您的位置：360文档中心› 《数理统计》试题库-填空题

《数理统计》试题库-填空题

合集下载

概率论与数理统计习题及答案填空题

概率论与数理统计习题及答案填空题

1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________. 2．设()0.4,()0.7P A P AB ==，那么（1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P AB A B A B A B =_______.4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.7．设事件,,A B C 两两独立，且1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，()9/16P A B C =，则()P A =__________.8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________.9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.10．设事件,A B 满足：11(|)(|),()33P B A P B A P A ===，则()P B =__________. 11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________； 13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__________, (3)P X <=__________.16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________.17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________. 18．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭__________.19．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩则A =__________，X 的分布函数()F x =__________.20．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他 现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(1/2)X ≤出现的次数，则(2)P Y ==__________. 21．设随机变量X 服从[,]a a -上均匀分布，其中0a >. （1）若(1)1/3P X >=，则a =__________； （2）若(1/2)0.7P X <=，则a =__________； （3）若(||1)(||1)P X P X <=>，则a =__________.22．设2~(,)X N μσ，且关于y 的方程20y y X ++=有实根的概率为1/2，则μ=__________.23．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 24．设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32,[3,6]()90,.x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩若若其他 若k 使得()2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________.25．设随机变量X 服从(0,2)上均匀分布，则随机变量2Y X =在(0,4)内的密度函数为()Y f y =__________. 26．设X 服从参数为1的指数分布，则min(,2)Y X =的分布函数()Y F y =__________.27．设二维随机变量(,)X Y 在由1/,0,1y x y x ===和2x e =所形成的区域D 上服从均匀分布，则(,)X Y 关于X 的边缘密度在2x =处的值为______.28．设随机变量,X Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则(1/2)P X Y +≤=__________. 29．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),01i X B p p <<，1,2,,i n =，则1~ni i X X ==∑__________.30．设随机变量123,,X X X 相互独立，且有相同的概率分布(1)i P X p ==，(0),1,2,3,1i P X q i p q ===+=，记121120,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数232230,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数则12Z Y Y =的概率分布为__________.31．设X 服从泊松分布. （1）若2(1)1P X e-≥=-，则2EX =__________；（2）若212EX =，则(1)P X ≥=__________.32．设~(,)X B n p ，且2,1EX DX ==，则(1)P X >=__________. 33．设~[,]X U a b ，且2,1/3EX DX ==，则a =______；b =______. 34．设随机变量X 的概率密度为221(),xx f x Ae x -+-=-∞<<+∞，则A =________，EX =_________，DX =_________.35．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2EX =__________.36．设一次试验成功的概率为p ，现进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.37．设X 服从参数为λ的指数分布，且2(1)P X e -≥=，则2EX =_______.38．设随机变量X 的概率密度为,,()0,0,,x a x b f x a b <<⎧=<<⎨⎩其他且22EX =，则a =__________，b =___________. 39．设随机变量,X Y 同分布，其概率密度为22,01/,()0,0,,x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其他若(2)1/E CX Y θ+=，则C =__________.40．一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，均方差为________.41．某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为______.42．有3个箱子，第i 个箱子中有i 个白球，4i -个黑球(1,2,3)i =.今从每个箱子中都任取一球，以X 表示取出的3个球中白球个数，则EX =_________，DX =__________. 43．设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y Pa b若()0.8E XY =，a =_________，b =__________.44．设,X Y 独立，且均服从11,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若2(1)[(1)]D X aY E X aY -+=-+，则a =__________，|1|E X aY -+=__________.45．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=__________. 46．设随机变量~[2,2]X U -，记 1,1,1,2,0,1,k X k Y k X k >-⎧==⎨≤-⎩则12Cov(,)Y Y =__________.47．设,X Y 是两个随机变量，且1,1/4,1/3XY DX DY ρ===，则(3)D X Y -=__________. 48．设1,2,1,4,0.6XY EX EY DX DY ρ=====，则2(21)E X Y -+=__________.49．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，则由切比雪夫不等式知 (||2)P X μσ-≥≤__________. 50．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i =，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}ii E XX =-=∑__________.51．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2()0.1E X μ-≤. 52．设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.53．设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.54．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.55．设总体2126~(0,),,,,X N X X X σ为来自X 的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ 56．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.57．设129,,,X X X 是正态总体X 的样本，记1126278911(),()63Y X X X Y X X X =+++=++，92221271(),)/,2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑则~Z __________.58．设总体12~[,](0),,,,n X U x x x θθθ->为样本，则θ的一个矩估计为__________.59．设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为_________.60．设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是__________.《概率论与数理统计》习题及答案填空题1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________.解：()()1()P AB P A B P A B ==-1()()()P A P B P AB =--+10.8()0.3P AB =-+=()0.1P AB = ()()1()10.10.9P AB P AB P AB ==-=-=2．设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么（1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 解：（1）()()()()()P AB P A P B P AB P B =+-⇒()()()0.70.40.3P A B P A P AB =-+=-=（由已知AB φ=）（2）()()()()P B P A B P A P AB =-+0.70.4()()P A P B =-+0.30.4()P B =+10.6()0.3()2P B P B =⇒= 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P AB A B A B A B =_______.解：{()}()()()}{()()()()}P A B A B A B A B P AA AB AB B A B AB ={()()()}P AB B A B AB ={()()}{()()}()0.P ABBB AB P AB AB P φ====4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.解：设A =取4个数能排成一个四位偶数，则4541041()1()142C P A P A C =-=-=5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.解：设A =能拼成三角形，则3533()10P A C == 6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.解1：由抓阄的模型知乙取到黄球的概率为25. 解2：设A =乙取到黄球，则1111201930201150492()5C C C C P A C C +== 或 201930202()504950495P A =⋅+⋅=.7．设事件,,A B C 两两独立，且1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，()9/16P A B C =，则()P A =__________.解：9()()()()()()()()16P A B C P A P B P C P AB AC P BC P ABC ==++---+ 23()3[()]P A P A =-216[()]16()30P A P A -+=. 3()4P A =或 1()4P A =，由 1()2P A < 1()4P A ∴=. 