第四章 向量代数与空间解析几何
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考研数学(二)题库(高等数学)-第四章 向量代数和空间解析几何【圣才出品】
x2/2＋y2/2－z2/3＝0 中，x2，y2 系数相等，则旋转轴应是 z 轴。（若三项系数均不相等，
则应选 D 项）
10．方程 x2－y2－z2＝4 表示的旋转曲面是（ ）。 A．柱面 B．双叶双曲面 C．锥面 D．单叶双曲面 【答案】B 【解析】x2－y2－z2＝4 等价于 x2/4－（y2＋z2）/4＝1，故可将原方程表示的旋转曲 面看作是将 xOy 平面 x2/4－y2/4＝1 绕 x 轴旋转一周所得的双叶双曲面。
→
→
→
→
【解析】由a＝{3，5，－2}，b＝{2，1，4}可知 λa＋μb＝{3λ＋2μ，5λ＋μ，－2λ＋4μ}，
→
→
→
→
又 λa＋μb与 Oz 轴垂直，则（λa＋μb）·{0，0，1}＝0，即（－2λ＋4μ）×1＝0 得 λ＝2μ。
→→
→→
2．设a，b为非零向量，且a⊥b，则必有（
→→
→
→
A．|a＋b|＝|a|＋|b|
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第四章 向量代数和空间解析几何
一、选择题
→
→
→
→
1．若向量a＝{3，5，－2}，b＝{2，1，4}，且 λa＋μb与 Oz 轴垂直，则 λ 与 μ 的关
系为（ ）。
A．λ＝μ
B．λ＝－μ
C．λ＝2μ
D．λ＝3μ
【答案】C
（－7）×（－1）＋3×（－1）＝0，所以直线与平面平行。
x 3y 2z 1 0 7．设有直线 L : 2x y 10z 3 0 及平面∏：4x－2y＋z－2＝0，则直线 L（ ）。
A．平行于∏
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江苏专转本第四章向量代数与空间解析几何
a∥ b
3. 运算律
(1) a b b a (2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
4. 向量积的坐标表示式
设
a
(
ax
,
a
y
,
az
),
b
(bx ,by ,bz ),
则
向量积的行列式计算法
i jk
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
r
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
z
o
x
坐标面 :
xoy面 z 0 yoz面 x 0 zox面 y 0
坐标轴 :
y
x轴
y0 z0
y轴 z 0 x0
z轴 x 0 y0
记作
a b cos
a b 为a与b的数量积 (点积) .
2. 性质
a b a b cos
(1) a a a 2
(2) a ,b为两个非零向量, 则有
ab 0
ab
3. 运算律
(1) 交换律 a b b a
(2) 结合律 ( , 为实数) ( a ) b a ( b) ( a b)
ab ax ay az
bx by bz
ay az , ax az , ax ay
by bz
bx bz bx by
y
j
z
k
(x
,
y
,
z
)
ko i
j
r
高等数学向量代数与空间解析几何总结 ppt课件
( p与q同号 )
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )
如图空间曲线 一般方程为
z 1 x2 y2
(x
1)2 2
y2
(1)2 2
x
1 cos 2
t 1 2
参数方程为
右 手 系 .
向量积的坐标表达式
ab(aybzazby)i (azbxaxbz)j
(axbyaybx)k
i j k ab ax ay az
bx by bz
a // b
ax ay az bx by bz
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（①求1）向数量量的积模(1 ：)a a |a |2.
