2020年湖南省衡阳市中考数学试卷
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷(含解析)
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．﹣3的相反数是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣2．下列各式中，计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a53．2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）A．1.2×108B．1.2×107C．1.2×109D．1.2×10﹣84．下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2 B．＝±2 C．＝3 D．30＝15．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线6．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≠1 C．x＝1 D．x≠07．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD8．下列不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．10．反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小11．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝60012．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3 B．3C．6 D．6二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．因式分解：a2+a＝．14．（计算：﹣x＝．15．已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于．16．一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为．17．某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有名．18．如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是．三、解答题（共66分）19．（6分）化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．20．（6分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．（1）求n的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．22．（8分）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）23．（8分）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）24．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a ＜3＜b，求m的取值范围．26．（12分）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S＝？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：﹣3的相反数是3．故选：A．2．【解答】解：a3+a5不是同类项，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；同上可得，选项B不符合题意；（a2）3＝a2×3＝a6，因此选项C不符合题意；a2•a3＝a2+3＝x5，因此选项D符合题意；故选：D．3．【解答】解：1.2亿＝120000000＝1.2×108．故选：A．4．【解答】解：A、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项错误；B、＝2，故此选项错误；C、≠3，故此选项错误；D、30＝1，故此选项正确；故选：D．5．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．6．【解答】解：要使分式有意义，则x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：B．7．【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．8．【解答】解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．故选：B．9．【解答】解：，由①得x≤1，由②得x＞﹣2，故不等式组的解集为﹣2＜x≤1，在数轴上表示为：．故选：C．10．【解答】解：∵反比例函数y＝经过点（2，1），∴1＝，解得，k＝2，故选项A正确；∵k＝2＞0，∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误、选项D正确；故选：C．11．【解答】解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．12．【解答】解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，由图象和题意可得，AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，∴AB＝2+1＝3，∵直线BE平行直线y＝x，∴BM＝EM＝，∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM＝3×＝3．故选：B．二、填空题13．【解答】解：a2+a＝a（a+1）．故答案为：a（a+1）．14．【解答】解：原式＝﹣x＝x+1﹣x＝1．故答案为：1．15．【解答】解：∵一个n边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°，∴n＝360°÷30°＝12．故答案为：12．16．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠D＝45°，∴∠2＝∠D＝45°．∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°，∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°．故答案是：105°．17．【解答】解：设女生有x名，则男生人数有（2x﹣17）名，依题意有2x﹣17+x＝52，解得x＝23．故女生有23名．故答案为：23．18．【解答】解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，∴OP n＝2n﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．三、解答题19．【解答】解：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）＝ab+b2+a2﹣b2＝ab+a2．20．【解答】解：（1）由概率的意义可得，＝，解得，n＝1，答：n的值为1；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种．∴P（一白一黑）＝，21．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BED与△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF；（2）解：∵∠BDE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝80°．22．【解答】解：（1）由直方图可得，1300≤x＜1700，这一组的频数是：30﹣3﹣10﹣10﹣2﹣1＝4，补全的频数分布直方图如右图所示；（2）360°×＝36°，即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36°；（3）4.2×≈1.2（万人），答：在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有1.2万人．23．【解答】解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA＝24，∠OAC＝30°．∴OC＝OA＝×24＝12（cm）；（2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E，由题意得，OA＝OB′＝24，当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，看可得，∠AOB′＝150°∴∠B′OE＝60°，∵∠ACO＝∠B′EO＝90°，∴在Rt△△B′OE中，B′E＝OB′×sin60°＝12，又∵OC＝DE＝12，∴B′D＝B′E+DE＝12+12，即：点B′到AC的距离为（12+12）cm．24．【解答】解：（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴＝，＝，∴AC＝，∴CD＝＝＝，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴，∴＝，∴BD＝．25．【解答】解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，∴，解得，∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x＝是函数有最小值：y＝﹣﹣2＝﹣，∴的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣）＝；（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，∵a＜3＜b，∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．26．【解答】解：（1）如图1﹣1中，由题意，OA＝2，OB＝OC＝4，EF＝EH＝FG＝HG＝1，当点H落在AC上时，∵EH∥OA，∴＝，∴＝，∴CE＝2，∴点E的运动路程为1，∴t＝1时，点H落在AC上．（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，∵正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S＝，∴此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．由题意：（t﹣3）2﹣••（3t﹣13）＝，整理得45t2﹣486t+1288＝0，解得t＝或（舍弃），∴满足条件的t的值为．（3）如图3﹣1中，当点M第一次落在EH上时，4t+t＝3，t＝当点M第一次落在FG上时，4t+t＝4，t＝，∴点M第一次落在正方形内部（包括边界）的时长＝﹣＝（s），当点M第二次落在FG上时，4t﹣t＝4，t＝，当点M第二次落在EH上时，4t﹣（t+1）＝4，t＝，点M第二次落在正方形内部（包括边界）的时长＝﹣＝，∴点M落在正方形内部（包括边界）的总时长＝+＝（s）。
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷和答案解析
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣解析：根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．参考答案：解：﹣3的相反数是3．故选：A．点拨：本题考查了相反数的意义．只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．2．（3分）下列各式中，计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a5解析：根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．参考答案：解：a3+a5不是同类项，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；同上可得，选项B不符合题意；（a2）3＝a2×3＝a6，因此选项C不符合题意；a2•a3＝a2+3＝x5，因此选项D符合题意；故选：D．点拨：本题考查同底数幂的乘除法的计算法则，同类项、合并同类项的法则，掌握运算性质是正确计算的前提．3．（3分）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）A．1.2×108B．1.2×107C．1.2×109D．1.2×10﹣8解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．参考答案：解：1.2亿＝120000000＝1.2×108．故选：A．点拨：此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a 的值以及n的值．4．（3分）下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．30＝1解析：根据算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂即可解答．参考答案：解：A、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项错误；B、＝2，故此选项错误；C、≠3，故此选项错误；D、30＝1，故此选项正确；故选：D．点拨：本题考查了算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂，解决本题的关键是熟记算术平方根、绝对值、立方根的定义，零指数幂的运算法则．5．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线解析：直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．参考答案：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．点拨：此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．6．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠0解析：直接利用分式有意义的条件分析得出答案．参考答案：解：要使分式有意义，则x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：B．点拨：此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD解析：根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD 是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．参考答案：解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．点拨：本题考查平行四边形的判定，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法．8．（3分）下列不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．解析：根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．参考答案：解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．故选：B．点拨：本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．解析：分别求出①②的解集，再找到其公共部分，在数轴上表示出来即可求解．参考答案：解：，由①得x≤1，由②得x＞﹣2，故不等式组的解集为﹣2＜x≤1，在数轴上表示为：．故选：C．点拨：本题考查了解一元一次不等式（组）的解集和在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．10．（3分）反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小解析：根据反比例函数y＝经过点（2，1），可以得到k的值，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．参考答案：解：∵反比例函数y＝经过点（2，1），∴1＝，解得，k＝2，故选项A正确；∵k＝2＞0，∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误、选项D正确；故选：C．点拨：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．11．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600解析：若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．参考答案：解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．点拨：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．