指数函数定义
指数函数的定义域
指数函数的定义域
指数函数是在数学中最常用的函数之一，它可以用来描述多种物理和社会现象。
下面介绍它的定义域:
1. 定义：指数函数的定义，简单的说就是任意实数x的指数变换
y=ax^b（a是常数，b是指数），其中，左边的x称为自变量，右边的y称为因变量。
2. 定义域：指数函数的定义域是所有实数x（x属于R）。
3. 值域：指数函数的值域是所有实数y（y>0），当b>0时，指数函数的值域是[0, ∞)，其中包括0；当b<0时，指数函数的值域是(0, ∞)。
4. 曲线特性：指数函数是基于等比数列的函数，当b>0时，指数函数的坐标图是从原点开始的凸函数；当b<0时，指数函数的坐标图是从原点开始的凹函数。
5. 函数奇偶性：一般而言，指数函数在实数轴上是奇函数，也就是说函数在实数轴上对称轴过原点，在图像中，指数函数是单调递增的。
6. 函数性质：指数函数可以表示指数成长和指数衰减，并且可以描述物理现象中含有指数关系的曲线方程，例如光衰减曲线方程就是一个
指数函数。
指数函数是用来描述指数成长、衰减的函数，它的定义域为实数x（x 属于R），值域为实数y（y>0）。
指数函数的坐标图从原点开始向上凸函数或下凹函数，它是一个单调递增的函数，也是一个奇函数，可以表示物理现象中含有指数关系的曲线方程。
指数函数及其性质
指数函数及其性质要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存有．③如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞）②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x>1x>0时，0<a x<1⑤x<0时，0<a x<1x>0时，a x>1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）① xy a = ②xy b = ③x y c = ④x y d =则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大）x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性实行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可． 【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值．【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4xy =；（2）4y x =；（3）4xy =-；（4）(4)xy =-；（5）1(21)(1)2xy a a a =->≠且；（6）4x y -=．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313x xy =+；(2)y=4x -2x+1；(3)21139x --；(4)211xx y a-+=(a 为大于1的常数)举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)2-12x y = (2)y =(3)y =0,1)y a a =>≠类型三、指数函数的单调性及其应用 例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．【总结升华】由本例可知，研究()f x y a=型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，()f x y a =的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()f x y a=的单调与()y f x =的单调性相反．举一反三：【变式1】求函数2323x x y -+-=的单调区间及值域.【变式2】求函数2-2()(01)x xf x a a a =>≠其中，且的单调区间.例4．证明函数1()(1)1x xa f x a a -=>+在定义域上为增函数.【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.所以，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.例5．判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与1.8a+1； (2)24-231(),3,()331(3)22.5，(2.5)0， 2.51()2(4)0,1)a a >≠举一反三：【变式1】比较大小：(1)22.1与22.3 (2)3.53与3.23 (3)0.9-0.3与1.1-0.1(4)0.90.3与0.70.4(5)110.233241.5,(),()33-.【变式2】利用函数的性质比较122，133，166【变式3】 比较1.5-0.2， 1.30.7， 132()3的大小.例6. (分类讨论指数函数的单调性)化简：4233-2a a a +举一反三： 【变式1】如果215x x a a +-≤（0a >，且1a ≠），求x 的取值范围．例7．判断下列函数的奇偶性：)()21121()(x x f x ϕ+-= (()x ϕ为奇函数)【变式1】判断函数的奇偶性：()221xx xf x =+-.类型五、指数函数的图象问题例8．如图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数xy a =的图象，而12,,3,22a π⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则图象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．举一反三：【变式1】 设()|31|xf x =-，c ＜b ＜a 且()()()f c f a f b >>，则下列关系式中一定成立的是（ ）A ．33c b <B ．33c b >C ．332c a +>D ．332c a+<【变式2】为了得到函数935xy =⨯+的图象，可以把函数3xy =的图象( )A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度1、已知集合},4221|{},1,1{1Z x x N M x ∈<<=-=+，则M N =（ ）A 、}1,1{-B 、}1{-C 、}0{D 、}0,1{- 2、设5.1348.