线性代数模拟试题
线性代数模拟试题1
2、设 ，则 ___ __________.
3、已知3元非齐次线性方程组 的增广矩阵 经初等行变换化为： ，若方程组无解，则 的取值为____0________.
4、要使矩阵 的秩取得最小值，则 ______ ______.
5、已知 阶矩阵 有一个特征值为2，则 阶矩阵 必有一个特征值为_____-1______.
6、设 , 为 中元素 的代数余子式，则 _____0_______.
得分
评阅人
三、判断正误（共5小题，每题2分，共计10分）
1、若行列式 中每个元素都大于零，则 . ( X )
2、零向量是任一向量组的线性组合. ( )
3、任意 个 维向量必线性相关. （ ）
4、若 为可逆矩阵 的特征值，则 的特征值为 （ X ）
线性代数模拟试卷一
得分
评阅人
一、选择题（共6小题，每题3分，共计18分）
1、排列32514的逆序数为（ B ）
A． B． C． D．
2、设 ，则 （B）
A．-3 B．3 C．6 D．-6
3、设 是方阵且可逆，若 ,则必有（ A ）
A． B． C． D．
4、设 为3阶方阵， ，则其行列式 （ D ）
A． B． C． D．
5、设矩阵 与矩阵 相似，则 . ( )
得分
评阅人
四、计算题（共5小题，每题8分，共计40分）
1、计算行列式
解： (3分)
2、设 ,且 ,求
解：矩阵方程可化为： （2分）
,（3分）
3、解线性方程组 ，要求利用导出组的基础解系表示其通解.
解： （3分）
相应的方程组 ， （2分）
相应的齐次方程组 ， （2分）
四川大学网络教育学院 线性代数1 模拟题和答案。汇编
《线性代数》模拟试题１１.解释下列概念（１）向量组的秩答：一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数（２）线性方程组的解的结构答：齐次线性方程组Ax=0的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解（３）克拉默法则答：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式D≠0。
有唯一解，其解为（４）方阵的特征值和特征向量答：设A为n阶方阵，若数λ和n维的非零列向量x，使关系式Ax=λx成立，则称数λ为方阵A 的特征值，非零向量x称为A的对应与特征值λ的特征向量。
２.已知下列矩阵和向量,,,(a)计算下列表达式（１）Ａ-Ｂ答：（２）｜Ｂ｜答：（３）ＡＢ答：（４）Ｂ-１答：(b)用克拉默法则求方程组AX=b,其中X=(X1,X2,X3)答：(c)求C的特征值和特征向量《线性代数》模拟试题21.解释下列概念（１）矩阵的转置答：它将矩阵的每一行变成列，那么原先的每一列就会变成行，简单点说就是行列互换。
（２）Ｎ维向量答：N 个有次序的数a 1,a 2..a n 所组成的数组称为N 维向量（３）向量线性相关的条件：答：向量组a 1,a 2..，a s (s>=2)线性相关的充要条件是a 1,a 2..，a s 中至少有一个向量可由其余向量线性表示（４）矩阵的相似条件答：对于矩阵A、B，如果能找到n 阶可逆矩阵P，使得：P^(-1)AP=B，则A、B 矩阵相似２.计算行列式答：３.计算下列矩阵的乘法答：４.计算矩阵的逆答：５.用克拉默法则求方程组答：６.求下列矩阵的特征值和特征向量答：《线性代数》模拟试题3１.解释下列概念（１）总结齐次和非齐次线性方程组有解的条件答：非齐次线性方程组有解的条件：系数矩阵的柣等于增广矩阵的柣；齐次方程组有唯一零解的条件：系数行列式的值为0，不为0就有无穷多解（２）向量线性无关的条件答：满秩是向量组线性无关的充要条件（３）伴随矩阵答：n阶方阵A的元素的代数余子式组成的矩阵称为A的伴随矩阵A*（４）矩阵的转置答：它将矩阵的每一行变成列，那么原先的每一列就会变成行，简单点说就是行列互换。
大一线性代数模拟试卷及标答(A)[1]
![大一线性代数模拟试卷及标答(A)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/49f4ae95d0d233d4b14e6978.png)
n A A2AR A=n)(-n--1n2武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、3-；2、12d b c a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭； 3、k(12ξξ-),k ∈R ； 4、3； 5、 3. 二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、A3、B4、D 5 、D三、解答题（每小题8分，共32分）1、 13233331125132320112501A A A ----+=-- ………………………………………………………………（3分） 0= ………………………………………………………………（8分）2、 由X AX B =+ 得()E A X B -= ……………………………………………………………（2分）因(,)E A B -=110111012010253--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭～101200111100333-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭～100310102000111-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………（6分）所以 X=312011-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（8分） 3、 因*112A A A A --==， ……………………………………………………………（2分） 所以*1111()233A A A A ---+=+ …………………………………………………………（4分）= 15A - = 5n 1A - …………………………………………………………（6分）=5n 1A -=52n………………………………………………………………（8分） 4、记()123,,A ααα=，设112233x x x βααα=++. ……………………………………… （2分）解法一： 1111(,)22230323A a b a a b β-⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭ ～ 1111010323a b a a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+-⎝⎭～ 111101000ab a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………… …………………（4分） 故当 0a ≠且b a ≠时，方程组有唯一解，即β能由123,,ααα线性表示，且表示式唯一； ………（6分）此时，(,)A β ～ 1100110100010a a ⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1211(1)a a βαα=-+. ………………… …………………（8分） 解法二：111222()032A a b a a b a a b-=+--=--+ ………………… …………………（2分）故当 0a ≠且b a ≠时，方程组（1）有唯一解，即β能由123,,ααα线性表示，且表示式唯一；……（4分）此时，1111(,)22230323A a b a a