《指数函数》
2025届高中数学一轮复习课件《指数函数》PPT
第29页
求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性 等相关性质，其次要明确复合函数的构成，当涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一 性质分析判断．
高考一轮总复习•数学
第30页
对点练 4(1)(2024·山东莱芜模拟)已知函数 f(x)＝|－2x－x＋15|，，xx≤>22，， 若函数 g(x)＝f(x)－
解析：∵y＝35x 是 R 上的减函数，∴35－13 >35－14 >350，即 a>b>1，又 c＝32－34 <320 ＝1，∴c<b<a.
高考一轮总复习•数学
第11页
4．(2024·四川成都模拟)若函数 f(x)＝13－x2＋4ax 在区间(1,2)上单调递增，则 a 的取值范 围为___－__∞__，__12_ _．
在(4，＋∞)上单调递增．令12x≤4，得 x≥－2，令12x>4，得 x<－2， 代入外层函数的单调递减区间，得到自变量 x 的取值范围，这才是复合函数的单调递增 区间． 而函数 t＝12x 在 R 上单调递减，所以函数 y＝122x－8·12x＋17 的单调递增区间为[－2， ＋∞)．
高考一轮总复习•数学
所谓“底大图高”，反映指数函数的排列规律．
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)函数 y＝a－x(a>0，且 a≠1)是 R 上的增函数．( ) (2)函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与 x 轴有且只有一个交点．( ) (3)若 am>an，则 m>n.( ) (4)函数 y＝ax 与 y＝a－x(a>0，且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．( √ )
《指数函数的概念》课件
REPORTING
《指数函数的概念》 ppt课件
2023
目录
• 引言 • 指数函数的概念 • 指数函数的图像 • 指数函数的运算 • 指数函数与其他数学概念的联系 • 总结与回顾
2023
PART 01
引言
REPORTING
课程背景
数学的重要性
数学是现代科学的基础，而指数 函数在数学和实际生活中有着广 泛的应用。
。
人口增长模型
在生物学和人口统计学中，人口增 长通常使用指数函数来描述。通过 指数函数，可以预测未来人口数量 。
放射性物质衰变
在物理学中，放射性物质衰变通常 使用指数函数来描述。通过指数函 数，可以预测未来放射性物质的数 量。
2023
PART 03
指数函数的图像
REPORTING
指数函数的图像特点
2023
PART 04
指数函数的运算
REPORTING
指数函数的四则运算
01
02
03
04
指数加法
$a^m^n = a^{m+n}$
指数减法
$a^m / a^n = a^{m-n}$
指数乘法
$a^m * a^n = a^{m+n}$
指数除法
$frac{a^m}{a^n} = a^{mn}$
指数函数的复合运算
指数函数与一次函数的复合
$y = a^x * k$，其中k为常数
指数函数与二次函数的复合
$y = a^x * x^2$，其中a、x为变量
指数函数与对数函数的关系
对数函数的定义
如果 $y = a^x$，则 $x = log_a y$
对数函数的性质
《指数函数》教学设计
《指数函数》教学设计
一、课题
指数函数
二、目标
1.学习指数函数，掌握其定义、特性和图像；
2.熟练求解指数函数，完成有关指数函数的计算；
3.学习指数函数的应用，学习实际应用中求解指数函数的方法；
三、基础知识
1.指数函数的定义：指数函数是以指数形式函数y=a^x (a>0, a≠1)形式来表示的函数；
2.指数函数的特性：指数函数具有速率恒定性，x越大，y也越大；
3.指数函数的图像：指数函数y=a^x的图像，可通过a的取值可表示不同的图像，但x的倒数比例确定的，a>1时函数通
过原点上升，a＜1时函数从无穷大减到0.
