高一数学讲义-指数运算与指数函数

指数运算和指数函数要求层次重点难点幂的运算 C①根式的概念②有理指数幂③实数指数幂④幂的运算①分数指数幂的概念和运算性质②无理指数幂的理解③实数指数幂的意义指数函数的概念 B在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数指数函数的图象和性质C①对于底数1a>与01a<<时指数函数的不同性质②掌握指数函数的图象和运算性质①对于底数1a>与01a<<时指数函数的不同性质②掌握指数函数的图象和运算性质③掌握指数函数作为初等函数与二次函数、对数函数结合的综合应用问题板块一：指数,指数幂的运算（一）知识内容1．整数指数⑴正整数指数幂：n a a a a=⋅⋅⋅，是n个a连乘的缩写（Nn+∈），n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂．⑵整数指数幂：规定：01(0)a a=≠，1(0,) nna a na-+=≠∈N．高考要求第4讲指数运算与指数函数知识精讲2．分数指数⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根． ⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算．① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，a 的n表示．② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n0)a >．⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．负数没有偶次方根．0的任何次方根都是00．n 叫做根指数，a3．根式恒等式：n a =；当na =；当n||a a a ⎧=⎨-⎩0a a <≥．4．分数指数幂的运算法则⑴正分数指数幂可定义为：1(0)na a >0,,,)mm nma a n m n+==>∈N 且为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m nm nmaa n m na-+=>∈N 且为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时a =，n 为偶数时a =． 7．m na =m na-=（0a >，,*m n N ∈，且1n >）零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()rr r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ）9．无理数指数幂⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立．（二）典例分析【例1】求下列各式的值：⑴；⑵⑶⑷)a b<；⑸．⑹238；⑺1225-；⑻512-⎛⎫⎪⎝⎭；⑼341681-⎛⎫⎪⎝⎭．【例2】计算下列各式：⑴⑵111344213243(,0)6a a ba ba b---⎛⎫-⎪⎝⎭>-．【例3】用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：⑴；⑵；⑶54m⋅．【例4】，则实数a的取值范围是（）A ．a ∈RB ．12a =C ．12a > D ．12a ≤【例5】设ab =c a ，b ，c 的大小关系是（ ）【例6】 设 1120082008(N )2nna n -+-=∈，那么)n a -的值是（ ）【例7】若()xf x =，求10001()1001i if =∑【例8】 已知210x x +-=，求847x x +的值．【例9】 下列判断正确的有①有理数的有理数次幂一定是有理数 ②有理数的无理数次幂一定是无理数 ③无理数的有理数次幂一定是有理数 ④无理数的无理数次幂一定是无理数 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个板块二：指数函数及其性质（一）知识内容1．指数函数：一般地，函数xy a=(0a>，1a≠，R)x∈叫做指数函数．2．指数函数的图象和性质对比指数的取值0＜a＜1 a＞1图象y=a x(0<a<1)(0,1)Oyxy=a x(a>1)(0,1)O xy定义域R值域(0,)+∞性质（1）过定点(0,1)，即0x=时，1y=（2）在R上是减函数（2）在R上是增函数3．xy a=（0a>且1a≠）的图象特征：1a>时，图象像一撇，过点()0,1，且在y轴左侧a越大，图象越靠近y轴（如图1）；01a<<时，图象像一捺，过点()0,1，且在y轴左侧a越小，图象越靠近y轴（如图2）；xy a=与xy a-=的图象关于y轴对称（如图3）．图1图2图3（二）主要方法：1．指数方程，指数不等式：常要转化为同底数的形式，在利用指数函数的单调性求解；2．确定与指数有关的函数的单调性时，常要注意针对底数进行讨论；3．要注意运用数形结合思想解决问题．（三）典例分析：【例10】已知1a b c>>>，比较下列各组数的大小：①___bca a ；②1ba ⎛⎫⎪⎝⎭1ca ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③11___b ca a ；④__a abc ．【例11】 （2009年江苏卷）已知a =()x f x a =，若实数m n ，满足()()f m f n >，则m n ，的大小关系为 ．【例12】 图中的曲线是指数函数x y a =的图象，已知a取413,,3105四个值，则相应于曲线1234,,,c c c c 的a 依次为_______________．