b β-⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭ ～ 1111010323a b a a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+-⎝⎭～ 111101000ab a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭～ 1100110100010a a ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ………… …………………（4分） 1211(1)a aβαα=-+………… ……………………………………（8分）四（14分）、系数矩阵为 111111a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，增广矩阵为113112112a a B a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， （1）解法一 B ～2112011001133a a aa a a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭～112011000(1)(2)33a a a a a a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭… …………………（4分） 当1a ≠且2a ≠-时，()()3R B R A ==，方程组有唯一解；当2a =-时，B ～112203300009--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，()3,()2R B R A ==，方程组无解；当1a =时，B ～111200000000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，()()13R B R A ==<，方程组有无穷多个解。
25线性代数远程模拟题3nbsp更新
难度：1
3.设A是2阶矩阵，若 （）
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
答案：A
题型：单选题
知识点：3.1矩阵的运算
难度：1
4．设A，B为n阶方阵，且 ，则下列命题正确的是（）
A.
B.
C.
D.
答案：C
题型：单选题
知识点：3.3 矩阵的转置
难度：1
5.向量组 的秩为（）
A . 1
B.2
C.3
D.4
答案：
难度：2
9．矩阵 ，则
答案：
题型：填空题
知识点： 3.1 矩阵的运算
难度：1
10．行列式 ____
答案：5
题型：填空题
知识点：1.6行列式的计算
难度：2
11．计算行列式
答案：
题型：计算题
知识点：1.6行列式的计算
难度：2
12.用克莱姆法则求解
答案:（1,-2,3,-1）
题型:计算题
知识点：2.1克莱姆法则
难度：2
13.把向量 表成向量 的线性组合：
答案:不能表示成线性组合
题型:计算题
知识点：2.5线性相关性
难度：2
14.设向量组 可以由向量组 线性表出，证明
答案:根据线性相关性及线性无关的定义
题型:证明题
知识点：2.5线性相关性
难度：3
15..用正交替换把
化成标准型。
答案:
题型:解答题
知识点：5.2用正交替换化实二次型为标准型
题型：单选题
知识点：2.4 nห้องสมุดไป่ตู้向量空间
难度：1
6.若 ____。
答案：4
线性代数模拟考试题（4套）
线性代数模拟考试题（4套）模拟试题⼀⼀、判断题：（正确：√，错误：×）（每⼩题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶⽅阵，则 B A B A +=+. ……………………( )2、可逆⽅阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( )3、n 元⾮齐次线性⽅程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( )4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶⽅阵，且0=A ，则矩阵A 中必有⼀列向量是其余列向量的线性组合.…………………………………………………………( ) ⼆、填空题：(每空2分，共20分)1、,A B 为 3 阶⽅阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= .2、⾏列式中元素ij a 的余⼦式和代数余⼦式,ij ij M A 的关系是 .3、在5阶⾏列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .4、已知()??-==256,102B A 则=AB .5、若?--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵--2100013011080101是4元⾮齐次线性⽅程组b Ax =的增⼴矩阵,则b Ax =的通解为 .7、()B A R + ()()B R A R +.8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .9、设=A-500210111t ，则当t 时，A 的⾏向量组线性⽆关.10、⽅阵A 的特征值为λ，⽅阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每⼩题8分，共16分) 1、已知4阶⾏列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+.2、设矩阵A 和B 满⾜B A E AB +=+2，其中=101020101A ，求矩阵B .四、(10分) 求齐次线性⽅程组=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、(10分) 设三元⾮齐次线性⽅程组b Ax =的增⼴矩阵为+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ，讨论当λ取何值时，b Ax =⽆解，有唯⼀解和有⽆穷多解，并在⽆穷多解时求出通解.六、(10分) 判断向量组---=? --=? =? -=1622,4647,3221,1123:4321a a a a A 的线性相关性，如果线性相关，求⼀个最⼤⽆关组，并⽤它表⽰其余向量. 七、综合计算：（本题14分）已知⼆次型31232221321422),,(x x x x x x x x f --+= （1）求⼆次型所对应的矩阵A ，并写出⼆次型的矩阵表⽰；（2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交变换PY X =化⼆次型为标准形, 并写出标准形；（4）判断该⼆次型的正定性。
2023线性代数期末模拟试题(三)
