第8章_矩阵特征值问题计算
雅克比方法、QR方法 - 幂法、反幂法、雅克比方法、QR方法
河北联合大学第8章 矩阵特征值问题计算§8.1 幂法 §8.2 反幂法 §8.3 雅克比方法 §8.4 QR 方法1.格什戈林圆盘与特征值的关系。
答：设*()ij n n A a =，则A 的每一个特征值必属于下述圆盘之中1||||,1,2,...,.nii i ij j j i a r a i n l =ﾹ-ﾹ==ﾹ或者说A 的特征值都在复平面上的n 个圆盘的并集中。
如果A 的m 个圆盘组成一个连通的并集S 与余下的n m -个圆盘是分离的，则S 内恰包含A 的m 个特征值。
特别的，如果A 得一个圆盘i D 是与其他圆盘分离的，则D 中精确包含A 的一个特征值。
大致内容可由上图表示：可以在两圆相交部分有一对对称的共轭复根，也可以在实轴的有一个实根。
2.什么是求解特征值问题的条件数？它与求解线性方程组的条件数是否相同？两者间的区别是什么？实对称矩阵的特征值问题总是良态吗？答：(1)特征值条件数定义为：x y xy A k H =),(l AA k ),(l l ≤(2)与求解线性方程组的条件数不同。
线性方程组的条件数是k (A ,l )=1-AA (3)特征向量矩阵的条件数是特征值条件数的上界。
没有线性无关特征向量全集的多重特征值，对扰动是非常敏感的。
(4)实对称阵的特征值不一定总是良态的3.什么是幂法？它收敛到矩阵A 的哪个特征向量？若A 的主特征值1l 为单的，用幂法计算1l 的收敛速度由什么量决定？怎样改进幂法的收敛速度？答：（1）幂法是用来计算矩阵A 按模最大的特征值1l 与对应的特征向量的方法。
（2）(1)k x +可以看作收敛到1l 所对应的特征向量。
(1)k x +=11k l + [1a 1u +()12i ni l l =ﾹ]ﾹ11k l +1a 1u 因此(1)k x +可以近似作为与1l 相应的特征向量。
（3）若A 的主特征值1l 为单的幂法的收敛速度取决于比值12l l 。
第章矩阵特征值的计算
的特征向量的近似值。
规范化乘幂法
令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使
xi0
max
1 i n
xi
则
max (x) = xi
对任取初始向量x(0)，记
y(0) x(0) max( x(0) )
则
x(1) Ay(0)
一般地，若已知x(k)，称公式
y(k ) x(k ) max( x(k ) )
2
S sin sin 2
2C
（4）
aip aiq
aipC aiq S a pi aip s aiqC aqi
a pp a ppC 2 2a pqC S aqq S 2 aqq a pp S 2 2a pqC S aqqC 2 a pq (a pp aqq )C S a pq (C 2 S 2 ) aqp
它们之间有如下的关系：
ai(pk )
a(k ip
1)
cos
a(k iq
1)
sin
a(k) pi
ai(qk )
ai(pk1) sin
a(k iq
1)
cos
a(k qi
)
i p,q
aaq((pqkkp))源自a(k 1) ppa(k 1) pp
cos2 sin2
2a
(k 1) pq
sin
cos
2a
然后对j = 1, 2, …, n 解方程
x (k2) j
px j (k 1)
qx j(k )
0
求出p 、q 后，由公式
1
p 2
i
q
p
2
2
2
p 2
i
矩阵特征值与特征向量的计算_OK
n阶方阵A的特征值是特征方程 PA()=det(A-E)=0
的根.
A的特征向量是齐次线性方程组 (A-E)x=0
的非零解.
PA()是的高次的多项式，它的求根是很困难的。设法通
过数值方法是求它的根。
通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。
若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，
“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，
可得
n
xk
Ak x0 max(Ak x0 )
11 m ax (11
i
(
i 1
)
k
i
i2
n
i
(
i 1
)
k
i
)
7
i2
所以
8.1.1 幂法
n
xk
Ak x0 max(Ak x0 )
11
i
(
i 1
)
k
i
i2
n
max(11
i
(
i 1
)
k
i
)
lim
k
xk
11 max (11 )
i2 1
max (1 )
y=x/max(x)为向量x例的如规,范设化向向量量x=. (2,1,-5,-1)T,则max(x)=-5,y=(-0.4,-
0.2,1,0.2)T.可见规范化向量y总满足‖y‖=1.
幂法的规范化计算公式为: 任取初始向量x0=y0 0,计算
yk
Axk1
mk max(yk ) xk yk / mk , k 1,2,3,
1 1 1 1
n
n1
n2
1
对应的特征向量为ξn, ξn-1,…, ξ1.
