2.2-等差数列的性质与证明
探究式导学案2：2.2.2等差数列（二）
2.2.2 等差数列之（二）等差数列的基本性质【学习目标】1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律；2．理解等差数列的性质3．掌握等差数列的性质及其应用．【重、难点】重点：等差数列的性质及证明.难点：运用等差数列定义及性质解题．【知识链接】（1）等差数列{a n}中，对于任意正整数n，都有a n＋1－a n＝________.（2）等差数列{a n}中，对于任意正整数n，都有2a n＋1－a n＝________.【答案】（1）d；（2）a n+2【新知探究】探究一.等差数列通项公式的推广问题1. 若已知等差数列{a n}中的第m项a m和公差d，如何表示通项a n？【解析】设等差数列的首项为a1，则a m＝a1＋(m－1)d，得a1＝a m－(m－1)d，∴a n＝a1＋(n－1)d＝a m－(m－1)d＋(n－1)d＝a m＋(n－m)d.【获取新知】（1）广义的等差数列通项公式：a n＝a m＋(n－m)d；（2）由任意两项a m和a n求公差：d=a n−a mn−m.例1.若数列{a n}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．【解析】由题意，该数列的公差d=a60−a1560−15=20−845=415∴a75=a60+(75−60)d=20+15×415=24变式1. 等差数列{a n}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于()A．2 B．20 C．100 D．不确定【答案】A探究二.等差数列与一次函数的关系问题2.（1）等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d与一次函数有什么关系？（2）若数列{a n}的通项公式是一次函数a n＝pn＋q，其中p、q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？【解析】：（1）∵数列是关于序号n的函数，为此将数列的通项公式变形为关于n的函数：a n＝dn＋(a1－d).显然，当d≠0时，a n是关于序号n的一次函数，其图象是直线f(x)＝dx＋(a1－d)上一系列孤立的点，d为该直线的斜率，a1－d是该直线在y轴上的截距.（2）取数列{a n}中任意两项a n和a n－1(n>1)，则a n－a n－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝p．显然，这是一个与n无关的常数，所以{a n}是等差数列．将一次函数变形为等差数列通项公式的形式为：a n＝pn＋q＝(q＋p)＋(n－1)p，所以该数列的首项a1＝p＋q，公差d＝p.【获取新知】（1）当公差d＝0时，等差数列是常函数，不是一次函数；（2）当公差d≠0时，等差数列是关于n的一次函数，且其斜率即为公差d，在y轴上的截距为a1－d．探究三. 等差数列的单调性问题3. 根据等差数列与一次函数的关系，你能根据等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d判断它的单调性吗？答：当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．例2. 已知递增数列{a n}满足a1=1，a3=a22−4，则a n=__________【答案】2n−1【解析】由a1=1，a3=a22−4 得1+2d=(1+d)2−4，即d2=4，解得d=±2又{a n}是递增数列，所以d=2，所以a n=1+2(n−1)=2n−1变式2.若a n=n2−kn(n∈N∗)是递增数列，则k的取值范围____________.【答案】k<3【解析】由k2<32得k<3.探究四. 等差数列的性质（一）等差数列的项与序号的关系问题4. 已知数列{a n}是等差数列（1）2a5=a3+a7是否成立？2a5=a1+a9呢？为什么？（2）2a n=a n−1+a n+1(n>1)是否成立？据此你能得到什么结论？2a n=a n−k+a n+k(n>1)是否成立？你又能得到什么结论？【获取新知】在等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则a m＋a n＝a p＋a q .特别地，若m+n=2p，则a m＋a n＝2a p .【解题反思】（1）由a m＋a n＝a p＋a q能推出m+n=p+q吗？（2）由m+n=p能推出a m＋a n＝a p 吗？答：（1）当等差数列{a n}是常数列时，由a m＋a n＝a p＋a q不能推出m+n=p+q；当等差数列{a n}不是常数列时，由a m＋a n＝a p＋a q一定能推出m+n=p+q.（2）由m+n=p 不能推出a m＋a n＝a p.例3. 已知数列{a n}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝_______.【答案】234【解析】∵a3＋a15＝a1＋a17＝a5＋a13 ∴a9＝117 ∴a3＋a15＝a9＋a9＝234.变式3.已知等差数列{a n}中，a2＋a6＋a10＝1，则a3＋a9＝______.【答案】23【解析】由等差数列的性质，知a2＋a10＝2a6，又a2＋a6＋a10＝1.∴3a6＝1，a6＝13∴a3＋a9＝2a6＝23.（二）等差数列的子列的性质问题5. 已知一个无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.（1）取出数列的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（2）如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列呢？（3）你能根据得到的结论做出一个猜想吗？