期末模拟试题(三)一．判断题（每小题2分，共5小题10分）正确的选“T”，错误的选“F”1. ,,. ( )A B AB O A B O ==若矩阵满足且可逆,则一定有2. . ( )可逆矩阵的逆矩阵不唯一3. ,,. ( )A B AB AB A B 若矩阵满足乘积为方阵则一定有=4. ,. ( )矩阵的行秩与列秩相等但是不等于矩阵的秩 5. ,. ( )n A A 若阶矩阵特征值都为单根则与对角矩阵相似 二．选择题（每小题2分，共10小题20分）1. (),( ).n A B k 对阶可逆矩阵、其中为非零常数下列错误的是A. ()T T T A B A B +=+11B. ()A A--=111C. ()AB A B ---=111. ()D kA A k --=1112131131123213332122232122233132333132332222. ,, ( ).a a a a a a a a a C a a a P PC a a a aa a a a a P +++===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设矩阵为初等矩阵,若则100A. 020010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100B. 010201⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭120C. 010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭102D. 010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. ,,,,,,( ).P Q R X n P Q PXQ R X ==设都是阶方阵且可逆则矩阵方程的解11A. RP Q --11B. P RQ --11C. RQ P --11D. P Q R--4. ,3,3( ).T A n A A A A ==设为阶方阵若的行列式则A. 3n 1B. 3n +2C. 3n +22D. 3n +3005. ,,()2,512,( ).5646A B R A B x x ===⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭已知同型矩阵等价且则A. 8B. 4C. 2D. 312126. ,(),( ).,,,,,,,n n b A αααααα= 已知向量组且则下列说法错误的是12A. , ,,,n AX b b ααα= 若有无穷多解则可由线性表出且表示式不唯一12B. , ,,,n AX b b ααα= 若有唯一解则可由线性表出且表示式唯一12C. ,,,,n AX b b ααα= 若无解则不能由线性表出D. ()(),AX b R A R A AX b =≠=若满足条件则有解7. ,0( ).A m n AX ⨯=若为矩阵则方程组仅有零解的充要条件为A. A 的列向量线性无关 B. A 的列向量线性相关C. A 的行向量线性无关D. A 的行向量线性相关8. ,02080,( ).A A I A I A I A -=+=+==设的为三阶矩阵且，，则A.1 B. 2 C.16- D. 8-2009. =020( ).005Λ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭下列矩阵与对角矩阵相似的矩阵是200A. 320005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭200B. 0210005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭246C. 020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭200D. 820315-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22212312312132310. ( ).(,,)22446f x x x x x x x x x x x x =---++二次型的矩阵为122A. 223232----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭131B. 223332---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭122C. 223232---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭121D. 222242----⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三．填空题(每小题2分,共5小题10分)11231. 34,45,(34) .2131T A B A B -==-+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设则321003702. , .245dc A y A x y z a b=已知四阶行列式则元素的代数余子式的值为1123. , .34A A -==⎛⎫⎪⎝⎭已知矩阵则其逆矩阵1234. (1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)2, .a a ααα=-===若向量组的秩为则5. ,248, .A 若是三阶方阵其特征值分别为、、则逆矩阵的特征值为四．计算题(第1、2小题每题8分,第3、4、5、6小题每题9分，共52分)130621511. ,,2,2.02121476A A A A ---=--⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭设矩阵求1212222. ,()2,.15103A A R A a A a -----==--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭已知矩阵矩阵的秩求的值和矩阵的标准形13. 24, (1) 2320 (2) 030,.003n A B A B B I A I A B -⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=---=已知阶矩阵和满足条件证明可逆；已知求12344. (2,0,1),(0,1,1),(1,1,2),(5,0,5),,.T T T T αααα===--=已知向量组求向量组的秩和一个 极大无关组并将其余向量用该极大无关组线性表出12413123415. 22.30x x x x x x x x x -==---=+⎧⎪+⎨⎪⎩求非齐次线性方程组的通解21226. 224,242 (1) (2)()35,()..A f x x x A f A -=---=+-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭设矩阵求矩阵的特征向量和特征值；若多项式求方阵的多项式的特征值五．证明题(8分)123123112223313123 ,,,+2,3,,,==+4=5+6,,αααββββααβααβααβββ已知向量组线性无关且向量组满足判定向量组的线性相关性,并证明.,。
线性代数模试题试题库(带答案)
,
A= 2−1
1 1
−2 −1
1
=
13
−1
3
2 3
1
3
解：
= A−1
= A01−1 A02−1
1
−2
0
0
−2 5 0 0
0 0 13 −1 3
0
0
2 3
1 3
四、证明题(每小题 5 分，共 10 分)
19、设 n 阶方阵 A 满足 ( A + E )3 = 0 ，证明矩阵 A 可逆，并写出 A 逆矩阵的表达式。
即行列式 D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以 D = (−1)n D 。
3、设
A
=
1 0
1 1 ,
则
A100
=
1 0
100
1
。
= A2
1 0
= 11 10 11
= 10 12 , A3
1 0
= 12 10 11
