2021年中考数学仿真模拟预测试卷(二)(含答案)
2021-2022学年度初中数学北京地区中考模拟试卷(二)
2021-2022学年度初中数学北京地区中考模拟试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．如图，ABC⊥，垂足为∆是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE AC=，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）E，延长BC到点Q，使CQ PAA．0.9 B C D．12．如图，射线BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分线，射线BD与直线AC交于点D，射线AE与直线BC交于点E，若∠BAC＝∠ABC＋102°，∠D＝∠E ＋27°，则∠ACB的度数为（）A．39°B．40°C．41°D．42°3．如图所示，直线AB、CD相交于点O，“阿基米德曲线”从点O开始生成，如果将该曲线与每条射线的交点依次标记为2，－4，6，－8，10，－12，…．那么标记为“－2020”的点在（）A ．射线OA 上B ．射线OB 上C ．射线OC 上D ．射线OD 上4．在某学校庆祝建党“100周年”的活动上,宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样．按照这种规律,第n 个“100”字样的棋子个数是（ ）A ．11nB ．10n +C ．56n +D ．65n +5．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE ⊥EF ，则下列结论：①∠BAE ＝30°；②CE 2＝AB ·CF ；③CF ＝13CD ；④△ABE ∽△AEF ．正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小宇的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A ，B ，连接AB ，再作出AB 的垂直平分线，交AB 于C 点，交弧AB 于D 点，测出AB ，CD 的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出AB ＝40cm ，CD ＝10cm ，则轮子的半径为（ ）A ．50cmB ．30cmC ．25cmD ．20cm7．如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且22BE AE DF CF ==，，点G ，H 分别是AC 的三等分点，则EHFGABCDS S 四边形菱形的值为（ ）A ．12B ．16C ．13D ．198．已知方程组23x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为2x y =⎧⎨=⎩，则、对应的值分别为（ ）A ．1，2B ．1，5C ．5，1D ．2，49．函数y 211=+2x的图象如图所示，若点P 1（x 1，y 1），P （x 2，y 2）是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（ ）A ．x 1≠0，x 2≠0B ．y 112＞，y 212＞C ．若y 1＝y 2，则|x 1|＝|x 2|D ．若y 1＜y 2，则x 1＜x 210．已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣4，当﹣1≤x ≤4时，y 的最大值是5，则a 的值是（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．1D ．2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，BD 平分∠ABC ，如果点M ，N 分别为BD ，BC 上的动点，那么CM +MN 的最小值是 ___．12．如图三角形ABC 的顶点坐标如下：点A （2，2），B （1，1），C （5，1），若三角形DBC 与三角形ABC 全等，写出符合条件的点D 的坐标：___．13．如果n x y =，那么我们规定(),x y n =．例如：因为239=，所以()3,92=．根据上述规定，()2,8=_______，若(),16m p =，(),5m q =，(),m t r =，且满足p q r +=，则t =______．14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ADE ，连接BD ，若AC ＝3，DE ＝1，则线段BD 的长为 ___．15．方程x 2＝x 的解为 ___．三、解答题16．在菱形ABCD 中，∠ADC =120°，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，∠DEC =50°，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50°并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ． （1）依题意补全图形； （2）求证：EG=BC ；17．若m 是方程210x x -＋＝的一个根，求代数式3222021m m ＋＋的值．18．如图是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？请你以点D 为原点、AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，解决这个实际问题．19．如图，在△ABC 中，,AB AC BAC α∠=＝，点D 在BC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接,BE DE ． （1）按要求作出图形；（2）若α＝90°，用等式表示线段DC DB DE ,,大小关系，并证明；（3）若α＝120°，AB ＝M 为BC 的中点，求ME 的最小值．20．某水果店出售一种进价为每千克10元的热带水果，原售价为每千克20元． （1）连续两次降价后，每千克售价16.2元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率．（2）这种水果每月的销售量y （千克）与销售单价x （元）之间存在着一次函数关系：y ＝－10x ＋200，当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？ 21．（1）有一列数1017263750,,,,,...,512213245---则这列数的第九个数为 ，第n 个数为 ．（2）规定：用{}m 表示大于m 的最小整数， 例{52}＝ 3，{5}＝6，{−1.3}＝−1等；用[]m 表示不大于m 的最大整数，例如72⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝3，[4]＝4，[−1.5]＝−2，如果整数x 满足关系式{}[]2312x x +=，求x 的值并说明理由．22．如图，已知在等腰三角形ABC 中，AB AC =，P 、Q 分别是边AC ，AB 上的点，且AP PQ QC BC ===．求PCQ ∠的度数．23．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 经过顶点C ，过A 、B 两点分别作l 的垂线AE 、BF ，E 、F 为垂足． （1）当直线l 不与底边AB 相交时， ①求证：∠EAC ＝∠BCF ．②猜想EF 、AE 、BF 的数量关系并证明．（2）将直线l 绕点C 顺时针旋转，使l 与底边AB 交于点D （D 不与AB 点重合），请你探究直线l ，EF 、AE 、BF 之间的关系．（直接写出）参考答案1．D 【分析】过点P 作PF ∥BC 交AC 于F ，则可证△APF 是等边三角形，得到PF =AP =CQ ，然后证明△PFD ≌△QCD 得到FD =CD ，由PE ⊥AC ，可得AE =EF ，再根据()11112222DE EF DF AF CF AF CF AC =+=+=+=求解即可． 【详解】解：如图所示，过点P 作PF ∥BC 交AC 于F ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =60°， ∵PF ∥BC ，∴∠APF =∠B =60°，∠FPD =∠Q ， ∴△APF 是等边三角形， ∴PF =AP =CQ ， 在△PFD 和△QCD 中，==FPD QFDP CDQ PF QC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩， ∴△PFD ≌△QCD （AAS ）， ∴FD =CD ， ∵PE ⊥AC ， ∴AE =EF ， ∴()111112222DE EF DF AF CF AF CF AC =+=+=+==， 故选D ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形． 2．D 【分析】设ABC α∠=，根据180ACB ABC BAC ∠=︒-∠-∠为解题的思路，根据三角形的外角性质及角平分线性质，通过等量代换的思想分别求出,ABC BAC ∠∠即可． 【详解】解：设ABC α∠=，则102102BAC ABC α∠=∠+︒=+︒，18078CAG BAD BAC α∴∠=∠=︒-∠=︒-， 180180ABF ABC α∠=︒-∠=︒-，2102ACE ABC BAC α∠=∠+∠=+︒，BD ，AE 分别是△ABC 的外角∠ABF ，∠CAG 的角平分线， 119022ABD ABF α∴∠=∠=︒-，113922CAE CAG α∠=∠=︒-，180D BAD ABD ∴∠=︒-∠-∠,13180(78)(90)1222ααα=︒-︒--︒-=︒+，180E CAE ACE ∠=︒-∠-∠，1180(39)(2102)2αα=︒-︒--+︒，3392α=︒-，27D E ∠=∠+︒，3312392722αα∴︒+=︒-+︒，354α=︒，18α=︒， 18ABC ∴∠=︒，18102120BAC ∠=︒+︒=︒， 1801201842ACB ∠=︒-︒-︒=︒,故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质．3．C【分析】根据图形的变化，每四条射线为一组，从OC开始，用2020除以4等于505，即可得出结论．【详解】解：解：观察图形的变化可知：奇数项：2、6、10、14…4n−2（n为正整数）；偶数项：−4、−8、−12、−16…−4n．∵−2020是偶数项，∴−4n＝−2020，∴n＝505．∵每四条射线为一组，OC为始边，∴505÷4＝126…1．∴标记为“−2020”的点在射线OC上．故选：C．【点睛】本题考查了规律型−图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．4．C【分析】根据图形可知:+⨯=++⨯⨯=,第①个“100”字中的棋子个数是34221(22)211+⨯=++⨯⨯=,第②个“100”字中的棋子个数是46222(23)216+⨯=++⨯⨯=,第③个“100”字中的棋子个数是58223(24)221+⨯=++⨯⨯=,第④个“100”字中的棋子个数是610224(25)226由此规律可得出答案．【详解】+⨯=++⨯⨯=,第①个“100”字中的棋子个数是34221(22)211+⨯=++⨯⨯=,第②个“100”字中的棋子个数是46222(23)216第③个“100”字中的棋子个数是58223(24)221+⨯=++⨯⨯= , 第④个“100”字中的棋子个数是610224(25)226+⨯=++⨯⨯= , ⋯⋯第n 个“100”字中的棋子个数是22(n 1)256n n +++⨯=+． 故选C ． 【点睛】本题考查了规律型:图形的变化类,是一道关于数字猜想的问题,解题的关键是通过总结与归纳,得到其中的规律． 5．B 【分析】首先利用根据正方形的性质与同角的余角相等证得：ABE ECF ∽△△，则可证得②正确，①③错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得ABE AEF ∽△△，则可证得④正确． 【详解】∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝BC ＝CD ， ∵AE ⊥EF ，∴∠AEF ＝∠B ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°，∠AEB ＋∠FEC ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CEF ， ∴ABE ECF ∽△△， ∴AB BE CE CF =，即AB CECE CF=， ∴2CE AB CF =，故②正确； ∵E 是BC 的中点， ∴12BE CE AB ==， ∴1tan 2BE BAE AB ∠==， ∴30BAE ∠≠︒，故①错误；∴22111244AB CE CF AB CD AB AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭====，故③错误； 设CF ＝a ，则BE ＝CE ＝2a ，AB ＝CD ＝AD ＝4a ，DF ＝3a ，∴AE =，EF =，AF ＝5a ，∴AE AF =BE EF = ∴AE BE AF EF=， ∴ABE AEF ∽△△，故④正确．∴②与④正确．∴正确结论的个数有2个．故选：B ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．题目综合性较强，注意数形结合思想的应用．6．C【分析】由垂径定理可得出BC 的长，连接OB ，在Rt OBC △中，可用半径OB 表示出OC 的长，进而可根据勾股定理求出轮子的半径即可．【详解】解：如图，设圆心为点O ，连接OB ，∵⊥OD AB ，AB ＝40cm ， ∴120cm 2BC AB ==，90OCB ∠=︒， ∵CD ＝10cm ，∴10OC OD CD OB =-=-，∵在Rt OBC △中，222OC BC OB +=，∴222(10)20OB OB -+=，解得：25OB =cm ，∴轮子的半径为25cm ．故选：C ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．7．D【分析】由题意可证EG ∥BC ，EG ＝2，HF ∥AD ，HF ＝2，可得四边形EHFG 为平行四边形，即可求解．【详解】解：∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ， ∴12AE BE =，12CF DF =， ∵G 、H 分别是AC 的三等分点， ∴12AG GC =，12CH AH =， ∴AE AG BE GC=， ∴EG ∥BC ， ∴13EG AE BC AB ==， 同理可得HF ∥AD ，13HF AD =， ∴四边形EHGF 为平行四边形，由题意，AEG HEG SS =， ∵13EG AE BC AB ==， ∴19AEG HEG ABC S S S ==，根据平行四边形和菱形的性质可得：2129EHFGHEG ABC ABCD S S S S ==四边形菱形， 故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的性质，以及平行线分线段成比例定理等，由题意可证EG ∥BC ，HF ∥AD 是本题的关键．8．C【分析】把x =2代入方程组的第二个方程即可求得y 即的值，再将x 和y 的值代入第一个方程即可求得． 【详解】解：将x =2代入3x y +=得y =1，所以=1再将21x y =⎧⎨=⎩代入2x y +=， 得=5，故选：C ．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．9．D【分析】根据图象得到函数的性质，根据函数的性质即可判断．【详解】解：由图象可知，x ≠0，∴10x ≠，20x ≠，故选项A 正确；∵x ≠0，∴x 2＞0，∴21x ＞0，∴211122y x =+>， 112y ∴>，212y >，故选项B 正确； 函数的图象关于y 轴对称，∴若12y y =，则12||||x x =，故选项C 正确；根据函数的增减性可得：当0x <时，若12y y <，则12x x <；当0x >时，若12y y <，则12x x >，故选项D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键．10．C【分析】根据题意，可知二次函数的顶点坐标为(1,4)-，分类讨论即可，0a <时，开口朝下，最大值为4-，不符合题意，则0a >，进而根据当﹣1≤x ≤4时，y 的最大值是5，将4x =代入解析式即可求得a 的值．【详解】依题意，可知二次函数的顶点坐标为(1,4)-，当0a <时，开口朝下，最大值为4-，不符合题意，当0a >时，对称轴为1x =，当﹣1≤x ≤4时，y 的最大值是5，当11x -≤≤时，y 随x 的增大而减小,由二次函数的对称性可知当1x =-时，y 的值和3x =时的值相等，当14x ≤≤时，y 随x 的增大而增大,4x ∴=时，()24145a --=，解得1a =, 故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式2()y a x h k =-+的图象与性质是解题的关键． 11．4.8【分析】先作CE ⊥AB 交AB 于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN ⊥BC 交BC 于点N ，再根据角平分线的性质得出ME MN =，从而得出CM MN CE +=，再求出CE 的长即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ⊥AB 交AB 于点E ，交BD 于点M ，过点M 作MN ⊥BC 交BC 于点N∵BD 平分ABC ∠，CE ⊥AB ，MN ⊥BC∴ME MN =∴CM MN CM ME CE +=+=∵90ACB ∠︒＝，6AC ＝，8BC ＝，10AB ＝ ∴1122ABC S AC BC AB CE =⋅=⋅ ∴11681022CE ⨯⨯=⨯⨯ ∴ 4.8CE =∴ 4.8CM MN +=【点睛】本题主要考查了最短路径问题，以及角平分线的性质，解决此题的关键是找到CM MN +最小时动点M ，N 的位置．12．（2，0）或（ 4，0）或（4，1）或（2，2）．【分析】依据以B 、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，可知两个三角形有公共边BC ，运用对称性即可得出所有符合条件的点D 坐标．【详解】解：如图所示，当△BCD 与△BCA 关于BC 对称时，点D 坐标为（2，0），当△BCA 与△CBD 关于BC 的中点对称时，点D 坐标为（ 4，0），△BCA 与△CBD 关于BC 的中垂线对称时，点D 坐标为（4，1），当D 与A 重合时，点D 坐标为（2，2），故答案为：（2，0）或（ 4，0）或（4，1）或（2，2）．【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换构建全等三角形，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等．．13．3 80【分析】由328=，根据规定易得(2，8)=3；由规定可得p q r m ,m ,m t ===165，根据同底数幂的运算及已知p +q =r ，即可求得t 的值．【详解】∵328=∴(2，8)=3故答案为：3；由规定得：p q r m ,m ,m t ===165∴p+q m =⨯=16580∵p +q =r∴r m =80∴t =80故答案为：80【点睛】本题考查了同底数幂的运算，关键理解题意，能熟练进行同底数幂的运算．14．【分析】由旋转的性质可得90DAB ︒∠=、E ABC A ∆≅∆D ，再根据全等三角形的性质、勾股定理可求得AD AB ==Rt ABD ∆即可得解．【详解】解：∵将ABC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ADE ∆∴90DAB ︒∠=，E ABC A ∆≅∆ D∴BC DE =，AC AE =，AB AD =， 90C E ︒∠=∠=∵3AC =，1DE =∴1BC DE ==∴在R ABC ∆中，AB∴AD AB ==∴在Rt ABD ∆中，BD =故答案是：【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．15．0x =或【分析】利用因式分解法解方程即可；【详解】2x x =，20x x -=，()10x x -=，0x =或1x =；故答案是：0x =或1x =．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．16．（1）补全图形见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据题意可以补全图形；（2）连接BE ，根据已知条件和图形可以证明△GEB ≌△CBE ，得到答案；【详解】解：（1）补全图形，如图1所示：（2）证明：连接BE ，如图2：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠ADC =120°，∴∠DCB =60°．∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴∠DCA =12∠DCB =30°，又∠DEC =50°，∠EDC =100°，由菱形的对称性可知，∠EBC =100°，∠BEC =50°，则∠GEB =100°，∴∠GEB =∠CBE ．