八年级数学下册知识点总结勾股定理

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初二下学期数学勾股定理知识点总结

初二下学期数学勾股定理知识点总结
1. 勾股定理的表述：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

2. 勾股定理的符号表示：设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则勾股定理可以表示为 c² = a² + b²。

3. 斜边、直角边的关系：斜边是直角三角形的最长边，而直角边分为两个，其中一条是斜边对应的直角边，另一条是与斜边相邻的直角边。

4. 勾股数：满足勾股定理的自然数称为勾股数。

例如，3、4、5是一个勾股数组。

5. 勾股数的性质： a、b、c是勾股数，则它们之间必定存在等比关系，即 b/a、c/a、c/b是分数（不含整数的部分）。

6. 勾股定理的应用：勾股定理可以用于求解直角三角形的边长、判断三角形是否为直角三角形、证明三角形相似等。

7. 勾股定理的证明：勾股定理有多种证明方法，常用的有几何证明、代数证明和三角函数证明。

8. 勾股定理的拓展：勾股定理可以推广到多维空间的直角坐标系中，即 n维空间的勾股定理。

9. 勾股定理的应用举例：例如，可以用勾股定理计算一个直角三角形的斜边长，可以用勾股定理证明两个三角形相似，还可以用勾股定理解决一些几何问题。

总之，勾股定理是初中数学中重要的几何定理之一，了解和掌握勾股定理的相关知识点对于解决直角三角形相关的问题和理解几何性质有重要意义。

八年级下学期数学知识点总结

八年级下学期数学知识点总结第一章勾股定理定义：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

判定：如果三角形的三边长a，b，c满足a +b = c ，那么这个三角形是直角三角形。

定义：满足a +b =c 的三个正整数，称为勾股数。

第二章实数定义:任何有限小数或无限循环小数都是有理数。

无限循环小数称为无理数(有理数总是可以用有限循环小数或无限循环小数来表示)一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x 就叫做a的算术平方根。

特别地，我们规定0的算术平方根是0。

一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫二次方根) 一个正数有两个平方根;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。

求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。

一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。

正数的立方根是正数;0的立方根是0;负数的立方根是负数。

求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数。

有理数和无理数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

即实数和数轴上的点是一一对应的。

在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。

第三章图形的平移与旋转定义:在一个平面内，一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，这样的图形移动称为平移。

平移不会改变图形的形状和大小。

经过平移，对应点所连的线段平行也相等;对应线段平行且相等，对应角相等。

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称旋转中心，转动的角称为旋转角。

旋转不改变图形的大小和形状。

任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

第四章四边形性质探索定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。

八年级勾股定理的知识点

八年级勾股定理的知识点作为初中数学的重要知识点之一，勾股定理在八年级学生的学习中扮演着重要的角色。

勾股定理的概念和应用可以帮助学生理解和求解同类问题，并为进一步学习更高级别的数学知识奠定基础。

以下是勾股定理在初中八年级阶段的知识点。

一、勾股定理的定义勾股定理是指直角三角形中长边平方等于两短边平方和的关系。

即在一个直角三角形中，长边的平方等于其他两边平方和。

勾股定理的公式为：a² + b² = c²其中，a、b 代表短边，c 代表长边。

这个公式是勾股定理的基本表达形式。

二、三角形中的勾股定理应用勾股定理不仅仅是为了了解概念，同样也是一种有用的工具来解决各种三角形问题。

在三角形中，有两种使用勾股定理的方式：已知两个边长求第三个边长和已知三角形的三个角度和一个边长，求任意一边长。

2.1 已知两边长求第三边长当我们知道任意两边长的长度时，我们可以使用勾股定理来求解第三边长的长度。

我们可以先将已知的两边长的平方和计算得出，然后再对这个结果求平方根来得到第三边长的长度。

例如，当我们知道一个三角形的两边分别为 3 和 4，需求出第三边长，我们可以使用勾股定理进行计算：(3)² + (4)² = c²9 + 16 = c²25 = c²c = √25 = 52.2 已知三个角度和一个边长，求任意一边长在已知三个角度和一个边长的情况下，我们可以使用正弦、余弦、正切等三角函数结合勾股定理来求解三角形任意一边长。

例如，假设我们知道一个三角形的三个角分别为 60 度、30 度和 90 度，此三角形的一个边长为 5，需求出另外两边长的长度。

我们可以利用下列公式进行计算：sin(60°) = 对边 / 斜边 = c / 5c = 5 sin(60°) = 4.33(约)cos(60°) = 邻边 / 斜边 = b / 5b = 5 cos(60°) = 2.5(约)根据勾股定理，我们可以求出第三条边的长度：a² + b² = c²a² + (2.5)² = (4.33)²a² = (4.33)² - (2.5)²a² = 9 - 6.25a = √2.75 = 1.66(约)通过这种方式，我们可以使用勾股定理解决许多有关三角形的问题。

八年级数学《勾股定理》知识点

八年级数学《勾股定理》知识点一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段1。

人教版八年级下册数学专题：第18章勾股定理知识点与常见题型总结

八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（）A ．B ．C ．4 D ． 5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。

八年级数学下册勾股定理知识点

八年级数学下册勾股定理知识点八年级数学下册《勾股定理》知识点11.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。

勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。

4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7《点评》此题是一道易错题目，同学们应该认真审题!例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )a.斜边长为25b.三角形周长为25c.斜边长为5d.三角形面积为20解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择c八年级数学下册《勾股定理》知识点2勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么.勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在**称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的.直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。

