九年级数学PPT 圆周角课件
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数学九年级上第三篇第四节《圆周角》课件
数学九年级上第三篇第四节《圆周 角》课件
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
人教版九年级数学上册《圆周角》优秀PPT课件
∠ ABC = ∠ADC=∠ AEC
课堂练习
1.如图，⊙O是 ABC的外接圆，连接OA,OB,
∠ OBA=50°,求∠C的度数.
解：∵OA=OB
∴∠ OBA=∠ OAB=50° ∴∠ AOB=80°
由圆周角定理可知：
∠ C= 12∠AOB=40°
C O
A
B
课堂练习
2.试找出下图中所有相等的圆周角。
所对的圆心角的一半.
D
A
C
O·
E
B
小试牛刀
1.如图，在⊙O中，∠BOC=60°, 求∠A、∠D的度数.
A
D
O
解：由圆周角定理可知：
∠A=
12∠BOC=
1 2
×60°=
30°
∠D= 12∠BOC= 12×60°= 30°
B
C
发现：同弧所对的圆周角相等
小试牛刀
2.如图，若 CD=EF ,∠A与∠B相等吗？
练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简
述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
A
C O·
√ C （1） A
顶点（不2）在圆上 B
B 边（AC3没）有和圆相交
O·
A O·
CC
·O
B
C
顶点（不4在）圆上
√ （5）
A B
√ （6）
探索新知
探究2：在⊙O上任取一条BC，画出BC所对的一 个圆周角∠BAC和圆心角∠BOC，用量角器测量
他所处的位置B对球门AC的张角∠ABC有关).
A
A
E B
C D
E
AC所对的角ห้องสมุดไป่ตู้ ABC 、∠ADC、
课堂练习
1.如图，⊙O是 ABC的外接圆，连接OA,OB,
∠ OBA=50°,求∠C的度数.
解：∵OA=OB
∴∠ OBA=∠ OAB=50° ∴∠ AOB=80°
由圆周角定理可知：
∠ C= 12∠AOB=40°
C O
A
B
课堂练习
2.试找出下图中所有相等的圆周角。
所对的圆心角的一半.
D
A
C
O·
E
B
小试牛刀
1.如图，在⊙O中，∠BOC=60°, 求∠A、∠D的度数.
A
D
O
解：由圆周角定理可知：
∠A=
12∠BOC=
1 2
×60°=
30°
∠D= 12∠BOC= 12×60°= 30°
B
C
发现：同弧所对的圆周角相等
小试牛刀
2.如图，若 CD=EF ,∠A与∠B相等吗？
练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简
述理由.
B O·
B
C
A
O·
A
A
C O·
√ C （1） A
顶点（不2）在圆上 B
B 边（AC3没）有和圆相交
O·
A O·
CC
·O
B
C
顶点（不4在）圆上
√ （5）
A B
√ （6）
探索新知
探究2：在⊙O上任取一条BC，画出BC所对的一 个圆周角∠BAC和圆心角∠BOC，用量角器测量
他所处的位置B对球门AC的张角∠ABC有关).
A
A
E B
C D
E
AC所对的角ห้องสมุดไป่ตู้ ABC 、∠ADC、
人教版九年级上册数学.圆周角PPT课件.
