直线、平面平行的判定及其性质-测试题(有详解)
高考数学专题《直线、平面平行的判定及性质》习题含答案解析
专题8.4 直线、平面平行的判定及性质1．（2021·山西高一期末）对于两个不同的平面α，β和三条不同的直线a ，b ，c .有以下几个命题： ①若//a b ，//b c ，则//a c ；②若//a α，//b α，则//a b ；③若//a b ，//b α，则//a α；④若//a α，//a β，则//αβ；⑤若//a α，//αβ，则//a β.则其中所有错误的命题是（ ）A ．③④⑤B ．②④⑤C ．②③④D ．②③④⑤【答案】D【解析】根据空间中直线平行的传递性，可判断①；根据线线、线面、面面之间的位置关系即可判断②③④⑤.【详解】解：因为//a b ，//b c ，根据空间中直线平行的传递性，得//a c ，故①正确；因为//a α，//b α，所以直线,a b 平行，异面，相交均有可能，故②错误；若//a b ，//b α，则//a α或a α⊂，故③错误；若//a α，//a β，则平面,αβ平行或相交，故④错误；若//a α，//αβ，则//a β或a β⊂，故⑤错误.所以错误的命题是②③④⑤.故选：D.2．（2021·江苏高一期末）已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）A ．若//m n ，//m α，则//n αB ．若αβ⊥，m β⊥，则//m αC ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n 【答案】D【解析】利用线面平行的性质定理可以得到判定A 错误的例子；利用面面垂直的性质定理可举出B 错误的例子；利练基础用线面平行的判定定理可以举出C 错误的例子；利用线面垂直的性质定理可知D 正确.【详解】若//m n ，//m α，则n 可能在α内，只要过m 作平面β与α相交，交线即可作为直线n ,故A 错误； 若αβ⊥，m β⊥，则m 可能在α内，只要m 在α内垂直于两平面α，β的交线即有m ⊥β，故B 错误； 若//m α，//m β，则α，β可能相交，只要m 不在α，β内，且平行于α，β的交线即可，故C 错误； 若m α⊥，n α⊥，根据线面垂直的性质定理可知//m n ，故D 正确；故选：D.3．（2020·湖北开学考试）已知平面//α平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂β，下列结论中不正确的是（ ） A ．//m βB ．//n αC ．//m nD ．m 与n 不相交 【答案】C【解析】根据面面平行的的定义和性质知: 平面//α平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂β，则//m β， //n α， m与n 不相交，故选:C.4．（2021·济南市历城第二中学开学考试）如图，四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且//MN 平面PAD ，则( )A ．//MN PDB ．//MN PAC ．//MN AD D ．以上均有可能【答案】B【解析】 四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且//MN 平面PAD ，MN ⊂平面PAC ，平面PAC 平面PAD PA =，由直线与平面平行的性质定理可得：//MN PA ．故选：B ．5．【多选题】（2021·宁波市北仑中学高一期中）下列命题正确的是（ ）A ．若两条平行直线中的一条直线与一个平面相交，则另一直线也与这个平面相交.B ．若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一直线也与这个平面平行.C ．过空间任意一点，可作一个平面与异面直线,a b 都平行.D ．若在空间内存在两条异面直线同时平行于平面,αβ，则//αβ.【答案】AD【解析】对A ，利用反证法判断即可；对B ，根据线面位置关系判断即可；对C ，若点在其中一条直线上，此时作不出一个平面；对D ，利用线面平行的性质定理及面面平行的判定定理判断即可.【详解】对A ，记//a b ，a 与α相交.假设另一直线b 与这个平面不相交，在平面α内作直线//c b ，则//a c ，但a 与α相交，故a 与c 不平行，这与//a c 矛盾，故A 正确；对B ，若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一直线也与这个平面平行或在这个平面内，故B 错误；对C ，当点在两条异面直线中的一条上时，没有平面与异面直线,a b 都平行，故C 错误；对D ，若//a α，//b α，//a β，b β//，如图过a 作平面γ分别交α,β于,c d ，过b 作平面δ分别交α,β于,m n ，根据线面平行的性质定理可得//a c ，//a d ，b //m ，//b n ，所以//c d ，//m n ，由面面平行的判定定理可得//αβ，故D 正确.故选：AD6．【多选题】（2021·广东湛江二十一中高一期中）已知m ，n ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面其中正确的命题是（ ）A ．//m n ，////c n c m ⇒B ．//m γ，////n m n γ⇒C ．//m c ，////c m αα⇒D ．m α⊄，n α，////m n m α⇒【答案】AD【解析】 对于A ：直接根据平行的传递性，可以判断；对于B ：由//m γ，//n γ，则m 、n 可以平行，相交，也会是异面直线即可判断；对于C ：由//m c ，//c α，则//m m αα⊆或即可判断；对于D ：根据线面平行的判定定理可以判断.【详解】对于A ：因为//m n ，//n c 由平行的传递性，可以得到//c m .故A 正确；对于B ：//m γ，//n γ，则m 、n 可以平行，相交，也会是异面直线.故B 错误；对于C ：//m c ，//c α，则//m m αα⊆或.故C 错误；对于D ：m α⊄，n α，//m n ，根据线面平行的判定定理可以得到//m α.故D 正确.故选：AD.7．【多选题】（2020·佛山市第四中学高二月考）下列命题正确的是（ ）A ．平行于同一直线的两条直线互相平行B ．垂直于同一平面的两个平面互相平行C ．若αβ，是两个平面，m n m αβ⊂⊂，，∥n β，∥α，则α∥βD ．若三棱锥A BCD -中，AB CD AC BD ⊥⊥，，则点B 在平面ACD 内的射影是ACD 的垂心【答案】AD【解析】由平行公理判断A ；由面面垂直判断B ；举特例判断C ；由逻辑推理可判断D.【详解】对于选项A ：由平行公理可知A 正确；对于选项B ：垂直于同一平面的两个平面互相平行或相交，故B 错误；对于选项C ：反例如图，故C 错误；对于选项D ：设点B 在平面ACD 内的射影是O ，连接BO ，则BO ⊥平面ACD ，又CD ⊂平面ACD ，所以BO CD ⊥，又AB CD ⊥，且BO AB B =，所以CD ⊥平面AOB ，又AO ⊂平面AOB ，所以CD AO ⊥. 同理可证AC DO ⊥，所以点O 是ACD △的垂心. 故D 正确.故选：AD.8．（2021·大连市第一中学高一月考）已知m ，n ，p 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列命题：①//////m n m p p n ⎧⇒⎨⎩；②若//m α，//m β，则//αβ； ③m α⊂，//n α，则//m n ；④直线//m α，直线//n α，那么//m n ；⑤若//m α，βn//，//m n ，则//αβ；⑥若//αγ，//βγ，则//αβ．其中正确的说法为______（填序号）【答案】①⑥【解析】利用线线平行、线面平行、面面平行的判定和性质应用，逐一判断选项可得结论.【详解】解：对于①，根据平行的性质有：////m n p n ⎧⎨⎩，即//m p ，故①正确； 对于②，由//,//,m m αβ得//αβ或,αβ相交，故②错误；对于③，由,//,m n αα⊂得//m n ，或,m n 异面，故③错误；对于④，由直线//m α，直线//n α，可得//m n ，m n ，异面，m n ，相交，故④错误；对于⑤，由//,//,m n αβ//m n ，得//αβ或αβ，相交，故⑤错误；对于⑥，若////αγβγ，，由面面平行的传递性得//αβ，故⑥正确，故答案为：①⑥.9．（2020·云南省下关第一中学高二月考（文））如图，在正三棱锥P ABC -中，底面边长为6，侧棱长为5，G 、H 分别为PB 、PC 的中点.（1）求证：//GH 平面AB C ；（2）求正三棱锥P ABC -的表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）36+【解析】（1）由于G 、H 分别为PB 、PC 的中点，所以由三角形中位线定理可得//GH BC ，再由线面平行的判定定理可证得结论；（2）由于正三棱锥的侧面是等腰三角形，所以利用等腰三角形的性质可求出侧面面积，底面是正三角形，利用面积公式可求出面积，从而可求出表面积【详解】解：（1）证明：因为G 、H 分别为PB 、PC 的中点，所以//GH BC ，又GH ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以//GH 平面AB C.（2）设BC 中点为D ，连接PD ，因为三棱锥P -ABC 是正三棱锥，所以PBC 是等腰三角形，所以PD BC ⊥，在Rt PBD △中又 132BD BC ==，PB =5 ，PD 4=，所以正三棱锥侧面积为13(64)362⨯⨯⨯=，底面积为166sin 23π⨯⨯⨯=所以正三棱锥P -ABC 的表面积为36+10.（2020·佛山市第四中学高二月考）如图在正方体 1111ABCD A B C D -中，M N P Q ，，，分别是11111111A D A B C D B C ，，，的中点，求证（1）MN ∥平面PQBD ；（2）平面AMN ∥平面PQBD .【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】（1）证得//MN PQ ，进而由线面平行的判定定理可证得结果；（2）由（1）可知，只需证明//AM 平面PQBD ，进而由面面平行的判定定理可证得结果.【详解】（1）连接11D B ，依题意知11//MN D B ，11//PQ D B ，所以//MN PQ ，又MN ⊄平面PQBD ，PQ ⊂平面PQBD ，所以//MN 平面PQBD .（2）连接MQ ，依题意可知//MQ AB ，且=MQ AB ，所以四边形MABQ 是平行四边形，则//AM BQ ， 又AM ⊄平面PQBD ，BQ ⊂平面PQBD ，所以//AM 平面PQBD .由（1）知//MN 平面PQBD ，且AM MN M ⋂=，故平面//AMN 平面PQBD .1.（2020·全国月考）设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，已知m α⊂，n ⊂α，则“//m β，βn//”是“//αβ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：已知m α⊂，n ⊂α，由于//m β，βn//，若//m n ，则α与β不一定平行，充分性不成立； 必要性：已知m α⊂，n ⊂α，若//αβ，由面面平行的性质可得//m β，βn//，必要性成立. 因此，“//m β，βn//”是“//αβ”的必要不充分条件.故选：B.2．（2021·山东高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为1DD ，1AA ，AB 的中点，P 为底面ABCD 上一动点，且直线1//D P 平面EFG ，则1D P 与平面ABCD 所成角的正切值的取值范围为（ ） A ．⎣⎦ B ．⎤⎥⎣⎦C ．⎡⎣D ．⎣⎦ 练提升【答案】B【解析】由题意知面EFG 在正方体1111ABCD A B C D -上的截面为EFGH 且H 为DC 中点，根据正方体、线面平行的性质，有P 在BC 上，即1D P 与平面ABCD 所成角为1DPD ∠，进而可求其正切值的范围.【详解】由题意，如上图示，面EFG 在正方体1111ABCD A B C D -上的截面为EFGH 且H 为DC 中点，∵1//D P 平面EFG ，而面11//A BCD 面EFG ，∴1D P ⊂面11A BCD ，又P 为底面ABCD 上一动点，则P 在BC 上，∴1D P 与平面ABCD 所成角为1DPD ∠，当P 与B 重合时，1DPD ∠最小，此时11tan DD DBD BD ∠== 当P 与C 重合时，1DPD ∠最大，此时11tan 1DD DCD CD ∠==；∴1tan DPD ∠∈. 故选：B3．（2021·江苏南京一中高一月考）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ､F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点E ､F 使得//AE BFB ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积不为定值【答案】B【解析】利用异面直线的定义可判断A ；根据线面平行判定定理可判断B ；根据三角形的高不相等可判断C ；直接计算体积可判断D.【详解】线段11B D 上不存在点E ､F 使得//AE BF ，因为A 在平面11BDD B 平面外，E 在平面内，所以AE ，BF 是异面直线，所以A 不正确；连接BD ，几何体是正方体，所以//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，所以B 正确.B 到11B D 的距离为11BB =，A 到11B D 的距离大于上下底面中心的连线，则A 到11B D 的距离大于1，∴AEF 的面积大于BEF 的面积，故C 错误；A 到平面11BDDB BEF 的面积为定值， ∴三棱锥A BEF -的体积为定值，故D 不正确.故选：B.4．