四、教学过程
（一）热身/复习
1. 检查课前准备情况，确认学生的学习成果；
2. 复习学习有关数据、图表及函数等知识
（二）新课内容
1.教师介绍指数函数：先介绍指数函数的定义，进一步介绍指数函数的定义，特性及图像等。
2.学生自学：让学生学习指数函数的基本知识，进行自我检测，解决学习上的困难
3.检验本课教学内容：举讲练习，及时解决学习困难，让学生掌握指数函数；
4.认知反思：让学生反思本节课学习知识点，给出一些对该课知识点的相关提问
五、教学评价
1.口头测试：学生根据提出的问题，综合运用已学知识正确答题；
2.书面测试：根据提出的问题，正确计算，考察学生是否熟练掌握求解指数函数；
3.实际操作：实际操作，解决实物测量、统计分析和消费分析等问题，考察学生是否掌握指数函数的应用。
《指数函数》教案及说明
《指数函数》教案及说明教学目标：1.了解指数函数的概念及特点。
2.掌握指数函数的基本性质和运算法则。
3.能够应用指数函数解决实际问题。
教学准备：1.教材：《数学》教科书指数函数相关知识。
2.教具：黑板、彩色粉笔、教案、课件。
3.学具：纸、笔、计算器。
教学内容：一、指数函数的概念1.引入-贴近生活：指数函数在生活中的应用，如化学反应速率、人口增长、传染病传播等。
2.定义-初步认识：引导学生理解指数函数的定义，即$f(x)=a^x$，其中$a$为底数，$x$为指数。
3.图像-形象认识：通过绘制不同底数的指数函数图像，让学生感受指数函数的特点。
二、指数函数的性质1.增减性质-探索规律：让学生探究当底数大于1或小于1时指数函数的增减规律。
2.奇偶性质-分析对称：引导学生分析指数函数的奇偶性质及对称性。
3.单调性-推理结论：通过图像和实例讨论指数函数的单调性。
三、指数函数的运算1.指数运算-灵活应用：介绍指数运算的基本法则，如底数相同指数相加、乘法规则等。
2.对数运算-运用技巧：引导学生掌握对数运算与指数运算的关系，解决相关问题。
四、应用题训练1.实际问题-连接生活：设计一些实际问题让学生应用指数函数解答，如投资增长、疾病传播等。
2.综合题目-巩固训练：布置一些综合性的题目，检验学生对指数函数的理解和运用能力。
教学过程：一、引入1.通过引入生活中的例子，引起学生对指数函数的兴趣。
2.提出问题：你知道指数函数是什么吗？它有什么特点？二、概念讲解1.讲解指数函数的定义及表达形式。
2.通过示例让学生理解指数函数的意义。
三、性质探究1.讨论指数函数的增减性、奇偶性和单调性。
2.通过实例和图像展示不同性质的指数函数。
四、运算规律1.教授指数运算基本规则，让学生掌握指数函数的运算方法。
2.引导学生理解对数运算与指数运算之间的关系。
五、应用题训练1.分组讨论实际问题，并给出解法。
2.布置应用题训练，让学生巩固所学内容。
《指数函数》教案
【课题】4．2指数函数【教学目标】知识目标：⑴理解指数函数的图像及性质；⑵了解指数模型，了解指数函数的应用．能力目标：⑴会画出指数函数的简图；⑵会判断指数函数的单调性；⑶了解指数函数在生活生产中的部分应用，从而培养学生分析与解决问题能力．【教学重点】⑴指数函数的概念、图像和性质；⑵指数函数的应用实例．【教学难点】指数函数的应用实例．【教学设计】⑴以实例引入知识，提升学生的求知欲；⑵“描点法”作图与软件的应用相结合，有助于观察得到指数函数的性质；⑶知识的巩固与练习，培养学生的思维能力；⑷实际问题的解决，培养学生分析与解决问题的能力；⑸以小组的形式进行讨论、探究、交流，培养团队精神.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为 行为 意图 间别用光滑的曲线依次联结各点，得到函数y =2x 和y =1()2x 的图像，如上图所示．归纳观察函数图像发现：1．函数2x y =和y =1()2x 的图像都在x 轴的上方，向上无限伸展，向下无限接近于x 轴；2．函数图像都经过（0，1）点；3．函数y =x2的图像自左至右呈上升趋势；函数y =1()2x 的图像自左至右呈下降趋势． 推广利用软件可以作出a 取不同值时的指数函数的图像． 展示 引导 分析 说明观察 体会 理解计算 部分 可以 由学 生独 立完 成 引导学生仔细观察函数图象的特点数形结合25*动脑思考 明确新知 一般地，指数函数xy a =()01a a >≠且具有下列性质：(1) 函数的定义域是(),-∞+∞．值域为(0,)+∞；(2) 函数图像经过点(0,1)，即当0x =时，函数值1y =； (3) 当>1a 时，函数在(),-∞+∞内是增函数；当0<<1a 时，函数在(),-∞+∞内是减函数．归纳强调体会 记忆结合 图形 由学 生自 我归 纳强 调关 键点30*巩固知识 典型例题通过x．10)年该市国内生产总值为（亿元）．年该市国民生产总值为（亿元）．。
《指数函数》经典讲义(完整版)
指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理知识点1：指数函数函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R知识点2：指数函数的图像和性质知识点3：指数函数的底数与图像的关系指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则01c d a b <<<<<，在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大在第一象限内，“底大图高”知识点4：指数式、指数函数的理解① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像1223,,21xx y y x y y =⋅===- 等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭二、同步题型分析题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域例1：已知函数，且． （1）求m 的值；（2）判定f （x ）的奇偶性；（3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析：（1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为，所以，所以m=1．