湖北省荆州市实验中学2019-2020学年八年级下学期期中数学试题
湖北省武汉市汉阳区2019-2020学年八年级(下)期中数学试卷(含解析)(精校版)
2019-2020学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）要使代数式有意义，则x的（）A．最大值是B．最小值是C．最大值是D．最小值是2．（3分）若=3﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3D．b≤33．（3分）下列根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG 的面积和为（）A．150cm2B．200cm2C．225cm2D．无法计算5．（3分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：56．（3分）一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（）A．9分米B．15分米C．5分米D．8分米7．（3分）一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（）A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92°D．88°，92°，88°8．（3分）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量三个角是否为直角9．（3分）如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1 B．C．2 D．+1二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣3=．12．（3分）平行四边形ABCD的周长是18，三角形ABC的周长是14，则对角线AC的长是．13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为．14．（3分）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于．15．（3分）已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）=0，则a2015﹣b2016的值为．16．（3分）△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12．则△ABC的面积为．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）计算（1）4+﹣（2）÷×．18．（8分）先化简，再求值÷（﹣），其中x=+，y=﹣．19．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，（1）求证△ADE≌△CBF；（2）请你添加一个条件，使四边形DEBF是矩形（不用证明）．20．（8分）如图在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．（1）计算AC，AB，BC的长度，并判定△ABC的形状；（2）若在网格所在的坐标平面内的点A，C的坐标分别为（0，0），（﹣1，1）．请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的D 点的坐标．21．（8分）（1）以a，b为直角边，c为斜边作两个全等的Rt△ABE与Rt△FCD拼成如图1所示的图形，使B，E，F，C四点在一条直线上（此时E，F重合），可知△ABE≌△FCD，AE⊥DF，请你证明：a2+b2=c2；（2）在（1）中，固定△FCD，再将△ABE沿着BC平移到如图2的位置（此时B，F重合），请你重新证明：a2+b2=c2．22．（10分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=5，求BN的长；（2）如图2，在Rt△ABC中，AC=BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN=45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点．23．（10分）如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M 作ME⊥CD于点E，∠BAC=∠CDF．（1）求证：BC=2CE；（2）求证：AM=DF+ME．24．（12分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB=3，AD=4．（1）如图1，当∠DAG=30°时，求BE的长；（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长．参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）要使代数式有意义，则x的（）A．最大值是B．最小值是C．最大值是D．最小值是【解答】解：∵代数式有意义，∴2﹣3x≥0，解得x≤．故选：A．2．（3分）若=3﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3D．b≤3【解答】解：∵=3﹣b，∴3﹣b≥0，解得：b≤3．故选：D．3．（3分）下列根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．∵，∴可以与合并；B．∵=，∴可以与合并；C．∵=，∴不可以与合并；D．∵=2，∴可以与合并；故选：C．4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG 的面积和为（）A．150cm2B．200cm2C．225cm2D．无法计算【解答】解：正方形ADEC的面积为：AC2，正方形BCFG的面积为：BC2；在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=15，则AC2+BC2=225cm2．故选：C．5．（3分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5【解答】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；C、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；故选：D．6．（3分）一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（）A．9分米B．15分米C．5分米D．8分米【解答】解：如下图所示：AB相当于梯子，△ABO是梯子和墙面、地面形成的直角三角形，△OCD是下滑后的形状，∠O=90°，即：AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，BD是梯脚移动的距离．在Rt△ACB中，由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，AC==24分米．∴OC=AC﹣AC=24﹣4=2分米，在Rt△COD中，由勾股定理可得：CD2=OC2+OD2，OD=15分米，BD=OD﹣OB=15﹣7=8分米，故选：D．7．（3分）一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（）A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92° D．88°，92°，88°【解答】解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故B不是；当三个内角度数依次是88°，108°，88°时，第四个角是76°，故A不是；当三个内角度数依次是88°，92°，92°，第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角故C错，D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形．故选：D．8．（3分）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否为直角【解答】解：A、对角线是否相互平分，只能判定平行四边形；B、两组对边是否分别相等，只能判定平行四边形；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．故选：D．9．（3分）如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关【解答】解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．故选：C．10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1 B．C．2 D．+1【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠A=120°，∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，在Rt△BCP′中，∵BC=AB=2，∠B=60°，∴P′Q=CP′=BC•sinB=2×=．故选：B．二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣3=（x+）（x﹣）．【解答】解：x2﹣3=x2﹣（）2=（x+）（x﹣）．12．（3分）平行四边形ABCD的周长是18，三角形ABC的周长是14，则对角线AC的长是5．【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长是18∴AB+BC=18÷2=9∵三角形ABC的周长是14∴AC=14﹣（AB+AC）=5故答案为5．13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；又∵∠AOE=∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE=S△COF，∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．S△BCD=BC×CD=×2×3=3．故答案为：3．14．（3分）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于 3.5．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=AB=×7=3.5．故答案为：3.5．15．（3分）已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）=0，则a2015﹣b2016的值为﹣2．【解答】解：∵﹣（b﹣1）=0，∴+（1﹣b）=0，∵1﹣b≥0，∴1+a=0，1﹣b=0，解得a=﹣1，b=1，∴a2015﹣b2016=（﹣1）2015﹣12016=﹣1﹣1=﹣2．故答案为：﹣2．16．（3分）△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12．则△ABC的面积为24或84．【解答】解：分两种情况考虑：①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，根据勾股定理得：BD==9，在Rt△ADC中，AC=13，AD=12，根据勾股定理得：DC==5，∴BC=BD+DC=9+5=14，则S△ABC=BC•AD=84；②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，根据勾股定理得：BD==9，在Rt△ADC中，AC=13，AD=12，根据勾股定理得：DC==5，∴BC=BD﹣DC=9﹣5=4，则S△ABC=BC•AD=24．综上，△ABC的面积为24或84．故答案为：24或84．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）计算（1）4+﹣（2）÷×．