∵∠FBC =50°，∴∠GBE =50°，∴∠EBG =∠BEC ．在△GEB 与△CBE 中， GEB CBE BE EBEBG BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEB ≌△CBE ．∴EG=BC ．【点睛】本题考查的是菱形的性质，根据题意证明三角形全等是解题的关键，解答时，要正确运用菱形对角线平分一组对角，灵活运用三角形全等的知识和等腰三角形的知识进行解答． 17．2022【分析】根据m 是方程210x x -＋＝的一个根，可得21m m +=，然后将3222021m m ＋＋变形代入计算即可．【详解】解：根据题意，得210m m +-=，则21m m +=，即()11m m +=，则()322220212021m m m m m m ++=+++()12021120212022m m =++=+=．【点睛】本题考查一元二次方程的根，根据题意适当变形是解本题的关键． 18．水面下降1米，此时水面宽度为.【分析】如图，以D 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，再根据坐标系得到2,0,2,0,0,2,A B C 且C 为抛物线的顶点，再利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解当1y =-时，自变量的值，从而可得答案.【详解】解：如图，以D 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，结合题意可得：4,2,AB CD2,0,2,0,0,2,A B C 且C 为抛物线的顶点，设抛物线为：2+2,y ax42,a1,2a ∴=- 所以抛物线的解析式为：21+2,2y x 当水面高度下降1米时，即1,y =-2121,2x26,x解得：12x x =626，答：水面下降1米，此时水面宽度为.【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的按照要求建立平面直角坐标系，并求解二次函数的解析式是解本题的关键.19．（1）见解析；（2）222DC DB DE +=，见解析；（3【分析】（1）按要求画出图形即可；（2）通过旋转的性质证明出AEB ADC ∆≅∆从而推出45EBA C ∠=∠=︒,EB DC =，由勾股定理可知222EB DB DE +=，所以可知222DC DB DE +=；（3）通过旋转的性质证明出AEB ADC ∆≅∆推出30EBA C ∠=∠=︒,60EBC EBA ABC ∠=∠+∠=︒可知点E 在射线BE 上运动，60EBC ∠=︒当M 为BC 中点，BM =3，由垂线段最短可知MH BE ⊥,MH =即ME 【详解】.(1)如图，（2)222DC DB DE +=证明：∵90CAB DAE ∠=∠=︒，∴BAE CAD ∠=∠∵DA =EA ,CA =BA∴45C ABC ∠=∠=︒,AEB ADC ∆≅∆∴45EBA C ∠=∠=︒,EB DC =∴90EBC EBA ABC ∠=∠+∠=︒∴222EB DB DE +=∴222DC DB DE +=(3) ∵120CAB DAE ∠=∠=︒，AB =∴BAE CAD ∠=∠，6BC =∵DA =EA ,CA =AB∴30C ABC ∠=∠=︒,AEB ADC ∆≅∆∴30EBA C ∠=∠=︒,60EBC EBA ABC ∠=∠+∠=︒∴点E 在射线BE 上运动，60EBC ∠=︒∵M 为BC 中点，BM =3，做MH BE ⊥,MH =即当ME BE ⊥时，ME【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定及性质，垂线段最短等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．20．（1）10%；（2）15元【分析】（1）设每次下降的百分率为x ，根据题意列出一元二次方程即可求解；（2）设利润为W ，根据题意列出W 关于x 的函数关系式，再求出该函数的对称轴即可求解．【详解】解：（1）设每次下降的百分率为x ．根据题意得：()220116.2x -=解得：1 1.9x =（舍去），20.110%x ==答：每次下降的百分率为10%．（2）设利润为W ，则()()1010200W x x =--+2103002000x x =-+-()21015250x =--+∴当15x =元时，利润最大为250元．答：当销售单价为15元时，每月可获得最大利润．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的增长率问题，以及二次函数的实际运用，熟练运用方程的思维解决实际问题和二次函数的实际运用是解答本题的关键．21．（1）122117-；22(2)1(1)(2)4n n n ++-+-；（2）x =2，见解析 【分析】（1）观察数据发现分子是()221n ++，分母比分子小5，奇数的位置为负，偶数的位置为正，即可得出答案；（2）根据题意知{}[]1x x =+，化简{}[]2312x x +=，求得[x]=2，即可得出答案．【详解】解：（1）有一列数1017263750, , , , ,...512213245---， ∵分子是()221n ++，分母比分子小5，即()224n +-，奇数的位置为负，偶数的位置为正，∴这列数的第九个数为：()()22921122117924++-=-+-， 第n 个数为：22(2)1(1)(2)4nn n ++-+-， 故答案为：122117-；22(2)1(1)(2)4n n n ++-+- (2) 解：由题意知：{}[]1x x =+∵{}[]2312x x +=∴2（[x]+1）+3[x]=125[x]=10[x]=2又x 为整数，所以x =2．【点睛】本题考查数字的变化规律，找出数字的运算规律与符号排列的规律，利用规律解决问题． 22．3607PCQ ︒∠=【分析】设∠A =x ，则∠QPC =∠QCP =2x ，∠BQC =3x ，由QC =BC 得出∠QBC =3x ，∠QCB =x ，根据三角形内角和定理得出x 的角度，即可得出答案．【详解】解：设∠A =x ，则∠QPC =2x ，∵PQ =QC∴∠QCP =∠QPC =2x ，∴∠BQC =∠A +∠QCP =3x∵QC =BC∴∠QBC =∠BQC =3x ，∵AC =AB∴∠ACB =∠ABC =3x∴∠BCQ =x∵∠BQC +∠QBC +∠BCQ =180︒∴33180x x x ++=︒ ∴1807x ︒= ∴180360277PCQ ︒︒∠=⨯= 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和三角形外角的性质的理解和掌握，此题的关键是得出∠BQC =3x ．23．（1）①证明见解析，②EF ＝AE +BF ；证明见解析；（2）AE ＝BF +EF 或BF ＝AE +EF ．【分析】（1）①根据∠AEC ＝∠BFC ＝90°，利用同角的余角相等证明∠EAC ＝∠FCB 即可；②根据AAS 证△EAC ≌△FCB ，推出CE ＝BF ，AE ＝CF 即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系即可．【详解】（1）证明：①∵AE ⊥EF ，BF ⊥EF ，∠ACB ＝90°，∴∠AEC ＝∠BFC ＝∠ACB ＝90°，∴∠EAC +∠ECA ＝90°，∠ECA +∠FCB ＝90°，∴∠EAC ＝∠FCB ，②EF ＝AE +BF ；证明：在△EAC 和△FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△FCB （AAS ），∴CE ＝BF ，AE ＝CF ，∴EF ＝CE +CF ＝AE +BF ，即EF ＝AE +BF ；（2）①当AD ＞BD 时，如图①，∵∠ACB ＝90°，AE ⊥l 直线，同理可证∠BCF ＝∠CAE （同为∠ACD 的余角），又∵AC ＝BC ，BF ⊥l 直线即∠BFC ＝∠AEC ＝90°，∴△ACE ≌△CBF （AAS ），∴CF ＝AE ，CE ＝BF ，∵CF ＝CE +EF ＝BF +EF ，∴AE ＝BF +EF ；②当AD ＜BD 时，如图②，∵∠ACB ＝90°，BF ⊥l 直线，同理可证∠CBF ＝∠ACE （同为∠BCD 的余角），又∵AC ＝BC ，BE ⊥l 直线，即∠AEC ＝∠BFC ＝90°．∴△ACE ≌△CBF （AAS ），∴CF ＝AE ，BF ＝CE ，∵CE ＝CF +EF ＝AE +EF ，∴BF ＝AE +EF ．【点睛】本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性质得出线段之间的关系．。
2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷(含解析)
2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．（4分）如果m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是( )A B C ．11m + D 2．（4分）将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是( )A ．(3,2)-B ．(3,2)--C ．(3,2)D ．(3,2)-3．（4分）人体红细胞的直径约为0.0000077米，那么将0.0000077用科学记数法表示是( )A ．60.7710-⨯B ．77.710-⨯C ．67.710-⨯D ．57.710-⨯4．（4分）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是( )A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒5．（4分）王老师给出一个函数的解析式．小明、小杰、小丽三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．小明：该函数图象经过第一象限；小杰：该函数图象经过第三象限；小丽：在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，王老师给出的这个函数解析式可能是( )A ．3y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．1y x=- 6．（4分）已知：在ABC ∆中，AC BC =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至点F ，使得EF DE =，那么四边形AFCD 一定是( )A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2232m n nm -= ．8．（4分）方程1111x x -=+的解是 ． 9．（4分）方程组2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩的解是 ． 10．（4分）如果关于x 的方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ．11．（4分）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两个月的增长率都为x ，那么可列方程是 ． 12．（4分）菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=︒，那么BD 的长是 ．13．（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，2AD =，4AB =，5CD =，如果,AB a BC b ==，那么向量BD 是 （用向量a 、b 表示）．14．（4分）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 ．15．（4分）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即2CO =米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即 1.8AC =米），排球落地点离墙的距离是6米（即6OD =米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD 的长是 米．16．（4分）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、⋯叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为1x ，第二个三角形数记为2x ，⋯，第n 个三角形数记为n x ，那么1n n x x -+的值是 （用含n 的式子表示）．17．（4分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转后，点D 落在边BC 上，点B 落在点B '处，联结BB '，那么ABB ∆'的面积是 ．18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 和点(6,2)E -都在反比例函数k y x=的图象上，如果45AOE ∠=︒，那么直线OA 的表达式是 ．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）解不等式组：3(5)3(2) 223134xxx x+>--⎧⎪+⎨-⎪⎩．20．（10分）先化简再求值：22222()21a b ab b aba ab b a b b-+-⋅-+--，其中23a=+，23b=-．21．（10分）如图，在梯形ABCD中，//CD AB，10AB=，以AB为直径的O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．（1）求CD的长；（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．22．（10分）问题：某水果批发公司用每千克2元的价格购进1000箱橘子，每箱橘子重10千克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到10000千克．如果该公司希望这批橘子销售能获得5000元利润，应该把销售价格定为多少元？思路：为了解决这个问题，首先要估计这10000千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；②把这批橘子每箱从1~1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐个检查．解决：（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑，你认为哪个方案比较合适？并说明理由；（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的箱子里橘子的损耗情况．被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：根据如表信息，请你估计这批橘子的损耗率；（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目标（精确到0.01元/千克）．23．（12分）如图，在ACB∠=︒，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平∆中，90ABC行四边形．（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分ABC=．AB BC∠，求证：324．（12分）如图，已知抛物线212y x m =+与y 轴交于点C ，直线443y x =-+与y 轴和x 轴分别交于点A 和点B ，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，设点E 在x 轴上，以CD 为对角线作CEDF ．（1）当点C 在ABO ∠的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，求点F 的坐标；（3）如果点E 是BO 的中点，且CEDF 是菱形，求m 的值．25．（14分）如图，已知BAC ∠，且3cos 5BAC ∠=，10AB =，点P 是线段AB 上的动点，点Q 是射线AC 上的动点，且AQ BP x ==，以线段PQ 为边在AB 的上方作正方形PQED ，以线段BP 为边在AB 上方作正三角形PBM ．（1）如图1，当点E 在射线AC 上时，求x 的值；（2）如果P 经过D 、M 两点，求正三角形PBM 的边长；（3）如果点E 在MPB ∠的边上，求AQ 的长．2021年上海市徐汇区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的]1．（4分）如果m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是( )A B C ．11m + D【解答】解：A 、当0m <B 、当1m <-无意义，故此选项不符合题意；C 、当1m =-时，11m +无意义，故此选项不符合题意；D 、m故选：D ．2．（4分）将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是( )A ．(3,2)-B ．(3,2)--C ．(3,2)D ．(3,2)-【解答】解：将抛物线2y x =-向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得2(3)2y x =---， ∴顶点坐标为(3,2)-，故选：A ．3．（4分）人体红细胞的直径约为0.0000077米，那么将0.0000077用科学记数法表示是( )A ．60.7710-⨯B ．77.710-⨯C ．67.710-⨯D ．57.710-⨯【解答】解：将0.0000077用科学记数法表示是67.710-⨯．故选：C ．4．（4分）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是( )A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒【解答】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和(32)180180=-⋅︒=︒，若边数不变，则内角和(42)180360=-⋅︒=︒，若边数增加1，则内角和(52)180540=-⋅︒=︒，所以，所得多边形内角和的度数可能是180︒，360︒，540︒，不可能是270︒．故选：B ．5．（4分）王老师给出一个函数的解析式．小明、小杰、小丽三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．小明：该函数图象经过第一象限；小杰：该函数图象经过第三象限；小丽：在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，王老师给出的这个函数解析式可能是( )A ．3y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．1y x=- 【解答】解：A 、3y x =图象过一、三象限，但y 值随x 值的增大而增大，故A 不符合题意； B 、2y x =图象不经过三象限，对称轴为y 轴，在第一象限内，y 随x 增大而增大，故B 不符合题意；C 、3y x=图象过一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小，故C 符合题意； D 、1y x=-图象经过二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大，故D 不符合题意；故选：C ．6．（4分）已知：在ABC ∆中，AC BC =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至点F ，使得EF DE =，那么四边形AFCD 一定是( )A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形 【解答】解：E 是AC 中点，AE EC ∴=， DE EF =，∴四边形ADCF 是平行四边形，AD DB =，AE EC =，12DE BC ∴=， DF BC ∴=，CA CB =，AC DF ∴=，∴四边形ADCF 是矩形；故选：B ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2232m n nm -= 2m n ．【解答】解：22232m n nm m n -=．故答案为：2m n ．8．（4分）方程1111x x -=+的解是 115x -+=，215x --= ． 【解答】解：去分母得：21x x x x +-=+， 解得：15x -±= 检验：把15x -±=代入得：左边=右边， 则分式方程的解为115x -+=，215x --． 故答案为：115x -+，215x --=． 9．（4分）方程组2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩的解是 21x y =-⎧⎨=-⎩ ． 【解答】解：2231x y x y ⎧-=⎨-=-⎩①②， 由②，得1x y =-③，把③代入①，得22(1)3y y --=，整理，得22y -=，解，得1y =-．把1y =-代入③，得2x =-．