力学在土木工程中的应用

力学在土木工程中的应用

1：力学基本内容：

力学是用数学方法研究机械运动的学科。“力学”一词译自英语mechanics 源于希腊语一机械，因为机械运动是由力引起的．mechanics在19 世纪5O 年代作为研究力的作用的学科名词传人中国后沿用至今。

力学是一门基础科学，它所阐明的规律带有普遍的性质．为许多工程技术提供理论基础。力学又是一门技术科学，为许多工程技术提供设计原理，计算方法，试验手段．力学和工程学的结合促使工程力学各个分支的形成和发展．

力学按研究对象可划分为固体力学、流体力学和一般力学三个分支．固体力学和流体力学通常采用连续介质模型来研究；余下的部分则组成一般力学．属于固体力学的有弹性力学、塑性力学，近期出现的散体力学、断裂力学等；流体力学由早期的水力学和水动力学两个分支汇合而成，并衍生出空气动力学、多相流体力学、渗流力学、非牛顿流体力学等；力学间的交叉又产生粘弹性理论、流变学、气动弹性力学等分支．

力学在工程技术方面的应用结果则形成了工程力学或应用力学的各种分支，诸如材料力学、结构力学、土力学、岩石力学、爆炸力学、复合材料力学、天体力学、物理力学、等离子体动力学、电流体动力学、磁流体力学、热弹性力学、生物力学、生物流变学、地质力学、地球动力学、地球流体力学、理性力学、计算力学等等．2：土木是力学应用最早的工程领域之一．土木工程专业本科教学中涉及到的力学内容

包括理论力学、材料力学、结构力学、弹性力学、土力学、岩石力学等几大固体力学学

科．

理论力学与大学物理中有关内容相衔接，主要探讨作用力对物体的外效应（物体运动的改变），研究的是刚体，是各门力学的基础．其他力学研究的均为变形体

（本科要求线性弹性体），研究力系的简化和平衡，点和刚体运动学和复合运动以及质点动力学的一般理论和方法．

材料力学：主要探讨作用力对物体的内效应（物体形状的改变），研究杆件的拉压弯剪扭变形特点，对其进行强度、刚度及稳定性分析计算．

结构力学：在理论力学和材料力学基础上进一步研究分析计算杆件结构体系的基本原理和方法，了解各类结构受力性能．

弹性力学：研究用各种精确及近似解法计算弹性体（主要要求实体结构）在外力作用下的应力、应变和位移．

土力学：研究地基应力、变形、挡土墙和土坡等稳定计算原理和计算方法．岩石力学：研究岩石地基、边坡和地下工程等的稳定性分析方法及其基本设计方法．土木工程专业之力学可分为两大类，即“结构力学类” 和“弹性力学类” ．

“弹性力学类”的思维方式类似于高等数学体系的建构，由微单元体（高等数学为微分体）人手分析，基本不引入（也难以引入）计算假设，计算思想和理论具有普适特征．在此基础上引入某些针对岩土材料的计算假设则构建了土力学和岩石力学．“结构力学类” （包括理论、材料学和结构力学）则具有更强烈的工程特征，其简化的模型是质点或杆件，在力学体系建立之前就给出了诸如平截面假设等众多计

算假设，然后建立适宜工程计算的宏观荷载和内力概念，

给出其特有的计算方法和设计理论，力学体系的建构过程与弹性力学类截然不同．

弹性力学由于基本不引入计算假定，得出解答更为精确，可以用来校核某些材料力学解答；但由于其假定少，必须求助于偏微分方程组来寻求解答，能够真正得出解析解的题目少之又少，不如材料力学和结构力学的计算灵活性高和可解性强；弹性力学的理论性和科研性更强，是真正的科学体系，而结构力学类的实践性和工程性更强，更多偏重于求解的方法和技巧．

