第一章 1.1 集合的概念

第一章集合与常用逻辑用语[数学文化]——了解数学文化的发展与应用康托尔与集合论翻开高中数学课本，首先映入眼帘的数学概念是集合.研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论.它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，而且其基本概念已渗透到数学的所有领域.如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么集合论正是构成这座大厦的基石.其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对20世纪数学发展影响最深的学者之一.康托尔(Georg Cantor，1845～1918)，德国数学家，生于俄罗斯圣彼得堡，自幼对数学有浓厚兴趣.1867年，22岁的康托尔获得博士学位，以后一直在哈雷大学任教，从事数学教学与研究.[读图探新]——发现现象背后的知识一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义.于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”而集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民.有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动.数学家激动的喊：“找到了，找到了，这就是一个集合”.问题1：数学家说的集合是指什么？集合中的对象是什么？这些对象有完全一样的吗？网中的“大鱼”能构成集合吗？问题2：渔民网中的鱼组成的集合和湖中的鱼组成的集合有怎样的关系？问题3：如果有两个渔民都在打渔，他们各自渔网中的鱼的种类组成两个集合，那么求这两个集合中的相同鱼的种类组成的新集合是集合的什么运算？将两个渔网中的鱼组成的集合中的鱼的种类合在一起的过程又是集合的哪种运算？链接：数学家所说的集合是指渔网中的鱼，很显然渔网中的对象都是确定的、无序的和互异的；渔网中的鱼组成的集合是湖中的鱼组成集合的一部分，是湖中鱼构成集合的一个子集；两个渔网中相同鱼的种类组成的集合是两个集合的交集，两个渔网中的鱼的种类合在一起就构成了两个集合的并集.1.1集合的概念课标要求素养要求1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.在集合概念的形成中，经历由具体到抽象、由自然语言和图形语言到符号语言的表达过程，发展学生的数学抽象素养和数学运算素养.教材知识探究中国共产党第十九次全国代表大会(简称党的十九大)于2017年10月18日至10月24日在北京召开.问题党的十九大会议的代表能否构成一个集合？提示党的十九大会议的代表能构成一个集合.1.元素与集合的概念集合中元素的三个特性是解决集合问题的关键(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.(3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.2.元素与集合的关系在a∈A与a A这两种情况中有且只有一种成立知识点关系概念记法读法元素与集合属于如果a是集合A中的元素，a∈A “a属于A”的关系就说a属于A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于Aa A “a不属于A”名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋Z Q R (1)列举法列举法对有限集情有独钟，但自然数集、整数集也可用列举法来表示，但不能用来表示实数集把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}.(2)描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.教材拓展补遗[微判断]1.漂亮的花可以组成集合.(×)提示“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合.2.由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.(×)提示由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素.3.元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是不相等的.(×)提示集合中的元素具有无序性，所以元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一集合.[微训练]1.用符号“∈”或“”填空.(1)若A＝{x|x2＝x}，则－1________A；(2)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C，9.1________C.解析(1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0，1}，∴－1A.(2)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∴8∈C，9.1C.答案(1)(2)∈2.试分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；(2)大于2且小于7的整数.解(1)用描述法表示为{x∈R|x(x2－2x－3)＝0}，用列举法表示为{0，－1，3}.(2)用描述法表示为{x∈Z|2<x<7}，用列举法表示为{3，4，5，6}.[微思考]1.设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3，4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？提示3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4A.2.某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？提示某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准.高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定.元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.题型一集合概念的理解【例1】考察下列每组对象能否构成一个集合：集合中的元素具有确定性(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2019年在校的所有矮个子同学；(4)3的近似值的全体.解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；(2)能构成集合；(3)“矮个子”无明确的标准，对于某个人算不算矮个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.