所以原方程组的解为21x y =-⎧⎨=-⎩． 故答案为：21x y =-⎧⎨=-⎩． 10．（4分）如果关于x 的方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是94k >- ． 【解答】解：根据题意得△234()0k =-->，解得94k >-． 故答案为94k >-． 11．（4分）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两个月的增长率都为x ，那么可列方程是 260(1)100x += ．【解答】解：依题意得：260(1)100x +=．故答案为：260(1)100x +=．12．（4分）菱形ABCD 中，已知4AB =，60B ∠=︒，那么BD 的长是 43 ．【解答】解：四边形ABCD 为菱形，1302ABD ABC ∴∠=∠=︒，12BO BD =，BD AC ⊥． 在Rt ABO ∆中，cos BO ABO AB ∠=， 3cos 4232BO AB ABO ∴=⋅∠=⨯=． 243BD BO ∴==． 故答案为：43．13．（4分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，2AD =，4AB =，5CD =，如果,AB a BC b ==，那么向量BD 是 25b a - （用向量a 、b 表示）．【解答】解：过点D 作DE BC ⊥于E ．//AD BC ，180A ABC ∴∠+∠=︒，90A ∠=︒，90ABE ∴∠=︒，DE BC ⊥，90DEB =︒∴四边形ABED 是矩形，2AD BE ∴==，4AB DE ==，5CD =，90CED ∠=︒， 2222543CE CD DE ∴=-=-=，∴2255BE BC b ==， //AB DE ，AB DE =，∴DE a =，25BD BE ED b a =+=-， 故答案为：25b a -．14．（4分）小杰和小丽参加社会实践活动，随机选择“做社区志愿者”和“参加社会调查”两项中的一项，那么两人同时选择“做社区志愿者”的概率是 14． 【解答】解：把“做社区志愿者”和“参加社会调查”分别记为A 、B ，画树状图如图：共有4个等可能的结果，符合条件的结果有1个，∴小杰和小丽两人同时选择“做社区志愿者”的概率是14， 故答案为：14． 15．（4分）如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他2米（即2CO =米）远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是1.8米（即 1.8AC =米），排球落地点离墙的距离是6米（即6OD =米），假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度BD 的长是 5.4 米．【解答】解：由题意得：AOC BOD ∠=∠．AC CD ⊥，BD CD ⊥，90ACO BDO ∴∠=∠=︒．~ACO BDO ∴∆∆．∴AC OC BD OD=． 即1.826BD =． 5.4BD ∴=（米)．故答案为：5.4．16．（4分）古希腊数学家把下列一组数：1、3、6、10、15、21、⋯叫做三角形数，这组数有一定的规律性，如果把第一个三角形数记为1x ，第二个三角形数记为2x ，⋯，第n 个三角形数记为n x ，那么1n n x x -+的值是 2n （用含n 的式子表示）．【解答】将条件数据1、3、6、10、15、21、⋯，依次扩大2倍得到：2，6，12，20，30，42，⋯，这组新数据中的每一个数据可以改写成两个相邻正整数的乘积，即212=⨯，623=⨯，1234=⨯，2045=⨯，⋯，∴(1)2n n n x ⨯+=，(1)n ． 所以21(1)(1)2n n n n n n x x n --⨯+⨯++==． 故答案是：2n ．17．（4分）如图，矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转后，点D 落在边BC 上，点B 落在点B '处，联结BB '，那么ABB ∆'的面积是 545 ．【解答】解：如图，过D '作D E AD '⊥于点E ，过点B 作BF AB ⊥'于点F ，由题意得：10AD AD '==，6D E CD '==，6AB AB ='=，DAD BAB ∠'=∠'．63sin 105D E DAD AD '∠'==='， 3sin 5BAB ∴∠'=． ∴11354662255BAB S AB BF ∆'=⨯'⨯=⨯⨯⨯=． 故答案为：545． 18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 和点(6,2)E -都在反比例函数k y x =的图象上，如果45AOE ∠=︒，那么直线OA 的表达式是 2y x =- ．【解答】解：点(6,2)E -在反比例函数k y x =的图象上， 6(2)12k ∴=⨯-=-，∴反比例函数为12y x=-， 如图，OE 顺时针旋转90︒，得到OD ，连接DE ，交OA 于F ，点(6,2)E -，(2,6)D ∴--，45AOE ∠=︒，45AOD ∴∠=︒，OD OE =，OA DE ∴⊥，DF EF =，(2,4)F ∴-，设直线DE 的解析式为y kx b =+，∴2662k b k b -+=-⎧⎨+=-⎩，解得125k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线DE 的解析式为152y x =-， ∴设直线OA 的解析式为y mx =，把F 的坐标代入得，42m -=，解得2m =-，∴直线OA 的解析式为2y x =-，故答案为2y x =-．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）解不等式组：3(5)3(2)223134x x x x +>--⎧⎪+⎨-⎪⎩． 【解答】解：解不等式3(5)3(2)x x +>--，得： 2.5x >-，解不等式223134x x +-，得：20x ， ∴不等式组的解集为20x ．20．（10分）先化简再求值：22222()21a b ab b ab a ab b a b b-+-⋅-+--，其中23a =23b = 【解答】解：22222()21a b ab b ab a ab b a b b-+-⋅-+--2()[]()()()1a b b a b ab a b a b a b b -+=-⋅-+-- 1()1b ab a b a b b =-⋅--- 11b ab a b b -=⋅-- ab a b=-， 当23a =+，23b =-时，原式(23)(23)3(23)(23)232323+-====+--+-+． 21．（10分）如图，在梯形ABCD 中，//CD AB ，10AB =，以AB 为直径的O 经过点C 、D ，且点C 、D 三等分弧AB ．（1）求CD 的长；（2）已知点E 是劣弧DC 的中点，联结OE 交边CD 于点F ，求EF 的长．【解答】解：（1）AB 为直径，点C 、D 三等分弧AB ，∴60AD CD BC ===︒60AOD COD BOC ∴∠=∠=∠=︒．OC OD =，OCD ∴∆为等边三角形．152CD OD AB ∴===． （2）点E 是劣弧DC 的中点，∴DE EC =．AD BC =，∴AE BE =．OF CD ∴⊥．OC OD =，1302DOFDOC∴∠=∠=︒．在Rt ODF∆中，cosOF FODOD∠=．353cos5OF OD FOD∴=⋅∠=⨯=．5OE OD==，535EF OE OF∴=-=-．22．（10分）问题：某水果批发公司用每千克2元的价格购进1000箱橘子，每箱橘子重10千克．由于购进的橘子有损耗，所以真正可以出售的橘子不到10000千克．如果该公司希望这批橘子销售能获得5000元利润，应该把销售价格定为多少元？思路：为了解决这个问题，首先要估计这10000千克橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以销售，因此需要估计损耗的橘子是多少千克．方案：为此，公司采用抽样调查来估计这批橘子的损耗情况．公司设计如下两种抽样方案：①从仓库中最方便处打开若干箱子逐个检查；②把这批橘子每箱从1~1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐个检查．解决：（1）公司设计的两个抽样方案，从统计意义的角度考虑，你认为哪个方案比较合适？并说明理由；（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表中记录了每个被抽到的箱子里橘子的损耗情况．被抽到的箱子里橘子的损耗情况表：箱号每箱橘子的损耗重量（千克）箱号每箱橘子的损耗重量（千克）10.88110.77根据如表信息，请你估计这批橘子的损耗率；（3）根据以上信息，请你帮该公司确定这批橘子的销售价格，尽可能达到该公司的盈利目标（精确到0.01元/千克）．【解答】解：（1）从统计意义的角度考虑，方案②比较合适，因为此时每箱橘子都有被抽到的可能，选取的样本具有代表性，属于简单随机抽样，所以方案②比较合适；（2）(8.578.15)(1020)100%8.36%+÷⨯⨯=．即估计这批橘子的损耗率为8.36%；（3）10000(18.36%)2100005000⨯--⨯=，x解得， 2.73x≈．答：该公司可确定这批橘子的销售价格约为2.73元/千克，能够尽可能达到该公司的盈利目标．23．（12分）如图，在ACBABC∠=︒，点D是斜边AC的中点，四边形CBDE是平∆中，90行四边形．（1）如图1，延长ED交AB于点F，求证：EF垂直平分AB；（2）如图2，联结BE、AE，如果BE平分ABC=．AB BC∠，求证：3【解答】（1）证明：四边形CBDE 是平行四边形， //DE BC ∴，90ABC ∠=︒，90AFD ∴∠=︒，DF AB ∴⊥，又D 为AC 的中点，AD BD ∴=，AF BF ∴=，即EF 垂直平分AB ；（2）证明：延长ED 交AB 于点F ，由（1）知，EF 垂直平分AB ，12DF BC ∴=， 四边形CBDE 是平行四边形，BC DE ∴=，32EF DF DE BC ∴=+=， BE 平分ABC ∠，45FBE ∴∠=︒，45FBE FEB ∴∠=∠=︒，BF EF ∴=， 32BF BC ∴=， 23AB BF BC ∴==．24．（12分）如图，已知抛物线212y x m =+与y 轴交于点C ，直线443y x =-+与y 轴和x 轴分别交于点A 和点B ，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，设点E 在x 轴上，以CD 为对角线作CEDF ．（1）当点C 在ABO ∠的平分线上时，求上述抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，求点F 的坐标；（3）如果点E 是BO 的中点，且CEDF 是菱形，求m 的值．【解答】解：（1）对于443y x =-+①，令4403y x =-+=，解得3x =，令0x =，则4y =， 故点A 、B 的坐标分别为(0,4)、(3,0)，由点A 、B 的坐标知，4OA =，3OB =，则5AB =， 连接BC ，如下图，点C 在ABO ∠的平分线上，则OC CD =，BC BC =，Rt BCD Rt BCO(HL)∴∆≅∆，故3BD OB ==，则532AD =-=，设OC CD x ==，则4AC x =-，在Rt ADC ∆中，由勾股定理得：22(4)4x x -=+，解得32x =， 故点C 的坐标为3(0,)2， 则抛物线的表达式为21322y x =+； （2）如上图，过点C 作//CH x 轴交AB 于点H ，则ABO AHC ∠=∠， 由AB 得表达式知，4tan tan 3ABO AHC ∠==∠，则3tan 4ACH ∠=， 故直线CD 的表达式为3342y x =+②， 联立①②并解得65125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点D 的坐标为6(5，12)5， 如果CEDF 的顶点F 正好落在y 轴上，则//DE y 轴，且DE CF =， 故125D DE y ==， 则123395210F C y y DE =+=+=， 故点F 的坐标为39(0,)10； （3）点E 是BO 的中点，故点3(2E ，0)， 由（2）知，直线CD 的表达式为34y x m =+③， 联立①③并解得，点D 的坐标为4812(25m -，3616)25m +， 而点E 、C 的坐标分别为3(2，0)、(0,)m ， CEDF 是菱形，则DE CE =， 即22224812336163()()()252252m m m -+-+=+， 即29360m m -=，解得4m =（舍去）或0，故0m=．25．（14分）如图，已知BAC∠，且3cos5BAC∠=，10AB=，点P是线段AB上的动点，点Q是射线AC上的动点，且AQ BP x==，以线段PQ为边在AB的上方作正方形PQED，以线段BP为边在AB上方作正三角形PBM．（1）如图1，当点E在射线AC上时，求x的值；（2）如果P经过D、M两点，求正三角形PBM的边长；（3）如果点E在MPB∠的边上，求AQ的长．【解答】解：3cos5A=，则4sin5A=．（1）当点E在AC上时，则90AQP∠=︒，AQ PB x==，则10AP AB PB x=-=-，则3 cos105AQ xAAP x===-，解得154x=；（2）如图1，过点Q作QH AP⊥于点H，P经过D、M两点，则PQ PD PB AQ x====，∴点H是AP的中点，则622cos 5AP AH x A x ===， 则6105AB AP PB x x =+=+=， 解得5011x =， 即正三角形PBM 的边长为5011；（3）①当点E 在PC 边上时，如图2，过点Q 作QH AB ⊥于点H ，作PQ 的中垂线交QH 于点G ，交PQ 于点N ， 则180180456075QPA MPB QPE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 则907515HQP ∠=︒-︒=︒，则15230HGP ∠=︒⨯=︒， 在Rt PHQ ∆中，设PH t =，则2GQ GP t ==，3GH t =，423sin 5QH t t x A x ∴===，解得5(23)t =+ 则31055(23)AP AH PH PB x x =++==+， 解得100253x +=； ②当点E 在AB 边上时，如图3，过点Q 作QH AB ⊥于点H ，则3sin5PH QH AQ A x===，3cos5AH x A x==，PH AH∴>，即点P在BA的延长线上，与题意不符；综上，100253 AQ+=．。
2021年四川省成都市中考数学二诊试卷(附答案详解)
2021年四川省成都市中考数学二诊试卷1.−2021的相反数是()A. 12021B. − 12021C. 2021D. −20212.用一个平面截一个正方体，截面形状不可能是()A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 七边形3.据新闻报道：2020年11月10日8时12分，中国“奋斗者”号载人潜水器在马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度10909米，此时“奋斗者”号承受的水压接近110兆帕(1兆帕=1000000帕)，请你用科学记数法表示110兆帕()A. 1.1×107B. 1.1×108C. 1.1×106D. 1.1×1094.在平面直角坐标系中，将抛物线y=2(x−1)2+3先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为()A. y=2(x+1)2+2B. y=2(x−3)2+2C. y=2(x+1)2+4D. y=2(x−3)2+45.下面计算正确的是()A. a2⋅a3=a6B. (−2a2)3=−8a6C. a9÷a3=a3D. 2a2+a2=3a46.若关于x的方程axx−1=2x−1+1无解，则a的值是()A. 1B. 3C. −1或2D. 1或27.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，则sin B的值是()A. 1213B. 513C. 125D. 5128.水产养殖中常采用“捉--放--捉”的方式估计一个鱼塘中鱼的数量，如从某个鱼塘中随机地捞出100条鱼，将这些鱼作上记号后再放回鱼塘，隔数日后再从该鱼塘随机捞出144条鱼，其中带有记号的有6条，从而估计该鱼塘有()条鱼．A. 1600B. 2400C. 1800D. 20009.如图，在四边形ABCD中，AD//BC；AB=AD=DC=1，BD⊥CD，则四边形ABCD的面积为()A. √33B. 3√32C. 3√34D. √310. 如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象，图象过点A(3,0)，对称轴为x =1，给出下面五个结论：①b 2>4ac ；②2a +b =1；③a −b +c =0；④b +c <0；⑤若y <0，则−1<x <3．其中正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 如果若|x −2|=1，则x = ______ ．12. 已知一次函数y =−2x +1，若−2≤x ≤1，则y 的最小值为______ ．13. 小华根据朗诵比赛中9位评委所给的分数作了如下表格：平均数 中位数 众数 方差8.8 8.7 8.7 0.11如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是______ ．14. 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，当点P 满足PA =PC ，∠APC =90°时，若AB =2，tan∠APB =12，则BD =______ ．15. (1)计算：2sin45°+√(1−√2)2+(−√22)−1+(π−3)0； (2)解不等式组{2x −1≥x +2①x+12>2x−13②．16. 先化简，再求值：(3−2x+1)÷3x 2+x x+1，其中x =√3+1．17. 2021年2月25日上午，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京人民大会堂隆重举行，大会对全国脱贫攻坚先进个人、先进集体进行了表彰，“精准扶贫”是新时期党和国家扶贫工作的精髓和亮点，某校团委随机抽取九年级部分学生，对他们是否了解“精准扶贫”政策的情况进行调查，调查结果分为四类，分别为：A 类：非常了解，B 类：了解，C 类：基本了解，D 类：不了解.并将调查的数据绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解决下列问题：(1)本次被抽样调查学生的总人数是______ 人；(2)该校九年级共有800人，请估计基本了解的人数约为______ 人；(3)若调查人员想从5名学生(分别记为a ，b ，c ，d ，e)中随机选取两人，调查他们对“精准扶贫”政策的了解情况，请用列表或树状图的方法，求同时选中a ，e 两人的概率．18.为保护师生健康，新都某中学在学校门口安装了红外测温通道，对进校师生进行体温监测，测温装置安装在E处.某同学进校时，当他在地面D处，开始显示测量体温，此时在其额头A处测得E的仰角为30°，当他走到地面C处，结束显示体温，此时在其额头B处测得E的仰角为45°，已知该同学脚到额头的高度为AD，且AD=1.6米，CD=1米，求测温装置E距地面的高度约为多少米？(保留小数点后两位有效数字，√3≈1.73)19.已知在平面直角坐标系中，点A(1,2)在反比例函数y=k的图象上，过点A的直线与该双曲线的另一支x交于点B(−2,m)．(1)求直线AB的函数表达式；(2)若点C为x轴上一动点，求当S△ABC=6时，点C的坐标．20.如图，在正方形ABCD中，BC=4，G为射线CB上的动点，连接DG，交AC于H．(1)证明：△AHB≌△AHD；(2)若DG交AB于F，当FB=FH时，求BG之长；(3)是否存在点G，使得△GHC为等腰三角形，若存在，请求出CG之长；若不存在，请说明理由．21.若x−y=2，xy=3，则代数式x3y−2x2y2+xy3的值为______ ．22.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戍、亥叫做“十二地支”；“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅…癸酉；甲戌、乙亥、丙子…癸未；甲申、乙酉、丙戌…癸已；…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2050年是“干支纪年法”中的______ ．23.如图，在直角△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，四边形ADEF为△ABC的内接正方形，若在△ABC内取一点，这点取自正方形ADEF的概率为______ ．24.将一副三角板如图放置在一起，使得等腰直角△ABD与直角△ACD的斜边重合，其中AD=4，∠B=∠C=90°，∠CAD=30°，则点B到边AC的距离为______ ．的图象与一次函数y=2x+b的图象相交于A，B两点，若A，B 25.反比例函数y=1x两点的横坐标分别为x1，x2，则|x1−x2|的最小值为______ ．26.为应对全球变暖，落实国家节能减排政策，某公司积极进行技术创新，将原本直接排放进大气中的二氧化碳转化为固态形式的化工产品，从而实现“变废为宝、低碳排放”.