高中数学 第二章 空间向量与立体几何 5.1-5.2 直线间的夹角、平面间的夹角 北师大版选修2-1
空间向量与立体几何知识总结(高考必备!)
y k iA(x,y,z)O jxz 空间向量与立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k（单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．二、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（3）//a b b a λ⇔= 112233()b a b a R b aλλλλ=⎧⎪⇔=∈⎨⎪=⎩三、空间向量直角坐标的数量积1、设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量><b a b a ,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，即b a ⋅＝><b a b a ,cos |||| 规定：零向量与任一向量的数量积为0。
【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1课件：第2章 空间向量与立体几何 复习课件
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
D1 A1 G D A B C B1
C1
M
始点相同的三个 不共面向量之和，等 于以这三个向量为棱 的平行六面体的以公 共始点为始点的对角 线所示向量
二.共线向量定理与共面向量定理
（一）、共线向量: 1.共线向量:空间两向量互相平行
向量a与b的夹角记作：<a,b>
a b
O
A
a
B
b
范围： 0 a, b 在这个规定下，两个向 量的夹角就
如果 a, b
被唯一确定了，并且 a, b＝b, a
2
, 则称 a与b互相垂直，并记作： ab
2）两个向量的数量积
a b a b cos a, b
（三）、有关结论 设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则 线线平行：l∥m a ∥b a=kb; u=0; a⊥u a· 面面平行：α∥β u ∥v u=kv. 线线垂直：l ⊥ m a ⊥ b a· b=0; 线面垂直：l ⊥ α a ∥ u a=ku; 面面垂直：α ⊥ β u ⊥ v u· v=0. 线面平行：l ∥α
n1 FC1 ，又FC1
FC1 //
平面ADE，
平面ADE
（2） n1 // n2
∴平面ADE//平面B1C1F 2、已知向量 a 1,2,2 则 a 上的单位向量为：
2 2 2 1 1 2 , 或 , , , 3 3 3 3 3 3
sin cos AB,n
AB n AB n
题型三：二面角
二面角的范围：
2-5-1~2夹角的计算课件(北师大版选修2-1)
按照二面角的平面角的定义和空间任意两个向量都是共面向量 的知识，我们只要是在二面角的两个半平面内分别作和二面角 的棱垂直的向量，并且两个向量的方向均指向棱或者都从棱指 向外，那么这两个向量所成的角的大小就是二面角的大小．如 图所示．
题型一 利用空间向量求异面直线所成的角 【例 1】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E1，F1 分别在 A1B1， 1 1 C1D1 上，且 E1B1＝4A1B1，D1F1＝4D1C1，求 BE1 与 DF1 所成的 夹角的余弦值． [思路探索] 几何法，平移直线构造在同一个三角形中，通过解 三角形求解；向量法，可以用基底，也可以建立坐标系，利用 方向向量的夹角求解．
→ |n· | 1 BM ∵cos θ ＝|cos φ |＝ ＝ ， → 2 |n||BM| π 解得 θ＝ ， 3 π ∴二面角 B1A1CC1 的大小为 3 .
题型三 综合问题 【例 3】 (12 分)如下图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB＝FB＝1.
题型二
利用空间向量求二面角
【例 2】已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中平面 AB1D1 与平面 A1BD 所成的夹角为 θ，求 cos θ 的值．
求点坐标及相 [思路探索] 建立坐标系 → → 关向量的坐标 A1BD 及平面 AB1D1 的法向量 n1， 2→ n
求平面
求|cos 1， 2〉 cos θ 〈n n |→
→ ∵向量AA1＝(0，0，2)与平面 CDE 垂直， 设二面角 CDEC1 的平面角大小为 θ. 由图知所求二面角为锐二面角，(6 分) → n· 1 AA → ∴cos θ ＝cos〈n，AA1〉＝ → |n|· 1| |AA －1×0－1×0＋2×2 6 ＝ ＝3， 1＋1＋4× 0＋0＋4 2 ∴tan θ ＝ .(8 分) 2
高中数学第二章空间向量与立体几何2.5.3直线与平面的夹角10121数学
12/13/2021
• [证明] 解法1：(1)连接OC，因为OA＝OC，
D是AC的中点，所以AC⊥OD．
• 又PO⊥底面⊙O，AC 底面⊙O，所以 AC⊥PO，因为OD，PO是平面POD内的两 条相交直线，所以AC⊥ 平面POD，而AC
12/13/2021
设平面 ADE 法向量 n2＝(x2，y2，z2)， 则 n2·D→E＝n2·A→D＝0 解得：n2＝(1,0， 2) 设平面 ABD 与平面 ADE 夹角为 θ，
cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝1＋4×0＋32＝
3 2
∴平面 ABD 与平面 ADE 的二面角平面角为π6.
