图像第六周_67807466

已知退化函数
H (u, v ) = e
− k ( u − M / 2)2 + ( v − N / 2)
5/ 6
全逆滤恢复
G (u, v ) H (u, v )
4070Βιβλιοθήκη 85D(u, v )6
频域图像恢复
维纳滤波 (Wiener filtering)=最小均方差滤波
维纳滤波是最常用的图像恢复方法 基于维纳滤波的图像恢复方法是1967年提出的 C.W. Helstrom, “Image restoration by the method of least squares,” Journal of the Optical Society of America, vol.57, no.3, pp.297-303, 1967. C.W.Helstrom, This week’s citation classic, 1982 1967-1982年SCI引用超过125次. N.Wiener, “The extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series”, New York: Wiely, 1949.
1 | H (u, v ) |2 Wopt (u, v ) = H (u, v ) | H (u, v ) |2 + Sη (u, v ) / S f (u, v )
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频域图像恢复
如何估计噪声和图像的功率谱？
退化图像频谱
W (u , v) = 1 | H (u , v) |2 H (u , v) | H (u , v) |2 + Sη (u , v) S f (u, v)
退化图 像功率 谱 若为白噪声
S f (u , v)
| H (u , v) | S f (u , v)
2
Sη (u , v)
频率
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频域图像恢复
如何估计噪声和图像的功率谱？ 一种简单的交互方法
1 | H (u, v ) |2 Wopt (u, v ) = H (u, v ) | H (u, v ) |2 + Sη (u, v ) / S f (u, v )
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频域图像恢复
维纳滤波 (Wiener filtering)=最小均方差滤波
Norbert Wiener (1894-1964), Cybernetics
7岁上学，直接上 3年级，但很快又改上 4 年级，后退学； 9岁时重新上学 ， 但 为 高 级 中 学 ， 11 岁 时 高 中 毕 业 ， 进 入 Tufts College ； 13 时 进 入 Harvard,转到Cornell,又转回Harvard; 18岁时获得Harvard博士学位. He spent the academic year 1935-1936 in China as a visiting professor at Tsinghua University in Peking, which gave him the opportunity to learn the Mandarin form of Chinese
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频域图像恢复
维纳滤波
ˆ ( x, y )与f ( x, y )之间的均方误 采用一准则使f 差最小。
准则：
2
ˆ ( x, y ) min : e = E f ( x, y ) − f ˆ ( x, y )。 求f
{[
]}
2
9
频域图像恢复
维纳滤波 (Wiener filtering)=最小均方差滤波
= 已知 G (u, v ) H ( u, v ) F ( u, v ) + N ( u, v ) 2 Ω Ω ˆ F (u, v ) − F (u, v ) dudv 最小 求W (u,v)使得均方差
opt
∫ ∫
−Ω −Ω
= 即 Wopt (u, v ) arg min
W ( u , v ) −Ω −Ω
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频域图像恢复
Wiener滤波举例
运动模 糊图像 Inverse Wiener filtering filtering
均值为0，方差为650的高斯噪声
噪声方差
运动模 糊图像
Inverse Wiener filtering filtering
噪声方差减少一个数量级
运动模 糊图像
Inverse Wiener filtering filtering
ˆ ( u, v ) = W ( u, v )G ( u, v ) F opt
1 | H (u, v ) |2 Wopt (u, v ) = H (u, v ) | H (u, v ) |2 + Sη (u, v ) / S f (u, v )
⑤ 计算理想图像的频谱估计
ˆ ( u, v ) = W ( u, v )G ( u, v ) F opt
1 | H (u , v) |2 W (u , v) = H (u , v) | H (u , v) |2 + K
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频域图像恢复