（2021·江西省分宜中学高二月考（理））点,M N 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中棱1,BC CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B (包括边界)内运动.若1//PA 面AMN ，则1PA 的长度范围是（ ）A ．B ．2⎡⎢⎣C ．⎤⎥⎣⎦D ．[2,3]【答案】B【解析】 如图，分别取111,BB B C 的中点,E F ，连接11,,EF A E A F ，则可证得平面1A EF ‖平面AMN ，从而可得点P 在EF 上，从而可求出1PA 的长度范围【详解】解：如图，分别取111,BB B C 的中点,E F ，连接11,,EF A E A F ，1,FM BC ，则EF ‖1BC ，因为,M N 是1,BC CC 的中点，所以MN ‖1BC ，所以EF ‖MN ，因为EF ⊄平面AMN ，MN ⊂平面AMN ，所以EF ‖平面AMN ，因为F 是11B C 的中点，M 是BC 的中点，所以FM ‖1BB ，1FM BB =，因为1AA ‖1BB ，11AA BB =，所以FM ‖1AA ，1FM AA =，所以四边形1FMAA 为平行四边形，所以1A F ‖AM ，，因为1⊄A F 平面AMN ，MA ⊂平面AMN ，所以1A F ‖平面AMN ，因为1A F EF F ⋂=，所以平面1A EF ‖平面AMN ，因为平面1A EF 平面AMN EF =，所以点P 在EF 上运动，使1//PA 面AMN ，因为1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以11A E A F EF =所以当点P 与E 或F 重合时，1PA 最长，当点P 在EF 的中点时，1PA 最短，1PA =，所以1PA 的长度范围是2⎡⎢⎣， 故选：B5．【多选题】（2021·江苏省镇江中学高一月考）下列四个正方体图形中，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】对于A 通过线面平行判定定理即可判断；对于B 找到AB 与平面MNP 内某一直线相交即可；对于C 找到AB 平行线与平面MNP 内某一直线相交即可；对于D 通过线面平行判定定理即可判断.【详解】对于A ，如下图所示，根据正方体性质易证得//AB FN ,又因为MN ⊂平面MNP ，AB ⊄平面MNP ,所以//AB 平面MNP .故A 正确；对于B ，如下图所示，在平面ABMN 内，AB 与MN 相交，又因为MN ⊂平面MNP ，AB ⊄平面MNP ,所以AB 与平面MNP 相交，故B 错误；对于C ，如下图所示，易证//QM AB ,由于QM 与平面MNP 相交，则AB 与面MNP 相交.故C 错误；对于D ，如下图所示，由正方体性质易证得//AB CD ，由中位线定理知//MP CD ，所以//AB MP ,又因为MP ⊂平面MNP ，AB ⊄平面MNP ,所以//AB 平面MNP .故D 正确.故选:AD6．（2021·珠海市第二中学高一期中）已知正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为2，1O 是11A C 中点．（1）求证：平面11//AO D 平面1DBC ；（2）设1BB 的中点为M ，过A ､M ､1C 作一截面，交1DD 于点N ，求截面1AMC N 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接AC ，BD ，若AC BD O =，连接1OC ，由平行四边形的性质及线面平行的判定易得1//AO 平面1DBC 、1//AD 平面1DBC ，根据面面平行的判定即可证平面11//AO D 平面1DBC ；（2）连接AM ，1C M ，设平面1AMC 与平面11AA D D 交于AN ，根据面面平行的性质可得四边形1AMC N 为平行四边形，结合正方体的性质易知四边形1AMC N 为菱形，再求出对角线MN 、1AC ，即可求截面的面积.【详解】（1）如图，连接AC ，BD ，若AC BD O =，连接1OC ，由11//AA CC ，11AA CC =，可得四边形11AAC C 为平行四边形，∴11//AC A C ，又11C O AO =，∴四边形11AOC O 为平行四边形，即11//AO C O ，而1AO ⊄平面1DBC ，1C O ⊂平面1DBC ， 1//AO ∴平面1DBC ，同理，11ABC D 是平行四边形，即11//AD BC ，而1AD ⊄平面1DBC ，1BC ⊂平面1DBC ，∴1//AD 平面1DBC ，而11AO AD A ⋂=，∴平面11//AO D 平面1DBC .（2）连接AM ，1C M ，平面1AMC 与平面11AA D D 交于AN ，由平面11//AA D D 平面11BB C C ，且平面1AMC 平面111BB C C C M =，平面1AMC 平面11AA D D AN =， 1//C M AN ∴，同理有1//AM C N ，即四边形1AMC N 为平行四边形，在Rt ABM 与11Rt C B M 中，易知1AM C M =，即四边形1AMC N 为菱形，故N 为1DD 的中点． ∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN ∴1AC =∴截面面积12S =⨯=7．（2021·福建高一期末）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为11A D ，11A B ，1BB ，11B C 的中点，点P 为线段1CC 上的动点，且1(01)CP CC λλ=≤≤.（1）是否存在λ使得//HP 平面EFG ，若存在，求出λ的值并给出证明过程；若不存在，请说明理由； （2）画出平面EFG 截该正方体所得的截面，并求出此截面的面积.【答案】（1）存在，1=2λ，证明见解析；（2）画图见解析； 【解析】（1）取11C D 中点K ，由面面平行的判定定理即可证明平面//HPK 平面EFG ，即可得到//HP 平面EFG 时λ的值.（2）画出截面，根据正六边形的性质即可求出截面的面积.【详解】解：（1）当1=2λ时，//HP 平面EFG . 取11C D 中点K ，连接HK ，PK ，11B D ，则//HK 11B D ，//EF 11B D ，如图所示：故//HK EF ，又HK ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，//HK ∴平面EFG ，同理，//PK 平面EFG ，又HK =PK K ，HK PK ⊂，平面HPK ，故平面//HPK 平面EFG ，HP ⊂平面HPK ，//HP ∴平面EFG ；（2）平面EFG 截正方体1111ABCD A B C D -的截面为正六边形EFGRSRT ，如图所示：又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，故正六边形EFGRSRT∴截面面积为：26=8．（2021·山东高一期末）如图，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，2AB BF DE ==，M 是线段EF 上一点，且2MF ME =．（1）证明：三棱锥M ACF -是正三棱锥；（2）试问在线段DF （不含端点）上是否存在一点N ，使得//CN 平面ABF ．若存在，请指出点N 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）根据正三棱锥的定义即可证明；（2）利用反证法，由//CD 平面ABF ，假设存在这样的点N ，使得//CN 平面ABF ，推出平面CDF //平面ABF ，与平面CDF 和平面ABF 是相交平面矛盾，即可求解.【详解】解：（1）证明：设22AB BF DE a ===，则AF FC AC ===∴AFC △是正三角形，如图所示：连接FO ，EO ，OD OB ==，∴OE =，OF =，3EF a =，在OEF 中，由222OE OF EF +=知：OE OF ⊥．又DE ⊥平面ABCD ，DE AC ∴⊥，∵AC BD ⊥，BD DE D ⋂=，∴AC ⊥平面DOE ，∴AC OE ⊥．又,AC OF ⊂平面ACF ，AC OF O ⋂=，∴OE ⊥平面ACF ，在线段OF 上取点G ，使得:1:2OG GF =，则点G 是AFC △的重心，也就是AFC △的中心，连接MG ，则MG//OE ，∴MG ⊥平面ACF ，∴三棱锥M ACF -是正三棱锥；（2）∵平面CDF 与平面ABF 有公共点F ，故平面CDF 与平面ABF 是相交平面，∵//CD AB ，CD ⊂/平面ABF ，AB平面ABF ，∴//CD 平面ABF ，假设存在这样的点N ，使得//CN 平面ABF ，∵点N 与点D 不重合，∴CD 与CN 是相交直线，又//CD 平面ABF ，//CN 平面ABF ，且CD ⊂平面CDF ，CN ⊂平面CDF ， ∴平面CDF //平面ABF ，这与平面CDF 和平面ABF 是相交平面矛盾，∴不存在一点N ，使得//CN 平面ABF ．9．（2019·河南高三月考（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，AB AD =，PA PD ⊥，AD CD ⊥，60BAD ∠=，M ，N 分别为AD ，PA 的中点．（Ⅰ）证明：平面BMN 平面PCD ；（Ⅱ）若6AD =，求三棱锥P BMN -的体积．【答案】（Ⅰ）证明见解析；【解析】（Ⅰ）连接BD ，∴AB AD =，60BAD ∠=，∴ABD ∆为正三角形. ∵M 为AD 的中点，∴BM AD ⊥.∵AD CD ⊥，,CD BM ⊂平面ABCD ，∴BM CD .又BM ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴BM ∥平面PCD . ∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴MN PD .又MN ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴MN ∥平面PCD . 又,BM MN ⊂平面BMN ，BMMN M =，∴平面BMN 平面PCD .（Ⅱ）在（Ⅰ）中已证BM AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，BM ⊂平面ABCD ，∴BM ⊥平面PAD .又6AD =，60BAD ∠=，∴BM =在PAD ∆中，∵PA PD =，PA PD ⊥，∴2PA PD AD ===∵M ，N 分别为AD ，PA 的中点，∴PMN ∆的面积(211194424PMN PAD S S ∆∆==⨯⨯=，∴三棱锥P BMN -的体积13P BMN B PMN PMN V V S BM --∆==⋅1934=⨯⨯=.10．（2021·陕西高二期末（文））如图，正三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别为1CC 、11A B 的中点．（1）证明：1//C E 平面1ADB ；（2）若2AB =，1AA =1A 到平面1ADB 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）本题可连接1A B 与1AB 交于点O ，连接OD 、OE ，然后根据三角形的中位线法则得出1//OE BB ，112OE BB =，根据D 是1CC 中点得出11//DC BB ，1112DC BB =，即可得出1//OD EC ，最后通过线面平行的判定即可得出结果； （2）本题可作11A HAB ，通过线面垂直以及面面垂直的判定得出平面1ADB ⊥平面11A B BA ，然后根据面面垂直的性质得出1A H ⊥平面1ADB ，则1A H 长即点1A 到平面1ADB 的距离，最后通过等面积法即可得出结果. 【详解】（1）如图，连接1A B 与1AB 交于点O ，连接OD 、OE ，因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱， 所以四边形11ABB A 是矩形，O 是1A B 中点， 因为E 是11A B 的中点，所以1//OE BB ，112OE BB =， 因为D 是1CC 中点，所以11//DC BB ，1112DC BB =， 故1//DC OE ，1DC OE ，四边形1OEC D 是平行四边形，1//OD EC ，因为OD ⊂平面1ADB ，1C E ⊄平面1ADB ，所以1//C E 平面1ADB . （2）如图，作11A HAB ，因为三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，所以底面三角形是等边三角形，侧棱垂直于底面，易知111A B C E ⊥，11AA C E ，因为1111A B AA A ⋂=，所以1C E ⊥平面11A B BA ， 因为1//OD EC ，所以OD ⊥平面11A B BA ，因为OD ⊂平面1ADB ，所以平面1ADB ⊥平面11A B BA ， 因为平面1ADB 平面111A B BAAB ，11A HAB ，1A H ⊂平面11A B BA ，所以1A H ⊥平面1ADB ，1A H 长即点1A 到平面1ADB 的距离，2AB =，1AA =112A B =，1AB =根据等面积法易知，11111AA A B A HAB ，解得1263A H，故点1A 到平面1ADB .1．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体，M ，N 分别是，的中点，则（ ）A ．直线与直线垂直，直线平面B ．直线与直线平行，直线平面C ．直线与直线相交，直线平面D ．直线与直线异面，直线平面 【答案】A 【解析】由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.1111ABCD A B C D -1A D 1D B 1A D 1D B //MN ABCD 1A D 1D B MN ⊥11BDD B 1A D 1D B //MN ABCD 1A D 1D B MN ⊥11BDD B 1//,MN AB A D ⊥1ABD 练真题【详解】连，在正方体中， M 是的中点，所以为中点， 又N 是的中点，所以，平面平面，所以平面.