指数运算、指数函数
指数与指数函数知识点
指数与指数函数知识点一、指数运算的基本性质1.任何数的0次方等于12.非零数的负指数等于该数的倒数。
3.相同底数的指数之间的乘方运算，底数保持不变，指数相加。
4.相同指数的指数之间的乘方运算，指数保持不变，底数相乘。
二、指数运算的规律1.法则1：a的m次方乘以a的n次方，等于a的m加n次方。
2.法则2：a的m次方除以a的n次方，等于a的m减n次方。
3.法则3：（a的m次方）的n次方，等于a的m乘n次方。
4.法则4：a的m次方的p次方，等于a的m乘p次方。
5.法则5：零的任何正次方都是0，零的0次方没有意义，规定为1三、指数函数的定义与性质指数函数的定义为：y=a^x，其中a>0且a≠1，a为底数，x为指数。
指数函数可以看作是以底数为底，自变量为指数的函数。
指数函数的性质如下：1.底数a大于1时，指数函数是递增的，即自变量x的增大，函数值y也增大。
2.底数a介于0和1之间时，指数函数是递减的，即自变量x的增大，函数值y也减小。
3.指数函数的图象都经过点(0,1)，即当x=0时，y=14.指数函数的图象在直线x=0和y=0上均没有交点。
5.指数函数的图象没有水平渐近线，但有一条过点(0,0)的铅直渐近线。
指数函数常见的应用有：1.在金融领域中，指数函数可以用来描述货币的增长规律，例如复利计算。
2.在自然科学领域中，指数函数可以用来描述人口增长、病原体传播等现象。
3.在电路中，指数函数可以用来描述电容、电感等元件的充放电过程。
4.在计算机领域中，指数函数可以用来描述算法的时间复杂度、空间复杂度等特性。
总结：。
指数运算及指数函数
指数与指数函数【知识梳理】1．根式 (1) 根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n >1且n ∈N +)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n=a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n>l 且n ∈N +根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2) 根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号na 表示．正负两个n a >0）．③na④当n a ；当n (0)(|)|0a a a a a ==≥⎧⎨-<⎩ ⑤负数没有偶次方根． 2. 有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n = a ·a · … ·a ．(n ∈N *) n 个 ②零指数幂：a 0=1(a ≠0）． ③负整数指数幂：pa -=1p a(a ≠0，p ∈N *）． ④正分数指数幂：m m nna a （a >0，m 、n ∈N *，且n>1）．⑤负分数指数幂：11(0,mnm nmna am aa 、n ∈N *，且n>1）⑥0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 (2)有理数指数幂的性质 ①(0,r rs sr a a aa 、s ∈Q ）； ②()(0,r r ss a ar a 、s ∈Q ）；③()rr r ab a b (a >0，b>0，r ∈Q).3．指数函数的图象与性质，如右表：【例题解析】题型一 指数式与根式的计算 例1、（1）2325= ； （2）32254-⎛⎫⎪⎝⎭=变式训练：1、（A ）44等于（ ） A 、16aB 、8aC 、4aD 、2a2、（B ）若103,104xy==，则10x y -=例2、(1) 112032170.027()(2)1)79----+-； (2) 211511336622(2)(6)(3)a b a b a b .例3、计算下列各式：(1) 4160.250321648200549-+----）（）（）； (2) 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab .题型二 指数函数的图象及应用例4、指出下列函数哪些是指数函数(1)y ＝4x ； (2)y ＝x 4； (3)y ＝－4x ； (4)y ＝(－4)x； (5)y ＝4x 2； (6)y ＝x x ； (7)y ＝(2a －1)x(a >12，且a ≠1)．变式体验：若y ＝(a －3)·(a －2)x是指数函数，求a 的值．