2020届高考数学(理)一轮复习讲义 2.5 指数与指数函数

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2020高三数学一轮复习 2.5 指数函数课件 (理)福建版

2020高三数学一轮复习 2.5 指数函数课件 (理)福建版
【解析】 分别作出两个函数的图象,通过图象的交点个数来判 断参数的取值范围. 曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图象可得:如果 |y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].
【答案】 [-1,1]
a 已知f(x)= a2-1 (ax-a-x)(a>0且a≠1). (1)判断f(x)的奇偶性; (2)讨论f(x)的单调性; (3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立.求b的取值范围.
【解析】 ∵定义域为R,且函数为奇函数,
∴f(0)=0,即a-
1 2
=0,∴a=
1 2
【答案】 1
2
5.(2008 年重庆卷)若 x>0,则(2x14+332)(2x14-332)-4x-12(x-x12)=________.
【解析】 (2x14+332)(2x14-332)-4x-12(x-x12) =4x12-33-4x21 +4
【答案】 -23
化简下列各式(其中各字母均为正数): (1)14-12·0.(1-42(aab3- b1-)33)12 (2)56a13·b-2·(-3a-12b-1)÷(4a23·b-3)12. 【思路点拨】 (1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂,先
化为分数指数幂以便用法则运算;
(2)题目中给出的是分数指数幂,先看其是否符合运算法则的条件,
y=12x向左平―移―2→个单位y=12x+2; 另一部分 y=2x+2(x<-2)的图象,由下列变换可 得到: y=2x向左平―移―2→个单位y=2x+2,
如图(实线)为函数y=
的图象.
(2)由图象观察知函数的单调增区间为(-∞,-2],单
调减区间为(-2,+∞).

2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课件:第二章 第六节 指数与指数函数

2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课件:第二章 第六节 指数与指数函数
目录
基础——在批注中理解透
单纯识记无意义,深刻理解提能力
课时跟踪检测
考点——在细解中明规律
题目千变总有根,梳干理枝究其本
基础——在批注中理解透
单纯识记无意义,深刻理解提能力
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考点——在细解中明规律
题目千变总有根,梳干理枝究其本
考法(一)是利用指数函数的性质比较幂值的大小,其方 法是:先看能否化成同底数,能化成同底数的先化成同 底数幂,再利用函数单调性比较大小,不能化成同底数 看 的,一般引入“1”等中间量比较大小; 个 考法(二)是利用指数函数的性质解简单的指数方程或不 性 等式,其方法是:先利用幂的运算性质化为同底数幂, 再利用函数单调性转化为一般不等式求解; 考法(三)是指数函数性质的综合应用,其方法是:首先 判断指数型函数的性质,再利用其性质求解
以上问题都是指数型函数问题,关键应判断其单调性, 找 对于形如y=af(x)的函数的单调性,它的单调区间与f(x) 共 的单调区间有关:若a>1,函数f(x)的单调增(减)区间 性 即函数y=af(x)的单调增(减)区间;若0<a<1,函数f(x)
的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调减(增)区间
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20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.5 指数及指数函数(原卷版)

20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.5 指数及指数函数(原卷版)