若ABCD为圆内接四边形，则下列哪
个选项可能成立（ B ） 21.2 特殊情况下，招标代理机构可于投标有效期满之前以书面形式要求投标人延长有效期。投标人应以书面形式答复招标代理机构的
上述要求。若投标人拒绝上述要求，可在原定的投标有效期满后收回其投标保证金；若投标人接受招标代理机构的延期要求，投标文 件继续有效，且不允许修改，但需相应延长投标保证金的有效期。 1．人员服务礼仪 （3）库存报表：包括商品库存明细表、商品库存汇总表、商品库存报警表、商品库存分析表、商品进销存台帐、商品收发汇总表。 员工在整个服务过程中必须保持精神专注，时刻准备着为顾客服务。举例来说，有些营业场所会有老人光顾。在老人进来的时候，因
D C 革命纲领，充分发动群众，解央了民主革命的核心问题，即土地问题。④所属的世界革命范畴不同:旧民主主义革命属于世界资产阶级
革命的一部分，新民主主义革命属于世界无产阶级革命的一部分。
∠BOC=__1_0_0_°,∠A=__5_0_°_
O
3、如图(2)四边形ABCD中, A B
C
∠B与∠1互补,AD的延 长线与DC所夹∠2=600 ,
D 12 E
则∠1=_1_2_0_°_,∠B=_6_0_°__. B
C
4. 判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧,
这两条弧的度数和为3600( √ )
∠B=80°，则∠ADC=_1_0_0_°∠CDE=__8_0_°__
A
A
D
E
80
B
C
100 D
O
B
C
(2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100° 则∠B=_5_0_°___∠D=__1_3_0_°_
(3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则 ∠A=__4_5_°_,
个选项可能成立（ B ） 21.2 特殊情况下，招标代理机构可于投标有效期满之前以书面形式要求投标人延长有效期。投标人应以书面形式答复招标代理机构的
上述要求。若投标人拒绝上述要求，可在原定的投标有效期满后收回其投标保证金；若投标人接受招标代理机构的延期要求，投标文 件继续有效，且不允许修改，但需相应延长投标保证金的有效期。 1．人员服务礼仪 （3）库存报表：包括商品库存明细表、商品库存汇总表、商品库存报警表、商品库存分析表、商品进销存台帐、商品收发汇总表。 员工在整个服务过程中必须保持精神专注，时刻准备着为顾客服务。举例来说，有些营业场所会有老人光顾。在老人进来的时候，因
D C 革命纲领，充分发动群众，解央了民主革命的核心问题，即土地问题。④所属的世界革命范畴不同:旧民主主义革命属于世界资产阶级
革命的一部分，新民主主义革命属于世界无产阶级革命的一部分。
∠BOC=__1_0_0_°,∠A=__5_0_°_
O
3、如图(2)四边形ABCD中, A B
C
∠B与∠1互补,AD的延 长线与DC所夹∠2=600 ,
D 12 E
则∠1=_1_2_0_°_,∠B=_6_0_°__. B
C
4. 判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧,
这两条弧的度数和为3600( √ )
∠B=80°，则∠ADC=_1_0_0_°∠CDE=__8_0_°__
A
A
D
E
80
B
C
100 D
O
B
C
(2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100° 则∠B=_5_0_°___∠D=__1_3_0_°_
(3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则 ∠A=__4_5_°_,
2.2.2第1课时圆周角定理精品PPT课件
数学
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类型之一 圆周角的概念 下列四个图中，∠x是圆周角的是
(C )
A
B
C
D
【点悟】 圆周角满足两个条件：(1)顶点在圆上；(2)两边都
与圆相交．
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类型之二 运用圆周角定理计算 填空：
(1)如图2－2－17(1)，已知∠BOC＝70°，则∠BAC＝ ___3_5_°__；
2.2.2 圆周角
第1课时 圆周角定理 知识管理
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知识管理
1．圆周角的概念
定 义：顶点在圆上，并且___两__边__都__与__圆__相__交_____
的角叫作圆周角．如图 2－2－16，我们
︵
︵
把∠BAC 叫作BC所对的圆周角，BC叫作
圆周角∠BAC 所对的弧．
条弧才是解决此类问题的关键．
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1．[2016·重庆]如图2－2－18，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O 上，连接AC，BC，若∠AOB＝120°，则∠ACB＝_____6_0_°.
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图2－2－18
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2．[2016·巴中]如图2－2－19，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC＝55°， 则∠A＝___3_5_°__．
图2－2－19 【解析】 ∵OB＝OC，∠OBC＝55°，∴∠OCB＝55°，∴∠BOC ＝180°－55°－55°＝70°，由圆周角定理得，∠A＝12∠BOC＝35°.
《圆周角》课件ppt
科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lishi/
它所对的圆心角的一半.
填一填
A
1、如图，∠A是⊙O的圆周角，
O
∠BOC=80°，则∠A= 40° ，
3.3 圆周角定理
本节学习目标：
1、理解圆周角定理、圆心角定理以及两个 推论；
2、会利用圆周角定理、圆心角定理以及 两个推论进行计算、证明。
考考你?
Cj B
O A
什么叫做圆周角？圆心角呢?
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角 叫做圆周角。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
右AB图所中对AB的所圆对心的角圆是周角A是OBA. CB ，
看一看,谁理解?
下列各图中的∠CDE哪些是圆周角?
C
C
D
C
D
E
E D
⑴√
ED
C
⑵√
E
⑶
×∠ACB与
j
圆心角∠AOB,它们的大小有
什么关系?