答：（1）组成的新数列是等差数列，它的首项是a1，公差为2d；（2）组成的新数列仍然是等差数列，它的首项是a1+6d= a7，公差为7d；（3）若数列{a n}和{k n}都是等差数列，其公差分别为d1，d2，则{a kn}也是等差数列，且公差为d1∙d2.（三）等差数列的其他性质问题6.设等差数列{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，判断{pa n+qb n}(p，q 为常数)是否为等差数列？如果是，给出证明，并写出首项和公差；如果不是，请说明理由.答：{pa n+qb n}是等差数列证明：令c n=pa n+qb n，则 c n+1−c n=(pa n+1+qb n+1)−(pa n+qb n)=p(a n+1−a n)+q(b n+1−b n)=pd1+qd2.∴{pa n+qb n}是等差数列，且首项为pa1+qb1，公差为pd1+qd2.【解题反思】（1）当p=q=1时，你能得到什么结论？（2）当p=k，q=0时呢？答：（1）当p=q=1时，得{a n+b n}是首项为a1+b1，公差为d1+d2的等差数列.（2）当p=k，q=0时，{ka n}也是等差数列，且公差为kd1.例4. 设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5= _______.【答案】35【解析】两个等差数列的和数列仍为等差数列．设两等差数列组成的和数列为{c n}，则{c n}为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.。
21-22版：§2.2 第2课时 等差数列的性质（步步高）
[素养提升] 等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量 (a1，d，n)然后解方程(组)；二是借助等差数列性质简化计算.前者是 通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计 算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能 巧则巧，但不要刻意追求巧法.
随堂演练
SUITANGYANLIAN
课时对点练
KESHIDUIDIANLIAN
基础巩固
1.已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝18，a3＋a5＋a7＝30，则a2＋a4＋
a6等于
√ A.20 B.24
C.26
D.28
解析 ∵等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＝18，a3＋a5＋a7＝30， 设公差为d，两式相减可得6d＝30－18＝12，∴d＝2. 则a2＋a4＋a6＝a1＋a3＋a5＋3d＝24.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.数列{an}为等差数列，且a15＝8，a60＝20，则a75等于
√A.24
B.28
C.32
D.36
解析 ∵d＝a6600－ －1a515＝4152＝145， ∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
√A.12
B.24
C.16
D.32
解析 令 bn＝ann，由题意可知 b3＝a33＝23，b15＝a1155＝2， 则等差数列{bn}的公差 d＝b1155－－b33＝19， 则 b9＝b3＋(9－3)d＝43，所以 a9＝9b9＝12.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
第一部分 第二章 2.2 第二课时 等差数列的性质
∴这三个数为－1,3,7 或 7,3，－1.
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8．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二 个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
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解：设这四个数依次为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d. 由题设知
a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26， a－da＋d＝40，
解析：经观察发现(a2＋a5)－(a1＋a4)＝(a3＋a6)－(a2
＋a5)＝2d＝39－45＝－6，所以a3＋a6＝a2＋a5－6＝
39－6＝33.
答案：D
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[例 2]
b＋c a＋c a＋b 1 1 1 已知a，b，c成等差数列，求证： a ， b ， c
也成等差数列． [思路点拨] 欲证三个数成等差数列，只需证中间一项是另
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[一点通]
a＋c 三数 a， c 成等差数列的条件是 b＝ 2 b，
(或 2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中 项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．
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4．等差数列{an}的前三项分别是a－1，(a＋1)2，a＋3，则
该数列的通项公式是
am－an (2)等差数列{an}中，公差 d＝ (m，n∈N*)． m－n
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(3)等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq.