因为不垂直，所以不垂直则不垂直平面，所以选项B,D 不正确； 在正方体中，，平面，所以， ，所以平面， 平面，所以，且直线是异面直线， 所以选项C 错误，选项A 正确. 故选：A.2.（2018·浙江高考真题）已知直线,m n 和平面α，n ⊂α，则“//m n ”是“//m α”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】1AD 1111ABCD A B C D -1A D M 1AD 1D B //MN AB MN ⊄,ABCD AB ⊂ABCD //MN ABCD AB BD MN BD MN 11BDD B 1111ABCD A B C D -11AD A D ⊥AB ⊥11AA D D 1AB A D ⊥1AD AB A ⋂=1A D ⊥1ABD 1D B ⊂1ABD 11A D D B ⊥11,A D D B从充分性和必要性两方面分别分析判断得解. 【详解】直线,m n 和平面α，n ⊂α，若//m n ，当m α⊂时，//m α显然不成立，故充分性不成立；当//m α时，如图所示，显然//m n 不成立，故必要性也不成立．所以“//m n ”是“//m α”的既不充分又不必要条件. 故选：D3.（北京高考真题（理））设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．4.（2017·全国高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 不平行与平面MNQ 的是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于选项A，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知A不满足题意；对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于直线AB不平行与平面MNQ，满足题意.故答案为：D5．（2019·全国高考真题（文））如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．【答案】（1）见解析；（2.【解析】（1）连接ME，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C =//ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE //MN ∴平面1C DE（2）在菱形ABCD 中，E 为BC 中点，所以DE BC ⊥，根据题意有DE =1C E =，因为棱柱为直棱柱，所以有DE ⊥平面11BCC B ，所以1DE EC ⊥，所以112DEC S ∆=设点C 到平面1C DE 的距离为d ，根据题意有11C CDE C C DE V V --=，则有1111143232d ⨯=⨯⨯，解得17d ==，所以点C 到平面1C DE 的距离为17. 6.（2017·全国高考真题（文））四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,01,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= （1）证明：直线//BC 平面PAD ;（2）若△PCD 面积为，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（1）在平面内，因为,所以又平面平面故平面（2）取的中点，连接由及得四边形为正方形，则.因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以底面因为底面，所以,设，则，取的中点，连接，则,所以，因为的面积为，所以，解得（舍去），于是所以四棱锥的体积。
直线与平面平行测试题1
直线、平面平行的判定及其性质 测试题（有详解）A一、选择题1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是A ．0B ．1C ．2D ．33． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交5．下列命题中，假命题的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．16．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ）A ．()12MN AC BC ≥+B ．()12MN AC BC ≤+ C ．()12MN AC BC =+ D ．()12MN AC BC <+ 二、填空题7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ．三、解答题侧棱长是10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，D C A B B 1A 1C 13，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .B一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α内有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β2．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是（ ）A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α3．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（ ）A ．a α⊄，则//a αB ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂4．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）A.异面B.相交C.平行D.不能确定5.下列四个命题中，正确的是（ ）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④6．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在二、填空题7．a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：.⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;;其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）8．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =34，则CS =_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BD D 1．三、解答题10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E 在棱PC上． 问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.11.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NPDN ，求证：直线MN ∥平面PBC .C1.平面内两正方形ABCD 与ABEF ，点M ，N 分别在对角线AC ,FB 上，且AM:MC=FN:NB ，沿AB 折起，使得∠DAF =900(1)证明：折叠后MN//平面CBE ；（2）若AM:MC =2：3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN //平面CBE ?若存在，试确定点G 的位置.2.设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且A ，C ∈α，B ，D ∈β，求证：MN ∥平面α.AB C DE MNαβ参考答案AE PD C B A一、选择题1．D【提示】当l =⋂βα时，α内有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A ，B ，C 均是错误的2．C【提示】棱AC ，BD 与平面EFG 平行，共2条.3．C【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.4．B【提示】若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则直线m 于平面α相交，α内不存在与m 平行的直线.5．B【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上.6. D【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边.二、填空题7．平面ABC ，平面ABD【提示】连接AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .8. ①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB 找一个平面与平面MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP.9．平行【提示】连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 1，OEC 平面ACE ，∴B D 1∥平面ACE.三、解答题10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，D 为AC 中点，∴PD//C B 1.又 PD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D11.证明：（1） M 、N 分别是CD 、CB 的中点，∴MN//BD又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形.所以BD//B 1D 1.又MN//BD ，从而MN//B 1D 1（2）（法1）连A 1C 1，A 1C 1交B 1D 1与O 点四边形A 1B 1C 1D 1为平行四边形，则O 点是A 1C 1的中点E 是AA 1的中点，∴EO 是∆AA 1C 1的中位线，EO//AC 1.AC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//面EB 1D 1 （法2）作BB 1中点为H 点，连接AH 、C 1H ，E 、H 点为AA 1、BB 1中点，所以EH //C 1D 1，则四边形EHC 1D 1是平行四边形，所以ED 1//HC 1又因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AHAH ⋂HC 1=H ，∴面AHC 1//面EB 1D 1.而AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//面EB 1D 1（3）因为EA //B 1H ，则四边形EAHB 1是平行四边形，所以EB 1//AH因为AD //HG ，则四边形ADGH 是平行四边形，所以DG//AH ，所以EB 1//DG又 BB 1//DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. 所以BD//B 1D 1.BD ⋂DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDGB一、选择题1．D【提示】A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；B 错，若A ，B ，C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；D 正确.2．C【提示】若直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a ∥α 或a α3．D【提示】根据面面平行的性质定理可推证之.4．C【提示】设α∩β=l ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b ，β∩γ=c ，则a ∥b 且a ∥c ，∴b ∥c .又b ⊂α，α∩β=l ，∴b ∥l .∴a ∥l .5．A【提示】6． D【提示】过点A 可作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′∩b ′=A ，∴a ′，b ′可确定一个平面，记为α.如果a ⊄α，b ⊄α，则a ∥α，b ∥α.由于平面α可能过直线a 、b 之一，因此，过A 且平行于a 、b 的平面可能不存在.二、填空题7.①④⑤⑥8.68或368 【提示】如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SC SC 34-，∴SC =68.S S A A B B C C α α ββ(1)(2)D D如图（2），由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368. 9．M ∈HF【提示】易证平面NHF ∥平面BD D 1 B 1，M 为两平面的公共点，应在交线HF 上.三、解答题 10．解：当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．证明：连接AC ，且AC BD O =，由于四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线， ∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面，∴//PA EBD 平面.11．证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连接RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MB AM =MB MB AB -=MBMB DC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC . 证法二：过N 作NQ ∥AD 交P A 于点Q ，连接QM ，∵MB AM =NPDN =QP AQ ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .C1.（1）证明：设直线AN 与BE 交与点H ，连接CH ，ANF ∆ ∽HNB ∆,∴NHAN NB FN =. 又NB FN MC AM =,则NH AN =MCAM ，∴MN//CH. 又CBE CBE MN 平面，平面⊂⊄CH ,∴MN//平面CBE.(2)解：存在，过M 作MG ⊥AB,垂足为G ，则MG//BC, ∴MG//平面CBE,又MN//平面CBE ，M MN MG =⋂,平面MGN//平面CBE.即G 在AB 线上，且AG:GB=AM:MC=2：32.证明：连接BC ，AD ，取BC 的中点E ，连接ME 、NE ，则ME 是△BAC 的中位线，故ME ∥AC. ME ⊄α，∴ME ∥α.O F A B CD PE同理可证，NE∥BD.又α∥β，设CB与DC确定的平面BCD与平面α交于直线CF，则CF∥BD，∴NE∥CF. 而NE⊄平面α，CF⊂α，∴NE∥α.又ME∩NE=E，∴平面MNE∥α，而MN⊂平面MNE，∴MN∥平面α.。
