指数函数的概念
指数与指数函数知识点
指数与指数函数知识点数学中的指数与指数函数是非常重要且常见的概念。
在我们的日常生活中，指数和指数函数可以用来描述各种自然现象、科学问题以及经济趋势等。
本文将详细介绍指数与指数函数的定义、性质以及一些常见应用，以加深读者对这一概念的理解。
一、指数的定义和性质在数学中，指数是一种表示幂次方的数学运算。
指数是由两个数构成，其中一个为底数，另一个为指数。
底数表示要进行幂运算的数字，指数表示底数要乘以自身多少次。
例如，2的3次方即为2的指数为3的结果，即2x2x2=8。
指数函数是指数的一种特殊形式，即以常数为底数的幂函数。
指数函数的一般形式为y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是指数函数的值。
指数函数的图像通常具有特定的特征，例如，当底数大于1时，指数函数呈现递增趋势；当底数在0和1之间时，指数函数呈现递减趋势。
指数有一些基本的性质。
首先，任何数的0次方都等于1，即a^0=1。
其次，任何非零数的负指数都是倒数，即a^(-n)=1/(a^n)。
此外，指数相乘等于底数不变指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。
二、指数函数的应用指数函数在各个领域都有广泛的应用。
以下是指数函数在生活和科学中的一些常见应用：1. 经济增长：经济学家常常使用指数函数来描述一个国家或地区的经济增长趋势。
经济增长往往呈现指数增长的形式，即以固定的增长率逐渐增加。
指数函数可以帮助经济学家预测未来的经济趋势和制定相应的政策。
2. 生物衰变：在生物学的研究中，指数函数可以用来描述物种的衰变过程。
例如，放射性物质的衰变速度可以用指数函数进行建模。
指数函数的形式可以提供准确地描述和计算物种在特定时间内的衰减情况。
3. 自然增长：人口学家使用指数函数来研究人口的自然增长过程。
指数函数可以帮助人口学家了解一个地区的人口趋势和人口变化的因素，为政府提供人口规划和政策制定方面的参考。
4. 电子电路：在电子学中，指数函数可以用来描述电路中的电流和电压变化。
指数函数及其性质
(0<a<1)
y
y=ax
(a>1)
图 象
y=1
(0,1) 0 x
(0,1)
y=1
0 x
a>1
0<a<1
a>1
0<a<1
1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近。
1.定义域为R，值域为(0,+). 性 2.当x=0时，y=1 3.在R上是增 函数 3.在R上是减 函数
图 象 特 征
2.图象过定点（0，1） 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内
(1), (6), (7)是指数函数。
已知f(x)是指数函数，且其图象
过点(2, 9)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.
2、指数函数的图象和性质： (1) 作出函数y 2 的图象.
x
(2)
1 作出函数y 的图象. 2
x
x
y2
x
…
-3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
x
y
(2)
(1)
( 3)
( 4)
(0,1)
O
x
x
(4)y d 的图象,
x
x
比较a, b, c, d与1的大小关系 .
c d 1 a b.
y
对于多个指 数函数来说， 底数越大的图 象在 y 轴右侧 的部分越高.
(0,1)
O
x
简称：右侧 底大图高.