【例13】 求下列函数的定义域、值域⑴112x y -= ； ⑵3x y -=； ⑶2120.5x x y +-=板块三：指数函数和其它函数的运算与复合（一）知识内容：复合函数的单调性与奇偶性，重点研究学生熟悉的二次函数的复合，复合函数单调性的判断是重点也是难点． 1．和差函数的单调性两个增函数（或减函数）的和仍为增函数（或减函数），一个增函数（或减函数）减去一个减函数（或增函数），结果是一个增（或减）函数． 2．复合函数[()]f g x 的奇偶性、单调性有如下规律：值得注意的是，当且仅当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ，复合函数奇偶性：两奇才为奇； 复合函数单调性：同增异减（二）典例分析：【例14】 已知2()82f x x x =+-，2()(2)g x f x =-，则()g x 在（ ）A ．(2,0)-上为增函数B ．(0,2)上为增函数C ．(1,0)-上为减函数D ．(0,1)上为减函数【例15】 函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为_________，值域为___________．【例16】 求函数11()1([3,2])42xxf x x ⎛⎫⎛⎫=-+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间及其值域．【例17】 求下列函数的单调区间．⑴232xx y a -++=（0a >，且1a ≠）；⑵已知910390x x -⨯+≤，求函数1111()4()542x x y --=-⋅+最值．【例18】 （2007-2008北京四中期中测试）求函数1()423x x f x a +=-⋅+ (R)x ∈的值域．【例19】 已知11()212x f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭．⑴求证：()0f x >；⑵若()()()F x f x t f x t =++-（t 为常数），判断()F x 的奇偶性．【例20】 讨论函数21()21x x f x -=+的奇偶性、单调性，并求它的值域．【例21】 已知函数2()()1x x af x a a a -=--，其中0a >，1a ≠． ⑴判断函数()f x 的奇偶性； ⑵判断函数()f x 的单调性，并证明．【例22】 （2008-2009南通一中高三期中考试题）在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．例如：[2]2=，[3.1]3=，[2.6]3-=-．设函数21()122x xf x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为（ ）【例23】 （2008-2009首师大附中高中课改数学模块1水平监测期中考试）因为复杂的函数，往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到，或者是多个函数的复合后得到的，比如下列函数：()()()22x f x g x h x x ==，，则()()f x g x ，复合后可得到函数()()2x g f x g =⎡⎤⎣⎦()f g x f ==⎡⎤⎣⎦个函数的自变量的取值，得到的函数称为复合函数；也可以由()()f x g x ，进行乘法运算得到函数()()2x f x g x =．所以我们在研究较复杂的函数时，常常设法把复杂的函数进行逆向操作，把其拆分转化为简单的函数，借助简单函数的性质进行研究．⑴复合函数(){}f h g x ⎡⎤⎣⎦的解析式为 ；其定义域为 ．⑵可判断()()2x f x g x =是增函数，那么两个增函数相乘后得到的新函数是否一定是增函数？若是请证明，若不是，请举一个反例；⑶已知函数()2x f x -=，若()()121f x f x +>-，则x 的取值范围为 ． ⑷请用函数()()()()22ln x f x g x h x x k x x ====，，中的两个进行复合，得到三个函数， 使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数．【例24】 设a ∈R ，2()()21xf x a x =-∈+R ，若()f x 为奇函数，求a 的值．【例25】 小明即将进入一大学就读，为了要支付4年学费，小明欲将一笔钱存入银行，使得每年皆有40000元可以支付学费．而银行所提供的年利率为6%，且为连续复利，试求出小明现在必须存入银行的钱的数额．习题1. 比较下列各题中两个值的大小：⑴ 2.51.7，31.7； ⑵ 0.10.8-，0.20.8-； ⑶ 0.31.7， 3.10.9．习题2. （2007年山东潍坊统考）若1a >，0b >，且22b b a a -+=，则b b a a --的值为（ ）家庭作业A B ．2或2- C ．2- D ．2习题3. 函数()342x x f x =⋅-，求()f x 在[0,)x ∈+∞上的最小值．习题4. 化简：⑴111()()()a b c a b c a b c a b c a b c x x x ------⋅⋅ ⑵a b c ．习题5. 已知1010()1010x xx xf x ---=+，判断函数的单调性、奇偶性，并求()f x 的值域．习题6. 已知2()()(0,1)2x x a f x a a a a a -=->≠-是R 上的增函数，求a 的取值范围．习题1. 函数||()x f x e =（ ）A ．是奇函数，在(,0]-∞上是减函数B ．是偶函数，在(,0]-∞上是减函数C ．是奇函数，在[0,)+∞上是增函数D ．是偶函数，在(,)-∞+∞上是增函数习题2. 方程2x =2-x 的解的个数为______________．习题3. 已知函数|22|x y =-，⑴ 作出函数的图象；⑵ 根据图象指出函数的单调区间；⑶ 根据图象指出当x 取什么值时，函数有最值．月测备选。