8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________. 解：设A =两数之和小于6/5，两数分别为,x y ，由几何概率如图 A 发生⇔01x <<01y << 65x y +<2111(1)52()1S P A S --⋅==阴正1725= 9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.解：i A =取到i 等品，3122A A A A =+⊃23223312()()0.31(|)()()()0.60.33P A A P A P A A P A P A P A ====++10．设事件,A B 满足：11(|)(|),()33P B A P B A P A ===，则()P B =__________.解：()()()(|)()()()P AB P AB P A B P B A P A P A P A ===1()()()1()P A P B P AB P A --+=- 111()1391313P B --+==- （因为111()()(/)339P AB P A P B A ==⋅=）5()9P B ∴=.11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.解：设i A =第i 次取到正品，1,2,3i =则363()105P A ==或 3123123123123()()()()()P A P A A A P A A A P A A A P A A A =+++654465436645310981098109810985=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 1234361()0.1109810P A A A =⋅⋅==12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为__________. 解：设i A =取到第i 箱 1,2,3i =，B =取出的是一个白球 31113553()()(|)()3568120iiP B P A P B A ==++=∑22213()(|)2036(|)53()53120P A P B A P A B P B ⋅===13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.解：由 ()()P AB P AB =知()()P A B P B A -=-即 ()()()()P A P AB P B P AB -=- 故 ()()P A P B =，从而()()P A P B =，由题意：21()()()[()]9P AB P A P B P A ===，所以1()3P A =故 2()3P A =.（由,A B 独立A ⇒与B ，A 与B ，A 与B 均独立）14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 解：设 B A =至少发生一次 ()1(1),nP B p =-- C A =至多发生一次 1()(1)(1)nn P C p np p -=-+-15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__________, (3)P X <=__________.解：31111()()123452345k A A A A P X K A ===+++=+++=∑ 6077A ∴= 16065(3)1(3)157777P X P X <=-==-⨯=16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________. 解：~(2,)X B p 22()(1)0,1,2kkkP X k C p p k -==-= ~(3,)Y B p 33()(1)0,1,2,3.k k kP Y k C p p k -==-=002225(1)1(0)1(1)1(1)9P X P X C p p p ≥=-==--=--= 24(1)9p -=213p -= 13p = 33219(1)1(0)1(1)1()327P Y P Y p ∴≥=-==--=-=. 17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________.解：122(1)2(0)1!2!2P X eeλλλλλλλλ--===⇒=⇒=>2(1)1(0)110!P X P X e e λλ--≥=-==-=-22(03)(1)2P X P X e -<<=== 18．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭__________.解：()F x 为连续函数，22lim ()lim ()()2x x F x F x F πππ→+→-==1sin 12A A π=⇒=.1(||)()()()sin 6666662P X P X F F ππππππ<=-<<=--==. 19．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩则A =__________，X 的分布函数()F x =__________.解：222220001()()22xx x f x dx Ax e dx A x e xe dx +∞+∞+∞+∞----∞⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2220001()12244xx x A A A A xde e dx e +∞+∞+∞---=-==-==⎰⎰4A =.222222000()441(221),0()0,0x x x x u x f x dx x e dx u e du x x e x F x x ---⎧===-++>⎪=⎨⎪≤⎩⎰⎰⎰20．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(1/2)X ≤出现的次数，则(2)P Y ==__________.解：~(3,)Y B p ，其中112220011()224p P X xdx x =≤===⎰ 223139(2)(1)316464P Y C p p ==-=⋅⋅=21．设随机变量X 服从[,]a a -上均匀分布，其中0a >.（1）若(1)1/3P X >=，则a =__________； （2）若(1/2)0.7P X <=，则a =__________； （3）若(||1)(||1)P X P X <=>，则a =__________.解：1,[,]()20,x a a f x a ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它（1）1111111(1)(1) 3.322223a P X dx a a a a a >===-=-=⇒=⎰（2）121111115()0.7()0.72222424a P X dx a a a a a -<===+=+=⇒=⎰ （3）(||1)(||1)1(||1)1(||1)P X P X P X P X <=>=-≤=-<111111(||1)2 2.222P X dx a a a a -∴<===⋅=⇒=⎰22．设2~(,)X N μσ，且关于y 的方程20y y X ++=有实根的概率为1/2，则μ=__________.解：20y y X ++=有实根11404X X ⇔∆=-≥⇔≤1111114()()()(0)42424P X F μμσ-≤=⇒=Φ=Φ=⇒=.23．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 解：Y =仪器正常工作时间，则()00x e x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩15(1000)(10001000)P Y P X X ≥=≥≥15(1000)(1000)P X P X =≥≥5[(1000)]P X =≥1100010001(1000)1000xP X e dx e -+∞-≥==⎰ 5(1000)P Y e -∴≥=24．设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32,[3,6]()90,.x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩若若其他 若k 使得()2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________.解：16312()()39kk P X K f x dx dx dx +∞≥==+⎰⎰⎰12(63)323933k k ---=+== 1k ∴=k ∴的取值范围为[1,3].25．设随机变量X 服从(0,2)上均匀分布，则随机变量2Y X=在(0,4)内的密度函数为()Y f y =__________.解：1(0,2)()2x f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它2(||0()()()00Y P X y F y P Y y P X y y ⎧≤>⎪=≤=≤=⎨≤⎪⎩((000X X P X F F y y ⎧≤≤=->⎪=⎨≤⎪⎩112211(0422()()00X XY Y f y f y y f y F y y --⎧⋅+⋅=<<⎪'==⎨⎪≤⎩当 2Y X =在（0，4）内时()Y f y = 26．设X 服从参数为1的指数分布，则min(,2)Y X =的分布函数()Y F y =__________. 解1：()()(min(,2))1(min(,2))Y F y P Y y P X y P X y =≤=≤=-> 1(,2)P X y y =->>1()()()00()1021012X yX P X y P X y F y y F y ey y -⎧->=≤==≤⎪==-<<⎨⎪-=≥⎩解2：设X 的分布函数为()X F x ，2的分布函数为2()F z ，则1,0,()0,0;x X e x F x x -⎧->=⎨≤⎩ 20,2,()1,2;z F z z <⎧=⎨≥⎩2()1[1()][1()]Y X F y F y F y =---0,0,1,02,1, 2.yy e y y -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩27．设二维随机变量(,)X Y 在由1/,0,1y x y x ===和2x e =,)Y 关于X 的边缘密度在2x =处的值为______. 解：22111(0)ln 2e eS dx x x=-==⎰阴1(,)(,)20x y D f x y ⎧∈⎪∴=⎨⎪⎩其他()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰120111,220x dy x e x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其它. 或 12011(2)24x f dy ==⎰28．设随机变量,X Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则(1/2)P X Y +≤=__________.解：1[0,1]()0X x f x ∈⎧=⎨⎩其它 1[0,1]()0Y y f y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它10,1(,)()()0X Y x y f x y f x f y ≤≤⎧=⋅=⎨⎩其它11111()(,)22228S P X Y f x y dxdy S +≤===⋅⋅=⎰⎰阴阴29．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),01i X B p p <<，1,2,,i n =，则1~ni i X X ==∑__________.解：~(1,)i X B p 1~(,)ni i X X B n p =∴=∑30．设随机变量123,,X X X 相互独立，且有相同的概率分布(1)i P X p ==，(0),1,2,3,1i P X q i p q ===+=，记121120,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数232230,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数则12Z Y Y =的概率分布为__________. 解：011Z Ppqpq- 121223(1)(1,1)(1,1)P Z P Y Y P X X X X =====+=+= 123123(1,0,1)(0,1,0)P X X X P X X X ====+=== 12322()X X X p q pq pq p q pq ======+=+=独立(0)1(1)1P Z p Z qp ==-==-31．设X 服从泊松分布. （1）若2(1)1P X e -≥=-，则2EX =__________；（2）若212EX =，则(1)P X ≥=__________.解：()0,1,2,!kP X K e k k λλ-===0λ>（1）2(1)1(0)1110!P X P X e e e λλλ---≥=-==-=-=-2.λ∴=2222()DX EX EX EX λλ==-=- 22246EX λλ∴=+=+= （2）22212120(4)(3)0,3EX λλλλλλλ==++-=+-==3(1)11P X e e λ--≥=-=-32．设~(,)X B n p ，且2,1EX DX ==，则(1)P X >=__________.