第二题 指派问题
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第4章整数规划——指派问题
4 指派问题
解： 可行解｛c12=0， c24 =0， c31 =0， c43 =0｝是一个独立零元素组， c12=0， c24 =0， c31 =0， c43 =0分别称 为独立零元素； ｛c12=0， c23 =0， c31 =0， c44 =0｝也 是一个独立零元素组，而｛c14=0， c23 =0， c31 =0， c44 =0｝就不是独立零元素 组.
4 指派问题
1）对新矩阵中所有不含“*”元素的行打√ ； 2）对打√的行中，所有打×零元素所在的列打√； 3）对所有打√列中标记“*”元素所在行打√； 4）重复上述2），3）步，直到不能进一步打√为止； 5）对未打√的每一行划一直线，对已打√的每一列划一纵线， 即得到覆盖当前0元素的最少直线数。 第四步：对矩阵未被直线覆盖过的元素中找最小元素，将打 √行的各元素减去这个最小元素，将打√列的各元素加上这个最小 元素（以避免打√行中出现负元素），这样就增加了零元素的个 数，返回第二步。 【例5】 求解例1和例2
X (2)
都是指派问题的最优解。
4 指派问题
4.3 指派问题的求解 指派问题既是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的运输问 题，因此可以用多种相应的解法来求解，然而这些解法都没有充 分利用指派问题的特殊性质，有效地减少计算量，直到1955年库 恩（W. W. Kuhn）提出的匈牙利法才有效地解决了指派问题。 匈牙利法的理论基础 定义2 独立零元素组 在效率矩阵中，有一组在不同行不同 列的零元素，称为独立零元素组，其每个元素称为独立零元素。 5 0 2 0 2 3 0 0 C 【例4】 已知效率矩阵 0 5 6 7 4 8 0 0 求其独立零元素组。
0 , 不 指 派 Ai 承 建 商 店 B j x ij ( i , j 1, 2 ,3, 4 ,5 ) 1, 指 派 Ai 承 建 商 店 B j
数学建模模版之指派问题2
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 x (xij ) 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
三. 求最大化指派问题 (max cx) 1. 可以将之最小化 min - cx . 2. 为方便起见，可令
c~ij M cij 0 , M max { cij } 转化为 min c~x.
对第5行打√, 检查第5行，对第1列打√，检查第一列
对第3行打√, 检查第3行，打√操作终止。
画线：没打√的行划横线和打√的列划竖线。
Step 4. 变换新矩阵 B (bij ), 使零元素增加 : ①在B中没被直线覆盖的各元 素中找出最小元素 ;
②对B中没被画直线的各行减 去;对B中已画直线的 各列加上
⑤ 对于没有√的行画横线，对所有打√号的列画竖线， 产生覆盖所有零元素的最少直线，直线数目应等于
0 的个数。
例： 5 0 2 0 2 2 3 0 0 0
B 0 10 5 7 5 9 8 0 0 4 0 6 3 6 2
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 5√ 9 8 0 0 4 0√ 6 3 6 2√
1, (i, j) J xij
0, (i, j) J
为指派问题的最优指派决策.
二、匈牙利法的步骤
Step 1. 将C零元素化,得到矩阵B，使B中每行每列中均有 零元素 ① C中的各行减该行最小元素； ② C中的各列减该列最小元素；
例： (本章例3，n=4)
-4 -2
3 14 10 5 -3
k (可正、可负)后，形成新矩阵 B (bij )nn ,则以B为效益矩 阵的指派问题与原问题 有相同的最优解 , 但新问题的最优值 ~z *与原问题的最优值 z *满足~z * k z * ( 你能证明吗？)
三. 求最大化指派问题 (max cx) 1. 可以将之最小化 min - cx . 2. 为方便起见，可令
c~ij M cij 0 , M max { cij } 转化为 min c~x.