3：力学基本量对基本物理量的严密定义和深刻理解是人们对学科认识成熟与否的重要标志．任何力学所求解的题目都是：给定对象的几何模型和尺寸，给定荷载（外力）作用，求解其内力、应变、位移（静力学）或运动规律（动力学）．土木工程中所考察的对象大多为静力平衡体系．

3．1 外力弹性力学中之外力包括：体力和面力；而理论力学研究的外力为集中力（偶）；材料力学与结构力学一脉相承，研究的外力为集中力与分布力；而土力学和岩石力学中的外力主要以分布力为主．相比之下，体力和面力是最基本之外力，基于此类外力进行求解和计算无疑要从基本单元体人手；其他工程力学中之外力作用无外乎就是体力和面力的组合，正是由于这种对力的简化，使得工程力学的求解相对容易，无需借助于微分方程方法．

3．2 内力

弹性力学中之内力包括：正应力和剪应力；理论力学之内力是刚体质点系内部各质点的相互作用力；材料力学与结构力学之内力为轴力、剪力、弯矩和扭矩；土力学和岩石力学由于研究的是块体结构，内力也为正应力和剪应力．剖析各种内力：轴力是沿杆轴方向正应力之合力；弯矩分量是沿杆轴方向正应力合力矩对坐标轴之量；剪力分量是杆轴截面内剪应力合力对坐标轴之分量；扭矩则为杆轴截面内剪应力之合力矩．空间问题任一截面共有六个内力分量，这也正是由理论力学中空间力系的合成

方法所决定的．四种内力6 个分量的确定只是为了工程设计和计算之方便．可见，弹性力学、土壤力学、岩石力学的求解结果为物体内部各点的应力；而材料力学、结构

力学的求解结果则为杆件横截面上（简化后为一点）应力之合力．

应力解答是进行工程设计的最重要指标．通过考察某点的相应应力状态并与材料性能指标对比，提出了多种强度设计理论，如最大拉应力理论、最大剪应力理论、最大线应变理论、形变比能强度理论、摩尔强度理论等．

3．3 应变应变是微单元体的变形，有线应变和角应变两类。各门力学都有所涉及但在具体应用时又很少提及的概念，弹性力学类中应变的求解往往也不是最终目的，它只是位移计算的一个过渡，而结构力学类中由于研究的是质点系或杆件系，谈应变的概念是没有意义的，它直接针对位移求解，具体的工程设计中也是以某些断面的位移（变形）指标作为标准．

3．4 位移

位移实则为应变的宏观反映，二者之间有着密切的偏微分关系．弹性力学中的位移以其坐标分量来表征，而材料力学、结构力学中的位移是指某个截面的位移：

线位移和角位移的概念本身是建构在平截面的假设基础之上的，只有截面保持为平

面，才能谈到该截面的位移状态，否则某一截面变形后成为曲面，

是不可能有单一的线位移和角位移的．但是，弹性力学早已指出，平截面假设只是一种工程的近似，可见，线位移和角位移的概念脱离开材料力学和结构力学毫无意义．

4：解析计算方法

4．1 基本求解方程

土木工程中建立的力学模型多为平面问题［引，空间问题基本不纳入授课大纲而只是作为了解，这一方面是空间问题计算过于繁琐，更重要的是本专业计算对象的特殊性所造成的：大多数工程结构都可以简化为平面结构进行处理，对于复杂一些的结构

在设计中只不过多考虑一个安全系数而已．

基本假设（连续性、均匀性、各向同性、完全弹性、小形变位移）是各门固体力学都遵循的，力学基本方程的建立即依据其而作，在工程针对性更强的材料力学、结构力学、土力学和岩石力学中则又根据各自研究对象不同引入了更多计算假设．为确定特体在外部因素作用下的影响，除必须知道反映质量守恒（衍生出流体力学连续性方程）、动量平衡（衍生出黏性流体Navier-Stoke 方程和弹性固体平衡微分方程等）、动量矩平衡、能量守恒（衍生出熵焓的变化方程）等自然界普遍规律的基本方程外，还须知道描述构成特体的物质属性所特有的本构方程（由应力和应变（率）关系体现）和描述物体变形．运动属性（由变形（率）．位移（率）关系体现）的几何方程，才能在数学上得到封闭的方程组，并在一定的初始条件和边界条件下把问题解决．