第五讲指数及指数函数一.根式1.根式的概念根式的概念符号表示备注如果a=x n,那么x叫做a的n次实数方根n>1且n∈N*当n为奇数时,正数的n次实数方根是一个正数,负数的n次实数方根是一个负数na0的n次实数方根是0当n为偶数时,正数的n次实数方根有两个,它们互为相反数±na负数没有偶次方根2.两个重要公式①na n=⎩⎨⎧a(n为奇数),|a|=⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0),-a(a<0)(n为偶数);②(na)n=a(注意a必须使na有意义).二.有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna=na m(a>0,m,n∈N*,n>1);②正数的负分数指数幂是mna=1mna=1na m(a>0,m,n∈N*,n>1);③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义.(2)有理指数幂的运算性质①a s a t=a s+t(a>0,t,s∈Q);②(a s)t=a st(a>0,t,s∈Q);③(ab)t=a t b t(a>0,b>0,t∈Q).【套路秘籍】---千里之行始于足下三.指数函数的图象与性质 (1)指数函数的定义一般地,函数y =a x(a >0,a ≠1)叫做指数函数,函数的定义域是R . (2)指数函数的图象与性质y =a x a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0,+∞) 性质过定点(0,1)当x >0时,y >1;当x <0时,0<y <1当x >0时,0<y <1;当x <0时,y >1 在(-∞,+∞)上是增函数在(-∞,+∞)上是减函数考向一 指数的运算【例1】计算化简(1)(12)−1+823+(2019)0= .(2)(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=______.(3)已知x 12+x −12=3,求下列各式的值: ①x +x−1;②x 2+x−2;③x 32−x−32x 12−x −12.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》,努力请从今日始【举一反三】 1.0.027−13−(−16)−2+2560.75+(125729)−13+(59)−1−729−16=__________.2.化简:(√3+√2)2015×(√3−√2)2016=_________________________________. 3.(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(-2)3]43+(√2-1)-1-212=________.4.已知x +x -1=3,则3322xx的值为 .5.已知a ,b 是方程x 2-6x +4=0的两根,且a >b >0,则a -ba +b= . 6.设2x=8y +1,9y =3x -9,则x +y 的值为 .7.已知a -1a=3(a >0),则a 2+a +a -2+a -1的值为 .考向二 指数函数的判断【例2】函数f(x)=(a 2-3a +3)a x 是指数函数,则有( ) A .a =1或a =2 B .a =1 C .a =2 D .a>0且a ≠1【举一反三】1.函数y =(a 2–3a +3)⋅a x 是指数函数,则a 的值为 A .1或2 B .1 C .2 D .a >0且a ≠1的所有实数 2.函数f (x )=(2a –3)a x 是指数函数,则f (1)= A .8 B .32 C .4 D .23.函数f (x )=(m 2−m −1)a x 是指数函数,则实数m =( )【套路总结】指数函数xy a =形如,指数函数的需要同时满足①01a a >≠且②系数为1③次数为1【套路总结】指数幂运算的四个原则:(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算; (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数;(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数; (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答(化简过程中一定要注意等价性,特别注意开偶次方根时函数的定义域)A .2B .1C .3D .2或−1考向三 指数函数的单调性【例3】函数f (x )=51−|2x+4|的单调递增区间为( ) A .[−2,+∞) B .[−32,+∞)C .(−∞,−32]D .(−∞,−2]【举一反三】 1.函数f (x )=e −x 2+4x−9的单调递增区间是( )A .(−2,+∞)B .(2,+∞)C .(−∞,−2)D .(−∞,2)2.函数f (x )=4x-2x +1的单调增区间是________.3.若函数f (x )=a|2x -4|(a >0,a ≠1)满足f (1)=19,则f (x )的单调递减区间是________.考向四 指数函数的定义域和值域【例4】(1)函数y =√4−2x 的定义域为_______.(2)设函数f (x )=√4−4x ,则函数f (x4)的定义域为 。

新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数课件

新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数课件

1.(方向 1)函数 y=ax-1a(a>0,且 a≠1)的图象可能是( D )
解析:当 a>1 时函数单调递增,且函数图象过点0,1-1a, 因为 0<1-1a<1,故 A,B 均不正确;当 0<a<1 时,函数单调递减, 且函数恒过点0,1-1a,因为 1-1a<0,所以知 D 项正确.
2.(方向 2)若曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值
(2)2a·2b=2a+b.
(3)由指数函数的形式定义知应满足的条件:①系数为 1,
②指数为 x,③底数 a>0 且 a≠1.
(4)当 a>1 时,由 am<an,得 m<n,
当 0<a<1 时,由 am<an,得 m>n.
2.小题热身
(1)化简4 16x8y4(x<0,y<0)得( D )
A.2x2y
所以
a- a+
bb2=aa+ +bb- +22
aabb=66-+22
44=15.
因为 a>b>0,所以
a>
b,所以
a- a+
b= b
5 5.
考点二 指数函数的图象及应用 命题方向 1 图象的识别
【例 2】 (2019·浙江卷)在同一直角坐标系中,函数 y=a1x,y=loga(x
+12)(a>0,且 a≠1)的图象可能是( D )
y=|2x-2|, y=b
有两个交点(如图),可知 0<b<2.
方法技巧 指数函数图象的画法判断及应用方法,1画判断指数函数 y= axa>0,a≠1的图象,应抓住三个关键点:1,a,0,1,-1,1a. 2与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数 的图象,通过平移、对称变换得到其图象. 3一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函 数数形结合求解.

