《定积分在几何中的应用》
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定积分的几何应用08793
几点说明：
y
(1) 取近似值时，得到的
y = f (x)
是形如f (x)dx 的近似值，
并且要求 I - f (x)dx
dA
是 dx 的高阶无穷小量，关于
后一个要求在实际问题中常 O a xx + dx
x
常能满足.
(2) 满足 (1) 的要求后，f (x)dx 是所求量 I 的微分，
所以第二步中的近似式常用微分形式写出，即
b
A a | f ( x) - g( x) |dx.
例1 计算由曲线 y x2 及直线 y x 所围
成的平面图形的面积。
解：作出所围成的平面图形
y x
y
x2
取x为积分变量，其变化区间 为[0，1]。于是，平面图形的面积
A
1(x - x2)dx
0
(1 2
x2
-
1 3
n
b
A lim 0 i1
f (i )xi
a
f ( x)dx.
第二步取近似时其形式 f(i)xi ，与第四
步积分 b f ( x)dx 中的被积分式 f (x)dx 具有类
同的形式a ，如果把第二步中的 i 用 x 替代，xi
用 dx 替代， 那么它就是第四步积分中的被积分
-
y2
2
dy
y + dy y
18.
如果选择 x 为积分变量， -2
那么它的表达式就比上式复杂.
y2 = 2x
(2,-2) A
B (8,4) y = x-4
x
例 3 求 y = sinx， y = cos x， x 0, x
高中数学-定积分在几何中的应用-课件
求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及 一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S＝________.
定积分在几何中的应用
2x
及x轴所围成图形的面积
思考：直线y＝x－4与曲线 y = 及 x轴所围成的图形是什么？ 1、各顶点的坐标是什么？
2x
y 4
C 2x y=
y ＝x －4
B (8,4)
2、如何将该图形的面积转化为 (0,0) O 曲边梯形的面积？ S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD. 3、该图形的面积用定积分怎样表示？
P58练习
练习、计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4所围
2
成的图形的面积.
解: 求两曲线的交点:
y2 2x (2, 2), (8, 4). y x 4
y 2x
S1 S1 2
y x4
8
y2 2 x
S2
S 2 S1 S 2 2
2 0 2 0
y2 x 2
思考题：在曲线y=x2 (x≥0)上某点A处作切线, 使之与曲线及x轴围成图形的面积为1/12. 求过点A的切线方程. y y=x2
则，切线的斜率 k＝2x0 设切点（x 0，x 0 ）
2
A x
y x0 2x0 ( x x0 )
2
即，y 2x0 ( x x0 ) x0
1 2 1 3 k 4 S kx x 4x dx ( kx x 2x 2 ) |0 0 2 3 ∴k=2，故直线 l的方程为 1 1； 1 2 y=2x 3 2 3 k k 4 k 4 2 k 4 k 4 36， 2 3 6
0 2
∴k=-10，故直线l的方程为y=-10x. 综上，直线l的方程为y=2x或y=-10x.
小结作业
P60习题1.7B组：1，2，3.
定积分在几何中的应用 课件
y=x2-3围成平面图形的面积是
S ［3 2x (x2 3)］dx 3 (3 2x x2 )dx
1
1
(3x
x2
1 3
x3
31
(3 3 32 1 33) [1 3 (1)2 1 (1)3]
3
3
9 2 1 32 . 33
【拓展提升】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求 解，得到函数图象的交点的横坐标a,b(a＜b)，确定积分区间 ［a,b］. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积 函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面
积，即 S a［b f1(x) (f其2 (中x)］fd1x(x)＞f2(x)).
类型 二 计算复杂平面图形的面积 【典型例题】 1.由两条曲线y=x2, y 1 x2与直线y=1围成平面区域的面积
4
是_______.
2.求曲线 y x 与直线y=2-x，y 1 x 围成图形的面积.
3
【解题探究】1.题1中怎样确定积分变量的区间？ 2.如何将图形的面积转化为定积分计算？ 探究提示： 1.由直线y=1分别与曲线y=x2y, 1 x联2 立，求出交点坐标，
(2x
1 2
x2
1 6
x2)
13
＝2 3
1 6
(2x
1 3
x2
)
13
＝5 6 1 9 21 1 1＝2 1 .
63
36
【互动探究】若将题2中条件变为如图由直线y=x-2，曲线 y2=x所围成图形，试求其面积S.
【解析】由
y2
x得, x=1或x=4,
y x 2,
故A(1,-1),B(4,2),如图所示:
高中数学选修2-2定积分在几何中的应用课件
的交点为 (0, 0)
取x为积分变量, 则 x [0, 3].