解：~(,)2X B n p EX np ==111422DX npq q p n ==⇒=== 0041344111111(1)1(0)(1)1()()()()222216P X P X P X C C >=-=-==--=33．设~[,]X U a b ，且2,1/3EX DX ==，则a =______；b =______.解：~[,]242a bX U a b EX a b +==⇒+=221()()42312b a DX a b b a -==⇒-=⇒-= 13a b ∴==34．设随机变量X 的概率密度为221(),xx f x Ae x -+-=-∞<<+∞，则A =________，EX =_________，DX =_________.解：222(1)1(1)1x dx x Ae dx A --+∞---∞-∞==⎰⎰22(1)1x dx dx A --+∞-∞=⇒=1EX =，12DX =. 35．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2EX =__________.解：~(10,0.4)100.4440.6 2.4X B EX np DX npq ==⨯===⨯=22() 2.41618.4EX DX EX =+=+=36．设一次试验成功的概率为p ，现进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.解：21100(1)100100(100)()252DX npq p p p p p ==-=-+=--+12p =5. 37．设X 服从参数为λ的指数分布，且2(1)P X e -≥=，则2EX =_______.解：10()00x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩ 2(1)1(1)1(1)P X P X F e -≥=-<=-=21(1)2e e λλ----=⇒=.21111,24EX DX λλ====，22111()442EX DX EX ∴=+=+=38．设随机变量X 的概率密度为,,()0,0,,x a x b f x a b <<⎧=<<⎨⎩其他且22EX =，则a =__________，b =___________.解：2222211()()222ba x f x dx xdxb a b a +∞-∞====-⇒-=⎰⎰ ① 422344222211()()()()444b b a a x EX x f x dx x dx b a b a b a ====-=-+⎰⎰ 22221()242a b a b =+=⇒+= ②解（1）（2）联立方程有：1,a b == 39．设随机变量,X Y 同分布，其概率密度为22,01/,()0,0,,x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其他若(2)1/E CX Y θ+=，则C =__________.解：11322222233xEX x dx EY θθθθθ====⎰ 21(2)2(2)3E CX Y CEX EY C θθ+=+=+=21(2)132C C +=⇒=-40．一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，均方差为________.解：设X 表示所取产品的次品数，则~(5,0.1)X B . 50.10.5,0.45EX np DX npq ==⨯===10== 41．某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为______.解：设i X 表示第i 个人模到白球的个数，X 表示10个人总共摸到白球数，则101ii X X==∑12361101010iX P61812101010i EX =⨯+⨯= 81010810i EX EX ==⨯= 42．有3个箱子，第i 个箱子中有i 个白球，4i -个黑球(1,2,3)i =.今从每个箱子中都任取一球，以X 表示取出的3个球中白球个数，则EX =_________，DX =__________.解：012362626664646464XP3216(0)44464P X ==⋅⋅= 12132132326(1)44444444464P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=12112332326(2)44444444464P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=1236(3)44464P X ==⋅⋅= 326183642EX ⨯+==25269623648EX ⨯+⨯== 2223185()888DX EX EX =-=-=.43．设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y P a b若()0.8E XY =，a =_________，b =__________.解：0.220.80.3EXY b b =+=⇒= 10.40.20.40.1a b a +=--=⇒= 44．设,X Y 独立，且均服从11,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若2(1)[(1)]D X aY E X aY -+=-+，则a =__________，|1|E X aY -+=__________.解：2(1)[(1)](1)0D X aY E X aY E X aY -+=-+⇒-+=.10EX aEY -+=，1102a a -+=⇒=.令 21,0,1Z X aY EZ DZ DX a DY =-+==+=. ~(0,1)Z N ∴2220|||z zE Z z dx ze dz --+∞+∞-∞∴====⎰⎰ 45．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=__________.解：22[(1)(2)](32)321E X X E X X EX EX --=-+=-+=2222~(),()X P EX DX DX EX EX EX λλλλ∴===-⇒=+223212101λλλλλλ∴+-+=⇒-+=⇒=.46．设随机变量~[2,2]X U -，记1,1,1,2,0,1,k X k Y k X k >-⎧==⎨≤-⎩则12Cov(,)Y Y =__________.解：1[2,2]()4X x f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它212111(1,1)(0,1)(1)44P Y Y P X X P X dx ===>>=>==⎰ 112011(1,0)(0,1)(01)44P Y Y P X X P X dx ===>≤=<≤==⎰0122111(0,0)(0,1)(0)2442P Y Y P X X P X dx -===≤≤=≤==⨯=⎰1(0,0P Y ==.111101222EY =⨯+⨯=231101444EY =⨯+⨯=12111144EY Y =⨯⨯=121212cov()Y Y EY Y EY EY ∴=-1111.4248=-⋅= 47．设,X Y 是两个随机变量，且1,1/4,1/3XY DX DY ρ===，则(3)D X Y -=__________.解：(3)(3)2cov(,3)96cov(,)D X Y DX D Y X Y DX DY X Y -=+-=+-991191616144324XY ρ=+-⋅=+-⨯⨯⨯=. 48．设1,2,1,4,0.6XY EX EY DX DY ρ=====，则2(21)E X Y -+=__________.解：(21)211E X Y EX EY -+=-+=，0.6XY ρ== cov(,)0.612 1.2X Y ∴=⨯⨯= cov(,)0C Y =，C 常数 (21)(21)2cov[(21),]D X Y D X DY X Y -+=++-+44cov(,)444 1.2 3.2DX DY X Y =+-=+-⨯= 222(21)(21)[(21)] 3.21 4.2E X Y D X Y E X Y -+=-++-+=+=. 49．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，则由切比雪夫不等式知 (||2)P X μσ-≥≤__________.解：2221(||2)44DXP X σμσεσ-≥≤==. 50．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i =，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}ii E XX =-=∑__________.解1：()0i i E X X EX EX -=-= 11001()[()]100i i D X X D X X X -=-++111100199[()()]100100i i i D X X X X X -+=-+++++22199()9910()10100100=-⨯⨯+⨯ 22299()[()]()10i i i E X X E X X E X X ==---=-100100221199{()}()10099010i i i E X X E X X =∴-=-=⨯=∑∑ 解2：设1100,,X X 为总体X 的样本，则1002211()99i i S X X ==-∑为样本方差，于是210ES DX ==，即10021()1099990.i i E X X =-=⨯=∑51．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2()0.1E X μ-≤.52．设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.解：11,(1)ni i i i X X EX p DX pq p p n =====-∑2111(1)i i EX nEX pDX nDX p p n n n=⋅==⋅=- 22222111()[]11n i i i ES E X nX nEX nEX n n ==-=⋅---∑ 2211[((1))((1))]1n p p p n p p p n n =-+--+- 21[(1)](1).1np p n p p p n =---=--53．设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.解：~()i i X P EX DX EX DX nλλλλ====54．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.解：2()~[,]212a b b a X U a b EX DX +-==2a bEX += 2()12b a DX n -=55．设总体2126~(0,),,,,X N X X X σ为来自X的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ解：123456()()0E X X X E X X X ++=++=2123456()()33i D X X X D X X X DX σ++=++==12312321)]()13D X X X D X X X σ++=++=123)~(0,1)X X X N ∴++，456)~(0,1)X X X N ++且独立 213C σ∴=56．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.解：0.05()((15))0.95X P X aS P P t t μ>+=≥=≥-= 查t 分布表0.054(15) 1.750.4383.a t a =-=-⇒=-57．设129,,,X X X 是正态总体X 的样本，记1126278911(),()63Y X X X Y X X X =+++=++，92221271(),)/,2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑则~Z __________.解：设总体2~(,)X N μσ则2212~(,)~(,)63Y N Y N σσμμ且 12Y Y~(0,1)N ，而2222~(2)S χσ.故12)~(2)Y Y Z t S -==.58．设总体12~[,](0),,,,n X U x x x θθθ->为样本，则θ的一个矩估计为__________.解：221(2)10,,021232EX DX EX x dx θθθθθθμθ--=======⎰222222()33EX DX EX DX θμθμθ==+==⇒=⇒= 其中 2211n i i a X n ==∑59．设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为_________.解：X不是正态总体，应用中心极限定理10~(0,1)0.051niX nEXX EXU Nα--==⨯=∑/20.025()10.05/20.975 1.96αμμΦ=-=⇒=使0.025(||)(|10| 1.96)0.951X EXP u Pμ-<=⨯<=EX的置信区间为11( 1.96, 1.96)(4.804,5,196)1010X X-⨯+⨯=60．设由来自总体2(,0.9)Nμ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x=，则μ的置信度为0.95的置信区间是__________.解：/20.0255,0.9,9,10.950.05, 1.96n uαχσαμ====-===故置信限为：/20.95 1.965 1.960.350.5883αχμ±=±=±⨯=±∴置信区间为(4.412, 5.588)。