高三数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数课件.ppt

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7
3.指数函数的图象与性质 y=ax
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域 性质
R (0,+∞)
(1)过定点□18 ____(0_,_1_)___
8
y=ax 性质
a>1
0<a<1
(2)当 x>0 时,□19 _y_>__1_;x<0 (2)当 x>0 时,□21 _0_<__y<__1___;
时,□200_<__y_<__1
C.{x|x<0,或 x>6}
D.{x|x<-2,或 x>2}
解析:(1)∵a=21.2,b=12-0.8=20.8, ∴a>b>1。 又∵c=2log52=log54<1,∴a>b>c。
28
(2)f(x)为偶函数,
当 x<0 时,f(x)=f(-x)=2-x-4。
2x-4,x≥0, ∴f(x)=2-x-4,x<0。
10
3 个关键点——指数函数图象的画法 画指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), -1,1a。
11
1
1.化简[(-2)6] 2 -(-1)0 的结果为( )
A.-9
B.7
C.-10
D.9
1
解析:原式=(26) 2 -1=7。
答案:B
12
2.函数 f(x)= 1-2x的定义域是( )
27
考点三
指数函数的性质及其应用
【例 3】 (1)已知 a=21.2,b=12-0.8,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为(
)
A.c<b<a
B.c<a<b
C.b<a<c
D.b<c<a
(2)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( )

2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件:2.5 指数与指数函数 .pdf

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x<1.故x≤-1. 综上所述,x的取值范围为(-∞,0).
(2)指数函数y=ax的图像恒过点(0,1), 要得到函数y=4+ax-1(a>0,a≠1)的图像, 可将指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像向右平移1个单位长度,再向 上平移4个单位长度. 则点(0,1)平移后得到点(1,5). 故点P的坐标为(1,5).
思考如何求解指数型函数与函数性质的综合问题?
考点一
考点二
考点三
-22-
解题心得1.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底或同指.当底 数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同, 底数不同时,构造同一幂函数,然后比较大小;当底数、指数均不同 时,可以利用中间值比较.
知识梳理 考点自诊
× × ×
-6-
×

-7-
知识梳理 考点自诊
2.(2018河北衡水中学一模,1)已知集合A={x|-x2+4x≥0},
C
A.{2,4} B.{0,2} C.{0,2,4} D.{x|x=2n,n∈N} 解析:集合A={x|0≤x≤4},B={x|-4<x<3},故A∪B={x|-4<x≤4},集合 C表示非负的偶数,故(A∪B)∩C={0,2,4},故选C.
考点一
考点二
考点三
对点训练1化简下列各式:
-12-
考点一
考点二
考点三
指数函数的图像及其应用
-13-
D
A.(-∞,-1]
B.(0,+∞)
C.(-1,0)
D.(-∞,0)
(2)(2017河南郑州模拟)已知函数f(x)=4+ax-1的图像恒过定点P,则

高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数课件 理

高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数课件 理
(2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应 指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.
1 3
的值为(
)
A.0 B.13 C.3 D.4
解析 原式=1-(1-4)÷32=3,故选 C.
2. 函数 f(x)=ax-2+1(a>0 且 a≠1)的图象必经 过点
(
)
A.(0,1)
B.(1,1)
C.(2,0)
D.(2,2)
解析 ∵a0=1 故 x-2=0 时 f(x)=2,即 x=2 时 f(x)= 2,故选 D.
4.[2017·广西桂林模拟]当 x<0 时,函数 f(x)=(2a-1)x
的值恒大于 1,则实数 a 的取值范围是(
)
A.12,1 C.(1,+∞)
B.(1,2) D.(-∞,1)
解析 由题意可得 0<2a-1<1,解得12<a<1,故选 A.
板块二 典例探究·考向突破
考向 指数幂的化简与求值
3.[课本改编]已知 a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则(
)
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.b>c>a
解析 由 0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知 0.40.2>0.40.6,即 b>c;因为 a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以 a>b. 综上,a>b>c.
22×10-1×26×23-
3=
2 865.
(2)原式=a-13
b
1 2
·a-
1 2
1
5