固体力学基本求解方程考虑：平衡条件、位移变形条件和本构条件．据此可得弹性力学三大基本方程组：平衡微分方程（纳维方程）、几何方程（柯西方程）和物理方程（虎克定律），三类基本方程考察微元体，基于静止状态下动量守恒、几何线性和物理线性特征来构建．描述了微分状态下的三类条件．各种解法都是以基本方程为依据，辅之以边界条件来确定．材料力学和结构力学在提出其计算假设的同时，其实就已经描述了本构关系、平衡条件和边界条件体现在整体静力平衡方程中，连续条件则体现在位移求解方程上．

4．2 求解方法

内力和位移是最有工程意义的物理量，因此各门力学所建立的求解方法都是以二者为基础的，这就形成了所谓“力法”和“位移法”．

（1）力法力法是一种最传统的方法，按力求解入手比较符合人们惯常的思维习

惯．结构力学类中之力法是以多余反力或内力（弯剪拉压扭）为基本未知量．传统“力法”所采用的策略，为“先削弱后修复” ］：即先解除某些约束，将结构修改为对于各种荷载都易于分析的静定基本结构，即“静定基”；再据建立“力法”的修复方程来求解应有的约束力，恢复结构的约束性态．修复方程本质上为位移方程，依靠结构变形、位移协调的几何条件列出，而位移可以根据基本结构内力由虚力原理轻松得到．弹性力学类中之力法以应力为基本未知量．应力求解是弹性力学的最基本方法，但是其应用有限，因为要建立力法求解的“应力函数”（如Airy 函数），

需要常体力的设定或其他严格的假设条件．弹性力学的力法与结构力学虽都是以“力”作为首先求解的基本未知量，但其思想是不同的，由于弹性力学问题无计算假设（如杆件假设和平截面假设），不存在所谓的“静定基”，任何弹性体内部都是超静定的，必须将平衡条件、几何条件和物理条件联立求解．二者的“相同”之处只在于都是以“力”为首先求解的未知量而已．

(2)位移法位移法是一种以位移为基本未知量的求解方法．应当说，长期以来，人们对于位移的关注都远远落后于内力，现有的各种建筑结构设计规范都是基于强度设计为主，探讨的是内力设计；而刚度设计的计算工作量和重视程度显然是次要的．结构力学类中之“位移法”所采用的策略，为“先加强后修复”］：即让结构所有节点完全固定，使所有构件成为彼此无关的单跨超静定梁，即“固定基”，然后再使它们能转动和移动以达到力矩和剪力的平衡，以消除在结点处产生不平衡力和力矩．修复方程本质上为平衡方程，依靠结构在结点处的力或力矩平衡条件列出．为了避免求解联立方程的困难，人们基于位移法又提出了“逐次迭代法”、

“弯矩分配法”、“无剪力分配法”等诸多渐近计算手段；而为更便于手工求解，又

给出新的假定从而得到多种近似计算方法，如分层法、反弯点法和D 值法等．应当说，在电子计算机计算速度和存储容量越来越大的情况下，这些传统渐近或近似求解方法已逐渐退居到次要地位，但为了考查土木工程学生的计算能力和对基本原理的理解，在课程设计或毕业设计中仍然采用之．