【解答】解：（1）原式=4+2﹣3=3；（2）原式==．18．（8分）先化简，再求值÷（﹣），其中x=+，y=﹣．【解答】解：原式=×=﹣×=﹣当x=+，y=﹣xy=1，x+y=2∴原式=﹣19．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，（1）求证△ADE≌△CBF；（2）请你添加一个条件，使四边形DEBF是矩形（不用证明）．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）添加∠DEB=90°，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AE=CF，∴BE=DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵∠DEB=90°，∴四边形DEBF是矩形．20．（8分）如图在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．（1）计算AC，AB，BC的长度，并判定△ABC的形状；（2）若在网格所在的坐标平面内的点A，C的坐标分别为（0，0），（﹣1，1）．请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的D点的坐标．【解答】解：（1）∵小正方形的边长为1，∴AC==，BC==3，AB==2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形；（2）∵A，C的坐标分别为（0，0），（﹣1，1），∴点C为坐标原点，如图，分别过A作BC的平行线，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，∴满足条件的点D的坐标为（3，3）或（1，5）或（﹣3，﹣3）．21．（8分）（1）以a，b为直角边，c为斜边作两个全等的Rt△ABE与Rt△FCD拼成如图1所示的图形，使B，E，F，C四点在一条直线上（此时E，F重合），可知△ABE≌△FCD，AE⊥DF，请你证明：a2+b2=c2；（2）在（1）中，固定△FCD，再将△ABE沿着BC平移到如图2的位置（此时B，F重合），请你重新证明：a2+b2=c2．【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示：则四边形ABCD是直角梯形，∴四边形ABCD的面积=（a+b）（a+b）=（a+b）2，∵四边形ABCD的面积=△ABE的面积+△FCD的面积+△ADE的面积，即（a+b）2=ab×2+c2，化简得：（a+b）2=2ab+c2，∴a2+b2=c2；（2）证明：连接AD、DE，如图2所示：则四边形ABCD的面积=四边形ABED的面积+△DCE的面积，即（a+b）×a=c2+b（a﹣b），化简得：ab+a2=c2+ab﹣b2，∴a2+b2=c2．22．（10分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=5，求BN的长；（2）如图2，在Rt△ABC中，AC=BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN=45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点．【解答】（1）解：当MN最长时，BN=4；当BN最长时，BN==；（2）证明：如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN∵AD=BN，∠DAC=∠B=45°，AC=BC，∴△ADC≌△BNC，∴CD=CN，∠ACD=∠BCN，∵∠MCN=45°，∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°∴∠MCD=∠BCM，∴△MDC≌△MNC，∴MD=MN在Rt△MDA中，AD2+AM2=DM2，∴BN2+AM2=MN2，∴点M，N是线段AB的勾股分割点．23．（10分）如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M 作ME⊥CD于点E，∠BAC=∠CDF．（1）求证：BC=2CE；（2）求证：AM=DF+ME．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，且BC=CD，∴∠BAC=∠ACD，且∠BAC=∠CDF，∴∠ACD=∠CDF，∴CM=DM，∵ME⊥CD，∴CE=DE，∴BC=CD=2CE；（2）如图，分别延长AB，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠CDF=∠BAC，∴MG=MA，在△CDF和△BGF中∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，在△CEM和△CFM中∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，∴AM=GM=GF+MF=DF+ME．24．（12分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB=3，AD=4．（1）如图1，当∠DAG=30°时，求BE的长；（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠DAG=30°，∴∠BAG=60°由折叠知，∠BAE=∠BAG=30°，在Rt△BAE中，∠BAE=30°，AB=3，∴BE=（2）如图，连接GE，∵E是BC的中点，∴BE=EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵在矩形ABCD中，∴∠C=90°，∴∠EFG=90°，∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF=GC；设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，解得x=．（3）如图1，由折叠知，∠AFE=∠B=90°，EF=BE，∴EF+CE=BE+CE=BC=AD=4，∴当CF最小时，△CEF的周长最小，∵∠AFE=90°，∴点A，F，C在同一条直线上时，CF最小，由折叠知，AF=AB=3，在Rt△ABC中，AB=3，BC=AD=4，∴AC=5，∴CF=AC﹣AF=2，在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，∴BE2+CF2=（4﹣BE）2，∴BE2+22=（4﹣BE）2，∴BE=．。
2020-2021学年八年级数学下学期期中考试试题(含答案) (1)
2020-2021学年八年级数学下学期期中考试试题时间:90分钟 满分:120分 考试内容:第十六章至第十八章一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题的4个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.(2020江苏连云港赣榆期末,4,★☆☆)若3-m 为二次根式,则m 的取值范围是 ( )A.m<3B.m≤3C.m≥3D.m>32.(2020江苏盐城期末,5,★☆☆)若a>0,则下列二次根式中,属于最简二次根式的是 ( )A.1aB.1a2 C. aD.a 23.(2020上海浦东新区建平中学期末,2,★☆☆)下列计算正确的是 ( )A.－(－3)2＝－3B.(－ 3 )2＝9C.(－3)2＝±3 D.9116 ＝3144.(2019山西忻州期中,1,★☆☆)下列各式化简后,与3的被开方数相同的是 ( )A.12B.18C.19D.235.如图,每个小正方形的边长为1,四边形的顶点A,B,C,D 都在格点上,则下面4条线段的长度为10 的是( A. ABB.BCC. CDD. AD6.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC＝90°,AB＝3,BC ＝4,CD ＝12,AD ＝13,则四边形ABCD 的面积为 ( )A.72B.36C.66D.427.如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则下列说法正确的是 ( )A. CE ＝BCB. DE ＝12ABC.∠AED＝∠CD.∠A＝∠C8.(2020湖南邵阳隆回期末,5,★☆☆)如图,已知直线a∥b∥c,直线d 与直线a,b,c 分别垂直且相交于A,B,C 三点,若AB ＝2,AC ＝6,则平行线b 、c 之间的距离是 ( )A.2B.4C.6D.89.(2020四川眉山东坡学校模拟,11,★★☆)如图,已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为10cm 、24cm,AE ⊥BC 于点E,则AE 的长是 ( )A.5 3 cmB.2 5 cmC.24013cm D.1201310.(2020四川宜宾叙州期末,12,★★☆)如图正方形ABCO 和正方形DEFO 的顶点A,E,0在同一直线l 上,且EF ＝2 ,AB ＝3,给出下列结论:①∠COD＝45°,②AE＝5,③CF＝BD ＝17 ,④△COF 的面积S △CDF ＝3,其中正确结论 的个数为 ( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)11.(2020湖北武汉东湖高新区期末,11,★☆☆)49＝________；1－33 的相反数为________； 3 －2 ＝________12.(2020福建厦门湖里五缘实验学校期末,13,☆☆)在□ABCD 中,∠C:∠D＝5:4,则∠B 的度数为________ 13.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且a,满足b ＝5－a +a －5 +12,c ＝13,则S △A BC ＝________14.如图,∠CAB＝30°,点D 在射线AB 上,且AD ＝4,点P 在射线AC 上运动,当△ADP 是直角三角形时,PD 的长为 ________15.(2020广东清远英德期末,16,★★☆)如图,在平行四边形ABCD 中,∠C＝42°,过点D 作BC 的垂线DF,交AB 于点E,交CB 的延长线于点F,则∠BEF 的度数为________16.如图,正方形ABCD 的边长是2,对角线AC 、BD 相交于点O,点E 、F 分别在边AD 、AB 上,且OE⊥OF,则四边形 AFOE 的面积为________17.(2020湖南娄底期末,18,★★☆)1+13＝213,2+14＝314,3+15＝415,……观察各式,则第n(n≥1)个等式为________________________。