f (x, y2 z2 ) 0
(2) 曲线L绕 y 轴旋转所成的旋转曲 方面 程为
f ( x2 z2, y) 0
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2y2z21 x2y2z2
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
[2] 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
a { a x ,a y ,a z} b { b x ,b y ,b z}
a b { a x b x , a y b y , a z b z }
( a x b x ) i ( a y b y ) j ( a z b z ) k a b { a x b x , a y b y , a z b z }
[4] 两直线的夹角
直线 L1 : 直线 L2 :
第4章向量代数与空间解析几何练习题(最新整理)
（C） 相交；
（D） 异面．
4．与平面 : x 5y z 10 0 垂直且经过点 A(1,2,1) 的直线的方程是(
)
x 5y z 10 0 （A） 2x 3y z 3 0 ；
x 5y z 10 0 （B） 2x 10 y 2z 20 0 ；
（C）
x 1
y
2
z
1
；
二、填空题
1．设在平行四边形 ABCD 中，边 BC 和 CD 的中点分别为 M 和 N，且 AM p ， AN q ，则 BC
=_______________， CD =__________________． 2．已知 ABC 三顶点的坐标分别为 A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边 BC 上的中线长为
__________________________．
2．经过原点 O(0,0,0) 与 B(2,5,0) 且平行于向量 a(2,4,1) 的平面的方程是_________________．
3．平面 2x 3y 5x 30 与三坐标轴分别交于点（A）、（B）、（C），则Δ（A）（B）（C）的面积为
）
（A） C(0,5,4) ； （B） C(3,4,5) ； （C） C(0,5,4) ； （D） C(3,4,5) ．
3．下列叙述中错误的是（
）
（A）若已知平面 的一个法向量 a(1,2,4) 与 上一点 A(3,5,1) , 就能确定平面 的方程；
（B）若向量 a(1,2,4) 平行于平面 且点 A(3,5,1) , B(2,6,7) 在 上, 则能确定平面 的方程；
4x2 3y 2 z 2 25
2．母线平行于
z
轴，准线为曲线
z
空间解析几何例题
第4章 向量代数与空间解析几何习题解答习题一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅． 解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小． 解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--=力矩()()k j i k j i F AB M 53232++-⨯-+-=⨯=kj i kj i kj i 41614321252325331532312-+=--+-----=---=所以，力矩的大小为()13641614222=-++=M4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a ρρ, 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3） 联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线 互相平分，则有==,由矢量合成的三角形法则有+=+=+=+=所以CD BA =即BA 平行且等于CD四边形ABCD 是平行四边形6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x这就是线段AB 的中垂面的方程。
第四 章空间解析几何
O
P1
Q1
Q2
y
P2
x
由于△M1NM2是直角三角形，∠M1NM2是直角， 所以
|M1M2|2＝|M1N|2＋ |NM2|2
又△M1PN也是直角三角形且
|M1N|2＝|M1P|2＋ |PN|2
所以
而
|M1M2|2＝|M1P|2＋ |PN|2＋|NM2|2
|M1P| ＝ |P1P2| ＝ |x2－x1|
设所求单位向量为bmnp由于它在xoy平面上且是单位向量所以满足于是垂直液体密度所指一方的液体的质量流向单位时间内经过这区域的单位向量计算为垂直于向量各点处的流速均为常的一个区域液体在区上面积为设液体流过平面体积为所以这柱体的高为的夹角夹角就是高与地面的垂线的的斜柱体这柱体的斜斜高为的液体组成一个底面积单位时间内流过这区域的质量为所指一方的液体域流向从而单位时间内这区432向量的向量积定义45给定向量a与b的向量积crossproduct或称外积exteriorproduct叉积crossproduct是满足下面条件的一个向量记为bsinabab分别垂直于a和b且abab符合右手规则图415