经过生产实践和数据分析，在这种技术下，该公司二氧化碳月处理成本y(万元)与二氧化碳月处理量x(2≤x≤6，单位：百吨)之间满足的一元二次函数关系，如图所示，已知点A(2,2)，顶点B(3,1.5)，假设每处理一百吨二氧化碳得到的化工产品的收入为2万元．(1)求该公司二氧化碳月处理成本y(万元)与二氧化碳月处理量x(2≤x≤6，单位：百吨)之间满足的一元二次函数一般式；(2)该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益W是多少万元？(月收益=月收入−月处理成本)27.将矩形ABCD折叠，使得点C落在边AB上，折痕为EF，(1)如图1，当点C与点A重合时，若AB=4，BF=3，求AE的长；(2)如图2，点C落在AB边的点M处(不与A，B重合)，若AB=4，AD=8，①取EF的中点O，连接并延长MO与D′E的延长线交于点P，连接PF，ME.求证：四边形MFPE是平行四边形；②设BM=t，用含有t的式子表示四边形ABFE的面积，并求四边形ABFE的面积的最大值及此时t的值．28.如图所示：二次函数y=x2−x−6的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．(1)求直线BC的函数表达式；(2)如图1，若点M为抛物线上线段BC右侧的一动点，连接CM，BM.求△BMC面积的最大值及相应点M的坐标；(3)如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACO=∠BCP？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：−2021的相反数是2021，故选：C．根据相反数的概念解答即可．本题考查的是相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形．故选：D．正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形．本题考查正方体的截面．正方体的截面的四种情况应熟记．3.【答案】B【解析】解：110兆帕=110000000帕=1.1×108帕，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=2(x−1)2+3的顶点坐标为(1,3)，∴平移后抛物线的顶点坐标为(−1,2)，∴平移后抛物线的解析式为y=2(x+1)2+2．故选：A．找出抛物线的顶点坐标，将其按要求平移后可得出新抛物线的顶点坐标，进而即可得出抛物线的解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出平移后抛物线的解析式是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故本选项不合题意；B、(−2a2)3=−8a6，故本选项符合题意；C、a9÷a3=a6，故本选项不合题意；D、2a2+a2=3a2，故本选项不合题意；故选：B．分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．6.【答案】D【解析】解：axx−1=2x−1+1，去分母得，ax=2+x−1，整理得，(a−1)x=1，当x=1时，分式方程无解，则a−1=1，解得，a=2；当整式方程无解时，a=1，故选：D．先转化为整式方程，再由分式方程无解，进而可以求得a的值．本题主要考查分式方程的解，掌握解分式方程的方法是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，∴AC=√AB2−BC2=√132−52=12，∴sinB=ACAB =1213，故选：A．先根据勾股定理求出AC，再根据锐角三角函数求解即可．本题考查勾股定理，锐角三角函数，理解锐角三角函数的意义，掌握勾股定理是得出正确答案的前提．8.【答案】B【解析】解：设鱼塘中有x条鱼，根据题意，得：100x =6144，解得x=2400，经检验x=2400是分式方程的解，所以估计该鱼塘有2400条鱼，故选：B．设鱼塘中有x条鱼，根据题意得出100x =6144，解之即可得出答案．本题主要考查了利用样本估计总体的思想，首先设整个鱼塘约有鱼x条，然后利用样本估计总体的思想即可列出方程解决问题．9.【答案】C【解析】解：如图，过点D作DE//AB交BC于点E，∵AD//BC，DE//AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，BE=AD，∵AB=AD=DC=1，∴DE=AB=DC=1，BE=AD=1，∴DE=BE=CD=1，∴∠CBD=∠BDE，∠C=∠CED，∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠CBD+∠C=∠BDE+∠CDE=90°，∴∠C=∠CDE，∴CE=BE=1，∴BC=2，∴BD=√BC2−CD2=√22−12=√3，∴S△BCD=12BD⋅CD=12×√3×1=√32，∵CE=BE=1，∴S△BDE=12S△BCD=12×√32=√34，∵S△ABD=S△BDE=√34，∴S四边形ABCD =S△ABD+S△BCD=√34+√32=3√34．故选：C．过点D作DE//AB交BC于点E，先证明四边形ABED是平行四边形，得出DE=BE= CD=1，进而得出∠CBD=∠BDE，∠C=∠CED，再由BD⊥CD，利用直角三角形性质得出∠C=∠CDE，即可求出BC=2，运用勾股定理求得BD，即可求得S△BCD，再利用平行四边形对角线和三角形中线性质即可求得答案．本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积，平行四边形的判定与性质等，添加辅助线构造平行四边形是解题关键．10.【答案】D【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，即b2>4ac，①正确；∵对称轴为x=1，∴−b2a=1，即b=−2a，∴2a+b=2a+(−2a)=0，∴②不正确；∵图象过点A(3,0)，对称轴为x=1，∴图象与x轴左侧的交点为(−1,0)，将(−1,0)代入y=ax2+bx+c得：a−b+c=0，③正确；由图象知顶点(1,a+b+c)在x轴下方，∴a+b+c<0，即b+c<−a，而开口向上，a>0，∴−a<0，∴b+c<−a<0，④正确；∵抛物线与x轴两个交点分别为(−1,0)，(3,0)，且开口向上，∴y<0时−1<x<3，⑤正确；∴正确的有①③④⑤，故选：D．根据二次函数图象及性质逐个判断．本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是要掌握抛物线顶点、对称轴、与x(y)轴交点等知识．11.【答案】3或1【解析】解：∵|x−2|=1，∴x−2=±1，则x−2=1，x−2=−1，解得：x=3或1，故答案为：3或1．根据绝对值的性质可得x−2=±1，再解方程即可．此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数．12.【答案】−1【解析】解：∵k=−2<0，∴y随x的增大而减小，∴当x=1时，y取得最小值，此时y=−2×1+1=−1．故答案为：−1．由k=−2<0，可得出y随x的增大而减小，结合−2≤x≤1，即可求出y的最小值．本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．13.【答案】中位数【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故答案为：中位数．根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数、众数、平均数及方差的定义，难度不大．14.【答案】6【解析】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90，∴∠CPD+∠C=90°，∵∠APC=90°，∴∠APB+∠CPD=90°，∴∠APB=∠C=90°−∠CPD，在△ABP和△PDC中，{∠APB=∠C ∠B=∠DPA=PC，∴△ABP≌△PDC(AAS)，∴AB=PD，∵AB=2，∴PD=2，∵tan∠APB=12，∴ABBP =12，∴BP=4，∴BD=BP+PD=6，故答案为：6．根据全等三角形的判定证得△ABP≌△PDC，由全等三角形的性质得到PD=AB=2，由三角函数求出BP=4，即可求得BD．本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角函数的定义，由全等三角形的判定定理证得△ABP≌△PDC是解决问题的关键．15.【答案】解：(1)原式=2×√22+√2−1−√2+1=√2+√2−1−√2+1=√2；(2)解不等式①，得：x≥3，解不等式②，得：x<5，则不等式组的解集为3≤x<5．【解析】(1)先代入三角函数值、计算算术平方根、负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．16.【答案】解：原式=(3x+3x+1−2x+1)÷x(3x+1)x+1=3x+1x+1×x+1x(3x+1)=1x，当x=√3+1时，原式=√3+1=√3−12．【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分母有理化是解题的关键．17.【答案】150 320【解析】解：(1)本次被抽样调查学生的总人数是：30÷20%=150(人)，故答案为：150；(2)C类的人数为：150−15−45−30=60(人)，∴该校九年级共有800人，估计基本了解的人数约为：800×60150=320(人)，故答案为：320；(3)画树状图如图：共有20个等可能的结果，同时选中a，e两人的结果有2个，∴同时选中a，e两人的概率为220=110．(1)由D类人数除以所占百分比即可；(2)由九年级总人数乘以基本了解的人数所占的比例即可；(3)画树状图，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图． 18.【答案】解：设EF =x 米．在Rt △BEF 中，tan45°=EF BF =1， ∴BF =EF =x 米．在Rt △AEF 中，tan30°=EFAF =√33， ∴AF =√3EF =√3x 米．∵AB =CD =AF −BF ，∴√3x −x =1，解得：x ≈1.37，∴EG =1.6+1.37=2.97(米)．答：测温装置E 距地面的高度约为2.97米．【解析】设EF =x 米．通过解直角三角形分别表示出、AF 的长度，根据AB =CD =AF −BF 得到方程，解即可求得EF ，进而即可求解．本题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．19.【答案】解：(1)把点A(1,2)代入y =kx 中，解得k =2，∴反比例函数表达式为y =2x ，把点B(−2,m)代入y =2x 中，解得m =−1，∴点B 的坐标为(−2,−1)，设直线AB 的表达式为y =kx +b ，把A(1,2)和B(−2,−1)代入上式，得{k +b =2−2k +b =−1， 解得{k =1b =1， ∴一次函数表达式为y =x +1；(2)设点C 的坐标为(a,0)，如图，当y=0时，x+1=0，解得x=−1，∴点D的坐标为(−1,0)，则CD=|a+1|，∵S△ABC=S△ADC+S△BDC=6，即12CD×2+12CD×1=6，∴CD=4，∴|a+1|=4，a+1=±4，解得a1=3，a2=−5，∴点C的坐标为(3,0)或(−5,0)．【解析】(1)把点A(1,2)代入y=kx中，即可算出反比例函数表达式，即可算出点B的坐标，把A、B两点的坐标代入一次函数表达式y=kx+b中，解方程组即可得出答案；(2)先设点C的坐标为(a,0)，根据直接AB的解析即可算出点D的坐标，则CD=|a+1|，根据S△ABC=S△ADC+S△BDC=6，再根据三角形面积计算即可得出答案．本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握相关知识进行计算是解决本题的关键．20.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°=∠ACB，在△AHB和△AHD中，{AB=AD∠BAH=∠DAH AH=AH，∴△AHB≌△AHD(SAS)；(2)如图1，∵△AHB≌△AHD，∴∠ABH=∠ADH，∵AD//BC，∴∠G=∠ADH，∵BF=FH，∴∠FBH=∠FHB，∴∠G=∠FHB=∠FBH，∵∠G+∠FHB+∠FBH+∠GBF=180°，∴∠G=∠FHB=∠FBH=30°=∠ADF，∴AD=√3AF=4，BG=√3BF，∴AF=4√3，3∴BF=4−4√3，3∴BG=√3BF=4√3−4；(3)当GH=CH时，∴∠ACB=∠DGC=45°，∴∠GHC=90°，即DG⊥AC，∴点G与点B重合，∴CG=CB=4；当GH=GC时，∴∠GHC=∠GCH=45°，∴∠HGC=90°，∵∠DGC是Rt△DGC的一个锐角，∴∠DGC<90°，∴不存在GH=GC；当CH=CG时，∴∠GHC=∠HGC=67.5°，∴∠GDC=22.5°，如图2，在CD上截取CG=CN，连接GN，∴∠CNG=∠CGN=45°，GN=√2CG，∴∠DGN=22.5°=∠GDC，∴DN=GN，∵DN+NC=CD=4，∴√2GC+GC=4，∴GC=4√2−4，综上所述：GC=4或4√2−4．【解析】(1)由“SAS”可证△AHB≌△AHD；(2)先求∠G=∠FHB=∠FBH=30°=∠ADF，由直角三角形的性质可求解；(3)分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求解．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．21.【答案】12【解析】解：x3y−2x2y2+xy3=xy(x2−2xy+y2)=xy(x−y)2，把x−y=2，xy=3代入得：原式=3×22=12．故答案为：12．原式提取公因式xy，再利用完全平方公式分解，将已知等式代入计算即可求出值．考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．22.【答案】庚午【解析】解：需要弄清“干支”纪年是从公元4年开始，故可以列一个数字对应表．用公元年数字的最后一个数字来对应“天干”，用公元年数字除以12，余数对应“地支”．例如公元2021年的个位数是1，对应“天干”的“辛”；2021÷4得到余数是5，对应“地支”中“丑”，故是“辛丑”年；同样公元2050年的个位数是0，对应“天干”的“庚”；2050÷4得到余数是10，对应“地支”中“午”．故答案为：庚午．需要弄清“干支”纪年是从公元4年开始，故可以列一个数字对应表．用公元年数字的最后一个数字来对应“天干”，用公元年数字除以12，余数对应“地支”．本题考查“天干、地支”的循环纪年，转化为用数字的循环来计算的数学方法．此题关健是弄清“干支”纪年是从公元4年开始．23.【答案】2449【解析】解：在直角△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4．∴S△ABC=12AC⋅AB=6.AB=5．∵四边形ADEF为△ABC的内接正方形．∴EF//AB.EF=FA．∴△CEF∽△CBA．∴EFAB =CFFA即：EF3=4−EF4．∴EF=127．∴正方形ADEF的面积为：14449．∴在△ABC内取一点，这点取自正方形ADEF的概率为=S正方形ADEFS△ABC =2449．故答案为：2449．根据已知，求出△ABC面积，利用相似性质，求出正方形的变成和面积，利用面积的比，即可求出概率．本题考查三角形相似的判定和性质、勾股定理、概率的公式，比较综合，关键在于求出相应图形的面积，属于拔高题．24.【答案】√3−1【解析】解：过B作BE⊥AC于E，∵AD=4，∠ABF=∠C=90°，∠CAD=30°，∴CD=12AD=2，AB2+BD2=AD2=16，∵AB=BD，∴2AB2=16，∴AB=BD=2√2，∵∠ABF=∠C，∠AFB=∠DFC，∴△ABF∽△DCF，∴BFCF =ABDC=2√22=√2，设CF=x，则BF=√2x，∴DF=BD−BF=2√2−√2x，∵DF2=CD2+CF2，∴(2√2−√2x)2=22+x2，解得x1=4−2√3，x2=4+2√3>AD(不合题意，舍去)，即CF=4−2√3，∴BF=4√2−2√6，∵AC=AD⋅cos∠CAD=4×√32=2√3，∴AF=AC−CF=2√3−(4−2√3)=4√3−4，∵S△ABF=12AB⋅BF=12AF⋅BE，∴BE=AB⋅BFAF =2√2×(4√2−2√6)4√3−4=2(2−√3)√3−1=√3−1，故答案为：√3−1．过B作BE⊥AC于E，根据特殊三角形的性质求出AB，BD，CD，AC，由相似三角形的判定证得△ABF∽△DCF，由相似三角形的性质证得BF=√2CF，由勾股定理求出CF，进而求出BF，AF，根据三角形的面积公式即可求得BE．本题主要考查了含30°的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，三角形的面积公式，根据相似三角形的性质和勾股定理求出CF 是解决问题的关键．25.【答案】√2【解析】解：令1x=2x+b，即2x2+bx−1=0，由题意可知，x1+x2=−b2，x1x2=−12，∵|x1−x2|=√(x1+x2)−4x1x2=√b24+2，∴当b=0时，|x1−x2|有最小值为√2，故答案为√2．令1x =2x+b，即2x2+bx−1=0，由题意可知，x1+x2=−b2，x1x2=−12，即可得到|x1−x2|=√b24+2，即可求得|x1−x2|的最小值为√2．本题是反比例函数与一次函数的交点问题，根与系数的关系，得到|x1−x2|=√b24+2是解题的关键．26.【答案】解：(1)∵顶点B(3,1.5)．设抛物线为：y=a(x−3)2+1.5．将点A(2,2)代入，解得：a=12．∴解析式为：y=12(x−3)2+1.5(2≤x≤6)．(2)收益W=2−y=2−12(x−3)2−32=−12(x−3)2+12．∵2≤x≤6．∴当x=3时，W取最大值，最大值为：12．即公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益W是12万元．【解析】(1)根据图形设函数的解析式为顶点式，即可求解解析式．(2)表示出收益，利用函数的性质即可求解最大收益．本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，以及考查求二次函数的最值问题，属于基础题．27.【答案】解：(1)如图1，∵矩形ABCD沿EF折叠，∴∠AFE=∠EFC，∵AD//BC，∴∠AEF=∠EFC=∠AFE，∴AE=AF，在Rt△ABF中，AB=4，BF=3，则AF=5=AE，即AE=5；(2)①∵D′E//MF，即D′P//MF，∴∠EPM=∠PMF，∵∠MOF=∠POE，OE=OF，∴△EOP≌△FOM(AAS)，∴∠EMO=∠FPO，∴MF//EP，∴四边形MFPE是平行四边形；②∵ABEF为梯形，点C在M处，则MF=CF，则BF2=MF2−t2=(8−BF)2−t2，解得BF=4−116t2，则ME2=AE2+(4−t)2=MD′2+D′E2=42+(AD−AE)2=42+(8−AE)2，即AE2+(4−t)2=42+(8−AE)2，解得AE=−116t2+12t+4，∴S梯形ABFE =12(AE+BF)×AB=12(4−116t2−116t2+12t+4)=−14t2+t+16，∵−14<0，故四边形ABFE的面积存在最大值，当t=2时，四边形ABFE的面积的最大值为17．【解析】(1)证明∠AEF=∠EFC=∠AFE，则AE=AF，即可求解；(2)①证明△EOP≌△FOM(AAS)，进而求解；②ABEF为梯形，点C在M处，则MF=CF，求出BF=4−116t2，AE=−116t2+12t+4，进而求解．本题考查的是四边形综合题，涉及平行四边形的性质、三角形全等、面积的计算等，综合性强，难度较大．28.【答案】解：(1)对于y =x 2−x −6①，令y =x 2−x −6=0，解得x =3或−2，令x =0，则y =−6，故点A 、B 、C 的坐标分别为(−2,0)、(3,0)、(0,−6)，设直线BC 的表达式为y =kx +b ，则{0=3k +b b =−6，解得{k =2b =−6， 故直线BC 的表达式为y =2x −6；(2)过点M 作y 轴的平行线交BC 于点H ，设点M 的坐标为(x,x 2−x −6)，则点H(x,2x −6)，则△BMC 面积=S △HMB +S △HMC =12×HM ×OB =32(2x −6−x 2+x +6)=32(−x 2+3x)，∵−32<0，故△BMC 面积存在最大值， 当x =32时，△BMC 面积的最大值为278，此时点M 的坐标为(32,−214)；(3)存在，理由：在Rt △OBC 中，tan∠OBC = OB OC =2，由B 、C 的坐标得，BC =√45，①当点P 在BC 的右侧时，延长CP 交x 轴于点H ，过点H 作NH ⊥BC 交CB 的延长线于点N ，在Rt △BNH 中，tan∠NBH =tan∠OBC =2，设BN =x ，则NH =2x ，在Rt △CNH 中，tan∠BCP =tan∠ACO =13=NH CN =2x √45+x ，解得x =√455， 则BH =√NH 2+BN 2=√5x =3，故点H 的坐标为(6,0)，由点C 、H 的坐标得，直线CH 的表达式为y =x −6②，联立①②并解得{x =2y =−4(不合题意的值已舍去)， 故点P 的坐标为(2,−4)；②当点P 在BC 的左侧时，设直线CH′交抛物线于点P′，同理可得，点H′的坐标为(67,0)，则直线CH′的表达式为y =7x −6③，联立①③并解得{x =8y =50(不合题意的值已舍去)， 故点P 的坐标为(8,50)；综上，点P 的坐标为(2,−4)或(8,50)．【解析】(1)用待定系数法即可求解；(2)由△BMC 面积=S △HMB +S △HMC =12×HM ×OB ，即可求解；(3)分点P 在BC 的右侧、点P 在BC 的左侧两种情况，用解直角三角形的方法，分别求解即可．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。