湖北省武汉市武昌区2019-2020学年八年级(下)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年湖北省武汉市武昌区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是（）A．x≠2 B．x＞2 C．x≤2 D．x≥23．（3分）下列计算正确的是（）A．﹣＝B．+＝C．3﹣＝2D．2+＝24．（3分）下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝1，b＝，c＝B．a＝，b＝2，c＝C．a＝，b＝，c＝D．a＝7，b＝24，c＝255．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠C的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．110°6．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB＝BC，CD＝DA B．AB∥CD，AD＝BCC．AB∥CD，∠A＝∠C D．∠A＝∠B，∠C＝∠D7．（3分）如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为（）A．B．4 C．D．58．（3分）菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，则PB＝（）A．B．C．D．9．（3分）将一个边长为10的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四个剪法中，裁剪线的长度所标的数据不可能的是（）A．B．C．D．10．（3分）将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚线剪去一个角，展开平铺后得到⑤，其中FM、GN为折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：5，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）化简：+（）2＝．12．（3分）若a＝2+，b＝2﹣，则ab的值为．13．（3分）点D、E、F分别是△ABC三边的中点，若△ABC的周长是16，则△DEF 的周长是．14．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C 均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为．15．（3分）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，分别以AD、BD、CD为长对角线作全等的三个菱形，如图所示，若菱形较短的对角线的长为2，点G刚好在AE 的延长线上，则其中一个菱形AEDF的面积为．16．（3分）△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝m，AC＝n，∠ACB＝2∠BAD，用m、n表示AD的长为．三、解答题（共72分）17．（8分）计算下列各题：（1）﹣+（2）（3﹣2）÷18．（8分）已知：如图，点E、F分别是▱ABCD中AB、DC边上的点，且AE＝CF，连接DE、EF．求证：四边形DEBF是平行四边形．19．（8分）已知：x＝﹣1，求代数式x2+5x﹣6的值．20．（8分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．（1）直接写出AC的长为，△ABC的面积为；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺作出AC边上的高BD，并保留作图痕迹；（3）求BD的长．21．（8分）已知：如图，矩形ABCD的对角线交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．22．（10分）在△ABC中，AB＝AC＝5．（1）若BC＝6，点M、N在BC、AC上，将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合，求折痕MN的长；（2）点D在BC的延长线上，且BC：CD＝2：3，若AD＝10，求证：△ABD是直角三角形．23．（10分）▱ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，∠EAF＝∠B＝60°，AD＝nAB．（1）当n＝1时，求证：△AEF为等边三角形；（2）当n＝时，求证：∠AFE＝90°；（3）当CE＝CF，DF＝4，BE＝3时，直接写出线段EF的长为．24．（12分）书籍和纸张的长与宽比值都有固定的尺寸，如常用的A3、A4、A5的纸张长与宽的比值都相等．一长方形纸张对折后的小长方形的长与宽的比值与原长方形的长与宽的比值相等．（1）求满足这样条件的长方形的长与宽的比值；（2）如图所示的长方形ABCD长与宽之比也满足以上条件，其中宽AB＝2．①点P是AD上一点，将△BPA沿BP折叠得到△BPE，当BE垂直AC时，求AP的长；②若将长方形ABCD绕点B旋转得到长方形A1BC1D1，直线CC1交DD1于点M，N为BC 的中点，直接写出MN的最大值：．2019-2020学年湖北省武汉市武昌区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．【答案】B【解答】解：＝2，＝，＝，只有为最简二次根式．故选：B．2．【答案】D【解答】解：∵二次根式有意义，∴x﹣2≥0，解得：x≥2，故选：D．3．【答案】C【解答】解：A、，错误，不符合题意；B、，错误，不符合题意；C、，正确，符合题意；D、，错误，不符合题意；故选：C．4．【答案】C【解答】解：A、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误；B、22+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误；C、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项正确；D、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误．故选：C．5．【答案】D【解答】解：画出图形如下所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，又∵∠A﹣∠B＝40°，∴∠A＝110°，∠B＝70°，∴∠C＝∠A＝110°．故选：D．6．【答案】C【解答】解：如图所示，根据平行四边形的判定，A、B、D条件均不能判定为平行四边形，C选项中，由于AB∥CD，∠A＝∠C，所以∠B＝∠D，所以只有C能判定．故选：C．7．【答案】C【解答】解：如图，它运动的最短路程AB＝＝，故选：C．8．【答案】A【解答】解：如图，连接BF、BD，∵菱形ABCD的边长为2，∴AB＝BC＝CD＝2，∵∠A＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝2，∠DBC＝60°，∴∠DBA＝60°，∵点G为AB的中点，∴菱形BEFG的边长为1，即BE＝EF＝BG＝1，∵点E在CB的延长线上，∠GBE＝60°，∴∠FBG＝30°，连接EG，∴EG⊥FB于点O，∴OB＝，∴FB＝，∵∠DBF＝∠DBA+∠FBG＝90°，根据勾股定理，得DF＝＝，∵点P为FD的中点，∴PB＝DF＝．故选：A．9．【答案】B【解答】解：对于A选项，，三角形为锐角三角形，合理；对于B选项，102+42＜112，说明边长为11的边所对的角是钝角，这个时候三角形不可能完全处在正方形内，故不合理；对于C选项，，且，三角形为锐角三角形，合理；对于D选项，62+72＜102，说明边长为10的边所对的角为钝角，合理．故选：B．10．【答案】A【解答】解：如图，连接HF，直线HF与AD交于点P，∵正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：5，设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为4x2，5x2，∴GF2＝4x2，∴GF＝2x，∴HF＝＝2x，由折叠可知：正方形ABCD的面积为：4x2+4×5x2＝24x2，∴PM2＝24x2，∴PM＝2x，∴FM＝PH＝（PM﹣HF）＝（2x﹣2x）＝（﹣）x，∴＝＝．故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）11．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝5+5＝10．12．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1．故答案为：1．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴ED、FE、DF为△ABC中位线，∴DF＝BC，FE＝AB，DE＝AC；∴DF+FE+DE＝BC+AB+AC＝（AB+BC+CA）＝×16＝8，故答案为：8．14．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AB，AD，如图所示：∵AD＝AB＝＝2，∴DE＝＝，∴CD＝3﹣．故答案为：3﹣．15．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示，连接HG，设EG交DH于点K，则HG＝2，∵三个菱形全等，∴GD＝ED，∠ADE＝∠BDG，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠GDE＝∠BDG+∠BDE＝90°，∴△GDE是等腰直角三角形，∴∠EGD＝∠GED＝45°，∵四边形AEDF为菱形，∴AE∥DF，∴∠EDF＝∠GED＝45°，∴∠GDK＝45°，∴∠GKD＝90°，设GK＝DK＝x，则GD＝DH＝x，HK＝x﹣x，在Rt△GHK中，由勾股定理得：x2+＝4，解得：x2＝2+，∴菱形BGDH的面积为：DH•GK＝x•x＝x2＝2+2，∴菱形AEDF的面积为：2+2．故答案为：2+2．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：延长BC至E，使CE＝AC，连接AE，则∠CAE＝∠E，∵∠ACB＝∠CAE+∠E，∴∠CAE＝∠E＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠BAD，∴∠E＝∠BAD，∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD＝90°，∴∠B+∠E＝90°，即∠BAE＝90°，∴∠BAC+∠CAE＝90°，∵∠B+∠E＝90°，∠CAE＝∠E，∴∠B＝∠BAC，∴BC＝AC＝n，由勾股定理得，AE＝＝，S＝×AB×AE＝×BE×AD，即m×＝2n×AD，△BAE解得，AD＝，故答案为：．三、解答题（共72分）17．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝3﹣2+＝；（2）原式＝3﹣2＝3﹣2．18．【答案】见试题解答内容【解答】证明：在▱ABCD中，则AB∥CD，AB＝CD，∵AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形．19．【答案】见试题解答内容【解答】解：当x＝﹣1，x2+5x﹣6＝（﹣1）2+5（﹣1）﹣6＝5﹣2+1+5﹣5﹣6＝3﹣5．20．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）AC＝＝，S＝4×5﹣×2×4﹣×2×5﹣×1×4＝9，△ABC故答案为，9；（2）如图所示，BD即为所求，（3）∵S△ABC＝AC•BD＝BD＝9，∴BD＝．21．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵DE∥AC，即DE∥OC，CE∥BD，即CE∥OD．∴四边形OCED是平行四边形．又∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝AC，OD＝BD，且AC＝BD，∴OC＝OD．∴四边形OCED是菱形．22．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝3，∴AD＝4，∵将△ABC沿MN折叠，使得点C与点A重合，∴AM＝CM，AN＝AC＝，设AM＝CM＝x，∴MD＝x﹣3，∵AD2+DM2＝AM2，∴42+（x﹣3）2＝x2，解得：x＝，∴MN＝＝＝；（2）如图2，过A作AE⊥BC于E，∵AB＝AC，∴BE＝CE＝BC，∵BC：CD＝2：3，∴设BC＝2t，CD＝3t，AE＝h，∴BE＝CE＝t，∵AB＝5，AD＝10，∴h2+t2＝52，h2+（4t）2＝102，联立方程组解得，t＝（负值舍去），∴BD＝5，∵AB2+AD2＝52+102＝125＝（5）2＝BD2，∴△ABD是直角三角形．23．