《基本不等式及其应用》.ppt
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第04讲 基本不等式及其应用(十八大题型)(课件)-高考数学一轮复习(新教材新高考)
题型一：基本不等式及其应用
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若, ∈ R，则 + ≥ 2
⋅ =2
C．若x＜0，则 + 4 ≥ −2 ⋅ 4 = −4
B．若x＞0，y＞0，则lg + lg ≥ 2 lg ⋅ lg
D．若x＜0，则2 + 2− > 2 2 ⋅ 2− = 2
解析二： − 2 − = 0 ⇒ − 1 − 2 = 2，
则 + 2 = − 1 + 2 − 4 + 5 ≥ 2 2 − 1 − 2 + 5 = 9，
=3
− 1 = 2 − 4
⇒
等号成立时
，所以 + 2的最小值是9．
+ 2 = 9
=3
故答案为：9．
，解方程得
或
2
=1
= 1
=2
【方法技巧】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
题型突破·考法探究
题型三：常规凑配法求最值
【变式3-1】若 > −2，则 = +
1
的最小值为
+2
．
【答案】0
1
【解析】由 > −2，得 + 2 > 0， +2 > 0，
所以() = +
1
+2
当且仅当 + 2 =
故答案为：0
=+2
1
即
+2
1
+
+2
【典例1-1】下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若, ∈ R，则 + ≥ 2
⋅ =2
C．若x＜0，则 + 4 ≥ −2 ⋅ 4 = −4
B．若x＞0，y＞0，则lg + lg ≥ 2 lg ⋅ lg
D．若x＜0，则2 + 2− > 2 2 ⋅ 2− = 2
解析二： − 2 − = 0 ⇒ − 1 − 2 = 2，
则 + 2 = − 1 + 2 − 4 + 5 ≥ 2 2 − 1 − 2 + 5 = 9，
=3
− 1 = 2 − 4
⇒
等号成立时
，所以 + 2的最小值是9．
+ 2 = 9
=3
故答案为：9．
，解方程得
或
2
=1
= 1
=2
【方法技巧】
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
题型突破·考法探究
题型三：常规凑配法求最值
【变式3-1】若 > −2，则 = +
1
的最小值为
+2
．
【答案】0
1
【解析】由 > −2，得 + 2 > 0， +2 > 0，
所以() = +
1
+2
当且仅当 + 2 =
故答案为：0
=+2
1
即
+2
1
+
+2
2019-2020学年新人教B版必修一 基本不等式及其应用 课件(65张)
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2 题型分类 深度剖析
PART TWO
多维探究
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法 2
例1 (1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为_3__. 解析 x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)
≤13·3x＋24－3x2＝43， 当且仅当 3x＝4－3x，即 x＝23时，取等号.
2x＋y2＋x－2y2
解析 由已知可得
15
＝1，
∴2x＋1 y2＋x－42y2＝2x＋y21＋5x－2y2×2x＋1 y2＋x－42y2
＝1155＋2x－x＋2yy22＋4x2－x＋2yy22≥115(5＋4)＝53， 当且仅当|x－2y|＝ 2|2x＋y|时取等号.
定积最大)
【概念方法微思考】
1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？ 提示 不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两 个正数不相等，则这两个正数的积无最大值. 2.函数 y＝x＋1x的最小值是 2 吗？ 提示 不是.因为函数 y＝x＋1x的定义域是{x|x≠0}，当 x<0 时，y<0，所以函 数 y＝x＋1x无最小值.
例 6 已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最 小值为_4__.
解析 已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成立， 只要求(x＋y)1x＋ay的最小值大于或等于 9， ∵1＋a＋yx＋ayx≥a＋2 a＋1， 当且仅当 y＝ ax 时，等号成立， ∴a＋2 a＋1≥9， ∴ a≥2 或 a≤－4(舍去)，∴a≥4， 即正实数a的最小值为4.
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5.若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝_3__.
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
多维探究
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法 2
例1 (1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为_3__. 解析 x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)
≤13·3x＋24－3x2＝43， 当且仅当 3x＝4－3x，即 x＝23时，取等号.
2x＋y2＋x－2y2
解析 由已知可得
15
＝1，
∴2x＋1 y2＋x－42y2＝2x＋y21＋5x－2y2×2x＋1 y2＋x－42y2
＝1155＋2x－x＋2yy22＋4x2－x＋2yy22≥115(5＋4)＝53， 当且仅当|x－2y|＝ 2|2x＋y|时取等号.
定积最大)
【概念方法微思考】
1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？ 提示 不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两 个正数不相等，则这两个正数的积无最大值. 2.函数 y＝x＋1x的最小值是 2 吗？ 提示 不是.因为函数 y＝x＋1x的定义域是{x|x≠0}，当 x<0 时，y<0，所以函 数 y＝x＋1x无最小值.
例 6 已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最 小值为_4__.
解析 已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成立， 只要求(x＋y)1x＋ay的最小值大于或等于 9， ∵1＋a＋yx＋ayx≥a＋2 a＋1， 当且仅当 y＝ ax 时，等号成立， ∴a＋2 a＋1≥9， ∴ a≥2 或 a≤－4(舍去)，∴a≥4， 即正实数a的最小值为4.