2021年四川省成都市武侯区中考数学二诊试卷(解析版)
2021年四川省成都市武侯区中考数学二诊试卷一、选择题（共10小题）.1．下列各数中，比﹣5小的数是（）A．﹣7B．﹣4C．0D．62．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的名称是（）A．正方体B．圆柱C．圆锥D．球3．2021年成都市政府工作报告指出，五年来，成都市新建改扩建中小学、幼儿园809所，新增学位52.5万个，保障58万名随迁子女接受义务教育．将数据52.5万用科学记数法表示为（）A．0.525×106B．5.25×105C．52.5×104D．52500004．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，则AC的长为（）A．4B．6C．8D．105．下列计算正确的是（）A．a2•a5＝a10B．2a2+a2＝3a4C．（a+b）2＝a2+b2D．（a+7）（a﹣7）＝a2﹣496．在主题为“我为武侯代言”梦想大舞台之青春讲解员的选拔赛中，其中6名选手的成绩（单位：分）分别为：8.5，8.2，8.9，8.5，9.2，9.5，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．8.2，9.5B．9.5，8.7C．8.5，8.7D．8.5，9.57．分式方程＝1的解为（）A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝48．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接OD，CD，若CD＝OD，则∠B的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．70°9．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是（）A．B．C．D．10．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2+3的图象向下平移3个单位长度，得到的函数图象与一次函数y＝2x+k的图象有公共点，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＜﹣1D．k≤﹣1二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，16分，答案写在答题卡上）11．若|a﹣2|+（b+3）2＝0，则a+b＝．12．已知点A（3，a），B（5，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，则a与b的大小关系为．13．如图，在△ABC中，AB＝5，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠AED＝∠C，若AD •BC＝，则DE的长为．14．如图，在菱形ABCD中，连接BD，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AD，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线AO，交BD于点E．若∠ADC＝120°，AE＝，则菱形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（1）计算：﹣5|．（2）求不等式组的非负整数解．16．化简：．17．2021年3月1日，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）正式实施，垃圾分类成为成都人的“必修课”．《条例》将生活垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某校九年级为了解学生对生活垃圾分类的知晓情况，对九年级部分学生进行随机抽样调查，结果分为“A．非常了解”，“B．比较了解”，“C．一般了解”，“D．不了解”四种类型，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．根据统计图信息，解答下列问题：（1）请分别补全条形统计图和扇形统计图；（2）若该校九年级有500名学生，请在（1）的基础上估计其中对生活垃圾分类“比较了解”的学生有多少名？（3）若“非常了解”的4人中有A1，A2两名男生B1，B2两名女生，现从中随机选取两人向全校学生作“生活垃圾分类，从我做起”的宣讲，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．18．成都今年推出了多个夜景灯光秀，深受市民喜爱，位于天府大道的金融城双子塔灯光秀便是其中之一．小莉想利用所学的数学知识，测金融城双子塔AB的高度．如图她先在C 处用高度为1.3米的测角仪CD测得AB上一点E的仰角∠EDF＝22°，接着她沿着CB 方向前进50米到达G处测得点A的仰角∠AHF＝45°．若AE＝110米，求双子塔AB 的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B 两点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（2，n）．（1）求反比例函数的表达式；（2）设P是直线AB上一点，过P作PD∥y轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，交x轴于点E，连接AD．若△APE的面积是△APD的面积的2倍，求点P的坐标．20．如图，以Rt△ABC的斜边AC为直径作⊙O，点D在半径OC上，过点D作AC的垂线，分别交弦BC于点E，交⊙O于F．在射线DE上取点G，连接GB并延长交CA的延长线于点H，且满足GB＝GE．（1）求证：HG是⊙O的切线；（2）若GE＝BE，HB＝．（i）求⊙O的半径；（ii）如图2，连接AF，交弦BC于点M，若AF∥HG，求线段OD的长．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡）21．若实数a，b满足a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b+5的值为．22．如图，AD为△ABC的中线，点E，F分别为AD，AB的中点，连接EC，EF．现随机向△ABC内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为．23．将满足2≤x≤3的两个整数解分别记为x1，x2，且x1≠x2，则代数式（x﹣x1）2+（x﹣x2）2的最小值为．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，连接OA，将线段OA绕点O逆时针旋转120°得到对应线段OB，此时点B刚好落在反比例函数y＝（m＜0）的图象上，则m的值为．25．如图，在一个12×13的网格中，点O，A，B都在格点上，OA＝AB＝8，点P是线段AB上的一个动点，连接OP，将线段OA沿直线OP进行翻折，点A落在点C处，连接BC，以BC为斜边在直线BC的左侧（或下方）构造等腰直角三角形BDC，则点P从A 运动到B的过程中，线段BC的长的最小值为，线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答过程写在答题卡上）26．某校积极筹备“爱成都•迎大运”体育节活动决定购买一批篮球和足球共60个．已知在线下商店购买50个篮球和10个足球共需4600元，购买30个篮球和30个足球共需4200元．（1）分别求在线下商店购买篮球和足球的单价；（2）经过市场调查分析，发现在线上商店购买更划算，已知线上商店篮球的单价和线下商店一样，但线上商店足球有优惠活动，足球的单价是线下的八折．若学校要求购买篮球的个数不得少于足球的个数的2倍，那么学校在线上商店应分别购买多少数量的篮球和足球才能使得所花费用最少？并求出该费用的最小值？27．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝9，点E，F，P，Q分别是边AD，AB，BC，CD上的点，且满足AE＝CP＝5，AF＝CQ，连接EF，PQ．将△AEF和△CPQ分别沿直线EF，PQ进行翻折，得到对应的△GEF和△HPQ，连接EH，PG．（1）（i）求证：∠AEG＝∠CPH；（ii）判断四边形EGPH的形状并说明理由；（2）如图2，若点A，G，P在一条直线上，求四边形EGPH的周长；（3）如图3，若点H，G分别落在EF，PQ上，HP交FG于点M，HQ交EG于点N，求AF的长，并直接写出四边形NHMG的面积．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+10分别交x轴，y轴于点A，B．抛物线y＝ax2+bx（a＜0）经过点A，且C点是该抛物线的顶点．（1）求点C的横坐标；（2）该抛物线经过线段AB上的另点D（点D不与C重合），直线CD交y轴于点E，分别求点D的坐标（用含a的代数式表示）和点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接OD，OC，AC，是否存在恰当的a值，使得△ODC和△ACD的面积之间满足其中一个是另一个的4倍？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求答案涂在答题卡上）1．下列各数中，比﹣5小的数是（）A．﹣7B．﹣4C．0D．6解：∵﹣7＜﹣5＜﹣4＜0＜6，∴其中比﹣5小的数是﹣7．故选：A．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的名称是（）A．正方体B．圆柱C．圆锥D．球解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选：C．3．2021年成都市政府工作报告指出，五年来，成都市新建改扩建中小学、幼儿园809所，新增学位52.5万个，保障58万名随迁子女接受义务教育．将数据52.5万用科学记数法表示为（）A．0.525×106B．5.25×105C．52.5×104D．5250000解：52.5万＝525000＝5.25×105．故选：B．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，则AC的长为（）A．4B．6C．8D．10解：sin A＝，∴＝，解得，AB＝10，由勾股定理得，AC＝＝＝8，故选：C．5．下列计算正确的是（）A．a2•a5＝a10B．2a2+a2＝3a4C．（a+b）2＝a2+b2D．（a+7）（a﹣7）＝a2﹣49解：A、a2•a5＝a7，故此选项错误；B、2a2+a2＝3a2，故此选项错误；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；D、（a+7）（a﹣7）＝a2﹣49，故此选项正确；故选：D．6．在主题为“我为武侯代言”梦想大舞台之青春讲解员的选拔赛中，其中6名选手的成绩（单位：分）分别为：8.5，8.2，8.9，8.5，9.2，9.5，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．8.2，9.5B．9.5，8.7C．8.5，8.7D．8.5，9.5解：6名选手的成绩（单位：分）分别为：8.5，8.2，8.9，8.5，9.2，9.5，则这组数据按照从小到大排列是：8.2，8.5，8.5，8.9，9.2，9.5，故这组数据的众数是8.5，中位数是（8.5+8.9）÷2＝8.7，故选：C．7．分式方程＝1的解为（）A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4解：去分母得：x（x﹣2）+2（x﹣1）＝x（x﹣1），去括号得：x2﹣2x+2x﹣2＝x2﹣x，解得：x＝2，检验：把x＝2代入得：x（x﹣1）＝2×1＝2≠0，则分式方程的解为x＝2．故选：B．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接OD，CD，若CD＝OD，则∠B的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．70°解：∵CD＝OD，OD＝OC＝OA＝AC，∴CD＝AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，故选：C．9．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是（）A．B．C．D．解：依题意得：．故选：C．10．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2+3的图象向下平移3个单位长度，得到的函数图象与一次函数y＝2x+k的图象有公共点，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＜﹣1D．k≤﹣1解：将二次函数y＝x2+3的图象向下平移3个单位长度，得到：y＝x2+3﹣3，即y＝x2，则，所以x2＝2x+k，整理，得x2﹣2x﹣k＝0，因为得到的图象与一次函数y＝2x+k的图象有公共点，所以△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）≥0，解得k≥﹣1，故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，16分，答案写在答题卡上）11．若|a﹣2|+（b+3）2＝0，则a+b＝﹣1．解：根据题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，解得a＝2，b＝﹣3，∴a+b＝2﹣3＝﹣1．故答案为：﹣1．12．已知点A（3，a），B（5，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，则a与b的大小关系为a＜b．解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣2＜0，∴图象在二、四象限，每个象限内y随x的增大而增大，∵点A（3，a）与点B（5，b）都在反比例函数y＝﹣的图象上，且3＜5，∴a＜b．故答案为a＜b．13．如图，在△ABC中，AB＝5，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠AED＝∠C，若AD •BC＝，则DE的长为．解：∵∠AED＝∠C，∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴，∴AD•BC＝DE•AB，且AD•BC＝，AB＝5，∴DE＝，故答案为：．14．如图，在菱形ABCD中，连接BD，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AD，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线AO，交BD于点E．若∠ADC＝120°，AE＝，则菱形ABCD的面积为2．解：根据作图过程可知：AE是菱形ABCD的∠DAB的平分线，∴AE是菱形ABCD对角线的一半，AE垂直平分BD，∵∠ADC＝120°，∴∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAE＝30°，∵AE＝，∴DE＝1，∴BD＝2，∴菱形ABCD的面积为：2AE•BD＝2．故答案为：2．三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）15．（1）计算：﹣5|．（2）求不等式组的非负整数解．解：（1）原式＝﹣3+2×﹣4+5﹣2＝﹣2；（2），解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集是﹣2≤x＜4，∴非负整数解为0，1，2，3．16．化简：．解：原式＝•＝•＝．17．2021年3月1日，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）正式实施，垃圾分类成为成都人的“必修课”．《条例》将生活垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类．某校九年级为了解学生对生活垃圾分类的知晓情况，对九年级部分学生进行随机抽样调查，结果分为“A．非常了解”，“B．比较了解”，“C．一般了解”，“D．不了解”四种类型，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．根据统计图信息，解答下列问题：（1）请分别补全条形统计图和扇形统计图；（2）若该校九年级有500名学生，请在（1）的基础上估计其中对生活垃圾分类“比较了解”的学生有多少名？（3）若“非常了解”的4人中有A1，A2两名男生B1，B2两名女生，现从中随机选取两人向全校学生作“生活垃圾分类，从我做起”的宣讲，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．解：（1）抽查的学生人数为：4÷10%＝40（人），C类的人数为：40﹣4﹣18﹣8＝10（人），扇形统计图中，B类所占的百分比为：18÷40×100%＝45%，D类所占的百分比为：8÷40×100%＝20%，补全条形统计图和扇形统计图如下：（2）估计其中对生活垃圾分类“比较了解”的学生的人数为：500×45%＝225（名）；（3）列表如下：A1A2B1B2 A1（A2，A1）（B1，A1）（B2，A1）A2（A1，A2）（B1，A2）（B2，A2）B1（A1，B1）（A2，B1）（B2，B1）B2（A1，B2）（A2，B2）（B1，B2）由表可知共有12种可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个，∴恰好抽到一男一女的概率为＝．18．成都今年推出了多个夜景灯光秀，深受市民喜爱，位于天府大道的金融城双子塔灯光秀便是其中之一．小莉想利用所学的数学知识，测金融城双子塔AB的高度．如图她先在C 处用高度为1.3米的测角仪CD测得AB上一点E的仰角∠EDF＝22°，接着她沿着CB 方向前进50米到达G处测得点A的仰角∠AHF＝45°．若AE＝110米，求双子塔AB 的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）解：由题意得，四边形DCGH和四边形BCDF是矩形，∴BF＝CD＝1.3米，DH＝CG＝50米，设EF＝x米，则AF＝AE+EF＝（x+110）米，在Rt△AFH中，∠AHF＝45°，∴∠FAH＝45°，∴∠FAH＝∠AHF，∴FH＝AF＝（x+110）米，∴DF＝DH+FH＝（x+160）米，在Rt△DFE中，∠EDF＝22°，∵tan∠EDF＝tan22°＝，∴≈0.4，解得：x＝≈106.7，∴EF≈106.7（米），∴AB＝AE+EF+BF≈218（米），答：双子塔AB的高度约为218米．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B 两点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（2，n）．（1）求反比例函数的表达式；（2）设P是直线AB上一点，过P作PD∥y轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，交x轴于点E，连接AD．若△APE的面积是△APD的面积的2倍，求点P的坐标．解：（1）∵一次函数y＝x+1的图象经过点C（2，n），∴n＝2+1＝3，∴C（2，3），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点C，∴3＝，得k＝6，即反比例函数解析式为：y＝（x＞0）；（2）当点P在点C的右侧时，设P（x，x+1），则E（x，0），D（x，），∴PE＝x+1，PD＝x+1﹣∵△APE的面积是△APD的面积的2倍，∴PE＝2PD，即2×（x+1﹣）＝x+1，整理得，x2+x﹣12＝0，解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），∴P（3，4）．当点P在点C的左侧时，同法可得，x+1＝2（﹣x﹣1），解得x＝或（舍弃），∴P（，），综上所述，满足条件的点P的坐标为（3，4）或（，）．20．如图，以Rt△ABC的斜边AC为直径作⊙O，点D在半径OC上，过点D作AC的垂线，分别交弦BC于点E，交⊙O于F．在射线DE上取点G，连接GB并延长交CA的延长线于点H，且满足GB＝GE．（1）求证：HG是⊙O的切线；（2）若GE＝BE，HB＝．（i）求⊙O的半径；（ii）如图2，连接AF，交弦BC于点M，若AF∥HG，求线段OD的长．