(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c (4)a+(-a)=0
则称向量c 为向量 a与 b的差．记作：a-b ．即若b+c=a ，
则 a-b=c．求向量的差的运算称为向量的减法．
设给定两向量a 与 b，若从点O 作两向量OA=a ， OB=b ，则由定义可知，以向量b 的终点B 为起点， 向量 a的终点A 为终点的向量BA 就是向量 a与b 的差 A (图4-9)。
一、向量的概念 在实际中经常遇到两种量，一种是用数表示 的量，叫做数量或标量，如质量、温度、体积等。 另一种是要用数量和方向才能表示的量，即既有大 小、又有方向的量，叫做向量(vector)或矢量，如 速度、力等。 向量常用有向线段来表示。有向线段的长度表 示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向， 以A为起点，B为终点的有向线段所表示的向量记 做 AB（图4－5）。也可用黑体字母来表示，如向量 a,b,x等。
第4章向量代数与空间解析几何练习题_3
3．母线平行于轴, 准线为的柱面的方程是
_____________________．
4．顶点在原点且经过圆的圆锥面的方程是
________________________．
5．经过, 且与曲面相切的平面的方程是____________．
三、计算题与证明题
1．一动点到定点的距离是它到的距离的两倍, 程．
复习题四
一、选择题
1．将下列列向量的起点移到同一点,
终点构成一个球面的是
()
（A）平行于同一平面的单位向量；（B）平行于同一直线的单位
向量；
（C）平行于同一平面的向量； （D）空间中的所有单位向 量．
2．下列叙述中不是两个向量与平行的充分条件的是
(
)
（A）； （B）与的内积等于零；
（C）对任意向量有混合积； （D）与的坐标对应成比例．
3．设向量的坐标为, 则下列叙述中错误的是( )
（A）向量的终点坐标为； （B）若为原点,且, 则点的坐标为；
（C）向量的模长为；（D） 向量与平行．
4．行列式的值为( )
（A） 0 ； （B） 1 ； （C） 18 ； （D） ．
5．对任意向量与, 下列表达式中错误的是( )
（A）与； （B） 与；
（C）与； （D） 与．
5．原点到平面的距离是( )
（A） ； （B） ； （C） ； （D） 1．
二、填空题
1．垂直于向量且到点的距离为5的平面的方程是 ______________________或者__________________________．
2．经过原点与且平行于向量的平面的方程是_________________． 3．平面与三坐标轴分别交于点（A）、（B）、（C），则Δ（A） （B）（C）的面积为_________________． 4．一动点移动时与及坐标平面等距离，则该点的轨迹方程为 ________________． 5．通过轴和点的平面的方程是________________________．
向量代数与空间解析几何—空间解析几何(高等数学课件)
1 + 1 + 1 + 1 = 0 ,
2 + 2 + 2 + 2 = 0 .
方程组（1）我们称之为直线的一般式方程。
(1)
2.空间直线的点向式方程
1.二元极限定义
与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量．
设已知直线 L 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，其方向向
（1）过点 A(1, 2,3) ， B(1,1, 1) 的直线方程；
x 1 y 1 z 2
（2）过点 M (0, 2,3) ，且与直线 L1 :
平行的直线方程；
3
2
1
（3）过点 P(2,1,3) ，且与平面 π : 3x 2 y z 1 0 垂直的直线方程．
例题
一点.因为向量 ⊥平面，0 ⊂平面，所以 ⊥ 0 .
由向量垂直的充要条件可知 ⋅ 0 = 0，
而0 = − 0 , − 0 , − 0 ，根据向量数量积的坐标表达式有：
− 0 + − 0 + − 0 = 0
此方程是由平面上一个点的坐标和平面的法向量确定的，因此，我们称之为平面的
出了平面平行或垂
直的判定方法。
空间上点到平面
的距离公式。
思考题
求满足下列条件的平面方程：
(1)过原点且法向量 = 1,2,3 ；
一元函数，但在自然科学和工程两
(2)在, , 轴上的截距分别是2, −3,4
空间直线及其方程
知识点讲解
1.空间直线的一般式方
程
2.空间直线的点向式方程
3.空间直线的参数方程
1.空间直线的一般方程式
2 + 2 + 2 + 2 = 0 .