特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. (4)等差数列{an}每隔一定距离抽取一项所组成 的数列仍成等差数列． (5)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的
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[例3]
(12分)四个数成递增等差数列，中间两数的
和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [思路点拨] 四个数成等差数列，且中间两数的和
人教B版数学必修五：2.2《等差数列》学案(含答案解析)
§2.2 等差数列1．等差数列的判定(1)a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)⇔{a n }是公差为d 的等差数列； (2)2a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是公差为k 的等差数列(n ≥1)；(4)S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是公差为2A 的等差数列(n ≥1)．例如：已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2＋λ，则λ的值是________． 解析 S n ＝(n －1)2＋λ＝n 2－2n ＋(1＋λ)， ∵{a n }是等差数列，∴1＋λ＝0，λ＝－1. 答案 －12．等差数列的通项公式将a n ＝a 1＋(n －1)d 可整理为a n ＝dn ＋(a 1－d )，它是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d 是该射线所在直线的斜率．例如：等差数列{a n }中，若a n ＝m ，a m ＝n (m ≠n )，则a m ＋n ＝______. 解析 由点(n ，a n )，(m ，a m )，(m ＋n ，a m ＋n )三点共线， ∴a m ＋n －a n (m ＋n )－n ＝a m －a n m －n .即a m ＋n －m m ＝n －m m －n＝－1，易得a m ＋n ＝0. 答案 03．等差数列的前n 项和公式(1)将公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 变形可得S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .故当d ≠0时，等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)S n n ＝d2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)． 当涉及等差数列前n 项和S n 的计算问题时，有时设S n ＝An 2＋Bn 的形式更简便快捷． 例如：等差数列{a n }中，若S p ＝q ，S q ＝p (p ≠q )，则S p ＋q ＝__________. 解析 设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝Ap 2＋Bp ＝q (1)S q ＝Aq 2＋Bq ＝p (2) 由(1)－(2)得Ap 2＋Bp －Aq 2－Bq ＝q －p ， ∴A (p 2－q 2)＋B (p －q )＝q －p ， ∵p ≠q ，∴A (p ＋q )＋B ＝－1. ∵S p ＋q ＝A (p ＋q )2＋B (p ＋q ) ＝[A (p ＋q )＋B ]·(p ＋q ) ＝－(p ＋q )． 答案 －(p ＋q ) 4．等差数列的性质(1)若数列{a n }和{b n }均是等差数列，则{ma n ＋kb n }仍为等差数列，其中m 、k 均为常数． (2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d (d 是原数列公差)．(4)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则a m b m ＝S 2m －1S ′2m －1.(5)等差数列{a n }中，奇数项的和记作S 奇，偶数项的和记作S 偶，则S n ＝S 奇＋S 偶．当n 为偶数时：S 偶－S 奇＝n2d ；当n 为奇数时：S 奇－S 偶＝a 中，S 奇＝n ＋12a 中，S 偶＝n －12a 中，S 奇S 偶＝n ＋1n －1.(其中a 中是等差数列的中间一项)例如：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．解析 S 偶－S 奇＝n2d ＝5d ，∴5d ＝30－15＝15，∴d ＝3.答案 35．等差数列前n 项和的最值求等差数列前n 项和的最值的常用方法： (1)通项法当a 1>0，d <0时，数列{a n }只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，S n 有最大值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1<0时，S n 取到这个最大值；当a 1<0，d >0时，数列{a n }只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，S n 有最小值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0时，S n 取到这一最小值．(2)二次函数法由于S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，n ∈N *是关于n 的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n ∈N *.例如：{a n }是等差数列，a 1>0，a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0，则使前n 项和S n 最大时，n 的值是________；使前n 项和S n >0成立时，n 的最大值是________．答案 2 009 4 018一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法： (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)；(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数) (n ∈N *)； (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)，n ∈N *.例1 数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n (a 1＋a n )2，判断{a n }是否为等差数列？并证明你的结论．解 {a n }是等差数列，证明如下：因为a n ＝S n －S n －1＝n (a 1＋a n )2－(n －1)(a 1＋a n －1)2(n ≥2)，所以a n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2－n (a 1＋a n )2，所以a n ＋1－a n ＝12[(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)－2n (a 1＋a n )＋(n －1)(a 1＋a n －1)]＝12[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1] (n ≥2)， 即(n －1)(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0，所以a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)， 所以数列{a n }为等差数列．二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个基本量，利用通项公式与前n 项和公式，求出a 1和d ，等差数列就确定了．例2 在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d >0，求a 1； (3)已知前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 解 (1)∵a 6＝10，S 5＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5. 解方程组得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 8＝8×(a 1＋a 8)2＝44.