2020版高考数学一轮复习第二章函数2.5指数与指数函数课件文北师大版

2020版高考数学一轮复习第二章函数2.5指数与指数函数课件文北师大版

(2)原式=
-
27 8
-23 +
1 -12 −
500
150-2+1
=
-
8 27
23+50012-10(
在 R 上单调递增
当 x<0 时, 0<y<1 ; 当 x>0 时, y>1
-6-
知识梳理 考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
4
(1)
(������-4)4=π-4. ( ×
)
(2)������ ������������ 与(������ ������)n 都等于 a(n∈N*).
B. 3∉B
C.A∩(∁RB)=A D.A∪B=A
解析:∵A={y|y=2x-1,x∈R}={y|y>-1}=(-1,+∞),
B={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2}=(-1,2),∴A∪B=A,故选D.
-7-
知识梳理 考点自诊
3.“
1 3
������ <1”是“1������>1”的(
(2)
1 4
-12 ·(0.1()-14·���(���������������3-1·)������3-3)12=
8
5 (a>0,b>0).
解析: (1)4
1
16x8y4=(16x8y4)4
=[24·(-x)8·(-y)4]14=24×14·(-x)8×14·(-y)4×14
=2(-x)2(-y)=-2x2y.
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c D.b<c<a
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§2.5指数与指数函数1.分数指数幂(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是mna=na m(a>0,m,n∈N+,且mn为既约分数);正数的负分数指数幂的意义是mna =1na m(a>0,m,n∈N+,且mn为既约分数);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质:aαaβ=aα+β,(aα)β=aαβ,(ab)α=aαbα,其中a>0,b>0,α,β∈Q. 2.指数函数的图象与性质概念方法微思考1.如图是指数函数(1)y=a x,(2)y=b x,(3)y=c x,(4)y=d x的图象,则a,b,c,d与1之间的大小关系为________.提示c>d>1>a>b>02.结合指数函数y=a x(a>0,a≠1)的图象和性质说明a x>1(a>0,a≠1)的解集跟a的取值有关.提示当a>1时,a x>1的解集为{x|x>0};当0<a<1时,a x>1的解集为{x|x<0}.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)na n=(na)n=a(n∈N+).(×)(2)分数指数幂mna可以理解为mn个a相乘.(×)(3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.(√)(4)若a m<a n(a>0,且a≠1),则m<n.(×)(5)函数y=2-x在R上为单调减函数.(√)题组二 教材改编2.化简416x 8y 4(x <0,y <0)=________. 答案 -2x 2y3.若函数f (x )=a x (a >0,且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2,12,则f (-1)=________. 答案2解析 由题意知12=a 2,所以a =22,所以f (x )=⎝⎛⎭⎫22x ,所以f (-1)=⎝⎛⎭⎫22-1= 2.4.已知a =1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭,b =1435-⎛⎫ ⎪⎝⎭,c =3432-⎛⎫⎪⎝⎭,则a ,b ,c 的大小关系是________.答案 c <b <a解析 ∵y =⎝⎛⎭⎫35x是R 上的减函数,∴1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭>1435-⎛⎫ ⎪⎝⎭>035⎛⎫ ⎪⎝⎭, 即a >b >1,又c =3432-⎛⎫ ⎪⎝⎭<032⎛⎫⎪⎝⎭=1,∴c <b <a .题组三 易错自纠5.计算:1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×⎝⎛⎭⎫-760+148×42________. 答案 2解析 原式=1332⎛⎫⎪⎝⎭×1+342×142-1323⎛⎫⎪⎝⎭=2. 6.若函数f (x )=(a 2-3)·a x 为指数函数,则a =______. 答案 2解析 由指数函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-3=1,a >0,a ≠1,解得a =2.7.若函数y =(a 2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a 的取值范围是________________. 答案 (-2,-1)∪(1,2)解析 由题意知0<a 2-1<1,即1<a 2<2, 得-2<a <-1或1<a < 2.8.已知函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2,则a 的值为________.