指数函数的定义
指数函数的定义域
指数函数的定义域
指数函数是在数学中最常用的函数之一，它可以用来描述多种物理和社会现象。
下面介绍它的定义域:
1. 定义：指数函数的定义，简单的说就是任意实数x的指数变换
y=ax^b（a是常数，b是指数），其中，左边的x称为自变量，右边的y称为因变量。
2. 定义域：指数函数的定义域是所有实数x（x属于R）。
3. 值域：指数函数的值域是所有实数y（y>0），当b>0时，指数函数的值域是[0, ∞)，其中包括0；当b<0时，指数函数的值域是(0, ∞)。
4. 曲线特性：指数函数是基于等比数列的函数，当b>0时，指数函数的坐标图是从原点开始的凸函数；当b<0时，指数函数的坐标图是从原点开始的凹函数。
5. 函数奇偶性：一般而言，指数函数在实数轴上是奇函数，也就是说函数在实数轴上对称轴过原点，在图像中，指数函数是单调递增的。
6. 函数性质：指数函数可以表示指数成长和指数衰减，并且可以描述物理现象中含有指数关系的曲线方程，例如光衰减曲线方程就是一个
指数函数。
指数函数是用来描述指数成长、衰减的函数，它的定义域为实数x（x 属于R），值域为实数y（y>0）。
指数函数的坐标图从原点开始向上凸函数或下凹函数，它是一个单调递增的函数，也是一个奇函数，可以表示物理现象中含有指数关系的曲线方程。
指数函数及其性质
指数函数及其性质要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存有．③如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞）②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x>1x>0时，0<a x<1⑤x<0时，0<a x<1x>0时，a x>1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）① xy a = ②xy b = ③x y c = ④x y d =则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大）x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性实行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可． 【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值．【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4xy =；（2）4y x =；（3）4xy =-；（4）(4)xy =-；（5）1(21)(1)2xy a a a =->≠且；（6）4x y -=．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313x xy =+；(2)y=4x -2x+1；(3)21139x --；(4)211xx y a-+=(a 为大于1的常数)举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)2-12x y = (2)y =(3)y =0,1)y a a =>≠类型三、指数函数的单调性及其应用 例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．【总结升华】由本例可知，研究()f x y a=型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，()f x y a =的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()f x y a=的单调与()y f x =的单调性相反．举一反三：【变式1】求函数2323x x y -+-=的单调区间及值域.【变式2】求函数2-2()(01)x xf x a a a =>≠其中，且的单调区间.例4．证明函数1()(1)1x xa f x a a -=>+在定义域上为增函数.【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.所以，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.例5．判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与1.8a+1； (2)24-231(),3,()331(3)22.5，(2.5)0， 2.51()2(4)0,1)a a >≠举一反三：【变式1】比较大小：(1)22.1与22.3 (2)3.53与3.23 (3)0.9-0.3与1.1-0.1(4)0.90.3与0.70.4(5)110.233241.5,(),()33-.【变式2】利用函数的性质比较122，133，166【变式3】 比较1.5-0.2， 1.30.7， 132()3的大小.例6. (分类讨论指数函数的单调性)化简：4233-2a a a +举一反三： 【变式1】如果215x x a a +-≤（0a >，且1a ≠），求x 的取值范围．例7．判断下列函数的奇偶性：)()21121()(x x f x ϕ+-= (()x ϕ为奇函数)【变式1】判断函数的奇偶性：()221xx xf x =+-.类型五、指数函数的图象问题例8．如图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数xy a =的图象，而12,,3,22a π⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则图象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．举一反三：【变式1】 设()|31|xf x =-，c ＜b ＜a 且()()()f c f a f b >>，则下列关系式中一定成立的是（ ）A ．33c b <B ．33c b >C ．332c a +>D ．