(2)设数列的前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意有： ⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝12(a －d )·a ·(a ＋d )＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4a (a 2－d 2)＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝±2. ∵d >0，∴d ＝2，a －d ＝2.∴a 1＝2. (3)设公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＝8，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝2，k ＝50或k ＝－51(舍去).因此，a ＝2，k ＝50.三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如： (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；(3)若{a n }是等差数列，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 也成等差数列．(其S k 为前k 项和)(4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效．例3 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，求a 2＋a 4＋a 9的值； (2)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，求证：①a n b n ＝S 2n －1T 2n －1；②a n b m ＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.(1)解 由S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，∴a 1＋a 9＝2a 5＝16，∴a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24.(2)证明 ①a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)2n －12＝S 2n －1T 2n －1.②a n b m ＝2a n 2b m ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2m －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12·2m －12(b 1＋b 2m －1)2m －12·2n －12＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.四、等差数列前n 项和的最值 方法链接：等差数列前n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d >0，a 1<0，S n 有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0；若a 1>0，d <0，S n 有最大值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.n 取正整数．例4 (1)首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 11，问n 为何值时，S n 最大？(2)等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求{|a n |}的前30项和及前n 项和．解 (1)设首项为a 1，公差为d ，则由题意知，d <0，点P (n ，S n )在抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上，其对称轴方程为x ＝7(由S 11＝S 3知)，故(7，S 7)是抛物线的顶点，∴n ＝7时，S n 最大．(2)设公差为d ，则由a 1＋16d ＝a 17，得d ＝3>0，因此a n ＝3n －63.点Q (n ，a n )在增函数y ＝3x －63的图象上．令y ＝0则得x ＝21，故当n ≥22时，a n >0；当1≤n ≤21且n ∈N *时，a n ≤0， 于是|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝a 1＋a 2＋…＋a 30－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝765.记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |， 则由上面的求解过程知： 当1≤n ≤21，n ∈N *时， T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝－a 1－a 2－…－a n ＝(123－3n )n 2＝－32n 2＋1232n .当n >21，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＋|a 21|＋…＋|a n | ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋a 23＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝32n 2－1232n ＋1 260. ∴数列{|a n |}的前n 项和T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n (1≤n ≤21，n ∈N *)，32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论．例5 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．则a 1＋λ2，a 2＋λ22，a 3＋λ23成等差数列，∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1.当λ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12n ＋1－⎝⎛⎭⎫a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－1)－2(a n －1)] ＝12n ＋1(a n ＋1－2a n ＋1) ＝12n ＋1[(2a n ＋2n ＋1－1)－2a n ＋1] ＝12n ＋1×2n ＋1＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2为等差数列，且首项是2，公差是1.六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决．ij(1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式．解 (1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i ＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i ＋1.所以a 45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a 45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a 2j ＝7＋5(j －1)； ……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， 因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .1．审题不细心，忽略细节而致错例1 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，求公差d 的取值范围．[错解] a 10＝a 1＋9d ＝－24＋9d >0，∴d >83.[点拨] 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项，应有a 9≤0.[正解] 设a n ＝－24＋(n －1)d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋(9－1)d ≤0a 10＝－24＋(10－1)d >0， 解不等式得：83<d ≤3.温馨点评 审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败.2．忽略公式的基本特征而致错例2 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值． [错解] 设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，k ≠0， 则a 9＝S 9－S 8＝(5×9＋3)k －(5×8＋3)k ＝5k ， b 9＝T 9－T 8＝(2×9＋7)k －(2×8＋7)k ＝2k ，所以a 9b 9＝52.