答案 12或32解析 当0<a <1时,a -a 2=a2,∴a =12或a =0(舍去).当a >1时,a 2-a =a2,∴a =32或a =0(舍去).综上所述,a =12或32.题型一 指数幂的运算1.若实数a >0,则下列等式成立的是( ) A .(-2)-2=4B .2a -3=12a3C .(-2)0=-1D .414a -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1a答案 D解析 对于A ,(-2)-2=14,故A 错误;对于B,2a -3=2a3,故B 错误;对于C ,(-2)0=1,故C 错误;对于D ,414a -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1a,故D 正确.2.计算:23278-⎛⎫- ⎪⎝⎭+120.002--10(5-2)-1+π0=________. 答案 -1679解析 原式=⎝⎛⎭⎫-32-2+12500-10(5+2)(5-2)(5+2)+1=49+105-105-20+1=-1679. 3.化简:()()31211332140.1a b---⎛⎫⋅⎪⎝⎭⋅⋅(a >0,b >0)=________.答案 85解析 原式=2×333223322210a b a b--⋅⋅⋅⋅=21+3×10-1=85.4.化简:412333223384a a ba ab a -⎛-÷- ⎝⎭+________(a >0).答案 a 2解析 原式=331113332211113333222a a b a a b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭122311331115322a a a b a a a ⎛⎫⋅ ⎪-⎝⎭÷⨯⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭5111623331113362.2a a a a b a a b a ⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭- 思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加; ②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.题型二 指数函数的图象及应用例1 (1)函数f (x )=a x-b的图象如图所示,其中a ,b 为常数,则下列结论正确的是( )A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0答案 D解析由f(x)=a x-b的图象可以观察出,函数f(x)=a x-b在定义域上单调递减,所以0<a<1,函数f(x)=a x-b的图象是在y=a x的基础上向左平移得到的,所以b<0.(2)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是() A.a<0,b<0,c<0 B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2c D.2a+2c<2答案 D解析作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图,∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b),结合图象知,0<f(a)<1,a<0,c>0,∴0<2a<1.∴f(a)=|2a-1|=1-2a<1,∴f(c)<1,∴0<c<1.∴1<2c<2,∴f(c)=|2c-1|=2c-1,又∵f(a)>f(c),∴1-2a>2c-1,∴2a+2c<2,故选D.思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.跟踪训练1 (1)已知实数a,b满足等式2 019a=2 020b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B解析如图,观察易知,a,b的关系为a<b<0或0<b<a或a=b=0.(2)方程2x=2-x的解的个数是________.答案 1解析方程的解可看作函数y=2x和y=2-x的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数的图象(如图).由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解.题型三 指数函数的性质及应用命题点1 比较指数式的大小例2 (1)已知a =432,b =254,c =1325,则( ) A .b <a <c B .a <b <c C .b <c <a D .c <a <b答案 A解析 由a 15=15432⎛⎫ ⎪⎝⎭=220,b 15=15452⎛⎫⎪⎝⎭=212,c 15=255>220,可知b 15<a 15<c 15,所以b <a <c .(2)若-1<a <0,则3a,13a ,a 3的大小关系是__________.(用“>”连接)答案 3a >a 3>13a 解析 易知3a>0,13a<0,a 3<0,又由-1<a <0,得0<-a <1,所以(-a )3<()13a -,即-a 3<-13a ,所以a 3>13a ,因此3a>a 3>13a .命题点2 解简单的指数方程或不等式例3 (1)(2018·包头模拟)已知实数a ≠1,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4x ,x ≥0,2a -x ,x <0,若f (1-a )=f (a -1),则a的值为______. 