规律方法判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.【训练1】(1)下列给出的对象中能构成集合的是()A.著名物理家B.很大的数C.聪明的人D.小于3的实数(2)下列各组对象可以构成集合的是()A.数学必修第一册课本中所有的难题B.小于8的所有素数C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数解析(1)只有选项D有明确的标准，能构成一个集合.(2)A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合. 答案(1)D(2)B题型二集合中元素的性质及应用元素与集合的关系用“∈”或“”表示【例2】(1)给出下列关系：①12∈R；②|－3|N；③|－3|∈Q；④0N.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析①正确；②③④不正确.答案 A(2)已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a. 解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－3 2.当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去.当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，∴a＝－32.规律方法利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对求得参数值进行检验.(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用. 【训练2】(1)设集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，则下列关系中正确的是()A.a∈MB.a MC.a＝MD.a≠M解析 判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是.∵11<23，∴a M .答案 B(2)已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3是集合A 中的元素，试求实数a 的值.解 因为－3是集合A 中的元素， 所以－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0，此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合要求； 若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合要求. 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.题型三 集合的表示方法【例3】 用适当的方法表示下列集合： (1)方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x －2>6的解的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合； (5)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝3，x －y ＝5的解集.解 (1){0，－1}；(2){x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N }； (3){x |x >8}；(4){1，2，3，4，5，6}；(5)解集用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝5，解集用列举法表示为{(4，－1)}.规律方法 (1)一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围.(2)方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示.注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式. 【训练3】 (1)下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A.{x |x ＝1} B.{y |(y －1)2＝0} C.{x ＝1}D.{1}(2)有下面六种表示方法①{x ＝－1，y ＝2}；②(x ，y )|⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＝－1，y ＝2；③{－1，2}；④(－1，2)；⑤{(－1，2)}；⑥{x ，y |x ＝－1或y ＝2}.其中，能正确表示方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________(填序号).解析 (1)由集合的含义知{x |x ＝1}＝{y |(y －1)2＝0}＝{1}，而集合{x ＝1}表示由方程x ＝1组成的集合，故选C. (2)件中“或”也要改为“且”一、素养落地1.通过集合概念及元素与集合关系的学习，重点培养数学抽象素养及提升数学运算素养.2.研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.这是判断能否构成集合的依据.3.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则.(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.二、素养训练1.现有下列各组对象：①著名的数学家；②某校2019年在校的所有高个子同学；③不超过30的所有非负整数；④方程x2－4＝0在实数范围内的解；⑤平面直角坐标系中第一象限内的点.其中能构成集合的是()A.①③B.②③C.③④D.③④⑤解析①著名的数学家无明确的标准，对某个数学家是否著名无法客观地判断，因此①不能构成一个集合；类似地，②也不能构成集合；③任给一个整数，可以明确地判断它是不是“不超过30的非负整数”，因此③能构成一个集合；类似地，④也能构成一个集合；对于⑤，“在第一象限内”不仅可以用坐标系进行图示，也可以通过点的横纵坐标是否都大于0来判断，标准是明确的，因此能构成一个集合.答案 D2.已知1，x ，x 2三个实数构成一个集合，x 满足的条件是( )A.x ≠0B.x ≠1C.x ≠±1D.x ≠0且x ≠±1解析 根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧1≠x ，x ≠x 2，x 2≠1，解得x ≠0且x ≠±1.答案 D3.下列所给关系正确的个数是( ) ①2Q ；②|－1|∈N ；③π∈R ；④－3∈Z . A.1B.2C.3D.4 解析 ∵2是无理数，∴2Q ，因此①正确.又|－1|＝1∈N ，π是实数，－3是整数，故②③④也正确.答案 D4.已知集合A 中的元素x 满足x ≥2，若a A ，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题意a 不满足不等式x ≥2，即a <2.答案 a <25.