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：当n＝1时，AD＝AB，∴平行四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠BCD＝60°，∠CAB＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴AC＝AD＝AB，∵∠EAF＝60°，∴∠FAE＝∠CAB，∴∠FAC＝∠EAB，在△FAC和△EAB中，，∴△FAC≌△EAB（ASA）∴AF＝AE，又∵∠EAF＝60°，∴△AEF为等边三角形；（2）证明：如图2，延长AF至N，使DN＝AD，延长AF至P，使FP＝AF，延长BC、NP交于点H，∵DN＝AD，FP＝AF，∴DF是△ANP的中位线，∴NP∥AB，又AN∥BH，∴四边形ABHN为平行四边形，∵AB＝AN，∴平行四边形ABHN为菱形，由（1）可知，△APE为等边三角形，∵AF＝FP，∴EF⊥AP，∴∠AFE＝90°；（3）解：如图3，延长EF交AD的延长线于G，延长FE交AB的延长线于H，作DM ⊥FG于M，把△AFG绕点A顺时针旋转120°，得到△APH，∵CF＝CE，∴∠CFE＝∠CEF＝30°，∵AG∥BC，∴∠G＝∠CEF＝30°，∴∠G＝∠DFG，∴DG＝DF，又DM⊥FG，∴GM＝MF，在Rt△DMF中，∠DFM＝30°，∴DM＝DF＝2，由勾股定理得，MF＝＝2，∴GF＝4，同理，∠BHE＝30°，EH＝3，∴∠PHN＝60°，∴∠NPH＝30°，∴NH＝PH＝2，∴EN＝EH﹣NH＝，由勾股定理得，PN＝＝6，∴PE＝＝，∵∠FAE＝60°，∠BAD＝120°，∴∠DAF+∠EAB＝60°，∴∠HAP+∠EAB＝60°，即∠EAP＝60°，∴∠FAE＝∠EAP，在△FAE和△PAE中，，∴△FAE≌△PAE（SAS）故答案为：．24．【答案】（1）（2）①2﹣2．②+1．【解答】解：（1）设长方形的长与宽分别为a，b．由题意：＝，∴a2＝2b2，∴＝．（2）①如图1中，延长PE、BC交于点G，∵∠PEB＝90°，∴PE⊥BE，∵BE⊥AC，BE⊥PE，∴PG∥AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝2，AD∥BG，∠ABC＝90°，∴四边形APGC是平行四边形，∴PG＝AC＝＝＝2，∵AD∥BC，∴∠APB＝∠GBP，∵∠APB＝∠GPB，∴∠GBP＝∠GPB，∴GP＝GB＝2，∴AP＝CG＝BG＝BC＝2﹣2．②如图2中，连接BM，取BD的中点O，连接OM，ON，延长CC1到K，使得C1K＝CC1在MK的延长线上取一点J，使得D1J＝D1K，连接BD1．∵BC＝BC1，∴∠BCC1＝∠BC1C，∵∠BC1D1＝∠BCD＝90°，∴∠D1C1K+∠BC1C＝90°，∠BCC1+∠DCC1＝90°，∴∠D1C2K＝∠DCC1，∵CD＝C1D1，CC1＝C1K，∴△DCC1≌△D1C1K（SAS），∴DC1＝KD1＝JD1，∠CC1D＝∠C1KD1，∵∠JKD1+∠C1JKD1＝180°，∠CC1D+∠DC1M＝180°，∴∠DC1M＝∠D1KJ，∵D1J＝D1K，∴∠J＝∠D1KJ，∴∠J＝∠DC1M，∵∠D1MJ＝∠DMC1，∴△D1MJ≌△DMC1（AAS），∴D1M＝DM′，∵BD＝BD1，∴BM⊥DD1，取BD的中点O，连接OM，ON，∵∠BMD＝90°，∴OM＝BD＝，∵BO＝OD，BN＝CN，∴ON＝CD＝1，∵MN≤OM+ON，∴MN≤+1．∴MN的最大值为+1．故答案为+1．31 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2019-2020学年湖北省武汉市江夏一中八年级(下)期中数学试卷
2019-2020学年湖北省武汉市江夏一中八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2014•湘潭）式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤12．（3分）（2020春•潮阳区期末）下列各式中，运算正确的是（）A．＝﹣2B．+＝C．×＝4D．2﹣3．（3分）（2020春•江夏区校级期中）已知△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a＝7，b＝24，c＝25B．a＝，b＝4，c＝5C．a＝，b＝1，c＝D．a＝40，b＝50，c＝604．（3分）（2020春•泗水县期末）对甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环，且他们的方差如下表所示：选手甲乙丙丁方差 1.560.60 2.500.40则在这四个选手中，成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．（3分）（2019春•凤凰县期末）下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A．3：4：3：4B．3：3：4：4C．2：3：4：5D．3：4：4：3 6．（3分）（2020春•通山县期末）已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（）A．4B．4或34C．16或34D．4或7．（3分）（2020春•江夏区校级期中）周长为16的菱形ABCD中，有一个角为45°，则菱形ABCD的面积为（）A．8B．16C．8D．48．（3分）（2019春•息县期末）点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是BC边的中点，AD＝8，OE＝3，则线段OD的长为（）A．5B．6C．8D．109．（3分）（2007•茂名）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13 10．（3分）（2020•长汀县一模）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB＝4，BC＝2，则点D到点O的最大距离是（）A．2﹣2B．2+2C．2﹣2D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2020春•江夏区校级期中）化简：＝；＝；＝．12．（3分）（2020春•思明区校级期末）数据0，2，3，3，1的平均数为；中位数；众数为．13．（3分）（2020春•思明区校级期末）在△ABC中，AB＝AC＝2，∠ACB＝30°，则边BC 的长为．14．（3分）（2020春•思明区校级期末）若菱形两条对角线长分别为10和24，那么此菱形的高为．15．（3分）（2020春•思明区校级期末）如图，Rt△ABC中，O为斜边中点，CD为斜边上的高，若OC＝，DC＝，则△ABC的面积是．16．（3分）（2020春•思明区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是．三、解答题（共7题，共72分）17．（8分）（2020春•江夏区校级期中）计算：（1）2﹣6+；（2）+6．18．（8分）（2020春•大余县期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．19．（8分）（2020春•江夏区校级期中）如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．20．（8分）（2019春•武昌区期末）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机抽样调查了321名初中学生．根据调查结果将学生每天在校体育活动时间t（小时）分成A，B，C，D四组，并绘制了统计图（部分）．A组：t＜0.5B组：0.5≤t＜1C组：1≤t＜1.5D组：t≥1.5请根据上述信息解答下列问题：（1）C组的人数是；（2）本次调查数据的中位数落在组内；（3）若该市约有12840名初中学生，请你估算其中达到国家规定体育活动时间的人数大约有多少．21．（10分）（2020春•江夏区校级期中）已知a＝+1，b＝﹣1．（1）求a2+b2的值；（2）求+的值．22．（8分）（2016春•潮南区期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB＝3，AD＝4，求线段GC的长．23．（10分）（2018•金牛区校级自主招生）在菱形ABCD中，∠BAD＝60°．（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE、CE、若AB＝4，求线段EC的长；（2）如图2，M为线段AC上一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC、DM，Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ，判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若AC＝，请你直接写出DM+CN的最小值．24．（12分）（2020春•江夏区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，b），B（c，0）是x轴正半轴上一点，∠ABO＝30°，若与|2﹣a|互为相反数．（1）求c的值；（2）如图2，AC⊥AB交x轴于C，以AC为边的正方形ACDE的对角线AD交x轴于F．①求证：BE＝2OC；②记BF2﹣OF2＝m，OC2＝n，求的值．2019-2020学年湖北省武汉市江夏一中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．【解答】解：根据题意，得x﹣1≥0，解得，x≥1．故选：C．2．【解答】解：A、＝2，故原题计算错误；B、+＝+2＝3，故原题计算错误；C、＝＝4，故原题计算正确；D、2和不能合并，故原题计算错误；故选：C．3．【解答】解：A、∵72+242＝252，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；B、∵42+52＝（）2，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；C、∵（）2+12＝（）2，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；D、∵402+502≠602，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故选项符合题意；故选：D．4．【解答】解：∵2.50＞1.56＞0.60＞0.40，∴丁的方差最小，∴成绩最稳定的是丁，故选：D．5．【解答】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确．故选：A．6．【解答】解：∵个直角三角形的两边长分别为3和5，∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x＝＝4；②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x＝＝．故选：D．7．【解答】解：如图，∵菱形ABCD周长为16，∴AB＝AD＝4，过点B作BE⊥AD于点E，∴∠BEA＝90°，∵∠A＝45°，∴BE＝AB＝2，∴菱形ABCD的面积为：AD•BE＝4×2＝8．故选：A．8．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD＝8，OE＝3，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是BC边的中点，∴BC＝AD＝8，AB＝2OE＝6，∠B＝90°，∴AC＝＝10，∵点O为AC的中点，∠ADC＝90°，∴OD＝AC＝5，故选：A．9．【解答】解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：＝13．即a的取值范围是12≤a≤13．故选：A．10．【解答】解：取AB中点E，连接OE、DE、OD，∵∠MON＝90°，∴OE＝AB＝2．在Rt△DAE中，利用勾股定理可得DE＝2．在△ODE中，根据三角形三边关系可知DE+OE＞OD，∴当O、E、D三点共线时，OD最大为OE+DE＝2+2．故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．【解答】解：＝＝；＝＝；＝．故答案为：；；．12．【解答】解：这组数据的平均数为＝，重新排列为0、1、2、3、3，所以中位数为2，众数为3，故答案为：，2，3．13．【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC，∴BC＝2CD．