答案 12解析 当a <1时,41-a =21,解得a =12;当a >1时,代入不成立.故a 的值为12.(2)若偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),则不等式f (x -2)>0的解集为________________. 答案 {x |x >4或x <0} 解析 ∵f (x )为偶函数,当x <0时,-x >0,则f (x )=f (-x )=2-x -4,∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -4,x ≥0,2-x -4,x <0,当f (x -2)>0时,有⎩⎪⎨⎪⎧ x -2≥0,2x -2-4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x -2<0,2-x +2-4>0, 解得x >4或x <0.∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}. 命题点3 指数函数性质的综合应用 例4 (1)已知函数f (x )=2|2x -m |(m 为常数),若f (x )在区间[2,+∞)上单调递增,则m 的取值范围是________. 答案 (-∞,4]解析 令t =|2x -m |,则t =|2x -m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2,+∞上单调递增,在区间⎝⎛⎦⎤-∞,m2上单调递减.而y =2t 在R 上单调递增,所以要使函数f (x )=2|2x -m |在[2,+∞)上单调递增,则有m2≤2,即m ≤4,所以m 的取值范围是(-∞,4]. (2)函数f (x )=4x -2x +1的单调增区间是________.答案 [0,+∞)解析 设t =2x (t >0),则y =t 2-2t 的单调增区间为[1,+∞),令2x ≥1,得x ≥0,又y =2x 在R 上单调递增, 所以函数f (x )=4x -2x +1的单调增区间是[0,+∞).(3)若函数f (x )=24313ax x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+有最大值3,则a =________.答案 1解析 令h (x )=ax 2-4x +3,y =⎝⎛⎭⎫13h (x ),由于f (x )有最大值3,所以h (x )应有最小值-1, 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,12a -164a =-1,解得a =1,即当f (x )有最大值3时,a 的值为1.思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式,最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借助中间量;(2)求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 跟踪训练2 (1)函数f (x )=x 2-bx +c 满足f (x +1)=f (1-x ),且f (0)=3,则f (b x )与f (c x )的大小关系是( ) A .f (b x )≤f (c x ) B .f (b x )≥f (c x ) C .f (b x )>f (c x ) D .与x 有关,不确定答案 A解析 ∵f (x +1)=f (1-x ),∴f (x )关于x =1对称, 易知b =2,c =3,当x =0时,b 0=c 0=1,∴f (b x )=f (c x ),当x >0时,3x >2x >1,又f (x )在(1,+∞)上单调递增,∴f (b x )<f (c x ), 当x <0时,3x <2x <1,又f (x )在(-∞,1)上单调递减, ∴f (b x )<f (c x ), 综上,f (b x )≤f (c x ). (2)已知f (x )=2x -2-x ,a =1479-⎛⎫ ⎪⎝⎭,b =1597⎛⎫⎪⎝⎭,则f (a ),f (b )的大小关系是__________. 答案 f (b )<f (a )解析 易知f (x )=2x -2-x 在R 上为增函数,又a =1479-⎛⎫⎪⎝⎭=1497⎛⎫ ⎪⎝⎭>1597⎛⎫⎪⎝⎭=b , ∴f (a )>f (b ).(3)若不等式1+2x +4x ·a ≥0在x ∈(-∞,1]时恒成立,则实数a 的取值范围是____________. 答案 ⎣⎡⎭⎫-34,+∞ 解析 从已知不等式中分离出实数a ,得a ≥-⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x +⎝⎛⎭⎫12x .∵函数y =⎝⎛⎭⎫14x +⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数,∴当x ∈(-∞,1]时,⎝⎛⎭⎫14x +⎝⎛⎭⎫12x≥14+12=34,从而得-⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x +⎝⎛⎭⎫12x ≤-34. 故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫-34,+∞.1.