若集合A 是由所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成，判断－6＋22是不是集合A 中的元素？解 因为－2∈Z 且2∈Z ，所以－6＋22＝3×(－2)＋2×2是形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数，即－6＋22是集合A 中的元素.基础达标一、选择题1.以下各组对象不能组成集合的是( )A.中国古代四大发明B.地球上的小河流C.方程x 2－1＝0的实数解D.周长为10 cm 的三角形解析 选项B 中的对象没有明确的标准，不具备确定性，故不能组成集合. 答案 B2.方程组⎩⎨⎧x －y ＝3，2x ＋y ＝6的解集是( ) A.{x ＝3，y ＝0}B.{3}C.{(3，0)}D.{(x ，y )|(3，0)}解析 方程组解的形式是有序实数对，故可排除A ，B ，而D 不是集合表示的描述法的正确形式，排除D.答案 C3.下列集合中恰有2个元素的集合是( )A.{x 2－x ＝0}B.{y |y 2－y ＝0}C.{x |y ＝x 2－x }D.{y |y ＝x 2－x }解析 选项A 中的集合只有一个元素为：x 2－x ＝0；集合{y |y 2－y ＝0}的代表元素是y ，则集合{y |y 2－y ＝0}是方程y 2－y ＝0根的集合，即{y |y 2－y ＝0}＝{0，1}；选项C ，D 中的集合中都有无数多个元素，故选B.答案 B4.若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( )A.矩形B.平行四边形C.菱形D.梯形解析由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D.答案 D5.用描述法表示图中所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是()A.{－2≤x≤0且－2≤y≤0}B.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}C.{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y<0}D.{(x，y)|－2≤x<0或－2≤y≤0}解析由阴影知，－2≤x≤0且－2≤y≤0，∴集合{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}表示阴影部分点的集合.答案 B二、填空题6.已知①5∈R；②13∈Q；③0N*；④πQ；⑤－4Z.正确的个数为________.解析①②③④是正确的；⑤是错误的.答案 47.若集合P含有两个元素1，2，集合Q含有两个元素1，a2，且P和Q相等，则a的值为________.解析由于P和Q相等，故a2＝2，∴a＝±2.答案±28.若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________.解析由题意可知(－5)2－a×(－5)－5＝0，得a＝－4，故方程x2－4x＋4＝0的解为x ＝2，即{x |x 2－4x －a }＝{2}，则其所有元素之和为2.答案 2三、解答题9.判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)2，32，64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13，13这些数组成的集合有5个元素； (2)方程(x －3)(x ＋1)2＝0的解组成的集合有3个元素.解 (1)不正确.∵32＝64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－13＝13， ∴这个集合有3个元素.(2)不正确.方程(x －3)(x ＋1)2＝0的解是x 1＝3，x 2＝x 3＝－1，因此这个集合只有3，－1两个元素.10.用适当的方法表示下列集合：(1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)所组成的自然数的集合；(2)方程2x ＋1＋|y －2|＝0的解集.解 (1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有：12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12，21，13，31，23，32}.(2)由2x ＋1＋|y －2|＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y －2＝0，所以⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝2，所以方程2x ＋1＋|y －2|＝0的解集用描述法可表示为(x ，y )⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＝－12y ＝2；用列举法可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫－12，2. 能力提升11.由三个数a ，b a ，1组成的集合与由a 2，a ＋b ，0组成的集合是同一个集合，求a 2 019＋b 2 019的值.解 由a ，b a ，1组成一个集合，可知a ≠0，a ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＝a ＋b ，b a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ，a ＋b ＝1，b a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(不满足集合元素的互异性，舍去). 所以a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋0＝－1.12.下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}；B ＝{y |y ＝x 2＋1}；C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}.问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？解 (1)在A ，B ，C 三个集合中，虽然特征性质的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合.(2)集合A 的代表元素是x ，满足y ＝x 2＋1，故A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R .集合B 的代表元素是y ，满足y ＝x 2＋1的y ≥1，故B ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}.集合C 的代表元素是(x ，y )，满足条件y ＝x 2＋1，即表示满足y ＝x 2＋1的实数对(x ，y )；也可认为满足条件y ＝x 2＋1的坐标平面上的点.因此，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|(x ，y )是抛物线y ＝x 2＋1上的点}.。