(完整版)高中数学必修二2.2直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案
2.2. 直线、平面平行的判断及其性质直线与平面平行的判断知识梳理1、直线与平面平行的判判定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：aαbβ=> a∥ αa∥ b知能训练一．选择题1．已知 m，n 是两条不同样直线，α，β，γ是三个不同样平面，以下命题中正确的选项是（）A ．若 m∥ α， n ∥ α，则 m∥ n B ．若α⊥ γ，β⊥ γ，则α∥ βC．若 m ∥ α， m ∥ β，则α∥ β D ．若 m ⊥ α， n⊥ α，则 m ∥ n 2．若直线l 不平行于平面α，且l?α，则（）A ．α内存在直线与 l 异面B ．α内存在与 l 平行的直线C．α内存在唯一的直线与 l 平行D ．α内的直线与 l 都相交3．如图， M 是正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1的棱 DD 1的中点，给出以下命题①过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都订交；②过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都垂直；③过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都订交；④过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都平行．其中真命题是（）A ．② ③ ④B ．① ③ ④C ．① ② ④D ．① ② ③4．正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1中 M ，N ，Q 分别是棱 D 1C1， A 1D 1，BC 的中点． P在对角线 BD 1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面 APC；（2）C1 Q∥面 APC；（3）A ，P， M 三点共线；（4）面 MNQ ∥面 APC．正确的序号为（）A ．（ 1 ）（ 2 ）B ．（ 1 ）（ 4 ）C．（ 2）（ 3 ） D ．（ 3 ）（ 4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1的各个极点与各棱中点共20 个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（）A ． 12 条B ． 18 条C ． 21 条D ． 24 条6．直线 a∥平面α，P∈ α，那么过 P 且平行于 a 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．若是直线a∥平面α，那么直线 a 与平面α内的（）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（）A ．DD 1B ．A 1 D 1C ．C 1D 1 D ．A 1 D9．如图，在三棱柱 ABC-A 1B1C1中，点 D 为 AC 的中点，点 D1是 A 1C1上的一点，若 BC 1∥平面 AB 1D 1，则等于（）A ． 1/2B ． 1C． 2 D ． 310．下面四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个极点，M、N 、 P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面 MNP 的图形是（）A ．①②B ．①④C．②③ D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段 B′ D上′有两个动点 E ，F，EF= ，则以下结论中错误的选项是（）A ． AC ⊥ BEB ． EF ∥平面 ABCDC．三棱锥 A-BEF的体积为定值D ．异面直线 AE ， BF 所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，E，F，G，H，M分别是棱AD ，DD 1，D1A 1，A 1A ，AB的中点，点 N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N 只需满足条件时，就有MN ⊥ A1C1；当N 只需满足条件时，就有MN ∥平面 B 1D 1C．13．如图，正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，AB=2，点E 为 AD的中点，点 F 在 CD上，若EF ∥平面AB 1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1 C1中，侧棱 AA 1⊥底面 ABC ，AB ⊥ BC，D 为 AC的中点， AA 1=AB=2 ．（1）求证： AB 1∥平面 BC1D ；（2）若 BC=3 ，求三棱锥 D-BC 1C 的体积．平面与平面平行的判断知识梳理1、两个平面平行的判判定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
直线、平面平行的判定及其性质(含解析)新人教A版
直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1．若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 D2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )A．一定平行 B．不平行C．平行或相交 D．平行或在平面内解析直线在平面内的情况不能遗漏，所以正确选项为D.答案 D3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案 D4．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()．A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，综上选B.答案 B5．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析如图所示，由于α2∥α3，同时被第三个平面P1P3N所截，故有P2M∥P3N.再根据平行线截线段成比例易知选C.答案 C6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()．A．①③B．②③C．①④D．②④解析对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②、③都不可以，故选C.答案 C二、填空题7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．答案 68．α、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．解析 ①中，a ∥γ，a ⊂β，b ⊂β，β∩γ＝b ⇒a ∥b (线面平行的性质)．③中，b ∥β，b ⊂γ，a ⊂γ，β∩γ＝a ⇒a ∥b (线面平行的性质)．答案 ①③9．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线；②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相平行，m 、n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β；④若m 、n 在平面α内的射影互相平行，则m 、n 互相平行．解析 ①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m 、n 也可能异面，故为假命题．答案 ②10．对于平面α与平面β，有下列条件：①α、β都垂直于平面γ；②α、β都平行于平面γ；③α内不共线的三点到β的距离相等；④l ，m 为两条平行直线，且l ∥α，m ∥β；⑤l ，m 是异面直线，且l ∥α，m ∥α；l ∥β，m ∥β，则可判定平面α与平面β平行的条件是________(填正确结论的序号)．解析 由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定α∥β.答案 ②⑤三、解答题11． 如图，在四面体A －BCD 中，F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，G 为DE 的中点．证明：直线HG ∥平面CEF .证明 法一 如图，连接BH ，BH 与CF 交于K ，连接EK .∵F 、H 分别是AB 、AC 的中点，∴K 是△ABC 的重心，∴BK BH ＝23. 又据题设条件知，BE BG ＝23， ∴BK BH ＝BE BG，∴EK ∥GH . ∵EK ⊂平面CEF ，GH ⊄平面CEF ，∴直线HG ∥平面CEF .法二 如图，取CD 的中点N ，连接GN 、HN .∵G 为DE 的中点，∴GN ∥CE .∵CE ⊂平面CEF ，GN ⊄平面CEF ，∴GN ∥平面CEF .连接FH ，EN∵F 、E 、H 分别是棱AB 、BD 、AC 的中点，∴FH 綉12BC ，EN 綉12BC ，∴FH 綉EN ，∴四边形FHNE 为平行四边形，∴HN ∥EF .∵EF ⊂平面CEF ，HN ⊄平面CEF ，∴HN ∥平面CEF .HN ∩GN ＝N ，∴平面GHN ∥平面CEF .∵GH ⊂平面GHN ，∴直线HG ∥平面CEF .12． 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F .证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2，∴BG 綉A 1E ，∴A 1G 綉BE .又同理，C 1F 綉B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形，∴FG 綉C 1B 1綉D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形．∴A 1G 綉D 1F ，∴D 1F 綉EB ，故E 、B 、F 、D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB .又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .13．一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ；(2)求多面体A －CDEF 的体积．解 由三视图可知：AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∠CBF ＝π2.(1)证明：取BF 的中点G ，连接MG 、NG ，由M 、N 分别为AF 、BC 的中点可得，NG ∥CF ，MG ∥EF ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，又MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面CDEF .(2)取DE 的中点H .∵AD ＝AE ，∴AH ⊥DE ，在直三棱柱ADE －BCF 中，平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE ∩平面CDEF ＝DE .∴AH ⊥平面CDEF .∴多面体A －CDEF 是以AH 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥，在△ADE 中，AH ＝ 2.S 矩形CDEF ＝DE ·EF ＝42，∴棱锥A －CDEF 的体积为V ＝13·S 矩形CDEF ·AH ＝13×42×2＝83. 14．如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .(1)求证：AE ⊥BE ；(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .(1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，则AE ⊥BC .又∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BF ，又BC ∩BF ＝B ，∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .(2)解 在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE . ∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，∴MG ∥平面ADE .同理，GN ∥平面ADE .又∵GN ∩MG ＝G ，∴平面MGN ∥平面ADE .又MN ⊂平面MGN ，∴MN ∥平面ADE .∴N 点为线段CE 上靠近C 点的一个三等分点.。