结构力学中的位移法计算思想对于弹性力学同样难以实现．原因很简单，结构体可视为由多个离散杆件连接而成，但弹性体本身是处处空间连续的几何体，无法确定“固定基”，因此其求解也必须像弹性力学应力法一样建立一个“位移函数”，弹性力学位移法建立边界条件相对容易，但传统的弹性力学位移法求解化为二阶偏微分方程组，求解困难．近年来很多学者已经通过各种方法建立了一些利于求解的位移函数【加，n］，大大提高了位移法的应用范围，笔者认为位移法的解析求解已经发展到相当成熟的阶段，建议相应弹性力学教材应适当修改，增加位移法求解的篇幅和算例．可见，同样是力法和位移法，正是由于二类力学研究的初始假定条件不同，导致了其计算方法的本质不同．结构力学的求解思想更易被工程技术人员所接受；而深入探讨物体内部受力和变形特征的弹性力学则多被众多科研人员所思索和研究．

5：能量法

力学由物理学的一个分支于20 世纪初在工程技术的推动下脱离其演变成一个独立学科，现在通常理解的力学主要研究宏观的平衡和机械运动；物理学在摆脱了传统的机械（力学）自然观后也获得了健康飞速的发展．现在看来，最能维系力学与物理学血脉联系的就是能量原理了．能量原理不仅适用于线弹性小变形结构，也适用于非线性非弹性结构；既适用于静定结构，也适用于超静定结构，不仅能用于求解梁、轴、杆结构，也能用于板、壳及一般实体结构．作为教师，应当使学生理解能量原理的普适特征．大学本科的学习深度仅局限于“线性弹性”的范畴．所谓线性，即本

构方程的线性关系；所谓弹性是外力与变形同时性的特征．

能量原理是各门力学学科都要提及的一部分内容．在力学更偏重于为工程服务时，人们往往将能量原理淡忘；只有用一般手段无法解决时，人们才会重新拾起这个大自然赐予的最基本规律：“能量守恒定律”．正是借助于这个最有利的手段，人们解决了更多令人困惑的难题．能量原理在力学中的各种表达最后都归结为求解不同泛函驻值的问题．

能量守恒的思想是学生在中学时代就知道的，后在变形固体问题的研究中又得到了进一步拓展，即虚功原理的思想．“虚功”的概念是学生在力学学习中最易困惑的

名词．“实功”是由于力逐渐增加在变形效应上所做功的度量，

而“虚功”是在变形结束后人们假像中外力又做的功值．学生在中学时代考虑的物体都是刚体，“功”的概念其本质上就是大学中所提到的“虚功” ．其实，所谓“虚功”的提出正是人们为了研究问题的方便而给出的，正如复数的提出是为了保证方程的根域始终要封闭一样，完全是为了研究问题的需要．在结构已经完成实际变形后，使其产生一个虚位移，才能根据能量守恒定律给出外力的虚功与储存变形能的互等关系，进一步根据泛函分析的变分理论给出总势能的变分为零（取驻值）的结论．反之，若以力为虚，则可以给出总余能变分为零的结论．能量法跟力法和位移法是殊途同归，也是结构分析的基本方法．能量变分原理的应用也符合“先修改，后复原”的策略．在能量泛函的表达式中，试探函数可以只满足一部分约束，而让另外的约束由能量变分取极值来达到满足，放弃某些约束就是修改了结构，能量变分则是复原了结构约束．

变分法的发展是一个渐进的过程，众多学者在这方面做了大量的研究工作．最小势能原理属于位移型变分原理，结构的势能泛函由满足连续约束的变形试探函数给出，然后让泛函对位移做变分，使势能最小，得到结构位移的解．最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和位移表示的应力边界条件，可见，它是通过势能泛函来修改结构使得平衡条件重新满足，这正是“位移法”的求解思想．最小余能原理属于应力型变分原理，结构的余能泛函由满足平衡约束的内力试探函数写出，然后让泛函对内力做变分，使余能最小，得到结构内力的解．最小余能原理等价于以应力表示的应变协调