所求的几何图形的面积表示为
A 3 ( x2 3x)dx 0
A 3 ( x2 3x)dx 9.
0
2
= 2
2
3
x2
3
4 0
+
2
2 3
3
x2
8 4
-
1 2
x-4 2
8 4
= 40 3
新知探究
例3
计算由曲线 y = x3 6x 和 y = x2 所围成的图形的面积.
首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求两部分的面积问题.其次，确定被积函数 和积分的上、下限.
新知探究
由图可知，我们需要把所求图形的面积分成两部分 S1和S2 .需要求出曲线 y = x3 - 6x 、曲 线 y = x2 两个交点.
n
i =1 b
F = lim f λ →0 i=1
ξi Δxi =
f
a
x dx
新知探究
平面图形的面积 直角坐标系 设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两 条直线x=a与x=b所围成.
新知探究
在点x处面积增量的近似值为 [f上(x)-f下(x)]dx, 它也就是面积元素. 因此平面图形的面积为
极坐标方程的情形
设由曲线 r = φθ 及射线 θ = α、θ = β 围成一曲边扇形， 求其面积.这里 φθ 在 α，β 上连续，且 φθ≥0 .
曲边扇形面积元素 dA = 1 [φ(θ)]2 dθ 2
d
r ( )
d
曲边扇形的面积公式 A = β 1[j(θ)]2 dθ. α2
o x
定积分在几何中的应用08565
直接由 y? 型区域面积的
计算公式得面积
A
=
3
2 y
-1
+
3-
y 2 d y
= 10
2 3
.
练 习 ：
1、 ysinx， ycosx在 [0， 2]上 所 围 成 的 面 积 。
二.定积分在物理中的应用
(1). 变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程s,等 于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b] 上的定积分,即
y
a
c
d
= f(x)dx - f(x)dx
a
c
o
e
b
ac od
+ f(x)dx - f(x)dx .
d
e
y f(x)
e
bx
3、 若 平 面 区 域 是 x型 区 域 ： y 由 上 曲 线 y1 = f1(x) 、 下 曲 线 y2 = f2(x) 左 直 线 x=a 、右直线 x=b
b
s a v(t)dt
例1 一辆汽车的速度-时间曲线如图所示, 求汽车在这1min内行驶的路程
v/m/s
30 A
B
1 20 0 10
C
t/s
O 10 20 30 40 50 60
(2)、变力沿直线所作的功 问题：
物体在变力F(x)的作用下做直线 运动，并且物体沿着与F(x)相同的 方向从x=a点移动到x= b点，则变力 F(x) 所做的功为:
1
A10[
x( x)]dx4 3
第二块的面积：
9
x3
28
A2
[
1
x (
2
定积分在几何中的应用
782020年第 5 期中定积分在几何中的应用杨姜维一、平面图形的面积（一）以为积分变量的情形1.在直角坐标中，设曲线（）与直线及轴所围成的平面图形面积为，则面积元素，面积。
例1：求曲线与直线及轴所围成的平面图形的面积。
解：如图1，面积元素，图形面积=2.设曲线与直线及轴所围成的图形面积为，则面积元素，面积。
3.设由，所围成的平面图形的面积：函数由大减小（上减下），积分从左到右；那么，第一种情况里面的面积公式，也可以看作是，轴即直线。
例2：求直线与抛物线所围成的平面图形的面积。
解：由图2分析可知，交点面积元素，图形面积4.任意由所围成的平面图形（图3）的面积。
例3：求抛物线，与轴及直线在第一象限所围成的平面图形的面积。
解：如图4，由交点面积+（二）以为积分变量的情形1.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
2.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
3.由曲线直线及轴围成的平面图形面积：若，。
可看作是函数由大减小（右减左），积分从下到上。
例4：计算抛物线与直线所围成的图形的面积。
定积分在几何中的应用，主要体现在求解平面图形的面积和旋转体的体积等，文中主要介绍了求解平面图形面积的几种情形，即分别以为积分变量来讨论；求旋转体体积的两种情况，即曲线分别围绕轴和轴旋转一周所得的立体体积。
JIAO HAI TAN HANG／教海探航解：如图5，由交点为方便计算，选取为积分变量，则有4.任意由曲线直线及轴围成的平面图形面积：。
二、旋转体的体积一个平面图形围绕其所在平面上的一条直线旋转一周而成的立体即为旋转体，常见的旋转体有圆柱体、圆锥、圆台、球体等,这些都有对应的体积公式，面对日常生活中所用到的水杯、花瓶等立体物件，求解体积时可考虑以下情况：（一）曲线绕轴旋转的情形由连续曲线与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
（二）曲线绕轴旋转的情形由曲线、直线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
第六节 定积分在几何方面的应用
S S1 S2 f ( x)dx f ( x)dx
y
a c
c
b
f(x)
S1
o
a
.
c
S2
b
x
(图4.6.3)
2 2 y x , y x 例4.6.1 求两条抛物线 所围成的图 形的面积.