高中数学必修二：直线与平面平行的判定与性质检测题(解析版)
直线与平面平行的判定与性质1.下列说法正确的是( )A.直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB.若直线a⊄α，则a∥αC.若直线a∥b,b⊂α,则a∥αD.若直线a∥b,b⊂α,直线a就平行于平面α内的无数条直线解析：∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，从而排除A.∵直线a在平面α外，包括两种情况a∥α和a与α相交.∴a与α不一定平行，从而排除B.∵直线a∥b,b⊂α,则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，从面排除C.∵a∥b,b⊂α,那么∴a⊂α或a∥α.∴a与平面α内的无数条直线平行.答案：D2.在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )A.平行B.相交C.在内D.不能确定解析：在平面ABC内.∵AE：EB=CF：FB=1：3，∴AC∥EF.可以证明AC⊄平面DEF.若AC⊂平面DEF，则AD⊂平面DEF，BC⊂平面DEF.由此可知ABCD为平面图形，这与ABCD是空间四边形矛盾，故AC⊄平面DEF.∵AC∥EF，EF⊂平面DEF.∴AC∥平面DEF.答案：A3.已知直线a与直线b垂直，a平行于平面α，则b与α的位置关系是( )A.b∥αB.b⊂αC.b与α相交D.以上都有可能答案：D4.已知直线a、b、c及平面α，它们具备下列哪组条件时，有b∥c成立( )A.b∥a且c∥αB.b⊥α，且c⊥αC.b、c和α所成的角相等D.b∥α且c∥α答案：B5.a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是( )A.过A有且只有一个平面平行于a,bB.过A至少有一个平面平行于a,bC.过A 有无数个平面平行于a,bD.过A 且平行a,b 的平面可能不存在解析：如当A 与a 确定的平面与b 平行时，过A 作与a,b 都平行的平面不存在.答案：D6.已知m 、n 表示两条直线，α、β、γ表示平面，下列命题中正确的个数是( )①若α∩γ=m,β∩γ=n,且m ∥n,则α∥β；②若m 、n 相交且都在α、β外，m ∥α,m ∥β,n ∥α,n ∥β,则α∥β;③若m ∥α,m ∥β,则α∥β;④若m ∥α,n ∥β,且m ∥n,则α∥β.A.1B.2C.3D.4解析：①仅满足m ⊂α,n ⊂β,m ∥n,不能得出α∥β,此命题不正确；②设m 、n 确定平面为γ，则有α∥γ,β∥γ,从而α∥β，此命题正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确.答案：A7.已知平面α∥β,P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D ，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD 的长为( )A.16B.24或524 C.14 D.20 解析：由α∥β得AB ∥CD.若P 在α、β的外侧，则有PD PB PC PA =，∴PB=516，BD=524；若P 在α、β之间，则有PDPB PC PA =，∴PB=16，BD=24.答案：B8.如果两直线a∥b，且a∥平面α,则b与α的位置关系( )A.相交B.b∥αC.b⊂αD.b∥α或b⊂α解析：由a∥b,且a∥α知b与α平行或b在α内.答案：D9.在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 上的点，当BD平行于平面EFGH时，下面结论正确的是( )A.E、F、G、H一定是各边的中点B.G、H一定是CD、DA的中点C.BE∶EA=BF∶FC，且DH∶HA=DG∶GCD.AE∶EB=AH∶HD，且BF∶FC=DG∶GC答案：D10.设直线l、m，平面α、β，下列条件能得出α∥β的是( )A.l⊂α,m⊂α,且l∥β,m∥βB.l⊂α,m⊂β，且l∥mC.l⊥α,m⊥β,且l∥mD.l∥α,m∥β,且l∥m解析：由两个平面平行的判定定理知A、B、D不正确，对于C，由l∥m,m⊥β,∴l⊥β,∵l⊥а∴α∥β,故选C.答案：C11.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、a,过P、M、N的平面与棱CD B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=3交于Q，则PQ=_________.解析：由线面平行的性质定理知MN ∥PQ(∵MN ∥平面AC ，PQ=平面PMN∩平面AC ，∴MN ∥PQ).易知DP=DQ=32a .故322322a a PQ =∙=. 答案：322a 12.过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的三顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 所在平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是__________. 解析：因过A 1、C 1、B 的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为A 1C 1，又正方体的两底面互相平行，则由两个平面平行的性质定理知l ∥A 1C 1. 答案：平行13.如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是__________.答案：共线或在与已知平面垂直的平面内14.如果直线l 与平面α内的两条平行直线都垂直，则l 与平面α的位置关系是__________.答案：平行或垂直相交或斜交或在平面α内15.若直线a 和b 都与平面α平行，则a 和b 的位置关系是__________. 答案：相交或平行或异面16.如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、P 、Q 分别是BC 、C 1D 1、AD 1、BD 的中点.(1)求证：PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)求PQ 的长.(3)求证：EF ∥平面BB 1D 1D.证明：(1)连结AC 、CD 1.∵P 、Q 分别为AD 1、AC 中点，∴PQ ∥CD 1.又CD 1⊂平面DCC 1D 1，∴PQ ∥平面DCC 1D 1.(2)解：由(1)中证明易知PQ=21D 1C=22a. (3)证明：取B 1D 1的中点O 1，连结BO 1、FO 1，则有FO 121B 1C 1,BE FO 1. ∴四边形BEFO 1是平行四边形.∴EF ∥BO 1.又EF ⊄平面BB 1D 1D ，BO 1⊂平面BB 1D 1D ，∴EF ∥平面BB 1D 1D.17.如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若PA=9，AB=12，BQ=12，△ACF 的面积为72，求△BDE 的面积.解析：平面QAF∩α=AF ，平面QAF∩β=BE ，又∵α∥β,∴AF ∥BE.同理可证：AC ∥BD ，∴∠FAC 与∠EBD 相等或互补，即sin ∠FAC=sin ∠EBD.由FA ∥BE ，得BE ：AF ：AF=QB ：QA=12：24=1：2，∴BE=21AF.由BD ∥AC ，得：AC ：BD=PA ：PB=9：21=3：7，∴BD=37AC.又∵△ACF 的面积为72，即1[]2AF·AC·sin ∠FAC=72.∴S △DBE =21BE·BD·sin ∠EBD =21·21AF·37AC·sin ∠FAC =2167 AF·AC·sin ∠FAC=67×72=84. ∴△BDE 的面积为84.18.已知a 、b 是异面直线，平面M 过a 且平行于b ，平面N 过b 且平行于a ，求证：平面M ∥平面N.解析：欲证面面平行，需证线面平行，即在一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.证明：过a作平面使它交平面N于a′，∵a∥N，∴a∥a′.又a⊂平面M，a′⊄M，∴a′∥平面M.∵a和b是异面直线，∴a′和b相交，由a′∥平面M，b∥平面M，得平面M∥平面N. 19.如图是一块长方体形状的工件，现在要过BC和上表面内的一点P 将工件切开，应怎样画线?所画的线与工件的下底面是什么位置关系?解析：经过工件上表面内的点P和BC将工件切开，实际上是过BC 和点P作截面，所画的线就是切面与长方体工件表面的交线.解析：在面A1B1C1D1内过点P作直线EF∥B1C1交A1B1和C1D1分别于点E、F.连结BE、CF，则沿折线BCEF切开即可.所画的直线EF 与下底面平行，BE和CF都和下底面相交.20.如图，已知A1B1C1—ABC是正三棱柱，D是AC的中点.证明：AB1∥平面DBC1.证明：∵A1B1C1—ABC是正三棱柱，∴四边形B 1BCC 1是矩形.连结B 1C 交BC 1于E ，则E 是B 1C 的中点.连结DE.在△AB 1C 中，又D 为AC 中点，∴DE ∥AB 1又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1.21.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点，求证：(1)E 、F 、B 、D 四点共面；(2)平面AMN ∥平面EFBD.证明：(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，由正方体性质知B 1D 1∥BD.∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点，∴EF21B 1D 1. ∴EF 21BD. ∴E 、F 、B 、D 四点共面.(2)连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、QO.∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点，∴MN ∥EF.而EF ⊂面EFBD.∴MN ∥面EFBD.∵PQ AO,∴四边形PAOQ 为平行四边形.∴PA ∥QO.而QO ⊂平面EFBD ，∴PA ∥平面EFBD ，且PA∩MN=P ，PA 、MN ⊂面AMN.∴平面AMN ∥平面EFBD.22.用平行于四面体ABCD 的一组对棱AB 、CD 的平面截此四面体，如图(1)求证：所得截面MNPQ 是平行四边形；(2)如果AB=CD=a.求证：四边形MNPQ 的周长为定值；解析：(1)∵AB ∥平面MNPQ.平面ABC∩平面MNPQ=MN.且AB ⊂平面ABC.∴由线面平行的性质定理知，AB ∥MN.同理可得PQ ∥AB.∴由平行公理可知MN ∥PQ.同理可得MQ ∥NP.∴截面四边形MNPQ 为平行四边形.(2)∵由(1)可知MN ∥AB.∴λ==AC MC AB MN . ∵MN=λAB=λa,MC=λAC.又∵MG ∥CD,∴CD MQ AC AM =.∴MQ=ACACAC CD AC MC AC λ-=∙-·CD=(1-λ)a, ∴MN+MQ=λa+(1-λ)a=a.∴平行四边形MNPQ 的周长2(MN+MQ)=2a 定值.23.如图所示，在两个底面对应边的比是1∶2的三棱台ABC —A 1B 1C 1中，BB 1∥截面A 1EDC 1，求截面A 1EDC 1截棱台ABC —A 1B 1C 1成两部分体积之比.解析：设三棱台的上、下底面的面积分别为S 1和S 2，高为h. ∵2111=AB B A ,∴4121=S S ,∴S 2=4S 1. ∴)(32211111S S S S hV C B A ABC ++=-三棱台37)44(311211h S S S S h=++=. ∵BB 1∥截面A 1EDC 1，BB 1⊂侧面BCC 1B 1，且侧面BCC 1B 1与截面交于C 1D ，∴BB 1∥C 1D.同理可证BB 1∥A 1E ，∴C 1D ∥A 1E. ∵两底面互相平行，∴A 1C 1∥DE.∴截面A 1EDC 1是平行四边形，∴A 1C 1=DE. 同样可以证明B 1C 1=BD ，A 1B 1=BE ， 即△A 1B 1C 1≌△BDE.∴多面体BDE-B 1C 1A 1是棱柱，且111S S S BD E C B A ==∆∆.∵三棱柱BDE-B 1C 1A 1的高等于三棱台ABC-A 1B 1C 1的高，等于h.∴h S V A C B BD E 1111=-三棱柱.∴三棱台被截面A 1EDC 1截得的另一部分的体积等于h S h S h S 1113437=-. ∴截面A 1EDC 1截三棱台成两部分的体积之比为4∶3.点评：本题以棱台为载体，讨论直线与平面、平面与平面的平行关系，其关键是证明多面体BDE-B 1C 1A 1为棱柱. 走近高考24.已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α,m ⊥β,则α∥β; ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β; ③若m ⊂α,n ⊂β,m ∥n,则α∥β;④若m 、n 是异面直线，m ⊂α,m ∥β,n ⊂β,n ∥α,则α∥β. 其中真命题是( )A.①和②B.①和③C.③和④D.①和④解析：利用平面平行判定定理知①④正确.②α与β相交且均与γ垂直的情况也成立，③中α与β相交时，也能满足前提条件 答案：D25.