指数函数的图象和性质
a>1
y
指数函数的概念
⑵ y 3 解：（2） 由5x-1≥0得
5 x1
1 x 5 所以，所求函数定义域为
1 x | x 5
由
5x 1 0 得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
⑶
y 2x 1
由
解：（3）所求函数定义域为R
2 0
x
可得
2 1 1
x
所以，所求函数值域为{y|y>1}
6 5 4
x 1
所以，所求函数值域为 {y|y>0且y≠1}
-6
fx =
0.4 x-1
3
2
1
-4
-2
2
4
6
-1
-2
说明：对于值域的求解，可以令 考察指数函数y= 并结合图象 直观地得到: 函数值域为 {y|y>0且y≠1}
1 t x 1
0.4
t
(t 0)
6
5
4
3
2
1
-4
-2
2
4
6
-1
1 x 1 , x 1 2 2 x 1 , x 1
3.2
3.2 3.2 3.2 3.2 333 3
3
3
-0.2
对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法 作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图 等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们 遇到的有以下几种形式： 函 数 y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x) y=f(|x|) y=|f(x)| y=f(x) a>0时向左平移a个单位；a<0时向右平移|a|个单位. a>0时向上平移a个单位；a<0时向下平移|a|个单位. y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
指数函数
指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a ＞1时，图像在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，图像在R 上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log 101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 何两个幂函数最多有三个公共点．.定义域R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减ny x=奇函数偶函数非奇非偶函数1n>01n<<0 n<O xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xy幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）（在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
指数函数的三个特征
指数函数的三个特征指数函数是高中数学中的重要概念，它具有以下三个特征：增长速度快、函数值始终大于零、具有对称轴。
在本文中，我们将深入探讨这三个特征，并分别进行详细解释。
指数函数的增长速度非常快。
指数函数的定义是f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
当底数a大于1时，指数函数呈现出递增趋势，随着x的增大，函数值以指数级别增长。
例如，当a=2时，f(x) = 2^x的函数值随着x的增大呈现出指数增长的趋势，增长速度迅猛。
这种增长速度快的特点使得指数函数在描述许多现实世界中的增长和衰减过程时非常有用。
指数函数的函数值始终大于零。
由于底数a的任何正数次幂都大于0，所以指数函数的函数值始终大于零，即f(x)>0。
这使得指数函数在描述比例关系时非常有用。
例如，当a=0.5时，f(x) = 0.5^x 的函数值随着x的增大逐渐接近于0，但始终大于0。
这种特性使得指数函数在概率、百分比、利润等方面的计算中得到广泛应用。
指数函数具有对称轴。
指数函数的对称轴是y轴，即当x取任意值时，f(x) = a^x的函数值与f(-x)的函数值相等。
这是因为指数函数的定义中指数x可以是任意实数，正数和负数的函数值是相等的。
例如，当a=3时，f(x) = 3^x的函数值与f(-x)的函数值相等，这意味着函数图像关于y轴对称。
这种对称性使得指数函数在研究对称性质时非常方便。
指数函数具有增长速度快、函数值始终大于零、具有对称轴等三个特征。
这些特征使得指数函数在数学、科学和工程等领域中得到广泛应用。
我们在实际问题中，可以利用指数函数的快速增长特性来描述人口增长、物质衰变等现象；可以利用函数值始终大于零的特性来计算概率、百分比、利润等；可以利用对称轴的特性来研究对称性质。
因此，深入理解和掌握指数函数的三个特征对于数学学习和实际应用具有重要意义。
指数函数的性质及常考题型(含解析)
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =
指数函数概念
指数函数概念指数函数是一种重要的数学函数，可以用来描述某种特定情况下量级增长的情况。
它由变量x和常数a共同决定，表达式可以写作f(x)=a^x 。
指数函数中a叫做指数，x叫做底数，当x为负值时，指数函数会产生一定的不同，变成f(x)=a^(-x) 。
指数函数的含义是指底数x的次方乘以指数a，因此指数函数又可以描述为：f(n)=a^n 。
在这里，n为正整数，表示底数的次方，a 为正实数，表示指数。
当n=0时，f(n)=a^0 一定是1，这是因为任何次方除0以外的任何正整数都可以写成乘方来求出，所以当n为0时，应该乘以1来结果f(n)为1。
从另一个角度来看，指数函数体现了一种指数与实际情况相关的增长速度，也就是如果每次乘以同一个值，则产生的增长速度越来越快。
另一方面，指数函数也可以用来表示某物的指数衰减，比如衰减的音量可以用f(x)=a^(-x)表示，其中a表示初始音量，而x为衰减次数，当x越大，衰减量就越大。
指数函数的应用广泛，它可以广泛应用于经济学，物理学，生物学等领域，可以更好地描述某一种以指数形式增长或者衰减的规律，比如对物体衰减的热量，物质散失指数衰减等情况。
指数函数也可以用来表示在某一种增长速率下，物质量的变化情况，以及在科学研究中与指数概念相关的情况，例如詹姆斯-库克公式也是通过指数函数表达的。
求解指数函数也是一个非常重要的数学技能。
首先，当指数和底数都是实数时，可以用求导的方法来求解，即求f(x)=ln(a)*a^x 。
同时，还可以采用求和的方法来解决求解指数函数，即用π函数求和的方式来求解。
总之，指数函数是一种重要的数学函数，可以用来描述特定情况下量级增长或衰减的情况，它有着广泛的应用，而且能够更好地描述某一种以指数形式增长或者衰减的规律，作为一门必修课程，认真学习指数函数的基础知识，并如实理解和掌握指数函数概念是非常有必要的。
4.2.1指数函数的概念
比较两地景区游客人次的变化情况 ，你发现了怎样的变化规律？
新课引入
为了有利于观察规律，根据表格，分别画出A，B 两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象
观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次 近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约 为10万次)；B地景区的游客人次则是非线性增长， 年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看 出变化规律.