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（ ）A 、213y y y >>B 、312y y y >>C 、321y y y >>D 、231y y y >> 3、当11≤≤-x 时，函数22-=xy 的值域为（ ） A 、]0,23[-B 、]23,0[C 、]0,1[-D 、]1,23[- 4、函数12212,+==x x a y a y （)1,0≠>a a ，若恒有12y y ≤，则底数a 的取值范围是（ ） A 、1>a B 、10<<a C 、10<<a 或1>a D 、无法确定 5、下列函数值域为),0(+∞的是（ ）A 、xy -=215 B 、xy -=1)31( C 、1)21(-=x y D 、x y 21-= 6、当0≠a 时，函数b ax y +=和axb y =的图象只可能是图中的（ ）7、函数)1,0(≠>=a a a y x在]2,1[上最大值比最小值大2a，则a = 。
指数函数的概念
⑵ y 3 解：（2） 由5x-1≥0得
5 x1
1 x 5 所以，所求函数定义域为
1 x | x 5
由
5x 1 0 得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
⑶
y 2x 1
由
解：（3）所求函数定义域为R
2 0
x
可得
2 1 1
x
所以，所求函数值域为{y|y>1}
6 5 4
x 1
所以，所求函数值域为 {y|y>0且y≠1}
-6
fx =
0.4 x-1
3
2
1
-4
-2
2
4
6
-1
-2
说明：对于值域的求解，可以令 考察指数函数y= 并结合图象 直观地得到: 函数值域为 {y|y>0且y≠1}
1 t x 1
0.4
t
(t 0)
6
5
4
3
2
1
-4
-2
2
4
6
-1
1 x 1 , x 1 2 2 x 1 , x 1
3.2
3.2 3.2 3.2 3.2 333 3
3
3
-0.2
对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法 作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图 等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们 遇到的有以下几种形式： 函 数 y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x) y=f(|x|) y=|f(x)| y=f(x) a>0时向左平移a个单位；a<0时向右平移|a|个单位. a>0时向上平移a个单位；a<0时向下平移|a|个单位. y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
指数函数
指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a ＞1时，图像在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，图像在R 上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log 101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 何两个幂函数最多有三个公共点．.定义域R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减ny x=奇函数偶函数非奇非偶函数1n>01n<<0 n<O xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xy幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）（在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
指数函数的三个特征
指数函数的三个特征指数函数是高中数学中的重要概念，它具有以下三个特征：增长速度快、函数值始终大于零、具有对称轴。
在本文中，我们将深入探讨这三个特征，并分别进行详细解释。
指数函数的增长速度非常快。
指数函数的定义是f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
当底数a大于1时，指数函数呈现出递增趋势，随着x的增大，函数值以指数级别增长。
例如，当a=2时，f(x) = 2^x的函数值随着x的增大呈现出指数增长的趋势，增长速度迅猛。
这种增长速度快的特点使得指数函数在描述许多现实世界中的增长和衰减过程时非常有用。
指数函数的函数值始终大于零。
由于底数a的任何正数次幂都大于0，所以指数函数的函数值始终大于零，即f(x)>0。
这使得指数函数在描述比例关系时非常有用。
例如，当a=0.5时，f(x) = 0.5^x 的函数值随着x的增大逐渐接近于0，但始终大于0。
这种特性使得指数函数在概率、百分比、利润等方面的计算中得到广泛应用。
指数函数具有对称轴。
指数函数的对称轴是y轴，即当x取任意值时，f(x) = a^x的函数值与f(-x)的函数值相等。
这是因为指数函数的定义中指数x可以是任意实数，正数和负数的函数值是相等的。
例如，当a=3时，f(x) = 3^x的函数值与f(-x)的函数值相等，这意味着函数图像关于y轴对称。
这种对称性使得指数函数在研究对称性质时非常方便。
指数函数具有增长速度快、函数值始终大于零、具有对称轴等三个特征。
这些特征使得指数函数在数学、科学和工程等领域中得到广泛应用。
我们在实际问题中，可以利用指数函数的快速增长特性来描述人口增长、物质衰变等现象；可以利用函数值始终大于零的特性来计算概率、百分比、利润等；可以利用对称轴的特性来研究对称性质。
因此，深入理解和掌握指数函数的三个特征对于数学学习和实际应用具有重要意义。
指数函数知识点总结
指数函数知识点总结指数函数是高中数学中的重要内容之一。
它是以底数为常数、指数为自变量的函数，具有独特的性质和应用。
本文将从定义、性质、图像和应用四个方面对指数函数进行总结。