5.3直线与平面的夹角
12/13/2021
• 1．共面直线的夹角 • 当 角两中条，直范线围在l1与__l2_共_面_[0_，时_π2_]，__我__们内把的两角条叫直作线两交直
线的夹角． • 2．异面直线的夹角 • 当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取
一点A作AB∥l2，我们把直线l1与直线AB的夹 角叫作异面直线l1和l2的夹角．
12/13/2021
4．平面夹角的概念 在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在 ___[_0_，__π2_]____ 内的角为两个平面的夹角． 5．平面夹角的求法 设平面 α 与平面 β 的法向量分别为 n1 与 n2，两平面的夹角为 θ.当 0≤〈n1，n2〉≤π2时，θ＝_〈__n_1_，__n_2_〉___；当π2<〈n1，n2〉≤π 时，θ＝_π_－__〈__n_1，__n__2〉_．即 cosθ＝|_c_o_s〈__n_1_，__n_2_〉_.|
高二济南数学课本目录
高二济南数学课本目录必修五第一章数列1.数列1.1数列的概念1.2数列的函数特性2.等差数列2.1等差数列2.2等差数列的前n项和3.等比数列3.1等比数列3.2等比数列的前n项和4.数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形1.正弦定理与余弦定理1.1正弦定理1.2余弦定理2.三角形中的几何计算3.解三角形的实际应用举例第三章不等式1.不等关系1.1不等关系1.2不等关系与不等式2.一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法2.2一元二次不等式的应用3.基本不等式3.1基本不等式3.2基本不等式与最大（小）值4.简单线性规划4.1二元一次不等式（组）与平面区域4.2简单线性规划4.3简单线性规划的应用选修2-1第一章常用逻辑用语1.命题2.充分条件与必要条件2.1充分条件2.2必要条件2.3充要条件3.全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题3.3全称命题与特称命题的否定4.逻辑连结词“且”“或”“非”4.1逻辑连结词“且”4.2逻辑连结词“或”4.3逻辑连结词“非”第二章空间向量与立体几何1.从平面向量到空间向量2.空间向量的运算3.向量的坐标表示和空间向量基本定理3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理3.3空间向量运算的坐标表示4.用向量讨论垂直与平行5.夹角的计算5.1直线间的夹角5.2平面间的夹角5.3直线与平面的夹角6.距离的计算第三章圆锥曲线与方程1.椭圆1.1椭圆及其标准方程1.2椭圆的简单性质2.抛物线2.1抛物线及其标准方程2.2抛物线的简单性质3.双曲线3.1双曲线及其标准方程3.2双曲线的简单性质4.曲线与方程4.1 曲线与方程4.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点选修2-2第一章推理与证1.归纳与类比1.1归纳推理1.2类比推理2.综合法与分析法2.1综合法2.2分析法3.反证法4.数学归纳法第二章变化率与导数1.变化的快慢与变化率2.导数的概念及其几何意义2.1导数的概念2.2导数的几何意义3.计算导数4.导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则5.简单复合函数的求导法则第三章导数的应用1.函数的单调性与极值1.1导数与函数的单调性1.2函数的极值2.导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义2.2最大值、最小值问题第四章定积分1.定积分的概念1.1定积分的背景——面积和路程问题1.2定积分2.微积分基本定理3.定积分的简单应用3.1平面图形的面3.2简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入1.数系的扩充与复数的引入1.1数的概念的扩展1.2复数的有关概念2.复数的四则运算2.1复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法。
高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量ppt课件
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉； 解答 〈A→B，C—1→A1〉＝π－〈A→B，A—1→C1〉＝π－π4＝34π.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解答
〈A→B，A—1→D1〉＝〈A→B，A→D〉＝π2.
