坐标系与参数方程 知识总结
坐标系和与参数方程
坐标系和与参数方程
知识点一（参数方程化普通方程）
【知识梳理】
参数方程：
（1）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任何一点P 的坐标x 和y 都可以表示为
某个变量t 特色函数： ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ；反过来，对于t 的每个允许值，由函数式⎩⎨⎧==)
()
(t g y t f x ，所确定
的点P （x ，y ） 都在曲线C 上 ，那么方程⎩
⎨⎧==)()
(t g y t f x 叫作曲线C 的 参数方程 ，变量t 是参变
数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出 点的坐标间关系 的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程。
（2）参数方程中参数可以有物理意义、几何意义、也可以没有明显意义。
参数方程与xy 方程的互相转换：
曲线的参数方程可以通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x 、y 中的一个与参数t 的
3cos θ.
2C 与3C 交点的直角坐标；1C 与2C 相交于点
【课堂练习】
1．已知曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标
系，则曲线C 的参数方程为 ．
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐
标方程为2cos ρθ=，0,2θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. （1）求C 的参数方程；
（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
一、参数方程化普通方程
二、普通方程化参数方程
三、极坐标方程化直角坐标方程
四、直角坐标方程化极坐标方程
五、参数方程与极坐标方程的互化。
坐标系与参数方程
坐标系与参数方程直角坐标系是由X轴和Y轴组成的二维平面。
在直角坐标系中，一个点的位置可以通过它在X轴和Y轴上的坐标值来确定。
例如，点P的坐标为(x,y)，其中x是点P在X轴上的位置，y是点P在Y轴上的位置。
直角坐标系可以方便地表示直线、抛物线、圆等曲线。
参数方程是一种描述曲线的数学表达方式，其中曲线上的每个点都是由参数变量的函数关系决定的。
参数方程中通常有两个参数变量，例如t和s，分别表示曲线上一些点的位置。
通过固定其中一个参数变量并对另一个参数变量进行取值，可以得到曲线上的一系列坐标点，从而描绘出整个曲线。
参数方程可以用于描述比较复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。
与直角坐标系不同，参数方程可以很方便地表示曲线上的点的倾斜和弯曲程度。
通过调整参数变量的取值范围，还可以对曲线进行调整和变形。
举一个简单的例子来说明直角坐标系和参数方程的区别和应用。
考虑一条直线y=2x+1、在直角坐标系中，我们可以通过给定的函数关系来确定直线上任意点的坐标。
例如，当x=0时，y=1，这表示直线过点(0,1)。
当x=2时，y=5，这表示直线过点(2,5)。
而在参数方程中，我们可以将直线表示为x=t，y=2t+1，其中t是参数变量。
通过对参数变量t进行取值，可以得到直线上的一系列坐标点。
例如，当t=0时，x=0，y=1，这表示直线过点(0,1)；当t=1时，x=1，y=3，这表示直线过点(1,3)。
可以看出，直角坐标系和参数方程在表示曲线上的点的方式上有所不同。
直角坐标系通过给定的函数关系来确定曲线上的点的坐标，而参数方程通过参数变量的函数关系来确定曲线上的点的坐标。
在实际应用中，根据不同的需要和问题，我们可以选择使用直角坐标系或参数方程来描述曲线。
直角坐标系更适用于描述直线、抛物线和圆等简单的曲线，而参数方程更适用于描述复杂的曲线，例如椭圆、双曲线等。
通过选择适当的表示方式，我们可以更方便地理解和分析曲线的形状和特性。
总之，坐标系与参数方程是数学中常用的表示曲线的方式。
(完整版)高中数学极坐标与参数方程知识点
极坐标与参数方程知识点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数）（或 θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． （三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
参数方程讲义
再相互转化。
直角坐标方程
极坐标方程
参数方程
x2 a2
y2 b2
1
带入法
x cos y sin
（ cos )2 ( sin )2
a2
b2
1
两边同乘 sin y
cos x
x a cos y b sin
化为普通
两边平方 ，两式子相加
( x )2 cos2 a ( y )2 sin 2 b
2
2
x
过 点（， ）与 极 轴 平 (a, )
2
2
行的直线
O
sin (0 )
x
（四）参数方程
1 参数方程的定义：
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某
个变数 t 的函数，即
x f (t) y f (t)
并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M（x，y）都
系. （1）求 C1 ， C2 的极坐标方程；（2）若曲线 c3 的极坐标方程
sin( ) 2 4
2 ，求曲线 c3 的直角坐标方程
【答案】（Ⅰ） cos 2 , 2 2 cos 4 sin 4 0（II）x y 4 0
【解析】 用直角坐标与极坐标互化公式即可；用和差公式张开化
，则点 M
对应的参数值 tM
t1
t2 2
二、考点突破
题型一：参数方程化普通方程、极坐标方程化普通方程
对直线、曲线方程进行消参，通过定义及公式进行化简
经典例题分析：例 1. 在直角坐标系 xy 中，直线 l 的参数方程为
x
3
1 2
t
（
t
为参数）．以原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标
(完整版)极坐标与参数方程知识点总结大全