解 （1）先画出简图，求出曲线交点以确定积
y2 x 分区间， 解方程组 2 得交点 (0,0)及(1,1)； y x
例4.6.2求由曲线 y x，y 1和x 0 所围成 平面图形的面积。
y x x 1 ; 解 如图 4.6.4，由 得 y 1 y 1 1 2 3 1 2 1 A (1 x )dx ( x x ) |0 3 3 0
y
1
y x
o
1
x
例4.6.3 求证半径为 r 的圆的面积为
b a2
2
4 2 1 3 2 a x x ab 3 a 3
a
特殊的，当
时,椭球就变成球,此时球的体积为
思考：该椭圆绕
与以上的
轴旋转所成椭球的体积
是否
相等？
三. 平面曲线的弧长
曲线 f ( x) 在区间 [a, b] 上任一小区间 [ x, x dx] 的一段弧的长度，可以用该曲线在点 ( x, f ( x)) 处切线 上相应的一小段的长度来近似代替, 而切线上这相应的 小段长度为
第六节.定积分在几何方面的应用
一. 用定积分表示平面图形面积
(1)当 f ( x) 0 时，曲边梯形的面积 可直接用定积分表示 A f ( x)dx
a b
y
f ( x)
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DA
S=
1
(
0
x-x2)dx
(2 3
3
x2
x3 3
)
|10
1. 3
例 2.计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所围
成的图形的面积.
解:作出y=x-4, y 2 x 的图象 如图所示: 解方程组y 2x得:{yx==48,
yx4 直线y=x-4与x轴交点为(4,0)
y 2x
S1 S2
2、定积分 b f (x)dx 的数值在 a
几何上都可以用曲边梯形面积的
S3
代数和来表示。
b
a f ( x)dx S1 S2 S3
y
yf2(x)
A
oa
ybxf1(x)3、Aab[f2(x)f1(x)d] x
二、微积分基本定理内容是什么？
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，
三.小结
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
S2 S1
yx4
4
8
8
SS1S2 0
2xdx[ 4
2xdx (x4)dx] 4
4
8
8
8
8
( 0
2 x d x 4
2 x d x )4(x 4 )d x0
2xdx4(x4)dx
232x3 2|8 0(1 2x24x)|8 4430
8
s
2xdx14(84)
0
2
22 3
3
x2
|80
8
2 216 2840
的图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解 方 程 组 yy x2x得:{xy 00 ,{xy 11, 即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
y y x B
y2 x
C
y x2
S=S曲 边 梯 形 OABC-S曲 边 梯 形 OABD
1
xdx 1x2dx
0
0
O
o y xx2
解: 求两曲线的交点:
y x3 6x
y
x2
(0,0),(2,4),(3,9).
0
A12
(x36xx2)dx
3
A20
(x2x36x)dx
y x2 y x3 6x
于是所求面积 AA 1A 2
A 02(x36xx2)dx03(x2x36x)dx
253 . 12
y x2
A1
A2
y x3 6x
b
a f (x)dx F (b) F (a)
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)， 又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
或记作
b
a
f
( x)dx
F ( x)
b a
F (b)
F (a).
例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成
(1)S 31(2 (x3)x2)d x332 (2)S0 1(eex)dx1
2、计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围成
的图形的面积.
y 2x
解: 求两曲线的交点:
y2 2x
(2 , 2 )(,8 ,).
y x4
S1 S1
2S 2
yx4
8
y2 2x
2
8
S2S1S2 2 0
2xdx ( 2xx4)dx 2
2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
4 3 2 x 3 2|0 2 (2 3 2 x 3 2 1 2 x 2 4 x )|8 2 1 3 6 6 3 4 2 3 6 1 8
3、计算由曲线 y x3 6x和 y x2所围成的图
形的面积.
