极限运算法则06938

极限运算法则

1 x,
x
2
1,
x 0,求 lim f ( x). x 0 x0
解 x 0是函数的分段点,两个单侧极限为
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim ( x 2 1) 1,
x0
x0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) 1. x0
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 b1
x x
m1 n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量旳最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
例5
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2 ).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
令u x a
lim 3 u2
u0
0．
33 a2
三、小结
1、极限旳四则运算法则及其推论; 2、极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
3、复合函数旳极限运算法则
思索题
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2 n2
n
1 n(n 1)
lim 2
n
n2
lim 1 (1 n 2
1) n
1. 2
例6 求 lim sin x . x x

极限的运算法则及计算方法

极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。

在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。

本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。

一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。

2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。

3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。

4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。

二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。

2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。

三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。

高等数学极限的运算法则与性质共24页文档

e.利用无穷小运算性质求极限;
3、复合函数的极限运算法则
14
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三、极限的性质-P36
1. 函数极限的局部有界性
如l果 im f(x)A,那么存 M 在 0和常 0, 数 x x0
使得 0x当 x0时有， f(x)M .
2. 函数极限的唯一性
定理若lim f ( x)存在, 则极限唯一.
x 0
x 0
lif m (x ) li(x m 2 1 )1,
x 0
x 0
左右极限存在且相等,
故 lifm (x ) 1 . x 0
y
y1x
1
o
yx21 x
11
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定理（复合函数运的算极法限则）设u函 (数 x)
当xx0
时
的
极
限存在且 a，等即l于 im(x) xx0
1
n(n1)
lim2 n
n2
11 lim(1 )
n2 n
1 2
.
10
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例5 设 f(x ) x 1 2 x 1 ,, x x 0 0 ,求 l x 0 if( m x ). 解 x0是函数的 ,两分个段单点侧
lif m (x ) li( 1 m x )1,
am bn
0,当n m,
,当n m,
9
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例4 求 ln i (m n 1 2n 2 2 n n 2).
解 n时,是无限多个无穷．小之和

高等数学极限运算法则

+
x→ 0
x→ 0 2
x→ −∞
x→−∞
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内容小结
1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 2. 求函数极限的方法分式函数极限求法 1 x →x0 时, 用代入法 ) ( 要求分母不为 0 ) 注意使用条件
2) x →x0 时, 对 0 型 , 约去公因子 0
x −1 f (0 ) = lim f (x) = lim( 3 ) =−1 x→ + 0 x→ + x +1 0 故 lim f (x) =−1 x→ 0 x2 −1 lim f (x) = xlim( 3 ) = 0 → +∞ x +1 x→ +∞ lim f (x) = lim(x −1) =−∞
x = 3 时分母为 0 !
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例5 . 求解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 ,
2
但因
x −5x + 4 12 −5⋅1+ 4 lim = =0 x→ 2x −3 1 2⋅1−3
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结论：
1.已知多项式 2.已知分式函数若若则去公因子再求则求
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( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
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思考：思考：1. 答: 不存在 . 否则由利用极限四则运算法则可知 2.
问是否存在 ? 为什么 ? 存在 , 矛盾矛盾. 问是否一定不存在 ?

极限的运算法则

n
a0 b0
lim xmn
x
a0 / b0 ,
0, ,
nm; nm; nm .
总结
(1) lim x
Pm ( x) Qn( x)
最高项，系数比，
0，
mn; mn; m n.
(2) lim Pm ( x)
xx0 Qn ( x)
Pm ( x0 ) ,
Q n ( x0 )
,
Q(x0) 0时； Q(x0)0且 P(x0)0时
8、lx i m (2x(2 3)x20(31)x502)30_____._
二、求下列各极限:
1、ln i m (11 21 4.. .21n);
2、lim(xh)2x2;
h0
h
3、lxi m 1(11x13x3);
4、lim 1x3; x8 23 x
5、 lim ( x x x x);
x
6、xlim42xx
xx0
复合函数极限运算法则---极限过程代换法则
设x 对的连某变续个化有过
u(x)“ 趋近＊于”
(＊为 u 0 ,u 0 0 , , );u ＊时 f(u ) A
(A R 或为 , ),则
令u( x )
limf[(x)]
x的变化过程
lim f(u)A. u ＊
x x 0
x x 0
由定义, 对任意给定，的 ,，正使数得
当 0 |xx|时， f(x ) 恒 a 1 2;有
当 0 |xx 0| 1时， g (x ) 恒 b 2 .有
取 m 0 1 , i 2 2 ,n 则0当 |xx0| 2时，
|[ f ( x ) g ( x ) ( a ] b ) |

极限运算法则课件

减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$，则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$，使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$，则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$，使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$

高等数学-极限的运算法则

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例. 设有分式函数
多项式 , 若试证( x )
证:
x x0
lim R( x)
lim Q ( x )
说明: 若例4.
不能直接用商的运算法则 .
lim ( x 3)( x 1) 3)( x 3)
x 3 ( x
( 如P47 例5 )

( 如P47 例6 ) ( 如P47 例7 )
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三、复合函数的极限运算法则( 分步求极限！) 定理7. 设
( x) a , 又
x x0
且 x 满足则有
lim f [ ( x) ]
时,
说明: 若定理中 lim ( x) , 则类似可得
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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二、极限的四则运算法则定理 3 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
定理4 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
0 lim
3 1
3
1 t
3

a t
lim
t0
3
t 1 a t
3
lim
t0
3
t 1 a 0
故因此
1 a 0 a 1
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作业
P48 1 （5），（7），（9），（12）