对第5行打√, 检查第5行，对第1列打√，检查第一列
对第3行打√, 检查第3行，打√操作终止。
画线：没打√的行划横线和打√的列划竖线。
Step 4. 变换新矩阵 B (bij ), 使零元素增加 : ①在B中没被直线覆盖的各元 素中找出最小元素 ;
②对B中没被画直线的各行减 去;对B中已画直线的 各列加上
⑤ 对于没有√的行画横线，对所有打√号的列画竖线， 产生覆盖所有零元素的最少直线，直线数目应等于
0 的个数。
例： 5 0 2 0 2 2 3 0 0 0
B 0 10 5 7 5 9 8 0 0 4 0 6 3 6 2
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 5√ 9 8 0 0 4 0√ 6 3 6 2√
1, (i, j) J xij
0, (i, j) J
为指派问题的最优指派决策.
二、匈牙利法的步骤
Step 1. 将C零元素化,得到矩阵B，使B中每行每列中均有 零元素 ① C中的各行减该行最小元素； ② C中的各列减该列最小元素；
例： (本章例3，n=4)
-4 -2
3 14 10 5 -3
k (可正、可负)后，形成新矩阵 B (bij )nn ,则以B为效益矩 阵的指派问题与原问题 有相同的最优解 , 但新问题的最优值 ~z *与原问题的最优值 z *满足~z * k z * ( 你能证明吗？)
指派问题——匈牙利法
•若资源少，事件多，则增加一些虚拟的 资源点，这些虚拟的资源做事件的效率 系数为0，可理解为这些费用(成本)实际 上不会发生；
• 若资源多，事件少，则增加一些虚拟 事件，这些虚拟事件被资源实现的费用( 成本、效率)取值为0；
非标准形式的指派问题
(3) 一个资源可以做多件事的指派问题
若某资源可以用来做几件事件，则 可将该资源化作相同的几个资源来接 受指派，这几个“资源”做同一事件的 费用（效率）系数取相同值；
例 下列矩阵中，最少3条直线覆盖了所有0元 素，因此可判定矩阵有3个独立0元素。
0 1 3 4 2 0 6 0 0 5 9 3 2 7 0 6
指派问题的匈牙利解法——步骤
Step 1. 每行减去该行的最小数, 每列减去该 列的最小数，使矩阵每行每列均有0元素；
Step 2. 寻找独立0元素
• 从单个0元素的行(列)开始，给0加圈，记作◎，然 后划去所在列(行)的其它0元素，记为；重复进 行，直到处理完所有列(行)的单个0元素；
• 练习例题：甲乙丙丁四个人，A、B、C、D四 项任务，不同的人做不同的工作效率不同， 表中数据为时耗，如何指派不同的人去做不 同的工作使效率最高？
数模： minZ=ΣΣcijxij Σxij=1 i=1,…,n Σxij=1 j=1,…,n Xij=0或1
任务 人 时间
甲 乙 丙 丁
ABC D 4 10 7 5 2763 3344 4663
(1) 最大化指派问题
设效率矩阵为 C (cij )nn ，其中最大元素 为 m，令矩阵 B (bij )nn , bij m cij ，则 以 B为效率矩阵的最小化指派问题和以C为 效率矩阵的原最大化指派问题有相同的最优 解；
非标准形式的指派问题
• 若资源多，事件少，则增加一些虚拟 事件，这些虚拟事件被资源实现的费用( 成本、效率)取值为0；
非标准形式的指派问题
(3) 一个资源可以做多件事的指派问题
若某资源可以用来做几件事件，则 可将该资源化作相同的几个资源来接 受指派，这几个“资源”做同一事件的 费用（效率）系数取相同值；
例 下列矩阵中，最少3条直线覆盖了所有0元 素，因此可判定矩阵有3个独立0元素。
0 1 3 4 2 0 6 0 0 5 9 3 2 7 0 6
指派问题的匈牙利解法——步骤
Step 1. 每行减去该行的最小数, 每列减去该 列的最小数，使矩阵每行每列均有0元素；
Step 2. 寻找独立0元素
• 从单个0元素的行(列)开始，给0加圈，记作◎，然 后划去所在列(行)的其它0元素，记为；重复进 行，直到处理完所有列(行)的单个0元素；
• 练习例题：甲乙丙丁四个人，A、B、C、D四 项任务，不同的人做不同的工作效率不同， 表中数据为时耗，如何指派不同的人去做不 同的工作使效率最高？
数模： minZ=ΣΣcijxij Σxij=1 i=1,…,n Σxij=1 j=1,…,n Xij=0或1
任务 人 时间
甲 乙 丙 丁
ABC D 4 10 7 5 2763 3344 4663
(1) 最大化指派问题
设效率矩阵为 C (cij )nn ，其中最大元素 为 m，令矩阵 B (bij )nn , bij m cij ，则 以 B为效率矩阵的最小化指派问题和以C为 效率矩阵的原最大化指派问题有相同的最优 解；
非标准形式的指派问题
运筹学__指派问题
•下面要证明M m. 如图假定覆盖所有0元素的m条直线 有r行、c列，m=r+c.
