第1章 质点力学 习题参考答案--2013.01

对上式积分，并代人初始条件 x = 0， v ∴ v v0 e
kx
v0 ，有
x dv kdx v0 v 0 v
，得证。
1-7. 如图所示，质点 P 在水平面内沿一半径为 R=2 m 的圆轨道转动．转动的角速度 与时间 t 的函数关系为
kt 2 (k 为常量)．已知 t 2s 时，质点 P 的
s
t
t
a0
2
)d t
故各瞬时
s
a0 2 a0 3 t t 2 6
当 t = n 时，质点的速度 v n
1 n(n 2)a0 ； 2 1 2 2 质点走过的距离 s n n (n 3)a0 6
M S B
1-4．质点 M 在水平面内的运动轨迹如图所示，OA 段为直线， AB、 BC 段分别为不同半径的两个 1/4 圆周． 设 t =0 时，M 在 O 点，已知运动学方程为 S =30t+5t2 (SI) 求 t =2 s 时刻，质点 M 的切向加速度和法向加速度． 解：首先求出 t=2 s 时质点在轨迹上的位置， S =80 (m)，质点在大圆上。 各瞬时质点的速率： v dS / dt 30 10t ∴ t =2 s 时, v =50 m/s 各瞬时质点的切向加速度和法向加速度：
其中 b、c 是大于零的常量，求从 t 0 开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的 时间． 解： v dS / dt b ct
at dv / dt c
2
an b ct / R
根据题意，
c b ct / R ， 解得
2
t
b Rc c
1-6．一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反， 大小与速度平方成正比，即 dv /d t kv ， 式中 k 为常量．试证明电艇在关闭发动机后
N a
kv f
mg sin mg cos kv ma t=0 时 a0 g s i n g c o s kv 0 / m
t→∞时
（1）
（2） mg s i n mg c o s kv m a x 0 由（1） 、 （2）解得 k ma0 /( v max v 0 ) 1.96 N·s/m 将ｋ值代入②式，得
10
v0 fr v N
m
1 1 2 W f mv 2 mv0 2 2
求滑块离开屏障时的速率 v。滑块作圆周运动，采用自然 坐标系， 法向： N m
v2 R
dv dt
（1） （2）
切向： f r N m
将式（1）代入式（2）并将积分变量代换为 θ 后得：
μ
v 2 dv dv d v dv R dt dt d R d
kv m
dv ， dt

解得： v v 0 e
k dv dt , m v

k dv dt m v 0 v0
t
v
kt / m
(2) 求最大深度 解法一：
v
dx kt / m ； ∴ d x v 0e dt dt
对上式积分并代入初始条件有 ∴
d x v
0 0
P =mg

mg sin kv max 0.125 mg cos
1-11.
1-12.
1-13. 解： （1）质点在 A5 , 0 点和 B0 , 4 点时的动能； 由 r 5cos ti 4sin tj ， 有 v
dr 5 sin ti 4 cos tj dt
v2 R dv f m dt N m v2 ； R
at
N
2 dv v dt R v t dv (2) 对上式分离变量后积分 3 2 dt v v 0 R 2R 解得 t v
f m
1-10. 一辆质量为 m = 4 kg 的雪橇，沿着与水平面夹角 =36.9°的斜坡向下滑动，所 受空气阻力与速度成正比， 比例系数 k 未知． 今测得雪橇运动的 v－t 关系如图曲线所示， t= 0 时， v0 = 5 m/s， 且曲线在该点的切线通过坐标为(4 s， 14.8 m/s)的 B 点， 随着时间 t 的增加， v 趋近于 10 m/s， 求阻力系数 k 及雪橇与斜坡间的滑动摩擦系数．( sin36.9°= 0.6， cos36.9° =0.8) 解：由 v－t 曲线知， t = 0 时，v0 = 5 m/s，a0 =2.45 m/s2； t→∞时，v = v max =10 m/s，a→0 ； 雪橇下滑过程中受力如图．由牛顿运动定律有
kt / m
x
t
0
e kt / m d t
x (m / k )v 0 (1 e
)
当 t 时，得 xmax mv 0 / k 解法二： kv m ∴
dv dv d x dv m( )( ) mv dt d x dt dx xmax 0 m m dx dv ； d x d v k k 0 v0
15 m A 15 m O 10 m/s2 dt dt2 v2