《概率论与数理统计》习题及答案--填空题

《概率论与数理统计》习题及答案--填空题

1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________. 2．设()0.4,()0.7P A P AB ==，那么（1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P AB A B A B A B =_______.4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.7．设事件,,A B C 两两独立，且1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，()9/16P A B C =，则()P A =__________.8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________.9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.10．设事件,A B 满足：11(|)(|),()33P B A P B A P A ===，则()P B =__________. 11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________； 13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__________, (3)P X <=__________.16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________.17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________. 18．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭__________.19．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 则A =__________，X 的分布函数()F x =__________.20．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他 现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(1/2)X ≤出现的次数，则(2)P Y ==__________. 21．设随机变量X 服从[,]a a -上均匀分布，其中0a >. （1）若(1)1/3P X >=，则a =__________； （2）若(1/2)0.7P X <=，则a =__________； （3）若(||1)(||1)P X P X <=>，则a =__________.22．设2~(,)X N μσ，且关于y 的方程20y y X ++=有实根的概率为1/2，则μ=__________.23．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 24．设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32,[3,6]()90,.x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩若若其他 若k 使得()2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________.25．设随机变量X 服从(0,2)上均匀分布，则随机变量2Y X =在(0,4)内的密度函数为()Y f y =__________.26．设X 服从参数为1的指数分布，则min(,2)Y X =的分布函数()Y F y =__________.27．设二维随机变量(,)X Y 在由1/,0,1y x y x ===和2x e =所形成的区域D 上服从均匀分布，则(,)X Y 关于X 的边缘密度在2x =处的值为______.28．设随机变量,X Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则(1/2)P X Y +≤=__________. 29．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),01i X B p p <<，1,2,,i n =，则1~ni i X X ==∑__________.30．设随机变量123,,X X X 相互独立，且有相同的概率分布(1)i P X p ==，(0),1,2,3,1i P X q i p q ===+=，记121120,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数232230,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数则12Z Y Y =的概率分布为__________.31．设X 服从泊松分布. （1）若2(1)1P X e-≥=-，则2EX =__________；（2）若212EX =，则(1)P X ≥=__________.32．设~(,)X B n p ，且2,1EX DX ==，则(1)P X >=__________. 33．设~[,]X U a b ，且2,1/3EX DX ==，则a =______；b =______. 34．设随机变量X 的概率密度为221(),xx f x Ae x -+-=-∞<<+∞，则A =________，EX =_________，DX =_________.35．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2EX =__________.36．设一次试验成功的概率为p ，现进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.37．设X 服从参数为λ的指数分布，且2(1)P X e -≥=，则2EX =_______. 38．设随机变量X 的概率密度为 ,,()0,0,,x a x b f x a b <<⎧=<<⎨⎩其他且22EX =，则a =__________，b =___________. 39．设随机变量,X Y 同分布，其概率密度为22,01/,()0,0,,x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其他若(2)1/E CX Y θ+=，则C =__________.40．一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，均方差为________.41．某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为______.42．有3个箱子，第i 个箱子中有i 个白球，4i -个黑球(1,2,3)i =.今从每个箱子中都任取一球，以X 表示取出的3个球中白球个数，则EX =_________，DX =__________. 43．设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y P a b若()0.8E XY =，a =_________，b =__________. 44．设,X Y 独立，且均服从11,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若2(1)[(1)]D X aY E X aY -+=-+，则a =__________，|1|E X aY -+=__________.45．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=__________. 46．设随机变量~[2,2]X U -，记 1,1,1,2,0,1,k X k Y k X k >-⎧==⎨≤-⎩则12Cov(,)Y Y =__________.47．设,X Y 是两个随机变量，且1,1/4,1/3XY DX DY ρ===，则(3)D X Y -=__________.48．设1,2,1,4,0.6XY EX EY DX DY ρ=====，则2(21)E X Y -+=__________.49．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，则由切比雪夫不等式知 (||2)P X μσ-≥≤__________. 50．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i =，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}ii E XX =-=∑__________.51．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2()0.1E X μ-≤.52．设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.53．设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.54．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.55．设总体2126~(0,),,,,X N X X X σ为来自X 的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ 56．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.57．设129,,,X X X 是正态总体X 的样本，记1126278911(),()63Y X X X Y X X X =+++=++，92221271(),)/,2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑则~Z __________.58．设总体12~[,](0),,,,n X U x x x θθθ->为样本，则θ的一个矩估计为__________.59．设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为_________.60．设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是__________.《概率论与数理统计》习题及答案填空题1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________.解：()()1()P AB P A B P A B ==-1()()()P A P B P AB =--+10.8()0.3P AB =-+=()0.1P AB = ()()1()10.10.9P AB P AB P AB ==-=-=2．设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么（1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 解：（1）()()()()()P AB P A P B P AB P B =+-⇒()()()0.70.40.3P A B P A P AB =-+=-=（由已知AB φ=）（2）()()()()P B P A B P A P AB =-+0.70.4()()P A P B =-+0.30.4()P B =+10.6()0.3()2P B P B =⇒= 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P AB A B A B A B =_______.解：{()}()()()}{()()()()}P A B A B A B A B P AA AB AB B A B AB ={()()()}P AB B A B AB ={()()}{()()}()0.P ABBB AB P AB AB P φ====4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.解：设A =取4个数能排成一个四位偶数，则4541041()1()142C P A P A C =-=-=5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.解：设A =能拼成三角形，则3533()10P A C == 6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.解1：由抓阄的模型知乙取到黄球的概率为25. 解2：设A =乙取到黄球，则1111201930201150492()5C C C C P A C C +== 或 201930202()504950495P A =⋅+⋅=. 7．设事件,,A B C 两两独立，且1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，()9/16P A B C =，则()P A =__________.解：9()()()()()()()()16P A B C P A P B P C P AB AC P BC P ABC ==++---+ 23()3[()]P A P A =-216[()]16()30P A P A -+=. 3()4P A =或 1()4P A =，由 1()2P A < 1()4P A ∴=. 8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________. 解：设A =两数之和小于6/5，两数分别为,x y ，由几何概率如图 A 发生⇔01x <<01y << 65x y +<2111(1)52()1S P A S --⋅==阴正1725= 9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.解：i A =取到i 等品，3122A A A A =+⊃23223312()()0.31(|)()()()0.60.33P A A P A P A A P A P A P A ====++10．设事件,A B 满足：11(|)(|),()33P B A P B A P A ===，则()P B =__________.解：()()()(|)()()()P AB P AB P A B P B A P A P A P A ===1()()()1()P A P B P AB P A --+=- 111()1391313P B --+==- （因为111()()(/)339P AB P A P B A ==⋅=）5()9P B ∴=.11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.解：设i A =第i 次取到正品，1,2,3i =则363()105P A ==或 3123123123123()()()()()P A P A A A P A A A P A A A P A A A =+++654465436645310981098109810985=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 1234361()0.1109810P A A A =⋅⋅== 12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为__________. 解：设i A =取到第i 箱 1,2,3i =，B =取出的是一个白球31113553()()(|)()3568120i iP B P A P B A ==++=∑ 22213()(|)2036(|)53()53120P A P B A P A B P B ⋅===13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.解：由 ()()P AB P AB =知()()P A B P B A -=-即 ()()()()P A P AB P B P AB -=- 故 ()()P A P B =，从而()()P A P B =，由题意：21()()()[()]9P AB P A P B P A ===，所以1()3P A = 故 2()3P A =.（由,A B 独立A ⇒与B ，A 与B ，A 与B 均独立）14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 解：设 B A =至少发生一次 ()1(1),nP B p =-- C A =至多发生一次 1()(1)(1)nn P C p np p -=-+-15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__________, (3)P X <=__________.解：31111()()123452345k A A A A P X K A ===+++=+++=∑ 6077A ∴= 16065(3)1(3)157777P X P X <=-==-⨯=16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________. 解：~(2,)X B p 22()(1)0,1,2kkkP X k C p p k -==-= ~(3,)Y B p 33()(1)0,1,2,3.k k kP Y k C p p k -==-=002225(1)1(0)1(1)1(1)9P X P X C p p p ≥=-==--=--= 24(1)9p -=213p -= 13p = 33219(1)1(0)1(1)1()327P Y P Y p ∴≥=-==--=-=. 17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________.解：122(1)2(0)1!2!2P X e e λλλλλλλλ--===⇒=⇒=>2(1)1(0)110!P X P X e e λλ--≥=-==-=-22(03)(1)2P X P X e -<<=== 18．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭__________.解：()F x 为连续函数，22lim ()lim ()()2x x F x F x F πππ→+→-==1sin 12A A π=⇒=.1(||)()()()sin 6666662P X P X F F ππππππ<=-<<=--==. 19．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩则A =__________，X 的分布函数()F x =__________.解：222220001()()22x x xf x dx Ax e dx A x e xe dx +∞+∞+∞+∞----∞⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 2220001()12244x x x A A AA xde e dx e +∞+∞+∞---=-==-==⎰⎰4A =.222222000()441(221),0()0,0x x x x u x f x dx x e dx u e du x x e x F x x ---⎧===-++>⎪=⎨⎪≤⎩⎰⎰⎰20．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(1/2)X ≤出现的次数，则(2)P Y ==__________.解：~(3,)Y B p ，其中112220011()224p P X xdx x =≤===⎰ 223139(2)(1)316464P Y C p p ==-=⋅⋅=21．设随机变量X 服从[,]a a -上均匀分布，其中0a >.（1）若(1)1/3P X >=，则a =__________； （2）若(1/2)0.7P X <=，则a =__________； （3）若(||1)(||1)P X P X <=>，则a =__________.