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5.若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝_3__.
2.4 基本不等式及其应用.ppt
若 a、b∈R＋，且 ab＝P，P 为定值，则 a b 2 P ，
等号当且仅当 a＝b 时成立。
例 5、
（1）若 x 0 ，则 4x 9 的最小值是
；
x
（2） 若 x 1，则 4x 9 的最小值是
；
x 1
（3）若 x 1 ，则 2x2 9x 10 的最小值 x 1
是
。
例 6、已知 a 0,b 0, c 0，
我们把 a b 和 ab 分别叫做正数 a、b 的算术平均数和几何平 2
均数.
几何解释:
A
B
C
DE
3、例题
例 1、（1）设 a,b, c R ，求证：
a2 b2 c2 ab ac bc ； （2）已知 x, y R ，求证：
(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3 .
例 2、（1）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（2）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（3）试比较 y x 与 2 的大小。 xy
例 3、已知 x 0, y 0 ，求证： x2 y2 x y 。 yx
4、练习 1、用不等号填空：
若 x 0 ，则 x 1 2 ，若 x 0 ，则 x 1 2 。
2、新课 基本不等式 1：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
变形：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
如果 a,bR,那么a2 b2 2 ab ,当且仅当 a b 时等号成立 .
基本不等式 2：
如果 a,b R ,那么 a b ab,当且仅当a b时等号成立 . 2
1
2 1
ab a b 2
等号当且仅当 a＝b 时成立。
例 5、
（1）若 x 0 ，则 4x 9 的最小值是
；
x
（2） 若 x 1，则 4x 9 的最小值是
；
x 1
（3）若 x 1 ，则 2x2 9x 10 的最小值 x 1
是
。
例 6、已知 a 0,b 0, c 0，
我们把 a b 和 ab 分别叫做正数 a、b 的算术平均数和几何平 2
均数.
几何解释:
A
B
C
DE
3、例题
例 1、（1）设 a,b, c R ，求证：
a2 b2 c2 ab ac bc ； （2）已知 x, y R ，求证：
(x y)(x2 y2 )(x3 y3 ) 8x3 y3 .
例 2、（1）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（2）已知 xy 0 ，求证： y x 2 ； xy
（3）试比较 y x 与 2 的大小。 xy
例 3、已知 x 0, y 0 ，求证： x2 y2 x y 。 yx
4、练习 1、用不等号填空：
若 x 0 ，则 x 1 2 ，若 x 0 ，则 x 1 2 。
2、新课 基本不等式 1：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
变形：
如果 a,b R,那么a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立 .
如果 a,bR,那么a2 b2 2 ab ,当且仅当 a b 时等号成立 .
基本不等式 2：
如果 a,b R ,那么 a b ab,当且仅当a b时等号成立 . 2
1
2 1
ab a b 2
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
不等式讲基本不等式及其应用课件pptx
柯西-施瓦茨不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
高考数学一轮复习第一章第五讲基本不等式及其应用课件
(a2＋b2) 2
图 1-5-2
解析：∵△ACD∽△CBD，∴CADD＝CBDD， 即 CD＝ AD·BD＝ ab. ∵OC＝A2B＝AD＋2 BD＝a＋2 b， ∴ ab≤a＋2 b.故选 B.
答案：B
考点二 利用基本不等式求最值 考向 1 通过配凑法求最值
[例 2]设 0<x<23，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________.
2－x x·2－x x＋2＝2，
当且仅当2－x x＝2－x x，即 x＝1 时取等号，所以 y 的最小值为
2.故选 B.
答案：B
2.(考向 2)(2023 年罗湖区校级期中)已知 x＞0，y＞0，且 2x＋ y＝xy，则 x＋2y 的最小值为( )
A.8
B.8 2
C.9
D.9 2
解析：x＞0，y＞0，且 2x＋y＝xy，可得：1x＋2y＝1，则 x＋2y
错误. (3)连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一
致. (4)若 a≥b＞0，则 a≥ a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥a2＋abb≥b.
考点一 基本不等式的证明 [ 例 1](1)(2023 年广西一模) 《几何原本》中的“几何代数 法”(以几何方法研究代数问题)是西方数学家处理问题的重要依 据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现
【变式训练】
如图1-5-2所示，线段AB为半圆的直径，O为
圆心，点 C 为半圆弧上不与 A ，B 重合的点. 作 CD⊥AB于点D，设 AD＝a，BD＝b，则下列不等
式中可以直接表示 CD≤OC 的是( )
A.a2＋abb≤ ab
B. ab≤a＋2 b
C.a＋2 b≤
基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
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abba
(对称性)
(2)如果a b,b c,那么a c.即a b,b c a c
(传递性)
(3)如果a b,那么a c b c.