（3分）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3B．3C．6D．6解析：根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边AD的长和边AD边上的高BM的长，从而可以求得平行四边形的面积．参考答案：解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y ＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，由图象和题意可得，AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，∴AB＝2+1＝3，∵直线BE平行直线y＝x，∴BM＝EM＝，∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM＝3×＝3．故选：B．点拨：本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）因式分解：a2+a＝a（a+1）．解析：直接利用提取公因式法分解因式得出答案．参考答案：解：a2+a＝a（a+1）．故答案为：a（a+1）．点拨：此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．14．（3分）计算：﹣x＝1．解析：直接利用分式的基本性质化简进而计算即可．参考答案：解：原式＝﹣x＝x+1﹣x＝1．故答案为：1．点拨：此题主要考查了分式的加减法，正确化简分式是解题关键．15．（3分）已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于12．解析：根据多边形的外角和等于360°列式计算即可．参考答案：解：∵一个n边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°，∴n＝360°÷30°＝12．故答案为：12．点拨：本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．16．（3分）一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为105°．解析：利用平行线的性质得到∠2＝∠D＝45°，然后结合三角形外角定理来求∠1的度数．参考答案：解：如图，∵AB∥CD，∠D＝45°，∴∠2＝∠D＝45°．∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°，∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°．故答案是：105°．点拨：本题主要考查了平行线的性质，解题时，注意运用题干中隐藏的已知条件∠D＝45°，∠3＝60°．17．（3分）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有23名．解析：设女生有x名，根据某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，可以列出相应的方程，解方程即可求解．参考答案：解：设女生有x名，则男生人数有（2x﹣17）名，依题意有2x﹣17+x＝52，解得x＝23．故女生有23名．故答案为：23．点拨：本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是（0，﹣22019）．解析：根据题意得出OP1＝1，OP2＝2，OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝8＝23，OP5＝16＝24…，OP n＝2n﹣1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．参考答案：解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，∴OP n＝2n﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．点拨：此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P2014的坐标与点P6的坐标在同一直线上是解题关键．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．解析：根据单项式乘多项式的运算法则及平方差公式化简即可．参考答案：解：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）＝ab+b2+a2﹣b2＝ab+a2．点拨：此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（6分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．（1）求n的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．解析：（1）根据摸到白球的概率为，列方程求解即可；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．参考答案：解：（1）由概率的意义可得，＝，解得，n＝1，答：n的值为1；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种．∴P（一白一黑）＝，点拨：本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．解析：（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．参考答案：（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BED与△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF；（2）解：∵∠BDE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝80°．点拨：此题主要考查学生对等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质直角三角形的性质等知识点的理解和掌握．22．（8分）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x ＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）解析：（1）根据题意和直方图中的数据，可以计算出1300≤x＜1700这一组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；（2）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数；（3）根据小华给出的数据，可以计算出在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人．参考答案：解：（1）由直方图可得，1300≤x＜1700，这一组的频数是：30﹣3﹣10﹣10﹣2﹣1＝4，补全的频数分布直方图如右图所示；（2）360°×＝36°，即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36°；（3）4.2×≈1.2（万人），答：在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有1.2万人．点拨：本题考查频数分布直方图、近似数和有效数字、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（8分）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA ＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）解析：（1）解Rt△AOC即可求出OC的长；（2）求出∠B′OE＝60°，在Rt△△B′OE中求出B′E，进而求出B′D．参考答案：解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA＝24，∠OAC＝30°．∴OC＝OA＝×24＝12（cm）；（2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E，由题意得，OA＝OB′＝24，当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，看可得，∠AOB′＝150°∴∠B′OE＝60°，∵∠ACO＝∠B′EO＝90°，∴在Rt△△B′OE中，B′E＝OB′×sin60°＝12，又∵OC＝DE＝12，∴B′D＝B′E+DE＝12+12，即：点B′到AC的距离为（12+12）cm．点拨：本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是常用的方法．24．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．解析：（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC＝，根据勾股定理得到CD＝＝＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．参考答案：解：（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴＝，＝，∴AC＝，∴CD＝＝＝，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴，∴＝，∴BD＝．点拨：本题考查直线与圆的位置关系，切线的判定，等腰三角形的判定和性质、扇形的面积公式，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q 的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q 的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．解析：（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x＝是函数有最小值﹣，进而求得它们的差；（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解方程求得x1＝﹣1，x2＝4﹣m，根据题意得到4﹣m＞3，解得m＜1．参考答案：解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，∴，解得，∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x＝是函数有最小值：y＝﹣﹣2＝﹣，∴的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣）＝；（3）y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4﹣m，∵a＜3＜b，∴a＝﹣1，b＝4﹣m＞3，故解得m＜1，即m的取值范围是m＜1．点拨：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．26．（12分）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC 在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E 从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S＝？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．解析：（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，因为正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S＝，推出此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．构建方程求解即可．（3）分别求出点M第一次和第二次落在正方形内部（包括边界）的时长即可解决问题．参考答案：解：（1）如图1﹣1中，由题意，OA＝2，OB＝OC＝4，EF＝EH＝FG＝HG＝1，当点H落在AC上时，∵EH∥OA，∴＝，∴＝，∴CE＝2，∴点E的运动路程为1，∴t＝1时，点H落在AC上．（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，∵正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S＝，∴此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．由题意：（t﹣3）2﹣••（3t﹣13）＝，整理得45t2﹣486t+1288＝0，解得t＝或（舍弃），∴满足条件的t的值为．（3）如图3﹣1中，当点M第一次落在EH上时，4t+t＝3，t＝当点M第一次落在FG上时，4t+t＝4，t＝，∴点M第一次落在正方形内部（包括边界）的时长＝﹣＝（s），当点M第二次落在FG上时，4t﹣t＝4，t＝，当点M第二次落在EH上时，4t﹣（t+1）＝4，t＝，点M第二次落在正方形内部（包括边界）的时长＝﹣＝，∴点M落在正方形内部（包括边界）的总时长＝+＝（s）．点拨：本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2020年湖南省衡阳市中考数学试题
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣2．（3分）下列各式中，计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a5 3．（3分）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）A．1.2×108B．1.2×107C．1.2×109D．1.2×10﹣8 4．（3分）下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．30＝1 5．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线6．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠07．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD8．（3分）下列不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．9．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．10．（3分）反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小11．（3分）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝60012．（3分）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3B．3C．6D．6二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）因式分解：a2+a＝．14．（3分）计算：﹣x＝．15．（3分）已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于．16．（3分）一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为．17．（3分）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有名．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．20．（6分）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．（1）求n的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．21．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．22．（8分）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x ＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）23．（8分）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA ＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）24．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q 的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．26．（12分）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC 在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E 从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S＝？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．。