解：1,[,]()20,x a a f x a ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它（1）1111111(1)(1) 3.322223a P X dx a a a a a >===-=-=⇒=⎰（2）121111115()0.7()0.72222424a P X dx a a a a a -<===+=+=⇒=⎰ （3）(||1)(||1)1(||1)1(||1)P X P X P X P X <=>=-≤=-<111111(||1)2 2.222P X dx a a a a-∴<===⋅=⇒=⎰22．设2~(,)X N μσ，且关于y 的方程20y y X ++=有实根的概率为1/2，则μ=__________.解：20y y X ++=有实根11404X X ⇔∆=-≥⇔≤1111114()()()(0)42424P X F μμσ-≤=⇒=Φ=Φ=⇒=.23．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 解：Y =仪器正常工作时间，则()00x e x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩15(1000)(10001000)P Y P X X ≥=≥≥15(1000)(1000)P X P X =≥≥5[(1000)]P X =≥1100010001(1000)1000xP X e dx e -+∞-≥==⎰ 5(1000)P Y e -∴≥=24．设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32,[3,6]()90,.x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩若若其他 若k 使得()2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________.解：16312()()39kk P X K f x dx dx dx +∞≥==+⎰⎰⎰12(63)323933k k ---=+== 1k ∴=k ∴的取值范围为[1,3].25．设随机变量X 服从(0,2)上均匀分布，则随机变量2Y X =在(0,4)内的密度函数为()Y f y =__________.解：1(0,2)()2x f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它2(||0()()()00Y P X y F y P Y y P X y y ⎧≤>⎪=≤=≤=⎨≤⎪⎩((000X X P X F F y y ⎧≤≤=->⎪=⎨≤⎪⎩112211(0422()()00X X Y Y f y f y y f y F y y --⎧⋅+⋅=<<⎪'==⎨⎪≤⎩当 2Y X =在（0，4）内时()Y f y = 26．设X 服从参数为1的指数分布，则min(,2)Y X =的分布函数()Y F y =__________. 解1：()()(min(,2))1(min(,2))Y F y P Y y P X y P X y =≤=≤=-> 1(,2)P X y y =->>1()()()00()1021012X yX P X y P X y F y y F y ey y -⎧->=≤==≤⎪==-<<⎨⎪-=≥⎩解2：设X 的分布函数为()X F x ，2的分布函数为2()F z ，则1,0,()0,0;x X e x F x x -⎧->=⎨≤⎩ 20,2,()1,2;z F z z <⎧=⎨≥⎩2()1[1()][1()]Y X F y F y F y =---0,0,1,02,1, 2.yy e y y -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩27．设二维随机变量(,)X Y 在由1/,0,1y x y x ===和2x e =,)Y 关于X 的边缘密度在2x =处的值为______. 解：22111(0)ln 2e eS dx x x=-==⎰阴1(,)(,)20x y D f x y ⎧∈⎪∴=⎨⎪⎩其他()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰120111,220x dy x e x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其它. 或 12011(2)24x f dy ==⎰28．设随机变量,X Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则(1/2)P X Y +≤=__________.解：1[0,1]()0X x f x ∈⎧=⎨⎩其它 1[0,1]()0Y y f y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它10,1(,)()()0X Y x y f x y f x f y ≤≤⎧=⋅=⎨⎩其它11111()(,)22228S P X Y f x y dxdy S +≤===⋅⋅=⎰⎰阴阴29．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),01i X B p p <<，1,2,,i n =，则1~ni i X X ==∑__________.解：~(1,)i X B p 1~(,)ni i X X B n p =∴=∑30．设随机变量123,,X X X 相互独立，且有相同的概率分布(1)i P X p ==，(0),1,2,3,1i P X q i p q ===+=，记121120,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数232230,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数则12Z Y Y =的概率分布为__________.解： 011Z P pq pq-121223(1)(1,1)(1,1)P Z P Y Y P X X X X =====+=+= 123123(1,0,1)(0,1,0)P X X X P X X X ====+=== 12322()X X X p q pq pq p q pq ======+=+=独立(0)1(1)1P Z p Z qp ==-==-31．设X 服从泊松分布. （1）若2(1)1P X e -≥=-，则2EX =__________；（2）若212EX =，则(1)P X ≥=__________.解：()0,1,2,!kP X K e k k λλ-===0λ>（1）2(1)1(0)1110!P X P X e e e λλλ---≥=-==-=-=-2.λ∴=2222()DX EX EX EX λλ==-=- 22246EX λλ∴=+=+= （2）22212120(4)(3)0,3EX λλλλλλλ==++-=+-==3(1)11P X e e λ--≥=-=-32．设~(,)X B n p ，且2,1EX DX ==，则(1)P X >=__________.解：~(,)2X B n p EX np ==111422DX npq q p n ==⇒=== 0041344111111(1)1(0)(1)1()()()()222216P X P X P X C C >=-=-==--=33．设~[,]X U a b ，且2,1/3EX DX ==，则a =______；b =______.解：~[,]242a bX U a b EX a b +==⇒+=221()()42312b a DX a b b a -==⇒-=⇒-= 13a b ∴==34．设随机变量X 的概率密度为221(),xx f x Ae x -+-=-∞<<+∞，则A =________，EX =_________，DX =_________.解：222(1)1(1)1x dx x Ae dx A --+∞---∞-∞==⎰⎰22(1)1x dx dx A --+∞-∞=⇒=1EX =，12DX =. 35．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2EX =__________.解：~(10,0.4)100.4440.6 2.4X B EX np DX npq ==⨯===⨯=22() 2.41618.4EX DX EX =+=+=36．设一次试验成功的概率为p ，现进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.解：21100(1)100100(100)()252DX npq p p p p p ==-=-+=--+12p =5. 37．设X 服从参数为λ的指数分布，且2(1)P X e -≥=，则2EX =_______.解：10()00x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩ 2(1)1(1)1(1)P X P X F e -≥=-<=-=21(1)2e e λλ----=⇒=.21111,24EX DX λλ====，22111()442EX DX EX ∴=+=+=38．设随机变量X 的概率密度为,,()0,0,,x a x b f x a b <<⎧=<<⎨⎩其他且22EX =，则a =__________，b =___________.解：2222211()()222ba x f x dx xdxb a b a +∞-∞====-⇒-=⎰⎰ ① 422344222211()()()()444b b a a x EX x f x dx x dx b a b a b a ====-=-+⎰⎰ 22221()242a b a b =+=⇒+= ②解（1）（2）联立方程有：1,a b == 39．设随机变量,X Y 同分布，其概率密度为22,01/,()0,0,,x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其他若(2)1/E CX Y θ+=，则C =__________.解：11322222233xEX x dx EY θθθθθ====⎰ 21(2)2(2)3E CX Y CEX EY C θθ+=+=+=21(2)132C C +=⇒=-40．一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，均方差为________.解：设X 表示所取产品的次品数，则~(5,0.1)X B . 50.10.5,0.45EX np DX npq ==⨯===== 41．某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为______.解：设i X 表示第i 个人模到白球的个数，X 表示10个人总共摸到白球数，则101ii X X==∑012361101010iXP61812101010iEX=⨯+⨯=81010810iEX EX==⨯=42．有3个箱子，第i个箱子中有i个白球，4i-个黑球(1,2,3)i=.今从每个箱子中都任取一球，以X表示取出的3个球中白球个数，则EX=_________，DX=__________.解：012362626664646464XP3216(0)44464P X==⋅⋅=12132132326(1)44444444464P X==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=12112332326(2)44444444464P X==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=1236(3)44464P X==⋅⋅=326183642EX⨯+==25269623648EX⨯+⨯==2223185()888DX EX EX=-=-=.43．设二维离散型随机变量(,)X Y的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X YP a b若()0.8E XY=，a=_________，b=__________.解：0.220.80.3EXY b b=+=⇒=10.40.20.40.1a b a+=--=⇒=44．设,X Y独立，且均服从11,5N⎛⎫⎪⎝⎭，若2(1)[(1)]D X aYE X aY-+=-+，则a=__________，|1|E X aY-+=__________.解：2(1)[(1)](1)0D X aYE X aY E X aY-+=-+⇒-+=.10EX aEY-+=，1102a a-+=⇒=.令21,0,1Z X aY EZ DZ DX a DY=-+==+=.~(0,1)Z N∴222|||zzE Z z dx ze dz--+∞+∞-∞∴====⎰⎰45．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X--=，则λ=__________.解：22[(1)(2)](32)321E X X E X X EX EX --=-+=-+=2222~(),()X P EX DX DX EX EX EX λλλλ∴===-⇒=+223212101λλλλλλ∴+-+=⇒-+=⇒=. 46．设随机变量~[2,2]X U -，记1,1,1,2,0,1,k X k Y k X k >-⎧==⎨≤-⎩则12Cov(,)Y Y =__________.解：1[2,2]()4X x f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它212111(1,1)(0,1)(1)44P Y Y P X X P X dx ===>>=>==⎰ 112011(1,0)(0,1)(01)44P Y Y P X X P X dx ===>≤=<≤==⎰0122111(0,0)(0,1)(0)2442P Y Y P X X P X dx -===≤≤=≤==⨯=⎰1(0,0P Y ==.111101222EY =⨯+⨯=231101444EY =⨯+⨯=12111144EY Y =⨯⨯=121212cov()Y Y EY Y EY EY ∴=-1111.4248=-⋅= 47．设,X Y 是两个随机变量，且1,1/4,1/3XY DX DY ρ===，则(3)D X Y -=__________.解：(3)(3)2cov(,3)96cov(,)D X Y DX D Y X Y DX DY X Y -=+-=+-991191616144324XY ρ=+-⋅=+-⨯⨯⨯=. 48．设1,2,1,4,0.6XY EX EY DX DY ρ=====，则2(21)E X Y -+=__________.解：(21)211E X Y EX EY -+=-+=，0.6XY ρ== cov(,)0.612 1.2X Y ∴=⨯⨯= cov(,)0C Y =，C 常数 (21)(21)2cov[(21),]D X Y D X DY X Y -+=++-+44cov(,)444 1.2 3.2DX DY X Y =+-=+-⨯=222(21)(21)[(21)] 3.21 4.2E X Y D X Y E X Y -+=-++-+=+=. 49．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，则由切比雪夫不等式知 (||2)P X μσ-≥≤__________. 解：2221(||2)44DXP X σμσεσ-≥≤==. 50．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i =，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}ii E XX =-=∑__________.解1：()0i i E X X EX EX -=-= 11001()[()]100i i D X X D X X X -=-++111100199[()()]100100i i i D X X X X X -+=-+++++22199()9910()10100100=-⨯⨯+⨯ 22299()[()]()10i i i E X X E X X E X X ==---=-100100221199{()}()10099010i i i E X X E X X =∴-=-=⨯=∑∑ 解2：设1100,,X X 为总体X 的样本，则1002211()99i i S X X ==-∑为样本方差，于是210ES DX ==，即10021()1099990.i i E X X =-=⨯=∑51．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2()0.1E X μ-≤.52．设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.解：11,(1)ni i i i X X EX p DX pq p p n =====-∑2111(1)i i EX nEX pDX nDX p p n n n=⋅==⋅=- 22222111()[]11n i i i ES E X nX nEX nEX n n ==-=⋅---∑ 2211[((1))((1))]1n p p p n p p p n n =-+--+- 21[(1)](1).1np p n p p p n =---=--53．设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.解：~()i i X P EX DX EX DX nλλλλ====54．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.解：2()~[,]212a b b a X U a b EX DX +-==2a bEX += 2()12b a DX n -=55．设总体2126~(0,),,,,X N X X X σ为来自X的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ解：123456()()0E X X X E X X X ++=++=2123456()()33i D X X X D X X X DX σ++=++==12312321)]()13D X X X D X X X σ++=++=123)~(0,1)X X X N ∴++，456)~(0,1)X X X N ++且独立 213C σ∴=56．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.解：0.05()((15))0.95X P X aS P P t t μ>+=≥=≥-= 查t 分布表0.054(15) 1.750.4383.a t a =-=-⇒=-57．设129,,,X X X 是正态总体X 的样本，记1126278911(),()63Y X X X Y X X X =+++=++，92221271(),)/,2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑则~Z __________.解：设总体2~(,)X N μσ则2212~(,)~(,)63Y N Y N σσμμ且 12Y Y~(0,1)N ，而2222~(2)S χσ.故12)~(2)Y Y Z t S -==.58．设总体12~[,](0),,,,n X U x x x θθθ->为样本，则θ的一个矩估计为__________.解：221(2)10,,021232EX DX EX x dx θθθθθθμθ--=======⎰222222()33EX DX EX DX θμθμθ==+==⇒=⇒= 其中 2211n i i a X n ==∑59．设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为_________. 解：X 不是正态总体，应用中心极限定理10~(0,1)0.051niXnEXX EXU N α--==⨯=∑/20.025()10.05/20.975 1.96αμμΦ=-=⇒=使0.025(||)(|10| 1.96)0.951X EXP u P μ-<=⨯<= EX 的置信区间为11( 1.96, 1.96)(4.804,5,196)1010X X -⨯+⨯=60．设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是__________.解：/20.0255,0.9,9,10.950.05, 1.96n u αχσαμ====-===故置信限为：/20.95 1.965 1.960.350.5883αχμ±=±=±⨯=± ∴置信区间为(4.412, 5.588)。