第8章矩阵特征值计算
(2) 如果 A∈Rn×n 有 m 个(m≤n)不同的特征值 λ1 ,λ2 ,…,λm , 则对应的特征向 量 x1 ,x2 ,…xm 线性无关.
5
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
定理 7(对称矩阵的正交约化) 设 A∈Rn×n 为对称矩阵，则 (1) A 的特征值均为实数； (2) A 有 n 个线性无关的特征向量； (3) 存在一个正交矩阵 P 使得
定理 8 (Gerschgorin 圆盘定理) (1) 设 A=(aij)n×n ,则的每一个特征值必属于下属某个圆盘之中
n
| aii | ri
| aij |
j 1, j i
或者说, A 的特征值都在复平面上 n 个圆盘的并集中. (2) 如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S, 且 S 与余下 n-m 个圆盘 是分
uk
vk
k
vk1 Auk
if
vk1 vk
输出vk 1和k
26
数例值分1析：利用幂法求下列矩阵A 的模 第82章 矩1阵特0征值计算
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 v0 (1 1 1)T )
0 1 4
解：Step0
0 u0
v1
vv00
1
(1
0
Au0 (3
1
10
数值分析
D2 :
第8章 矩阵特征值计算
n
| | r2 | a2 j | 2 j 1 j2
D3 :
n
| 4 | r3 | a3 j | 2 j 1 j3
由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，
11
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
第8章 矩阵特征值计算
第八章 矩阵特征值计算1 特征值性质和估计工程实践中有许多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件的振动，飞机机翼的颤动等，这些问题的求解常常归纳为求矩阵的特征值问题。
另外，一些稳定分析问题及相关问题也可以转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
1.1 特征值问题及性质设矩阵n n ⨯∈A R （或n n ⨯C ），特征值问题是：求C λ∈和非零向量n R ∈x ，使λ=Ax x (1.1)其中x 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量。
A 的全体特征值组成的集合记为sp()A 。
求A 的特征值问题(1.1)等价于求A 的特征方程()det()0p I λλ=-=A (1.2)的根。
因为一般不能通过有限次运算准确求解()0p λ=的根，所以特征值问题的数值方法只能是迭代法。
反之，有时为了求多项式111()n n n n q a a a λλλλ--=++++的零点，可以把()q λ看成矩阵123101010n a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征多项式（除(1)n -因子不计）。
这是一个Hessenberg 矩阵，可用QR 方法求特征值，从而求出代数方程()0q λ=的根。
矩阵特征值和特征向量的计算问题可分为两类：一类是求矩阵A 的全部特征值及其对应的向量；另一类是求部分特征值（一个或几个、按模最大或最小）及其对应的特征向量。
本章介绍部分特征值和特征向量的幂法、内积法；求实对称矩阵全部特征值的雅可比法、Given 方法和Householder 方法；求任意矩阵全部特征值的QR 算法。
在第5章已给出特征值的一些重要性质，下面再补充一些基本性质。
定理1 设n n R ⨯∈A ，则(1) 设λ为A 的特征值，则λμ-为μ-A I 的特征值；(2) 设12,,,n λλλ是A 的特征值，()p x 是一多项式，则矩阵()p A 的特征值是12(),(),,()n p p p λλλ。
第8章-矩阵特征值计算
min P1 P I ,
( A)
p
pp
(1.5)
其中||·||p为矩阵的p范数，p=1,2,.
证明 由于σ(A)时显然成立,故只考虑̄σ(A).这
时D-I非奇异，设x是A+I对应于的特征向量，由
(A+I-I)x=0左乘P-1可得 (D I )(P1 x) (P1IP)(P1 x), P1 x (D I )1 (P1 IP)(P1 x),
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定理7 设A∈Rn×n有n个线性无关的特征向量，
主特征值1满足 |1|>|2||n|，
则对任何非零向量v0(a10)，(2.4)式和(2.7)式成立.
如果A的主特征值为实的重根, 即1=2==r, 且 |r|>|r+1||n|，
又设A有n个线性无关的特征向量，1对应的r个线性
无关的特征向量为x1,x2,,xr，则由(2.2)式有
3 1 5.
A的其它两个特征值2, 3包含在D2, D3的并集中.
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现在取对角阵
1 0 0
D1 0 1 0 ,
0 0 0.9
做相似变换
4 1 0
A A1 D1 AD 1
0
10 9
.
0.9 0.9 4
矩阵A1的3个圆盘为
E1 : 4 1,
E2 :
19 , 9
矩阵，则
(1) A的特征值均为实数；
(2) A有n个线性无关的特征向量；
(3) 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且1, 2,, n为A的特征值，而P＝(u1,u2,,un)的列
向量uj为A的对应于j 的单位特征向量.