极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.练习1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数A ．B ．C ．D ．2323-3232-2．下列在曲线上的点是（ ）sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数A ．B ．C ．D ．1(,231(,)42-3．将参数方程化为普通方程为（ ）222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数A ．B ．C ．D ．2y x =-2y x =+2(23)y x x =-≤≤2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
极坐标系与参数方程知识点总结
千里之行，始于足下。
极坐标系与参数方程知识点总结
极坐标系与参数方程是描述平面上的点与曲线的两种坐标系统。
1. 极坐标系：
极坐标系由极径（r）和极角（θ）组成，其中极径表示点到原点的距离，极角表示点在极坐标系中的方向。
- 极径：通常用正数表示，表示点到原点的距离。
- 极角：一般用弧度表示，表示点所在的射线与参考射线（通常为 x 轴正半轴）的夹角。
2. 参数方程：
参数方程是一组用参数表示的方程，通过为变量赋予不同的值来表示曲线上的点。
- 参数：参数是代表自变量的符号，可以用任意字母表示。
- 方程组：在参数方程中，通常会有两个或更多的方程，每个方程用参数表示一个坐标分量，用来描述曲线上的点。
极坐标系和参数方程在描述一些特殊曲线时非常有用，例如圆、椭圆、双曲线等。
其中，使用极坐标系描述曲线更加方便，而使用参数方程描述曲线更加灵活。
应用场景：
1. 极坐标系常用于描述圆心在原点的圆形曲线，以及玫瑰线、阿基米德螺线等特殊曲线。
2. 参数方程常用于描述具有特定形状的曲线，如椭圆的参数方程为 x = a * cos(t), y = b * sin(t)，其中 t 为参数，a 和 b 分别为椭圆在 x 轴和 y 轴上的半径。
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锲而不舍，金石可镂。
3. 参数方程也常用于描述轨迹问题，例如描述一个物体在运动过程中的位置随时间而变化的轨迹。
总结：
极坐标系和参数方程是两种用于描述平面上曲线的坐标系统，它们在不同场景下有不同的应用。
熟练掌握这两种坐标系统的表示方法和转换方法，可以更好地理解和描述曲线的性质和特点。
坐标系与参数方程_知识点总结
坐标系与参数方程_知识点总结一、坐标系1.直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，在平面上由两个垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。
一个点在直角坐标系中的位置可以用坐标(x,y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
2.极坐标系3.球坐标系球坐标系是一种用于描述空间点位置的坐标系统，它由径向距离、极角和方位角组成。
一个点的位置可以用有序数组(r,θ,φ)来表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与一些固定轴的夹角，φ为点的方位角。
二、参数方程1.一维参数方程一维参数方程是指由一个参数确定的直线或曲线的方程。
例如，一个点在直线上的一维参数方程可以表示为x=f(t)，其中x为点在直线上的位置，t为参数，f(t)为关于参数t的函数。
2.二维参数方程二维参数方程是指由两个参数确定的平面曲线的方程。
一个点在平面上的位置可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)分别为关于参数t的函数。
二维参数方程常用于描述曲线、圆、椭圆等几何图形。
3.三维参数方程三维参数方程是指由三个参数确定的空间曲线的方程。
一个点在空间中的位置可以表示为(x(t),y(t),z(t))，其中x(t)、y(t)和z(t)分别为关于参数t的函数。
三维参数方程常用于描述空间曲线、曲面等几何图形。
三、坐标系与参数方程的关系坐标系和参数方程之间存在着密切的关系。
在直角坐标系中，一个函数的参数方程可以通过将x和y用参数表示来得到，即将x=f(t)和y=g(t)的参数方程转化为直角坐标系中的函数y=f(x)的形式。
反之，一个函数的直角坐标系方程也可以通过将x和y用参数表示来得到参数方程。
参数方程在极坐标系和球坐标系中也可以通过类似的方式转化。
总结：坐标系是描述点的位置的系统，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系。
参数方程是用参数表示的函数方程，常用于描述直线、曲线、曲面等几何图形。
坐标系和参数方程之间存在密切的关系，可以通过转化将一个方程从坐标系表示转化为参数方程，反之亦然。
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第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系。
(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：3．直线的极坐标方程(1)特殊情形如下表：四柱坐标系与球坐标系简介（了解）第二讲一曲线的参数方程1．参数方程的概念2．圆的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线（了解）。
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坐标系与参数方程【要点知识】
一、坐标系
1.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点(,)
P x y是平面直角坐标系xOy中的任意一点，在变换
(0)
:
(0)
x x
y y
λλ
ϕ
μμ
'=>
⎧
⎨'
=>
⎩
的
作用下，点(,)
P x y对应到点(,)
P x y
'''，我们把ϕ称为平面直角坐标系xOy中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
2.极坐标系
（1）极坐标系的概念
如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样我们就建立了一个极坐标系.