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a答案 C解析因为函数y=0.6x在R上单调递减,所以b=0.61.5<a=0.60.6<1.又c=1.50.6>1,所以b<a<c.2.已知函数f(x)=5x,若f(a+b)=3,则f(a)·f(b)等于()A.3 B.4 C.5 D.25答案 A解析∵f(x)=5x,∴f(a+b)=5a+b=3,∴f(a)·f(b)=5a×5b=5a+b=3.故选A. 3.(2018·大连模拟)已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),当x>0时,1<b x<a x,则()A.0<b<a<1 B.0<a<b<1C.1<b<a D.1<a<b答案 C解析 ∵当x >0时,1<b x ,∴b >1. ∵当x >0时,b x <a x ,∴当x >0时,⎝⎛⎭⎫a b x>1. ∴ab>1,∴a >b ,∴1<b <a ,故选C. 4.已知f (x )=3x -b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则f (x )的值域为( ) A .[9,81] B .[3,9] C .[1,9] D .[1,+∞) 答案 C解析 由f (x )过定点(2,1)可知b =2, 因为f (x )=3x-2在[2,4]上是增函数,f (x )min =f (2)=1,f (x )max =f (4)=9. 故选C.5.若函数f (x )=a |2x -4|(a >0,a ≠1)满足f (1)=19,则f (x )的单调递减区间是( )A .(-∞,2]B .[2,+∞)C .[-2,+∞)D .(-∞,-2]答案 B解析 由f (1)=19,得a 2=19,所以a =13或a =-13(舍去),即f (x )=⎝⎛⎭⎫13|2x -4|. 由于y =|2x -4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增, 所以f (x )在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.故选B.6.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-⎝⎛⎭⎫12x ,a ≤x <0,-x 2+2x ,0≤x ≤4的值域是[-8,1],则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,-3]B .[-3,0)C .[-3,-1]D .{-3} 答案 B解析 当0≤x ≤4时,f (x )∈[-8,1],当a ≤x <0时,f (x )∈⎣⎡⎭⎫-12a ,-1,所以⎣⎡⎭⎫-12a ,-1 [-8,1],即-8≤-12a <-1,即-3≤a <0.所以实数a 的取值范围是[-3,0).7.若“m >a ”是“函数f (x )=⎝⎛⎭⎫13x +m -13的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a 能取的最大整数为________. 答案 -1解析 f (0)=m +23,∴函数f (x )的图象不过第三象限等价于m +23≥0,即m ≥-23,∵“m >a ”是“m ≥-23”的必要不充分条件,∴a <-23,则实数a 能取的最大整数为-1.8.不等式222x x -+>⎝⎛⎭⎫12x +4的解集为________.答案 (-1,4)解析 原不等式等价于222x x -+>2-x -4,又函数y =2x 为增函数,∴-x 2+2x >-x -4, 即x 2-3x -4<0,∴-1<x <4.9.当x ∈(-∞,-1]时,不等式(m 2-m )·4x -2x <0恒成立,则实数m 的取值范围是________. 答案 (-1,2)解析 原不等式变形为m 2-m <⎝⎛⎭⎫12x , 因为函数y =⎝⎛⎭⎫12x 在(-∞,-1]上是减函数, 所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12-1=2,当x ∈(-∞,-1]时,m 2-m <⎝⎛⎭⎫12x恒成立等价于m 2-m <2,解得-1<m <2.10.已知函数f (x )=2x-12x ,函数g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),x ≥0,f (-x ),x <0,则函数g (x )的最小值是________.答案 0解析 当x ≥0时,g (x )=f (x )=2x -12x 为单调增函数,所以g (x )≥g (0)=0;当x <0时,g (x )=f (-x )=2-x -12-x =12x -2x 为单调减函数,所以g (x )>g (0)=0,所以函数g (x )的最小值是0.11.已知9x -10·3x +9≤0,求函数y =⎝⎛⎭⎫14x -1-4⎝⎛⎭⎫12x+2的最大值和最小值. 解 由9x -10·3x +9≤0,得(3x -1)(3x -9)≤0, 解得1≤3x ≤9,即0≤x ≤2.令⎝⎛⎭⎫12x =t ,则14≤t ≤1,y =4t 2-4t +2=4⎝⎛⎭⎫t -122+1. 当t =12,即x =1时,y min =1;当t =1,即x =0时,y max =2.12.已知函数f (x )=b ·a x (其中a ,b 为常量,且a >0,a ≠1)的图象经过点A (1,6),B (3,24). (1)求f (x )的表达式;(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x +⎝⎛⎭⎫1b x-m ≥0在(-∞,1]上恒成立,求实数m 的取值范围. 