（2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f （x ）是奇函数． （3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．点评：本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．例2：已知函数，（1）讨论函数的奇偶性；（2）证明：f（x）＞0．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：（1）由2x﹣1≠0解得义域为{x|x≠0}，关于原点对称．f（﹣x）=（）（﹣x）=（）x=f（x），故该函数为偶函数．（2）任取x∈{x|x≠0}，当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，故，从而．当x＜0时，﹣x＞0，故f（﹣x）＞0，由函数为偶函数，能证明f（x）＞0在定义域上恒成立．解答：解：（1）该函数为偶函数．由2x﹣1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…（2分）f（﹣x）=（）（﹣x）=﹣（+）x=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）故该函数为偶函数．…（7分）（2）证明：任取x∈{x|x≠0}当x＞0时，2x＞20=1且x＞0，∴2x﹣1＞0，故从而…（11分）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＞0，…（12分）又因为函数为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）＞0，…（13分）∴f（x）＞0在定义域上恒成立．…（14分）点评：本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．例3：已知函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a的值；（2）求f（x）+f（1﹣x）的值；（3）求的值．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由y=ax单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求；解答：解：（1）∵函数y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=ax单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知，∴====1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，=×1=；n为偶数时，=+f（）==；综上，=．点评：本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．题型2：指数函数的图像变换．例1：已知函数y=|2x﹣2|（1）作出其图象；（2）由图象指出函数的单调区间；（3）由图象指出当x取何值时，函数有最值，并求出最值．考点：指数函数的图像变换．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到．（2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．解答：解：（1）函数y=|2x﹣2|图象是由y=2x的图象向下平移2个单位，再将x轴下方的部分翻着到x轴上方得到，如图所示：（2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1]，增区间为（1，+∞）．（3）数形结合可得，当x=1时，ymiin=0．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．题型3：指数函数单调性例1：已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中常数a，b满足a•b≠0（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若a=﹣3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；（2）当a=﹣3b时，f（x）=﹣3b•2x+b•3x=b（3x﹣3•2x），则f（x+1）＞f（x）即化为b（3x+1﹣3•2x+1）＞b（3x﹣3•2x），若b＞0，则有3x+1﹣3•2x+1＞3x﹣3•2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，则有3x+1﹣3•2x+1＜3x﹣3•2x，整理得，解得x＜1；故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．例2：已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）试求f（x）的表达式；（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立，求实数t的取值范围．