引申探求 →→
在本例中，求〈AB1，DA1〉. 解答
如图，衔接B1C，那么B1C∥A1D， →→
梳理
间向量的夹角
(1)文字表达：a，b是空间中两个非零向量，过空间恣意一点O，作
→ OA
＝a，O→B＝b，那么∠AOB 叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉 .
(2)图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝__0_
〈a，b〉是_锐__角__
〈a，b〉是_直__角__ 〈a，b〉是_钝__角__〈a，b〉 Nhomakorabea_π__
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
学习目的 1.了解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自在向量的概 念. 3.了解空间向量的夹角. 4.了解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
内容索引
问题导学 题型探求 当堂训练
问题导学
知识点一 空间向量的概念
思索1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.
答案 解析
研讨长方体的模型可知，一切顶点两两相连得到的线段中，长度为1 的线段只需4条，故模为1的向量有8个.
12345
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的 是②__③____.(填序号)答案
No Image
12345
规律与方法
在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是 该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中恣意一点A和非零向量a，就可以确定独一一条过点A且平行 于向量a的直线.
人教版新教材高中数学优质课件 第2课时 用空间向量研究夹角问题
解:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设BC=1,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),
C(2,1,0),M
1
1, 2 ,1
.
(1)证明:=(2,0,-2), =
∵
3
1,- ,1
2
3
·=(2,0,-2)· 1, − 2 , 1
∴ ⊥ .∴PB⊥DM.
若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则cos θ= |cos<u,v>|
|·|
=
.
||||
返回目录
4.做一做:如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=
2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(
1
A.
5
2
B.
5
3
C.
5
4
D.
5
)
返回目录
解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空
平面β的夹角为
.
解析:设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),α与β的夹角为θ,
则 cos
π
答案:3
|·|
θ=|cos<u,v>|=||||
=
-1
2× 2
=
1
.所以
2
π
θ=3 .
返回目录
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画“×”.
(1)两条异面直线所成的角与这两条直线的方向向量所成的角相等或互
∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.
高中数学第二章空间向量与立体几何夹角的计算空间向量求二面角的方法素材
空间向量求二面角的方法方法一：先作出二面角的平面角，再利用向量的内积公式求解：设∠AOB 是二面角l αβ--的一个平面角,则向量OA 与OB 所成的角就是所求的二面角的大小．例1 正四面体ABCD 中，求相邻两个面所成的二面角．解析：如图1，取BC 边的中点Ｅ,连结AE 、DE ，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠AED 就是正四面体的两个相邻面ABC 与DBC 所成二面角的平面角,且BC⊥平面ADE ，∴BC⊥AD，∴0EC DA =．设正四面体棱长为1．∵()()ED EA EC CD EC CD DA =+++ =222EC EC CD EC DA CD DA CD ++++ 11121cos120011cos1201424=+⨯⨯⨯++⨯⨯+=． 又在△ABC 与△BCD 中，可求得32ED EA ==, ∴cos ED EAED EA ED EA =，11433322==⨯． 故正四面体的两个相邻面所成的二面角大小为1arccos3．方法二:利用法向量求解:设1n 是平面α的法向量，2n 是平面β的法向量．①若两个平面的二面角如图2所示的示意图,则1n 与2n 之间的夹角θ就是欲求的二面角;②若两个平面的二面角如图3所示的示意图,设1n 与2n 之间的夹角为θ．则两个平面的二面角为πθ-． 例2 如图4，△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形,SA⊥平面ABC ，SA=BC=2,AB=4，D 、N 分别是BC 、AB 的中点．求二面角S —ND-A 的余弦值．解析：平面ABC 的法向量是AS ,设平面SND 的法向量为BC AB AS λμ=++n ．∵SA⊥平面ABC ，∴SA⊥BC,SA⊥AB，∴0AS BD =,0AS BN =,0AS BC =，0AS AB = 又AB⊥BC,∴0BC BN =，0AB BD =,0BC NA =． 由()()ND BC AB AS BD BN λμ=++-n 280BC BD AB BN λμλμ=-=+=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
＝
12＋1×32＋－242×＋3×－24＋22＋×222＋22＝
21 14 .