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠C＝30°，∴AD＝AC＝×2＝1，∴CD＝＝，∴BC＝2．故答案为：2．14．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：∵菱形ABCD的两条对角线长分别为10和24，∴菱形ABCD的面积＝×10×24＝120；∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，AC⊥BD，∴AB＝＝13，∵菱形的面积＝AB•DE＝120，∴DE＝．故答案为．15．【解答】解：∵在Rt△ABC中，O为斜边中点，OC＝，∴AB＝2OC＝2，又CD为斜边上的高，DC＝，∴△ABC的面积＝AB•CD＝×2×＝．故答案为：．16．【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12，∴CG＝DG＝×12＝6，在△DEG和△CFG中，，∴△DEG≌△CFG（ASA），∴DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，则BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x，在Rt△DEG中，EG＝，∴EF＝2，∵FH垂直平分BE，∴BF＝EF，∴6+2x＝2，解得x＝4.5，∴AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5，∴BC＝AD＝10.5．故答案为：10.5三、解答题（共7题，共72分）17．【解答】解：（1）原式＝2×2﹣6×＝4﹣2+4＝6；（2）原式＝+6×＝4+3＝7．18．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，………………………………4分∵E、F分别是AB、CD的中点，∴EB∥DF，EB＝DF，………………………………8分∴四边形EBFD是平行四边形．………………………………9分19．【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E，∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2＝169，∴AC＝13．∵CD＝13，∴AC＝CD，即△ACD是等腰三角形．∵CE⊥AD，∴AE＝AD＝×10＝5．在Rt△ACE中，由勾股定理得CE2＝AC2﹣AE2，解得CE＝12．＝S△ABC+S△CAD＝AB•BC+AD•CE＝×（12×5+10×12）＝90．∴S四边形ABCD20．【解答】解：（1）C组人数为321﹣（20+100+60）＝141（人），故答案为：141；（2）本次调查数据的中位数是第161个数据，而第161个数据落在C组，所以本次调查数据的中位数落在C组内，故答案为：C．（3）估算其中达到国家规定体育活动时间的人数大约有12840×＝8040（人）．21．【解答】解：（1）∵a＝+1，b＝﹣1，∴a+b＝2，ab＝1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2）2﹣2×1＝6；（2）∵a＞0，b＞0，∴原式＝+＝+＝•，∵a+b＝2，ab＝1，∴原式＝×＝2．22．【解答】解：（1）GF＝GC．理由如下：连接GE，∵E是BC的中点，∴BE＝EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∴EF＝EC，∵在矩形ABCD中，∴∠C＝90°，∴∠EFG＝90°，∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF＝GC；（2）设GC＝x，则AG＝3+x，DG＝3﹣x，在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2＝（3+x）2，解得x＝．23．【解答】解：（1）如图1，连接BD，则BD平分∠ABC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠ABC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AD＝4，∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，由勾股定理得：DE＝＝2，∵DC∥AB，∴∠EDC＝∠DEA＝90°，在Rt△DEC中，DC＝4，EC＝＝＝2；（2）如图2，延长CD至H，使DH＝CD，连接NH、AH，∵AD＝CD，∴AD＝DH，∵CD∥AB，∴∠HDA＝∠BAD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∴AH＝AD，∠HAD＝60°，∵△AMN是等边三角形，∴AM＝AN，∠NAM＝60°，∴∠HAN+∠NAG＝∠NAG+∠DAM，∴∠HAN＝∠DAM，在△ANH和△AMD中，∵，∴△ANH≌△AMD（SAS），∴HN＝DM，∵D是CH的中点，Q是NC的中点，∴DQ是△CHN的中位线，∴HN＝2DQ，∴DM＝2DQ．（3）如图2，由（2）知，HN＝DM，∴要CN+DM最小，便是CN+HN最小，即：点C，H，N在同一条线上时，CN+DM最小，此时，点D和点Q重合，即：CN+DM的最小值为CH，如图3，由（2）知，△ADH是等边三角形，∴∠H＝60°．∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACD＝∠BCD＝∠BAD＝30°，∴∠CAH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，在Rt△ACH中，CH＝＝2，∴DM+CN的最小值为2．24．【解答】（1）解：∵与|2﹣a|互为相反数，又∵≥0，|2﹣a|≥0，∴a＝b＝2，∴A（2，2），如图1中，过点A作AH⊥OB于H．∴AH＝OH＝2，在Rt△AHB中，∵∠AHB＝90°，AH＝2，∠ABH＝30°，∴BH＝AH＝2，∴OB＝2+2，∴B（2+2，0）．（2）①证明：如图2中，延长AC交y轴于G，过点A作AT⊥OA交OB于T．由（1）可知∠AOB＝45°，∵OA⊥AT，AC⊥AB，∴∠OAT＝∠CAB＝90°，∴∠OAG＝∠TAB，∠ATO＝∠AOT＝45°，∴OA＝OT，∵∠AOG＝∠ATB＝135°，∴△AOG≌△ATB（AAS），∴AG＝AB，∠AGO＝∠ABT＝30°，∵四边形ACDE是正方形，∴AC＝AE，∵AG＝AB，∴CG＝BE，∵∠COG＝90°∠CGO＝30°，∴CG＝2OC，∴BE＝2OC．②解：如图2中，连接GF．∵AG＝AB，∠GAF＝∠BAF＝45°，AF＝AF，∴△GAF≌△BAF（SAS），∴BF＝FG，∴m＝BF2﹣OF2＝GF2﹣OF2＝OG2，∵OG＝OC，∴＝＝（）2＝3．。
湖北省武汉市江岸区2019-2020学年八年级(下)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年湖北省武汉市江岸区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3 D．x≥32．下列根式中是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（）A．2、3、4 B．1、1、C．3、4、5 D．5、12、134．下列计算正确的是（）A．﹣＝B．3﹣＝3 C．×＝D．÷2＝5．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．四个角都为直角B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直6．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．同旁内角互补，两直线平行B．等边三角形是锐角三角形C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等D．全等三角形的对应角相等7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H．则DH＝（）A．6 B．C．D．58．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10 B．12 C．13 D．149．如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，过点E作直线交边AD于点M，交边BC于点N，连接MF，NF．若▱AEFD和▱EBCF的面积分别为4和6，则△MNF的面积为（）A．5 B．5.5 C．6 D．810．如图，△ABC中，∠C＝45°，点E在边BC上，且满足AE＝AB，D为线段AE的中点，若∠EDB＝∠CAB，DB＝3，则AE＝（）A．3B．2C．3D．6二、填空题（共6小题）.11．＝．12．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为．13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则斜边AB＝．14．如图，四边形ABCD为菱形，四边形AOBE为矩形，O，C，D三点的坐标为（0，0），（2，0），（0，1），则点E的坐标为．15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，点E为线段CD的中点，AD＝1，CB＝2，AE＝3，则AB＝．16．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（﹣2，0），C（4，4），D（﹣2，6），点E在x轴上，满足∠BED＝∠DEC，则点E的坐标为．三、解答题（共72分）17．计算：（+）÷．18．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．19．已知：x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值．（1）x2+2xy+y2；（2）x2﹣y2．20．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上，这时AO为2.4m．（1）求OB的长度；（2）如果梯子底端B沿地面向外移动0.8m到达点C，那么梯子顶端A下移多少m？21．如图，是由49个边长为1的小正方形组成的7×7的正方形网格，小正方形的顶点为格点，点O、A、M、N、B均在格点上．（1）直接写出OM＝；（2）点E在网格中的格点上，且△OME是以O为顶角顶点的等腰三角形，则满足条件的点E有个；（3）请在如图所示的网格中，借助矩形MNBA和无刻度的直尺作出∠MON的角平分线，并保留作图痕迹．22．小明在学完了平行四边形这个章节后，想对“四边形的不稳定性”和“四边形的判定”有更好的理解，做了如下的探究：他将8个木棍和一些钉子组成了一个正方形ABCD和平行四边形HEFG（如图1），且BC，EF在一条直线上，点D落在边HE上．经小明测量，发现此时B、D、G三个点在一条直线上，∠F＝67.5°，DG＝2．（1）求HG的长度；（2）设BC的长度为a，CE＝（用含a的代数式表示）；（3）小明接着探究，在保证BC，EF位置不变的前提条件下，从点A向右推动正方形，直到四边形EFGH刚好变为矩形时停止推动（如图2）．若此时DE2＝8（﹣1），求BF的长度．23．矩形ABCD的对角线交于点O，∠MON＝α．（1）如图1，AD＝DC，α＝90°，点M在边AD上，点N在边CD上，求证：MO＝ON；（2）如图2，∠ACD＝30°，α＝60°，点M在线段AD的延长线上，点N在线段CD的延长线上，若OM＝ON，求的值；（3）如图3，AD＝6，DC＝8，α＝45°，点M在线段AD的延长线上，点N在线段CD的延长线上，若DM＝DN，直接写出线段ON的长度．24．问题背景：如图1，两条相等的线段AB，CD交于点O，∠AOC＝60°，连接AC，BD，求证：AC+BD≥CD．证明：过点C作AB的平行线，过点B作AC的平行线，两平行线交于点E，连接DE．∵AB∥CE，AC∥BE．∴四边形ABEC为平行四边形，则AC＝，AB＝CE．