所有r行上不在j1，…，jc列上的0元 素个数≥ r，这些0元素至少有r个位
于不同列
同理：所有c列上不在i1，…，ir行上
j1 j2
的0元素个数≥c ，且这些0元素至
少有c个位于不同
i1 i2
ir jc
若上述两部分0个数总和为S，则S≥m；其中有m 个，又它们必无重复元素，彼此独立，则SM,故 有m≤M， 故可得M=m.
覆盖所有“0”元素的最少直线数 = 独立的“0”元素 的最多个数
推论1：覆盖所有“0”元素的直线数≥ 不同行不同列的“0”元素的最多个数（m）
推论2：覆盖所有“0”元素的最少直线数≥ 不同行不同列的“0”元素的个数
定理2说明： 1. 只要表中含有不同行或不同列的“0”元素，
都可以通过直线覆盖的方式来找到它们 2. 当覆盖直线的最少条数达到m条时，
（二）算法的基本原理 匈牙利数学家狄·康尼格(D·Konig)证明的两个定理
定理1 如果从指派问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)， 从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势) 得到一个新的效率矩阵[bij]， 若其中bij=cij-ui-vj，
一、指派问题的数学模型
（一）举例
例7： 有一份中文说明书， 要分别译成英、日、德、俄四种文字， 分别记作E 、 J 、 G 、 R ,交与甲、乙、丙、丁 四个人去完成. 因个人专长不同， 他们完成翻译不同语种的说明书所需的时间(h)如表所示. 应如何指派，使四个人分别完成这四项任务总时间为最小？
任务 人员
将其代入目标函数中得到zb=0，它一定是最小值。 ❖ 这就是以(bij)为系数矩阵的指派问题的最优解。
指派 问题
指派问题（Assignment Problem ）1. 标准指派问题的提法及模型指派问题的标准形式是：有n 个人和n 件事，已知第i 个人做第j 件事的费用为cij （i ，j=1，2，…，n ），要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这n 件事的总费用最小。
设n2个0-1变量1,i j 0,i j ij x ⎧=⎨⎩若指派第个人做第件事若不指派第个人做第件事(i,j=1,2,…, n) 数学模型为:1111min 1.101,,1,2,,n nij iji j nij i n ij j ijZ c x x s t x x or i j n =====⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪==⎪⎩∑∑∑∑ 其中矩阵C 称为是效率矩阵或系数矩阵。
其解的形式可用0-1矩阵的形式来描述，即 (xij)n ⨯n 。
标准的指派问题是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的0-1规划问题和特殊的运输问题。
1955年W. W. Kuhn 利用匈牙利数学家D. Konig 关于矩阵中独立零元素的定理, 提出了解指派问题的一种算法, 习惯上称之为匈牙利解法。
2. 匈牙利解法匈牙利解法的关键是指派问题最优解的以下性质：若从指派问题的系数矩阵C=（cij ）的某行（或某列）各元素分别减去一个常数k ，得到一个新的矩阵C ’=（c ’ij)，则以C 和C ’为系数矩阵的两个指派问题有相同的最优解。
（这种变化不影响约束方程组，而只是使目标函数值减少了常数k ，所以，最优解并不改变。
）对于指派问题，由于系数矩阵均非负，故若能在在系数矩阵中找到n 个位于不同行和不同列的零元素（独立的0元素），则对应的指派方案总费用为零，从而一定是最优的。
匈牙利法的步骤如下：步1：变换系数矩阵。
对系数矩阵中的每行元素分别减去该行的最小元素；再对系数矩阵中的每列元素分别减去该列中的最小元素。
若某行或某列已有0元素，就不必再减了（不能出现负元素）。
步2：在变换后的系数矩阵中确定独立0元素（试指派）。
指派问题
其它方面的运用
指派问题 运输问题
1. 指派问题（Assignment Problem）
有n项任务由n个人完成，每项任务交给一个人，每人都有一项 任务。由i个人完成j项任务的成本（或效益）为cij。求使总成本 最小（或总效益最大）的分配方案。
设：
0 第i个人不从事第j项任务 x ij 1 第i个人被指派完成第j项任务
1
8 7
2
10 8
3
9Hale Waihona Puke 1143 25