考点：指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；从而写出f（x）的表达式；（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞﹣恒成立，从而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，设∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是减函数；（3）由题意，t•2x•f（x）＜4x﹣1可化为t•2x•（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化简可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2x•f（x）＜4x﹣1恒成立可化为t≥0．点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．例3：已知函数f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（﹣∞，1）上的单调性；（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求m+n 的取值范围．考点：指数函数综合题．专题：计算题；证明题．分析：（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；（2）由（1）可知，函数的值域为（0，1），要使函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1）又函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，所以A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故可以求出m+n，进而由t∈（0，1），可求m+n的取值范围．解答：解：（1）证明：任取x1∈（1，+∞），x2∈（1，+∞），且x1＜x2，=，∵x1＜x2，∴，∴，∴f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．（5分）函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6分）（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），（8分）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2m﹣1﹣1＜0，2n ﹣1﹣1＞0，又A，B两点的坐标满足方程t=|2x﹣1﹣1|，故得t=1﹣2m﹣1，t=2n﹣1﹣1，即m=log2（2﹣2t），n=log2（2+2t），（12分）故m+n=log2（2﹣2t）+log2（2+2t）=log2（4﹣4t2），当0＜t＜1时，0＜4﹣4t2＜4，﹣∞＜log2（4﹣4t2）＜2．因此，m+n的取值范围为（﹣∞，2）．（17分）点评：本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论三、课堂达标检测检测题1：已知函数f（x）=（其中e=2.71828…是一个无理数）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断奇偶性并证明之；（3）判断单调性并证明之．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；证明题．分析：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（﹣x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．解答：解：f（x）==1﹣（1）∵e2x+1恒大于零，∴x∈R（2）函数是奇函数∵f（﹣x）==又由上一问知函数的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数（3）是一个单调递增函数设x1，x2∈R 且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=1﹣=∵x1＜x2，∴∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在R是单调增函数点评：本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．检测题2：已知函数f（x）=2ax+2（a为常数）（1）求函数f（x）的定义域．（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．专题：常规题型；转化思想．分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．解答：解：（1）函数y=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．（2）因为a=1，所以f（x）=2x+2．易知此时f（x）为增函数．又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．所以函数f（x）的值域为（8，16]．（3）因为f（x）为减函数，而y=2u是增函数，所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．检测题3：设f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）对任意不为零的实数x都满足f（﹣x）=﹣f（x）．已知当x＞0时（1）求当x＜0时，f（x）的解析式（2）解不等式．