Landua能级

§7.2 Landau 能级
7.2.1 带电粒子在均匀磁场中的经典运动
设沿正z 轴方向有强度为B 的均匀磁场，一个质量为μ，电荷为q 的带电粒子在XY 平面内运动，初始速度为v ，那么根据电磁学可知，在Lorentz 力q r ⨯B 的作用下，电子将沿一个园轨道运动，从XY 平面的上方（正z 轴的方向）向下看，0q >时粒子沿顺时针方向运动，0q <时沿逆时针方向运动。

设粒子在园轨道上的角速度为c v /R ω=，R 是园的半径，那么它的运动方程是
2c c v ,(v )q B R R μωω==
所以
c .qB
ωμ=
这就是说，c ω只取决于粒子的荷质比 (/q μ) 和磁场强度，而与它的速度或轨道半径无关。

角频率c ω称为粒子的同步回旋(cyclotron)频率。

7.2.2 带电粒子在均匀磁场中的量子运动 Landau 能级
不难证明强度为B 的均匀磁场的矢量势可以取为 1,2A r =B⨯ 这是因为 ()111()()()(3),222A r r r ∇⨯=∇⨯B⨯=B ∇⋅-B⋅∇=B -B =B 而且
11()()0.22A r r ∇⋅=∇⋅B ⨯=-B ⋅∇⨯= 如果
,(0)z e B =B B > 那么， 11,,0,22A y x ⎛⎫=-B B ⎪⎝⎭
设电子在XY 平面内运动，那么它的Hamiltonian 算符是（注意q e =-）
2222222222222L L 1ˆˆˆ2221ˆˆˆˆ()()()28211ˆˆˆ()(),22
x y x y y x x y z e e H P y P x e e P P x y xP yP P P x y L μμμμ
μωωμ⎡⎤B B ⎛⎫⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
B B =++++-=++++ 其中
L c 122eB ωωμ
==
称为拉莫尔(Larmor)频率。

显然，现在的力学量完全集是ˆˆ{,}z
H L ，适合采用平面极坐标系(,)ρϕ求解，并可设 i (,)().(0,1,2,)e m R m ϕψρϕρ==±±
平面极坐标系中的Laplace 算符是
2222222211,x y ρρρ
ρϕ∂∂∂∇≡∂+∂=++∂∂∂
所以把(,)ψρϕ代入能量本征方程中得到径向方程为
22222L L 2211().22m R E m R μωρωμρρρρ⎡⎤⎛⎫∂∂-+-+=-⎢⎥ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦
在其中做变量代换
2L ,(0)μωξρξ=
≥
则方程成为 2222L 1110.424d R dR E m m R d d ξξξωξξ⎡⎤⎛⎫+---+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
在ξ→∞时/2e R ξ-→，在0ξ→时||/2m R ξ→，所以可设
||/2/2(),e m R u ξξξ-=
代入方程中得到()u ξ需满足 22L 1(||1)||10.2d u du E m m m u d d ξξξωξ⎛⎫++-+---= ⎪⎝⎭
这又是合流超几何方程，它有多项式解的条件是
L 1||1,(0,1,2,)2E m m n n ρρω⎛⎫---== ⎪⎝⎭
所以
L (2||1),(0,1,2,)E n m m n ρρω=+++=
或者写为
L (1),(2||0,2,4,)N E N N n m m ρω=+=++= 如果改用c L 2ωω=，那么能级又可以写为
c 1||,0,1,2,22n m m E n n n ρω+⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 它与固有频率为c ω的谐振子能级完全相同。

这些能级就称为Landau 能级。

在上述条件下，()u ξ成为缔
合Laguerre 多项式||()m n L ρξ，所以径向波函数是 |
|||/2/22L ()().e m m nm n R L ρξμωρξξξρ-⎛⎫∝= ⎪⎝⎭ 在最简单的情况下可以只考虑最低的Landau 能级，即对应着0,0,1,2,n m ρ==--的那些态，这称为LLL (Lowest Landau Level) 近似。

最低Landau 能级的波函数有一种非常简明的写法。

如果把B 改为沿着Z -轴方向，那么能级的表达式仍然是
c 1,2n E n ω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ 但是其中的n 现在变成了
||,2m m n n ρ-=+
所以最低Landau 能级对应着0,0,1,2,n m ρ==。

让我们记
(i )z x y =+
（这是一个无量纲变量），那么最低Landau 能级的波函数就可以写为（未考虑归一化） /4(),e
m z z m z z ψ*-= 其中z *是z 的复共轭。

在凝聚态物理中经常采用这种形式的LLL 波函数。

对于z e B =B 的磁场也可以取矢量势(,0,0)A y =-B ，这称为A 的Landau 规范。

用它解出的能级是一样的，但是波函数不同。

*7.2.3 Landau 能级的简并度
尽管Landau 能级的样子看起来和谐振子的能级一样，它们的简并度却完全不同。

注意到
||,(0,1,2,;0,1,2,)2m m n n n m ρρ+=+
==±±
以及 ,(0)||0,(0)
2m m m m m >⎧+=⎨≤⎩ 所以对于给定的n ，一旦n n ρ=，那么所有的0m ≤都是允许的，所以Landau 能级的简并度是无穷大。

但是这要假设电子是在无限大的平面内运动。

其实在现实的物理实验当中，任何二维电子气体样品的面积都是有限的。

设平面的面积为S ，那么可以证明：所有的Landau 能级的简并度都是
,eBS g h
=
或者写为 0
,g Φ=
Φ 其中BS Φ=是整个平面内的总磁通，而 150 4.13566710Wb,(Wb V s)h e
-Φ==⨯=⋅ 是磁通量的量子化单位，也称为Dirac 的单位磁荷。

换句话说，单位面积上的能级简并度是
0.g eB g S h
== 这个结果与凝聚态物理的一系列问题有非常紧密的联系，比如分析量子Hall 效应，分析type-II 超导体中的磁通钉扎，等等。