6 9
船
3
4 5
2
7 10
4
7 8
6
5 10
4
2 3
4
7 11
匈牙利法（Hungarian Method）
1.写出行数和列数相同的成本矩阵； 2.压缩成本矩阵：每一行的所有成本均减去行里面 最小的成本，然后每一列的所有成本均减去列里 面最小的成本，使新的成本矩阵每一行每一列至 少有一个为0； 3.以最少的直线（水平或者垂直）划掉所有的0， 若所用直线数与行数相同，则已经找到最优解， 可以跳到第5步，否则就进行第4步； 4.找到没有被划掉的最小的数值，从所有没有被划 掉的数值中减去这一数值，而所有被划掉2次的 划线数值加上这一数值。返回第3步； 5.根据0的位置确定最佳指派方案。
销售 人员
指派问题3 （Assignment Problem）
7项工作分别分派给7个设备的成本若下表所示， 应如何分派？
成本 1 2 3 1 68 14 54 2 48 64 10 3 57 71 54 设备 4 48 50 13 5 84 24 8 6 10 10 9 7 77 84 8
任务
4 5 6 7
一个销售经理要分派6个销售人员负责不同地区 的销售，这些销售人员有不同的关系和能力，他们 的期望销售额如下表所示，应如何分派？
指派问题 运输问题
1. 指派问题（Assignment Problem）
有n项任务由n个人完成，每项任务交给一个人，每人都有一项 任务。由i个人完成j项任务的成本（或效益）为cij。求使总成本 最小（或总效益最大）的分配方案。
设：
0 第i个人不从事第j项任务 x ij 1 第i个人被指派完成第j项任务
1
8 7
2
10 8
3
9Hale Waihona Puke 1143 25
6 9
船
3
4 5
2
7 10
4
7 8
6
5 10
4
2 3
4
7 11
匈牙利法（Hungarian Method）
1.写出行数和列数相同的成本矩阵； 2.压缩成本矩阵：每一行的所有成本均减去行里面 最小的成本，然后每一列的所有成本均减去列里 面最小的成本，使新的成本矩阵每一行每一列至 少有一个为0； 3.以最少的直线（水平或者垂直）划掉所有的0， 若所用直线数与行数相同，则已经找到最优解， 可以跳到第5步，否则就进行第4步； 4.找到没有被划掉的最小的数值，从所有没有被划 掉的数值中减去这一数值，而所有被划掉2次的 划线数值加上这一数值。返回第3步； 5.根据0的位置确定最佳指派方案。
销售 人员
指派问题3 （Assignment Problem）
7项工作分别分派给7个设备的成本若下表所示， 应如何分派？
成本 1 2 3 1 68 14 54 2 48 64 10 3 57 71 54 设备 4 48 50 13 5 84 24 8 6 10 10 9 7 77 84 8
任务
4 5 6 7
一个销售经理要分派6个销售人员负责不同地区 的销售，这些销售人员有不同的关系和能力，他们 的期望销售额如下表所示，应如何分派？
二次指派问题的理论与算法
二次指派问题的理论与算法二次指派问题的理论与算法一、什么是二次指派问题二次指派问题是在计算机最优化理论中常见的一个问题。
它的基本结构由资源的使用者、被指派的资源以及求解的目标组成。
它的主要任务是尽可能将资源高效地指派给不同的使用者，以达到令行知名的目标。
二次指派问题已被用于机器人任务指派，交通路线指派，被指派任务的决策，人工智能规划，医疗工作调度系统以及众多其他等实际应用。
二、二次指派问题的理论二次指派问题具有四个重要的理论框架：最优性条件、正交性原理、资源分配一致性以及决策规划的综合理论。
1、最优性条件：指在给定的实力限制下，总是能找到一个最优的解决方案。
2、正交性原理：指给定资源规模、使用者能力以及求解目标之后，需要找到每一个使用者和资源之间的唯一正交解，以达到最优化效果。
3、资源分配一致性：指在使用者之间的资源分配是一致的，也就是说资源的分配要保持一致。
4、决策规划的综合理论：指要根据不同的实力限制以及指派的资源，采用决策规划的综合理论来进行资源指派，并且获得最佳的分配结果。
三、二次指派问题的算法对于二次指派问题，一般有四种不同的算法进行解决：单层搜索、直觉式搜索、混合算法以及哈密顿算法。
1、单层搜索：指以不断地遍历节点/路径为基础，深度优先搜索或广度优先搜索等手段，最终找到最优解。
2、直觉式搜索：采用极大量的迭代来收敛到最优解，是一种速度较快的搜索算法。
3、混合算法：将单层搜索和总结式搜索融合在一起，形成一种综合性的搜索技术，使搜索效率较高。