解：（1）连接OB，如图：∵GB＝GE，∴∠GBE＝∠GEB＝∠CED，∵GD⊥AC，∴∠CED+∠ECD＝90°，∴∠GBE+∠ECD＝90°，∵OB＝OC，∴∠ECD＝∠OBC，∴∠GBE+∠OBC＝90°，∴OB⊥HG，∴HG是⊙O的切线；（2）（i）过G作GM⊥BC于M，如图：∵GB＝GE，GM⊥BC，∴ME＝BE，∵GE＝BE∴＝，∴cos∠GEM＝，∴cos∠CED＝，∵AC为⊙O直径，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝∠CED，∴cos∠BAC＝，设AB＝k，则AC＝k，BC＝2k，∵HG为⊙O切线，∴∠C＝∠HBA，而∠H＝∠H，∴△HBA∽△HCB，∴＝＝＝＝，∵HB＝，∴HC＝，HA＝，∴AC＝HC﹣HA＝2，∴⊙O的半径为；（ii）连接CF，过F作FN⊥BC于N，如图：由（i）知：AC＝2，cos∠BAC＝，∴AB＝2，BC＝4，∵AF∥HG，∴∠AMB＝∠GBC，∵GB＝GE，∴∠GBC＝∠GEM，∴∠AMB＝∠GEM，∴cos∠AMB＝cos∠GEM＝，Rt△ABM中，设BM＝t，则AM＝t，AB＝2t，∴2t＝2，解得t＝1，∴BM＝1，AM＝，∴CM＝BC﹣BM＝3，∵BC与AF是⊙O的相交弦，∴AM•MF＝BM•CM，即•MF＝1×3，∴MF＝，Rt△FNM中，cos∠FMN＝cos∠AMB＝，∴＝，∴MN＝，ME＝，∴CE＝CM﹣ME＝，Rt△CED中，cos∠CED＝cos∠GEB＝，∴ED＝，CD＝，∴OD＝OC﹣CD＝．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡）21．若实数a，b满足a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b+5的值为6．解：a2﹣b2﹣2b+5＝（a+b）（a﹣b）﹣2b+5，∵a﹣b＝1，∴原式＝a+b﹣2b+5＝a﹣b+5＝1+5＝6．故答案为：6．22．如图，AD为△ABC的中线，点E，F分别为AD，AB的中点，连接EC，EF．现随机向△ABC内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为．解：设△AEF的面积为S，∵点E，F分别为AD，AB的中点，∴EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEF：S△ABD＝1：4，即S△ABD＝4S，∵AD为中线，∴S△ADC＝S△ABD＝4S，∵CE为AD边的中线，∴S△CDE＝S△ADC＝2S，∴针尖落在阴影区域的概率＝＝．故答案为．23．将满足2≤x≤3的两个整数解分别记为x1，x2，且x1≠x2，则代数式（x﹣x1）2+（x﹣x2）2的最小值为．解：∵满足2≤x≤3的两个整数解分别记为x1，x2，且x1≠x2，∴x1＝3，x2＝4，设y＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2＝x2﹣2xx1+x12+x2﹣2xx2+x22＝2x2﹣2（x1+x2）x+（x12+x22）＝2x2﹣14x+25＝2（x﹣）2+，所以当x＝时，，故答案为：．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，连接OA，将线段OA绕点O逆时针旋转120°得到对应线段OB，此时点B刚好落在反比例函数y＝（m＜0）的图象上，则m的值为﹣．解：延长AO交双曲线y＝在第三象限的分支于点C，连接BC，过A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，BF⊥OC于F，交x轴于点H，如图，∵双曲线y＝是中心对称图形，∴OA＝OC．∵OA＝OB，∴OB＝OB．∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝60°．∴△OBC为等边三角形．∵AD⊥x轴，点A（2，1），∴OD＝，AD＝1．∴．∴OB＝OC＝．∵△OBC是等边三角形，BF⊥OC，∴OF＝．∵∠HOF＝∠AOD，∠HFO＝∠ADO＝90°，∴△HOF∽△AOD．∴．∴．∴HO＝，HF＝．在Rt△BFO中，BF＝BO×sin60°＝．∴HB＝BF﹣HF＝．∵∠BHE＝∠OHF，∠HEB＝∠HFO＝90°，∴△BEH∽△OFH．∴．∴．∴BE＝，HE＝．∴OE＝OH+HE＝．∴B（﹣，）．∵点B在反比例函数y＝（m＜0）的图象上，∴＝．∴m＝﹣．故答案为：﹣．25．如图，在一个12×13的网格中，点O，A，B都在格点上，OA＝AB＝8，点P是线段AB上的一个动点，连接OP，将线段OA沿直线OP进行翻折，点A落在点C处，连接BC，以BC为斜边在直线BC的左侧（或下方）构造等腰直角三角形BDC，则点P从A 运动到B的过程中，线段BC的长的最小值为8﹣8，线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）4．解：如图，连接OB．在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，AO＝AB＝8，∴OB＝8，由翻折的性质可知，OC＝OA＝8，∵BC≥BC﹣OC，∴BC≥8﹣8，∴BC的最小值为8﹣8，观察图象可知，线段BD所扫过的区域内的格点的个数为4个，故答案为：8﹣8，4．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答过程写在答题卡上）26．某校积极筹备“爱成都•迎大运”体育节活动决定购买一批篮球和足球共60个．已知在线下商店购买50个篮球和10个足球共需4600元，购买30个篮球和30个足球共需4200元．（1）分别求在线下商店购买篮球和足球的单价；（2）经过市场调查分析，发现在线上商店购买更划算，已知线上商店篮球的单价和线下商店一样，但线上商店足球有优惠活动，足球的单价是线下的八折．若学校要求购买篮球的个数不得少于足球的个数的2倍，那么学校在线上商店应分别购买多少数量的篮球和足球才能使得所花费用最少？并求出该费用的最小值？解：（1）设在线下商店购买篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意得：，解得：．答：在线下商店购买篮球的单价为80元，足球的单价为60元．（2）设学校在线上商店购买m个篮球，则购买（60﹣m）个足球，依题意得：m≥2（60﹣m），解得：m≥40．设学校在线上商店购买这些篮球和足球共花费w元，则w＝80m+60×0.8（60﹣m）＝32m+2880．∵32＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝40时，w取得最小值，最小值＝32×40+2880＝4160（元）．答：学校在线上商店购买40个篮球，20个足球时，所花费用最少，最少费用为4160元．27．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝9，点E，F，P，Q分别是边AD，AB，BC，CD上的点，且满足AE＝CP＝5，AF＝CQ，连接EF，PQ．将△AEF和△CPQ分别沿直线EF，PQ进行翻折，得到对应的△GEF和△HPQ，连接EH，PG．（1）（i）求证：∠AEG＝∠CPH；（ii）判断四边形EGPH的形状并说明理由；（2）如图2，若点A，G，P在一条直线上，求四边形EGPH的周长；（3）如图3，若点H，G分别落在EF，PQ上，HP交FG于点M，HQ交EG于点N，求AF的长，并直接写出四边形NHMG的面积．【解答】（1）（i）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，∵AE＝CP，AF＝CQ，∴△AEF≌△CPQ（SAS），∴∠AEF＝∠CPQ，由翻折的性质可知，∠AEG＝2∠AEF∠CPH＝2∠CPQ，∴∠AEG＝∠CPH．（ii）解：结论：四边形EGPH是平行四边形．理由：如图1中，延长EG交CB的延长线于T．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEG＝∠T，∵∠AEG＝∠CPH，∴∠T＝∠CPH，∴EG∥PH，∵AE＝EG，PC＝PH，AE＝PC，∴EG＝PH，∴四边形EGPH是平行四边形．（2）解：如图2中，设AP交EF于J．在Rt△ABP中，AB＝12，BP＝4，∴AP＝＝＝4，∵EA＝EG，AF＝FG，∴EF垂直平分线段AG，∴∠AEF+∠EAJ＝90°，∵∠EAJ+∠BAP＝90°，∴∠AEF＝∠BAP，∵∠AJE＝∠ABP＝90°，∴△EJA∽△ABP，∴＝，∴＝，∴AJ＝，∴AG＝2AJ＝，∴PG＝AP﹣AG＝3，∵四边形EGPH是平行四边形，∴EG＝PH＝5，PG＝EH＝3，∴四边形EGPH的周长为10+6．（3）解：延长EF交CB的延长线于T，过点T作TR⊥DA交DA的延长线于R，连接CH．∵EF∥PG，CH⊥PG，∴CH⊥ET，∴∠CHT＝90°，∵PC＝PH＝5，∴∠PCH＝∠PHC，∵∠PTH+∠PCH＝90°，∠PHT+∠PHC＝90°，∴∠PTH＝∠PHT，∴PH＝PT＝5，∵PB＝4，∴BT＝PT﹣PB＝1，∵∠R＝∠RAB＝∠ABT＝90°，∴四边形ARTB是矩形，∴AR＝BT＝1，RT＝AB＝12，∵AF∥RT，∴＝，∴＝，∴AF＝10，BF＝2，∴＝＝，∴＝，∵∠EAF＝∠PBF＝90°，∴△AEF∽△BFP，∴∠AFE＝∠FPB，∵∠FPB+∠PFB＝90°，∴∠AFE+∠PFB＝90°，∴∠EFP＝90°，∵∠EFG+∠PFG＝90°，∴∠PFB＝∠PFM，∵∠PMF＝∠PBF，PF＝PF，∴△PFM≌△PFB（AAS），∴PB＝PM＝4，BF＝FM＝2，∵PH＝PC＝5，∴HM＝1，∵FA＝FG＝10，∴MG＝FG﹣FM＝10﹣2＝8，∵∠MHN＝∠HMG＝∠MGN＝90°，∴四边形MGHN是矩形，∴四边形MGNH的面积＝1×8＝8．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+10分别交x轴，y轴于点A，B．抛物线y＝ax2+bx（a＜0）经过点A，且C点是该抛物线的顶点．（1）求点C的横坐标；（2）该抛物线经过线段AB上的另点D（点D不与C重合），直线CD交y轴于点E，分别求点D的坐标（用含a的代数式表示）和点E的坐标；（3）在（2）的条件下，连接OD，OC，AC，是否存在恰当的a值，使得△ODC和△ACD的面积之间满足其中一个是另一个的4倍？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵直线y＝﹣x+10分别交x轴，y轴于点A，B，∴A（10，0），B（0，10），∵抛物线y＝ax2+bx（a＜0）经过点A（10，0），∴a×102+10b＝0，∴b＝﹣10a，∴y＝ax2﹣10ax＝ax（x﹣10），当x＝0时，y＝0，∴抛物线y＝ax（x﹣10）经过O（0，0），∴抛物线对称轴为直线x＝＝5，∴该抛物线的顶点C的横坐标为5；（2）∵抛物线y＝ax2﹣10ax经过线段AB上的另点D（点D不与C重合），∴ax2﹣10ax＝﹣x+10，∴x＝﹣或x＝10（舍去），∴D（﹣，+10），∵y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，∴C（5，﹣25a），设直线CD解析式为y＝kx+n，则：，解得：，∴直线CD解析式为y＝（﹣5a﹣1）x+5，∴E（0，5）；（3）存在，a＝﹣或a＝﹣．理由如下：设直线AB与抛物线对称轴交于点M，∴M（5，5），∴CM＝﹣25a﹣5，∵S△ACD＝S△ACM+S△CDM＝×CM×[10﹣（﹣）]＝×（﹣25a﹣5）×（10+），S△OCD＝S△OCE﹣S△ODE＝×OE×[5﹣（﹣）]＝（5+），∵△ODC和△ACD的面积之间满足其中一个是另一个的4倍，∴S△ACD＝4S△OCD或S△OCD＝4S△ACD，当S△ACD＝4S△OCD时，×（﹣25a﹣5）×（10+）＝4×（5+），解得：a＝﹣或a＝﹣，当S△OCD＝4S△ACD时，（5+）＝4×[×（﹣25a﹣5）×（10+）]，解得：a＝﹣或a＝﹣，当a＝﹣时，C的坐标为（5，5），D的坐标为（5，5），不符合题意，舍去，∴当a＝﹣时，S△ACD＝4S△OCD；当a＝﹣时，S△OCD＝4S△ACD；∴a＝﹣或a＝﹣．。
江西省南昌市2021年中考数学二调试卷(含解析)
2021年江西省南昌市中考数学二调试卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项。
1．（3分）的倒数是（）A．﹣5B．5C．D．2．（3分）江西省面积大约为16.69万平方公里，数据16.69万用科学记数法表示为（）A．1.669×106B．1.669×105C．16.69×105D．0.1669×106 3．（3分）下列图形中，不是正方体表面展开图的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，点A和点B恰好分别在GH和EF上，GH∥EF且BA平分∠DBE，若∠C ＝90°，∠CAD＝32°，则∠BAD的度数为（）A．28°B．29°C．30°D．31°5．（3分）若一元二次方程x2﹣8x+3＝0的两个实数根分别是a、b，则关于x的一次函数y ＝abx﹣a﹣b的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）如图，函数图象C1与C2都经过x轴上的点B并关于垂直于x轴的直线l对称，已知C1是抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6在x轴上方的部分，若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2D．﹣3＜m＜﹣二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）计算：﹣+＝．8．（3分）函数中，自变量x的取值范围是．9．（3分）吴老师将本校体育训练队甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛的成绩整理成了如下表格：甲乙丙丁平均数375350375350方差s212.513.5 2.4 5.4根据表中数据，要从甲、乙、丙、丁中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加决赛，应该选择．10．（3分）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x，则可列方程为．11．（3分）如图，点C在DE上，∠B＝∠E，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝45°，则∠ACB ＝°．12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是边AC的中点，CE⊥BD于E．若F是边AB上的点，且使△AEF为等腰三角形，则AF的长为．三、解答题（本大题共8小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）解不等式组：．（2）化简：（﹣）÷．14．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC，AD平分∠F AC，CD⊥AD于点D．求证：四边形AECD是矩形．15．（6分）今年三八妇女节期间，某公司决定对公司女职工发放礼品进行慰问，慰问品实行弹性选择的方法，每位女职工可从小电器购物卡、化妆品打折券、床上用品、旅游年票中任选两种．（所选的两种礼品不能相同）（1）若李丽已经选择了小电器购物卡，则她再选择床上用品的概率是．（2）用列表或画树状图的方法求李丽选了化妆品打折券和旅游年票的概率．16．（6分）请按以下要求用无刻度直尺作图：（1）如图1，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1．（2）如图2，设∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转α得△A'B'C，画出△A'B'C．17．（6分）某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，已知购进4台甲型号空气加湿器和6台乙型号空气加湿器共用1820元，购进6台甲型号空气加湿器比购进4台乙型号空气加湿器多用520元．（1）求甲、乙两种型号的空气加湿器每台的进价．（2）超市根据市场需求，决定购进这两种型号的空气加湿器共60台进行销售，甲种型号每台售价260元，乙种型号每台售价190元，若超市购进的这两种空气加湿器全部售出后，共获利2800元，则该超市本次购进甲、乙两种型号的空气加湿器各多少台？18．（8分）为增强学生体质，某学校推行大课间跳绳活动，通过一段时间的锻炼后，该校七年级采用随机抽签的方式选出了40名同学，并对这40名同学一分钟跳绳的成绩进行了统计，绘制了如下统计图和统计表：等级次数频数不合格100≤x＜1204合格120≤x＜140a良好140≤x＜16012优秀160≤x＜180b 请结合上述信息完成下列问题：（1）a＝，b＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）在扇形统计图中，“合格”等级对应的圆心角的度数是；（4）若该校有3000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳成绩达到良好及以上的人数．19．（8分）如图1，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩台底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角∠ABC为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），如图2，留在外面的楔子长度HC为3厘米．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）（1）求BH的长．（2）木桩上升了多少厘米？20．（8分）如图，直线BC与两坐标轴的正半轴分别交于点B、C（5，0），与反比例函数y ＝﹣的图象交于点A（﹣1，m），D是反比例函数位于第二象限内的图象上一点．（1）求m的值及直线BC的解析式．（2）将点D绕原点O顺时针旋转90°后的对应点D'恰好落在直线BC上，求D点的坐标．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，过点A、B的⊙O分别交AC、BC于点DE，AB＝AE，CD的垂直平分线交BC于点F，连接DF．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）已知EF＝3，DE＝4，求BE和AB的长．22．（9分）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意一点（点E不与B、C重合），点F在线段AE上，过点F的直线MN⊥AE，分别交AB、CD于点M、N．（1）如图1，当点N与点D重合时，求证：MN＝AE．（2）如图2，当F为AE的中点时，连接正方形的对角线BD，分别交MN于点G，交AE于点O，连接BF．求证：BF＝FG．（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为4，BE＝1，求OG的长度．六、（本大题共1小题，共12分）23．（12分）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点坐标为（0，c），那么我们把经过点（0，c）且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．[特例感知]（1）抛物线y＝x2+2x+1的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为．[研究深入]（2）经过点A（﹣1，0）和B（x，0）（x＞﹣1）的抛物线y＝﹣x2+mx+n与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线的另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标．[深入拓展]（3）在（2）的条件下，设抛物线y＝﹣x2+mx+n的顶点为P，直线EF垂直平分OC，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F．①当∠CDF＝45°时，求点P的坐标．②若直线EF与直线MN关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线MN的距离与点B 到直线EF的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．2021年江西省南昌市中考数学二调试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项。
2021年武汉市中考数学模拟试题2勤学早(二)及答案
2021年武汉市中考数学模拟试题2勤学早(二)及答案《勤学早》2021年武汉市四月调考逼真模拟试题（二）一、选择置l共10小置，每小题3分，共30分l 1．在-4，O，3，-8这四个数中，最大的数是( ) A.-4 B.O C.3 D.-8 210x+有意义的x的取值范围是( ) 7***-*****Ax B x≤- C_x≥ Dx≥77773不等式8-2x0的解集在数轴上表示正确的是( )4．下列事件是随机事件的是( ) A．购买一张福利彩票，中奖．B．在-个标准大气压下，加热到l00°C，水沸腾．C．有一名运动员奔跑的速度是50米／秒．D．在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球．25．已知一元二次方程x-4x+3=0两根为x1、x2则x1+x2的值是( ) A.4 B.3 C.-4 D．-36．如图，空心圆柱的主视图是( )7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC= ∠E=60°, 若BE=6，DE=2，则BC的长度是( ) A.6 B.8 C.9 D．108．下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共有11个矩形，……，按此规律，第⑥个图形中矩形的个数一共有（）A.30个B.25个C.28个D.31个9．某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年(1)班学生的体育测试成绩为样本，按四个等级进行统计，其中A级：90分-100分；B级：75分-89分；c级：60分-74分；D级：60分以T(D级为不合格)，将统计结果绘制如下两幅统计图，则以下四个结论：①D级学生的人数占全班总人数的百分比为4%；②扇形统计图中c级所在的扇形圆心角的度数为72。