Wiener滤波举例
Inverse filtering
Inverse filtering with cutoff frequency 70
Wiener filtering
忽略噪声N(u,v)
G (u, v ) = H (u, v ) F (u, v )
G (u, v ) ˆ F (u, v ) = H (u, v )
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频域图像恢复
逆滤波的缺点 (drawbacks)
① (忽略噪声的代价N(u,v)) 如果有噪声，则不管H(u,v)多么准确，恢复的结果也不是对 理想图像的最佳恢复，且H(u,v)取小值时噪声被严重放大
= G (u , v) H (u , v) F (u , v) + N (u , v)
2 2
退化图像功率谱
= S g (u , v) | H (u , v) | S f (u, v) + Sη (u, v) = S g (u , v) | H (u , v) | S f (u, v) + co nt s
+∞
−∞
∫ f (α , β )h( x − α , y − β )dαdβ + n( x, y)
（2 ）S fˆ ( u, v ) 应与 S f ( u, v )相等，用 S n ( u, v )、P ( u, v )和 H ( u, v )表示为
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等功率谱滤波
S f ( u, v ) P ( u, v ) = 2 S f ( u , v ) H ( u, v ) + S n ( u, v ) 1 = H ( u, v ) 2 + S n ( u, v ) ( , ) S u v f
1/ 2 1/ 2
Wiener滤波
1 | H (u, v ) |2 Wopt (u, v ) = H (u, v ) | H (u, v ) |2 + Sη (u, v ) / S f (u, v )
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等功率谱滤波
讨论： 1 （ ）无噪声时： S n ( u, v ) = 0, P ( u, v )为逆滤波器。 （2 ）有噪声时：当 H ( u, v ) 很小或者零时， S f ( u, v ) P ( u, v ) = 。 S n ( u, v ) (3)Wiener 滤波在极值点 ( H ( u, v ) = 0)强迫为0， 因而在恢复图像中容易 产生振铃现象 (4)等功率谱滤波在极值处 的频率有较高的增益 因而可以表达更多的细 微结果
可见: 1) Wiener滤波器是在逆滤波器基础上乘了一个系数 2) 当没有噪声(Sη(u,v)＝0)时Wiener滤波器等于逆滤波器 3) 当H(u,v)=0时，仍可计算下去 ˆ (u, v ) = 0,表明我们不可 4) 当理想图像功率谱Sf(u,v)＝0)时 F 能从全是噪声的图像中恢复出任何有意义的信号 G (u, v ) ˆ (u, v ) = 5) 当退化函数H(u,v)=1时，有 F
噪声方差减少5个数量级
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等功率谱滤波
ˆ ( x, y )的功率谱等于 该方法使得恢复图象f 原始图象f ( x, y )的功率谱。
先验假设：图像和噪声均属均匀随机场， 噪声的均值为零，且与图像不相关。 令Sf(u,v)为信号的功率谱
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等功率谱滤波
方法： （1）退化模型
g ( x, y ) = ∫
问题求解
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频域图像恢复
逆滤波 (inverse filtering)
逆滤波是最简单(直接)的图像恢复方法 给定退化图像的频谱G(u,v)和退化(传输) 函数H(u,v),则恢复图像的频谱为:
G (u, v ) ˆ F (u, v ) = H (u, v )
= G (u, v ) H (u, v ) F (u, v ) + N (u, v )
图像处理
陈 莉
清华大学软件学院
2009年11月2日
第六章 图像恢复
基本概念 噪声模型 只存在噪声的空间域图像复原 只存在噪声的频率域图像复原 退化情况的空间域图像复原 退化情况的频率域图像复原 线性代数法 图像恢复近年研究成果介绍 图像修复近年研究成果介绍
2
频域图像恢复
问题描述
= G (u, v ) H (u, v ) F (u, v ) + N (u, v )
1 + Sη (u, v ) / S f (u, v )
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频域图像恢复
维纳滤波 (Wiener filtering)=最小均方差滤波
Wiener滤波的过程 ① 计算退化图像g(x,y)的二维Fourier变换G(u,v) ② 计算点扩展函数h(x,y)的二维Fourier变换H(u,v) ③ 计算退化 图像和噪声的功率谱Sf(u,v),Sη(u,v) ④ 计算滤波器Wopt(u,v) ⑥ 求反Fourier变换