4、哈密顿算法：是一种图形搜索的算法，它通过图搜索的思想，搜索出一条遍历所有点的最佳路径，来获取最优解。
四、总结二次指派问题在最优化理论中被广泛应用，它包括四个重要的理论框架：最优性条件、正交性原理、资源分配一致性以及决策规划的综合理论；而其解决的算法也常用单层搜索、直觉式搜索、混合算法以及哈密顿算法等。
未来在二次指派问题中，仍需不断追求更高性能、更有效率和更全面性的算法方法，使指派任务更加高效。
指派问题(经典运筹学)
c 11 c 取 C 21 c n1 c 12 c 22 cn2 c1n c 2n c nn
1 1 c 11 2 c 21 … i c i1 … n c n1 2
c 12 c 22 ci2 cn2
…
1 2 3 4
6 20 10
21
25 14 0
5
x6
解：x i
1
2
0
不在第i个地区建站
i=1,2, …,6
Z表示全区消防站总数
2 6 1 x3 x4 1 s.t x3 x4 x5 1 x x x 1 4 5 6 x i 0 ,1 i 1, 2 , , 6
一、决策问题与0-1变量
决策变量
xi
x i 是否做第
i 件事 i 1, 2 , , n
1 0
做第i件事 不做第i件事
x1 x 2 x n k
n件事中必须做k件并只做k件事 n件事中最多做k件事 n件事中至少做k件事
x1 x 2 x n k x1 x 2 x n k
当n=4时， 有16变量，8个约束方程
例：现有4份工作，4个人应聘，由 于各人技术专长不同，他们承担 各项工作所需费用如下表所示， 且规定每人只能做一项工作，每 一项工作只能由一人承担，试求 使总费用最小的分派方案。
工作
Z表示总费用
max Z 3 x11 5 x12 4 x13 5 x14 6 x 21 7 x 22 6 x 23 8 x 24 8 x 31 9 x 32 8 x 33 10 x 34 10 x 41 10 x 42 9 x 43 11 x 44
1 1 c 11 2 c 21 … i c i1 … n c n1 2
c 12 c 22 ci2 cn2
…
1 2 3 4
6 20 10
21
25 14 0
5
x6
解：x i
1
2
0
不在第i个地区建站
i=1,2, …,6
Z表示全区消防站总数
2 6 1 x3 x4 1 s.t x3 x4 x5 1 x x x 1 4 5 6 x i 0 ,1 i 1, 2 , , 6
一、决策问题与0-1变量
决策变量
xi
x i 是否做第
i 件事 i 1, 2 , , n
1 0
做第i件事 不做第i件事
x1 x 2 x n k
n件事中必须做k件并只做k件事 n件事中最多做k件事 n件事中至少做k件事
x1 x 2 x n k x1 x 2 x n k
当n=4时， 有16变量，8个约束方程
例：现有4份工作，4个人应聘，由 于各人技术专长不同，他们承担 各项工作所需费用如下表所示， 且规定每人只能做一项工作，每 一项工作只能由一人承担，试求 使总费用最小的分派方案。
工作
Z表示总费用
max Z 3 x11 5 x12 4 x13 5 x14 6 x 21 7 x 22 6 x 23 8 x 24 8 x 31 9 x 32 8 x 33 10 x 34 10 x 41 10 x 42 9 x 43 11 x 44
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3 8 8 7 6 4 8 4 9 10
2 10 3 2 9 7 2 7 5 2 3 5 6 9 10
分配问题与匈牙利法
答案：
Page 19
7 13 15 11
9 12 16 12
10 16 14 15
12 17 15 16
0 2 15 13 4 2 10 4 14 15 4 6 0 9 14 16 13 9 0 7 8 11 9 7 2）试指派（找独立0元素） 13 11 2 0 10 11 5 7 4 1 4 2 4 2
分配问题与匈牙利法
2）试指派（找独立0元素）
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2 2 4 4 0
0 4 2 4 5 0 3 0 1 0 1 3 0 3 5 1 2 3 0 5
2 2 4 4 0 ◎
◎ 0
5 1 0 Ø 2
4 2 4 0 0 Ø 3 ◎ ◎ 1 3 0 3 5 1 3 Ø 5 0
√
√
分配问题与匈牙利法
Page 14
1 2 4 3 ◎ 0
◎
