基尔霍夫定律的相量表达式
最新电工学电力学课程第八章《电路定律的相量形式》
由相量形式KVL有 : V V 1 V 2 600 8090 (V)
（2）相量图解法
60 j80 10053.1 (V) 故 : |V | 100(V)
相量法的三个基本公式
UR RIR
U L jL IL
1
UC
j
C
IC
以上公式是在电压、电流关联参考方向的条件
错误的写法
1 u
C i
1
C
U I
(2) 容抗的绝对值和频率成反比。
0, XC , 直流开路( 隔直作用) ;
XC
, XC 0, 高频短路（旁路作用）;
(3) 由于容抗的存在使电流领先电压。
4、受控源 如果受控源（线性）的控制电压或电流是正弦量， 则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。
i 超前u 90° I
0
所示，反映电压电流瞬时 值关系的波形图如图(b)所示。由此图可以看出电容电流超 前于电容电压90°，当电容电压由负值增加经过零点时，其 电流达到正最大值。
容抗
I= CU
U 1
I C
容抗的物理意义：
X
C
定义
1
C
(1) 表示限制电流的能力；
相量关系
+
U R R I
U R
-
有效值关系：UR = RI 相位关系：u , i 同相
I
R
U
相量图
相量模型
2. 电感
时域
频域
i(t)
i(t) 2I cost
+ u (t)
u(t) L di(t)
基尔霍夫定律的相量形式.
电压相量，如图(c)所示，从相量图上容易看出各正弦电压
的相位关系。
值得注意的是回路中全部电压有效值之代数和并不一
定等于零，本题中 US=10U1+U2+U3=6+8+12=26
即一般说来
n
Uk 0
k 1Biblioteka 关于复数的几个公式1. 假设复数 c rθ a jb
则有 c a2 b2 θ arctan b a
uk (t) Re[U kme jt ] Re[ 2U k e jt ]
代入KVL方程中得到
n uk (t) n Re[Ukmejt ] 0
k 1
k 1
n
n
uk (t) Re[
2Uke jt ] 0
k 1
k 1
由于上式适用于任何时刻t，其相量关系也必须成立，
j ej180 cos180 jsin180 1 1 j2 ej180 1180
模型，图中各电流参考方向均与时域模型相同，仅将
时域模型中各电流符号 iS、i、i1、i2 用相应的相量符
号 IS、I、I1、I2 表示，并计算出电流相量 。
I1 1060 A
I2 5 90 A
列出图(b)相量模型中结点1的KCL方程，其相量形式
为
I I1 I2 0
§8－3 基尔霍夫定律的相量形式
一、基尔霍夫电流定律的相量形式
基尔霍夫电流定律(KCL)叙述为：对于任何集中参数 电路中的任一结点，在任何时刻，流出该结点的全部支路 电流的代数和等于零。其数学表达式为
n
ik (t) 0
k 1
假设电路中全部电流都是相同频率ω的正弦电流，则 可以将它们用振幅相量或有效值相量表示为以下形式
45相量形式的基尔霍夫定律
4.6.1用相量法分析串联电路 对于RLC串联电路来说，其阻抗为
Z = Z R + Z L + Z C = R + jωL + 1 jωC
1 = R + j ωL − ωC
1 = R 2 + ωL − ωC
2
ωL −
arctg R
1 ωC
(4-53)
0 • •
=U L =UC
•
•
为参考向量，相量图如
故电流表的读数为 即(1) (2)
2 A = I R + (I C − I L ) 2 A
A = 5 2 + (25 − 20) 2 = 7.07 A
图4-26 例4-9相量图
A = 5 + ( 25 − 10) = 40.31A
2 2
从【例4-9】题的解法二，可以体会到应用向量图分析电路的要点，那就是： （1）首先要选好一个参考相量，这个参考相量的选择，必须能方便地将电路 中其它电压、电流相量，根据电路的具体结构及参数特点逐一画出，把所给的 条件转化成相量图中的几何关系。 （2）最后根据相量图中的相量关系，使问题得到解决。一般对串联电路，选 电流作参考方向较方便，如【例4-8】题。对并联电路，则选电压作参考相量较 方便，如【例4-9】题。有些问题通过相量图分析将很直观和简便。