A
O
B
※ ∠ACB
=
1_ ∠AOB
2
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuwen/
AD 2
课堂练习
2.如图, ⊙O的直径 AB 为10cm, 我 弦AC为6cm,∠ACB 的平分线交 能 ⊙O于 D, 求BC、AD、BD的长. 行
九年级数学《圆周角》课件
方法一：
C
A
解：连接BC ∵AB为直径
D O
∴∠BCA=90°
（直径所对的圆周角为直角）
B
∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15°
∴∠BCD=90°-15=75°
∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相
等）
4.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求 ∠BAD的度数。
C
A
方法二：
解：连接OD
并且两边都和圆相交的角
A
叫圆周角.
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交. B
.
O C
根据圆心与圆周角的位置关系
归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。
A
C
A C
A C
O
B ①
O
O
B
B
②
③
圆周角和圆心角的关系
▪ 1.首先考虑一种特殊情况：
▪ 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角
情境导入
• 当球员在B,D,E处射门时, 他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.你能观察 到这三个角有什么共同 特征吗?
A
E B
C D
1.顶点在圆上 2.两边和圆相交
A
E
●O
C
B
D
1、了解圆周角的概念。 2、会推导证明圆周角定理并会灵活运用。 3、灵活运用圆周角定理推论解决问题。
老师提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
AD C
●O
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
=1 ∠COD,
2.4 圆周角 课件 苏科版数学九年级上册(30张PPT)
知识点 1 圆周角
感悟新知
1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的 角叫做圆周角.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
特别解读 圆周角必须满足两个条件： 1. 顶点在圆上；2. 两边都和圆相交.
2. 圆心角与圆周角的区别与联系
感悟新知
名称 关系
圆心角
圆周角
顶点在圆心
顶点在圆上
区别
在同圆中，一条弧所 对的圆心角只有唯一
一个
特别提醒
感悟新知
1. 求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四 边形的对角互补”，可以转化为求其内接四边形的 对角的度数.
2. 圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弧 所对的两个圆周角，因此，在同圆或等圆中，相等 的弧所对的圆周角相等或互补.
结构导图
课堂小结
圆周角
概念
圆周角定理的推论 圆周角定理 圆内接四边形的性质
感悟新知
2. 一条弦(非直径)所对的圆周角有两种类型，一类是劣弧所 对的圆周角，是一个锐角；另一类是优弧所对的圆周角， 是一个钝角. 如图2.4-4，弦AB所对的圆周角是∠ACB与 ∠ADB，它们分别是A⌒B所对的圆周角和 A⌒CB所对的圆周角.
特别提醒
感悟新知
1. 一条弧所对的圆周角有无数个. 2. 一条弧所对的圆心角只有一个. 3. 由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相 等，所以也可以说：圆周角的度数等于它所对 的弧的度数的一半. 这两种表述是一致的，解题 时，也可以直接作为定理加以应用.
∴ OB＝12BC．∵ OB＝2， ∴ BC＝2OB＝4．∴⊙A的半径为2．
方法点拨
感悟新知
“90°的圆周角所对的弦是直径”是判定直 径的常用方法．特别是在平面直角坐标系中， 当圆经过坐标原点O 时，连接圆与两坐标轴的 交点，得到的弦是直径．
圆周角定理PPT优秀课件
定理：
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角度数的一半
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等
小结：在这个证明过程中你学到了什么：
→解决动态问题：由动到静，找到动静之间的联系; →动态问题要有：分类思想; →在分类讨论时：先特殊再一般，利用特殊情况下的
结论证明其他情况; →多个角相等时可以通过设未知数屡清思路
练习：
完成导学案上的习题
作业：
《天府数学》圆周角与圆心角关 系第一课时
感谢聆听 批评指导
九年级下册
《 圆周角和圆心角的关系》
知识点一：什么是圆周角 顶点在圆周上，角的两边与圆周相交的角叫圆周角
知识点一：什么是圆周角 下图中的都是圆周角吗？
动手做一做：
AB只对应一个圆心角，那么AB能对应几个圆周角呢？
想一想，动手动手画一画
o
Hale Waihona Puke AB一段弧对应 无数个圆周角
证明： 同一条弧所对的圆周角相等
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2、右图是一个圆形的零件， （第 1 题） 你能告诉我，它的圆心的位置 吗？你有什么简捷的办法？
3、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角 分别为（2x＋100）°和（5x－30）°， 求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.
练习一：1.求圆中角X的度数。
35°
120°
120°
O.
70° x
A
B
O.