0 6 2 Ø 0
3 √ ◎ √ 0 3 √ √ Ø 0 3 3 Ø 5 0 3 Ø 0 ◎ 0 2 1 3 1 4
√ √
l =m=4 < n=5
选择直线外最小元素为1， 直线外元素减1，直线交 点元素加1，其他保持不 变，得到新的系数矩阵。
任务 人员 甲 A 25 B 29 C 31 D 42 E 37
乙
丙 丁
39
34 24
38
27 42
26
28 36
20
40 23
33
32 45
戊
0
0
0
0
M
分配问题与匈牙利法
用匈牙利法求出最优指派方案为：
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
7 9 8 7 4
5 12 5 3 6
9 7 4 6 7
8 11 6 9 5
11 5 97 94 63 11 4
2 2 4 4 0
0 4 3 6 5 0 4 2 1 0 2 5 0 3 6 3 2 3 1 7 -1 -2
分配问题与匈牙利法
3 4 3 0 0 1 0 5 2 0 4 4 0 2 6 0
0 1 0 0
Page 7
试指派
3 ◎ 2 2
4 3 1 Ø ◎ 4 6 ◎
◎
5 4 Ø
得到4个独立零元素， 所以最优解矩阵为：
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
48
3 8 8 7 6 4 8 4 9 10
2 10 3 2 9 7 2 7 5 2 3 5 6 9 10 21
分配问题与匈牙利法
非标准型的指派问题： 匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0。
Page 20
当遇到各种非标准形式的指派问题时，处理方法是先将 其转化为标准形式，然后用匈牙利法来求解。
任务 人员 A B C D
甲
乙 丙
6
4 3
7
5 1
11
9 10
2
8 4
丁
5
9
8
2
分配问题与匈牙利法
解：1）变换系数矩阵，增加0元素。
6 4 (c ij ) 3 5 7 11 2 2 5 9 8 4 1 10 4 1 9 8 2 2
4 0 2 3 5 9 0 1 5 4 0 9 3 7 6 0
分配问题与匈牙利法
1. 最大化指派问题
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处理方法：设m为最大化指派问题系数矩阵C中最大元素。 令矩阵B＝（m-cij）nn则以B为系数矩阵的最小化指派问题和 原问题有相同的最优解。 例4.9 某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评的 得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多。
分配问题与匈牙利法
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例4.8 已知五人分别完成五项工作耗费如下表，求最优分 配方案。
任务 人员 甲 乙 丙 A 7 9 8 B 5 12 5 C 9 7 4 D 8 11 6 E 11 9 8
丁
戊
7
4
3
6
6
7
9
5
6
11
分配问题与匈牙利法
解：1）变换系数矩阵，增加0元素。
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0 1 X＝ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
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5 0 5 7
0 0 1 0
即甲安排做第二项工作、乙做第三项、丙做第四项、丁做 第三项, 最高总分Z＝92＋95＋90＋80＝357
分配问题与匈牙利法
2. 不平衡的指派问题
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当人数m大于工作数n时，加上m－n项虚拟工作，例如：
5 1 1 8 6 3 9 6 14 4 2 1 0 3 1 7 5 1 9 10 0 5 3 0 11 6 8 14 17 0 4 5 0 6 3 2 1 0 0 0 0 0 0
Page 16
Ø 0
3
Ø 0 ◎ 0 2
Ø 0
6 2 ◎ 0 4
2 0 Ø 3
◎ 0
4
3 ◎ 0 3 Ø 0 6
总费用为=7+9+4+3+5=28