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷 (解析版)
2020年衡阳市中考数学试卷一、选择题（共12小题）.1．﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣2．下列各式中，计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a5 3．2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）A．1.2×108B．1.2×107C．1.2×109D．1.2×10﹣84．下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．30＝15．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线6．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠07．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD8．下列不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．10．反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小11．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝60012．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x 轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3B．3C．6D．6二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．因式分解：a2+a＝．14．计算：﹣x＝．15．已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于．16．一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为．17．某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有名．18．如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．20．一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．（1）求n的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．21．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．22．病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）23．小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．25．在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．26．如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A 在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH 和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S＝？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．D．﹣【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．解：﹣3的相反数是3．故选：A．2．下列各式中，计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a5【分析】根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．解：a3+a5不是同类项，它是一个多项式，因此A选项不符合题意；同上可得，选项B不符合题意；（a2）3＝a2×3＝a6，因此选项C不符合题意；a2•a3＝a2+3＝x5，因此选项D符合题意；故选：D．3．2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）A．1.2×108B．1.2×107C．1.2×109D．1.2×10﹣8【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：1.2亿＝120000000＝1.2×108．故选：A．4．下列各式中正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．30＝1【分析】根据算术平方根，绝对值，立方根，零指数幂即可解答．解：A、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项错误；B、＝2，故此选项错误；C、≠3，故此选项错误；D、30＝1，故此选项正确；故选：D．5．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．6．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠0【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．解：要使分式有意义，则x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：B．7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．8．下列不是三棱柱展开图的是（）A．B．C．D．【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．解：A、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．故选：B．9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出①②的解集，再找到其公共部分，在数轴上表示出来即可求解．解：，由①得x≤1，由②得x＞﹣2，故不等式组的解集为﹣2＜x≤1，在数轴上表示为：．故选：C．10．反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（）A．k＝2B．函数图象分布在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，y随x的增大而减小【分析】根据反比例函数y＝经过点（2，1），可以得到k的值，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵反比例函数y＝经过点（2，1），∴1＝，解得，k＝2，故选项A正确；∵k＝2＞0，∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误、选项D正确；故选：C．11．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．12．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x 轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3B．3C．6D．6【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边AD的长和边AD边上的高BM的长，从而可以求得平行四边形的面积．解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，由图象和题意可得，AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，∴AB＝2+1＝3，∵直线BE平行直线y＝x，∴BM＝EM＝，∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM＝3×＝3．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．因式分解：a2+a＝a（a+1）．【分析】直接利用提取公因式法分解因式得出答案．解：a2+a＝a（a+1）．故答案为：a（a+1）．14．计算：﹣x＝1．【分析】直接利用分式的基本性质化简进而计算即可．解：原式＝﹣x＝x+1﹣x＝1．故答案为：1．15．已知一个n边形的每一个外角都为30°，则n等于12．【分析】根据多边形的外角和等于360°列式计算即可．解：∵一个n边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°，∴n＝360°÷30°＝12．故答案为：12．16．一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∠1的度数为105°．【分析】利用平行线的性质得到∠2＝∠D＝45°，然后结合三角形外角定理来求∠1的度数．解：如图，∵AB∥CD，∠D＝45°，∴∠2＝∠D＝45°．∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°，∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°．故答案是：105°．17．某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有23名．【分析】设女生有x名，根据某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，可以列出相应的方程，解方程即可求解．解：设女生有x名，则男生人数有（2x﹣17）名，依题意有2x﹣17+x＝52，解得x＝23．故女生有23名．故答案为：23．18．如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n（n为正整数），则点P2020的坐标是（0，﹣22019）．【分析】根据题意得出OP1＝1，OP2＝2，OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝8＝23，OP5＝16＝24…，OP n＝2n﹣1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；∴OP1＝1，OP2＝2，∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，∴OP n＝2n﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8＝252…4，∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．故答案为：（0，﹣22019）．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．化简：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则及平方差公式化简即可．解：b（a+b）+（a+b）（a﹣b）＝ab+b2+a2﹣b2＝ab+a2．20．一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．（1）求n的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．【分析】（1）根据摸到白球的概率为，列方程求解即可；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．解：（1）由概率的意义可得，＝，解得，n＝1，答：n的值为1；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种．∴P（一白一黑）＝，21．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D 是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BED与△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF；（2）解：∵∠BDE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝80°．22．病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）【分析】（1）根据题意和直方图中的数据，可以计算出1300≤x＜1700这一组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；（2）根据统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数；（3）根据小华给出的数据，可以计算出在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人．解：（1）由直方图可得，1300≤x＜1700，这一组的频数是：30﹣3﹣10﹣10﹣2﹣1＝4，补全的频数分布直方图如右图所示；（2）360°×＝36°，即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36°；（3）4.2×≈1.2（万人），答：在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有1.2万人．23．小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）【分析】（1）解Rt△AOC即可求出OC的长；（2）求出∠B′OE＝60°，在Rt△△B′OE中求出B′E，进而求出B′D．解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA＝24，∠OAC＝30°．∴OC＝OA＝×24＝12（cm）；（2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E，由题意得，OA＝OB′＝24，当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，看可得，∠AOB′＝150°∴∠B′OE＝60°，∵∠ACO＝∠B′EO＝90°，∴在Rt△△B′OE中，B′E＝OB′×sin60°＝12，又∵OC＝DE＝12，∴B′D＝B′E+DE＝12+12，即：点B′到AC的距离为（12+12）cm．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC＝，根据勾股定理得到CD＝＝＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴＝，＝，∴AC＝，∴CD＝＝＝，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴，∴＝，∴BD＝．25．在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x＝是函数有最小值﹣，进而求得它们的差；（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，因为a ＜2＜b，a≠b，△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜1．解：（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，∴，解得，∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝，∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x＝是函数有最小值：y＝﹣﹣2＝﹣，∴的最大值与最小值的差为：4﹣（﹣）＝；（3）∵y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0∵a＜3＜b∴a≠b∴△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0∴m≠5∵a＜3＜b当x＝3时，（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜1，∴m的取值范围为m＜1．26．如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A 在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH 和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S＝？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，因为正方形EFGH 与△ABC重叠面积为S，S＝，推出此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．构建方程求解即可．（3）分别求出点M第一次和第二次落在正方形内部（包括边界）的时长即可解决问题．解：（1）如图1﹣1中，由题意，OA＝2，OB＝OC＝4，EF＝EH＝FG＝HG＝1，当点H落在AC上时，∵EH∥OA，∴＝，∴＝，∴CE＝2，∴点E的运动路程为1，∴t＝1时，点E落在AC上．（2）由题意，在E，F的运动过程中，开始正方形EFGH的边长为1，∵正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，S＝，∴此时点F与O重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG．由题意：（t﹣3）2﹣••（3t﹣13）＝，整理得45t2﹣486t+1288＝0，解得t＝或（舍弃），∴满足条件的t的值为．（3）如图3﹣1中，当点M第一次落在EH上时，4t+t＝3，t＝当点M第一次落在FG上时，4t+t＝4，t＝，∴点M第一次落在正方形内部（包括边界）的时长＝﹣＝（s），当点M第二次落在FG上时，4t﹣t＝4，t＝，当点M第二次落在EH上时，4t﹣（t+1）＝4，t＝，点M第二次落在正方形内部（包括边界）的时长＝﹣＝，∴点M落在正方形内部（包括边界）的总时长＝+＝（s）．。