例5、（1）在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称（2）如图所示的曲线是指数函数y ＝a x 的图象，已知a ∈{2，43，310，15}，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次是________．例6、函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )变式训练：1、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A 、1>aB 、2<aC 、a <D 、1a <<2、若1a >，那么函数1x y a =-的图像一定不经过（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3、已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 例7、变式训练：例8、比较下列各组数的大小变式训练：已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b五．课后训练1．下列以x 为自变量的函数中是指数函数的是( )A ．y ＝3x ＋1 B ．y ＝－3x C ．y ＝(13)－x D ．y ＝(2x ＋1)x2．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}，则( ) A ．A B B ．A ⊆B C ．A B D ．A ＝BA ．R 、RB ．R 、(0，＋∞)C ．{x ∈R|x ≠0}，{y ∈R|y ≠1}D ．{x ∈R|x ≠0}，{y >0|y ≠1} 4．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 25．当x >0时，指数函数f (x )＝(a －1)x ，且(a －1)x <1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >2 B ．1<a <2 C ．a >1 D ．a ∈R6．若函数f (x )与g (x )＝(12)x 的图象关于y 轴对称，则满足f (x )>1的x 的范围是________．7．设23－2x<0.53x －4，则x 的取值范围是________．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．9. 已知函数)1,0(≠>=a a a y x在[]2,1上的最大值比最小值多2，求a 的值 。
指数运算和指数函数
指数运算与指数函数一、知识点1、根式得性质(1）当ｎ为奇数时,有(2)当n为偶数时,有(３）负数没有偶次方根 (４)零得任何正次方根都就就是零2、幂得有关概念（1）正整数指数幂:(2)零指数幂 (3)负整数指数幂(4)正分数指数幂(5)负分数指数幂（6)0得正分数指数幂等于0,0得负分数指数幂无意义3、有理指数幂得运算性质(1) (2)（３)4、指数函数定义:函数叫做指数函数。
0 ＜a < 1 a > 1图象性质定义域Ｒ值域（0 , +∞）定点过定点（０，1）,即x= 0时，y = 1（1)ａ> 1,当x>0时,y>１；当x< 0时,0 <ｙ＜１。
（2）0 ＜a< 1,当ｘ> 0时,０<y< 1;当x< 0时,y>1。
单调性在R上就就是减函数在R上就就是增函数对称性与关于y轴对称(1）①②③④则:0<ｂ<a＜1<d<ｃ又即:x∈(０，+∞)时， (底大幂大)x∈(－∞,0)时,（2）特殊函数得图像:三、指数式大小比较方法(1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数得单调性进行比较、(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:①若;;;②当两个式子均为正值得情况下,可用作商法,判断，或即可、四、典型例题类型一、指数函数得概念例1、函数就就是指数函数,求得值、【答案】2【解析】由就就是指数函数,可得解得，所以、举一反三:【变式1】指出下列函数哪些就就是指数函数?