第十节常系数线性微分方程组
常系数线性微分方程组
１． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
例1
dy dx 3 y 2 z , 解微分方程组 dz 2 y z . dx
*第十三节
常系数线性微分方程组 解法举例 一、微分方程组
微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组．
注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几 个具有同一自变量的函数． 常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个 微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线 性微分方程组．
二、常系数线性微分方程组的解法 Nhomakorabea(1) ( 2)
解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得
1 dz y z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz , 两边求导得， 2 dx 2 dx dx
把(3), (4)代入(1)式并化简, 得
( 4)
d 2z dz 2 z0 2 dx dx
解之得通解 z (C1 C2 x )e x ,
(5)
1 x y ( 2 C C 2 C x ) e . ( 6) 再把(5)代入(3)式, 得 1 2 2 2
原方程组的通解为
1 x y ( 2 C C 2 C x ) e 1 2 2 2 , x z ( C C x ) e 1 2
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y =f(x)\]其中$y$是未知函数，$a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0$是给定的常数，$f(x)$是已知的函数。
这类微分方程中，最高阶的导数的系数$a_n$不为零。
它的特点在于，常数系数的确定可缩减为一个初值问题，解的形式可以通过特征方程的根来确定。
为了更好地理解常系数线性微分方程，首先我们来介绍一些最基本的概念和性质。
1.常系数线性齐次微分方程当$f(x)=0$时，方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = 0\]称为常系数线性齐次微分方程。
它的特征方程为\[a_n r^n + a_{n-1} r^{(n-1)} + \cdots + a_1 r' + a_0 = 0\]其中$r$是一个未知数，称为特征根。
我们假设特征根的多重性是1，即每个特征根都有一个对应的线性无关的解。
2.常系数线性非齐次微分方程的通解当 $f(x) \neq 0$ 时，方程\[a_n y^n + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y' + a_0 y = f(x)\]称为常系数线性非齐次微分方程。
它的通解可以表示为齐次解与特解的和，即\[y=y_h+y_p\]其中$y_h$是齐次方程的通解，$y_p$是非齐次方程的一个特解。
3.特解的构造方法特解的构造方法主要有待定系数法和常数变易法两种。
(1)待定系数法当$f(x)$是多项式、指数函数、三角函数等形式时，我们可以通过观察$f(x)$所具有的性质，设定待定系数，再将特解代入原方程，确定待定系数的值。
(2)常数变易法当 $f(x)$ 是形如 $e^{kx}$ 的指数型函数时，我们可以通过设定常数变易法，即设定特解的形式为 $Ae^{kx}$，其中 $A$ 是待定常数。
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程常系数线性微分方程是微分方程中一类重要的特殊形式，其特点是方程中的系数是常数。
本文将介绍常系数线性微分方程的定义、求解方法以及相关性质。
一、常系数线性微分方程的定义常系数线性微分方程又称为齐次线性微分方程，其一般形式为：\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=0\]其中，n为方程的阶数，\(y^{(n)}\)表示y的n阶导数。
二、常系数线性微分方程的求解方法1. 特征方程法通过设定方程的解为\(y=e^{mx}\)，将其代入原方程中，得到特征方程：\[a_nm^n+a_{n-1}m^{n-1}+...+a_1m+a_0=0\]解特征方程，可得到n个不同的解，分别是\(m_1, m_2,..., m_n\)。
则原方程的通解为：\[y=c_1e^{m_1x}+c_2e^{m_2x}+...+c_ne^{m_nx}\]其中，\(c_1, c_2,..., c_n\)为常数。
