高考解析几何万能解题套路模版

圆锥曲线解题套路综述

高考解析几何解题套路及各步骤操作规则：

步骤一：（一表）把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来；

口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。

1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化；

2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化；

3、见曲线化曲线：“曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化。

步骤二：（二代）把题目中的点与直线、曲线从属关系用代数形式表示出来；如果某个点在某条直线或曲线上，那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。

口诀：点代入直线、点代入曲线。

1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程；

2、点代入曲线：如果某个点在某条曲线上，将点的坐标代入这条曲线的方程；

这样，每代入一次就会得到一个新的方程，方程逐一列出后，这些方程都是获得最后答案的基础，最后就是解方程组的问题了。

在方程组的求解中，我们发现一个特殊情况，即如果题目中有两个点在同一条曲线上，将它们的坐标代入曲线方程后能够直接求解的可以直接求解，如果不能直接求解的，则采用下面这套等效规则来处理可以达到同样的处理效果，并让方程组的求解更简单，具体过程：

1、点代入这两个点共同所在的直线：把这两个点共同所在直线用点斜式方程（如）表示出来，将这两个点的坐标分别代入这条直线的方程；

2、将这条直线的方程代入这条曲线的方程，获得一个一元二次方程；

3、把这个一元二次方程的二次项系数不等于零的条件列出来；

4、把这个一元二次方程的判别式列出来；

5、把这个一元二次方程的根用韦达定理来表示（这里表示出来的实际上就是这两个点的坐标之间的相互关系式）。

步骤三：（三译）图形构成特点的代数化，或者说其它附加条件的代数化。

前面两个步骤都是高度模式化的，他们构成了解决所有问题的基础。在解析几何题目里，事实上就是附加了一些特殊条件的问题，如我们可以附加两条直线垂直的条件，也可以附加一条直线与一条曲线相切的条件，等等，当然，我们不用太担心，这些条件都是与我们教材上的基本数学概念相对应的，它们分别与一个或一组固定模式的方程相对应，而且，通过少数几条通用规则就可以把所有这些方程罗列出来。而我们要做的，就是针对这些特定条件选择合适的通用规则来列方程。这个步骤涉及的主要通用规则：

1、两点的距离

2、两个点的对称点

3、条直线垂直

4、两条直线平行

5、两条直线的夹角

6、点到直线的距离

7、正余弦定理及面积公式

8、向量规则

9、直线与曲线的位置关系

把直线方程代入曲线方程，得形如的一元二次方程：

①当时，直线与曲线有一个交点；

②当时，直线与曲线相切；

③当时，直线与曲线有两个交点；

④当时，或当时，直线与曲线无交点；

这个步骤的处理关键是根据条件的特点选择适当的通用规则组合。

步骤四：（四处理）按答案的要求解方程组，把结果转化成答案要求的形式。

一般情况步骤1、2、3 完成后，会得到一组方程，而答案就是这组方程组的解。这个步骤就是方程组的求解了，解方程组实际上就是用加减乘除四则混合运算以及乘方、开方等来消除方程的参数。不过，这里我们也给出三条消参的原则：

1、把方程中的所有未知量都视为参数。比如，如果某个点的坐标为，而都是未知的，我们把它们都视为方程组的参数。

2、消参的原则是，把与答案无关的参数消去，留下与答案有关的参数。或者说在解方程组的时候，用与答案有关的参数来表示与答案无关的参数。

3、消参完成后，把结果表示成答案要求的形式。

例题1：全国卷Ⅱ理（21）年高文科（22）（本小题满分12分）

已知为坐标原点，为椭圆在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交

与

两点，点

满足

. (I)证明：点

在

上；

(II)设点关于点的对称点为，证明：

四点在同一圆上.

例题2：（理数卷）已知椭圆C ：1422

=+y x ，过点()0,m 作圆

12

2=+y x 的切线l 交椭圆C 于A 、B 两点 ⑴ 求椭圆C 的焦点坐标和离心率； ⑵ 将||AB 表示为m 的函数，并求||AB 的最大值。

例题3.（新课标卷第20题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0-A ，B 点在直线3-=y 上，M 点满足OA MB //，BA MB AB MA ?=?，M 点的轨迹为曲线C 。 ⑴ 求C 的方程。