2 2 U S = U R + U L = 30 2 + 60 2 = 67.08V
图4-24例4-8解法二图
由题解图4-24b）可得
2 U S = U R + (U C − U L ) 2 = 15 2 + (100 − 80) 2 = 258V
电路相量图的原理及应用
电路相量图的原理及应用1. 什么是电路相量图电路相量图是一种用于表示电路中电压、电流及其相位信息的图形工具。
相量图使用矢量的长度和角度来表示电压和电流的振幅和方向。
通过使用相量图，我们可以更直观地理解和分析电路中的信号传输和变换。
2. 电路相量图的原理在电路相量图中，电压和电流被表示为复数的形式，其中实部表示振幅，虚部表示相位。
根据欧姆定律和基尔霍夫定律，我们可以推导出电阻、电容和电感的相量图表示。
•电阻的相量表示为：Z R=R•电容的相量表示为：$Z_C = \\frac{1}{j\\omega C} = \\frac{-j}{\\omega C}$•电感的相量表示为：$Z_L = j\\omega L$3. 电路相量图的应用3.1 直流电路分析通过使用电路相量图，我们可以更加简洁和方便地分析直流电路。
相量图可以帮助我们计算电流和电压的大小和方向，从而更好地理解和解决直流电路中的问题。
例如，当我们需要计算电阻串联电路中总电阻时，可以将每个电阻的相量图相加得到总阻抗。
3.2 交流电路分析在交流电路中，相量图发挥着重要的作用。
交流电压和电流的相量图可以用于计算电路中电压的幅值、相位和频率响应。
通过将电路的各个元件转换为相量图形式，我们可以方便地计算电路中电压和电流的大小和相位差，进而计算功率、阻抗和电流的分布。
3.3 三相电路分析在三相电路分析中，电路相量图也是必不可少的工具。
通过将三相电压和电流表示为相量的形式，我们可以更好地理解和分析三相电路中的功率传输、电压平衡和相序问题。
3.4 系统稳定性分析电路相量图可以用于分析系统的稳定性。
通过计算电路的传输函数，并绘制相量图，我们能够评估系统的稳定性和抗干扰能力。
相量图可以帮助我们观察电路中的衰减、相位移和共振频率。
4. 总结电路相量图是一种重要的工程工具，它帮助我们直观地理解和分析电路中的信号传输和变换。
通过使用电路相量图，我们可以更好地计算电压和电流的大小、相位差和频率响应。
正弦交流电的相量表示法(2)
正弦量的表示法：
解析式： i(t ) I m sin(t ) A
i
Im
最大值相量： I m I m
有效值相量： I I
最大值： I m
I
Im
I
有效值： I
平均值：
I
I
电工基础
例：写出下列正弦量的相量形式：
i1 (t ) 5 2 sin(t 53.1) A
2
虚数
用 j 代替
虚部 实部
i
B a jb
j
复数 A a jb 代数式
0
D
b
A
C a jb
D a jb
复数的模
r
0
1
r a 2 b2
复数矢量与实轴正方向的夹角
a
C
0
取值在正180度到负180度之间
a r cos
0
电工基础
三、正弦量的相量表示法： re j r cos jr sin
Im
t
正弦交流电
I me j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
用 I me
I me
j (t )
代
jt
替
I m sin(t ) I mt
加减用代 数式运算
A B a1 jb1 a2 jb2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) A B a1 jb1 (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
A B
A
A B
A
B B
1
1
基本元件的相量形式(3)
电流与电压同相
电工基础
三、电感元件的相量形式： 电感元件的相量形式：
i
L
Z L = ωL∠90 = jωL = j 2πfL
ɺ I
ZL
相量图
+
u
−
ɺ U
ϕi
ɺ I
+
ɺ U
−
i (t ) = I m sin(ωt + ϕi ) A u (t ) = U m sin(ωt + ϕ u )V
u(t ) = L ⋅
Q=
ωt
t
2 UC
XC
电 源
i 电
源
(var) : 电容元件 电
u
电工基础