；③该班学生体育测试成绩的中位数落在c等级内；④若该校九年级学生共有500人，估计这次考试中合格的学生共有480人，其中结论正确的个数有( ) A．1个B．2个C.3个D.4个10.如图，梯形ABCD中，AB//DC,AB上BC,AB=2cm,CD=4cm ．以BC上一点0为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°．则圆心O 到弦AD的距离是( )A．6cm B10 cm C.23 cm D.25cm二、填空题（共6小分，每小题3分，共18分）11。
2021年北京市东城区中考数学二模试卷(解析版)
2021年北京市东城区中考数学二模试卷一、选择题（共8小题）.1．下列各数中，小于的正整数是（）A．﹣1B．0C．1D．22．在下列不等式中，解集为x＞﹣1的是（）A．2x＞2B．﹣2x＞﹣2C．2x＜﹣2D．﹣2x＜23．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．不能确定4．下列式子中，运算正确的是（）A．（1+x）2＝1+x2B．a2⋅a4＝a8C．﹣（x﹣y）＝﹣x﹣y D．a2+2a2＝3a25．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（）A．2πB．5πC．D．10π6．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是直线y＝x与双曲线的交点，点B在第一象限，点C的坐标为（6，﹣2）．若直线BC交x轴于点D，则点D的横坐标为（）A．2B．3C．4D．57．多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物的年平均浓度值全面下降．如图是1998年至2019年二氧化硫（SO2）和二氧化氮（NO2）的年平均浓度值变化趋势图（）A．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数B．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数C．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的方差小于NO2的年平均浓度值的方差D．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快8．四位同学在研究函数y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）时，甲同学发现当x＝1时，函数有最大值；乙同学发现函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点为（0，﹣3）；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝3时，函数的值为0．若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式有意义，则x的取值范围是．10．分解因式：mx2﹣9m＝．11．用一个k的值推断命题“一次函数y＝kx+1（k≠0）中，y随着x的增大而增大”．是错误的，这个值可以是k＝．12．某校九年级（1）班计划开展“讲中国好故事”主题活动．第一小组的同学推荐了“北大红楼、脱贫攻坚、全面小康、南湖红船、抗疫精神、致敬英雄”六个主题，并将这六个主题分别写在六张完全相同的卡片上，然后将卡片放入不透明的口袋中．组长小东从口袋中随机抽取一张卡片，抽到含“红”字的主题卡片的概率是．13．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝EF，要使△ABC≌△EDF，只需添加一个条件，这个条件可以是．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（5，4）．若四边形OABC是平行四边形，则OABC的周长等于．15．若点P在函数的图象上，且到x轴的距离等于1，则点P的坐标是．16．数学课上，李老师提出如下问题：已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．求作：弧BC的中点D．同学们分享了四种方案：①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．上述四种方案中，正确的方案的序号是．三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：．18．先化简代数式，再求当a满足a﹣2＝0时，此代数式的值．19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．点B与点D关于直线l对称，连接AD，CD．求证：∠ACD＝∠ADC．20．已知：如图，点C在∠MON的边OM上．求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝．∵OC＝CD，∴∠MOD＝．∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（）（填推理的依据）．21．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0（m≠0）．（1）求证：此方程总有实数根；（2）写出一个m的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．22．如图，在菱形ABCD中，点E是CD的中点，连接AE，交BD于点F．（1）求BF：DF的值；（2）若AB＝2，AE＝，求BD的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线的两个交点分别为A（﹣3，﹣1），B（1，m）．（1）求k和m的值；（2）点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线于点Q．当点Q位于点P的右侧时，求点P的纵坐标n的取值范围．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD＝∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AF＝4，，求BE的长．25．中国新闻出版研究院组织实施的全国国民阅读调查已持续开展了18次，对我国国民阅读总体情况进行了综合分析．2021年4月23日，第十八次全国国民阅读调查结果发布．下面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息：a．本次调查有效样本容量为46083，成年人和未成年人样本容量的占比情况如图1．b．2020年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.70本，人均电子书阅读量约为3.29本；2019年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.65本，人均电子书阅读量约为2.84本．c.2012年至2020年，未成年人的年人均图书阅读量如图2．根据以上信息，回答问题：（1）第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的；（2）2020年，成年人的人均图书阅读量约为本，比2019年多本；（3）在2012年至2020年中后一年与前一年相比，年未成年人的年人均图书阅读量的增长率最大；（4）2020年，未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高%（结果保留整数）．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．（1）求抛物线的对称轴；（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P为AE的中点，连接DP．（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．（1）已知点A（6，8），在点Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4）中，是点A的“直角点”；（2）已知点B（﹣3，4），C（4，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；（3）在（2）的条件下，已知点D（t，0），E（t+1，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t 的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列各数中，小于的正整数是（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】估算确定出的大小，判断即可．解：∵1＜2＜4，∴1＜＜2，则小于的正整数是1．故选：C．2．在下列不等式中，解集为x＞﹣1的是（）A．2x＞2B．﹣2x＞﹣2C．2x＜﹣2D．﹣2x＜2【分析】根据不等式的性质逐一判断即可，在不等式两边同乘或同除一个正数或式子，不等号的方向不变；在不等式两边同乘或同除一个负数或式子，不等号的方向改变．解：A.2x＞2，不等式的两边同时除以2得：x＞1，即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；B．﹣2x＞﹣2，不等式的两边同时除以﹣2得：x＜1，即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；C.2x＜﹣2，不等式的两边同时除以2得：x＜﹣1，即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意；D．﹣2x＜2，不等式的两边同时除以﹣2得：x＞﹣1，即该不等式的解集符合题意，故本选项符合题意；故选：D．3．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．不能确定【分析】根据两点间的距离公式求出AO的长，然后与⊙O的半径比较，即可确定点A 的位置．解：∵点A（1，），∴AO＝＝2，∵⊙O的半径为2，∴点A在⊙O上，故选：A．4．下列式子中，运算正确的是（）A．（1+x）2＝1+x2B．a2⋅a4＝a8C．﹣（x﹣y）＝﹣x﹣y D．a2+2a2＝3a2【分析】分别根据完全平方公式，同底数幂的乘法法则，去括号法则以及合并同类项法则逐一判断即可．解：A．（1+x）2＝1+2x+x2，故本选项不合题意；B．a2⋅a4＝a6，故本选项不合题意；C．﹣（x﹣y）＝﹣x+y，故本选项不合题意；D．a2+2a2＝3a2，故本选项符合题意；故选：D．5．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（）A．2πB．5πC．D．10π【分析】首先求出圆心角，根据扇形的面积＝计算即可．解：∵ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∴S扇形OAB＝＝5π，故选：B．6．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是直线y＝x与双曲线的交点，点B在第一象限，点C的坐标为（6，﹣2）．若直线BC交x轴于点D，则点D的横坐标为（）A．2B．3C．4D．5解：∵点A，B是直线y＝x与双曲线的交点，∴联立方程得：，解得：或，∵点B在第一象限，∴B（2，2），∵点C的坐标为（6，﹣2），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，把B（2，2），C（6，﹣2）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，∵直线BC交x轴于点D，∴令y＝0，即﹣x+4＝0，解得：x＝4，∴点D横坐标是4，故选：C．7．多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物的年平均浓度值全面下降．如图是1998年至2019年二氧化硫（SO2）和二氧化氮（NO2）的年平均浓度值变化趋势图（）A．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数B．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数C．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的方差小于NO2的年平均浓度值的方差D．1998年至2019年，SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快解：由图可得：A、1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数值都在SO2的NO2的年平均浓度值的平均数以下，由此可得SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数，此选项正确，不合题意；B、1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数值都在SO2的NO2的年平均浓度值的平均数以下，由此可得SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数，此选项正确，不合题意；C、根据图中两折线中点的离散程度可得SO2的年平均浓度值的方差大于NO2的年平均浓度值的方差，此选项错误，符合题意；D、1998年至2019年，根据图中两折线的起止点可得SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快，此选项正确，不合题意．故选：C．8．四位同学在研究函数y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）时，甲同学发现当x＝1时，函数有最大值；乙同学发现函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点为（0，﹣3）；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝3时，函数的值为0．若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁解：由甲的结论可知：对称轴是直线x＝1时，即﹣＝＝1时b＝2；由乙的结论可知：函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点为（0，﹣3）时，c＝﹣3；若甲、乙正确，则y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝1时，y有最大值＝﹣1+2﹣3＝﹣2，当x＝3时，y＝﹣9+6﹣3＝﹣6，所以甲、乙中有一个错误，若丙正确，可知：函数的最大值为4时，＝4，即﹣4c﹣b2＝﹣16；若甲正确，则b＝2，此时﹣4c﹣b2＝﹣16，得c＝3，则y＝﹣x2+2x+3，当x＝3时，y＝﹣9+6+3＝0；所以丁正确，所以甲、丙、丁正确，乙错误．故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式有意义，则x的取值范围是x≠1．解：由题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1，故答案为：x≠1．10．分解因式：mx2﹣9m＝m（x+3）（x﹣3）．解：原式＝m（x2﹣9）＝m（x+3）（x﹣3）．故答案为：m（x+3）（x﹣3）．11．用一个k的值推断命题“一次函数y＝kx+1（k≠0）中，y随着x的增大而增大”．是错误的，这个值可以是k＝﹣1（答案不唯一）．解：当k＝﹣1时，一次函数为y＝﹣x+1，y随着x的增大而减小，∴命题“一次函数y＝kx+1（k≠0）中，y随着x的增大而增大”．是错误的，故答案为：﹣1（答案不唯一）．12．某校九年级（1）班计划开展“讲中国好故事”主题活动．第一小组的同学推荐了“北大红楼、脱贫攻坚、全面小康、南湖红船、抗疫精神、致敬英雄”六个主题，并将这六个主题分别写在六张完全相同的卡片上，然后将卡片放入不透明的口袋中．组长小东从口袋中随机抽取一张卡片，抽到含“红”字的主题卡片的概率是．解：含“红”字的主题卡片有“北大红楼”和“南湖红船”共2张，所以抽到含“红”字的主题卡片的概率是．故答案为：．13．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝EF，要使△ABC≌△EDF，只需添加一个条件，这个条件可以是BC＝DF（答案不唯一）．解：添加BC＝DF．∵AD＝BE，∴AD+DB＝BE+BD，∴AB＝ED，在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（SSS），故答案为：BC＝DF（答案不唯一）．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），B（5，4）．若四边形OABC是平行四边形，则OABC的周长等于14．解：过点B作BM⊥x轴交于点M，如图，∵点A，B的坐标为（2，0），（5，4）∴OA＝2，AM＝5﹣2＝3，BM＝4，∴AB＝＝5，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA＝BC＝2，CO＝AB＝5，\∴OABC的周长等于2×2+5×2＝14，故答案为：14．15．若点P在函数的图象上，且到x轴的距离等于1，则点P的坐标是（﹣1，1）或（1，1）．解：∵点P在函数的图象上，且到x轴的距离等于1，∴点P的纵坐标y＝1．∴点P的坐标为（﹣1，1）或（1，1）．故答案为：（﹣1，1）或（1，1）．16．数学课上，李老师提出如下问题：已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C．求作：弧BC的中点D．同学们分享了四种方案：①如图1，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D．②如图2，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D．③如图3，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D．④如图4，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D．上述四种方案中，正确的方案的序号是①②③④．【分析】①利用垂径定理可以证明＝．②证明BC⊥OD，可得结论．③利用圆周角定理可得结论．④利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．解：①由∵OD⊥BC，∴＝．②如图2中，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵OD∥AC，∴OD⊥BC，∴＝．③∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∴＝．④如图4中，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BE，∵AB＝AE，∴AD平分∠BAC，∴＝．故答案为：①②③④．三、解答题（本题共68分，第17-22每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：．【分析】根据零指数幂，二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．解：原式＝1+3+﹣＝+2．18．先化简代数式，再求当a满足a﹣2＝0时，此代数式的值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．解：原式＝﹣（a﹣1）＝﹣＝﹣＝，当a﹣2＝0，即a＝2时，原式＝＝4．19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．点B与点D关于直线l对称，连接AD，CD．求证：∠ACD＝∠ADC．【分析】设直线l交BD于点E，根据轴对称的性质得到∠AEB＝∠AED＝90°，BE＝DE，从而根据SAS可判定△ABE≌△ADE，由全等三角形的性质得到AB＝AD，从而得到AD ＝AC，根据等腰对等角即可求解．【解答】证明：设直线l交BD于点E，∵点B与点D关于直线l对称，∴∠AEB＝∠AED＝90°，BE＝DE，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴AB＝AD，∵AB＝AC，∴AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC．20．已知：如图，点C在∠MON的边OM上．求作：射线CD，使CD∥ON，且点D在∠MON的角平分线上．