(1);（2)；(3）；(4);(5);(6)、【答案】(1)（５)(6）【解析】（１）(5)(6)为指数函数、其中(6)=,符合指数函数得定义,而(2)中底数不就就是常数,而4不就就是变数;(３)就就是-1与指数函数得乘积;(4)中底数,所以不就就是指数函数、类型二、函数得定义域、值域例2、求下列函数得定义域、值域、（1);（2)y=4x－2x+1；(3);(４）(a为大于１得常数)【答案】(１)R,(0,1);（2)R [);（3) ;(4)［１，a）∪（a,+∞)【解析】（1)函数得定义域为R （∵对一切xR,3x≠-1)、∵,又∵3x>0, 1+3ｘ＞1,∴ , ∴ ,∴ , ∴值域为(0，1)、(2)定义域为R,,∵2x＞0，∴即x=-１时，ｙ取最小值,同时y可以取一切大于得实数,∴值域为［)、(3)要使函数有意义可得到不等式,即，又函数就就是增函数,所以,即，即，值域就就是、（4)∵∴定义域为(-∞,－1)∪[1,＋∞),又∵ ,∴，∴值域为［1,ａ)∪(a,+∞)、【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉y＞0得条件，第(4)小题中不能遗漏、举一反三：【变式1】求下列函数得定义域:(１) (2)(3) (4)【答案】(1)R;（2);(3);(４）a>1时,；0<a<1时，【解析】（1)R（2)要使原式有意义,需满足３-ｘ≥０,即，即、(3）为使得原函数有意义，需满足2ｘ-1≥０,即２x≥1,故x≥0,即(4) 为使得原函数有意义,需满足,即,所以a>1时,;０<a<１时,、【总结升华】本题中解不等式得依据主要就就是指数函数得单调性,根据所给得同底指数幂得大小关系,结合单调性来判断指数得大小关系、类型三、指数函数得单调性及其应用例3、讨论函数得单调性，并求其值域、【思路点拨】对于x∈R,恒成立，因此可以通过作商讨论函数得单调区间、此函数就就是由指数函数及二次函数复合而成得函数,因此可以逐层讨论它得单调性,综合得到结果、【答案】函数在区间(－∞,1)上就就是增函数,在区间［１，＋∞)上就就是减函数 （０,3]【解析】解法一:∵函数得定义域为(-∞,＋∞),设ｘ1、x ２∈(－∞,+∞)且有x １<ｘ2， ∴,, 、（１)当x 1＜ｘ２＜1时,x １+x 2＜2,即有x 1＋x ２－2＜0、 又∵x 2-x 1＞0，∴(x ２―x １）(x ２+x 1―2)＜0,则知、 又对于ｘ∈R,恒成立，∴、 ∴函数在(-∞,1)上单调递增、(2)当1≤x 1<ｘ２时,x 1+ｘ2＞２,即有x １+x 2-２>0、 又∵x ２-x 1＞0,∴(x 2―x 1）(x 2+ｘ1―2)＞０,则知 、∴、∴函数在[1,＋∞)上单调递减、综上,函数在区间(－∞,1)上就就是增函数,在区间[１,+∞)上就就是减函数、 ∵x 2―2ｘ＝(x ―1)2―１≥-１,,、 ∴函数得值域为(0，３］、解法二:∵函数得下义域为R,令ｕ＝ｘ2-２x,则、∵u=x ２―２x ＝(x ―1)2―1,在(―∞,1]上就就是减函数，在其定义域内就就是减函数,∴函数在(-∞,１］内为增函数、又在其定义域内为减函数,而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，＋∞)上就就是增函数，∴函数在[1,+∞)上就就是减函数、值域得求法同解法一、【总结升华】由本例可知，研究型得复合函数得单调性用复合法,比用定义法要简便些,一般地有：即当a ＞1时，得单调性与得单调性相同;当0＜a ＜1时，得单调与得单调性相反、举一反三：【变式1】求函数得单调区间及值域、【答案】上单增,在上单减、【解析】[1]复合函数——分解为:ｕ＝-x 2＋３x －2, y=3ｕ；[２］利用复合函数单调性判断方法求单调区间; [３]求值域、设u=－x 2＋3x-２, y=３u，其中y ＝3u 为R 上得单调增函数,u=-x 2+３x-2在上单增,u=-x ２+3x-2在上单减， 则在上单增,在上单减、又u=-x 2+3x －2， 得值域为、 【变式2】求函数得单调区间、【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在上为增函数,内函数u=ｘ2-2x 在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数上为减函数,在区间上为增函数；当０<ａ<1时,外层函数ｙ＝ａu 在上为减函数,内函数u ＝x 2-2ｘ在区间上为减函数,在区间上为增函数,故函数在区间上为增函数,在区间上为减函数、例4、证明函数在定义域上为增函数、【思路点拨】利用函数得单调性定义去证明。
高中数学总复习 指数运算与指数函数
1 3
15
a6b6
211
9a 3 2 6
115
b2 3 6
＝－9a(a>0，b>
0)，所以B正确；
1 11
对于 C， 3 9＝ 93 =96 =33＝3 3，所以 C 正确；
对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错
误.