1 2 ct 2
故 t =2 s 时， at =10 m/s2 , an =83.3 m/s2 1-5． 一质点沿半径为 R 的圆周运动． 质点所经过的弧长与时间的关系为 S bt
设水是从井水面处打起的，则将一桶水提到井口处，力 F 做的功为
W Fdy = (m0g - ky )dy
0 0
10
10
1 (m0gy - ky 2 ) = （ 110 - 10） × 9.8 = 980 （J）. 2 0
1-16 证明： 滑块在水平面内受到两个力的作用： 屏障给 它的支持力 N 和摩擦力 fr，如图所示。 滑块在沿屏障作圆周运 动的过程中，支持力不做功，只有摩擦力做功，但摩擦力是变 力，不易直接求出，故利用动能定理，摩擦力的功为：
1-15 解：以井中水面为坐标原点，取竖直向上为 y 轴正方向。将水桶提到高为 y 处瞬 时，人用力的大小为
F = (m0g - ky)
1 式中 m 为满桶水加水桶的质量，k 为每升 1m 漏掉的水的重量，即 k 0.2 g N m


水桶再升高 dy，力 F 做的元功为
dW Fdy = (m0g - ky)dy
x 分量做功 y 分量做功
Wx 22 x d x 252 J (),
5
0
Wy 22 ydy 162 (J).
0
4
1-14
（2） v
t 2 Pt dx 2 Pt 2Pt 8P 3 , dx dt , x dt t 2. 0 dt m m m 9m
a
dv dv d x 2 6x 2 ， dt d x dt
分离变量可得：
v d v (2 6 x 2 ) d x
对上式积分并代入初始条件有
v 2 v dv 2 6 x d x 0 x

2

∴ v 2 xx

3

0 1
，方向沿 x 轴正向。
1-3． 一质点从静止开始作直线运动，开始时加速度为 a0，此后加速度随时间均匀增 加，经过时间后，加速度为 2a0，经过时间 2后，加速度为 3 a0 ,…求经过时间 n后，该 质点的速度和走过的距离． 解：设质点的加速度为 a = a0+ t ∵ t = 时， a =2 a0 ∴ = a0 / 即 a = a0+ a0 t / 由 a = dv /dt ，可得 dv = adt
速度值为 32 m/s．试求 t 1 s 时，质点 P 的速度与加速度的大小． 解：先根据已知条件确定常量 k
P
k ω / t v / Rt 4rad / s ； 2 任意瞬时 t： v R 4Rt at dv / dt 8Rt ；
2 2 2
O R
∴
4t
2
an v 2 / R 32t 4 ；
当 t 1s 时，v = 4Rt2 = 8 m/s
at 16m / s 2
an 32m / s 2
∴ a at a n
2

2 1/ 2

35.8 m/s2
1-8. 质量为 m 的子弹以速度 v 0 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小 与速度成正比，比例系数为 k，忽略子弹的重力，求： (1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； (2) 子弹进入沙土的最大深度． 解：(1) 子弹进入沙土后受力为－kv， 由牛顿定律有 对上式分离变量并代入初始条件
解得： xmax mv0 / k 1-9. 在光滑的水平面上固定一半径为 R 的圆形环 围屏，质量为 m 的滑块沿环形内壁转动，滑块与壁间摩 擦系数为 。
（1）当滑块速度为 v 时，求它与壁间的摩擦力及滑块的切向加速度。 （2）求滑块的速率由 v 变为 v 3 所需的时间。 解: (1) 选小球为研究对象，画其水平面上受力分析图。 利用自然坐标系，列方程 法向 切向 ∴ f
v 5 sin ti 4 cos tj = -5 i
动能
1 2 mv 25 2 J 2
（2） 质点从 A 点运动到 B 点，合外力的 x 分量和 y 分量所作的功：
F ma 22 (5cos ti 4sin tj ) 22 ( xi yj )
2
又行驶 x 距离时的速度为 v v 0 e
kx
，其中 v 0 是发动机关闭时的速度．
解：本题已知加速度和速度的关系，而要求速度与位置坐标的关系。 因此要做变量代换
a
2
dv d v d x dv v dt d x dt dx