X
A
O
相等；相等的圆周角所对的弧相等。 半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
练习二：如图，P是△ABC的外接圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等
边三角形。
A
证明：∵∠ABC和∠APC P
都是 ⌒ 所对的圆周角。 AC
· O
∴∠ABC=∠APC=60° B
C
(同弧所对的圆周角相等）
同的理圆，周角∵，∠∴BA∠CB和A∠C=C∠PBC都PB是=6B⌒0C°。所对
∴△ABC等边三角形。
练 已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
习 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
三 求证：B⌒D=D⌒E
A
证明：连结AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
B
定理的证明
（1）圆心在∠BAC的一边上.
A 由于OA=OC
O
因此∠C=∠BAC
而∠BOC=∠BAC+∠C
B
C 所以∠BAC= 1 ∠BOC
2
（2）圆心在∠BAC的内部.
作直径AD. 由于∠BAD= 12∠BOD A ∠DAC= 12∠DOC，
O 所以∠BAD+∠DAC=
B
C 12（∠BOD+∠DOC）
相等的圆周角所对的弧也相等。 如图：则有
∠∠∠AAACDCBBB===1212∠AAAOODBBB；；.
例 如图，AB为⊙O的直径， ∠A=80°，求∠ABC的度数。
解：∵AB为⊙O的直径
A
∴∠C=90°，
O
又∠A=80°
∴ ∠B=10 °
B
图 23.1.12
1、试找出图中 所有相等的圆周角。
结论
半圆或直径所对的圆周角都相等， 都等于90°（直角）。 反过来也是成立的，即 90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
图 23.1.9
Байду номын сангаас
三、探究同一条弧所对的圆周
角和圆心角的关系
1、分别量一量图28.1.10中弧AB所对的两 个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在 圆周上的位置，看看圆周角的
度数有没有变化. 你发 现其中有什么规律吗？
28.1圆的认识
一、回顾
如下图，同学们能找到圆心角吗？它 具有什么样的特征？
顶点在圆心，两 边与圆相交的角叫做 圆心角。
二、认识圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？
像图（3）中的角就是圆周角，而图 （1）、（2）、（4）、（5）中的角都不 是圆周角。
思考：如何判断一个角是不是圆周角 ?
顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做
E DC
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴⌒ BD=
⌒ DE
（同圆或等圆中，相等的圆周角
所对弧相等）。
2、分别量出图28.1.10中弧AB
所对的圆周角和圆心角的度数，
比较一下，你发现什么？
演示
图 28.1.10
为了验证这个猜想，如图所示，可将圆对 折，使这折时痕可经能过出圆现心三O种和情圆况周: 角的顶点C， （1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部,
（3） 折痕在圆周角的外部。
A
B
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则
∠ACB=1__3_0。°
3、 如图，在直径为AB的半 圆中，O为圆心，C、D为半 圆上的两点，∠COD=500， 则∠CAD=__2_5_°_____
内容小结：
(1)一个概念（圆周角）
(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于
该弦所对的圆心角的一半；
(3)二个推论： 同圆内，同弧或等弧所对的圆周角
演示 图 23.1.9
证明：因为OA＝OB＝OC，
WWW. .COM
∴ △AOC、△BOC 都是等腰三角形
∠OAC＝∠OCA， ∠OBC＝∠OCB 又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝图 1238.10.9°
180
∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝ 2 ＝90°
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B） ∠ACB总等于90°
D
即∠BAC=
1 2
∠BOC
（3）圆心在∠BAC的外部.
作直径AD.
由于∠DAB=
1 2
∠DOB
∠DAC= 12∠DOC， 所以∠DAC-∠DAB= 12（∠DOC-∠DOB）
即∠BAC=
1 2
∠BOC
A O
D
C
B
结论：
在同一个圆或等圆中 ,同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于该弧或等 弧所对的 圆心角的一半；
圆周角 。
练习:指出下图中的圆周角。
A
C
O
E
×O
O√
D×
×O
（1）
（2）
（3）
（4）
O
×B
（5）
O
√
F （6）
三、探索半圆或直径所对的圆周角 的度数
如图，线段AB 是⊙O的直径，点C 是⊙O上任意一点 （除点A、B）, 那 么,∠ACB就是直径 AB所对的圆周角. 想想看,∠ACB会是
怎么样的角？为什 么呢？
3、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角 分别为（2x＋100）°和（5x－30）°， 求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.
练习一：1.求圆中角X的度数。
35°
120°
120°
O.