332c a+<【变式2】为了得到函数935xy =⨯+的图象，可以把函数3xy =的图象( )A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度1、已知集合},4221|{},1,1{1Z x x N M x ∈<<=-=+，则M N =（ ）A 、}1,1{-B 、}1{-C 、}0{D 、}0,1{- 2、设5.1348.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（ ）A 、213y y y >>B 、312y y y >>C 、321y y y >>D 、231y y y >> 3、当11≤≤-x 时，函数22-=xy 的值域为（ ） A 、]0,23[-B 、]23,0[C 、]0,1[-D 、]1,23[- 4、函数12212,+==x x a y a y （)1,0≠>a a ，若恒有12y y ≤，则底数a 的取值范围是（ ） A 、1>a B 、10<<a C 、10<<a 或1>a D 、无法确定 5、下列函数值域为),0(+∞的是（ ）A 、xy -=215 B 、xy -=1)31( C 、1)21(-=x y D 、x y 21-= 6、当0≠a 时，函数b ax y +=和axb y =的图象只可能是图中的（ ）7、函数)1,0(≠>=a a a y x在]2,1[上最大值比最小值大2a，则a = 。
指数函数的概念
⑵ y 3 解：（2） 由5x-1≥0得
5 x1
1 x 5 所以，所求函数定义域为
1 x | x 5
由
5x 1 0 得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
⑶
y 2x 1
由
解：（3）所求函数定义域为R
2 0
x
可得
2 1 1
x
所以，所求函数值域为{y|y>1}
6 5 4
x 1
所以，所求函数值域为 {y|y>0且y≠1}
-6
fx =
0.4 x-1
3
2
1
-4
-2
2
4
6
-1
-2
说明：对于值域的求解，可以令 考察指数函数y= 并结合图象 直观地得到: 函数值域为 {y|y>0且y≠1}
1 t x 1
0.4
t
(t 0)
6
5
4
3
2
1
-4
-2
2
4
6
-1
1 x 1 , x 1 2 2 x 1 , x 1
3.2
3.2 3.2 3.2 3.2 333 3
3
3
-0.2
对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法 作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图 等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们 遇到的有以下几种形式： 函 数 y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x) y=f(|x|) y=|f(x)| y=f(x) a>0时向左平移a个单位；a<0时向右平移|a|个单位. a>0时向上平移a个单位；a<0时向下平移|a|个单位. y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
指数函数
指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a ＞1时，图像在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，图像在R 上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log 101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 何两个幂函数最多有三个公共点．.定义域R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减ny x=奇函数偶函数非奇非偶函数1n>01n<<0 n<O xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xy幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）（在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
指数函数的定义与性质
指数函数的定义与性质指数函数是数学中常见的一类函数，它具有独特的定义和性质。
本文将围绕指数函数的定义、增减性、奇偶性以及图像特点展开论述，从而全面了解指数函数的本质。
定义：指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a为正实数且不等于1，x 为实数。
指数函数的定义要求底数a必须为正实数，并且不等于1，这样才能确保指数函数有意义且满足一定的性质。
增减性：对于指数函数f(x) = a^x，当底数a大于1时，指数函数呈现出增长趋势；当底数a介于0和1之间时，指数函数呈现出下降趋势。
具体而言，当x1 < x2时，若a > 1，则有a^x1 < a^x2，即指数函数的函数值随着自变量的增加而增加；若 0 < a < 1，则有a^x1 > a^x2，即指数函数的函数值随着自变量的增加而减少。
奇偶性：指数函数可分为两种情况讨论奇偶性：1. 当底数a为正实数时，指数函数f(x) = a^x是奇函数。
这是因为对于任意x，有a^(-x) = 1/a^x，即关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。
2. 当底数a为负实数时，指数函数f(x) = a^x是偶函数。
这是因为对于任意x，有a^(-x) = 1/a^x，即关于原点对称，即f(-x) = f(x)。
图像特点：指数函数的图像特点与底数a的大小关系密切相关。
当底数a大于1时，指数函数的图像上升非常迅速，且在x轴的右侧逐渐无限接近于x轴正半轴。
当底数a介于0和1之间时，指数函数的图像下降非常迅速，且在x轴的右侧逐渐无限接近于x轴正半轴。
综上所述，指数函数是一类具有特殊定义和性质的函数。