概率论与数理统计试题库

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》第一部分一、填空题1. 设A ，B 为两事件，且()0.4P A =，(|)0.6P B A =，则()P AB = 0.162. 设随机变量X 和Y 独立同服从正态分布(0,1)N ，则Z X Y =+2z -3. 设随机变量X 的密度函数为22, 0()0, 0x e x p x x -⎧>=⎨≥⎩，则X 的分布函数()F X = .20, 0()1, 0xx F x e x -≤⎧=⎨->⎩4. 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为1(,),1,2,3,1,2,3,412i i P X x Y y i j =====，则1()P X x ==13 .5. 设,,A B C 是随机事件，1()()(),4P A P B P C ===1()()().8P AB P BC P AC ===则,,A B C 三个事件恰好出现一个的概率为12.6. 甲、乙两人独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲命中的概率是 0.75 .7. 设X 和Y 为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=，则{ma x (,)0}P X Y <57 .8. 设随机变量X 和Y 独立，(2,),(3,)X b p Y b p ，且5(1)9P X ≥=，则(1)P X Y +== 80243 .9. 设12,,,,m n X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，令22121(,)() ()n m m n Y a X X X b X X m n +=+++++< 为使n Y 服从2χ分布，则a = ，b = . 11,a b m n m ==-10. 设由来自正态总体(,0.81)X N μ 的一个容量为9的简单随机样本计算得样本均值为5，则未知参数μ的置信水平为0.95的置信区间为 []4.412,5.588 .11. 设()1,()2,()1,()4,0.6XY E X E Y D X D Y ρ=====，则2(21)E X Y ⎡⎤-+=⎣⎦ 4212. 设,X Y是两个相互独立同服从正态分布2)N 的随机变量，则(||)E X Y -=.13．设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次取1只，作不放回抽样，则取出次品的只数为1的概率 12/35 。