给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等，则l1,l2互相平行.④若直线l1,l2是异面直线，则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析：①忽视两直线可以相交，②可以相交、平行，③l1、l2可以异面、相交，④与l1、l2都相交的两直线可以相交.答案：D26.过平行六面体ABCD—A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )A.4条B.6条C.8条D.12条解析：如图，与EF平行的有4条，与HF平行的有4条，四边形GHFE 的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条.答案：D27.如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交1BC.点，面CDE是等边三角形，棱EF2求证：FO∥平面CDE；解析：取CD中点M，连结OM.1BC,在矩形ABCD中，OM21BC,则EF OM.又EF2连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.∴FO∥EM.又∵FO⊄平面CDE，且EM⊂平面CDE，∴FO∥平面CDE.28.在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点.(1)求证AC⊥BC1;(2)求证AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值.解析(1)∵直三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ∴AC ⊥BC.∵BC 1在平面ABC 内的射影为BC ， ∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE(如图)∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点， ∴DE ∥AC 1. ∵DE 平面CDB 1， AC1平面CDB 1. ∴AC 1∥平面CDB 1. (3)∵DE ∥AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角.在△CED 中，ED=25211=AC ，CD=2521=AB ， CE=22211=CB ， ∴cos ∠CED=552252228=⨯⨯. ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为552.。
直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案
平面平行的判定及其性质羄直线、1.2.薂下列命题中，正确命题的是④.；肇①若直线I上有无数个点不在平面：.内，则I // ：•芆②若直线I与平面「平行，则I与平面「内的任意一条直线都平行；莁③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线I与平面「平行，则I与平面:.内的任意一条直线都没有公共点3.4. 芀下列条件中，不能判断两个平面平行的是____________ （填序号）肇①一个平面内的一条直线平行于另一个平面蚆②一个平面内的两条直线平行于另一个平面膃③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面聿④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案①②③5.5. 腿对于平面和共面的直线m n,下列命题中假命题是________________ （填序号）肇①若mL用,m丄n,贝V n / 、丄薁②若mil :- , n // :•，贝V m// n膂③若m二：z , n// :•，贝U m// n芇④若m n与：•所成的角相等，则m// n 答案①②④7.6. 膄已知直线a, b,平面「，则以下三个命题：芃①若a // b, b二：乂，则a //⑶袁②若a // b, a //芒,贝U b //芒;莆③若 a // ：•, b // :-,则 a // b.薅其中真命题的个数是答案09.7. 羅直线a//平面M直线b M那么a// b是b〃M的条件.蚀A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要11.12.蒆能保证直线a与平面〉平行的条件是， a// b p bu a， a//b肆A. a 広a, b u a， c//a，a//b，a//c蒃C. b u a£a，C^b， D e b 且AC=BD葿D. b u 口，A^a，B13.14. 薆如果直线a平行于平面?,则 _________a平行 B.平面〉内无数条直线与a平行蒇A.平面?内有且只有一直线与a平行的直线 D.平面〉内的任意直线与直线a都平行膅C.平面〉内不存在与15.15. 蒂如果两直线a// b,且a//平面〉,则b与〉的位置关系__________蚆A.相交B. b〃° c.匕匚口D.b〃°或b u°17.16. 薄下列命题正确的个数是______19.17. 蚃（1）若直线I上有无数个点不在平面a内,则I // al与平面a平行,则l与平面a内的任意一直线平行芁（2）若直线，那么另一条也与这个平面平行蚆（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行a和平面a内一直线b平行，则a // a羅（4 ）若一直线莄A.0个 B.1个 C.2个 D.3个21.22. 罿b是平面a外的一条直线，下列条件中可得出b/ a是肀A. b与a内的一条直线不相交 B. b与a内的两条直线不相交莅C.b与a内的无数条直线不相交 D.b与a内的所有直线不相交23.23. 螂已知两条相交直线a、b, a//平面a ,则b与a的位置关系肂A. b / a B.b与a相交 C.b」a D.b/ a或b与a相交25.24. 膀如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC, SGSAB上的高，D E、F分别是AC BC SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.螆解SG//平面DEF证明如下：薄方法一：三角形中位线连接CG交螁••• DE是厶ABC的中位线，芀••• DE// AB.腿在△ ACG中, D是AC的中点，羂且DH// AG薀• H为CG的中点.艿• FH是厶SCG的中位线，芄• FH// SG蚄又SG亿平面DEF FHU平面DEF,荿••• SG//平面DEF荿方法二：平面平行的性质蚅••• EF为厶SBC的中位线，• EF/ SB膂••• EF伉平面SAB SBu平面SAB莂• EF//平面SAB葿同理可证，DF//平面SAB EF A DF=F ,肆.••平面SAB/平面DEF,又SG二平面SAB • SG//平面DEF27.25. 袄如图所示，在正方体ABC—ABC1D1中，E、F、G H分别是BC CG、賺CD、A1A的中点.求证：蕿（1）BF/ HD;蒇（2）EG//平面BBDD;莁（3）平面BDF/平面BDH袀证明平行四边形的性质，平行线的传递性虿（1 ）如图所示，取BB的中点M易证四边形蚄又••• MC/ BF,「. BF/ HD.肃（2）取BD的中点0,连接E0, D0,贝U OE^蚈又DG& I DC• OE^ DG2蝿.••四边形OEGD是平行四边形，• GE// DO.肄又D 0-平面BB D D, • EG/平面BBD D.蒁（3）由（1）知DH// BF,又BD// BD, BD、HD =平面HBD, BF、BH 平面BDF,且BD A HD=D, DBA BF=B,「.平面BDF// 平面B D H.29.26. 螁如图所示，在三棱柱ABC-A i B C中，M N分别是BC和A i B i的中点. 衿求证：MN//平面AACC.蒅证明方法一：平行四边形的性质膃设AC中点为F,连接NF, FC,蒀••• N为A i B i中点,衿••• NF// BQ,且NF=^B C i,2祎又由棱柱性质知B i C i庄BC蚁又M是BC的中点，艿• NF MC羈.••四边形NFCM^平行四边形.芇• MIN/ CF,又CF 平面AA C i, MN二平面AA C ,• MIN/平面AAC C. 莃方法二：三角形中位线的性质节连接AM交C C于点P,连接A i P, 肇T M是BC的中点，且MC/ B i C i,莄• M是B i P的中点,肅又••• N为A B中点,肁• MN// A P,又 A PU 平面AA C , MW 平面AAC,：MIN/平面AACC.膈方法三：平面平行的性质 螅设BiG 中点为Q 连接NQ MQ ,薃•••M Q 是BG BG 的中点，袀•••MQ CG ,又 CGu 平面 AAGC, MQ 伉平面 AAGC, 芈•••MQ/平面 AA C i C.膆•••N 、Q 是A B i 、B i C 的中点,芅• NQ 二 AQ ,又 A i C 二平面 AAC C, NQ 二平面 AAC C, 蕿• NQ//平面 AA C i C.莈又••• MQ P NQB ,「.平面 MNQ 平面 AAC C, 薇又MN 二平面MNQ. MIN/平面AA C C.3 i .32.螂如图所示，正方体 ABC — A B i C D 中，侧面对角线 AB , BC 上分 别有两点 E , F ,且B E=C F. 蚁求证： EF //平面 ABCD 蒈方法一：平行四边形的性质螃过E 作ES// BB 交AB 于S,过F 作FT // BB 交BC 于 T ,蒄连接ST ,则-AE 更，且AB i B i B BC i C i C莀T B i E=C F , B A=CB,. AE=BF蒈•••旦,••• ES=FTB i B CC i膄又••• ES// B B// FT ,.四边形 EFTS 为平行四边形Bl ______ G袂•••EF// ST ,又 ST=平面 ABCD EFC ：平面 ABCD ： EF//平面 ABCD腿方法二：相似三角形的性质 薈连接BF 交BC 于点Q 连接AQ薅••• BQ // BC, • B 1L =圧BQ C 1B膂• EF // AQ 又 AQ=平面 ABCD EF 二平面 ABCD •- EF//平面 ABCD 蚇方法三：平面平行的性质 羆过E 作EG/ AB 交BB 于G,肂连接GF,则B 11史£ ,B 1A B 1B羁 TB i E=C i F , BA=CB ,螇••• C i E =B i G , • FG // B l C i // BC C 1B B i B 莇又 EG A FG P G , AB A BC=B ,螄.••平面 EFG/平面 ABCD 而EF 二平面EFG螀• EF//平面ABCD33.34.袇如图所示，在正方体 ABC — A B i C D 中，O 为底面ABCD 的中心,P 是DD 的中点，设薄T B i E=C i F , BiA=GB,B L E B ,FB 1D B i QQ是CC上的点，问：当点Q在什么位置时，平面DBQ// 平面PAO蒄解面面平行的判定节当Q为CC的中点时，A B葿平面 DBQ//平面PAO羇••• Q 为CG 的中点，P 为DD 的中点，••• QB// PA袅：P 、O 为 DD 、DB 的中点，• DB// PO羄又 PO P PA=P , DB A QB=B , 薂DB //平面PAO QB//平面 PAO 肇.••平面 DBQ//平面PAO芆直线与平面平行的性质定理35.EFGH 为空间四边形ABCD 勺一个截面，若截面为平行四边形芀(1)求证：AB//平面 EFGH CD//平面 EFGH肇(2)若AB=4, CD=6,求四边形EFGH 周长的取值范围 蚆(1)证明•••四边形EFGH 为平行四边形，• EF// HG膃•••HX 平面 ABD • EF//平面 ABD 聿•••EF 平面 ABC 平面 ABD A 平面 ABCAB腿• EF// AB. • AB//平面 EFGH 肇同理可证，CD//平面EFGH薁⑵ 解 设EF=x (O v x v 4)，由于四边形 EFGH 为平行四边形,膂•••CF=x 则 FG = B F = B C -C F =1- x .从而 F G=6- 1 2 3x . •••四边形 EFGH 的周长 CB 4 6 BC BC 4 21 =2(x+6-5)=12- x.又0v x v 4,则有8v l v 12, •四边形 EFGH 周长的取值范围是(8,212) 37.36.莁如图所示，四边形 AC38.芇如图所示，平面：• //平面［，点A € :. , C €「，点B € 1 , D € ［，点E , F 分别在线 段 AB CD 上，且 AE ： EB=CF ： FD薆••• AC// DH, •••四边形 ACDH 是平行四边形, 蒇在AH 上取一点 G,使AG ： GH=CF ： FD,膅又••• AE ： EB=CF ： FD, • GF// HD EG// BH 蒂又EG A GFG, •平面 EFG//平面-蚆•••EF 平面 EFG •- EF / l 综上,EF// I薄（2）解三角形中位线膄（1）求证：EF / -; :. / :,:.门平面 ACDHAC,蚃 如图所示，连接 AD,取AD 的中点 M 连接 ME MF.芁••• E , F 分别为AB, CD 的中点，蚆••• ME// BD, MF// AC,羅且 M ^Z BGB , MF=LAC=2,2 2莄•••/ EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角），罿EMF=60。
高一数学直线平面平行的判定及其性质试题答案及解析
高一数学直线平面平行的判定及其性质试题答案及解析1. a∥，则a平行于内的(D)A．一条确定的直线B．任意一条直线C．所有直线D．无数多条平行线【答案】D【解析】略2.m、n是平面外的两条直线，在m∥的前提下，m∥n是n∥的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，则存在有。
而由可得，从而有。
反之则不一定成立，可能相交，平行或异面。