它具有增减性、奇偶性以及特殊的图像特点。
了解指数函数的定义与性质对于解决数学中的相关问题，如指数方程和指数不等式等，具有重要意义。
一阶微分方程 指数函数
一阶微分方程指数函数指数函数在微积分中占据着重要的地位，它是一类特殊的函数，具有独特的性质和应用。
指数函数的定义形式为f(x)=a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。
本文将介绍指数函数的基本性质以及它在数学和实际问题中的应用。
我们来看指数函数的基本性质。
指数函数具有以下几个重要特点：1. 增长速度：指数函数的增长速度非常快，随着自变量x的增大，函数值迅速增大。
这是因为指数函数具有指数增长的特性，底数越大增长越快。
2. 单调性：当底数a大于1时，指数函数是递增的；当底数a在0和1之间时，指数函数是递减的。
这是因为指数函数的底数决定了函数的单调性。
3. 奇偶性：指数函数的奇偶性与底数a无关，而与指数x有关。
当指数x为偶数时，指数函数是偶函数；当指数x为奇数时，指数函数是奇函数。
4. 极限：指数函数在无穷远处的极限不存在，即lim(x->∞) a^x=∞。
当底数a大于1时，函数趋于正无穷；当底数a在0和1之间时，函数趋于0。
接下来，我们将探讨指数函数在数学中的应用。
指数函数在数学中具有广泛的应用，特别是在指数运算、对数运算和微积分中起着重要的作用。
1. 指数运算：指数函数与指数运算密切相关。
指数运算是一种重要的运算法则，通过指数运算可以对指数函数进行简化和计算。
2. 对数运算：对数运算是指数函数的逆运算，它与指数函数之间存在着密切的联系。
对数函数可以将指数函数的运算问题转化为线性运算问题，简化了计算过程。
3. 微积分：指数函数在微积分中也有广泛的应用。
例如，在求解微分方程时，指数函数常常作为解的一部分出现。
一阶微分方程是指导数与未知函数之间的关系式，而指数函数可以作为微分方程的解。
指数函数在实际问题中也有许多应用。
以下是一些常见的实际应用场景：1. 经济增长：指数函数可以用来描述经济增长的速度和趋势。
例如，人口增长、GDP增长等都可以使用指数函数来建模和预测。
2. 自然科学：指数函数可以用来描述自然界中的许多现象，如放射性衰变、物种数量的增长等。
指数函数的基本恒等式
指数函数的基本恒等式指数函数是数学中非常重要的函数之一，它可以用来描述各种复杂的计算过程，并在不同领域有着广泛的应用。
在学习指数函数的过程中，我们要掌握其基本恒等式，这是解决各种指数函数问题的重要工具。
一、指数函数的基本定义指数函数的基本形式是$f(x)=a^x$，其中$a$是一个正实数，$x$可以是任意实数。
当$a>1$时，指数函数是递增的，当$0<a<1$时，指数函数是递减的。
指数函数在解决许多实际问题中都有很重要的作用，例如在金融、经济、物理、生物等领域都有广泛的应用，例如在计算复利、预测经济变化趋势、计算放射性物质的衰变等。
二、指数函数的基本恒等式指数函数的基本恒等式包含两个重要的公式：指数函数的乘法恒等式以及指数函数的除法恒等式。
1、指数函数的乘法恒等式指数函数的乘法恒等式是指，当指数函数相乘时，底数不变，指数相加。
即：$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$例如，$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$。
这个公式可以用于解决指数函数相乘的问题，例如计算$2^3 \cdot 2^{5x}$，可以将它化为$2^{3+5x}$。
这个公式也可以用于求指数函数的幂次方，例如计算$(2^3)^4$，可以将它化为$2^{3\times 4} = 2^{12}$。
2、指数函数的除法恒等式指数函数的除法恒等式是指，当指数函数相除时，底数不变，指数相减。
即：$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$例如，$\frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^2$。
这个公式可以用于解决指数函数相除的问题，例如计算$\frac{2^5}{2^{3x}}$，可以将它化为$2^{5-3x}$。
这个公式也可以用于求指数函数的根式，例如计算$\sqrt{2^8}$，可以将它化为$2^{8/2} = 2^4$。
三、指数函数的应用举例指数函数的基本恒等式在实际应用中有着广泛的应用。
指数函数的概念PPT课件.ppt
二.图象与性质
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图:
观察指数函数 f (x) ax (a 1)
性质
(1) 无论a为何值,指数函数 f (x) a x 都有定义域为R
值域为 0, ,都过点(0,1).
(2) a 1 时, f (x) a x 在定义域内为增函数； 0 a 1 时, f (x) a x 在定义域内为减函数．
(3)关于是否是指数函数的判断
请看下面函数是否是指数函数：
(1) y x
(2) y 0.3x2
(3) y ( 3)3x
(5) y 1 x 1 44
(4) y 2 ( 3 )2x 4
归纳性质
函数 y 2 x
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
例2.比较下列各组数的大小.
(1) ( 1 )0.8与( 1 )1.8
4
2
(2)
(
8
)
3 7
与(
7
5
)12
7
8
(3) 1.080.3与0.983.1
小结比较大小的方法：
1.构造函数的方法: 数的特征是同底不同指 (包括可转化为同底的)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或 0.
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简单应用
一、指数函数的概念
1.定义:形如 f (x) a x (a 0, a 1)的函数称为指数函数.
2.几点说明:
(1)关于对 a 的规定:
若 a 0 对于 x 0, a x 都无意义
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