湖南省衡阳市2020年中考数学试题
湖南省衡阳市2020年中考数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.－3相反数是（ ）A. 3B. －3C. 13D. 13- A根据相反数的定义可得答案．解：3-的相反数是3. 故选A ．2.下列各式中，计算正确的是（ ）A. 325a a a +=B. 32a a a -=C. ()325a a =D. 235a a a ⋅= D根据合并同类项法则，幂的乘方法则、同底数幂的乘方法则依次判断即可A ．3a 和2a 不是同类项，不能合并，此选项错误；B ．3a 和2a 不是同类项，不能合并，此选项错误；C ．()326a a =，此选项错误； D ．235a a a ⋅=，此选项正确，故选：D ．3.2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（ ）A. 81.210⨯B. 71.210⨯C. 91.210⨯D. 81.210-⨯ A科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．1.2亿=120000000=1.2×108．故选：A ．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 4.下列各式中正确的是（ ）A. 22--= 2=± 3= D. 031=D根据绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的知识对逐项排除即可．解：A. 22--=-，故A 选项错误； B.42=，故B 选项错误； C.3273=，故B 选项错误； D. 031=，故D 选项正确．故选：D ．5.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. C根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C ．6.要使分式11x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A. 1x >B. 1x ≠C. 1x =D. 0x ≠B根据分式有意义条件即可解答． 根据题意可知，10x -≠，即1x ≠．故选：B ．7.如图,在四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）A. AB ∥DC ,AB =DCB. AB =DC ,AD =BCC. AB∥DC,AD=BCD. OA=OC,OB=ODC根据平行四边形的判定方法逐项分析即可.A. ∵AB∥DC,AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形；B. ∵AB=DC,AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；C.等腰梯形ABCD满足AB∥DC,AD=BC，但四边形ABCD是平行四边形；D. OA=OC,OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形；故选C.解：A、B、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．C围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C不能围成三棱柱．故选C．9.不等式组10,?21?32xx x-≤⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D. C首先解不等式组，然后在数轴上表示出来即可判断．解：10?21?32xx x-≤⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②，解①得：x≤1，解②得：x＞-2，则不等式组的解集是：−2＜x≤1．在数轴上表示为：故选：C．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．10.反比例函数kyx=经过点(2,1)，则下列说法错误．．的是（）A. 2k =B. 函数图象分布在第一、三象限C. 当0x >时，y 随x 的增大而增大D. 当0x >时，y 随x 的增大而减小 C将点（2,1）代入k y x=中求出k 值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可． 将点（2,1）代入k y x =中，解得：k=2， A ．k=2，此说法正确，不符合题意；B ．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；C ．k=2﹥0且x ﹥0，函数图象位于第一象限，且y 随x 的增大而减小，此说法错误，符合题意；D ．k=2﹥0且x ﹥0，函数图象位于第一象限，且y 随x 的增大而减小，此说法正确，不符合题意；故选：C ． 11.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（ ）A. 2352035202600x x x ⨯--+=B. 352035220600x x ⨯--⨯=C. (352)(20)600x x --=D. (35)(202)600x x --=C 把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 解：如图，设小道的宽为xm ，则种植部分的长为()352x m -，宽为()20,x m -由题意得：(352)(20)600x x --=．故选C ．12.如图1，在平面直角坐标系中，ABCD 在第一象限，且//BC x 轴．直线y x 从原点O 出发沿x 轴正方向平移．在平移过程中，直线被ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．那么ABCD 的面积为（ ）A. 3B. 32C. 6D. 62B 根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A ；当移动距离是6时，直线经过B ，在移动距离是7时经过D ，则AD=7-4=3，当直线经过D 点，设交BC 与N.则DN=2，作DM ⊥AB 于点M.利用三角函数即可求得DM 即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A当移动距离是6时，直线经过B当移动距离是7时经过D ，则AD=7-4=3如图：设交BC 与N ，则DN=2，作DM ⊥AB 于点M ，∵移动直线为y=x∴∠NDM=45°∴DM=cos ∠NDM·ND=2222 ∴ABCD 的面积为AD×DM=3×2=32．故答案为B ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13.因式分解：2a a +=__________．a(a+1)提取a 即可因式分解.2a a += a(a+1)故填：a(a+1).1根据分式的四则混合运算法则计算即可． 解：()2211x x x x x x x x x x+-=+÷-=+-=． 故答案为1．15.已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于_________．12根据多边形的外角和是360°求出多边形的边数即可．解：360°÷30°=12． 故答案为12．16.一副三角板如图摆放，且//AB CD ，则∠1的度数为_________．105.︒如图，把顶点标注字母，由平行线的性质求解AEF ∠,再利用三角形的外角的性质可得答案．解：如图，把顶点标注字母，//,45,AB CD D ∠=︒45,AEF D ∴∠=∠=︒60,GAB ∠=︒16045105.GAB AEF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：105.︒17.某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有_________名．23关系式为：男生人数+女生人数=52，男生人数=2×女生人数-17．把相关数值代入即可求解．设男生人数为x 人，女生人数为y 人．由此可得方程组52217x y x y ⎨-⎩+⎧＝＝． 解得，2923x y =⎧⎨=⎩所以，男生有29人，女生有23人，故答案为：23．18.如图，在平面直角坐标系中，点1P 的坐标22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将线段1OP 绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；又将线段2OP 绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为2OP 的2倍，得到线段3OP ；如此下去，得到线段4OP 、5OP ，……，n OP （n 为正整数），则点2020P 的坐标是_________．（0，-22019）根据题意得出OP 1=1，OP 2=2，OP 3=4，如此下去，得到线段OP 3=4=22，OP 4=8=23…，OP n =2n-1，再利用旋转角度得出点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，进而得出答案．解：∵点P 1的坐标为2222⎛ ⎝⎭，将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 1；∴OP 1=1，OP 2=2，∴OP 3=4，如此下去，得到线段OP 4=23，OP 5=24…，∴OP n =2n-1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，∵2020÷8=252…4，∴点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，正好在y 轴负半轴上，∴点P 2020的坐标是（0，-22019）．故答案为：（0，-22019）．三、解答题（本大题共8个小题，19~20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19.化简：()()()b a b a b a b +++-．2a ab +根据整式的四则混合运算法则以及平方差公式解答即可．解：()()()b a b a b a b +++-=222ab b a b ++-=2a ab +．20.一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为13． （1）求n 的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明．（1）1；（2）49． （1）根据概率公式列方程求解即可；（2）先画出树状图确定所有情况数和所求情况数，然后再运用概率公式求解即可．解：（1）由题意得123n n =+ ，解得n=1； （2）根据题意画出树状图如下：所以共有9种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率49． 21.如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE DF =；（2）若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．（1）证明见解析；（2）BAC ∠=80°（1）利用已知条件和等腰三角形的性质证明BDE CDF ≅，根据全等三角形的性质即可证明；（2）根据三角形内角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC 中利用三角形内角和定理即可求解． 解：（1）证明：∵点D 为BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴∠DEB=∠DFC=90°在△BDE 和△CDF 中，DEB DFC B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BDE CDF AAS ≅，∴DE DF =．（2）∵40BDE ∠=︒∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED ）=50°，∴∠C=50°，在△ABC 中，BAC ∠=180°-（∠B+∠C ）=80°，故BAC ∠=80°．22.病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100500x ≤<，500900x ≤<，9001300x ≤<，13001700x ≤<，17002100x ≤<，21002500x ≤<．）根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C 市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H 市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B 市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）（1）补图见解析；（2）36︒；（3）1.2万人．（1）根据总数等于各组频数之和即可求出“13001700x ≤<”组得频数，进而补全频数分布直方图； （2）由频数直方图可得“100500x ≤<”的频数为3，再将360°乘以该组所占比例即可；（3）根据样本估计总体，可得到90后”大约有1.2万人．解：（1）“13001700x ≤<”组得频数为：30-3-10-10-2-1=4，补全频数分布直方图如图．（2）由频数直方图可知支援武汉的医务人员在“100500x ≤<”之间的有3个， 所占百分比为：3100%10%30⨯=， 故其所占圆心角度数=36010%36︒⨯=︒． （3）支援湖北省的全体医务人员“90后”大约有404103834.2100% 1.18 1.21614338148++⨯⨯=≈++（万人）， 故：支援湖北省的全体医务人员“90后”大约有1.万人．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布直方图可以清楚地看出落在各组的频数，各组的频数和等于总数．23.小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线OB 与底板的边缘线OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B 、O 、C 在同一直线上，24cm OA OB ==，BC AC ⊥，30OAC ∠=︒．（1）求OC 的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB '与水平线的夹角仍保持120°，求点B '到AC 的距离．（结果保留根号）（1）12cm ；（2）点B '到AC 的距离为（3）cm ．（1）在Rt △AOC 中，由30度角所对的直角边长度是斜边的一半求解即可；（2）过点O 作OM ∥AC ，过点B′作B′E ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，交OM 于点D ，B′E 即为点B '到AC 的距离，根据题意求出∠OB′D=30°，四边形OCED 为矩形，根据B′E=B′D+DE 求解即可．解：（1）∵24cm OA =，BCAC ⊥，30OAC ∠=︒ ∴1122OC OA cm ==． 即OC 的长度为12cm ．（2）如图，过点O 作OM ∥AC ，过点B′作B′E ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，交OM 于点D ，B′E 即为点B '到AC 的距离，∵OM ∥AC ，B′E ⊥AC ，∴B′E ⊥OD ，∵MN ∥AC ，∴∠NOA=∠OAC=30°，∵∠AOB=120°，∴∠NOB=90°，∵∠NOB′=120°，∴∠BOB′=120°-90°=30°，∵BC ⊥AC ，B′E ⊥AE ，MN ∥AE ，∴BC ∥B′E ，四边形OCED 为矩形，∴∠OB′D=∠BOB′=30°，DE=OC=12cm ，在Rt △B′OD 中，∵∠OB′D=30°，B′O=BO=24cm ，∴B'D 3cos OB'D==B'O 2∠ B′D= 123cm ，B′E=B′D+DE= ()12312cm +， 答：点B '到AC 的距离为()12312cm +．24.如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点A 和点D 的圆，圆心O 在线段AB 上，O 交AB 于点E ，交AC 于点F ．（1）判断BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若8AD =，10AE=，求BD 的长． （1）BC 与O 相切．证明见解析；（2）120.7 （1）利用角平分线的定义证明,OAD CAD ∠=∠结合等腰三角形的性质证明,ODA CAD ∠=∠从而证明//,OD AC 结合90C ∠=︒可得答案；（2）连接DE ，先利用勾股定理求解DE 的长，再证明,BDE BAD ∽ 利用相似三角形的性质列方程组求解即可得到答案．