解 (1)因为f (x )的图象过A (1,6),B (3,24),所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a =6,b ·a 3=24.所以a 2=4,又a >0,所以a =2,b =3. 所以f (x )=3·2x .(2)由(1)知a =2,b =3,则当x ∈(-∞,1]时,⎝⎛⎭⎫12x +⎝⎛⎭⎫13x-m ≥0恒成立,即m ≤⎝⎛⎭⎫12x +⎝⎛⎭⎫13x在(-∞,1]上恒成立.又因为y =⎝⎛⎭⎫12x 与y =⎝⎛⎭⎫13x 在(-∞,1]上均为减函数,所以y =⎝⎛⎭⎫12x +⎝⎛⎭⎫13x 在(-∞,1]上也是减函数,所以当x =1时,y =⎝⎛⎭⎫12x +⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56,所以m ≤56,即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤-∞,56.13.(2018·呼和浩特调研)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -1,x <1,2x ,x ≥1,则满足f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23,1 B .[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23,+∞ D .[1,+∞) 答案 C解析 令f (a )=t ,则f (t )=2t .当t <1时,3t -1=2t ,令g (t )=3t -1-2t ,则g ′(t )=3-2t ln 2,当t <1时,g ′(t )>0,g (t )在 (-∞,1)上单调递增,即g (t )<g (1)=0,则方程3t -1=2t 无解.当t ≥1时,2t =2t 成立,由f (a )≥1,得a <1,且3a -1≥1,解得23≤a <1;a ≥1,且2a ≥1,解得a ≥1.综上可得a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23,+∞.故选C.14.若函数f (x )=2|x +a |(a ∈R )满足f (1-x )=f (1+x ),f (x )在区间[m ,n ]上的最大值记为f (x )max ,最小值记为f (x )min ,若f (x )max -f (x )min =3,则n -m 的取值范围是______________. 答案 (0,4]解析 因为f (1-x )=f (1+x ),所以f (x )的图象关于直线x =1对称,所以a =-1, 所以f (x )=2|x -1|.作出函数y =f (x )的图象如图所示.当m <n ≤1或1≤m <n 时,离对称轴越远,m 与n 的差越小,由y =2x-1与y =21-x 的性质知极限值为0.当m <1<n 时,函数f (x )在区间[m ,n ]上的最大值与最小值的差为f (x )max -f (x )min =2|±2|-20=3,则n -m 取得最大值2-(-2)=4,所以n -m 的取值范围是(0,4].15.设f (x )=|2x -1-1|,a <c 且f (a )>f (c ),则2a +2c ______4.(选填“>”“<”“=”) 答案 <解析 f (x )在(-∞,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,故结合条件知必有a <1. 若c ≤1,则2a <2,2c ≤2,故2a +2c <4; 若c >1,则由f (a )>f (c ),得1-2a -1>2c -1-1, 即2c -1+2a -1<2,即2a +2c <4. 综上知,总有2a +2c <4.16.已知函数f (x )=14x -λ2x -1+4(-1≤x ≤2).(1)若λ=32,求函数f (x )的值域;(2)若方程f (x )=0有解,求实数λ的取值范围. 解 (1)f (x )=14x -λ2x -1+4=⎝⎛⎭⎫122x-2λ·⎝⎛⎭⎫12x +4(-1≤x ≤2). 设t =⎝⎛⎭⎫12x ,得g (t )=t 2-2λt +4⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 当λ=32时,g (t )=t 2-3t +4=⎝⎛⎭⎫t -322+74⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 所以g (t )max =g ⎝⎛⎭⎫14=5316,g (t )min =g ⎝⎛⎭⎫32=74. 所以f (x )max =5316,f (x )min =74,故函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤74,5316. (2)方程f (x )=0有解可转化为 λ=2·2x +12·12x (-1≤x ≤2).设φ(x )=2·2x +12·2x ⎝⎛⎭⎫12≤2x ≤4, 当2x =12,即x =-1时,φ(x )min =2;当2x =4,即x =2时,φ(x )max =658. ∴函数φ(x )的值域为⎣⎡⎦⎤2,658. 故实数λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤2,658.。

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