（2）极坐标
设点M是平面内一点，极点O与点M的距离叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM
∠叫做点M的极角，记为θ. 我们把有序数对(,)
ρθ叫做点M的极坐标，记为(,)
Mρθ.
（3）极径、极角的取值范围
一般地，极径0
ρ≥，极角R
θ∈.
3.极坐标与直角坐标之间的互化
如图所示，设点M是平面内任意一点，记点M的直角坐标为(,)
x y，极坐标为(,)
ρθ. 我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系：
（ⅰ）直角坐标化极坐标：cos
xρθ
=，sin
yρθ
=；
（ⅱ）极坐标化直角坐标：222x y ρ=+，tan y x
θ=（0x ≠）. 【注】上面两类关系式是我们进行极坐标与直角坐标互化的重要关系式. 解题时，大家要根据题意灵活选用.
4.几个简单曲线的极坐标方程
（1）圆的极坐标方程：圆心在(,0)C a （0a >），半径为a 的圆的极坐标方程为2cos a ρθ=；
（2）直线的极坐标方程：经过极点，从极轴到直线的角是
4π的直线l 的极坐标方程为4π
θ=和54
πθ=. 5.柱坐标系与球坐标系
（1）柱坐标系
如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ，设点P 是空间中任意一点，它在Oxy 平面上的射影为点Q ，用(,)ρθ（0ρ≥，02θπ≤<）表示点Q 在Oxy 平面上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(,,)z ρθ（z R ∈）表示. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系；相应地，把有序数组(,,)z ρθ叫做点P 的柱坐标，记作(,,)P z ρθ，其中0ρ≥，02θπ≤<，z R ∈.
【注】直角坐标与柱坐标互化的变换公式：
（2）球坐标系
如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz ，设点P 是空间中任意一点，连结OP ，记OP r =，OP 与Oz 轴正向所夹的角为ϕ，设点P 在Oxy 平面上的射影为点Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(,,)r ϕθ表示. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系）；相应地，把有序数组(,,)r ϕθ叫做点P 的球坐标，记作(,,)P r ϕθ，其中0r ≥，
0ϕπ≤≤，02θπ≤<.
【注】直角坐标与球坐标互化的变换公式：cos cos cos sin sin x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩
二、参数方程
1.参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数()()
x f t y g t =⎧⎨=⎩①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)
P x y 都在这条曲线上，那么我们就把方程组①叫做这条曲线的参数方程，而把联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.
2.参数方程与普通方程之间的互化
曲线的参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同形式. 一般地，可以通过消去参数，由参数方程得到普通方程；反之，如果已知变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如()x f t =，则我们可以通过把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()y g t =，由此得到的方程组()()x f t y g t =⎧⎨=⎩
就是该曲线的参数方程. 【注】在解决参数方程与普通方程互化的问题时，必须要使x ，y 的取值范围保持一致.
3.几个简单曲线的参数方程
（1）圆的参数方程：圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）；
（2）椭圆的参数方程：中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ
=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）；
（3）双曲线的参数方程：中心在原点O ，焦点在x 轴上的双曲线的参数方程为sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩
（ϕ为参数），这里，sec ϕ是ϕ的正割函数，并且1sec cos ϕϕ=； （4）抛物线的参数方程：以原点O 为顶点，以x 轴为对称轴，开口向右的抛
物线22y px =（0p >）（不包括原点）的参数方程为22tan 2tan p x p y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（α为参数）； （5）直线的参数方程：过点000(,)M x y ，倾斜角为α（2πα≠）的直线l 的参数
方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）； （6）渐开线的参数方程：(cos sin )(sin cos )x r y r ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨
=-⎩（ϕ为参数）； （7）摆线的参数方程：(sin )(1cos )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩（ϕ为参数）.。