2. 变量分离法对于一些特殊的常系数线性微分方程，可以通过变量转换将其化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。
三、常系数线性微分方程的性质1. 零解的存在唯一性对于常系数线性微分方程，其零解必然存在且唯一。
2. 齐次性质如果y1(x)是常系数线性微分方程的一个解，那么ky1(x)（k为常数）也是该微分方程的解。
3. 叠加性质如果y1(x)和y2(x)分别是常系数线性微分方程的解，那么y(x)=y1(x)+y2(x)也是该微分方程的解。
4. 线性性质设y1(x)和y2(x)分别是齐次常系数线性微分方程的两个解，c1和c2为常数，则c1y1(x)+c2y2(x)也是该微分方程的解。
总结：常系数线性微分方程作为微分方程中的重要形式，在工程、物理学以及其他科学领域中具有广泛的应用。
求解常系数线性微分方程的方法多种多样，特征方程法和变量分离法是常用的求解方法。
同时，常系数线性微分方程满足一系列重要性质，这些性质使得我们可以更加灵活地利用微分方程进行问题的建模和求解。
常系数线性微分方程
通常系数线性微分方程（Linear ODEs with Constant Coefficients）是一
类常用的数学工具，它可以用来解决各种跟时间有关的工程问题。
它
是一个重要的分支，是传统数学方法，它应用于解决一些常见的技术
和科学问题。
通常系数线性微分方程是一种形式，它可以用于处理各种类型的方程，包括常微分方程，偏微分方程以及一阶偏微分方程的线性部分。
它对
于一般的普通微分方程具有更高的效率，也更易于用符号数学系统求解，得到正确的解。
这种线性方程形式一般使用标准格式解决，即总是可以将其写成一阶
微分方程形式，表示为P(t)X + Q(t)Y + R(t)Y ′= 0。
其中P(t)、Q(t)和
R(t)是常数系数。
同时,Q(t)、R(t)必须都是非负函数。
一旦我们确定好
这些系数，求解一般线性微分方程就可以用一般办法来解决了。
通常系数线性微分方程的重要性首先在于它的解非常简单而直观，同
时可以用符号数学系统来解决。
此外，其出现的场景也比较丰富，可
以应用于从电子系统的传递函数的分析到电力系统的模拟分析等多种
工程领域。
最重要的是，由于它的特殊形式，其分析计算跨度非常大，可以很容易应用于设计和分析系统中不同时间尺度的复杂工程模型。
总之，通常系数线性微分方程具有广阔的应用范围，它是一种经典的
数学工具，为解决跟时间有关的工程问题提供了简洁而有效的解决方案。
常微分方程的常系数线性方程
常微分方程的常系数线性方程常微分方程是求解自然现象中变量随时间变化的数学工具。
它是描述自然现象中许多重要现象如振荡、决策、生长和衰变等的基础。
常微分方程又可分为一阶方程和高阶方程。
一般的高阶方程可以通过将其转化为同阶但有更多变量的方程来解决。
而本文所涉及的是常微分方程中的常系数线性方程，它是一类重要的高阶方程，大量实际问题都可以用常系数线性方程来描述和解决。
一、基本概念和定义常系数线性方程是指高阶形式为$y^n + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1y’ + a_0y = f(x)$的方程，其中$n \in N, a_i \in R (i=0,1,...,n-1)$是常数，$f(x)$是已知函数，$y=y(x)$是要解的未知函数。
该方程中的常数称为常系数，线性指$f(x)$为一次函数，即不含有未知函数$y$的高次项。
二、解法为了求解常系数线性方程，我们首先要解其特征方程，即解形如$y^n + a_{n-1}y^{n-1} + ... + a_1y’ + a_0y = 0$的齐次方程。
特征方程的根称为特征根，常系数线性方程的解法要分三种情况：实根不同、重根和虚根。
(1)实根不同的情况当特征方程有$n$个不同实根$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$时，设对应的齐次方程的$n$个线性无关解分别为$y_1,y_2,...,y_n$，那么方程的通解为$y=c_1y_1+c_2y_2+...+c_ny_n$，其中$c_1,c_2,...,c_n$是任意常数。
(2)重根的情况当特征方程有一个重根$\lambda$时，设对应的齐次方程的两个线性无关解分别为$y_1=e^{\lambda x}$和$y_2=xe^{\lambda x}$，那么方程的通解为$y=(c_1+c_2x)e^{\lambda x}$，其中$c_1，c_2$是任意常数。