例：求电流及电容元件的电压和无功功率，并画相量图。 求电流及电容元件的电压和无功功率，并画相量图。 ɺ ZC C = 10µF i C I
+
u
解： X C =
− u (t ) = 100 2 sin(1000t + 30 )V
ɺ UC
电工基础
u (t ) = U m sin(ωt + ϕ u )V
ϕ
ɺ I +1
电流与电压同相
ɺ I = I∠ϕi (A) ɺ U = U∠ϕ u (V )
ɺ U Z= ɺ = Z ∠ϕ z I
u(t ) = R ⋅ i(t )
= R ⋅ I m sin(ωt + ϕ i )
大小关系： 大小关系： m = R ⋅ I m U
ϕ z = ϕu − ϕi
电工基础
电感元件的功率： 电感元件的功率：
1）瞬时功率: 瞬时功率:
p ( t ) = u ( t )i ( t )
电工学第六版课后答案
第一章习题1－1 指出图1－1所示电路中A 、B 、C 三点的电位。
图1－1 题 1－1 的电路解：图（a ）中，电流 mA I 51226.=+=, 各点电位 V C = 0 V B = 2× = 3V V A = (2+2)× = 6V图（b ）中，电流mA I 1246=+=， 各点电位 V B = 0 V A = 4×1 = 4V V C =－ 2×1 = －2V|图（c ）中，因S 断开，电流I = 0， 各点电位 V A = 6VV B = 6V V C = 0图（d ）中，电流mA I 24212=+=， 各点电位 V A = 2×(4+2) =12V V B = 2×2 = 4V V C = 0图（e ）的电路按一般电路画法如图，电流mA I 12466=++=， 各点电位 V A = E 1 = 6VV B = (－1×4)+6 = 2V ?V C = －6V1－2 图1－2所示电路元件P 产生功率为10W ，则电流I 应为多少 解：由图1－2可知电压U 和电流I 参考方向不一致，P = －10W ＝UI 因为U ＝10V, 所以电流I ＝－1A ）图 1－2 题 1－2 的电路1－3 额定值为1W 、10Ω的电阻器，使用时通过电流的限额是多少 解：-根据功率P = I 2 R A R P I 3160101.===1－4 在图1－3所示三个电路中，已知电珠EL 的额定值都是6V 、50mA ，试问哪个电珠能正常发光图 1－3 题 1－4 的电路解：图（a ）电路，恒压源输出的12V 电压加在电珠EL 两端，其值超过电珠额定值，不能正常发光。
图（b ）电路电珠的电阻Ω=Ω==120120506K R .，其值与120Ω电阻相同，因此电珠EL 的电压为6V ，可以正常工作。
图（c ）电路，电珠与120Ω电阻并联后，电阻为60Ω，再与120Ω电阻串联，电珠两端的电压为V 4126012060＝＋⨯小于额定值，电珠不能正常发光。
电路基本定律的相量形式
i
L
u
U IX L di jX L 则 uL X L L dt jL u 2 IL sin(t 90 )
jX C
i 2 I sin t
UI
I
u领先 i 90°
U I jX L
0
I2XL
设
i
C
u
iC
du dt
1 j C 1 j C
？
？
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 （正方向） 关系
i 复数 阻抗 设 电压、电流关系 瞬时值 有效值 相量图 相量式 功率 有功功率 无功功率
u 2U sin t
I
U IR
U
R
u
u iR
R
则
U IR
UI
0
i 2 I sin t
设
u、 i 同相
图 KVL的相量形式
回路的电压方程： 其KVL相量表达式为：
u1 u 2 u 3 u 4 0
U1 U 2 U 3 U 4 0
小 结
电路参数
R L
基本关系 复阻抗
u iR
R
I
U
U
电路参数
基本关系
复阻抗
电路参数
jX L j L
di uL dt
项目十九 电路基本定律的相量形式
电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、基尔霍 夫定律 。
i
R
u
L
uR uL
u uR uL di iR L dt
电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、 基尔霍夫定律。
I