方程（或几何方程）和位移边界条件，可见，它是通过余能泛函来修改结构使得连续条件重新满足，这正是“力法”的求解思想．

广义变分原理（胡海昌一鹫津原理）属于应力一位移。应变型变分原理，能量泛函中内力、变形和应变三类变量的试探函数彼此独立无关，它通过泛函变分取驻值，使平衡、连续和应力。应变关系三种约束重新得到满足，显然，这是最自由的变分原理．钱伟长教授等已经证明了弹性力学变分原理间的等价性和变量的独立性．通过不同乘子的引入，根据应力、应变和位移三类变量的不同组合形成不同的泛函驻值问题就构成了各种类型的变分原理，如位移。应变型广义势能原理、位移。应力型广义余能原理（Helliger。Reissner原理）等．

考察弹性体的动力学特征时，此时试探函数可包括位移、速度、应变和应力四场变量，可形成相应的各种单场或多场变分原理，如以位移作为试探函数的Hamilton 变分原理、位移。速度变分原理、位移。应变。应力变分原理、位移。速度。应变。应力变分原理等．通过对加速度空间中变分原理的推导还可得到粘性流体力学中的Navier。stokes 方程，这也说明了同属于连续介质力学的固体力学和流体力学的内在统一性．一些学者针对诸如孔隙介质渗流问题、固液耦合问题和弹粘塑性问题等又建立了一系列有更强针对性的变分原理形式，这些已远远超出本科教学的范畴．

材料力学、结构力学、弹性力学等课程中都有变分法的相关内容，所述仅仅局限在最小势能原理（等价于位移变分原理和虚功原理）和最小余能原理（一般不列入大纲要求），而对泛函驻值的近似求解方法，介绍的只有瑞利一里兹法，对于迦辽金法等均未涉及．这一方面是由于学时所限，另一方面也是由于位移变分法较易理解而其他变分法过于抽象所致．

6：有限单元法

包括有限单元法在内的数值计算方法多是由变分原理衍生出来．常规的有限单元法是基于最小势能原理建立的；杂交元方法的发展则是由最小余能原理建立并基于广

义变分原理得到深化；边界元方法则是数值计算（有限元方法）与解析解的联合求解：在边界域用数值手段，在内域用解析手段；若在一个方向做离散和插值，在另一方向采用某种解析解，就成为“有限条法”．差分法的求解思想是将微分方程求解改换成为代数方程的问题；离散单元法则考察非连续介质，采用显示中心差分格式进行动态松弛求解．不同数值方法间的耦合分析是当前计算力学发展的主要方向．有限单元法是土木工程本科生接触到的唯一数值计算方法，也是当前应用最广泛的方法．其他方法都是研究生以后开设的课程．有限元法通过离散与组合，可以适应弹性体的边界形状，材料性质及荷载分布等复杂性，适合于编制计算机程序，所以得到了极其广泛的应用和发展．有限单元法的概念是在结构力学中首先出现的，即来自对杆系结构的分析．“离散”思想其实就是高等数学中的微段或微元分析的力学体现，单元必须足够小，才能模拟连续体，而且小了才可以在计算单元特性时可以用简单的分片插值函数，这就好比一根曲线用很多小段来模拟，小段可以是简单的直线，只要连接的节点位置控制好，这些直线小段就能模拟好这条曲线．结构力学中的有限单元是线单元，仍然沿用着传统的“矩阵位移法”名称，这是由于当时人们更加关注的是矩阵的组成和位移求解；弹性力学考察实体结构，因此可给出更多的单元类型，以适应不同工程问题的需要．