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线OM，ON于点A，B；②分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，交于点Q；③画射线OQ；④以点C为圆心，CO长为半径画弧，交射线OQ于点D；⑤画射线CD．射线CD就是所求作的射线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝∠NOD．∵OC＝CD，∴∠MOD＝∠CDO．∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（内错角相等两直线平行）（填推理的依据）．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义证明∠CDO＝∠DON即可．解：（1）如图，射线CD即为所求作．（2）∵OD平分∠MON，∴∠MOD＝∠NOD．∵OC＝CD，∴∠MOD＝∠CDO，∴∠NOD＝∠CDO．∴CD∥ON（内错角相等两直线平行）．故答案为：∠NOD，∠CDO，内错角相等两直线平行．21．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0（m≠0）．（1）求证：此方程总有实数根；（2）写出一个m的值，使得此该方程的一个实数根大于1，并求此时方程的根．【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出△＝（m﹣1）2，利用偶次方的非负性可得出（m﹣1）2≥0，即△≥0，再利用“当△≥0时，方程有实数根”即可证出结论；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出原方程的解且x1＝，x2＝1，结合该方程的一个实数根大于1，可得出＞1，解之可得出0＜m＜1，任取其内的一值即可得出结论．【解答】（1）证明：∵a＝m，b＝﹣（m+1），c＝1，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣4×m×1＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2．∵（m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴此方程总有实数根；（2）解：∵mx2﹣（m+1）x+1＝0，∴（mx﹣1）（x﹣1）＝0，∴x1＝，x2＝1．又∵该方程的一个实数根大于1，∴＞1，∴0＜m＜1，∴当m＝时，该方程的一个实数根大于1，此时方程的解为x1＝＝2，x2＝1．22．如图，在菱形ABCD中，点E是CD的中点，连接AE，交BD于点F．（1）求BF：DF的值；（2）若AB＝2，AE＝，求BD的长．【分析】（1）根据菱形性质，可得△ABF∽△EDF，利用对应边成比例即可求解．（2）连接AC，利用已知，可得△ADE是直角三角形，即可求出∠ADC＝60°，利用面积法即可求出BD的长度．解：（1）在菱形ABCD中，AB∥CD．∴∠BAF＝∠DEF，∠ABF＝∠EDF．∴△ABF∽△EDF，∴．∵点E是CD的中点．∴．∴BF：DF＝1：2．（2）连接AC．∵AB＝2，∴AD＝2．．∵AE＝，∴AE2+DE2＝AD2．∴△ADE是直角三角形，∴AE⊥DC，∠ADC＝60°．∴△ADC是等边三角形．∴AC＝2．利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，也可底乘高，可得：．∴BD＝．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线的两个交点分别为A（﹣3，﹣1），B（1，m）．（1）求k和m的值；（2）点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线于点Q．当点Q位于点P的右侧时，求点P的纵坐标n的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法可求k，然后把B（1，m）代入即可求得m；（2）由图象可知，P点在x轴的上方、B点的下方或P点在A点的下方符合题意．解：（1）∵双曲线过点A（﹣3，﹣1），∴k＝﹣3×（﹣1）＝3，∴反比例函数解析式为y＝，∵B（1，m）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝＝3；（2）∵直线l与双曲线的两个交点分别为A（﹣3，﹣1），B（1，3），且点Q位于点P的右侧，∴0＜n＜3或n＜﹣1．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AC上．过点B作直线交AC的延长线于点D，使得∠CBD＝∠CAB．过点A作AE⊥BD于点E，交⊙O于点F．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AF＝4，，求BE的长．【解答】证明：（1）连接OB，∵圆心O在AC上．∴AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵OA＝OB，∴∠CAB＝∠OBA，∵∠CBD＝∠CAB，∴∠CBD＝∠OBA，∴∠OBC+∠CBD＝∠OBC+∠OBA＝90°，∴OB⊥BD，∵OB为半径，∴BD是⊙O的切线；（2）连接CF，∵AC是直径，∴∠AFC＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠AFC＝∠AED，∴CF∥DE，∴∠D＝∠ACF，在Rt△ACF中，∵AF＝4，∴sin∠ACF＝，∴AC＝6，由勾股定理可得：CF＝，∵∠AEB＝∠EFC＝∠OBE＝90°，∴四边形EFHB是矩形，∴BE＝FH，∵OH∥AF，OA＝OC，∴H为CF的中点，∴FH＝BE＝．25．中国新闻出版研究院组织实施的全国国民阅读调查已持续开展了18次，对我国国民阅读总体情况进行了综合分析．2021年4月23日，第十八次全国国民阅读调查结果发布．下面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息：a．本次调查有效样本容量为46083，成年人和未成年人样本容量的占比情况如图1．b．2020年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.70本，人均电子书阅读量约为3.29本；2019年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.65本，人均电子书阅读量约为2.84本．c.2012年至2020年，未成年人的年人均图书阅读量如图2．根据以上信息，回答问题：（1）第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的25.2%；（2）2020年，成年人的人均图书阅读量约为7.99本，比2019年多0.5本；（3）在2012年至2020年中后一年与前一年相比，2012年至2013年未成年人的年人均图书阅读量的增长率最大；（4）2020年，未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高34%（结果保留整数）．【解答】（1）1﹣74.8%＝25.2%，故答案为：25.2%；（2）2020年，成年人的人均图书阅读量：4.70+3.29＝7.99（本），2019年，成年人的人均图书阅读量：4.65+2.84＝7.49（本），7.99﹣7.49＝0.5（本），故答案为：7.99，0.5；（3）2012年至2013年的增长率为：（6.97﹣5.49）÷5.49≈27%，2013年至2014年的增长率为：（8.45﹣6.97）÷6.97≈21%，2014年至2015年的增长率为：（7.19﹣8.45）÷8.45≈﹣18%，2015年至2016年的增长率为：（8.34﹣7.19）÷7.19≈16%，2016年至2017年的增长率为：（8.81﹣8.34）÷8.34≈6%，2017年至2018年的增长率为：（8.91﹣8.81）÷8.81≈1%，2018年至2019年的增长率为：（10.36﹣8.91）÷8.91≈16%，2019年至2020年的增长率为：（10.71﹣10.36）÷10.36≈3%，∴2012年至2013年的增长率最大，故答案为：2012年至2013；（4）（10.71﹣7.99）÷7.99≈34%，故答案为：34．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+1与y轴交于点A．（1）求抛物线的对称轴；（2）点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；（3）已知点P（0，2），Q（a+1，1）．若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．解：（1）∵y＝ax2﹣3ax+1＝a（x2﹣3x）+1＝a+，∴抛物线y＝ax2﹣3ax+1的对称轴为直线x＝．（2）令x＝0，则y＝1．∴A（0，1）．∵点B是点A关于对称轴的对称点，∴A与B的纵坐标相同．∵对称轴为直线x＝，∴点A与B到直线x＝的距离均为，∴点B的横坐标为．∴B（3，1）．（3）由题意：a≠0．①当a＞0时，如图，∵Q（a+1，1），A（0，1），B（3，1），∴点Q，A，B在直线y＝1上．∵P（0，2），∴从图上可以看到：当点Q在点A的左侧（包括点A）或在点B的右侧（包括点B）时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．∵A（0，1），B（3，1），∴a+1≤0（不合题意，舍去）或a+1≥3．∴a≥2．②当a＜0时，如图，由①知：点Q，A，B在直线y＝1上．∵P（0，2），∴从图上可以看到：当Q在点A与点B之间（包括点A，不包括点B）时，线段PQ与抛物线只有一个公共点．∵A（0，1），B（3，1），∴0≤a+1＜3．∴﹣1≤a＜2．又∵a＜0，∴﹣1≤a＜0．综上，若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点，a的取值范围为：﹣1≤a＜0或a≥2．27．已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P为AE的中点，连接DP．（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．解：（1）∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，∴AD＝ED，∵P为AE的中点，∴DP⊥AE；（2）①补全图形如图2所示；证明：∵△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，∴∠DAE＝45°，AD＝ED，∵P为AE的中点，∴∠ADP＝∠EDP＝45°，∴∠BAE+∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝45°，∵∠CAD+∠ACP＝∠ADP＝45°，∴∠BAE＝∠ACP；②BF＝DF．证明：如图3，延长CP至G，使PG＝DP连接AG，BG，∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，∴AD＝DE，∠DAE＝45°，∵P为AE的中点，∴∠APD＝∠APG＝90°，AP＝DP＝PG，∠ADP＝45°，∴△APG≌△APD（SAS），∴AG＝AD，∠PAG＝∠DAE＝∠AGP＝45°，∴∠GAD＝∠BAC＝90°，∴∠BAG+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝90°，∴∠BAG＝∠CAD，∵AG＝AD，AB＝AC，∴△BAG≌△CAD（SAS），∴∠AGB＝∠ADC＝180°﹣∠ADP＝135°，∴∠BGC＝∠AGB﹣∠AGP＝90°，∴∠BGC＝∠APG，∴PF∥BG，∴＝＝1，∴BF＝DF．28．对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．（1）已知点A（6，8），在点Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4）中，Q1和Q3是点A的“直角点”；（2）已知点B（﹣3，4），C（4，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；（3）在（2）的条件下，已知点D（t，0），E（t+1，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理证明OQ12+AQ12＝OA2，OQ32+AQ32＝OA2，可得∠OQ1A＝90°，∠OQ3A＝90°，再根据“直角点”的定义可得结论；（2）连接OB，OC，取BO的中点M，OC的中点N，分别以M，N为圆心，OB，OC 为直径作圆，由图可知，Q1，Q2为两个临界点，即可求得答案；（3）如图2，⊙M、⊙N分别与x轴交于B′（﹣3，0），C′（4，0），可得出﹣3≤t ≤3，再结合（2）的结论即可求得答案．解：（1）∵点Q1（0，8），Q2（﹣4，2），Q3（8，4），点A（6，8），∴OQ1＝＝8，OQ2＝＝，OQ3＝＝＝，OA＝＝10，AQ1＝＝6，AQ2＝＝＝，AQ3＝＝＝，∴OQ12+AQ12＝OA2，OQ32+AQ32＝OA2，OQ22+AQ22≠OA2，∴∠OQ1A＝90°，∠OQ3A＝90°，∴Q1和Q3是点A的直角点；故答案为：Q1和Q3；（2）如图所示，连接OB，OC，取BO的中点M，OC的中点N，分别以M，N为圆心，OB，OC为直径作圆，由图可知，Q1，Q2为两个临界点，则＝x M﹣Q2M＝﹣﹣＝﹣4，同理，＝2+2，∴﹣4≤n≤2+2；（3）如图2，⊙M、⊙N分别与x轴交于B′（﹣3，0），C′（4，0），∴，解得：﹣3≤t≤3，∵D（t，0），E（t+1，0），∴DE＝1，由（2）可知，Q为BC的“直角点”，Q的横坐标n的取值范围为﹣4≤n≤2+2，∴，解得：﹣3≤t≤3，综上所述，﹣3≤t≤3．。
2021年上海市静安区中考数学二模试卷(含解析)
2021年上海市静安区中考数学二模试卷(含解析)2021年上海市静安区中考数学二模试卷一、选择题（共6小题）1.下列计算正确的是（）A。
1-1=-1B。
1+1=2C。
(-1)-1=-2D。
(-1)×(-1)=12.如果关于x的方程x²-6x+m=0有实数根，那么m的取值范围是（）A。
m>9B。
m≥9C。
m<9D。
m≤93.一次函数y=3x-2的图象不经过的象限是（）A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限4.对于等边三角形，下列说法正确的为（）A。
既是中心对称图形，又是轴对称图形B。
是轴对称图形，但不是中心对称图形C。
是中心对称图形，但不是轴对称图形D。
既不是中心对称图形，又不是轴对称图形5.某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在8天中每天所出的次品数如下（单位：个）：3，3，2，2，3，4，3.那么该班组在8天中出的次品数的中位数与方差分别是（）A。
2.5与1.5B。
2与1.5C。
2.5与2D。
2与66.对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离。
下列判断正确的是（）A。
①是真命题，②是假命题B。
①是假命题，②是真命题C。
①、②都是真命题D。
①、②都是假命题二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）7.化简：|4-7|÷|3-6|=1/3.8.计算：x÷(x²-x)=1/(x-1)。
9.函数f(x)=√(x²-4x+3)的定义域为(-∞,1]∪[3,∞)。
10.如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值y随x的增大而减小。
11.方程组2x-3y=7，3x+2y=1的解为x=-5，y=-9.12.从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率是1/3.13.为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计。
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一．选择题（每题3分，满分18分）
1．|﹣|的值为（）
A．B．﹣C．2019D．﹣2019
2．下列运算正确的是（）
A．2x2÷x2＝2xB．（﹣a2b）3＝﹣a6b3
C．3x2+2x2＝5x4D．（x﹣3）2＝x2﹣9
3．某市为了解旅游人数的变化情况，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间的月接待旅游量（单位：万人次）的数据并绘制了统计图如下：根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）
A．2017年至2019年，年接待旅游量逐年增加
B．2017年至2019年，各年的月接待旅游量高峰期大致在7，8月份
C．2019年的月接待旅游量的平均值超过300万人次D．2017年至2019年，各年下半年（7月至12月）的月接待旅游量相对于上半年（1月至6月）波动性更小，变化比较平稳4．如图，四边形ABCD内接于半径为9的⊙O，∠ABC＝110°，则
劣弧AC的长为（）
A．7πB．8πC．9πD．10π
5．若点M在抛物线y＝（x+3）2﹣4的对称轴上，则点M的坐标可能是（）
A．（3，﹣4）B．（﹣3，0）C．（3，0）D．（0，﹣4）
6．观察下列图形：用黑白两种颜色的五边形地砖按如图所示的规律，拼成若干个蝴蝶图案，则第7幅蝴蝶图案中白色地砖有（）
A．7块B．22块C．35块D．44块
二．填空题（满分18分，每小题3分）
7．要使分式有意义，x的取值应满足．
8．已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为．9．一次函数y＝ax+b在直角坐标系中的图象如图所示，则化简a﹣b﹣|a+b|的是．
10．甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，y与x的函数关系如图，其中x表示乙行走的时间（时），y表示两人与A地的距离（千米），甲的速度比乙每小时快千米．
11．若二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（0，3），则函数y的最小值是．
12．如图，正比例函数y＝x的与反比例函数y＝的图象交于A（a，﹣2）、B两点．P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P 作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，则点P的坐标为．
三．解答题
13．计算：|﹣3|﹣（﹣π）0+（）﹣1+（﹣1）2019﹣．14．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，F为BA延长线上的一点，AE平分∠FAC，DE∥BA交AE于E．求证：四边形ADCE是矩形．
15．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．16．（6分）已知∠α和线段a，如图．用直尺和圆规作一个菱形，使它的一个内角等于∠α，边长为a．
17．（6分）一个不透明的纸箱里有分别标有汉字“热”“爱”“祖”
“国”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“国”字的概率；
（2）小红从中任取球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求小红取出的两个球上的汉字恰好能组成“爱国”或“祖国”的概率．
18．（6分）如图，一次函数y＝x+4的图象与反比例函数y＝（k 为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C．
（1）求a，k的值及点B的坐标；
（2）若点P在x轴上，且S△ACP＝S△BOC，直接写出点P的坐标．
四．解答题
19．（8分）随着高铁的建设，春运期间动车组发送旅客量越来越大，相关部门为了进一步了解春运期间动车组发送旅客量的变化情况，针对2014年至2018年春运期间的铁路发送旅客量情况进行了调查，过程如下．
（Ⅰ）收集、整理数据
请将表格补充完整：
年份2014 2015 2016 2017 2018 动车组发送旅客量a
亿人次
0.87 1.14 1.46 1.80 2.17
铁路发送旅客总量b
亿人次
2.52 2.76
3.07 3.42 3.82
动车组发送旅客量占比×100% 34.5% 41.3%
47.6% 52.6%
（Ⅱ）描述数据
为了更直观地显示动车组发送旅客量占比的变化趋势，需要用（填“折线图”或“扇形图”）进行描述；
（Ⅲ）分析数据、做出推测
预估2019年春运期间动车组发送旅客量占比约为，你的预估理由是．
20．（8分）如图，小明今年国庆节到青城山游玩，乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它经过了200m，缆车行驶的路线与水平夹角∠α＝16°，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面夹角∠β＝42°，求缆车从点A到点D垂直上升的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin16°≈0.27，cos16°≈0.77，sin42°≈0.66，cos42°≈0.74）。