方程组（1）我们称之为直线的一般式方程。
(1)
2.空间直线的点向式方程
1.二元极限定义
与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量．
设已知直线 L 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，其方向向
（1）过点 A(1, 2,3) ， B(1,1, 1) 的直线方程；
x 1 y 1 z 2
（2）过点 M (0, 2,3) ，且与直线 L1 :
平行的直线方程；
3
2
1
（3）过点 P(2,1,3) ，且与平面 π : 3x 2 y z 1 0 垂直的直线方程．
例题
一点.因为向量 ⊥平面，0 ⊂平面，所以 ⊥ 0 .
由向量垂直的充要条件可知 ⋅ 0 = 0，
而0 = − 0 , − 0 , − 0 ，根据向量数量积的坐标表达式有：
− 0 + − 0 + − 0 = 0
此方程是由平面上一个点的坐标和平面的法向量确定的，因此，我们称之为平面的
出了平面平行或垂
直的判定方法。
空间上点到平面
的距离公式。
思考题
求满足下列条件的平面方程：
(1)过原点且法向量 = 1,2,3 ；
一元函数，但在自然科学和工程两
(2)在, , 轴上的截距分别是2, −3,4
空间直线及其方程
知识点讲解
1.空间直线的一般式方
程
2.空间直线的点向式方程
3.空间直线的参数方程
1.空间直线的一般方程式
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| a| 0,
| b | 0,
sin 0,
0,
a//
b
()
|aa/b/ b||
a||
b|
0或
sin
sin 0.
0
向量积符合下列运算规律：
（1）
a
b
b
a.
（2）分配律：(a
b)
c
a
c
b
c.
（3）若
为数：(a)
b
a
(b )
(a
b ).
设
a
a
x
i
a
y
j
az
k,
b bxi by j bzk
C( x,o, z)
r
o
x P( x,0,0)
B(0, y, z)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
四、利用坐标作向量的线性运算
设 a (ax , a y , az ), b (bx , by , bz ),
则 a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k;
复习要求 （1）理解向量的概念，掌握向量的坐标 表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在 坐标轴上的投影。 （2）掌握向量的线性运算、向量的数量 积与向量积的计算方法。 （3）掌握二向量平行、垂直的条件。
一、向量概念
向符量号：表有示向：A线B段，.a，b，c，等.
向量的大小：长度的值.
向量的方向：箭头方向. 自由向量：只研究大小与方向，与起始点无关.
(ax bx , a y by , az bz )
a b (ax bx )i (ay by ) j (az bz )k;
(ax bx , a y by , az bz )
a
(ax
)i
(a y
)j
(az )k.（
为实数）
(ax , ay , az )
推论：a//
r 的方向角：、 、
方向余弦:
cos
x r
,
0
,
cos
y r
,
0 ,
cos
z
.
0 .
r
P
方向余弦的特征: x
z R
O
M Qy
cos2 cos2 cos2 1
单位向量er的方向余弦为: e r
|
rr |
(cos ,
cos
,
cos
).
例 已知两点 M1(2,2, 2 )和 M2 (1,3,0，) 计算向量 M1M2
的模、方向余弦和方向角.
解 M1M2 (1 2,3 2,0 2 ) (1,1, 2 );
M1M2 (1)2 12 ( 2)2 2;
cos 1 ,cos 1 ,cos
2 ;
2
2
2
2 , , 3 .
3
3
4
第二节 数量积 向量积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
向量积的坐标表达式
向量积还可用三阶行列式表示
i jk
a
b
ax
ay
az
bx by bz
由上式可推出a//baxay
az
bx by bz
bx 、by 、bz 不能同时为零，但允许两个为零，
例如， ax a y az 0 0 bz
ax 0, ay 0
补充：
|
a
b |表示以
a和
b
为邻边
)a b)
a
a
a
b
例1 在平行四 边形ABCD中，设 AB a
AD b .
试用 a 和 b 表示向量 MA 、MB 、MC 和 M, D ,
这里M是平行四边形对角线的交点.
解 由于平行四边形的对角线 D
C
互相a平b分,
所以
AC
2
AM
,
即
(ar
r b
)
2
AM
,
b
M
于是
1 A
MA (a b).