由于专业基础课和专业课的学时大量缩减，各门力学课程当中涉及到有限单元法的部分往往已经难以再列入授课范畴，为此相应的本科教学计划已将其提取出来成为

了独立的“有限单元法”选修课程，但选修课很难引起学生的重

视．有限单元法的重要性主要体现在它的离散化求解思想对学生定向的解析思维具有巨大的启发性，这是学生将来想从事进一步的科学研究必须具备的一种思维方法；

况且当前设计部门中的大型计算软件多是基于有限元编制的，不掌握有限元方法很难适应将来科研和设计的要求．

7：动力与稳定

7．1 动力问题

动力问题的求解过程与静力问题是一样的．只要将相应的惯性力视为外力加到结构上进行静力分析即可，这是达朗伯原理赋予的有效手段．此时物理量是空间和时间的四维坐标函数，求解方程包括三类基本方程，并辅以边界和初值条件．惯性力的添加使得动力问题的分析必然涉及到求解一个更复杂的二阶偏微分方程组，这无疑增加了动力计算的难度，弹性力学动力问题一般都不可能按应力求解，只能按位移求解（拉密方程）．结构动力学计算则按质点系模型进行简化，工程实用性强，提出

了各种近似计算方法，如：振型分解法、瑞兹能量法、底部剪力法和时程分析法等．土木工程专业的动力计算很重要，这是由于地震力是设计中必须考虑的因素．但对学生来讲，只要掌握“抗震规范” 中提供的简单计算手段即可．经验证明，《建筑抗震设计规范》中提供的地震力动态作用近似分析方法是相当有效的，完全可以满足工程精度的要求．

7．2 稳定问题结构力学类中的失稳标志是指结构产生变形特征的根本变化（第一类稳定问题）或其变形出现无限增长的特征（第二类稳定问题）．稳定问题求解以能量法最为方便可靠，复杂问题也可采用有限元法．由于建筑结构多为长杆件体系，在压、弯等状态下容易产生种种失稳现象．而弹性力学类学科的研究对象是块体，不存在结构力学类中的失稳问题，“失稳”在弹性力学（包括土力学、岩石力学）中已经转化为“强度”问题，所谓的弹性体失稳或岩土工程丧失稳定性实质上就是强度破坏．可见，“稳定”的概念在各门力学间尚有待统一．8：力学在土木工程专业中的作用

8．1 力学与土木专业课程的建构土木工程主导专业课程的建构是基于几大力学课来实现的．若缺乏对几大力学的基本概念、物理意义和求解方法的深入理解，想真正掌握好相关专业课程。做好有关工程设计、施工、监理乃至进一步的科研工作，是不可想象的．按照所开设力学课程的两类划分（结构力学类和弹性力学类），相应的专业课两类分支也相应出现．基于结构力学类（结构工程方向）的包括：钢筋砼结构、砌体结构、钢结构、高层建筑设计、建筑抗震设计、桥梁结构、组合结构、建筑施工技术；基于弹性力学类（岩土工程方向）的包括：地基处理与加固、基础工程、挡土结构与基坑工程、地下结构、道路勘测与结构等．

任何学科都不是孤立的，土木工程教学中要求学生掌握的知识领域有很多交叉，

与建筑学、建筑经济等相关学科密切相关．与建筑学相衔接的课程主要是房屋建筑学；与建筑经济相关的有工程概预算、项目组织与管理、工程招投标等课程；其他相关课程还有：工程制图、建筑材料、工程测量、岩土及结构测试、建筑CAD等．8．2 力学在土木工程计算中的应用力学的学习目的是为了进行工程计算．土木工程是一个涵盖极广的一级学科，它下设了岩土工程，结构工程，市政工程，供热、供燃气、通风及空调工程，防灾减灾工程及防护工程，桥梁与隧道工程等六个二级学科，所计算分析

的对象包括诸如：工业建筑、民用建筑、公共建筑、道路、桥梁、隧道等众多工程类型.力学在工程中应用首先就要提取出相应的工程计算模型. 属于杆系结构的工程对象当然要用结构力学的手段进行分析；而涉及实体结构的工程对象分析则必须要用弹性力学、土力学和岩石力学的手段来完成；对难以求解的复杂工程问题则必须寻求相应数值解答，数值计算方法也是近几十年来在解决工程问题时力学发展最快的研究方向.