(3)虚根的情况当特征方程有$n$个对应的虚根$\alpha_1 \pm \beta_i i(1\leq i\leq m)$时，设对应的齐次方程的$n$个线性无关解分别为：$y_1=e^{\alpha_1x}cos\beta_1x,...,y_{2m-1}=e^{\alpha_1x}cos\beta_mx$$y_2=e^{\alpha_1x}sin\beta_1x,...,y_{2m}=e^{\alpha_1x}sin\beta _mx$那么方程的通解为$y=(c_1cos\beta_1x+c_2sin\beta_1x)e^{\alpha_1x}+...+(c_{2m-1}cos\beta_mx+c_{2m}sin\beta_mx)e^{\alpha_1x}$，其中$c_1,c_2,...,c_{2m}$是任意常数。
常系数线性微分方程
常系数线性微分方程线性微分方程是微分方程中的一种重要类型，它在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
本文将从定义、特征、解法和应用等方面对线性微分方程进行详细介绍。
一、线性微分方程的定义线性微分方程可以表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，y是未知函数。
它的一般形式为dy/dx + p(x)y = g(x)。
二、线性微分方程的特征线性微分方程具有以下特征：1. 线性：方程中未知函数y及其导数的次数均为1次，且没有幂函数、指数函数和对数函数等非线性项。
2. 可分离变量：可以通过移项将方程变形为dy/y = -p(x)dx + q(x)dx，从而可进行变量分离，简化求解过程。
3. 叠加原理：线性微分方程的解具有叠加性，即一般解等于相应齐次线性微分方程的解与非齐次线性微分方程的特解之和。
三、线性微分方程的解法线性微分方程的求解可以采用常系数法、变易法、特解法等多种方法，下面以常系数线性微分方程为例进行说明。
1. 常系数线性微分方程的一般形式为dy/dx + ay = b，其中a和b为常数。
常系数线性微分方程的解具有通解和特解两种形式。
2. 首先求解齐次线性微分方程dy/dx + ay = 0。
令y = e^(mx)，代入方程得d(e^(mx))/dx + ae^(mx) = 0，化简得me^(mx) + ae^(mx) = 0，整理可得(m+a)e^(mx) = 0。
由于e^(mx)恒大于0，所以(m+a) = 0，即m = -a。
因此，齐次线性微分方程的通解为y = c*e^(-ax)，其中c为常数。
3. 再求解非齐次线性微分方程dy/dx + ay = b。
根据线性微分方程叠加原理，非齐次线性微分方程的一般解等于齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和。
4. 特解的求解可以采用常数变易法，假设特解为y = C，代入原方程得C + aC = b，解得C = b/(1+a)。
常系数线性微分方程的一般解法
初始条件法
根据微分方程和初始条件 ，确定通解中的任意常数 ，从而得到满足初始条件 的特解。
积分因式法
通过对方程进行适当的变 换，使其成为易于积分的 形式，然后求解通解。
05 微分方程的特解
特解的定义与性质
总结词
特解是满足微分方程的特定函数，具有 与原方程不同的形式。
VS
详细描述
特解是微分方程的一个解，它具有与原方 程不同的形式，但满足原方程的约束条件 。特解通常用于求解微分方程时，通过将 特解代入原方程来求解未知数。
二阶常系数线性微分方程
总结词
二阶常系数线性微分方程是形如 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t)) 的方程，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。
详细描述
二阶常系数线性微分方程的一般形式为 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t))，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。解这个方程可以得到 (y(t)) 的通解。
间的变化性微分方程在机械振动分析中有着广泛的应用，例如分 析弹簧振荡器、单摆等的振动规律。
电路分析
在电路分析中，微分方程被用来描述电流、电压随时间的变化规 律，以及电路元件的响应特性。
控制工程
在控制工程中，微分方程被用来描述系统的动态特性，以及系统 对输入信号的响应。
在经济中的应用
供需模型
微分方程可以用来描述商品价格 随时间的变化规律，以及供需关 系对价格的影响。
投资回报分析
在投资领域，微分方程可以用来 描述投资回报随时间的变化规律， 以及风险因素对投资回报的影响。
线性常系数微分方程
线性常系数微分方程线性常系数微分方程（LinearConstant-CoefficientDifferentialEquation，简称LCCDE）是一类特殊的常系数微分方程，是研究微积分学中最重要的一类方程。
它们被广泛应用于自动控制、电路分析、数字图像处理、生物科学等方面。
绝大多数的非线性常系数微分方程都可以用线性常系数微分方程来近似描述，所以研究线性常系数微分方程可以帮助我们更好地理解各种复杂的非线性问题。