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．专题：常规题型．分析：（1）求当x＜0时，f（x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值x，再转化到已知区间上求解析式，由f（﹣x）=﹣f（x）解出f（x）即可．（2）解不等式f（x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．解答：解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，=又f（﹣x）=﹣f（x）所以，当x＜0时，（2）x＞0时，，∴化简得∴，解得1＜2x＜4∴0＜x＜2当x＜0时，∴解得2x＞1（舍去）或∴x＜﹣2解集为{x|x＜﹣2或0＜x＜2}点评：本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出f（x）来．解不等式也要分段求解，注意x的取值范围．11。
高中数学《指数函数》ppt课件
01
02
03
乘法法则
$a^m times a^n = a^{m+n}$，同底数幂相 乘，底数不变，指数相加 。
除法法则
$a^m div a^n = a^{mn}$，同底数幂相除，底 数不变，指数相减。
幂的乘方法则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。
不同底数指数运算法则
常见指数函数类型及其特点
自然指数函数
幂指数函数
对数指数函数
复合指数函数
底数为e（约等于2.71828） 的指数函数，记为y=e^x。 其图像上升速度最快，常用 于描述自然增长或衰减现象
。
形如y=x^n（n为实数）的函 数，当n>0时图像上升，当 n<0时图像下降。特别地，当 n=1时，幂指数函数退化为线
高中数学《指数函数》ppt 课件
目录
• 指数函数基本概念与性质 • 指数函数运算规则与技巧 • 指数函数在生活中的应用举例 • 指数函数与对数函数关系探讨 • 指数方程和不等式求解技巧 • 总结回顾与拓展延伸
01 指数函数基本概 念与性质
指数函数定义及图像特点
指数函数定义
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函 数称为指数函数。
在生物学领域，指数函 数和对数函数被用于描 述生物种群的增长和衰 减过程；
在物理学领域，指数函 数和对数函数被用于描 述放射性衰变等物理现 象。
05 指数方程和不等 式求解技巧
一元一次、二次指数方程求解方法
01
一元一次指数方程：形如 $a^x = b$ （$a > 0, a neq 1$）的方程。求解方法
利用对数性质将指数方程转化为代数 方程进行求解。
北师大版高中数学必修第一册《指数函数》评课稿
北师大版高中数学必修第一册《指数函数》评课稿一、引言《指数函数》是北师大版高中数学必修第一册的一章内容，该章主要介绍了指数及指数函数的基本概念、性质、运算法则以及在实际问题中的应用。
本评课稿旨在对该章进行细致的评价，分析其教学内容的合理性和教学方法的有效性，以及对学生的学习效果评估。
二、教学内容细化2.1 指数的引入指数作为数学中的重要概念，是介于代数与分析之间的一门科学。
《指数函数》一章开篇首先引入了指数，通过对指数的简单解释和示例，激发学生对指数的兴趣，为后续学习打下了基础。
2.2 指数的性质和运算法则本节主要介绍了指数的性质和运算法则，包括：指数的定义、同底数幂的比较、指数幂的运算法则等。
通过对性质和法则的详细解释与演示，帮助学生理解和掌握指数的运算规律，为后续学习指数函数奠定基础。
2.3 指数函数的定义与性质指数函数作为本章的核心内容，该节主要介绍了指数函数的概念、定义及其一些基本性质。
通过具体的例子和图表，引导学生理解指数函数的特点和变化规律，以及指数函数与指数的关系。
2.4 指数函数的图像与性质本节通过图像展示，详细介绍了指数函数的图像特征和性质，包括：图像的增减性、图像的性态及其变化规律等。
通过图像的观察和分析，帮助学生直观理解指数函数的特点，加深对指数函数的认识。
2.5 指数函数的应用该节主要介绍了指数函数在实际问题中的应用，包括：指数函数在增长问题中的应用、指数函数在减衰问题中的应用等。
通过实例分析和解决问题的过程，培养学生运用指数函数解决实际问题的能力和思维方法。
三、教学方法评价3.1 运用启发式教学方法在《指数函数》这一章的教学过程中，教师广泛运用了启发式教学方法。
通过引导学生思考问题、发现规律、探索解题思路，激发学生的主动学习兴趣，培养学生的创新思维和问题解决能力。
3.2 利用多媒体教学辅助教师在教学过程中巧妙地运用多媒体教学辅助工具，如使用投影仪展示指数函数的图像、演示指数函数的性质和变化规律等。
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4.2.1 指数函数及其图像与性质
【教学目标】
1.知识与技能目标：
使学生理解指数函数的定义、图象及性质，培养学生正确使用几何画板工具。
2.过程与方法目标：
在实验活动过程中引领学生主动探索指数函数性质，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会学习数学规律的方法。
3.情感态度与价值观：
让学生感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，体会辨证的思维及数学图形的和谐美。
【教学重、难点】
教学重点：理解指数函数的定义、图象及性质。
教学难点：指数函数性质的归纳与运用。
【教学方法】
我校汽修专业的学生数学基础比较薄弱，学生对数学普遍不感兴趣。
本节课概念性比较强，而且突出数学图形的运用，这恰是学生学习的弱项，但是思想比较活跃的他们对新事物具有强烈的好奇心，动手能力、观察能力比较强。