解：（1）BC 与O 相切．理由如下：如图，连接OD ， AD 平分BAC ∠，,OAD CAD ∴∠=∠,OA OD =,ODA OAD ∴∠=∠,ODA CAD ∴∠=∠//,OD AC ∴90,C ∠=︒90,ODB C ∴∠=∠=︒ D 在O 上，BC ∴是O 的切线．（2）连接,DEAE ∵为O 的直径，90,ADE ∴∠=︒8AD =，10AE =，6,DE ∴==90,ODB ADE ∠=∠=︒90,BDE ODE ADO ODE ∴∠+∠=∠+∠=︒ ,BDE ADO ∴∠=∠,OD OA =,ADO DAO ∴∠=∠,BDE DAO ∴∠=∠,B B ∠=∠,BDE BAD ∴∽,BDDEBEBA AD BD ∴==6,108BD BEBE BD ∴==+()268,10BD BE BD BE BE =⎧∴⎨=+⎩ 解得：120.7BD = 所以：BD 的长为：120.725.在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当21x -≤≤时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且3a b <<，求m 的取值范围．（1）2y x x 2=--；（2）254；（3）1m <． （1）利用待定系数法将点(1,0)-，(2,0)代入解析式中解方程组即可；（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴12x =，从而知在21x -≤≤中，当x=-2时，y 有最大值，当12x =时，y 有最小值，求之相减即可；（3）根据两函数相交可得出x 与m 的函数关系式，根据有两个交点可得出∆>0，根据根与系数的关系可得出a ，b 的值，然后根据3a b <<，整理得出m 的取值范围．解：（1）∵2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)，∴10420p q p q -+=⎧⎨++=⎩解得12p q =-⎧⎨=-⎩∴2y x x 2=--（2）由（1）得，二次函数对称轴为12x = ∴当21x -≤≤时，y 的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y 的最小值为21192224⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ∴y 的最大值与最小值的差为925444⎛⎫--= ⎪⎝⎭； （3）由题意及（1）得 ()2222y m x m y x x ⎧=-+-⎨=--⎩整理得()()2340x m x m ----=即()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦∵一次函数(2)2y m x m=-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ， ∴()()23440m m ∆=-+->化简得210250m m -+> 即()250m ->解得m≠5∴a ，b 为方程()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦的两个解又∵3a b <<∴a=-1，b=4-m即4-m>3∴m<1综上所述，m 的取值范围为1m <． 解题的关键是熟记二次函数图象的性质．26.如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒5速度沿OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，35≤t≤1或t=4，理由见解析 （1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值； （3）由已知求得点D （2，1），AC=55再求出OC 解析式，结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ，将点A 、C 坐标代入，得：402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+， 当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1），将点H 代入122y x =-+，得： 11(3)22t =--+，解得：t=1； （2）存在，143t =，使得9136S =． 根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4， 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ，将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =+， 当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)， 当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得： 13(3)22t t -=-+，解得：133t =； 此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=， ∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5， 如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+， 解得：x=2t-10，∴点S(2t-10，t-3)，将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-，∴点T 1(3,(7))2t t --， ∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -， 211(7)24BET S BE ET t ∆==-, 21(5)2ASG S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-， 由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)， ∴143t =；（3）可能，35≤t ≤1或t=4． ∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4，∴点D （2，1），AC=255易求得OD 的解析式为12y x =， 当0﹤t ﹤1时，如图2，设点M 为EH 与OD 的交点，由题意，OM=25t， 将x=3-t 代入12y x =中得：1(3)2y t =-， ∴OE=3-t ，EM=1(3)2t -， 由勾股定理得：222OE EM OM +=即2221(3)(3)(25)4t t t -+-=， 解得：t =35， 当t=1时，由（1）知，点M 与点H 都运动到D 点处，符合题意； ∴当35≤t ≤1时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）， ,当1﹤t ﹤4时，点M 不可能在正方形EFGH 内（含边界），当t=4时，点M 运动返回到点O 处，此时点F 也运动到点O 处，符合题意，综上，当35≤t≤1或t=4时，点M可能在正方形EFGH内（含边界）．。
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷及答案
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2020•衡阳）﹣3的相反数是（ ）A ．3B ．﹣3C ．13D ．−132．（3分）（2020•衡阳）下列各式中，计算正确的是（ ）A ．a 3+a 2＝a 5B ．a 3﹣a 2＝aC ．（a 2）3＝a 5D ．a 2•a 3＝a 53．（3分）（2020•衡阳）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（ ）A ．1.2×108B ．1.2×107C ．1.2×109D ．1.2×10﹣8 4．（3分）（2020•衡阳）下列各式中正确的是（ ）A ．﹣|﹣2|＝2B ．√4=±2C ．√93=3D ．30＝15．（3分）（2020•衡阳）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．赵爽弦图B ．科克曲线C ．笛卡尔心形线D ．斐波那契螺旋线 6．（3分）（2020•衡阳）要使分式1x−1有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1 B ．x ≠1C ．x ＝1D ．x ≠0 7．（3分）（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB ∥DC ，AD ∥BCB ．AB ＝DC ，AD ＝BC C ．AB ∥DC ，AD ＝BC D ．OA ＝OC ，OB ＝OD8．（3分）（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（3分）（2020•衡阳）不等式组{x −1≤0，①x+23−x 2＜1②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．10．（3分）（2020•衡阳）反比例函数y =k x 经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）A ．k ＝2B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小11．（3分）（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（ ）A ．35×20﹣35x ﹣20x +2x 2＝600B ．35×20﹣35x ﹣2×20x ＝600C ．（35﹣2x ）（20﹣x ）＝600D ．（35﹣x ）（20﹣2x ）＝60012．（3分）（2020•衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD 在第一象限，且BC ∥x 轴．直线y ＝x 从原点O 出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．那么▱ABCD 的面积为（ ）A ．3B ．3√2C ．6D ．6√2二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）13．（3分）（2020•衡阳）因式分解：a 2+a ＝ ．14．（3分）（2020•衡阳）计算：x 2+x x −x ＝ ．15．（3分）（2020•衡阳）已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于 ．16．（3分）（2020•衡阳）一副三角板如图摆放，且AB ∥CD ，则∠1的度数为 ．17．（3分）（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 名．18．（3分）（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是 ．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）（2020•衡阳）化简：b （a +b ）+（a +b ）（a ﹣b ）．20．（6分）（2020•衡阳）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为13． （1）求n 的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．21．（8分）（2020•衡阳）如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°，求∠BAC 的度数．22．（8分）（2020•衡阳）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x ＜500，500≤x ＜900，900≤x ＜1300，1300≤x ＜1700，1700≤x ＜2100，2100≤x ＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）23．（8分）（2020•衡阳）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB 与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）24．（8分）（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．25．（10分）（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．26．（12分）（2020•衡阳）如图1，平面直角坐标系xOy中，等腰△ABC的底边BC在x轴上，BC＝8，顶点A在y的正半轴上，OA＝2，一动点E从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达OB的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿CB向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以EF为边作正方形EFGH，使正方形EFGH和△ABC在BC的同侧，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与△ABC重叠面积为S，请问是否存在t值，使得S=9136？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC的中点D，连结OD，当点E、F开始运动时，点M从点O出发，以每秒2√5个单位的速度沿OD﹣DC﹣CD﹣DO运动，到达点O停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．2020年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2020•衡阳）﹣3的相反数是（ ）A ．3B ．﹣3C ．13D ．−13【解答】解：﹣3的相反数是3．故选：A ．2．（3分）（2020•衡阳）下列各式中，计算正确的是（ ）A ．a 3+a 2＝a 5B ．a 3﹣a 2＝aC ．（a 2）3＝a 5D ．a 2•a 3＝a 5【解答】解：a 3与a 5不是同类项，它是一个多项式，因此A 选项不符合题意；同上可得，选项B 不符合题意；（a 2）3＝a 2×3＝a 6，因此选项C 不符合题意； a 2•a 3＝a 2+3＝x 5，因此选项D 符合题意；故选：D ．3．（3分）（2020•衡阳）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（ ）A ．1.2×108B ．1.2×107C ．1.2×109D ．1.2×10﹣8 【解答】解：1.2亿＝120000000＝1.2×108．故选：A ．4．（3分）（2020•衡阳）下列各式中正确的是（ ）A ．﹣|﹣2|＝2B ．√4=±2C ．√93=3D ．30＝1【解答】解：A 、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项错误；B 、√4=2，故此选项错误；C 、√93≠3，故此选项错误；D 、30＝1，故此选项正确；故选：D ．5．（3分）（2020•衡阳）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．赵爽弦图B．科克曲线C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．6．（3分）（2020•衡阳）要使分式1x−1有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠0【解答】解：要使分式1x−1有意义，则x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：B．7．（3分）（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD 是平行四边形，故选项D 中条件可以判定四边形ABCD 是平行四边形； 故选：C ．8．（3分）（2020•衡阳）下列不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、C 、D 中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．B 围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C 不能围成三棱柱． 故选：B ．9．（3分）（2020•衡阳）不等式组{x −1≤0，①x+23−x 2＜1②的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【解答】解：{x −1≤0，①x+23−x 2＜1②， 由①得x ≤1，由②得x ＞﹣2，故不等式组的解集为﹣2＜x ≤1，在数轴上表示为：． 故选：C ．10．（3分）（2020•衡阳）反比例函数y =k x经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）A ．k ＝2B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小【解答】解：∵反比例函数y=kx经过点（2，1），∴1=k 2，解得，k＝2，故选项A正确；∵k＝2＞0，∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C错误、选项D正确；故选：C．11．