一、定义指数函数是具有形式f(x) = a^x的函数，其中a为大于0且不等于1的常数。
指数函数是一种通过指数幂运算的方式获得函数值的数学函数。
二、性质1. 底数大于1时，指数函数是增函数；底数在0和1之间时，指数函数是减函数。
这意味着指数函数的图像可以分为两种情况：斜上升和斜下降。
2. 指数函数有定义域为全体实数，值域为正实数。
3. 指数函数的图像经过点(0,1)，即a^0 = 1。
4. 指数函数的平行于x轴的渐近线为y = 0。
这是因为指数函数在负无穷大时趋于0。
5. 指数函数的性质可以推广到负指数，即f(x) = a^(-x)。
相同的性质适用于负指数函数。
三、图像指数函数的图像特点很明显。
当底数a大于1时，指数函数的图像会从左下方无限趋近于x轴。
当底数a在0和1之间时，指数函数的图像会从左上方无限趋近于x轴。
指数函数的图像在逼近x轴时变得非常陡峭。
这是因为随着指数不断增加，函数的增长速度越来越快。
四、应用指数函数在现实世界中有许多应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 金融领域：指数函数在复利计算中发挥着重要作用。
复利是指在计算利息时将利息加入到本金中，进而计算下一阶段的利息。
指数函数可用于计算定期存款或贷款的未来价值或余额。
2. 自然科学：指数函数在自然科学中广泛应用，尤其是在物理学和化学方面。
例如，放射性衰变是一个指数运动，指数函数可用于描述放射性物质的衰变过程。
3. 经济学：指数函数在经济学中用于描述人口增长、市场价格和物品生产等。
经济学家常常使用指数函数来分析和预测经济趋势。
4. 生物学：指数函数在生物学中用于描述生物种群的增长。
当环境资源充足时，生物种群的增长可以被指数函数描述。
总结：指数函数是一种重要的数学函数，在各个领域都有重要的应用。
指数 函数
指数函数引言指数函数是一种基本的数学函数，具有广泛的应用。
在本文中，我们将深入探讨指数函数的定义、性质和应用。
指数函数可以描述物理、经济和自然现象，因此理解指数函数将有助于我们更好地理解我们所处的世界。
什么是指数函数？指数函数可以表示为f(x)=a x，其中a是常数且大于零，x是变量。
指数函数从自然数到实数的映射，它的定义域是整个实数集。
指数函数与幂函数有相似之处，但其底数是固定的常数。
特殊情况当a=2时，指数函数被称为二次指数函数。
当a=10时，指数函数被称为常用对数函数。
这些特殊情况在计算机科学和信息技术中具有重要意义。
指数函数的性质指数函数具有以下特点： 1. 当x为正数时，指数函数是递增的。
随着x的增加，函数值也随之增加。
2. 当x为负数时，指数函数是递减的。
随着x的减小，函数值也随之减小。
3. 当x为零时，指数函数的值为1。
4. 当a大于1时，指数函数增长速度加快；当0小于a小于1时，指数函数增长速度减慢。
指数函数的图像指数函数的图像取决于底数a的值。
当a大于1时，函数曲线上升不断接近y轴，有电子学的组织与无穷远点（x轴）之间的相互作用。
当0小于a小于1时，函数曲线下降接近y轴，类似于放射性物质的衰减曲线。
指数函数的应用指数函数在许多领域和应用中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 金融领域指数函数在金融领域中扮演着重要的角色，特别是在复利计算和投资分析中。
复利是指根据时间和利率计算出的利息的加成。
利率越高，资金增长越快，这与指数函数的性质相吻合。
因此，指数函数可以用来描述投资的增长和收益的变化。
2. 自然科学指数函数在自然科学中有许多实际应用。
例如，在放射性衰变的研究中，指数函数可以描述放射性物质的衰减速度。
指数函数还可以描述许多物理过程的增长或衰减，如人口增长、细菌繁殖等。
3. 经济学指数函数在经济学中也有重要的应用。
例如，经济增长模型中的指数函数可以描述经济产出的增长速度。
指数函数的定义
4 3 2 1
-6 -4 -2
4
3
2
1
-3 -2 -1 0
1 2 3 4 5
2 4
6
8
小结：小结： y = 2 与 y = 2 的关系： 当m>0时，将指数函数 y = 2 x 的图象向右平行移 xm 动m个单位长度，就得到函数 y = 2 的图象； 当m<0时，将指数函数 y = 2 x 的图象向左平行移 动m个单位长度，就得到函数 y = 2 x m 的图象。
0.93.1 < 1
3.2 3 2.8 2.6 2.4
2.2
2.2
2
2
1.8
1.8
f(x) = 1.7x
f(x) = 0.9x
1.6
1.6
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
-2
-1.5
-1
-0.5 -0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5 -0.2
0.5
1
1.5
9 8 7 6 5 4 3 2 1 -6 -4 -2 2
2
x
的图象向左平行移动1个单位长度，
2
x
4
6
8
y = 2 x 1 与 y = 2 x 2 ⑵
解：⑵列出函数数据表,作出图像
x -3 0.125 0.625 0.3125 -2 0.25 0.125 0.625 -1 0.5 0.25 0.125 0 1 0.5 0.25 1 2 1 0.5 2 4 2 1 3 8 4 2
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y＝ a x (a＞0，且a≠1)
注意： (1)定义域为R。
(2)a x 前的系数必须为1，自变量x在指数位
置上，否则不是指数函数。 (3)底数a大于0且不等于1。
y ax
为什么底数a大于0且不等于1？
为什么底数a大于0且不等于1？
• 如果a＜0，如 y 4x ，当 x 1 , 1 时，在实数范
围内函数值不存在。
24
• 如果a＝0，当x＞0时，a x 恒等于0；当x≦0时， a x 无意义。
• 如果 a＝1，y 1x 1 ，是一个常量，对它就没有
研究的必要。
所以规定a＞0且a≠1
指数函数定义
某细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分 裂成8个，如果经过x次分裂得到y个细胞，那么y与x之间又 怎样的关系？
细胞分裂次数 1 细胞分裂个数 2
2 3 ……
4＝ 22用字母a代替数2，那么以上解析式可以表示
为y＝ a x
一般的，函数 y a x (a＞0，且a≠1) 叫做指数函