[点拨] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数，没有准确把握前n 项和公式的特点．[正解] 因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列， 故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则 a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ，b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k＝41k ，所以a 9b 9＝8841.温馨点评 等差数列的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，是关于n 的二次函数式，且常数项为零，当d ＝0时，S n ＝na 1，但是本题不属于这种情况(否则S n T n ＝na 1nb 1＝a 1b 1与S nT n＝5n ＋32n ＋7矛盾)． 3．对数列的特点考虑不周全而致错例3 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．[错解] 设公差为d ，∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，得120d ＝－200，即d ＝－53，∴a n ＝20－(n －1)·53，当a n >0时，20－(n －1)·53>0，∴n <13.∴n ＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.∴当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.[点拨] 解中仅解不等式a n >0是不正确的，事实上应解a n ≥0，a n ＋1≤0.[正解] 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53.∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13＝0，∴a 13＝0. ∵公差d <0，a 1>0，∴a 1，a 2，…，a 11，a 12均为正数， 而a 14及以后各项均为负数．∴当n ＝12或13时，S n 有最大值为S 12＝S 13＝130.4．忽略题目中的隐含条件而致错例4 一个凸n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n 边形的边数．[错解] 一方面凸n 边形的内角和为S n ，S n ＝120°n ＋n (n －1)2×5°.另一方面，凸n 边形内角和为(n －2)×180°.所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180.化简整理得：n 2－25n ＋144＝0. 所以n ＝9或n ＝16.即凸n 边形的边数为9或16.[点拨] 凸n 边形的每个内角都小于180°.当n ＝16时，最大内角为120°＋15°×5°＝195°>180°应该舍掉．[正解] 凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180解得：n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8°×5°＝160°<180°； 当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去． 所以凸n 边形的边数为9.例 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 分析 本题可从基本方法入手，先求a 1，d ，再求前110项之和，为了简化计算，也可利用等差数列前n 项和的性质．解 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 方法二 设S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.方法三 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧S p ＝pa 1＋p (p －1)2d ＝q ， ①(p ≠q )S q＝qa 1＋q (q －1)2d ＝p . ②①－②得(p －q )a 1＋(p －q )(p ＋q －1)2d＝－(p －q )． 又p ≠q ，∴a 1＋p ＋q －12d ＝－1，∴S p ＋q ＝(p ＋q )a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d＝(p ＋q )(－1)， ∴S 110＝－110.方法四 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D .前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.方法五 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2.又S 100－S 10＝10－100＝－90，∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110.1．已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解 设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)， 或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．2．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25得a 22－a 25＝a 24－a 23，由性质得－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)，因为d ≠0 所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数． 又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m＝2.赏析试题考查了等差数列的有关知识，起点较低，落点较高，难度控制得恰到好处．第(2)问要求考生有一定的分析问题解决问题的能力．。
等差数列的性质及应用证明
等差数列的性质及应用证明等差数列是数学中重要的概念之一，在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我将介绍等差数列的性质，并对其应用进行证明。
首先，让我们回顾一下等差数列的定义。
等差数列是一个数列，其中每个相邻的两个数之间的差都是一个常数，这个常数被称为公差。
用数学符号表示就是：对于一个等差数列a1, a2, a3, ...，满足a2 - a1 = a3 - a2 = ... = d ，其中d为公差。
举个例子，1, 3, 5, 7, 9就是一个公差为2的等差数列。
现在让我们来看一下等差数列的一些性质。
首先，等差数列的第n项可以用一个公式来表示：an = a1 + (n - 1)d。
这个公式可以方便地用来求等差数列的任意一项。
另外，等差数列的前n项和也有一个简单的公式：Sn = (a1 + an)*n/2。
这个公式可以用来求等差数列的前n项和，这在实际问题中经常会被用到。
另外，等差数列的性质还包括：任意等差数列中任意三项的和都是一个算术平均数，这个性质在证明中也非常重要，我们将在后面的内容中对其进行详细解释。
现在让我们来看一下等差数列的应用证明。
其中一个使用等差数列的经典问题就是求等差数列的前n项和。
我们将用上面提到的公式Sn = (a1 + an)*n/2来证明这个问题。
假设我们有一个等差数列1, 3, 5, 7, 9，我们将用这个数列的前4项来进行证明。
首先，我们计算出数列的第4项an=1 + (4 - 1)*2 = 7。
接着，我们将公式Sn = (a1 + an)*n/2带入计算，得到Sn = (1 + 7)*4/2 = 16。
这个结果等于1 + 3 + 5 + 7 = 16，验证了我们的公式。
下面我们来证明等差数列的性质：任意等差数列中任意三项的和都是一个算术平均数。
我们可以用数学归纳法来证明这个结论。
首先，当n=3时，等差数列的前三项和就是这三项的算术平均数。
接着，我们假设当n=k时结论成立，即等差数列的前k项和是k倍前面的k项的算术平均数。
高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第1课时 等差数列的概念与通项公式 新人教A版必修5
• [解析] ∵an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)， • ∴{an}是等差数列，其首项a1＝6×1－1＝5，公差为6.