（3分）（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600【解答】解：依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故选：C．12．（3分）（2020•衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么▱ABCD的面积为（）A．3B．3√2C．6D．6√2【解答】解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，由图象和题意可得，AE ＝6﹣4＝2，DE ＝7﹣6＝1，BE ＝2， ∴AB ＝2+1＝3，∵直线BE 平行直线y ＝x ， ∴BM ＝EM =√2，∴平行四边形ABCD 的面积是：AD •BM ＝3×√2=3√2． 故选：B ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．） 13．（3分）（2020•衡阳）因式分解：a 2+a ＝ a （a +1） ． 【解答】解：a 2+a ＝a （a +1）． 故答案为：a （a +1）． 14．（3分）（2020•衡阳）计算：x 2+x x−x ＝ 1 ．【解答】解：原式=x(x+1)x−x ＝x +1﹣x ＝1． 故答案为：1．15．（3分）（2020•衡阳）已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于 12 ． 【解答】解：∵一个n 边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°， ∴n ＝360°÷30°＝12． 故答案为：12．16．（3分）（2020•衡阳）一副三角板如图摆放，且AB ∥CD ，则∠1的度数为 105° ．【解答】解：如图，∵AB ∥CD ，∠D ＝45°， ∴∠2＝∠D ＝45°．∵∠1＝∠2+∠3，∠3＝60°， ∴∠1＝∠2+∠3＝45°+60°＝105°． 故答案是：105°．17．（3分）（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 23 名．【解答】解：设女生有x 名，则男生人数有（2x ﹣17）名，依题意有 2x ﹣17+x ＝52， 解得x ＝23． 故女生有23名． 故答案为：23．18．（3分）（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐标是 （0，﹣22019） ．【解答】解：∵点P 1的坐标为（√22，√22），将线段OP 1绕点O 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2； ∴OP 1＝1，OP 2＝2，∴OP 3＝4，如此下去，得到线段OP 4＝23，OP 5＝24…， ∴OP n ＝2n ﹣1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周， ∵2020÷8＝252…4，∴点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，正好在y 轴的负半轴上， ∴点P 2020的坐标是（0，﹣22019）． 故答案为：（0，﹣22019）．三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（6分）（2020•衡阳）化简：b （a +b ）+（a +b ）（a ﹣b ）． 【解答】解：b （a +b ）+（a +b ）（a ﹣b ） ＝ab +b 2+a 2﹣b 2 ＝ab +a 2．20．（6分）（2020•衡阳）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为13．（1）求n 的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明． 【解答】解：（1）由概率的意义可得，n 2+n=13，解得，n ＝1，答：n 的值为1；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种． ∴P （一白一黑）=49，21．（8分）（2020•衡阳）如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ． （1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°，求∠BAC 的度数．【解答】（1）证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠BED ＝∠CFD ＝90°， ∵D 是BC 的中点， ∴BD ＝CD ，在△BED 与△CFD 中， {∠BED =∠CFD∠B =∠CBD =CD，∴△BED ≌△CFD （AAS ）， ∴DE ＝DF ；（2）解：∵∠BDE ＝40°， ∴∠B ＝50°， ∴∠C ＝50°， ∴∠BAC ＝80°．22．（8分）（2020•衡阳）病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500．根据以上信息回答问题：（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）【解答】解：（1）由直方图可得，1300≤x＜1700，这一组的频数是：30﹣3﹣10﹣10﹣2﹣1＝4，补全的频数分布直方图如右图所示；（2）360°×330=36°，即扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数是36°；（3）4.2×404+103+831614+338+148≈1.2（万人），答：在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有1.2万人．23．（8分）（2020•衡阳）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB 与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°．（1）求OC的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）【解答】解：（1）如图③，在Rt△AOC中，OA＝24，∠OAC＝30°．∴OC=12OA=12×24＝12（cm）；（2）如图④，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E，由题意得，OA＝OB′＝24，当显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，看可得，∠AOB′＝150°∴∠B′OE＝60°，∵∠ACO＝∠B′EO＝90°，∴在Rt△△B′OE中，B′E＝OB′×sin60°＝12√3，又∵OC＝DE＝12，∴B′D＝B′E+DE＝12+12√3，即：点B′到AC的距离为（12+12√3）cm．24．（8分）（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【解答】解：（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴∠ADE ＝∠C ， ∵∠EAD ＝∠DAC ， ∴△ADE ∽△ACD ， ∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC =325， ∴CD =√AD 2−AC 2=√82−(325)2=245， ∵OD ⊥BC ，AC ⊥BC ， ∴△OBD ∽△ABC ， ∴OD AC =BDBC ，∴5325=BD BD+245， ∴BD =1207．25．（10分）（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数y ＝x 2+px +q 的图象过点（﹣1，0），（2，0）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x ≤1时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数y ＝（2﹣m ）x +2﹣m 的图象与二次函数y ＝x 2+px +q 的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且a ＜3＜b ，求m 的取值范围．【解答】解：（1）由二次函数y ＝x 2+px +q 的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点， ∴{1−p +q =04+2p +q =0，解得{p =−1q =−2， ∴此二次函数的表达式y ＝x 2﹣x ﹣2； （2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x =−1+22=12， ∴在﹣2≤x ≤1范围内，当x ＝﹣2，函数有最大值为：y ＝4+2﹣2＝4；当x =12是函数有最小值：y =14−12−2=−94， ∴的最大值与最小值的差为：4﹣（−94）=254；（3）y ＝（2﹣m ）x +2﹣m 与二次函数y ＝x 2﹣x ﹣2图象交点的横坐标为a 和b ， ∴x 2﹣x ﹣2＝（2﹣m ）x +2﹣m ，整理得x 2+（m ﹣3）x +m ﹣4＝0， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝4﹣m ， ∵a ＜3＜b ，∴a ＝﹣1，b ＝4﹣m ＞3，故解得m ＜1，即m 的取值范围是m ＜1．26．（12分）（2020•衡阳）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰△ABC 的底边BC 在x 轴上，BC ＝8，顶点A 在y 的正半轴上，OA ＝2，一动点E 从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和△ABC 在BC 的同侧，设运动的时间为t 秒（t ≥0）． （1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与△ABC 重叠面积为S ，请问是否存在t 值，使得S =9136？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒2√5个单位的速度沿OD ﹣DC ﹣CD ﹣DO 运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．【解答】解：（1）如图1﹣1中，由题意，OA ＝2，OB ＝OC ＝4，EF ＝EH ＝FG ＝HG ＝1， 当点H 落在AC 上时，∵EH ∥OA ， ∴CE CO =EH OA ，∴CE 4=12，∴CE ＝2，∴点E 的运动路程为1， ∴t ＝1时，点H 落在AC 上．中考数学试题2020年中考（2）由题意，在E ，F 的运动过程中，开始正方形EFGH 的边长为1，∵正方形EFGH 与△ABC 重叠面积为S ，S =9136，∴此时点F 与O 重合，已经停止运动，如图1﹣2中，重叠部分是五边形OEKJG ．由题意：（t ﹣3）2−12•3t−132•（3t ﹣13）=9136， 整理得45t 2﹣486t +1288＝0，解得t =143或9215（舍弃），∴满足条件的t 的值为143． （3）如图3﹣1中，当点M 第一次落在EH 上时，4t +t ＝3，t =35当点M 第一次落在FG 上时，4t +t ＝4，t =45，∴点M 第一次落在正方形内部（包括边界）的时长=45−35=15（s ），当点M 第二次落在FG 上时，4t ﹣t ＝4，t =43，当点M 第二次落在EH 上时，4t ﹣（t +1）＝4，t =53，点M 第二次落在正方形内部（包括边界）的时长=53−43=13，∴点M 落在正方形内部（包括边界）的总时长=15+13=815（s ）．。
湖南省衡阳市2020年中考数学试题
……○…………_______班级：__________……○…………湖南省衡阳市2020年中考数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息$2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下列不是三棱柱展开图的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案． 【详解】解：A 、B 、D 中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．C 围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故C 不能围成三棱柱． 故选C ． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．2．如图,在四边形ABCD 中,AC 与BD 相交于点O ,下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（ ）试卷第2页，总26页…外…………○………………○……※※请※※…内…………○………………○……A ．AB ∥DC ,AB =DC B ．AB =DC ,AD =BC C ．AB ∥DC ,AD =BC D ．OA=OC ,OB =OD【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法逐项分析即可. 【详解】A. ∵ AB ∥DC ,AB =DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形；B. ∵ AB =DC ,AD =BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形；C.等腰梯形ABCD 满足 AB ∥DC ,AD =BC ，但四边形ABCD 是平行四边形；D. OA=OC ,OB =OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形； 故选C. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.3．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4．－3相反数是（ ） A ．3 B ．－3 C ．13D ．13-【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义可得答案． 【详解】解：3-的相反数是3. 故选A ． 【点睛】本题考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 5．下列各式中，计算正确的是（ ） A ．325a a a += B ．32a a a -=C ．()325a a =D ．235a a a ⋅=【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则、同底数幂的乘方法则依次判断即可 【详解】A ．3a 和2a 不是同类项，不能合并，此选项错误；试卷第4页，总26页B ．3a 和2a 不是同类项，不能合并，此选项错误；C ．()326a a =，此选项错误；D ．235a a a ⋅=，此选项正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查同类项合并、同底数幂的乘法、幂的乘方，根据法则计算是解答的关键． 6．2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（ ） A ．81.210⨯ B ．71.210⨯C ．91.210⨯D ．81.210-⨯【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 【详解】1.2亿=120000000=1.2×108． 故选：A ． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 7．下列各式中正确的是（ ） A ．22--= B 2=±C 3=D ．031=【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的知识对逐项排除即可． 【详解】解：A. 22--=-，故A 选项错误； B.2=，故B 选项错误；………○……学校:_____………○…… C.3=，故B 选项错误；D. 031=，故D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、立方根、零次幂的相关知识，掌握这些基础知识是解答本题的关键． 8．要使分式11x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．1x > B ．1x ≠C ．1x =D ．0x ≠【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可解答． 【详解】根据题意可知，10x -≠，即1x ≠． 故选：B ． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键．9．不等式组10,?21?32x x x -≤⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】首先解不等式组，然后在数轴上表示出来即可判断． 【详解】试卷第6页，总26页○………○………解：10?21?32x x x -≤⎧⎪⎨+-<⎪⎩①②，解①得：x ≤1， 解②得：x ＞-2，则不等式组的解集是：−2＜x ≤1． 在数轴上表示为：故选：C ． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集和在数轴上表示解集，分别求出每个不等式的解，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了”找出解集．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 10．