新课引入
细胞分裂过程
细胞个数
第一次 第二次
2=21
表达式
4=22
第三次
……y…=…2x
8=23
第x次
……
2x
细胞个数y关于分裂次数x的表达为
新课引入
比较下列指数的异同，
能不能把它们看成函数值？
11
①、23 , 22 , 20 , 21, 2 2 , 22; y 2x
1
1
②、 12
3
,
1 2
y
1 2
x
,
(
x
N
)
学习新知
前面我们从两列指数和三个实例抽象得到两个函数：
y
2x
与y
1 2
x
这两个函数有 何特点?
函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数 ，其中x是自变量 .函数的定义域是R .
思考:为何规定a0，且a1?
0
1
a
学习新知 思考:为何规定a0，且a1?
0
1
a
1
当a0时，ax有些会没有意义，如(-2)2 ,
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是
A.(0,1)∪(1，＋∞)
B.[0,1)∪(1，＋∞)
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……
y 2x
细菌 2个 4个8个 16个 总数 21 22 23 24
2x
☺问题2：《庄子·天下篇》中写道：“ 一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你 写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的函 数关系式？
截取 次数 1次 2次 3次 4次 x次
y (1)x 2
木棰 1 尺 1 尺 1 尺 1 尺 剩余 2 4 8 16
y (2a 1)x (a 1 ,且a 1) 2
1
y 2 x 的定义域为,00,
，0,1 值 1,域 为
解析：要使函数有意义，
有x 0
1 x
1
，0则 2x
1
故函数的定义域, 0 为0,
域为
。
0,1 1, 值
☺已知指数函y 数f (x)
图像经过点
(4,16),求f (0此) 函f (1数) 的解析式并求 、
的值。
解析：据题可f (设x) ax a 0 a 1 且
由函数图像过(4f ,(41)6)a知4 16
解得a 2 （负值舍去f (x）) ，2x 则
故f (0) 20 1 f (1) ，21 2
。
☺函数y (a2 3a 3)ax
是指数a函数，求 的值。
解析：根据指数函数的定义，据题可知
3.1 指数函数的概念
☺ 理解指数函数的概念； ☺ 初步认识指数函数的定义域和
值域； ☺ 培养归纳能力及知识的灵活运
•10.1 5
☺问题1:假设霍乱弧菌每小时分裂一 次（每个细菌分裂一次变成两个），1 个霍乱弧菌经过x个小时的繁殖后变成 了y个，那么y与x的关系式是什么？
分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次
a2 3a 3 1 a 0
a 1
a 2 解得
1. 指数函数的定义； 2. 指数函数形式上的三
个特征； 3. 指数函数的定义域和
值域。
在平面直角坐标系中做出一对底数 互为倒数的指数函数图像，并写出 你观察到的图像性质。
(1)x尺 2
y 2x, y (1)x
2
以上两个函数有何共同特征？
①均为指数幂的形式 ②自变量x在指数位置 ③底数是一个正的常数
函数y ax
叫做指数函 其 x 是自变
数，
中 量．
函数的定义域是
R．
01
a
1
当a 0 时a x， 不一定有意（义- 2。）2
例如 a0
x0 ax 0
当 究价值
时，若x
0
a x，
a0 ax 若
，
无研 没有意
义a 1 a x 1
当 时， 有意义a 0 a 1
当 时，
为常量，无研
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1) 形式 上有什么特征？
判断下列函数是否为指数函数？请
给出理由。
y 4x y 4x
y (4)x
y 4x
y xx
y x4
y x