
考虑到计算时间[t,t+dt)所支付的当期年金的现值
v dt
按可能支付的时间积分，得到期望年金现值
ax v t px dt
t 0
2. n年定期生存年金 ax:n
aT Y an
n 0
,0 T n ,T n
1 ax Ax
1 vT 1 Z 1 ax E (aT ) E ( ) E( ) (1 Ax )
类似地，有
1 ax:n Ax： n Ax： h|ax Ax h Ax： h|ax:n Ax:h n h
2. 方差 终身年金：
0
1 e0.05T (2) Pr(ax aT ) Pr( 15.38) Pr(T 29.31) 0.05
29.31 0
0.015e0.015t dt 0.3557
注：只有一张保单时，以期望值建立基金，保证支付概率偏低。
年金精算现值与寿险趸缴纯保费的关系 1. 关系（以终身生存年金为例）
Y 1 Z
1 Z 1 Var (Y ) Var ( ) 2 Var ( Z ) Var (aT ) 1
n年期生存年金：
1 Z 1 Var (Y ) Var ( ) 2 Var ( Z )
2 2 [ A ( A ) x: x: ] 2
Var (Y )
A 其中，
(m) x
i i
(m)
Ax
( m) ( m) 1 d ( m) ax Ax
( m) 两类年金精算现值关系 ax 与ax
i ( m) Ax ( m ) Ax i 1 da A d ( m) a ( m) A( m ) x x x x
由上两式，可得
第三章 年金精算现值 本章内容：
生存年金概念和种类 连续给付型生存年金
离散给付型生存年金
每年给付数次的年金 利用换算函数计算年金精算现值
§3.1 生存年金的概念和种类
1. 生存年金的概念： 以某人生存为条件，按约定金额多次给付的 保险形式。 2. 种类：
按缴费方式，趸缴与年缴 被保险人数，个人年金与联合年金 给付额度，定额年金与变额年金 开始日期，即付与延期付年金 有效期，终身与定期
1 35 l30 5000 5000 1.06 l65 35 E30 976611 5000 1.06 818335 45863.35(元)
35
§3.2 连续给付型生存年金
连续型生存年金： 在保障期间，以被保险人存活为条件，连续支付 年金的保险形式。 类型： 终身年金 定期年金 延期年金
h|
ax:n
h
v t px dt ax:hn ax:h h Ex ax h:n
t
例3.3 设随机变量T的概率密度函数为 利力为0.05，求 （1） ax （2） a 基金足够用于实际支付年金的概率。
x
f (t ) 0.015e0.015t ,(t 0),
解：
(m) ax
id i i(m) ( m ) ( m ) ax ( m ) ( m ) i d i d
( m)
( m)
(m) ax ( m) a x ( m)
( m) 精确公式：ax (m)ax (m)
m 1 i很小时 (m) 1, (m) ，因此有 2m 近似公式 m 1 (m) ax ax 2m
对上述近似公式的说明：根据下面提示得到
精算 现值
年金的精算积累值
ax:n
sx:n ax:n
n
sx:n
Ex
lx n sx:n (1 i)n lx ax:n
sx:n ax:n
n 1
1 1 n Ex n Ex
Ex k Ex k 0 k 0 n Ex
k
n 1
n 1
n 1 1 n k lx k (1 i ) lx n k 0 n k Ex k k 0
n年定期生存年金的精算现值 ax:n|