反比例函数ky x=经过点(2,1)，则下列说法错误．．的是（ ） A ．2k =B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小【答案】C 【解析】 【分析】将点（2,1）代入ky x=中求出k 值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可． 【详解】将点（2,1）代入ky x=中，解得：k=2， A ．k=2，此说法正确，不符合题意；B ．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；C ．k=2﹥0且x ﹥0，函数图象位于第一象限，且y 随x 的增大而减小，此说法错误，符合题意；D ．k=2﹥0且x ﹥0，函数图象位于第一象限，且y 随x 的增大而减小，此说法正确，不………外……………………○…：___________………内……………………○…符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．11．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（ ）A ．2352035202600x x x ⨯--+=B ．352035220600x x ⨯--⨯=C ．(352)(20)600x x --=D ．(35)(202)600x x --=【答案】C 【解析】 【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】解：如图，设小道的宽为xm ，则种植部分的长为()352x m -，宽为()20,x m - 由题意得：(352)(20)600x x --=． 故选C ．【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；试卷第8页，总26页…○…………线……※※…○…………线……得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．12．如图1，在平面直角坐标系中，ABCD 在第一象限，且//BC x 轴．直线y x 从原点O 出发沿x 轴正方向平移．在平移过程中，直线被ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．那么ABCD 的面积为（ ）A ．3B ．C ．6D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A ；当移动距离是6时，直线经过B ，在移动距离是7时经过D ，则AD=7-4=3，当直线经过D 点，设交BC 与N.则DN=2，作DM ⊥AB 于点M.利用三角函数即可求得DM 即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A 当移动距离是6时，直线经过B 当移动距离是7时经过D ，则AD=7-4=3如图：设交BC 与N ，则DN=2，作DM ⊥AB 于点M ， ∵移动直线为y=x ∴∠NDM=45° ∴DM=cos ∠NDM·ND=222∴ABCD 的面积为AD×． 故答案为B ．…○…………线…………○……____…○…………线…………○……【点睛】本题考查了平移变换、解直角三角形等知识，其中根据平移变换确定AD 的长是解答本题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．因式分解：2a a +=__________． 【答案】a(a+1) 【解析】 【分析】提取a 即可因式分解. 【详解】2a a += a(a+1)故填：a(a+1). 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法因式分解.14．计算：2x xx x+-=_________．【答案】1 【解析】试卷第10页，总26页……○…………装…※※请※※不※※要※……○…………装…【分析】根据分式的四则混合运算法则计算即可． 【详解】解：()2211x x x x x x x x x x+-=+÷-=+-=．故答案为1． 【点睛】本题考查了分式的四则混合运算的法则，掌握分式四则混合运算法则是解答本题的关键． 15．已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于_________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是360°求出多边形的边数即可． 【详解】解：360°÷30°=12． 故答案为12． 【点睛】本题考查了多边形外角和特征，掌握多边形的外角和为360°是解答本题的关键． 16．一副三角板如图摆放，且//AB CD ，则∠1的度数为_________．【答案】105.︒ 【解析】 【分析】如图，把顶点标注字母，由平行线的性质求解AEF ∠,再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，把顶点标注字母，…………○…………：___________…………○…………//,45,AB CD D ∠=︒45,AEF D ∴∠=∠=︒ 60,GAB ∠=︒16045105.GAB AEF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：105.︒【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 17．某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有_________名． 【答案】23 【解析】 【分析】关系式为：男生人数+女生人数=52，男生人数=2×女生人数-17．把相关数值代入即可求解． 【详解】设男生人数为x 人，女生人数为y 人．由此可得方程组52217x y x y ⎨-⎩+⎧＝＝． 解得，2923x y =⎧⎨=⎩所以，男生有29人，女生有23人， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，解答本题的关键是仔细审题得到等量关系，根据等量关系建立方程．试卷第12页，总26页…………○…………答※※题※※…………○…………18．如图，在平面直角坐标系中，点1P 的坐标,22⎛⎝⎭，将线段1OP 绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；又将线段2OP 绕点O 按顺时针方向旋转45°，长度伸长为2OP 的2倍，得到线段3OP ；如此下去，得到线段4OP 、5OP ，……，n OP （n 为正整数），则点2020P 的坐标是_________．【答案】（0，-22019） 【解析】 【分析】根据题意得出OP 1=1，OP 2=2，OP 3=4，如此下去，得到线段OP 3=4=22，OP 4=8=23…，OP n =2n-1，再利用旋转角度得出点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，进而得出答案． 【详解】解：∵点P 1的坐标为,22⎛⎝⎭，将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 1； ∴OP 1=1，OP 2=2，∴OP 3=4，如此下去，得到线段OP 4=23，OP 5=24…， ∴OP n =2n-1，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周， ∵2020÷8=252…4，∴点P 2020的坐标与点P 4的坐标在同一直线上，正好在y 轴负半轴上， ∴点P 2020的坐标是（0，-22019）． 故答案为：（0，-22019）． 【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点P 2014的坐标与点P 6的坐标在同一直线上是解题关键．三、解答题19．化简：()()()b a b a b a b +++-． 【答案】2a ab + 【解析】 【分析】根据整式的四则混合运算法则以及平方差公式解答即可． 【详解】解：()()()b a b a b a b +++- =222ab b a b ++- =2a ab +． 【点睛】本题考查了整式的四则混合运算、平方差公式等知识，灵活运用整式的四则混合运算法则是解答本题的关键．20．一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为13． （1）求n 的值；（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】（1）1；（2）49． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式列方程求解即可；（2）先画出树状图确定所有情况数和所求情况数，然后再运用概率公式求解即可． 【详解】 解：（1）由题意得123n n =+ ，解得n=1； （2）根据题意画出树状图如下：试卷第14页，总26页……○…………订线…………○……※※装※※订※※线※※内……○…………订线…………○……所以共有9种情况，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种情况，则 两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率49． 【点睛】本题考查了概率公式的运用和利用树状图求概率，根据概率公式列方程和正确画出树状图是解答本题的关键．21．如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE DF =；（2）若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）BAC ∠=80° 【解析】 【分析】（1）利用已知条件和等腰三角形的性质证明BDE CDF ≅，根据全等三角形的性质即可证明；（2）根据三角形内角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC 中利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵点D 为BC 的中点， ∴BD=CD ，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥， ∴∠DEB=∠DFC=90° 在△BDE 和△CDF 中，○…………外…………○…………装…学校:___________姓名：○…………内…………○…………装…DEB DFC B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BDE CDF AAS ≅， ∴DE DF =． （2）∵40BDE ∠=︒∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED ）=50°， ∴∠C=50°，在△ABC 中，BAC ∠=180°-（∠B+∠C ）=80°， 故BAC ∠=80°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质并灵活应用是解题的关键．22．病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100500x ≤<，500900x ≤<，9001300x ≤<，13001700x ≤<，17002100x ≤<，21002500x ≤<．）根据以上信息回答问题：试卷第16页，总26页外…………○………※※请※※不内…………○………（1）补全频数分布直方图．（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C 市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H 市派出的338名医护人员中有103人是“90后”； B 市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人） 【答案】（1）补图见解析；（2）36︒；（3）1.2万人． 【解析】 【分析】（1）根据总数等于各组频数之和即可求出“13001700x ≤<”组得频数，进而补全频数分布直方图；（2）由频数直方图可得“100500x ≤<”的频数为3，再将360°乘以该组所占比例即可；（3）根据样本估计总体，可得到90后”大约有1.2万人． 【详解】解：（1）“13001700x ≤<”组得频数为：30-3-10-10-2-1=4， 补全频数分布直方图如图．（2）由频数直方图可知支援武汉的医务人员在“100500x ≤<”之间的有3个， 所占百分比为：3100%10%30⨯=， 故其所占圆心角度数=36010%36︒⨯=︒． （3）支援湖北省的全体医务人员“90后”大约有............订.........班级：___________考号：____............订 (40410383)4.2100% 1.18 1.21614338148++⨯⨯=≈++（万人），故：支援湖北省的全体医务人员“90后”大约有1.万人． 【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图和扇形统计图的综合运用及样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布直方图可以清楚地看出落在各组的频数，各组的频数和等于总数．23．小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线OB 与底板的边缘线OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B 、O 、C 在同一直线上，24cm OA OB ==，BC AC ⊥，30OAC ∠=︒．（1）求OC 的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB '与水平线的夹角仍保持120°，求点B '到AC 的距离．（结果保留根号）【答案】（1）12cm ；（2）点B '到AC 的距离为（cm ． 【解析】 【分析】（1）在Rt △AOC 中，由30度角所对的直角边长度是斜边的一半求解即可；（2）过点O 作OM ∥AC ，过点B′作B′E ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，交OM 于点D ，B′E 即为点B '到AC 的距离，根据题意求出∠OB′D=30°，四边形OCED 为矩形，根据B′E=B′D+DE 求解即可． 【详解】解：（1）∵24cm OA =，BC AC ⊥，30OAC ∠=︒ ∴1122OC OA cm ==． 即OC 的长度为12cm ．（2）如图，过点O 作OM ∥AC ，过点B′作B′E ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，交OM 于试卷第18页，总26页…○…………装…※※请※※不※※要※…○…………装…点D ，B′E 即为点B '到AC 的距离， ∵OM ∥AC ，B′E ⊥AC ， ∴B′E ⊥OD ， ∵MN ∥AC ，∴∠NOA=∠OAC=30°， ∵∠AOB=120°， ∴∠NOB=90°， ∵∠NOB′=120°， ∴∠BOB′=120°-90°=30°，∵BC ⊥AC ，B′E ⊥AE ，MN ∥AE ， ∴BC ∥B′E ，四边形OCED 为矩形， ∴∠OB′D=∠BOB′=30°，DE=OC=12cm ，在Rt △B′OD 中，∵∠OB′D=30°，B′O=BO=24cm ， ∴B'D cos OB'D=B'O ∠B′D= ，B′E=B′D+DE= ()12cm ，答：点B '到AC 的距离为()12cm ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定和性质和直角三角形中30度角所对的直角边长度是斜边的一半，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点A 和点D 的圆，圆心O 在线段AB 上，O 交AB 于点E ，交AC 于点F ．…………○………………○……（1）判断BC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若8AD =，10AE =，求BD 的长． 【答案】（1）BC 与O 相切．证明见解析；（2）120.7【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义证明,OAD CAD ∠=∠结合等腰三角形的性质证明,ODA CAD ∠=∠从而证明//,OD AC 结合90C ∠=︒可得答案；（2）连接DE ，先利用勾股定理求解DE 的长，再证明,BDE BAD ∽ 利用相似三角形的性质列方程组求解即可得到答案． 【详解】 解：（1）BC 与O 相切．理由如下： 如图，连接OD ，AD 平分BAC ∠，,OAD CAD ∴∠=∠,OA OD =,ODA OAD ∴∠=∠ ,ODA CAD ∴∠=∠//,OD AC ∴ 90,C ∠=︒90,ODB C ∴∠=∠=︒D 在O 上， BC ∴是O 的切线．（2）连接,DE试卷第20页，总26页外…………○…※※内…………○…AE ∵为O 的直径，90,ADE ∴∠=︒8AD =，10AE =， 6,DE ∴==90,ODB ADE ∠=∠=︒90,BDE ODE ADO ODE ∴∠+∠=∠+∠=︒,BDE ADO ∴∠=∠,OD OA = ,ADO DAO ∴∠=∠ ,BDE DAO ∴∠=∠,B B ∠=∠,BDE BAD ∴∽,BD DE BEBA AD BD ∴== 6,108BD BE BE BD ∴==+ ()268,10BD BE BD BE BE =⎧∴⎨=+⎩解得：120.7BD =所以：BD 的长为：120.7【点睛】本题考查的切线的判定与性质，圆的基本性质，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．25．