所以是的充分不必要条件，故选A3.直线a∥平面?，平面?内有n条直线相交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．不可能有【答案】B【解析】，则直线与平面的直线可能平行或异面。
则直线可能平面这n条互相相交的直线中的一条平行，与其余n-1条直线都异面，或与这n条互相相交的直线都异面。
故选B4. a和b是两条异面直线，下列结论正确的是()A．过不在a、b上的任意一点，可作一个平面与a、b都平行B．过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都相交C．过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都平行D．过a可以并且只可以作一个平面与b平行【答案】D【解析】经过空间任意一点不都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行，有时会出现其中一条直线在所做的平面上，A不正确；在a任取一点M，在b上任取一点N，直线MN上的点才可作一条直线与a、b都相交。
其它的点不行，B不正确；若过不在a，b上的任意一点，有直线l∥a，l∥b，则a∥b，与a，b异面矛盾，C不正确；在a上任取一点M，则过点M且与直线b平行的直线唯一，则该直线与直线a所在平面与直线b 平行。
而两相交直线所确定的平面唯一，该平面唯一。
D正确，故选D5. a∥（判断对错） ( )【答案】错【解析】错误；6.三个平面两两相交不共线，求证三条直线交于一点或两两平行。
【答案】见解析【解析】证：设，，∴、（1）若（2）若∴、、交于一点7.、异面直线，为空间任一点，过作直线与、均相交，这样的直线可以作多少条。
高一数学直线平面平行的判定及其性质试题
高一数学直线平面平行的判定及其性质试题1.m、n是平面外的两条直线，在m∥的前提下，m∥n是n∥的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，则存在有。
而由可得，从而有。
反之则不一定成立，可能相交，平行或异面。
所以是的充分不必要条件，故选A2.直线a∥面，面内有n条互相平行的直线，那么这n条直线和直线a()A．全平行B．全异面C．全平行或全异面D．不全平行也不全异面【答案】C【解析】，则直线与平面的直线可能平行或异面。
若直线与平面这n条互相平行的直线中的一条平行，则与其余n-1条直线都平行。
若直线与平面这n条互相平行的直线中的一条异面，则与其余n-1条直线都异面。
故选C3.三个平面两两相交不共线，求证三条直线交于一点或两两平行。
【答案】见解析【解析】证：设，，∴、（1）若（2）若∴、、交于一点4.直线a∥平面a，点A∈a，则过点A且平行于直线a的直线（）A．只有一条，但不一定在平面a内B．只有一条，且在平面a内C．有无数条，但都不在平面a内D．有无数条，且都在平面a内【答案】B【解析】根据线面平行性质可知，平面内与直线共面的直线与直线平行。
而由公理可知，直线与点只能确定唯一的平面，从而该平面与平面的交线唯一，故选B5.若，则l与m的关系是（）A．；B．l与m异面；C．；D．【答案】D【解析】，则与平面内的直线不相交，即可能平行或异面，故选D6.过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行. （判断对错）（）【答案】错误【解析】过平面外一点与该平面平行的直线有无数条，所以错误7.已知平行四边形ABCD与平行四边形ABEF共边AB，M、N分别在对角线AC、BF上，且AM∶AC＝FN∶FB．求证：MN∥平面ADF．【答案】见解析【解析】证明：如图作MP∥AB交AD于P，NQ∥AB交AF于Q，则MP∥NQ，由于所以MP＝NQ，又已证MP∥NQ，则MNQP是平行四边形，则MN∥PQ，又因为MN不在平面ADF上，PQ在平面ADF内，则MN∥平面ADF．8.若，，则下列说法正确的是（）A．过在平面内可作无数条直线与平行B．过在平面内仅可作一条直线与平行C．过在平面内可作两条直线与平行D．与的位置有关【答案】B【解析】此题考查线面的位置关系；如果过在平面内可以做两条直线与平行，根据平行公理知道这两条直线平行，这与两直线相交于A点相矛盾，所以选B9.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，A1A=AB=2，若棱AB上存在一点P，使得D1P⊥PC，则棱AD的长的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】连接，设，因为当位于端点时不成立，所以。
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直线、平面平行的判定及其性质 测试题（有详解）A一、选择题1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是A ．0B ．1C ．2D ．33． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交5．下列命题中，假命题的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．16．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ）A ．()12MN AC BC ≥+B ．()12MN AC BC ≤+ C ．()12MN AC BC =+ D ．()12MN AC BC <+ 二、填空题7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ．三、解答题D C A B B 1A 1C 110.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .B一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α内有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β2．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是（ ）A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α3．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（ ）A ．a α⊄，则//a αB ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂4．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）A.异面B.相交C.平行D.不能确定5.下列四个命题中，正确的是（ ）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④6．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在二、填空题7．a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：.⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;;其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）8．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =34，则CS =_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BD D 1．三、解答题10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E 在棱PC上． 问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.11.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NPDN ，求证：直线MN ∥平面PBC .C1.平面内两正方形ABCD 与ABEF ，点M ，N 分别在对角线AC ,FB 上，且AM:MC=FN:NB ，沿AB 折起，使得∠DAF =900(1)证明：折叠后MN//平面CBE ；（2）若AM:MC =2：3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN //平面CBE ?若存在，试确定点G 的位置.2.设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且A ，C ∈α，B ，D ∈β，求证：MN ∥平面α.AB C DE MNαβE PD C B A参考答案A一、选择题1．D【提示】当l =⋂βα时，α内有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A ，B ，C 均是错误的2．C【提示】棱AC ，BD 与平面EFG 平行，共2条.3．C【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.4．B【提示】若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则直线m 于平面α相交，α内不存在与m 平行的直线.5．B【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上.6. D【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边.二、填空题7．平面ABC ，平面ABD【提示】连接AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .8. ①③【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB 找一个平面与平面MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP.9．平行【提示】连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 1，OEC 平面ACE ，∴B D 1∥平面ACE.三、解答题10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，D 为AC 中点，∴PD//C B 1.又 PD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D11.证明：（1） M、N分别是CD、CB的中点，∴MN//BD又 BB1//DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形.所以BD//B1D1.又MN//BD，从而MN//B1D1（2）（法1）连A1C1，A1C1交B1D1与O点四边形A1B1C1D1为平行四边形，则O点是A1C1的中点E是AA1的中点，∴EO是∆AA1C1的中位线，EO//AC1.AC1⊄面EB1D1，EO⊂面EB1D1，所以AC1//面EB1D1（法2）作BB1中点为H点，连接AH、C1H，E、H点为AA1、BB1中点，所以EH//C1D1，则四边形EHC1D1是平行四边形，所以ED1//HC1又因为EA//B1H，则四边形EAHB1是平行四边形，所以EB1//AHAH⋂HC1=H，∴面AHC1//面EB1D1.而AC1⊂面AHC1，所以AC1//面EB1D1（3）因为EA//B1H，则四边形EAHB1是平行四边形，所以EB1//AH因为AD//HG，则四边形ADGH是平行四边形，所以DG//AH，所以EB1//DG又 BB1//DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形. 所以BD//B1D1.BD⋂DG=G，∴面EB1D1//面BDGB一、选择题1．D【提示】A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若A，B，C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C错，若a∥b，则不能断定α∥β；D正确.2．C【提示】若直线a，b满足a∥b，bα，则a∥α或aα3．D【提示】根据面面平行的性质定理可推证之.4．C【提示】设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b，β∩γ=c，则a∥b且a∥c，∴b∥c.又b⊂α，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.5．A【提示】6．D【提示】过点A可作直线a′∥a，b′∥b，则a′∩b′=A，∴a′，b′可确定一个平面，记为α.如果a⊄α，b⊄α，则a∥α，b∥α.由于平面α可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在.二、填空题7.①④⑤⑥688.68或3【提示】如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SC SC 34-，∴SC =68. S S A A B B C C α α ββ(1)(2)D D如图（2），由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC -34. ∴SC =368. 9．M ∈HF【提示】易证平面NHF ∥平面BD D 1 B 1，M 为两平面的公共点，应在交线HF 上.三、解答题 10．解：当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．证明：连接AC ，且AC BD O =，由于四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线，∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面，∴//PA EBD 平面.11．