⑵ P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求点O 到l 距离的最小值

例题4、（理数卷）椭圆有两顶点()0,1-A 、()0,1B ，过其焦点()1,0F 的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与

x 轴交于点P 。直线AC 与直线BD 交于点Q 。⑴ 当

223||=

CD 时，求直线l 的方程；

⑵ 当点P 异于A 、B 两点时，求证：OQ OP ?为定值。

例题5.（理数全国卷第21题）已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：1

22

2

=+y x 在y 轴正半轴上的焦点，过F

且斜率为2-的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0=++OP OB OA

⑴ 证明：点P 在C 上；

⑵ 设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。

答案例题5.理数全国卷第21题 解：由已知有()1,0F

由已知有直线l 的方程为：12+-=x y 设()11,y x A 、()22,y x B ∴1211+-=x y ……①

1222+-=x y ……②

将直线l 的方程代入椭圆方程，整理得

012242=--x x

∴2

2

21=

+x x ……③ 4

1

21-=x x ……④

其中，024168>=+=?恒成立 设()33,x x P

由已知()()()0,,,0332211=++?=++y x y x y x OP OB OA

()()()()[]

?????-=+-++--=+-=-

=+-=?1

12122

211213

213x x y y y x x x ⑴ ∴???

? ??--1,22P 在C 上 ⑵ 由已知有???

?

??1,22Q 则PQ 的中垂线为：x y 2

2

-

= 设A 、B 的中点为()33,y x D

∴()()

???

???

?=+-++-=+==+=2121212242211213213x x y y y x x x

∴???

?

??21,42D

则AB 的中垂线为：4

1

22+=

x y 则PQ 的中垂线与AB 的中垂线的交点为???

?

??-

81,82'

O ∴8

11

3||||''=

=QO PO ???

? ??-81,82'O 到直线AB 的距离为8333|181822|=-+???? ??-?=d ()()

()

[

]

2

2343||212

212

212

21=

-+=-+-=

x x x x y y x x AB

∴81132||||||2

2

''=

+??

? ??==d AB BO AO 即||||||||'

'

'

'

QO PO BO AO === ∴A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。

例6、理数卷第22题

已知动直线l 与椭圆C ：12322=+y x 交于()11,y x P 、()22,y x Q 两不同点，且OPQ ?的面积2

6

=S ，其中O 为坐标原点。

⑴ 证明：2221x x +和2

221y y +均为定值。

⑵ 设线段PQ 的中点为M ，求||||PQ OM ?的最大值；

⑶ 椭圆C 上是否存在三点D 、E 、G ，使得2

6

===???OEG ODG ODE S S S ？若存在，判断DEG ?的形状；若不存在，请说明理由。

解：设直线l 的方程为：b kx y +=

∴b kx y +=11 ……①

b kx y +=22 ……②

将直线l 的方程代入椭圆方程，整理得

()()

02363222

2

=-+++b kbx x

k

∴2

21326k

kb

x x +-

=+ ……③ ()

2

2213223k

b x x +-= ……④ 其中，(

)()

2302321236222

2

2

2+-+-=?k b b

k

b k

()()

()()

[]

()()

2

2

22212

2

1

2

2

212

21322316241||k

b k k x x x x k y y x x PQ +-++=-++=

-+-=

O 到直线l 的距离2

1||k

b d +=

由已知有OPQ ?的面积2

321||3223226||2122

222k b b k b k d PQ S +=?=?+-+?=?=

∴()

2

3132||2

2

++=k k PQ ⑴ ∴()

()

3322632622

22

2212

212

221=+--??

? ??

+-=-+=+k b k kb x x x x x x ，恒为定值 ()()()

()2212

22122

22

1222122b x x kb x x k b kx b kx y y ++++=+++=+

223212322

222

=++-=b k

b k k ，恒为定值 ⑵ 由已知有线段PQ 的中点??

?

??++2,22121y y x x M ， ∴2

212

2122||??

?

??++??? ??+=y y x x OM ()()[]2

22

21221b x x k x x ++++=

2

23263262

22

2?

?????+??? ??+-+??? ??

+-=b k kb k k kb

()()

2

2

32249k k ++=

∴

()()

2

3163249||||22

22

++?

++=

?k k k k

PQ OM ()

4

1294

13962424++++=

k k k k ?

??

? ??+++=412916242

k k k 251249211612491622

222=?????

? ??+?+≤?????? ??+++

=k k k k k ∴||||PQ OM ?的最大值为

2

5

⑶ 设存在满足题意的三点()33,y x D 、()44,y x E 、()55,y x G 则由“⑴”有

32423=+x x ……⑤ 32523=+x x ……⑥ 32524=+x x ……⑦

⑤-⑥，得25

24x x = 同理有2423x x =，25

23x x = 不妨令53x x =，则54x x -=

即直线DG 垂直于x 轴，直线EG 或直线ED 平行于x 轴 ∴DEG ?为直角三角形。