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1) 4 －44＝－4.( × ) (2)2a·2b＝2ab.( × ) (3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称.( √ ) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.( × )
自主诊断
2.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
原式＝
81 16
1
2－2×
64 27
2 3
－2＋342
1
2
＝
3 2
4
2
－2×
3 4
3
3－2＋196
＝94－2×196－2＋196＝94－98－2＋196＝－156.
(2)2 3×33 1.5×6 12.
1
原式＝2
1
32
3
3 2
3
(22
3)
1 6
11
1 11
6 2 3 3 32 3 6
43
a3 4
25
指数的运算与指数函数
指数的运算与指数函数4.1指数的运算【知识梳理】1. 整数指数幂1）定义：我们把n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。
在上述定义中，n 为整数时，这样的幂叫做整数指数幂。
2）整数指数幂的运算法则：（1）n m a a = （2）=n m a )(（3）=n maa （4）=m ab )(3)此外，我们作如下规定：零次幂：)0(10≠=a a ； 负整数指数幂：),0(1+-∈≠=N n a a a nn； 2. 根式：1）n 次方根：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *。
注：①当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a -，n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数；负数的n 次方根是一个负数，都表示为na ；③0的任何次方根都是0，记作00=n。
2）正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算数根。
当na 有意义时，n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．注：当n 是奇数时，a a nn =；当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn ；3. 有理指数幂1）我们进行如下规定： n na a=1 （0>a ）那么，我们就将整数指数幂推广到分数指数幂。
此外，下面定义也成立： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂。
3)有理指数幂的运算性质：（1）r a ·sr r aa +=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>> 题型一 根式与幂的化简与求值 【例1】.求下列各式的值：（1）223223-++ （2）347246625-+--+【例2】.计算下列各式的值： （1）()[]75.0343031162)87(064.0---+-+-- （2）()()()012132232510002.0833-+--+⎪⎭⎫⎝⎛----【例3】.化简下列各式：（1）()0,0332>>b a b a ab ba （2）212121211111a a a a a ++------【过关练习】1.求值：（1）335252-++ （2）3332332313421248a a b a ab b ba a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-2.化简：（1）111113131313132---+++++-x xx x x x x x（2）()()14214214433332)1()1(1))((----------++-++-++-+a a a a a a a a a a a a a a a a3.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是_____.())0()4)(0()1()3();0()2();0()1(434334316221>=>=<=>-=--a a a a x xxy y y x x x题型二 含附加条件的求值问题 【例1】（1）若3193=⋅ba，则下列等式正确的是（ ） A. 1-=+b a B. 1=+b a C. 12-=+b a D.12=+b a（2）若,123-=++x x x 则2827211227281x x x x x x x x ++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++----的值是_____.【例2】（1）已知,32,21==y x 求yx y x y x y x +---+的值； （2）已知b a ,是方程0462=+-x x 的两个根，且0>>b a ，求ba ba +-的值.【过关练习】 1.已知.88(22的值常数），求x x xxa --+=+2.已知32121=+-a a ，求21212323----aa a a 的值.3. 已知122+=xa ，求xx xx aa a a --++33的值题型三 解含幂的方程与等式的证明 【例1】解下列方程 （1）x x )41(212=+ （2）03241=-++x x【例2】已知433cz by ax ==，且1111=++zy x ，求证31313131222)(c b a cz by ax ++=++【过关练习】 1. 解下列方程（1）2291381+⎪⎭⎫⎝⎛=⨯x x （2）0123222=-⨯++x x2.设c b a ,,都是正数，且cb a 643==，求证ba c 122+=.4.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数函数 函数 )1,0(≠>=a a a y x叫做指数函数. 2. 指数函数的性质（1）定义域 :实数集合R ； （2）值域 ：0>y ;（3） 奇偶性：指数函数是非奇非偶函数（4）单调性：1>a 时，函数 )1,0(≠>=a a a y x在),(+∞-∞上为增函数；10<<a 时，函数)1,0(≠>=a a a y x 在),(+∞-∞上为减函数；（5）函数值：0=x 时，1=y ,图象恒过点（0，1）；（6）当0,1>>x a 时1>y ；0,1<>x a 时，10<<y .当10<<a ,0>x 时，10<<y ;0,10<<<x a 时，1>y .题型一 指数函数的概念例1 .已知指数函数)3)(2(--+=a a a y x的图像经过点（2,4），求a 的值.【过关练习】.若指数函数)(x f 的图像经过点（2,9），求)(x f 的解析式及)1(-f 的值.题型二 指数型复合函数的定义域和值域 【例1】.