∵AB∥CE，∴∠DCE＝∠AOC＝60°．又∵CD＝AB＝CE，∴△DCE为等边三角形，CD＝．∴AC+BD＝BE+BD≥DE＝CD，即AC+BD≥CD．请完成证明中的两个填空．迁移应用：如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边AB上，点N在边CD上，点O在MN上，过点O作MN的垂线，交AD于点F，交BC于点E．求证：①MN＝EF；②FM+NE≥4．联系拓展：如图3，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，过点A作BC的平行线l，点D在直线l上，点A到BD的距离为2，求线段CD的最小值．参考答案一、选择题（共10小题）.1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣3 B．x≥﹣3 C．x≠﹣3 D．x≥3【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．解：根据题意得：x+3≥0，解得，x≥﹣3．故选：B．2．下列根式中是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】利用最简二次根式的定义对各选项进行判断．解：＝，＝＝，＝2，只有为最简二次根式．故选：B．3．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（）A．2、3、4 B．1、1、C．3、4、5 D．5、12、13【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否可以构成直角三角形，从而可以解答本题．解：∵22+32＝4+9＝13≠16＝42，故选项A中三条线段不能构成直角三角形；∵12+12＝1+1＝2＝（）2，故选项B中三条线段能构成直角三角形；∵32+42＝9+16＝25＝52，故选项C中三条线段能构成直角三角形；∵52+122＝25+144＝225＝152，故选项D中三条线段能构成直角三角形；故选：A．4．下列计算正确的是（）A．﹣＝B．3﹣＝3 C．×＝D．÷2＝【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．解：A、原式＝2﹣，所以A选项错误；B、原式＝2，所以B选项错误；C、原式＝＝，所以C选项正确；D、原式＝2÷2＝，所以D选项错误．故选：C．5．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．四个角都为直角B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直【分析】利用正方形、矩形的性质即可判断．解：正方形、矩形都具有四个角都是直角，正方形的对角线互相垂直平分且相等，矩形的对角线互相平分且相等，故选：D．6．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．同旁内角互补，两直线平行B．等边三角形是锐角三角形C．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等D．全等三角形的对应角相等【分析】首先写出逆命题，然后再判断是否是真命题即可．解：A、同旁内角互补，两直线平行，逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故此选项符合题意；B、等边三角形是锐角三角形的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题，故此选项不合题意；C、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等，逆命题是两个实数绝对值相等，则这两个实数相等，是假命题，故此选项不合题意；D、全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的两个三角形全等，是假命题，故此选项不合题意；故选：A．7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H．则DH＝（）A．6 B．C．D．5【分析】先根据菱形的性质得OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB＝5，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD＝DH•AB，再解关于DH的方程．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝5，则AD＝5，∵S菱形ABCD＝•AC•BD，S＝DH•AB，菱形ABCD∴DH•5＝×6×8，∴DH＝．故选：B．8．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10 B．12 C．13 D．14【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．9．如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，过点E作直线交边AD于点M，交边BC于点N，连接MF，NF．若▱AEFD和▱EBCF的面积分别为4和6，则△MNF的面积为（）A．5 B．5.5 C．6 D．8【分析】由平行四边形的性质得出△EMF的面积＝平行四边形AEFD的面积＝2，△ENF的面积＝平行四边形EBCF的面积＝3，进而得出答案．解：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，∴AD∥EF，BC∥EF，∴△EMF的面积＝平行四边形AEFD的面积＝×4＝2，△ENF的面积＝平行四边形EBCF的面积＝×6＝3，∴△MNF的面积＝△EMF的面积+△ENF的面积＝2+3＝5；故选：A．10．如图，△ABC中，∠C＝45°，点E在边BC上，且满足AE＝AB，D为线段AE的中点，若∠EDB＝∠CAB，DB＝3，则AE＝（）A．3B．2C．3D．6【分析】过点A作AF⊥BE于F，交BD于G，由等腰三角形的性质及重心定理可得BG，再证明∠DBE＝∠ACB＝45°，∠FGB＝45°，可证得FG＝FB，由勾股定理解得FG，则可得BF、EF及AG，从而可得AF，最后在Rt△AEF中，由勾股定理可求得AE的长．解：过点A作AF⊥BE于F，交BD于G，如图：∵AE＝AB，AF⊥BE，∴BF＝EF，∠AEB＝∠ABE，∵D为线段AE的中点，∴G为△AEB的重心，∴BG＝2DG＝BD＝×3＝2，AG＝2FG，在△BDE和△CAB中，∠BED＝∠CBA，∠BDE＝∠CAB，∠BED+∠BDE+∠DBE＝∠CBA+∠CAB+∠C＝180°，∠C＝45°，∴∠DBE＝∠ACB＝45°，在Rt△GFB中，∠GFB＝90°，∠GBF＝45°，∴∠FGB＝90°﹣∠GBF＝90°﹣45°＝45°＝∠GBF，∴FG＝FB，∵FG2+FB2＝BG2，∴2FG2＝，∴FG＝2，∴AG＝2FG＝2×2＝4，∴FB＝FG＝2，∴AF＝AG+FG＝4+2＝6，在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，EF＝BF＝2，AF＝6，∴AE＝＝＝2．故选：B．二、填空题（每小题3分，共18分）11．＝10．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．解：＝＝10．故答案为：10．12．已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 3 ．【分析】先变形得到＝，根据题意n必须是3的完全平方数倍，所以最小正整数n为3．解：∵＝，而是整数，∴最小正整数n为3．故答案为3．13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则斜边AB＝．【分析】根据含30°角的再见三角形性质求出AB＝2CB，根据勾股定理得出方程，求出BC即可．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，即（2BC）2＝22+BC2，解得：BC＝，所以AB＝，故答案为：．14．如图，四边形ABCD为菱形，四边形AOBE为矩形，O，C，D三点的坐标为（0，0），（2，0），（0，1），则点E的坐标为（﹣2，﹣1）．【分析】求出OC、OD的长，根据菱形的性质求出OA＝OC＝2，根据矩形的性质求出OB＝EA＝1，即可得出答案．解：∵O，C，D三点的坐标为（0，0），（2，0），（0，1），∴OC＝2，OD＝1，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝1，∵四边形AOBE为矩形，∴∠EAO＝∠EBO＝90°，EB＝OA＝2，EA＝OB＝1，∵E在第二象限，∴E点的坐标是（﹣2，﹣1），故答案为：（﹣2，﹣1）．15．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，点E为线段CD的中点，AD＝1，CB＝2，AE＝3，则AB＝3．【分析】延长AE交BC的延长线于F，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，根据全等三角形的性质得到CF＝AD＝1，EF＝AE＝3，由勾股定理即可得到结论．解：延长AE交BC的延长线于F，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，∵DE＝CE，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴CF＝AD＝1，EF＝AE＝3，∵BC＝2，∴BF＝3，AF＝6，∵∠B＝90°，∴AB＝＝＝3，故答案为：3．16．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（﹣2，0），C（4，4），D（﹣2，6），点E在x轴上，满足∠BED＝∠DEC，则点E的坐标为（1，0）或（4，0）．【分析】①过D作DE⊥AC于E，得到正方形，利用正方形的性质可得结论，②过D作DH⊥EC于H，利用角平分线的性质与勾股定理可得答案．解：①如图，过D作DE⊥AC于E，∵A（4，0），B（﹣2，0），C（4，4），D（﹣2，6），∴∠DBA＝∠BAE＝∠AED＝90°，BD＝BA＝6，∴四边形ABDE是正方形，连接AD，则∠BAD＝∠EAD＝45°，∴E，A重合时，有∠BED＝∠DEC，∴E点的坐标为（4，0）．②如图，过D作DH⊥EC于H，∵∠BED＝∠DEC，DB⊥BE，∴DB＝DH＝6，∵C（4，4），D（﹣2，6），∴CD＝＝，CH＝＝2，由三角形内角和定理可得：∠BDE＝∠HDE，∵DB⊥BE，DH⊥EH，∴BE＝HE设BE＝x，则HE＝x，CE＝x+2，AE＝6﹣x，∵CA⊥EA，CA＝4，∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解得，x＝3，∴BE＝3，∴E点的坐标为（1，0）；综上，E点的坐标为（1，0）或（4，0）．故答案为：（1，0）或（4，0）．三、解答题（共72分）17．计算：（+）÷．【分析】利用二次根式的除法法则运算．解：原式＝+＝4+2．18．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．【分析】首先利用平行四边形的性质，得出对角线互相平分，进而得出EO＝FO，BO ＝DO，即可得出答案．【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AE＝CF，∴AF＝EC，则FO＝EO，∴四边形BFDE是平行四边形．19．已知：x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值．（1）x2+2xy+y2；（2）x2﹣y2．【分析】观察可知：（1）式是完全平方和公式，（2）是平方差公式．先转化，再代入计算即可．解：（1）当x＝+1，y＝﹣1时，原式＝（x+y）2＝（+1+﹣1）2＝12；（2）当x＝+1，y＝﹣1时，原式＝（x+y）（x﹣y）＝（+1+﹣1）（+1﹣+1）＝4．20．