第章矩阵特征值的计算
第章矩阵特征值的计算矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用，如物理、化学、工程等。
本文将从特征值的定义、计算方法和应用举例等方面进行阐述。
一、特征值的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k 是一个常数，那么k称为A的特征值，x称为A的对应于特征值k的特征向量。
从定义可以看出，矩阵A的特征值和特征向量是成对出现的，特征向量可以是一个实数或是一个向量，特征值可以是实数或是复数。
二、特征值的计算方法1.直接计算法此方法适合于较小的矩阵。
给定一个n阶矩阵A，首先构造特征方程det(A-λI)=0，其中I是n阶单位矩阵，λ是未知数，然后求解特征方程得到特征值，将特征值代入(A-λI)x=0求解对应的特征向量。
2.幂法幂法是一种迭代方法，适用于大型矩阵。
假设特征值的绝对值最大，那么从非零向量b开始迭代过程，令x0=b，求解x1=A*x0，然后再将x1作为初始值，求解x2=A*x1，以此类推，直到收敛为止。
最后，取最终得到的向量xn，其模即为特征值的近似值。
3.QR方法QR方法是一种迭代方法，可以用于寻找特征值和特征向量。
首先将矩阵A分解为QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵，然后对R进行迭代，重复进行QR分解，直到收敛。
最后，得到的上三角矩阵的对角元素即为特征值的近似值，在QR分解的过程中，特征向量也可以得到。
三、特征值的应用举例1.物理学中的量子力学量子力学中的哈密顿算符可以表示为一个矩阵，物理量的测量值就是对应的特征值。
例如，电子的自旋可以有上自旋和下自旋两种状态，上自旋对应的特征值为1，下自旋对应的特征值为-12.工程中的振动问题在工程中，矩阵特征值可以用来求解振动问题。
例如，振动系统的自由度决定了特征向量的个数，而特征值则表示了振动的频率。
通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以预测系统的振动频率和振型。
3.网络分析中的中心性度量在网络分析中，矩阵特征值可以用来计算节点的中心性度量。
8、矩阵特征值问题计算
对应的特征向量x1, x2 ,, xm线性无关.
定理7(对称矩阵的正交约化 ) 设A R nn为对称矩阵 , 则
(1) A的特征值均为实数； (2) A有n个线性无关的特征向量； (3) 存在正交矩阵P使得
1 2 ， P 1 AP n 且i (i 1,2,, n)为A的特征值, 而P (u1,u2 , ,un )的列 向量u j为对应于 j的特征向量.
k
k
k A v0 max(vk ) max max(Ak 1v ) 0 k k 2 n 1 maxa1 x1 a2 x2 an xn 1 1 k 1 k 1 2 n maxa1 x1 a2 x2 an xn 1 1 1 (k )
k k 1
lim
vk
a1 x1.
即vk 是1的近似的特征向量. 而主特征值 (vk 1 ) j 1 n (vk 1 ) j 1 , 或1 . (v k ) j n j 1 (v k ) j
定理12 设A R nn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
并设A的主特征值是实根，且满足
1 2 n ,
现在讨论求1及x1的基本方法.
(2.1)
v0 a1 x1 a2 x2 an xn , (设a1 0)
v1 Av0 a11 x1 a22 x2 ann xn ,
k k 2 n k vk Avk 1 1 a1 x1 a2 x2 an xn . 1 1 k 当k很大时，k 1 a1 x1, vk 1 1vk , Avk 1vk， v
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• 8.1 引言 • 8.2 幂法及反幂法 • 8.3 豪斯霍尔德方法 • 8.4 QR方法
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8.1 引 言
工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的 振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分 析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特 征向量的问题.
下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础 知识.
一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵， 亏损矩阵在理论上和计算上都存在困难.
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定理6 ⑴ A∈Rn×n可对角化，即存在非奇异矩
阵P使
1
P 1AP
2
,
n
的充分必要条件是A具有n个线性无关的特征向量.
⑵ 如果A∈Rn×n有 m个 (m≤n) 不同的特征值 λ1,λ2, ,λm，则对应的特征向量 x1,x2, , xm 线性无 关.
A2m
,
Amm
n
其中每个对角块Aii均为方阵，则 ( A) ( Aii ) .
i 1
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定理5 设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵 P使B=P-1AP），则
⑴ A与B有相同的特征值； ⑵ 如果y是B的特征向量，则Py是A的特征向量. 定理5说明，一个矩阵A经过相似变换，其特征 值不变. 定义2 如果实矩阵A有一个重数为k的特征值λ, 且对应于λ的A的线性无关的特征向量个数< k，则A 称为亏损矩阵.
j 1
或
( akk )xk akj k xk akj x j xk akj ,
jk
jk
n
akk akj r k.
j 1
jk
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这说明，A的每一个特征值必位于A的一个圆盘
中，并且相应的特征值λ一定位于第k个圆盘中(其中k
是对应特征向量x绝对值最大的分量的下标).