在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，…………线…………○…………线…………○(2,0)．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当21x -≤≤时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且3a b <<，求m 的取值范围． 【答案】（1）2y x x 2=--；（2）254；（3）1m <． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将点(1,0)-，(2,0)代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴12x =，从而知在21x -≤≤中，当x=-2时，y 有最大值，当12x =时，y 有最小值，求之相减即可； （3）根据两函数相交可得出x 与m 的函数关系式，根据有两个交点可得出∆>0，根据根与系数的关系可得出a ，b 的值，然后根据3a b <<，整理得出m 的取值范围． 【详解】解：（1）∵2y x px q +=+的图象过点(1,0)-，(2,0)，∴10420p q p q -+=⎧⎨++=⎩解得12p q =-⎧⎨=-⎩∴2y x x 2=--（2）由（1）得，二次函数对称轴为12x =∴当21x -≤≤时，y 的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,试卷第22页，总26页y 的最小值为21192224⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ∴y 的最大值与最小值的差为925444⎛⎫--= ⎪⎝⎭； （3）由题意及（1）得()2222y m x my x x ⎧=-+-⎨=--⎩整理得()()2340x m x m ----=即()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦∵一次函数(2)2y m x m =-+-的图象与二次函数2y x px q +=+的图象交点的横坐标分别是a 和b ，∴()()23440m m ∆=-+-> 化简得210250m m -+> 即()250m -> 解得m≠5∴a ，b 为方程()(1)40x x m +--=⎡⎤⎣⎦的两个解 又∵3a b << ∴a=-1，b=4-m 即4-m>3 ∴m<1综上所述，m 的取值范围为1m <． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质．26．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．…线…………○………线…………○……（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =，理由见解析；（3）可能，3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；（3）由已知求得点D （2，1），AC=结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长． 【详解】（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)， 设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ， 将点A 、C 坐标代入，得：试卷第24页，总26页402k b b +=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+， 当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1）， 将点H 代入122y x =-+，得： 11(3)22t =--+，解得：t=1；（2）存在，143t =，使得9136S =．根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为9136S =，故t ﹥4， 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ， 将点A 、B 坐标代入，得：402m n n -+=⎧⎨=⎩，解得：122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为122y x =+， 当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)， 当点H 落在AB 边上时，将点H 代入122y x =+，得： 13(3)22t t -=-+，解得：133t =；此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=，∵169﹤9136，∴133﹤t ﹤5， 如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T, 将y=t-3代入122y x =+得：1322t x -=+， 解得：x=2t-10， ∴点S(2t-10，t-3)， 将x=3-t 代入122y x =+得：11(3)2(7)22y t t =-+=-， ∴点T 1(3,(7))2t t --，…订…………○…_____考号：___________…订…………○…∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=1(7)2t -， 211(7)24BET S BE ET t ∆==-, 21(5)2ASGS AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-， 由2527133424t t -+-=9136得：1143t =，29215t =﹥5(舍去)，∴143t =；（3）可能，35≤t≤1或t=4． ∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4， ∴点D （2，1），AC=易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；当0﹤t ﹤12时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇； 当12﹤t ﹤1时， 12+12÷（1+4）=35秒， ∴t =35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=15秒后，M 点不在正方行内部，则3455t ≤≤；当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处；当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=13秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），4533t ≤≤当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，当 t=3时，点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时，点F 运动返回到点O 处, 当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界）， 综上，当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．试卷第26页，总26页……线…………○…………线…………○……【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．。
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷
2020年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）﹣3的相反数是（）
A．3B．﹣3C．D．﹣
2．（3分）下列各式中，计算正确的是（）
A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a5
3．（3分）2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（）
A．1.2×108B．1.2×107C．1.2×109D．1.2×10﹣8
4．（3分）下列各式中正确的是（）
A．﹣|﹣2|＝2B．＝±2C．＝3D．30＝1
5．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图B．科克曲线
C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线
6．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞1B．x≠1C．x＝1D．x≠0
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
8．（3分）下列不是三棱柱展开图的是（）。
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2020年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．−3的相反数是（ ）
A 、3
B 、−3
C 、31
D 、−3
1 2．下列各式中，计算正确的是（ ） A 、a 3＋a 2＝a 5 B 、a 3−a 2＝a C 、（a 2）3＝a 5
D 、a 2•a 3＝a 5 3．2019年12月12日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水5周年来，直接受益人口超过1.2亿人，其中1.2亿用科学记数法表示为（ ）
A 、1.2×108
B 、1.2×107
C 、1.2×109
D 、1.2×108-
4．下列各式中正确的是（ ）
A 、−|−2|＝2
B 、4＝±2
C 、39＝3
D 、30＝1
5．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、 赵爽弦图 科克曲线 笛卡尔心形线 斐波那契螺旋线
6．要使分式1
1-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、x ＞1 B 、x ≠1 C 、x ＝1 D 、x ≠0
7．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）
A 、A
B ∥D
C ，A
D ∥BC
B 、AB ＝D
C ，A
D ＝BC
C 、AB ∥DC ，A
D ＝BC
D 、OA ＝OC ，OB ＝OD
8．下列不是三棱柱展开图的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
9．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤-⑵⑴123
201x x x
的解集在数轴上表示正确的是（ ） A 、 B 、
C 、
D 、
10．反比例函数y ＝x k 经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ） A 、k ＝2 B 、函数图象分布在第一、三象限
C 、当x ＞0时，y 随x 的增大而增大
D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小
11．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（ ）
A 、35×20−35x −20x ＋2x 2＝600
B 、35×20−35x −2×20x ＝600
C 、（35−2x ）（20−x ）＝600
D 、（35−x ）（20−2x ）＝600
12．如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD 在第一象限，且BC ∥x 轴．直线y ＝x 从原点O 出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被口ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．那么口ABCD 的面积为（ ）
A 、3
B 、32
C 、6
D 、62
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13．因式分解：a 2
＋a ＝___________． 14．计算：x
x x 2−x ＝______． 15．已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于________．
16．一副三角板如图摆放，且AB ∥CD ，则∠1的度数为_______．
17．某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则
女生有_________名．
18．如图，在平面直角坐标系中，点P 1的坐标为（22，2
2），将线段OP 1绕点O 按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为
OP 1的2倍，得到线段OP 2；又将线段OP 2绕点O 按顺时针方向
旋转45°，长度伸长为OP 2的2倍，得到线段OP 3；如此下去，
得到线段OP 4，OP 5，…，OP n （n 为正整数），则点P 2020的坐
标是___________．
三、解答题（木大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．化简：b （a ＋b ）＋（a ＋b ）（a −b ）．
20．一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为3
1． （1）求n 的值；
（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．
21．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ．
（1）求证：DE ＝DF ；
（2）若∠BDE ＝40°，求∠BAC 的度数．
22．病毒虽无情，人间有大爱．2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下：（数据分成6组：100≤x ＜500，500≤x ＜900，900≤x ＜1300，1300≤x ＜1700，1700≤x ＜2100，2100≤x ＜2500．
根据以上信息回答问题：
（1）补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中派出人数大于等于100小于500所占圆心角度数．据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：
C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；
H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；
B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．
（3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1万人）
23．小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA＝OB＝24cm，BC ⊥AC，∠OAC＝30°．
（1）求OC的长；
（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离．（结果保留根号）
24．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点A 和点D 的圆，圆心O 在线段AB 上，⊙O 交AB 于点E ，交AC 于点F ．
（1）判断BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若AD ＝8，AE ＝10，求BD 的长．
25．在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象过点（−1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当−2≤x ≤1时，y 的最大值与最小值的
差；
（3）一次函数y ＝（2−m ）x ＋2−m 的图象与二
次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象交点的横坐标分别
是a 和b ，且a ＜3＜b ，求m 的取值范围．
26．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰△ABC 的底边BC 在x 轴上，BC ＝8，顶点A 在y 的正半轴上，OA ＝2，一动点E 从（3，0）出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和△ABC 在BC 的同侧，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．
（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；
（2）设正方形EFGH 与△ABC 重叠面积为S ，请问是否存在t 值，使得S ＝3691？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒25个单位的速度沿OD −DC −CD −DO 运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．。