概率论和数理统计期末考试题库

概率论和数理统计期末考试题库

数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。

2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。

3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。

4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。

5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。

6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。

7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。

8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。

10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。

2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。

3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。

4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。

概率论和数理统计试题及答案

概率论和数理统计试题及答案

概率论和数理统计试题及答案一、填空题：1 11、 设 A 与 B 相互独立,P(A) = , P(B)=,贝U P (B-A)=.3 2 ----------------11 1解: P(B _A)二 P(B)[1 _P(A)](1 ): 23 32、 设 X~U[1,3](均匀分布)，则 E(X 2)=, D(2X)二 ______________.E(5X _2) = ___________________ ,解: E(X)二 2;D(X) =1/ 3E(X 2) = D(X) E(X)2 =13/3 D( 2X 4D (X =)4 / 3E(5X - 2)= 5E X ) 2 102Y~ P(3),Z ~ N(3,2 )，且 X , Y,Z 相互独立，则3、设随机变量X 服从指数分布，即X ~ E(2),定义随机变量2,X 3 Y £,X =3-1,X ：3解：F Y (Y)=P(Jy)二 P(丫 乞 一1) = P(X :: 3)2e'x dx = -e^x 0F Y (Y)二 P(Y D二 P(—1 ：： 丫 乞1) = P(X 空 3)3=2e "dx =-e'xF Y (Y)二 P(丫 乞 y)二 P(1 ：： Y ^2) = P(X 3)则Y 的分布列为二 1 —e ■6 -2C其中二是与y 无关的量2e"dx _ -e^x4、设 X ~ B(200,0.1)E(2X -3Y -Z 5) = , D(2X -3Y -Z 5)二 ____________________2XE(D(2X -3Y -Z 5) =4D(X) 9D(Y) D(Z) =72 27 4 =10325、设总体X ~ N（j 匚）,X i, X2, X3 为来自X 的样本，二0.5/ • 0.1X2 - ax 3 是未知参数丄的无偏估计，则a =。

解：因为是无偏估计所以E（?）=E（0.X+ 0.x1— ax =） 0E5x 什）E.2X-（ aJEj x （）= （0.5 0.-1 E）X（=）（ 0.5- 01"口二）（0.5 0•中=）1a ~ -0. 46、设X〜N（叫，打），Y~N（」2,/）,X与丫相互独立，且X与丫分别为X,Y的样2 2本均值，样本容量分别为n i,n2。

《概率论与数理统计》复习题

《概率论与数理统计》复习题

《概率论与数理统计》复习题一、填空题1. 已知()()P A B P A =，则A B 与的关系是 独立 。

2．已知,A B 互相对立，则A B 与的关系是 互相对立 。

3.B A ,为随机事件，4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，()0.6P A B =，则()P AB = 0.3 。

4. 已知()0.4P A =，()0.4P B =，5.0)(=B A P ，则()P A B ⋃= 0.7 。

5.B A ,为随机事件，3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，()0.5P A B =，则()P B A =__23__。

6．已知()P B A =0.3 ，()P A B -=0.2，则()P A = 2 / 7 。

7．将一枚硬币重复抛掷3次，则正、反面都至少出现一次的概率为 0.75 。

8. 设某教研室共有教师11人，其中男教师7人，现该教研室中要任选3名为优秀教师，则3名优秀教师中至少有1名女教师的概率为___2633____。

9. 设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出后不放回，则第2次抽出的是次品的概率为___61___。

10. 3人独立破译一密码，他们能单独译出的概率为41,31,51，则此密码被译出的概率为___35___。

11．每次试验成功的概率为p ，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3次成功的概率为___5327)1(p p C -___。

12. 已知3次独立重复试验中事件A 至少成功一次的概率为1927，则一次试验中事件A 成功的概率p =___13___。

13．随机变量X 能取1,0,1-，取这些值的概率为35,,248c c c ，则常数c =_815_。

14．随机变量X 分布律为5,4,3,2,1,15)(===k kk X P ，则(35)P X X ><=_0.4_。

15.02,()0.420,10x F x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩是X 的分布函数，则X 分布律为__200.40.6i X p -⎛⎫⎪⎝⎭__。

《概率论与数理统计》习题及答案

《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

数理统计期末测试题

数理统计期末测试题

数理统计一、填空题1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ， 则称),,(21n X X X g 为统计量。

不含任何未知参数2、设母体σσμ),,(~2N X 已知，则在求均值μ的区间估计时，使用的随机变量为nX σμ-3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。

025.01015u ⨯±4、假设检验的统计思想是 。

小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。

0H ：05.0≤p6、某地区的年降雨量),(~2σμN X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2σ的矩估计值为 。

1430.87、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2N 与)1,2(N ， 2*22*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ，已知)4(~),20(~222221χχχχ，则__________,==b a 。

用)1(~)1(222*--n S n χσ，1,5-==b a8、假设随机变量)(~n t X ，则21X 服从分布 。

)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2=≤λX P ，则____=λ 。

用),1(~2n F X 得),1(95.0n F =λ10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X为子样均值，而01.0)(=>λX P ， 则____=λ01.04)1,0(~1z N nX=⇒λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2σμN ，令∑∑==-=161110143i i i iX XY ，则Y 的分布 )170,10(2σμN12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ，X 与2S 分别是子样均值和子样方差，令2*210S X Y =，若已知01.0)(=≥λY P ，则____=λ 。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

数理统计试题库-----填空题（每题3分）第一章1. 设()211~,X N μσ，()222~,Y N μσ相互独立，样本容量分别为12,n n ，则()Var X Y -= 。

2. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，221234(2)(34)X a X X b X X =-+-，则a = ，b = 时，统计量2~(2)X χ。

3．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,3)N 的简单随机样本，221234(2)()X a X X b X X =-+-，则a = ，b = 时，统计量2~(2)X χ。

4. 设总体()2Xk χ，12,,,n X X X 是取自该总体的一个样本，则1ni i X =∑服从2χ分布，且自由度为 。

5.设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，2212()X a X X =+，则a = 时，统计量X 服从2χ分布，其自由度为 。

6.设12345,,,,X X X X X 是来自正态总体(0,1)N 的简单随机样本，X =，则a = 时，统计量X 服从t 分布，其自由度为 。

7．X 服从正态分布，1-=EX ，25EX =，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，则11ni i X X n ==∑服从的分布为 。

8. 设随机变量 X 服从正态分布2(0,3)N , 而 129,,,X X X 是来自X 的样本，则统计量()22212919U X X X =+++服从 。

9. 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N , 而129,,,X X X 和 129,,,Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，则统计量292221921YY Y X X X U ++++++=服从 。

10. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，已知(1,2,3,4)k k EX k α== 则当n 充分大时，随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布，其分布参数为____________11. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，X 服从参数为λ的指数分布，则∑=ni i X 12λ服从____________分布.12. 设在总体2(,)N μσ中抽取一个容量为16的样本，这里2,μσ均为未知， 则2.DS =____________ 13. 设11,,,,,n n n m X X X X ++是分布2(0,)N σ的容量为n m +的样本，统计量1n iX Y =__________。