因为： A∗ =A A−1 =−2A−1 ⇒ 4A−1 + A∗ =4A−1 − 2A−1 =2A−1 =8 A−1 =−4 。
1 0 2 2、 A 为 5×3 矩阵,秩( A )=3, B = 0 2 0 ,则秩( AB )= 3 。
0 0 3 因为 B 可逆， AB 相当于对 A 作列初等变换，不改变 A 的秩。
C.5
D.6
1 2 1 0 1 2 1 0
通过初等变换，由秩为 2 可得： 3
−1 0
2
0
−7
−3
线性代数模拟试题及答案(三套)
第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。
令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。
2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。
3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。
23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。
由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。
5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。
由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-， 而 ：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。
6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。
可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。
二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a a A 。
A ．M 8 B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。
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模拟试题一一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶方阵，则 B A B A +=+. ……………………( × )2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( √ )3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( )4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合. …………………………………………………………( )二、填空题：(每空2分，共20分)1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= 12 .2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 .3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .4、已知()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==256,102B A 则=AB 10 .5、若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵,则b Ax =的通解为 .7、()B A R + 《 ()()B R A R +. 8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA E .9、设=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-500210111t ，则当t 5 时，A 的行向量组线性无关. 10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+.2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵B .四、(10分) 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-++=--+-=++-024*********4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、(10分) 设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ， 讨论当λ取何值时，b Ax =无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通解.六、(10分) 判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1622,4647,3221,1123:4321a a a a A 的线性相关性，如果线性相关，求一个最大无关组，并用它表示其余向量. 七、综合计算：（本题14分）已知二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f --+= （1）求二次型所对应的矩阵A ，并写出二次型的矩阵表示； （2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交变换PY X =化二次型为标准形, 并写出标准形； （4）判断该二次型的正定性。
八、证明题：(每小题5分，共10分)1、已知向量321,,a a a 线性无关，证明 1333222115,4,32a a b a a b a a b +=+=+=线性无关.2、某矿产公司所属的三个采矿厂321,,a a a ，在2011年所生产的四种矿石54321,,,,b b b b b 的数量（单位：吨）及各种矿石的单位价格（万元/吨）如下表：（1）做矩阵53⨯A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ； （2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值.模拟试题二一、 判断题（正确的打√，不正确的打⨯）（每小题2分，共10分） （ ） 1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+； （ ） 2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ； （ ） 3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零；（ ） 4、 若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+ 也是该方程组的解.（ ） 5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。