分配问题与匈牙利法
Page 17
0 Ø 1 3 2 0 ◎
Ø 0
3
Ø 0 ◎ 0 2
◎
0 2 0 Ø 3
Ø 0
甲 85 乙 95 C＝ 丙 82 丁 86 92 73 90 87 78 95 83 79 90 90 80 88
分配问题与匈牙利法
解: M＝95，令 C (95 c ij )
10 3 22 0 8 17 C ＝ 13 12 16 9 5 15 用匈牙利法求解C’，最优解为：
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即甲－B，乙－D，丙－E，丁－A, 任务C放弃。 最少时间为105。
分配问题与匈牙利法
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例4.6 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字， 分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将 中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问 如何分派任务，可使总时间最少？
即完成4个任务的总时间最少 为：2＋4＋1+8=15
分配问题与匈牙利法
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例4.7 已知四人分别完成四项工作所需时间如下表，求最优 分配方案。
任务
人员 甲 A 2 B 15 C 13 D 4
乙
丙 丁
10
9 7
4
14 8
14
16 11
15
13 9
分配问题与匈牙利法
解：1）变换系数矩阵，增加0元素。
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0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0
0 Ø 6 0 ◎ Ø 0
13 7 ◎ 0 ◎ 6 9 0 5 3 2 1 ◎ Ø 0 0
独立0元素的个数为4 , 指派问题的最优指 派方案即为甲负责D工作，乙负责B工作， 丙负责A工作，丁负责C工作。这样安排 能使总的工作时间最少，为4＋4＋9＋11 ＝28。
6 2 ◎ 0 4
4
3 ◎ 0 3 Ø 0 6
总费用为=8+9+4+3+4=28
分配问题与匈牙利法
课堂练习：用匈牙利法求解下列指派问题。 练习1： 练习2：
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7 13 15 11
9 12 16 12
10 16 14 15
12 17 15 16
√
分配问题与匈牙利法
Ø 0 1 3 2 ◎ 0
◎
Page 15
0 6 2 Ø 0
3 Ø 0 3 ◎ 0 Ø 4 4 0 6 3 ◎ 0 0 Ø 2 0 Ø 2 ◎ 0 3
总费用为 =5+7+6+6+4=28
注：此问题有多个最优解
分配问题与匈牙利法
◎ 0 1 3 2 0 Ø
独立0元素的个数l＝4<5，故画直线调整矩阵。
分配问题与匈牙利法
Page 13
2 2 4 4 ◎ 0
◎
0 5 1 Ø 0
4 ◎ 0 3 1 Ø 2 3 0 5 4 Ø 0 ◎ 0 3 2 3 1 5
√
选择直线外的最小元素 为1；直线外元素减1， 直线交点元素加1，其 他保持不变。
当人数m小于工作数n时，加上n－m个人，例如
15 20 10 9 6 5 4 7 10 13 16 17
15 6 10 0 20 5 13 0 10 4 16 0 9 7 17 0
分配问题与匈牙利法
3. 一个人可做几件事的指派问题
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若某人可做几件事，则将该人化作相同的几个“人”来接受 指派，且费用系数取值相同。 例如：丙可以同时任职A和C工作，求最优指派方案。
甲 乙 丙 15 20 10 9 6 5 4 7 10 13 16 17
15 6 10 10 20 5 13 13 10 4 16 16 9 7 17 17
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4 ◎ 2 3
5 4 ◎ √ Ø 4 1 ◎ 4 3 √ 7 1 Ø √
独立零元素的个数m等于最少 直线数l，即l＝m=3<n=4；