求下列函数的定义域和值域 （1） xy 31-= （2）412-=x y（3）xy -=)32( （4）32221--⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y【例2】.求函数[]2,2,221341-∈+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xx 的值域.【例3】.如果函数[]1,1-)1,0(122在且≠>-+=a a a a y x x上有最大值14，试求a 的值.【过关练习】1.求函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=211的定义域和值域.2.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+R x y y A x,)21(12,则满足B B A =⋂的集合B 可以是（ ）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,0 B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x C.{}11≤≤-x x D.{}0>x x 3.函数22212+-=+x xy 的定义域为M ，值域[]2,1P ，则下列结论一定正确的个数是（ ）。
(整理)指数运算和指数函数
第五讲 指数运算和指数函数一、知识点1.根式的性质=nn a2.幂的有关概念(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a nn(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂 ).0(1*∈≠=-N p a aa p p (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a an m nm 且(5)负分数指数幂 nm nm aa1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)),,0(,Q s r a aa a sr sr∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>=(3)),0,0(,)(Q r b a a a ab srr∈>>⋅=4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数。
5. 指数函数的图象和性质1．函数210)2()5(--+-=x x y （ ）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或2．若指数函数xa y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于（ ）A ．251+B ．251+- C ．251± D ．215±3．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围（ ）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或4．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是（ ）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[5．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（ ）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 二、填空题6．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(xf 的定义域是 .7．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .8．已知－1<a <0，则三个数331,,3a a a由小到大的顺序是 .三、解答题 9．（12分）求函数的定义域.10．（12分）已知函数)1(122>-+=a a a y x x在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.11．（12分）（1）已知m x f x +-=132)(是奇函数，求常数m 的值；（2）画出函数|13|-=xy 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k 无解？有一解？有两解？12．已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>0且a ≠1).(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.。
高中数学指数运算与指数函数课件
(2)f (x)＝2x2＋x＋1－1 2＝1－2x＋2 1， 因为 2x＋1>1，所以 0<2x＋2 1<2， 即－2<－2x＋2 1<0， 所以－1<1－2x＋2 1<1。 所以 f (x)的值域为(－1,1)。
(3)g(x)为偶函数。 由题意知 g(x)＝f xx＝22xx＋ －11·x， 易知函数 g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， g(－x)＝(－x)·22－ －xx＋ －11＝(－x)·11－＋22xx＝x·22xx－＋11＝g(x)， 所以函数 g(x)为偶函数。
(2)若 f (x)为奇函数，则 f (0)＝0，即 a－20＋2 1＝0，解得 a＝1。 此时 f (－x)＝1－2－x2＋1＝1－12＋·22xx＝－1－2x＋2 1＝－f (x)，故当 a＝1 时，函数 f (x) 为奇函数。 (3)由(2)知 f (x)＝1－2x＋2 1，因为 2x＋1>1，所以 0<2x＋1 1<1， 所以 0<2x＋2 1<2，所以－2<－2x＋2 1<0，所以－1<1－2x＋2 1<1，即－1<f (x)<1，所以 f (x)的值域为(－1,1)。
【解析】 因为 2x>0，所以 2x＋1>1，即|y|>1，又因为曲线|y|＝2x＋1 与 直线 y＝b 没有公共点，所以－1≤b≤1。
【答案】 [－1,1]
方法小结 (1)处理函数图象问题的策略 ①抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)。 ②巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)。 ③利用函数的性质：奇偶性与单调性。
23－x 的图象。
答案 A
[解析] (2)
由题意得[f(x)－2]·[f(x)－a]＝0，所以 f(x)＝2 或 f(x)＝a， 所以|3x－1|＋1＝2 或|3x－1|＋1＝a，所以|3x－1|＝1 或|3x－1|＝a－1， |3x－1|＝1 有一个根，所以方程|3x－1|＝a－1 有两个不同的实根， 函数 y＝|3x－1|的图象如图所示，所以 0<a－1<1，所以 1<a<2.