70° x
A
B
O.
X
A
O
相等；相等的圆周角所对的弧相等。 半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
练习二：如图，P是△ABC的外接圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等
边三角形。
A
证明：∵∠ABC和∠APC P
都是 ⌒ 所对的圆周角。 AC
· O
∴∠ABC=∠APC=60° B
C
(同弧所对的圆周角相等）
同的理圆，周角∵，∠∴BA∠CB和A∠C=C∠PBC都PB是=6B⌒0C°。所对
∴△ABC等边三角形。
练 已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
习 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
三 求证：B⌒D=D⌒E
A
证明：连结AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
B
定理的证明
（1）圆心在∠BAC的一边上.
A 由于OA=OC
O
因此∠C=∠BAC
而∠BOC=∠BAC+∠C
B
C 所以∠BAC= 1 ∠BOC
2
（2）圆心在∠BAC的内部.
作直径AD. 由于∠BAD= 12∠BOD A ∠DAC= 12∠DOC，
O 所以∠BAD+∠DAC=
B
C 12（∠BOD+∠DOC）
相等的圆周角所对的弧也相等。 如图：则有
∠∠∠AAACDCBBB===1212∠AAAOODBBB；；.
例 如图，AB为⊙O的直径， ∠A=80°，求∠ABC的度数。
解：∵AB为⊙O的直径
A
∴∠C=90°，
O
又∠A=80°
∴ ∠B=10 °
B
图 23.1.12
1、试找出图中 所有相等的圆周角。
结论
半圆或直径所对的圆周角都相等， 都等于90°（直角）。 反过来也是成立的，即 90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
图 23.1.9
Байду номын сангаас
三、探究同一条弧所对的圆周
角和圆心角的关系
1、分别量一量图28.1.10中弧AB所对的两 个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在 圆周上的位置，看看圆周角的
度数有没有变化. 你发 现其中有什么规律吗？
28.1圆的认识
一、回顾
如下图，同学们能找到圆心角吗？它 具有什么样的特征？
顶点在圆心，两 边与圆相交的角叫做 圆心角。
二、认识圆周角
究竟什么样的角是圆周角呢？
像图（3）中的角就是圆周角，而图 （1）、（2）、（4）、（5）中的角都不 是圆周角。
思考：如何判断一个角是不是圆周角 ?
顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做
E DC
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴⌒ BD=
⌒ DE
（同圆或等圆中，相等的圆周角
所对弧相等）。
2、分别量出图28.1.10中弧AB
所对的圆周角和圆心角的度数，
比较一下，你发现什么？
演示
图 28.1.10
为了验证这个猜想，如图所示，可将圆对 折，使这折时痕可经能过出圆现心三O种和情圆况周: 角的顶点C， （1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部,
（3） 折痕在圆周角的外部。
A
B
C
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则
∠ACB=1__3_0。°
3、 如图，在直径为AB的半 圆中，O为圆心，C、D为半 圆上的两点，∠COD=500， 则∠CAD=__2_5_°_____
内容小结：
(1)一个概念（圆周角）
(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于
该弦所对的圆心角的一半；
(3)二个推论： 同圆内，同弧或等弧所对的圆周角
演示 图 23.1.9
证明：因为OA＝OB＝OC，
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∴ △AOC、△BOC 都是等腰三角形
∠OAC＝∠OCA， ∠OBC＝∠OCB 又 ∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝图 1238.10.9°
180
∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝ 2 ＝90°
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B） ∠ACB总等于90°
D
即∠BAC=
1 2
∠BOC
（3）圆心在∠BAC的外部.
作直径AD.
由于∠DAB=
1 2
∠DOB
∠DAC= 12∠DOC， 所以∠DAC-∠DAB= 12（∠DOC-∠DOB）
即∠BAC=
1 2
∠BOC
A O
D
C
B
结论：
在同一个圆或等圆中 ,同弧或等弧 所对的圆周角相等，都等于该弧或等 弧所对的 圆心角的一半；
圆周角 。
练习:指出下图中的圆周角。
A
C
O
E
×O
O√
D×
×O
（1）
（2）
（3）
（4）
O
×B
（5）
O
√
F （6）
三、探索半圆或直径所对的圆周角 的度数
如图，线段AB 是⊙O的直径，点C 是⊙O上任意一点 （除点A、B）, 那 么,∠ACB就是直径 AB所对的圆周角. 想想看,∠ACB会是
怎么样的角？为什 么呢？