(加法法则)
(i)如果a b c,那么a c b. (ii )如果a b, c d , 那么a c b d .(同向不等式相加)
(4)如果a b,c 0,那么ac bc;如果a b,c 0, 那么ac bc. (乘法法则)
yy=3x32x+
1122 x2 x21
=3(x2
+1)+
12 x2
1
-3
=232x3(x322+x1)x121x222 1-33
3=93x 2
3x 12 2 x2
9
7、作业：P10第5,12 题
补充题1、求函数y
4x2
16 的最小值 x2 1
2、已知0 x 2,求函数y x2(2-x)的最大值
a d
b c
证明:Q ( a )2 ( b )2 a b ac bd
d
c d c cd
Q a b 0, c d 0
ac bd 0, cd 0,
ac bd 0即( a )2 ( b )2 a b
cd
d
c
dc
例3.已知a>0,b>0,且a b，求证:aabb abba.
a-b的范围是_（__-_9_,_6_）__
3.已知a>0,b>0,且a b，求证:a3 b3 a2b ab2 证明：Q a3 b3 -(a2b ab2 ) =(a3 -a2b) (ab2 b3 ) =a2 (a b) b2 (a b)
= a b2(a+b)
Q a>0,b>0,且a b a b2 0, a b 0
如果a b 0,c d 0,那么ac bd .
(5)如果a b 0,那么an bnຫໍສະໝຸດ n N,n 2).(乘方法则)
(6)如果a b 0,那么n a n b(n N,n 2).
(开方法则)
例1 比较( x 3)( x 7)和( x 4)( x 6)的大小.
例2
已知a b 0,c d 0,求证
不等式的基本性质
1、基本事实:
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别为
A,B那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的
右边时,a>b
A
B
a
b
x
a<b
B
A
b
a
x
a>b
abab0 a b ab 0 abab0
2、不等式的基本性质:
(1)如果a b, 那么b a;如果b a, 那么a b.即
a1
a2
a3 n
an
n
a1a2a3
an ,
当且仅当a1 a2 a3 an时, 等号成立.
5. 不等式的应用1：证明不等式
例1.设a,b,c是不全相等的正数 求证：(1)(a+b)(b+c)(c+a)>8abc
(2)a+b+c> ab bc ca 例2.设x,y,zR+,求证：(x+y+z)3 27xyz
不 等 式当可且以仅表当述 为a: b ,即 a b 时, 等号成立.
两个正数的算术平均不小于 ( 即大于或等于 ) 它们的几何平均 .
探究：3个正数的算术—几何平均不等式
类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a，b，c，
可能有 a,b，,c那么R
等号成立．
a ，b当 且c 仅3当abac＝b＝c时， 3
问题 .
5. 不等式的应用2
例3.求下列函数的最大最小值： (1)求函数y=2x+ 3x(x>0)的最小值； (2)求函数y=2x+ x3-1(x>1)的最小值； (3)求函数y=x2(2-x2)(0<x< 2)的最大值； (4)求函数y=12x2+ 3x(x>0)的最小值；
练习：
1、函数y
3x2
证明 : 若a,b,c R ,则a3 b3 c3 3abc, 当且仅当a b c时,等号成立.
和的立方公式：
( x y)3 x3 3x2 y 3xy2 y3
立方和公式：
x3 y3 ( x y)( x2 xy y2 )
4.n个正数的算术—几何平均不等式：
若a1 , a2 , a3 , , an R ,则
5. 不等式的应用2：
一 般 地,从基本 不等式可以 得到下面结 论: 对两个 正实数x, y,如果它 们的和S 是 定 值, 则当且 仅当x y时,它们的 积P取得最 大值; 如 果 它 们 的 积P是 定 值,则 当 且 仅 当x y时, 它 们 的 和S取 得 最 小 值.
利用基本不等式可以解决一些最大 小 值
a3 b3-(a2b ab2 ) 0 从而a3 b3 >(a2b ab2 )
作业: 课本练习第2，3，9题
1、定理1 如果a,b R, 那么a2 b2 2ab,当
且仅当a b时,等号成立.
2、定证理 明 2因为基a本 2 不b2等 2式ab如a果 ba,2b00,当, 那且么 仅
12 的最小值是 x2 1
（ C）
A、6 B、6 6 C、9
D、12
2、函数y
3x
12 x2
(x
0)的最小值是（
C）
A、6 B、6 6 C、9
D、12
3、函数y
4x2
(
16 x2 1)2
的最小值是
__8____
4、若x, y R , xy2 4则x 2 y的最小值是_____
12.、 QQx2x>10 0
基本不等式的实际应用
复习：
1、定理1 如果a,b R, 那么a2 b2 2ab,当
练习:
1.在"(1)若a b,则 1 1 , (2)若ac2 bc2,则a b, ab
(3)若a b 0, c d 0,则ac bd, (4)若a b,则对
任意x>0有 b b x "这四个命题中,正确的个数是 C
a ax
A.0个 B.1个
C.2个
D.3个
2.已知 6 a 8, 2 b 3则2a+b的范围是（_-_1_0__,9_）
aa b时等号 ab成. 当立且,所仅以当,当a且仅b时当,a等号b时成,等立号. 成立.
2
证如明果:Qa,ba都
是b 正
数,a我2们就
称ba
2 b 2
为2 aa,b
b 2
ab ,
的 算术又平Q均a,abrith0meti2c meaabn, 0ab 为a a,bb ab 的 几何平均geometric mean ,于 是 ,基2 本