证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连接RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MBAM =MB MB AB -=MB MB DC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC . 证法二：过N 作NQ ∥AD 交P A 于点Q ，连接QM ，∵MB AM =NP DN =QPAQ ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .C1.（1）证明：设直线AN 与BE 交与点H ，连接CH ，ANF ∆ ∽HNB ∆,∴NHAN NB FN =. 又NB FN MC AM =,则NH AN =MCAM ，∴MN//CH. 又CBE CBE MN 平面，平面⊂⊄CH ,∴MN//平面CBE.(2)解：存在，过M 作MG ⊥AB,垂足为G ，则MG//BC, ∴MG//平面CBE,又MN//平面CBE ，M MN MG =⋂,平面MGN//平面CBE.即G 在AB 线上，且AG:GB=AM:MC=2：3O F A B CD PE2.证明：连接BC ，AD ，取BC 的中点E ，连接ME 、NE ，则ME 是△BAC 的中位线，故ME ∥AC. ME ⊄α，∴ME ∥α.同理可证，NE ∥BD.又α∥β，设CB 与DC 确定的平面BCD 与平面α交于直线CF ，则CF ∥BD ，∴NE ∥CF. 而NE ⊄平面α，CF ⊂α，∴NE ∥α.又ME ∩NE=E ，∴平面MNE ∥α，而MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面α.一、选择题1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是A ．0B ．1C ．2D ．33． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交5．下列命题中，假命题的个数是（ ）① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行A ．4B ．3C ．2D ．16．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ）A ．()12MN AC BC ≥+B ．()12MN AC BC ≤+ C ．()12MN AC BC =+ D ．()12MN AC BC <+ 二、填空题7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.D C A B B 1A 1C 18．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是①②③④9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ．三、解答题10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；（3）平面EB 1D 1//平面BDG .B一、选择题1．α，β是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）A ．α，β都平行于直线a ，bB ．α内有三个不共线点到β的距离相等C ．a ，b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a ，b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β2．两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α，则a 与平面α的关系是（ ）A ．a ∥αB ．a 与α相交C ．a 与α不相交D ．a α3．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（ ）A ．a α⊄，则//a αB ．//a α，b α⊂，则//a bC ．//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．,,//,//P a P a βααβ∈∈，则a β⊂4．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）A.异面B.相交C.平行D.不能确定5.下列四个命题中，正确的是（ ）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④6．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是A ．过A 有且只有一个平面平行于a ，bB ．过A 至少有一个平面平行于a ，bC ．过A 有无数个平面平行于a ，bD ．过A 且平行a ，b 的平面可能不存在二、填空题7．a ，b ，ｃ为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：.⇒⎭⎬⎫;⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫⇒⎭⎬⎫αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;;其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）8．设平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =34，则CS =_____________.9．如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，DD 1，DC 中点，N 是BC 中点，点M 在四边形EFGH及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BD D 1．三、解答题10.如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E 在棱PC上． 问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明.11.如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为AB ，PD 上的点，且MB AM =NPDN ，求证：直线MN ∥平面PBC .C1.平面内两正方形ABCD 与ABEF ，点M ，N 分别在对角线AC ,FB 上，且AM:MC=FN:NB ，沿AB 折起，使得∠DAF =900(1)证明：折叠后MN//平面CBE ；（2）若AM:MC =2：3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN //平面CBE ?若存在，试确定点G 的位置.2.设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且A ，C ∈α，E PD C B AB，D∈β，求证：MN∥平面α.参考答案A一、选择题 1．D【提示】当l =⋂βα时，α内有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A ，B ，C 均是错误的 2．C【提示】棱AC ，BD 与平面EFG 平行，共2条. 3．C【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b ααβ=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确. 4．B【提示】若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则直线m 于平面α相交，α内不存在与m 平行的直线. 5．B【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上. 6. D【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边. 二、填空题7．平面ABC ，平面ABD【提示】连接AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由MA EM =NB EN =21得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 8. ①③ 【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB 找一个平面与平面MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP. 9．平行【提示】连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 1，OEC 平面ACE ，∴B D 1∥平面ACE. 三、解答题10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，D 为AC 中点，∴PD//C B 1.又 PD ⊂平面B A 1D ，∴C B 1//平面B A 1 D11.证明：（1） M、N分别是CD、CB的中点，∴MN//BD又 BB1//DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形.所以BD//B1D1.又MN//BD，从而MN//B1D1（2）（法1）连A1C1，A1C1交B1D1与O点四边形A1B1C1D1为平行四边形，则O点是A1C1的中点E是AA1的中点，∴EO是∆AA1C1的中位线，EO//AC1.AC1⊄面EB1D1，EO⊂面EB1D1，所以AC1//面EB1D1（法2）作BB1中点为H点，连接AH、C1H，E、H点为AA1、BB1中点，所以EH//C1D1，则四边形EHC1D1是平行四边形，所以ED1//HC1又因为EA//B1H，则四边形EAHB1是平行四边形，所以EB1//AHAH⋂HC1=H，∴面AHC1//面EB1D1.而AC1⊂面AHC1，所以AC1//面EB1D1（3）因为EA//B1H，则四边形EAHB1是平行四边形，所以EB1//AH因为AD//HG，则四边形ADGH是平行四边形，所以DG//AH，所以EB1//DG又 BB1//DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形. 所以BD//B1D1.BD⋂DG=G，∴面EB1D1//面BDGB一、选择题1．D【提示】A错，若a∥b，则不能断定α∥β；B错，若A，B，C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；C错，若a∥b，则不能断定α∥β；D正确.2．C【提示】若直线a，b满足a∥b，bα，则a∥α或aα3．D【提示】根据面面平行的性质定理可推证之.4．C【提示】设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b，β∩γ=c，则a∥b且a∥c，∴b∥c.又b⊂α，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.5．A【提示】6．D【提示】过点A可作直线a′∥a，b′∥b，则a′∩b′=A，∴a′，b′可确定一个平面，记为α.如果a⊄α，b⊄α，则a∥α，b∥α.由于平面α可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在.二、填空题7.①④⑤⑥688.68或3【提示】如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ，∴SA SB =SC SD ，即189=SCSC 34-，∴SC =68. SS AABBCCα αββ(1)(2)DD如图（2），由α∥β知AC ∥BD ，∴SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SCSC-34. ∴SC =368.9．M ∈HF【提示】易证平面NHF ∥平面BD D 1 B 1，M 为两平面的公共点，应在交线HF 上. 三、解答题 10．解：当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．证明：连接AC ，且AC BD O =，由于四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线，∴//PA EO ，又PA EBD ⊄平面，∴//PA EBD 平面.11．证法一：过N 作NR ∥DC 交PC 于点R ，连接RB ，依题意得NR NR DC -=NP DN =MBAM =MB MB AB -=MB MBDC -⇒NR =MB .∵NR ∥DC ∥AB ，∴四边形MNRB 是平行四边形.∴MN ∥RB .又∵RB 平面PBC ，∴直线MN ∥平面PBC .证法二：过N 作NQ ∥AD 交P A 于点Q ，连接QM ，∵MB AM =NP DN =QPAQ，∴QM ∥PB .又NQ ∥AD ∥BC ，∴平面MQN ∥平面PBC .∴直线MN ∥平面PBC .C1.（1）证明：设直线AN 与BE 交与点H ，连接CH ，ANF ∆ ∽HNB ∆,∴NHANNB FN =. 又NB FN MC AM =,则NH AN =MCAM，∴MN//CH. 又CBE CBE MN 平面，平面⊂⊄CH ,∴MN//平面CBE.(2)解：存在，过M 作MG ⊥AB,垂足为G ，则MG//BC, ∴MG//平面CBE, 又MN//平面CBE ，M MN MG =⋂,平面MGN//平面CBE. 即G 在AB 线上，且AG:GB=AM:MC=2：3OF ABCDP E2.证明：连接BC，AD，取BC的中点E，连接ME、NE，则ME是△BAC的中位线，故ME∥AC. ME⊄α，∴ME∥α.同理可证，NE∥BD.又α∥β，设CB与DC确定的平面BCD与平面α交于直线CF，则CF∥BD，∴NE∥CF.而NE⊄平面α，CF⊂α，∴NE∥α.又ME∩NE=E，∴平面MNE∥α，而MN⊂平面MNE，∴MN∥平面α.。