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直墙AO上，这时AO为2.4m．（1）求OB的长度；（2）如果梯子底端B沿地面向外移动0.8m到达点C，那么梯子顶端A下移多少m？【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）设梯子的A端下滑到D，如图，求得OC＝0.7+0.8＝1.5，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）在Rt△AOB中，OB＝＝＝0.7（m）；（2）设梯子的A端下滑到D，如图，∵OC＝0.7+0.8＝1.5，∴在Rt△OCD中，OD＝＝＝2（m），∴AD＝OA﹣OD＝﹣2＝0.4，∴梯子顶端A下移0.4m．21．如图，是由49个边长为1的小正方形组成的7×7的正方形网格，小正方形的顶点为格点，点O、A、M、N、B均在格点上．（1）直接写出OM＝ 5 ；（2）点E在网格中的格点上，且△OME是以O为顶角顶点的等腰三角形，则满足条件的点E有 3 个；（3）请在如图所示的网格中，借助矩形MNBA和无刻度的直尺作出∠MON的角平分线，并保留作图痕迹．【分析】（1）利用勾股定理即可求出OM的长；（2）由OM＝5，得OE＝5，根据网格即可找到点E；（3）连接AN和BM交于点D，连接OD，即可作出∠MON的角平分线．解：（1）根据网格可知：OM＝＝5，故答案为：5；（2）如图，由OM＝5，∴OE＝5，所以满足条件的点E有3个，分别为E1，E2，E3．故答案为：3；（3）如图，连接AN和BM交于点D，连接OD，则OD即为∠MON的角平分线．22．小明在学完了平行四边形这个章节后，想对“四边形的不稳定性”和“四边形的判定”有更好的理解，做了如下的探究：他将8个木棍和一些钉子组成了一个正方形ABCD和平行四边形HEFG（如图1），且BC，EF在一条直线上，点D落在边HE上．经小明测量，发现此时B、D、G三个点在一条直线上，∠F＝67.5°，DG＝2．（1）求HG的长度；（2）设BC的长度为a，CE＝（﹣1）a（用含a的代数式表示）；（3）小明接着探究，在保证BC，EF位置不变的前提条件下，从点A向右推动正方形，直到四边形EFGH刚好变为矩形时停止推动（如图2）．若此时DE2＝8（﹣1），求BF的长度．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠H＝∠GFE＝67.5°，HE∥FG，求得∠GFE＝67.5°，得到∠HDG＝∠BDE＝67.5°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，∠BDE＝∠BED＝67.5°，得到BE＝BD，根据等腰直角三角形的性质得到BD＝BC＝a，于是得到结论；（3）设CD＝a，根据矩形的性质得到EF＝HG＝2，∠HEF＝90°，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）∵四边形HEFG是平行四边形，∴∠H＝∠GFE＝67.5°，HE∥FG，∴∠GFE＝67.5°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，∠BDC＝∠BDC＝45°，∴∠DCE＝90°，∴∠CDE＝22.5°，∴∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝67.5°，∴∠HDG＝∠BDE＝67.5°，∴∠H＝∠GDH，∴HG＝DG＝2；（2）由（1）知，∠BDE＝∠BED＝67.5°，∴BE＝BD，∵BC的长度为a，∴BD＝BC＝a，∴CE＝BE﹣BC＝a﹣a＝（﹣1）a；故答案为：（﹣1）a；（3）∵在推进过程中CD的长度保持不变，设CD＝a，∵四边形EFGH是矩形，∴EF＝HG＝2，∠HEF＝90°，∴∠DEC＝90°，∴DE2＝CD2﹣CE2，∵BC，EF位置不变，∴CE＝（﹣1）a，∴在Rt△CDE中，由勾股定理得，DE2＝CD2﹣CE2，∴8（﹣1）＝a2﹣（﹣1）2a2，∴a2＝4，∵a＞0，∴a＝2，∴BF＝BE+EF＝2+2．23．矩形ABCD的对角线交于点O，∠MON＝α．（1）如图1，AD＝DC，α＝90°，点M在边AD上，点N在边CD上，求证：MO＝ON；（2）如图2，∠ACD＝30°，α＝60°，点M在线段AD的延长线上，点N在线段CD的延长线上，若OM＝ON，求的值；（3）如图3，AD＝6，DC＝8，α＝45°，点M在线段AD的延长线上，点N在线段CD的延长线上，若DM＝DN，直接写出线段ON的长度．【分析】（1）根据正方形的性质得到OD＝OC，OD⊥OC，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图2，在DM上截取PM＝DO，连接OP，根据矩形的性质得到OD＝OC，求得∠ODC＝∠ACD＝30°，根据全等三角形的性质得到ND＝OP，求得∠N＝∠POM，得到∠DOP ＝30°，设DO＝PD＝x，根据三角函数的定义即可得到结论；（3）如图3，过O作OG⊥CD于G，根据三角形中位线定理得到OG＝3，DG＝4，连接MN，得到∠DNM＝45°，过N作NH⊥OM于H，根据等腰直角三角形的性质得到NH＝ON，设DM＝DN＝x，根据勾股定理得到ON＝＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AD＝CD，∴四边形ABCD是正方形，∴OD＝OC，OD⊥OC，∵∠MON＝90°，∴∠MOD＝∠NOC，在△DMO与△DNO中，∴△DMO≌△CNO（AAS），∴MO＝ON；（2）解：如图2，在DM上截取PM＝DO，连接OP，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝AC，DO＝OB＝BD，AC＝BD，∴OD＝OC，∴∠ODC＝∠ACD＝30°，∵∠NOD+∠DOM＝∠DOM+∠M＝60°，∴∠NOD＝∠M，∵OM＝ON，∴△OND≌△OMP（SAS），∴ND＝OP，∴∠N＝∠POM，∴∠POM+∠NOD＝∠N+∠MOD＝∠ODC＝30°，∴∠DOP＝30°，即△DOP是顶角为120°的等腰三角形，∴设DO＝PD＝x，∴ND＝OP＝x，∵DM＝DP+PM＝DP+DO＝2x，∴＝＝；（3）如图3，过O作OG⊥CD于G，∴OG∥AD，∵AO＝CO，∴OG＝AD，DG＝CG＝CD，∵AD＝6，DC＝8，∴OG＝3，DG＝4，连接MN，∵∠MDN＝90°，DM＝DN，∴∠DNM＝45°，过N作NH⊥OM于H，∵∠NOM＝45°，∴△ONH是等腰直角三角形，∴NH＝ON，设DM＝DN＝x，∴MN＝x，NG＝4+x，∴ON＝＝，∴NH＝，∵∠ONH＝∠DNM＝45°，∴∠ONG＝∠MNH，∵∠NHM＝∠NGO＝90°，∴△ONG∽△MNH，∴，∴＝，解得：x＝5（负值舍去），∴ON＝＝3．24．问题背景：如图1，两条相等的线段AB，CD交于点O，∠AOC＝60°，连接AC，BD，求证：AC+BD≥CD．证明：过点C作AB的平行线，过点B作AC的平行线，两平行线交于点E，连接DE．∵AB∥CE，AC∥BE．∴四边形ABEC为平行四边形，则AC＝BE，AB＝CE．∵AB∥CE，∴∠DCE＝∠AOC＝60°．又∵CD＝AB＝CE，∴△DCE为等边三角形，CD＝DE．∴AC+BD＝BE+BD≥DE＝CD，即AC+BD≥CD．请完成证明中的两个填空．迁移应用：如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边AB上，点N在边CD上，点O在MN上，过点O作MN的垂线，交AD于点F，交BC于点E．求证：①MN＝EF；②FM+NE≥4．联系拓展：如图3，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，过点A作BC的平行线l，点D在直线l上，点A到BD的距离为2，求线段CD的最小值．【分析】问题背景：利用平行四边形的性质以及等边三角形的性质即可解决问题．迁移应用：①如图2中，作FH⊥BC于H，MK⊥CD于K．证明△FHE≌△MKN（AAS）可得结论．②如图2中，以EF，EM为邻边作平行四边形FMGE，连接NG．证明△MNG是等腰直角三角形即可解决问题．联系拓展：如图3中，以AD，AB为邻边作平行四边形ADPB，连接PA交BD于O．证明AP＝CD，求出PA的最小值即可解决问题．解：问题背景：根据平行四边形的性质可知AC＝BE，根据等边三角形的性质可知CD＝DE，故答案为BE，DE．迁移应用：①如图2中，作FH⊥BC于H，MK⊥CD于K．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，∵FH⊥BC，∴∠FHB＝90°，∴四边形AFHB是矩形，∴FH＝AB，同理可证：MK＝BC，∵AB＝BC，∴FH＝MK，∵MN⊥EF，∴∠EON＝∠ECN＝90°，∴∠MNK+∠CEO＝180°，∵∠FEH+∠CEO＝180°，∴∠MNK＝∠FEH，∵∠FHE＝∠MKN＝90°，∴△FHE≌△MKN（AAS），∴EF＝MN．②如图2中，以EF，EM为邻边作平行四边形FMGE，连接NG．∴FM＝EG，FM∥EG，EF＝MG，EF∥MG，∴∠NOE＝∠NMG＝90°，∵MN＝EF，∴MN＝MG，∴GN＝MG＝EF，∵FM+EN＝EG+EN≥NG，∵EF≥AB＝4，∴FM+NE≥4．联系拓展：如图3中，以AD，AB为邻边作平行四边形ADPB，连接PA交BD于O．∴DP＝AB＝BC，∴∠DPB＝∠ABC＝∠ACB，∵DP＝AC，∠DPB＝∠ACB，PC＝OC，∴△DPC≌△ACP（SAS），∴DC＝AP，∵A到DB的距离为2，∴AO≥2，∴DC＝AP＝2AO≥4，∴CD的最小值为4．。
湖北省2019-2020学年八年级数学下学期期中测试卷一(含答案)
湖北省2019–2020学年下学期期中测试卷八年级数学一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．下列二次根式中，最简二次根式是A ．8B ．223C ．37xD 22x y +．2．如果3，4，a 是勾股数，则a 的值是A ．5B ．C ．或5D ．73．下列各式中，计算正确的是A ．1212= B ．2(33)9-= C ．2(21)322+=+ D ．1052÷=4．如图，一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 外移A ．7米B ．8米C ．9米D ．10米5．在四边形ABCD 中，给出条件：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③AB=CD ；④AD=BC ；⑤∠A=∠C ；⑥∠B=∠D ．将其中的任意两个进行组合，能判定四边形ABCD 是平行四边形的有A ．10组B ．9组C ．8组D ．7组6．如图，在菱形ABCD 中，AB=5，对角线AC=6．若过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为( )A ．4B ．2．4C ．4．8D ．57．已知()()22m 12,n 12,7m 14m 93n 6n 7=+=-----则代数式的值为A ．8B ．–8C ．10D ．–6 8．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交成的锐角α为60°，若AC=10，BD=8，则▱ABCD 的面积是A ．20B ．20C ．30D ．309．矩形ABCD 与CEFG ，如图放置，点B ，C ，E 共线，点C ，D ，G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（ ）A ．1B ．23C ．22D ．5 10．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD ，AD 上的点，且CE=DF ，AE ，BF 相交于点O ，下列结论:①AE=BF ；②AE⊥BF ；③AO=OE ；④S △AOB =S 四边形DEOF 中，正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)112x 9-x 的取值范围是_______．12．若实数x 、y 满足y 2020x x 20202019=-+-+，()2020x-y =则_______．13．