因此本节课主要采用数学实验教学活动的方法，通过结合计算机软件工具，让学生在实验活动过程中来去体验、感悟知识，让学习成为一种愉悦的主动认知过程，切实做到将数学课堂还给学生。
【教学过程】
1.流程
（1）教学流程：
（2）学生认知流程：
2.教学过程设计
三、深入探究、引导发现（2）动眼观察，产生猜想：展示学生制作的6个函
数图像（图1，分开独立的6个图像；图2，将它们
放在同一坐标系下），让他们观察这6个指数函数图
像有何共同的特征：
图1
图2
思考：能将他们分分类吗？这个图象特征与底数a
是否存在关系？
引导学生大胆猜测：指数函数的图象按底数分成两
类。
教师：让学生自由发挥，说
说他们观察到的有共性的
图像特征。
学生：容易发现：
①都过点（0，1）；
②图像都在x轴上方；
③有的图像呈上升趋势；有
的图像呈下降趋势。
教师：引导学生去观察图像
呈上升或下降这一图像特
征与它们的底数存在的关
系。
学生:发现呈上升趋势的3
个图象，底数都大于1；呈
下降趋势的3个图象，底数
都大于0小于1；从而对“指
数函数图像形按底数分成
两类”形成初步的认识。
教师：引导学生一起观察发
现：底数大于1的三个函数，
虽然它们的弯曲程度不同，
但是都呈上升的趋势；底数
大于0小于1的三个函数也
类似，形成“指数函数的图
象按底数分成两类，即底数
大于1的指数函数图像呈上
升趋势，底数大于0且小于
1的指数函数图像呈下降的
趋势”这一猜想。
学生很容易
观察它们呈上升
或下降的整体特
征，从而对指数函
数图像的分类形
成初步的认识。
让学生自己
去动手操作、观察
发现，并引导他们
对所发现的知识
进行归纳、分类，
目的在于让学生
成为数学课堂的
主人，同时努力达
到“使学习过程成
为学生愉悦的主
动认知过程”这一
目标。
4
()
3
x
y=
1
0.35x
y=
1
0.7x
y=
1
2.3x
y=
1
1
4x
y=
1
3
()
5
x
y=
三、深入探究、引导发现（3）验证猜想：使用几何画板让学生去观察：当取
底大于0小于1的任何一个值时，虽然弯曲程度在
变，但它们始终都呈单调递减趋势，底大于1也如
此。
由此验证了他们的猜想，也得到了指数函数的
两类图象：
（4）归纳指数函数的性质：
通过前面对图像特征的充分认识，引导学生一起将
这些图像特征转化成数学语言，即得到指数函数的
性质。
a＞1 0＜a＜1
图
象
定义域R
值域(0，＋∞)
定点恒过点（0,1），即当x=0时，函数值y=0
单调性在R上是增函数在R上是减函数
练习．画出下列函数的简图：
x
y3
)1(=，
x
y⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
3
1
)2(
教师：动画展示，验证猜想。
教师：引导学生对当a＞1
时的指数函数图象进行下
列三个方面归纳整理：
①经过的特殊点；
②图象的范围（左右、上
下方向）
③图象从左向右的变化趋
势（上升或下降）
从而得到指数函数的性质，
并整理成表格。
学生：完成当0＜a＜1时，
指数函数图像的性质。
学生：动手作图。
运用几何画
板来验证猜想，这
一过程也很好地
维护了数学知识
的严谨性。
由特殊到一
般，由感性到理
性，从而顺理成章
地总结出指数函
数的性质，这符合
人认识问题的一
般规律，学生很容
易接受．
让学生通过
对比完成0＜a＜
1的情况，体验成
功的喜悦，也加深
对知识的理解。
巩固指数函
数的图像的分类
及特征。
过程小结
这个环节中通过让学生动眼观察、动脑思考，并对猜想进行验证，在这一过程中不仅让学生的主体意识得以充分的体现，也让学生经历知识的产生和发展过程，感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，体会辨证的思维，从而有效的达到对知识的理解。
四、巩固提高灵活运用例2．判断下列函数()
+∞
∞
-,在内的单调性
（1）x
y5
=（2）x
y-
=3（3）32
x
y=
解：（1）因为底数1
5>
=
a,所以，函数x
y5
=在
()
+∞
∞
-,内是增函数。
（2）因为
x
x
x
y⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
=
=-
-
3
1
)
3(
31，底数
1
3
1
<
=
a,所以，函数x
y-
=3在()
+∞
∞
-,内是减
函数。
（3）因为x
x
x
y)2
(
2
23
3
1
3=
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
=，底数
1
259
.1
2
3>
≈
=
a,所以，函数32
x
y=在
()
+∞
∞
-,内是增函数。
思考题:比较下列各题中两个值的大小：
（1）2
5-___1.2
5-（2）
2.0
3
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
___
4.0
3
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
师生：
（1）学生回答，教师板书；
（2）教师适当地提示，学
生完成.
（3）学生独立完成。
教师：引导学生结合例2（1）
（2）函数性质进行分析，
将单调性具体到对两个点
进行讨论。
例2的目的
在于考察学生对
本节课指数函数
的定义及性质的
理解程度，（1）的
解决学生应该没
有问题，（2）（3）
的解决需要结合
实数指数幂的运
算，但是有了例1
的铺垫，（2）（3）
也就容易解决了。
思考题也是
指数函数性质的
运用，有了例2
的铺垫，学生不难
理解，培养学生数
形结合分析问题
能力。
五、归纳总结新知梳理新知梳理：教师提问：
通过本节课的学习，你学到
了哪些知识？又掌握了哪
些方法？
对本节课知
识进行整理，让学
生领悟研究一个
函数的方法和模
式：从定义——图
象——性质的过
程。
【板书设计】【教学反思】。