二、 填空题（每小题2分，共16分） 1、排列的逆序数是 ；2、设四阶行列式32142143143243214=D ，则=+++44342414432A A A A ，其中ij A 为元素ij a 的代数余子式；3、设A 、B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1BA ； 4、)(5)(2)(3321α+α=α+α+α-α，其中T )3,1,5,2(1=α，T )10,5,1,10(2=αT )1,1,1,4(3-=α，则=α ；5、已知向量组:A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α12,221k ，向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11b ，当k 时，b 可由A 线性表示，且表示法唯一；6、设齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000020103211，则此线性方程组的基础解系所含解向量的个数为 ； 7、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T2,,2λ-正交，则λ= ；8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征 值为 。
三、计算题（每小题8分，共16分）1、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。
2、已知矩阵111211111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，236B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，660C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求矩阵方程AX B C -=。
四、 计算题（每小题8分，共16分）1、已知向量组123120,2,2012k k k k ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）k 取何值时，该向量组线性相关；（2） k 取何值时，该向量组线性无关， 说明理由。
2、已知二次型323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=， (1) 写出此二次型对应的矩阵A ;(2) 判断该二次型是否正定二次型，说明理由。
五、 计算题（每小题10分，共20分）1、设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----43333320126624220121.求：（1）矩阵A 秩；（2）矩阵A 的列向量组的一个最大线性无关组。
．2、求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++522132243143214321x x x x x x x x x x x 所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。
六、（12分）设矩阵131011002A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(1) 求矩阵A 的特征值和全部的特征向量；(2) 求可逆矩阵P ，使得1P AP -=Λ（其中Λ是对角矩阵），并写出对角矩阵Λ。
七、（5分）证明题设方阵A 满足2A A E O +-=，证明：A 可逆并求它的逆矩阵。
八、（5分）应用题假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：21商店商店 梨橘子苹果 21人员人员梨橘子苹果⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10.020.015.010.015.010.0 21人员人员⎥⎦⎤⎢⎣⎡5351045 21城镇城镇⎥⎦⎤⎢⎣⎡100050020001000 设第一个矩阵为A ，第二个矩阵为B ，而第 三个矩阵为C 。
（1）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？ （2）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？模拟试题三一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）1、B A ,为n 阶方阵则 BA AB = （ ）2、设A 为)n m (n m <⨯矩阵，则b Ax =有无穷多解。
（ ）3、向量组1A 是向量组A 的一部分，向量组1A 线性无关，则向量组A 一定线性相关； （ ）4、设21,λλ是方阵A 的特征值，则21λλ+也是方阵A 的特征值。
（ ） 5、4个3维向量一定线性相关。
（ ） 二、填空题：(每空2分，共20分)1、已知A 为3阶方阵，且2A =-，则2A -= ；2、六阶行列式中某项645342362115a a a a a a 带有的符号为 ；3、设A 为n 阶方阵，满足2A A E -=，则1A -= ；4、设12,ξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的两个解，且A 的秩()R A 1=-n ，则Ax b =的通解x = ；5、设非齐次线性方程组的增广矩阵为B =2102-1101-3000001-)1k k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭（，则k = 时方程组无解， 当k = 时方程组有无穷解，此时该方程组对应的齐次线性方程组的基 础解系中有 个向量。
6、二次型xz z y xy x f 44642222+--+-=的秩为 ，正定性为 （请选正定、负定、不定之一）。
7、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 322-+=，则B 的特征值为 。
三、计算：(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1111201212112101---=D ，求4131211122A A A A +++2、已知111121113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试判断A 是否可逆。
若可逆，求1-A ，若不可逆，求A 的伴随矩阵A *四、计算：(每小题10分，共20分)1、求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=--+-=++-034220222402024321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解。
2、已知线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=---=++a z y x z y x z y x 223320有解，求a ，并求全部解；五、 (10分)判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1210,1012,0212,11014321αααα 的线性相关性，并求它的一个最大无关组，并用最大无关组表示该组中其它向量。
六、综合计算：（本题14分）二次型212322213212),,(x x x x x x x x f +++=（1）求二次型所对应的矩阵A ，并写出二次型的矩阵表示 （2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角形矩阵。