指数的运算与指数函数
模块一：指数的运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。
即若a x n=，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。
②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。
（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n 。
②性质：1）r a aa a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q ）； 3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr,0,0()( Q ）。
（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
知识内容指数运算与指数函数题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值：⑴⑵⑶⑷)a b <；⑸238； ⑺1225-； ⑻512-⎛⎫ ⎪⎝⎭； ⑼341681-⎛⎫⎪⎝⎭．【巩固】求值：⑴238， ⑵12100-, ⑶ 314-⎛⎫ ⎪⎝⎭, ⑷ 341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭.【例2】 用分数指数幂表示下列各式：（1）32x（2）43)(b a +（a ＋b ＞0）（3）56q p ⋅（p ＞0）（4）mm 3【巩固1】用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)（1）43a a ⋅（2）aa a（3典型例题【巩固2】用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：⑴⑵； ⑶54m ⋅．【例3】 求下列各式的值：(1)432981⨯ （2）（3）【例4】 计算下列各式：⑴ 111344213243(,0)6a a b a b a b ---⎛⎫- ⎪⎝⎭>-． （2） 211511336622(2)(6)(3);a b a b a b -÷-题型二 指数运算求值【例5】 a 的取值范围是（ ）A ．a ∈RB ．12a =C ．12a >D ．12a ≤ 【例6】 下列判断正确的有①有理数的有理数次幂一定是有理数 ②有理数的无理数次幂一定是无理数 ③无理数的有理数次幂一定是有理数 ④无理数的无理数次幂一定是无理数 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【例7】 已知21na =，求33n nn na a a a --++的值.【巩固1】已知13x x -+=,求下列各式的值：（1）1122x x -+ （2）3322.x x -+【巩固2】已知31x a -+=，求2362a ax x ---+的值.【巩固4】化简：)()(41412121y x y x -÷-【例8】 解方程0633232=-⨯-x x【巩固】解方程024254=-⨯-xx模块二：指数函数1．指数函数：一般地，函数x y a =(0a >，1a ≠，R)x ∈叫做指数函数． 2．指数函数的图象和性质对比题型一 指数函数的概念【例9】 判断下列函数是否为指数函数。
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§1．4指数运算、指数函数
【复习要点】
1．指数、对数的概念、运算法则； 2．指数函数的概念, 性质和图象． 【知识整理】
1．指数的概念；运算法则：n n n mn n m n
m n
m
b a ab a a a
a a ===⋅+)(,)(,
)1,,,0(*
>∈>=n N n m a a a
n m n
m
)1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
2．指数函数的概念, 性质和图象如表：
其中利用函数的图象来比较大小是一般的方法。
4．会求函数y =a f (x)的单调区间。
5．含参数的指数函数问题，是函数中的难点，应初步熟悉简单的分类讨论。
【基础训练】
1］4
3的结果为 （ ） A.5
B.5
C.－5
D.－5
2．将322-化为分数指数幂的形式为 （ ） A ．2
1
2-
B ．3
12- C ．2
12
-
-
D ．6
52-
3．下列等式一定成立的是 （ ） A ．2
33
1
a a ⋅=a
B ．2
12
1a a
⋅-
=0 C ．(a 3)2=a 9
D ．6
13121a a a =÷
4．下列命题中，正确命题的个数为 （ ） ①n
n