1
1
1
x1 1, x2 0 , x3 2.
1
1
1
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下面叙述有关特征值的一些结论： 定理1 设λ为A∈Rn×n的特征值, 且Ax=λx (x0)， 则有 ⑴ cλ为的cA特征值(c≠0为常数)； ⑵ λ-p为A-pI的特征值，即(A-pI)x=(λ-p)x ； ⑶ λk为Ak的特征值，即Akx=λkx ； ⑷ 设A为非奇异矩阵，那么λ≠0 , 且λ-1为A-1的特 征值，即A-1x=λ-1x .
下面讨论矩阵特征值界的估计. 定义3 设n阶矩阵A=(aij)，令
n
⑴ r i aij (i 1,2, .n) ； j 1 ji
⑵ 集合Di z | z aii ri , z C (i 1,2, , n) 称
为复平面上以aii为圆心，以ri为半径的n阶矩阵A的n 个Gerschgorin圆盘.
利用相似矩阵性质，有时可以获得A的特征值进
一步的估计，即适当选取非奇异对角阵
1 1
D1
1 2
,
1 n
并可做使相某似 些变 圆换 盘半D1径AD及连 ai通ji j性n发n.适生当变选化取. i (i 1,2, , n)
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例2 估计矩阵A的特征值范围，其中 4 1 0
A 1 0 1. 1 1 4
解 矩阵A的3个圆盘为
D1 : 4 1, D2 : 2, D3 : 4 2.
由定理8，可知A的3个特征值位于3个圆盘的并
集中，由于D1是孤立圆盘，所以D1内恰好包含A的一 个特征值λ1(为实特征值)，即
3 1 5.
A的其它两个特征值λ2, λ3包含在D2, D3的并集中.
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定义1 ⑴ 已知n阶矩阵A=(aij)，则
a11
( ) det(I A) det
a21
an1
a12
a22
an2
a1n
a2n
ann
n (a11 a22 ann )n1 (次数 n 2的项)
称为A的特征多项式.
A的特征方程
( ) det(I A) 0
例1 求A的特征值及特征向量，其中
2 1 0 A 1 3 1
0 1 2
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解 矩阵A的特征方程为
2 1 0
( ) det(I A) 1 3 1
0 1 2
3 72 14 8 ( 1)( 2)( 4) 0.
求得矩阵A的特征值为：
1, 2, 4.
对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为：
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定理7(对称矩阵的正交约化) 设A∈Rn×n为对称
矩阵，则
⑴ A的特征值均为实数；
⑵ A有n个线性无关的特征向量；
⑶ 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且λ1,λ2, ,λn为A的特征值，而P＝(u1,u2,
uj为A的对应于λj 的单位特征向量.
,un) 列向量
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特征值. 特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离
(即孤立圆盘)，则Di中精确地包含A的一个特征值.
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证明 只就⑴给出证明. 设λ为A的特征值，即
Ax=λx，其中x=(x1,x2, , xn)T0.
记
xk
max
1 i n
xi
x 0 ，考虑Ax=λx的第k个
方程，即
n
akj x j xk ,
(1.1)
一般有n个根(实的或复的，复根按重数计算)称为A的
特征值. 用λ(A)表示A的所有特征值的集合.
上页 下页
注：当A为实矩阵时， (λ)=0为实系数n次代数
方程，其复根是共轭成对出现.
⑵ 设λ为A的特征值，相应的齐次方程组
(I A)x 0
(1.2)
的非零解x称为矩阵A的对应于λ的特征向量.
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定理8 (Gerschgorin圆盘定理) ⑴ 设n阶矩阵A＝(aij)，则A的每一个特征值必属 于下面某个圆盘之中
n
aii r i aij (i 1,2, .n) j 1 ji
或者说 A的特征值都在n个圆盘的并集中. ⑵ 如果A有m个圆盘组成一个连通的并集S，且
S与余下n-m个圆盘是分离的，则S内恰包含A的m个
上页 下页
定理2 设λi(i=1,2, ,n)为n阶矩阵A=(aij)的特征值，
则有
n
n
⑴ i aii tr( A) 称为A的迹；
i 1
i 1
⑵ A 12 n .
定理3 设A∈Rn×n，则有
( AT ) ( A) .
定理4 设A 为分块上三角矩阵，即
A11 A12
A
A22
A1m