八年级数学下册【勾股定理】知识总结

八年级数学下册【勾股定理】知识总结
1：勾股定理
要点诠释：
2：勾股定理的逆定理
，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：
，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
c²>a²+b²，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c²<a²+b²，则△ABC为锐角三角形）。

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
4：互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
方法，列出等式，推导出勾股定理。

规律方法指导
，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．
逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）。

沪科版八年级数学下册_18.1 勾股定理

感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣“同一三角形的面积的两种表示法”求解 .
感悟新知
解法提醒
知3－练
等面积法：
用不同的方法表示同一个图形的面积.此题是典型的应
用等面积法求直角三角形斜边上高的问题.即△ ABC 的面
积既可以表示为AC2·BC ，又可以表示为AB2·CD ，再利用同一图形的面积相等解答 .
感悟新知
解：∵∠ ACB=90°， AC=3， BC=4， ∴ AB= AC2+BC2= 32+42 =5.
知3－练
∵
CD
⊥
AB，∴
S△
ABC=
1 2
AB·CD=
1 2
AC·BC，
∴ AB·CD=AC·BC，
∴
CD=
AC· BC AB
=
3×4 5
=
12 5
.
感悟新知
知3－练
例5 如图 18.1 － 4所示，∠ C=90°， AM=CM， MP ⊥ AB于点 P.
设大正方形的面积为 S，则 S=c2. 根据“ 出入相补，以盈补虚” 的原理，有
S=a2+b2，所以 a2+b2=c2
感悟新知
方法
加菲尔德总统拼图
毕达哥拉斯拼图
图形
证明
知2－讲
设梯形的面积为
S，则
S=
1 2
(a+b)
(a+b)=
1 2
a2+
1 2
b2+ab.
又
S=
1 2
ab+
1 2
ab+
所以∠ CAC′ = ∠ CAB′ + ∠ B′ AC′

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八年级数学下册知识点总结-勾股定理八年级数学下册知识点总结-勾股定理第十八章黎曼积分知识点一：勾股定理直角三角形两梯形边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a+b＝c）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的首要性质之一，其主要应用：（1）三角形已知五边形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另五边形两边的关系，不求直角三角形的另两边（3）利用利用概略可以证明线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b＝c，那么这个三角形是三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有成正比关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的正五边形（若c2;a2+b2，则△ABC是以∠C为德帕伦的德帕伦三角形；若c22.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。

3.直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为________。

4．传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你充分运用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________.5.命题“对顶角相等”的逆命题为___________________,它是____命题.(填“真”或“假”)6．观察下列各式：3+4=5；8+6=10；15+8=17；24+10=26；；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来时间性的式子：____________________________。

7．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的绘图，这个图形被称为弦图表(选取最早由三国时期的数学家赵爽给出的)．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而c＝＋,化简后即为c＝．cabA第8题图8．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_____________。

二．选择题：9．观察下列几组数据:(1)8,15,17;(2)7,12,15;(3)12,15,20;(4)7,24,25.其中能作为直角三角形的三边长的有()组A.1B.2C.3D.410．三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（）A.6B.４C.64D.811.可知直角三角形的两条两条边长分别是5和12，则第三边为（）Ａ．１３Ｂ．610A119Ｃ．１３或119Ｄ．不能确定12.下列命题①如果a、b、c 为一组勾股数，那么4a、4b、4c仍是勾股数；②如果棱锥的两边是5、12，那么斜边必是13；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是正方形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a;b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1。

其中正确的是（）A、①②B、①③C、①④D、②④13.三角形的三边长为（a+b）=c+2ab,则这个三角形是()A.等边三角形;B.钝角三角形;C.直角三角形;D.锐角三角形.14.如图一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/之时的速度同时从港口A出发向东南方向下锚，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里15.已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为底边的占地面积正方形的面积为（）A、40B、80C、40或360D、80或36016．某市在旧城改造中会，计划在市内一块如图所示市区的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要有（）A、450a元B、225a元C、150a元D、300a元三．解答题：17．如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）（A）CD、EF、GH（B）AB、EF、GH（C）AB、CD、GH（D）AB、CD、EF20m150°30m北A南第14题第16题图图118.(1)在数轴上所作出表示2的点.2和(2)在第(1)的基础上分别作出则表示1-2+1的点.19．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿铁板竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺，求竹竿高与门高。

20．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端萎缩了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？21.如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。

如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。

B第20题图B′AA′图53、如图所示，△ABC是形为直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

八年级下册勾股定理全章第一卷知识点和典型习题一、基础知识：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于俩斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于次方斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的有名是拼图的方法用拼图的方法验证毕氏定理的思路是DH①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变E②根据幅员同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理GFab常见方法如下：AcCB1方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于正方形的面积．四个直角三bacabcbccbaaAa1角形的面积与小长方形面积的和为S4abc22abc2大正方形面2积为S(a2b所以a2b2b)2a2ab2c2方法三：BcbDbcEaC111S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc2，化简得证 222３.勾股定理的一般性勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于圆周，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理之时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C90，则ca2b2，bc2a2，ac2b2②相信直角三角形一边，可得另外两边之间的量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.概略的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是长方形正方形，其中c为斜边①勾股定理的是不是逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能出现形状，在灵活运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a，b，c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是为数不多的，如若三角形三边长的a，b，c满足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边八条的平方和时，这个三角形是圆周６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股票价值可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用不含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n21（n2,n 为正整数）；2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段断言之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中才，直角和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用九章算术的逆定理能帮助我们通过关系三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中所，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用C勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定证法一个直角三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的总长度，二者相辅相成，基本完成对问题的解决．常BD见图形：CACC30°ABADBBDA10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫互逆命题。