数值分析实验报告-Sor法分析

数值分析实验报告
一、 实验目的
1、会使用Sor 法求解一个线性方程组
2、熟悉matlab 语言并结合原理编程求方程组
3、改变ω的值观察实验结果
4、会分析实验结果 二、实验题目
编制Sor 迭代格式程序进行求解一个线性方程组的迭代计算情况，运行中要选用不同的松弛因子ω进行尝试
三、 实验原理
Jacobi 迭代和seidel 迭代对具体的线性方程组来说，逼近*x 的速度是固定不变的，遇到收敛很慢的情况时就显得很不实用。

Sor 法是一seidel 迭代为基础，并在迭代中引入参数ω以增加迭代选择的灵活性，具体为：
!
用seidel 迭代算出的,)()1()()1(k k J k k J
x x x x x -=∆++相减得到差向量与再用参数ω乘之再加上
)1()()()1()1()()()1(++++-=∆+=k J
k k k k k k x x x x x x x x ωωω，即的下一步迭代作为，由seidel 迭代的公式可以得到Sor 法的迭代格式为
n i x a x a b a x x k j n i j ij k j i j ij i ii k i k i ,2,1),()1()(1)1(11)()1( =--+-=∑∑+=+-=+ω
ω
式中ω称为松弛因子。

四、 实验内容
用matlab 编程得到Sor 法求线性方程组的算法为：
function [x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M)
if nargin==4
eps= ;
M = 200;
elseif nargin<4
error
return
：
elseif nargin ==5
M = 200;
end
if(w<=0 || w>=2)
error;
return;
end
D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵（
U=-triu(A,1); %求A的上三角阵B=inv(D-L*w)*((1-w)*D+w*U);
f=w*inv((D-L*w))*b;
x=B*x0+f;
n=1; %迭代次数
while norm(x-x0)>=eps
x0=x;
x =B*x0+f;
n=n+1;
if(n>=M)
（
disp('Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！'); return;
end
end
输入数据：
>> A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5];
b=[1;2;10;-1];
x0=[0;0;0;0];
w=1;
eps=1e-4;
；
M=100;
>> [x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M)
x =
n =
;
5
error;
>> A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5];
b=[1;2;10;-1];
x0=[0;0;0;0];
w=;
eps=1e-4;
M=100;
[x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M)
/
x =
n =
@
21
>>A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5]; b=[1;2;10;-1];
x0=[0;0;0;0];
w=;
eps=1e-4;
M=100;
[x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M)
Error using ==> error
Not enough input arguments.
，
Error in ==> SOR at 13
用实验3中的线性方程组作为例子比较得
当ω=时，x = 迭代次数为n=21
当ω=1时，x = 迭代次数为n=5
当ω=时，出现error
五、实验分析
由定理，Sor法收敛的必要条件是0<ω<2，因此，当ω=和1时，算法收敛，能够求出根，并且迭代次数根据ω的不同而不同，在求方程组的根时，只要选择恰当的ω，收敛是很快的。

而当ω>2 时，算法不收敛，因此程序出现错误，不能求出根。

当ω=1时，根据Sor法的构造方法知，此时的Sor法就是seidel法。