思考题：在曲线y=x2 (x≥0)上某点A处作切线,
使之与曲线及x轴围成图形的面积为1/12。
求过点A的切线方程.
y
设切点x0， （x02）则，切线的斜k率 ＝2x0
yx022x0(xx0)
y=x2 A
即y ， 2x0(xx0)x02
o
x
S0x0x2d x1 2x021 2x0
1 12
解之得x0：1 所以，切线方程为y：＝2x－1;
1.7.1定积分在几何 中的应用
复习引入 一.定积分的几何意义是什么？
1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么：
b
定积分 a f (x)dx
就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。
y yf(x)
Aabf(x)dx
A
oa
bx
f(x)0,
b
a f(x)dxA
曲边梯形的面积
f(x)0, abf(x)dxA曲边梯形的面积的负值
3
3
s 4[(4y)1y2]dy
0
2
(4y1y2 2
16y3)|04
4414214340 26 3
点评：求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
定积分在几何中的应用 1.求下列曲线所围成的图形的面积: (1)y=x2,y=2x+3; (2)y=ex,y=e,x=0.
S=
1
(
0
x-x2)dx
(2 3
3
x2
x3 3
)
|10
1. 3
例 2.计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所围
成的图形的面积.
解:作出y=x-4, y 2 x 的图象 如图所示: 解方程组y 2x得:{yx==48,
yx4 直线y=x-4与x轴交点为(4,0)
y 2x
S1 S2
2、定积分 b f (x)dx 的数值在 a
几何上都可以用曲边梯形面积的
S3
代数和来表示。
b
a f ( x)dx S1 S2 S3
y
yf2(x)
A
oa
ybxf1(x)3、Aab[f2(x)f1(x)d] x
二、微积分基本定理内容是什么？
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，
三.小结
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
S2 S1
yx4
4
8
8
SS1S2 0
2xdx[ 4
2xdx (x4)dx] 4
4
8
8
8
8
( 0
2 x d x 4
2 x d x )4(x 4 )d x0
2xdx4(x4)dx
232x3 2|8 0(1 2x24x)|8 4430
8
s
2xdx14(84)
0
2
22 3
3
x2
|80
8
2 216 2840
的图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解 方 程 组 yy x2x得:{xy 00 ,{xy 11, 即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
y y x B
y2 x
C
y x2
S=S曲 边 梯 形 OABC-S曲 边 梯 形 OABD
1
xdx 1x2dx
0
0
O
o y xx2
解: 求两曲线的交点:
y x3 6x
y
x2
(0,0),(2,4),(3,9).
0
A12
(x36xx2)dx
3
A20
(x2x36x)dx
y x2 y x3 6x
于是所求面积 AA 1A 2
A 02(x36xx2)dx03(x2x36x)dx
253 . 12
y x2
A1
A2
y x3 6x
b
a f (x)dx F (b) F (a)
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)， 又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
或记作
b
a
f
( x)dx
F ( x)
b a
F (b)
F (a).
例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成
(1)S 31(2 (x3)x2)d x332 (2)S0 1(eex)dx1
2、计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围成
的图形的面积.
y 2x
解: 求两曲线的交点:
y2 2x
(2 , 2 )(,8 ,).
y x4
S1 S1
2S 2
yx4
8
y2 2x
2
8
S2S1S2 2 0
2xdx ( 2xx4)dx 2
2
8
0 2 2xdx 2 ( 2x x 4)dx
4 3 2 x 3 2|0 2 (2 3 2 x 3 2 1 2 x 2 4 x )|8 2 1 3 6 6 3 4 2 3 6 1 8
3、计算由曲线 y x3 6x和 y x2所围成的图
形的面积.
思考题：在曲线y=x2 (x≥0)上某点A处作切线,
使之与曲线及x轴围成图形的面积为1/12。
求过点A的切线方程.
y
设切点x0， （x02）则，切线的斜k率 ＝2x0
yx022x0(xx0)
y=x2 A
即y ， 2x0(xx0)x02
o
x
S0x0x2d x1 2x021 2x0
1 12
解之得x0：1 所以，切线方程为y：＝2x－1;
1.7.1定积分在几何 中的应用
复习引入 一.定积分的几何意义是什么？
1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么：
b
定积分 a f (x)dx
就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。
y yf(x)
Aabf(x)dx
A
oa
bx
f(x)0,
b
a f(x)dxA
曲边梯形的面积
f(x)0, abf(x)dxA曲边梯形的面积的负值
3
3
s 4[(4y)1y2]dy
0
2
(4y1y2 2
16y3)|04
4414214340 26 3
点评：求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
定积分在几何中的应用 1.求下列曲线所围成的图形的面积: (1)y=x2,y=2x+3; (2)y=ex,y=e,x=0.