命题方向2 ⇨等差数列的证明
列．
例题 2 已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，c＋b a，a＋c b也成等差数
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
第二章
数列 2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念与通项公式
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
汉朝的天文著作《周髀算经》中有记载，大意如下：在平地
上立八尺高的土圭，日中测影，在二十四节气中，冬至影长1丈3
尺5寸，以后每一节气影长递减9寸9
• 『规律总结』 定义法是判定数列{an}是等差数列的基本 方法，其步骤为：
• (1)作差an＋1－an； • (2)对差式进行变形； • (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数
列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列 {an}不是等差数列．
• 〔跟踪练习1〕
a＋b ___2___.
1．下列数列是等差数列的是 A．13，15，17，19 C．1，－1,1，－1
B．1， 3， 5， 7 D．0,0,0,0
(D )
[解析] ∵15－13≠17－15，故排除A；∵ 3－1≠ 5－ 3，故排除B； ∵－1－1≠1－(－1)，故排除C，∴选向3 ⇨等差数列的通项公式
• 例题 3 在等差数列{an}中： • (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； • (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. • [分析] 根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，由条
2019-2020学年数学人教A版必修5课件：2.2 第2课时等差数列的性质
4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－ a10的值为________．
【答案】30
【解析】∵a2 ＋a14＝2a8，∴a2 ＋2a8＋a14＝4a8＝120， ∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.
利用等差数列的通项公式或性质解题
【例1】 在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ ()
在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋
a13＝118，则a4＋a10＝( )
A．45
B．50
C．75
D．60
【答案】B
【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝ 118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50.∴a4＋a10＝a2＋a12＝ 50.故选B．
(2019 年陕西西安模拟)《莱因德纸草书》是世
界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100
个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大
的三份之和的17等于较小的两份之和，问最小的 1 份为多少？这
个问题的答案为( )
A．53
B．130
C．56 【答案】A
D．161
【解析】设五个人分得的面包为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d(d>0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100， ∴a＝20.由17(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，得 3a＋3d＝7(2a －3d)，∴24d＝11a.∴d＝565.∴最小的一份为 a－2d＝20－2×565 ＝53.故选 A．
【方法规律】常见设元技巧： (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这 两个数为a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a ＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋ d，a＋3d，公差为2d.
初中数学知识归纳等差数列的性质与应用
初中数学知识归纳等差数列的性质与应用等差数列是初中数学中常见的数列形式之一，它拥有一系列独特的性质和应用。
本文将对等差数列的性质和应用进行归纳，帮助读者深入理解和应用这一数学概念。
1. 等差数列的定义与性质等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
常用的表示方式是：an= a1+ (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
等差数列的性质有：1.1 公差与项数的关系：由等差数列的定义可知，公差d等于任意两项之差。
公差与项数n的关系为d = (an - a1) / (n-1)。
1.2 通项公式：通过观察等差数列可以发现，第n项等于首项a1加上公差与项数差的乘积。
因此，等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
1.3 首项与末项的关系：根据等差数列的定义可知，首项与项数之间的关系为a1 = an - (n-1)d。
2. 等差数列的求和公式等差数列的求和公式是在数列中求和时使用的重要公式。
根据等差数列的性质和数学推导可得：2.1 首项与末项求和：等差数列的首项与末项的和等于所有项的和。
求和公式为S = (n/2)(a1 + an)，其中S表示和, n表示项数。
2.2 公式推导：为了证明等差数列首项与末项的和等于所有项的和，我们可以通过分组的方式进行推导。
将数列按对称性进行分组，将首项与末项相加，次首项与末一次的相加，以此类推。
可以发现，每一组的和均等于首项与末项之和。
而共有n/2个这样的对称组。
因此，得出等差数列的求和公式。
3. 等差数列的应用等差数列的性质和应用广泛存在于数学和实际生活中。
下面是一些常见的等差数列应用案例：3.1 时段距离计算：在物理学中，等差数列可用于计算速度恒定的运动在不同时间段的总距离。
通过将等差数列的通项公式与求和公式应用于时间与距离，可以精确计算出总距离。
3.2 平均数计算：等差数列中的任意三项都能够构成一个等差数列，其中中间项为这三项的平均数。
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灵活运用
例2、 若an+1 ? an ? 3,且a1 ? 7, 则an ?