线性常系数微分方程的基本性质可以用标准形式表示：$$y^(n)+a_1y^{(n-1)}+a_2y^{(n-2)}+...+a_ny=0，n≥1,a_1,a_2,...a_n 为常数.$$这里，$y^{(n)}$表示$y$的$n$次导数，$a_1,a_2,...a_n$是系数。
在研究线性常系数微分方程时，我们会用到几个重要的概念：**一、阶**一个线性常系数微分方程的阶数是指其最高次导数的阶。
**二、全纳算子（annihilator）**全纳算子（annihilator）是指字母P（也可以是其他字母）。
当全纳算子P(s)应用于方程的特征方程，使其解得为零时。
我们称P(s)为线性常系数微分方程的全纳算子，符号p表示它的阶数，也就是次系数合为零的最高次导数的阶数。
**三、特征方程与特征根**特征方程一般表示为P(s)=0，其中P(s)叫做全纳算子，s代表的是复变函数的变量s的变量。
特征方程的根叫做特征根。
**四、解的通式**解的通式可以表示为：$$y=c_1e^{lambda_11t}+c_2e^{lambda_22t}+...+c_ne^{lambda_nn t}$$其中$λ_1,λ_2,...λ_n$是特征根，$c_1,c_2,...c_n$为常数，可以由初值条件确定。
结合上述概念，可以简单介绍一下线性常系数微分方程的解法。
**解法1：特征根法（Characteristic Root Method）** 特征根法是最常用的线性常系数微分方程求解方法，其策略是：先求出特征方程的特征根，然后根据特征根构造特征根的行列式，由初值条件确定其解的形式，最后求出具体的数值解。
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⑨
第十节* 常系数线性微分方程组
(D2 1)x D y et ⑥
D x (D2 1) y 0
⑦
下面来求 x .
D× ⑦－⑥ 得 x D3 y et , x D3 y et
⑩
⑨,⑩联立即为原方程的通解.
的特解, 只需代入通解确定C1 , C2 即可.
第十节* 常系数线性微分方程组
例2 解微分方程组
d2 x dt2
d d
y t
x
et
,
d2 dt
y
2
d d
x t
y
0
.
解 记 D d , 则方程组可表为
dt
(D 2 1) x D y et ,
⑥
D x (D 2 1) y 0 .
⑦
根据解线性方程组的克莱姆法则, 有
D21 D D D21
y
D2 1 D
et 0
,
第十节* 常系数线性微分方程组
即
(D 4 D 2 1) y et . ⑧
其特征方程: r 4 r 2 1 0 ,
特征根:
r1,2
1 5 记 ,
2
r3,4 i
5 1 记 i .
2
令 y A et , 代入⑧可得 A＝1, 故得⑧的通解:
第十节* 常系数线性微分方程组
一、概念与解法 二、举例
第十节* 常系数线性微分方程组
一、概念与解法
1. 定义 定义 由若干个微分方程联立起来共同确定几个具
有同一自变量的函数的方程组，叫做微分方程组. 如果 微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方 程，那么，这种微分方程组就叫做常系数线性微分方程 组.
第十节* 常系数线性微分方程组
2. 解法 Step1 从方程组中消去一些未知函数及其导数，得
到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程；
Step2 解此高阶微分方程； Step3 把已求得的函数代入原方程组，求出其余的
未知函数.
第十节* 常系数线性微分方程组
二、举例
d y 3y 2z , ①
2 dx
z (C1 C2 x) e x ④
将④代入③, 得
y
1 2
(2C1
C2
2C2 x) ex
.
⑤
原方程通解:
z (C1 C2 x) e x ,
y
1 2
(2C1
C2
2C2
x)
ex
.
第十节* 常系数线性微分方程组
原方程通解
注意
z (C1 C2 x) e x
y
1 2
(2C1
C2
2C2
x)
ex
(1) 不能由①式求 y, 因为那将引入新的任意常数, 而它们与C1 , C2 是不独立的(它们受②式制约).
(2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关
系，因此 y 的表达式中，2C1+C2不能用另一任意常数 C3代替，系数1/2也不能去掉.
(3) 若求方程组满足初始条件 y x0 y0 , z x0 z0
例1 解微分方程组
dx dz 2y z.
②
dx
解 由②得
y 1 d z z ,
③
2 dx
代入①, 简得
d2 z 2 d z z 0. d x2 d x
特征方程:
r2 2r 1 0 ,
通解:
z (C1 C2 x) e x .
④
第十节* 常系数线性微分方程组
y 1 dz z ③