a =a ②若a ∈R ,则(a 2－a +1)0=1 ③y x y x +=+3
433
4
④623)5(5-=-
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．化简11111321684
21212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是 （ ）
A ．1
1
321122--⎛
⎫- ⎪
⎝⎭
B ．1
132
12--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1
3212-- D ．1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭
6
．4
4
等 于 （ ）
A ．16a
B ．8a
C ．4a
D ．2
a
【例题选讲】
1．设3
2212
,-==x
x a y a y ，其中a ＞0,a ≠1，问x 为何值时有
（1）y 1＝y 2 ？ （2）y 1＜y 2？
2．比较下列各组数的大小，并说明理由 （1）431.1，434.1，3
21.1 （2）4
316.0-
，2
35
.0-
，8
325.6 （3）5
32
)1(+a ，4
32
)1(+a
3．已知函数3234+⋅-=x
x
y 的值域为[7，43]，试确定x 的取值范围.
4．设01a <<，解关于x 的不等式2
2
232
223
x
x x
x a
a -++->
5．已知[]3,2x ∈-，求11
()142x x
f x =-+的最小值与最大值
6．设a R ∈，22
()()21
x x a a f x x R ⋅+-=
∈+，试确定a 的值，使()f x 为奇函数
【反馈练习】
1．已知函数|12|)(-=x
x f ，当c b a <<时，有)()()(b f c f a f >>，则有 （ ） A . c
a
22> B . b
a
22> C . c a
22<- D 222<+c a .
2．若函数,)
2(,2)
2(),2()(⎩⎨
⎧≥<+=-x x x f x f x
，则)3(-f 的值为 （ ） A ．2 B ．8 C ．8
1 D ．
2
1 3．函数1
21
-=
x
y 的值域是 （ ）. A.)1,(--∞ B.).0()1,(∞+--∞ C.),1(+∞- D.),0()0,(+∞-∞ 4．设c bx x x f +-=2
)(满足3)0(=f ，且对任意R x ∈，都有)2()(x f x f -=，则（ ）.
A.)()(x
x
c f b f < B.)()(x
x
c f b f ≤ C.)()(x
x
c f b f ≥ D. )(x
b f 与)(x
c f 不可能比较
5．已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）2
2
a b >；(2)22a b
>；(3)b
a 11<；(4)11
3
3a b >；
(5)1133a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
中恒成立的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
6．函数21
21
x x y -=+是 （ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既奇又偶函数
D ．非奇非偶函数
7．2()1()(0)21x
F x f x x ⎛⎫
=+⋅≠ ⎪-⎝⎭
是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x 是 ( ) A ．奇函数 B ．既奇又偶函数 C ．偶函数 D ．非奇非偶函数
8．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b ％，则n 年后这批设备的价值为 （ ） A ．na (1－b ％) B. a (1－nb ％) C. a [1－(b ％)n ] D.a (1－b ％)n 9．函数|
1|)
5
4(-=x y 的单调减区间是________，值域为________.
10．设函数⎪⎩
⎪⎨⎧>≤-=)0(,)
0(,3)21()(21
x x x x f x
，若1)(>a f ，则实数a 的取值范围是________________. 11．函数2281
1()
(31)3
x x y x --+=-≤≤的值域是
12．若f (52x －
1)＝x －2，则f (125)＝ 13．求函数x
x y --=2
3的单调区间和值域．
14．已知函数1
()(1)1
x x a f x a a -=>+,(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明()f x 是R 上的增函数。