14. 某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X ，求样本的分布为____________15. 已知~()X t n ，则2X 服从____________分布. 16. 设11,,,,,n n n m X X X X ++是分布2(0,)N σ的容量为n m +的样本，则统计量21221ni i n mi i n m X Y n X =+=+=∑∑的概率分布为____________17.设621,,,X X X 是取自总体)1,0(~N X 的样本，264231)()(∑∑==+=i i i iX XY 则当c＝ 时， cY 服从2χ分布，)(2χE ＝ .18.设在总体2(,)N μσ中抽取一个容量为16的样本，这里2,μσ均为未知，则2.DS 为：第二章19. 设12,,,n X X X 是来自参数为λ的泊松分布总体的样本，要使统计量2(1)kX k S +-是λ的无偏估计量。

则常数k =____ ______。

20. 设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，12,,,n X X X 为取自X 的样本，试求参数N 的矩估计为__________。

21. 设总体X 有期望12,,,,n X X X μ为一样本，则统计量(1)()1()2n X X +是否为μ的无偏估计量_________（回答是、否）。

22. 设总体212~(,),,,,n X N X X X μσ为来自X 的样本，问2211()1ni i S X X n ==--∑是否为2σ的相合（一致）估计______ （回答是、否）。

23. 从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本，如果要求样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少为____________ （975.0)96.1(=Φ） 24. 设总体的密度为(1),01,(;)0,.x x f x ααα⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他12,,,n X X X 为来自该总体的样本，则参数α的矩估计为__________。

25.设总体X 的数学期望EX μ=已知，统计量211()n i i X n μ=-∑是否为总体方差2DXσ=的无偏估计_________（回答是、否）。

26. 设总体X 有期望12,,,,n X X X μ为一样本，则统计量(1)X 是否为μ的无偏估计量______不是____（回答是、否）。

27.假设1x ，2x ，…，n x 是样本1ξ，2ξ，…，n ξ的一个样本值或观测值，则样本均值x 表示样本值的集中位置或平均水平，样本方差S 2和样本修正方差S *2表示样本值对于均值x 的_______________.28. 样本方差S 2和样本修正方差S *2之间的关系为_______________.29. 矩估计法由英国统计学家皮尔逊（Pearson ）于1894年提出，它简便易行，性质良好，一直沿用至今. 其基本思想是：以样本平均值（一阶原点矩）ξ作为相应总体ξ的____________________；以样本方差（二阶中心矩）2S 或者以样本修正方差2*S 作为相应总体ξ的_________________________.30. 总体未知参数θ的最大似然估计θˆ就是__________________函数的极大值点.31. 我们在估计某阶层人的月收入时可以说：“月收入1000元左右”，也可以说：“月收入在800元至1200元间”. 前者用的是___________，后者就是_________________. 32. 在确定的样本点上，置信区间的长度与事先给定的信度α直接有关. 一般来讲，信度α较大，其置信度（1－α）较小，对应置信区间长度也较短，此时这一估计的精确度升高而可信度降低；相反地，信度α较小，其置信度（1－α）较______，对应置信区间长度也较_______，此时这一估计的精确度_________而可信度_____________.33. 无论总体方差2σ是否已知，正态总体均值μ的置信区间的中心都是_______________. 34. 设12,,,n X X X 是来自X 的样本，()E X μ=，则常数12,,,n C C C 满足条件：1nii C==∑ 时，1ˆn i i i C X μ==∑是()E X μ=的无偏估计量。

35. 设总体X 服从（0-1）分布，p 为未知参数，12,,,n X X X 为来自总体的样本，则参数p 的矩估计量是 。

36. 设总体X 的分布律为其中θ是未知参数，且30<<θ，则θ的矩估计量为 。

37. 设总体X 的分布律为其中θ是未知参数，且30<<θ，总体X 有如下样本值为1，2，1，1，0，则θ的矩估计值为 。

38.设总体X 的概率分布列为其中)20(<<p p 是未知参数，总体X 的样本值为3，1，0，2，3，3，1，2，3，则p 的矩估计值为 。

39.设总体服从正态分布()~,1X N μ， μ未知，设12,,,n X X X 为来自该总体的一简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则μ的置信度为1α-的置信区间为 。

40．设某种清漆干燥时间()2~,X N μσ（单位：h ），取9n =的样本，得样本均值和方差分别为26,0.33X S ==，则μ的置信度为0.95的单侧置信区间上限为 。

41. 设某种保险丝融化时间2~(,)X N μσ（单位：s ），取16n =的样本，得样本均值和样本方差分别为215,0.36X S ==，则μ的置信度为95%的单侧置信区间上限为 。

42. 设总体2~(,0.9)X N μ，当样本容量为9时，测得5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间为 。

43. 已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布(,1)N μ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 。

44.设1ˆθ和2ˆθ都是无偏估计量，如果_______________，则称1ˆθ比2ˆθ有效. 45.设X 的分布律为X 1 2 3 P 2θ )1(2θθ- 2)1(θ-已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值为46.设总体X 服从正态分布212(,),,,,n N X X X μσ是其样本，∑-=+-=11212)(n i i i X X C σ是2σ的无偏估计量；则=C47.设总体X 服从区间[1,]θ上的均匀分布，1θ>未知，1,,n X X 是取自X 的样本。

则θ的矩估计为： .48.θˆ具有无偏性的意义是：θˆ取值因随机性而偏离θ的真值，但_________________即没有系统的偏差.第三章49. 假设检验中统计推断的唯一依据是样本信息．样本信息的不完备性和随机性，决定了判断结果有错误是不可避免的．这种错误判断有两种可能：第一类错误为弃真错误，显著水平α就是犯这类错误的概率；第二类为取伪错误，记犯这类错误的概率为β. 则关系式α＋β＝1是_______________(正确、错误)的.50. 假设检验中做出判断的根据是_____________________________________________. 51.对于单正态总体，当均值μ已知时，对总体方差 2σ的假设检验用统计量及分布为_________________________________.52.在进行抽样时，样本的选取必须是随机的，即总体中每个个体都有同等机会被选入样本. 因此，抽取样本1ξ，2ξ，…，n ξ，要求满足下列两个特性：1）_________；2）_________. 具备这两个特性的样本称为简单随机样本，简称样本.53.假设检验中统计推断的唯一依据是样本信息．样本信息的不完备性和随机性，决定了判断结果有错误是不可避免的．这种错误判断有两种可能：第一类错误为__________________，第二类为__________________.54.常用的假设检验方法有四种，分别为1）__________________、2）__________________、3）__________________、4）__________________. 55.设样本12n X X X ，，，来自()2N μσ，且2σ已知， 则对检验035H μ=:，采用的统计量是_____ ___.56.某纺织厂生产维尼纶.在稳定生产情况下，纤度服从()20.048Nμ，分布,现抽测5根.我们可以用_________检验法检验这批纤度的方差有无显著性变化.第四章57. 若回归方程为y a bx =+，则xy xxL b L =，a =__________.填空题参考答案第一章:1.221212n n σσ+2.11,20100 3. 11,4518.4. nk5. 1，26. 6,327. 4(1,)N n- 8. 2(9)χ 9. (9)t10. 22421211~(,)n i X N n nααα=-∑ 0,1,i k =，1,2,,,i n =11. 212~(2).nii Xn λχ=∑. 12. 24215DS σ∴=13. 1~();nniX Y t m ==14.112!!!ni i n k n ek k k λλ=-∑. 0,1,i k =，1,2,,,i n =15. 22~(1,)/ZX F n Y n=16. 222112222111/~(,).1/nnii n i n mn mi ii n i n m XXnY F n m n X Xmσσ==++=+=+==∑∑∑∑ 17. 1/3 2 18. 2215()21530S D σ=⨯=，2422530DS σ=，24215DS σ∴=. 第二章: 19. 任意 20. ˆXN p=，*21S p X =-. 21. 不是 22. 2S 是2σ的相合估计。

相关文档
最新文档