的平行四边形的面积.
a
c
a
b
b
例
设
a
(2,1,1)
，b
(1,1,2)，计算
a
b
.
解
i j k i j k a b ax ay az 2 1 1
bx by bz 1 1 2
i 5 j 3k.
例 已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)
和C(2,4,7)，求三角形ABC的面积.
解 作向量MA及MB，AMB 就是向量MA与MB的夹角.
这里， MA=(1,1,0)， MB=(1,0,1),从而
MA MB 11 1 0 01 1;
MA 12 12 02 2;
MB 12 02 12 2.
代入两向量夹角余弦的表达式，得
cosAMB MA MB MA MB
通常取x轴、y轴水平放置； z轴竖直放
置，它们的正向符合右手法则.
X
Oxyz坐标系可记作[O；i ，j ，k]坐标系
坐标面：空间直角坐标系中任两轴确定的平面。xOy面、 yOz面、xOz面.
卦限：坐标面将空间分为八个卦限，用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.
Ⅲ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ
x
由此得 AMB .
3
1 1. 2 2 2
二、两向量的向量积
实例 设 O 为一根杠杆 L 的支点，有一力 F 作用于这
杠杆上 P 点处．力 F 与 OP 的夹角为 ，力 F 对支
点 O 的力矩是一向量 M ，它的模
F
| M || OQ || F |
| OP || F | sin
O
M 的方向垂直于OP 与F 所决定的
42 (6)2 22
14.
第五节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
复习要求
（1）会求平面的点法式方程、一般式方程。 会判定两平面的垂直、平行。
（2）会求点到平面的距离。 （3）了解直线的一般式方程，会求直线的 标准式方程、参数式方程。会判定两直线平 行、垂直。 （4）会判定直线与平面间的关系（垂直、 平行、直线在平面上）。
Ⅷ
z
zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
向量
r
的坐标分解式：r
OM
xi
yj
zk
向径： 以原点为起点，M为终点的向量，例如r .
空间的点 有序数组 ( x, y, z)
特殊点的表示:坐标轴上的点 P, Q, R,
坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
两个向量的平行关系
定要理条件设是向：量存a在唯0一，的那实么数，向量，使b 平b行于aa的充. 分必
三、空间直角坐标系
Z
坐标轴：取空间一个定点O,作三条互 相垂直的数轴，它们都以O为原点且一
般具有相同的长度单位，这三条轴分别
叫作x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴
O
Y
（竖轴);点O叫作坐标原点（或原点）.
第四章 空间解析几何与向量代数
第一节 向量及其线性运算 第二节 数量积 向量积 第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程
第一节 向量及其线性运算
一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角
(a
0, b 0).
两向量夹角余弦的坐标表示式：
cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz 2
由此可知两向量垂直的充要条件为
ab axbx a yby azbz 0
例 已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求AMB.
P
L
Q
平面, 指向符合右手系.
定义
向量a与b的向量积为
c
a
b
|
c||
a||
b|
sin
(其中
为
a与
b 的夹角)
c的方向既垂直于
a，又垂直于
b ，指向符合右手
系.
关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2)
a//
b
a
b
0.
(a
0,
b 0)
证
()
a
b
0,
例 求证以 M1(4,3,1), M2(7,1,2), M3(5,2,3) 三点为顶点的
三角形是一个等腰三角形.
解 因为 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, 同理可得 M2 M3 2 M3 M1 2 6, 所以, M2M3 M3M1 , 即 M1M 2 M 3为等腰三角形.
解 根据向量积的定义，三角形ABC的面积为
1
SABC
| 2
AB |
AC
sinA
B
1 | AB AC | 2
A
C
由于AB (2,2,2), AC (1,2,4), 因此
i jk
AB AC 2 2 2 4i 6 j 2k,
124
于是 SABC
1 2
4i 6 j 2k
1 2
a
b
(a
x
i
a
y
j
azk )
(bxi