3n+4
变式1、
若
1
1 ?
an+1 an
?
3,且a1 ?
1 2
,
则an
?
1 3n ? 1
1
解：由题得 {an }
是等差数列， d=3,
1
首项 a1 ? 2
1 ? ? 2 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 1
an
变式2、 若 an+1 ? an ? 2, 且a1 ? 1,则an ? (2n ? 1)2
2.2 等差数列的性质与证明
知识回顾
?
尝试证明
等差数列的性质(探究)
(1)若 {an} 是等差数列，且 k＋l＝m＋n (k、l、 m、n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an .
(2)若 {an} 是等差数列，且公差为d，则{a2n－1} 和 {a2n}都是等差数列，且公差为 2d .
从原数列中间隔相等的依次抽出的项构成一 个新的等差数列
两个等差数列进行加减组合后构成的新数列 是等差数列
等差数列的证明
?
an
?
? 2(10? 2
3n)
? 3n ? 10
? 当n ? 2时，an ? an?1 ? 3n ? 10 ? [3(n ? 1) ? 10] ? 3
等差数列的证明
?
解 :由：xn
?
2xn?1 xn?1 ? 2
? 1 ? xn?1 ? 2 ? 1 ? 1 xn 2 xn?1 xn?1 2
(1)数列{a1n}是否为等差数列？说明理由．
(2)求 an.
解 (1)数列{a1n}是等差2
∴
1＝ an＋1
an＋2＝ 2an
1＋ 1 ， 2 an
∴1 an＋
－
1
a1n＝12，即
{
1 an
}是首项为
1 a1
＝
1，公差为 2
d＝
1的等差数列． 2
? { 1 }成等差数列， d ? 1
xn
2
? 1 = 1 +（n-1）?1 ? n ? 1
xn x1
22
2 ? xn ? n ? 1
2 ? x2012 ? 2013
∴a3＋a6＋a9＝2a6＋a6＝3a6
等差数列的性质
变式 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2 a4 a6＝45， 求此数列的通项公式．
解 因为 a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以 a4＝5.又因为 a2a4a6＝45，所以 a2a6＝9， 即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得 d＝±2. 若 d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3； 若 d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
等差数列的性质
例 1 在等差数列 {an} 中，已知 a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，
求 a3＋a6＋a9 的值．
27
解 ∵a1＋a4＋a7＝(a1＋a7)＋a4＝3a4＝39，
a2＋a5＋a8＝(a2＋a8)＋a5＝3a5＝33.
∴a4＝13， a5＝11， ∴d＝a5－a4＝－ 2.
(2)由上述可知a1n＝a11＋(n－1)d＝n2， ∴an＝n2.
课堂总结
1 、等差数列的性质 用来化简条件，关注下标间的关系
2 、等差数列的证明 利用定义来证明
3 、解方程组能力
等差数列的性质
(3) 若{an} ，{bn} 分别是公差为 d1，d2 的等差 数列，则数列 { pan＋qbn }(p、q是常数)是公差 为 pd1＋qd2 的等差数列．
等差数列的证明
?
2 11 ??
c? a b? c a?b ? 2(b ? c)(a ? b) ? (c ? a )(a ? b) ? (c ? a )(b ? c)
? 2b2 ? a 2 ? c2 ? b2 ? a2 ? c2 ? b2
等差数列的证明
例 4 已知数列{an}，满足 a1＝2，an＋1＝a2n＋an2，