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD⊥底 面 ABCD，E 是 AB 上一点，PE⊥EC.已知 PD＝ 2，CD＝2，AE＝12.
ABCD，BD
ABCD，
因此CC1⊥底面ABCD. 由题意知，O1O∥C1C，故O1O⊥底面ABCD.
解析答案
(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面BDD1B1的夹角的余弦值.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1 的中点，求平面AA1D与平面A1BD的夹角的余弦值.
答案
返回
题型探究 重点突破
题型一 两条异面直线所成角的向量求法
例1 如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4， 点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1， AB＝2，点E是棱AB上的动点.若异面直线AD1与EC所成角为 60°，试确定此时动点E的位置. 解 以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在 直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设E(1，t,0)(0≤t≤2)，
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，
B1 26， 22，0，C1(0， 2，0)，B 26， 22，1. ∴A→B1＝ 26， 22，－1，C→1B＝ 26，－ 22，1， ∴A→B1·C→1B＝46－42－1＝0，∴A→B1⊥C→1B.
即AB1与C1B所成角的大小为90°.
第二章 §5 夹角的计算
5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角
学习 目标
1.理解两条异面直线的夹角、两平面的夹角的概念. 2.能够利用向量方法解决线线、面面的夹角问题. 3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤.
栏目 索引
知识梳理
自主学习
题型探究
重点突破
当堂检测
自查自纠
知识梳理 自主学习
则 A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，D→1A＝(1,0,－1)，C→E＝(1,t－2,0)，
根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝ 2× 1＋t－22·cos 60°，
所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点.
解析答案
题型二 平面间的夹角的向量求法
解析答案
题型三 两夹角的综合问题
例3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已 知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分别是线段AB、 BC上的点，且EB＝FB＝1. (1)求平面CDE与C1DE夹角的正切值；
解析答案
(2)求直线EC1与FD1夹角的余弦值. 解 设EC1与FD1夹角为β，则
角的大小为(A )
A.45°
B.135°
C.45°或135° D.90°
解析
∵cos〈m，n〉＝
1＝ 2
22，
∴二面角的大小为45°.
Hale Waihona Puke 解析答案12345
3.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 AB＝ 2BB1，则 AB1 与 C1B 所成角的大小为( B ) A.60° B.90° C.105° D.75°
例2 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都
相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1
和四边形BDD1B1均为矩形.
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
证明 因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.
因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.
而AC∩BD＝O，且AC
知 当识 两点 条一 直线直l1与线l间2共的面夹时角，我们把两条直线交角中，范围在0，π2
角叫作两直线的夹角.
内的
当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和
直线AB的夹角叫作 异面直线l1与l2的夹角
.
空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们的方向向
(1)求证：DE⊥EC；
解析答案
(2)求平面EPC与平面DPC夹角的大小.
解析答案
返回
当堂检测
12345
1.若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150°，则l1与l2这两条
异面直线的夹角等于A( )
A.30°
B.150°
C.30°或150° D.以上均错
答案
12345
2.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面的夹
令 x＝2，则 y＝1，z＝23.
∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(2,1,23). 平面 xOy 的一个法向量为O→C＝(0,0,3).
量的夹角确定.
已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.
当0≤〈s1，s2〉≤π2 时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉
；
当π 2
< 〈 s1 ， s2 〉 ≤π 时 ， π直－线〈sl1，1 s与2〉l2 的 夹 角 等
答案
知识点二 平面间的夹角
如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在 平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把 直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角.
已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2.
当0≤〈n1，n1〉≤
π 2
时，平面π1与π2的夹角等〈于n1，n2〉
；
当π 2
< 〈 n1 ， n2 〉 ≤π 时 ， 平 面ππ－1 〈与n1π，2n2的〉 夹 角 等
答案
思考 (1)异面直线的夹角范围是什么？ 答案 异面直线的夹角范围是0，π2. (2)两平面的夹角范围是什么？ 答案 两平面的夹角范围是0，π2.
解析答案
12345
4.已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy夹角的
余弦 2
7
值解析为__A→_B_＝. (－1,2,0)，A→C＝(－1,0,3).设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z).
由
n·A→B＝0，n·A→C＝0
－x＋2y＝0， 知－x＋3z＝0.