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM=3，BC=10，则OB 的长为___________．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=2时，则阴影部分的面积为________．15．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作BD 的垂线分别交AD ，BC 于E ，F 两点．若AC=，∠AEO=120°，则FC 的长度为___________316．如图，P 是边长为4的正方形ABCD 的对角线BD 上的一动点，且点E 是边AD 的中点，求PE+PA 的最小值为___________．三、解答题(本大题共8个小题，满分72分)17．（本题满分8分，每小题4分）计算：（1）120-555（2((551515231523+. 18．（8分）先化简，再求值：3x 3x 36x xy 4x 36xy ,x y 3.y y y 2+-+==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中， 19．（8分）如图，已知平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，E 是BO 的中点，过B 点作AC 的平行线，交CE 的延长线于点F ，连接BF.（1）求证：FB=AO ；（2）当平行四边形ABCD 满足什么条件时，四边形AFBO 是菱形？说明理由．20．（本题满分8分）在Y ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，且BE=DF ．（1）如图1，连接AE 、CF ，求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）如图2，连接AE 、BF 交于点G ，连接DE 、CF 交于点H ，连接GH ，若E 为BC 的中点，在不添加辅助线的情况下，请直接写出以G 、H 为顶点的平行四边形．21．(本题满分8分)如图，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，点P 从点D 出发向点A 运动，运动到点A 即停止；同时点Q 从点B 出发向点C 运动，运动到点C 即停止．点P 、Q 的速度的速度都是1cm/s ，连结PQ ，AQ ，CP ，设点P 、Q 运动的时间为t （s ）．（1）当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形？（2）当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形？（3）分别求出（2）中菱形AQCP 的周长和面积．22．(10分)如图1，已知AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠B=∠C ．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC=2∠DCM．①如图2，若N为AB中点，BN=2，求CN的长；②如图2，若CM=3，CN=4，求BC的长．23(10分)．如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．(1)求∠FGH度数(2)连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长．24．（本题满分12分）．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A、C分别在x 轴和y轴的正半轴上，点B（6，6）在第一象限，AP平分∠CAB交OB于P．（1）求∠OPA的度数和OP的长；（2）点P不动，将正方形OABC绕点O逆时针旋转至图2的位置，∠COP=60°，AP交OB于点F，连接CF．求证：OF+CF=PF；（3）如图3，在（2）的条件下，正方形的边AB交x轴于点D、OE平分∠BAD，M、N是OB、OE 上的动点，求BN+MN的最小值，请在图中画出示意图并简述理由．湖北省2019–2020学年八年级数学下学期期中测试卷 （解析版） 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．下列二次根式中，最简二次根式是A ．8B ．223C ．37xD 22x y +． 【答案】D2．如果3，4，a 是勾股数，则a 的值是A ．5B ．C ．或5D ．7 【答案】A3．下列各式中，计算正确的是A ．1212= B ．2(33)9-= C ．2(21)322+=+D ．1052÷=【答案】C 4．如图，一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 外移A ．7米B ．8米C ．9米D ．10米【答案】B 5．在四边形ABCD 中，给出条件：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③AB=CD ；④AD=BC ；⑤∠A=∠C ；⑥∠B=∠D ．将其中的任意两个进行组合，能判定四边形ABCD 是平行四边形的有A ．10组B ．9组C ．8组D ．7组【答案】C6．如图，在菱形ABCD 中，AB=5，对角线AC=6．若过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为( )A ．4B ．2．4C ．4．8D ．5【答案】C 7．已知()()22m 12,n 12,7m 14m 93n 6n 7=+=-----则代数式的值为 A ．8B ．–8C ．10D ．–6 【答案】A8．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交成的锐角α为60°，若AC=10，BD=8，则▱ABCD 的面积是A ．20B ．20C ．30D ．30 【答案】B 9．矩形ABCD 与CEFG ，如图放置，点B ，C ，E 共线，点C ，D ，G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（ ）A ．1B ．23C ．22D 5【答案】C 10．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD ，AD 上的点，且CE=DF ，AE ，BF 相交于点O ，下列结论:①AE=BF ；②AE⊥BF ；③AO=OE ；④S △AOB =S 四边形DEOF 中，正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11．若代数式2x 9x 3--在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______．【答案】x 3x 3>≤-或12．若实数x 、y 满足y 2020x x 20202019=-+-+，()2020x-y =则_______．【答案】1．13．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM=3，BC=10，则OB 的长为___________．【答案】3414．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=2时，则阴影部分的面积为________．【答案】4．15．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 作BD 的垂线分别交AD ，BC 于E ，F 两点．若AC=，∠AEO=120°，则FC 的长度为___________3 【答案】316．如图，P 是边长为4的正方形ABCD 的对角线BD 上的一动点，且点E 是边AD 的中点，求PE+PA 的最小值为___________．【答案】25三、解答题(本大题共8个小题，满分72分) 17．（本题满分8分，每小题4分）计算：（1）120-555（2((551515231523+. 【解答】（1）原式5555（2）原式=553-–12=83-18．（8分）先化简，再求值：3x 3x 3xy 36xy ,x y 3.y y y 2+-+==⎛⎛ ⎝⎝其中， 【解答】原式=2x 3xy y-（） 3x ,y 3=322==-当时，原式19．（8分）如图，已知平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，E 是BO 的中点，过B 点作AC 的平行线，交CE 的延长线于点F ，连接BF.（1）求证：FB=AO ；（2）当平行四边形ABCD 满足什么条件时，四边形AFBO 是菱形？说明理由．【解答】证明：（1）如图，取BC的中点G，连接EG．∵E是BO的中点，∴EG是△BFC的中位线，∴EG=0．5BF．同理，EG=0．5OC，∴BF=OC．又∵点O是▱ABCD的对角线交点，∴AO=CO，∴BF=AO．又∵BF∥AC，即BF∥AO，∴四边形AOBF为平行四边形，∴FB=AO；（2）当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．理由如下：∵平行四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴平行四边形AFBO是菱形．20．（本题满分8分）在Y ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且BE=DF．（1）如图1，连接AE、CF，求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如图2，连接AE、BF交于点G，连接DE、CF交于点H，连接GH，若E为BC的中点，在不添加辅助线的情况下，请直接写出以G、H为顶点的平行四边形．【解答】(1)证AF平行且等于CE即可．（2）AGHF，FGHD，GEHF，GBEH，GECH．21．(本题满分8分)如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【解答】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=8﹣t，解得t=4．答：当t=4时，四边形ABQP是矩形；（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形当AQ=CQ，即224t =8﹣t时，四边形AQCP为菱形．解得：t=3．答：当t=3时，四边形AQCP是菱形；（3）当t=3时，CQ=5，则周长为：4CQ=20cm，面积为：4×8﹣2×12×3×4=20（cm2）．22．(10分)如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B=∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC=2∠DCM．①如图2，若N为AB中点，BN=2，求CN的长；②如图2，若CM=3，CN=4，求BC的长．【解答】（1）证明：如图1中，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠B=∠C，∴∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形．（2）①如图2中，延长CM、BA交于点E．∵AN=BN=2，∴AB=CD=4，∵AE∥DC，∴∠E=∠MCD，在△AEM和△DCM中，∠E=∠MCD，∠AME=∠CMD，AM=DM，∴△AME≌△DMC，∴AE=CD=4，∵∠BNC=2∠DCM=∠NCD，∴∠NCE=∠ECD=∠E，∴CN=EN=AE+AN=4+2=6．②如图2中由①可知，△EAM≌△CDM，EN=CN，∴EM=CM=3，EN=CN=4，设BN=x，则BC2=CN2–BN2=CE2–EB2，∴42–x2=62–（x+42，∴x=，∴BC=2222137 CN BN422⎛⎫-=-=⎪⎝⎭23(10分)．如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．(1)求∠FGH度数(2)连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长．【解答】（1）∵度F，G，H分别是DE，BE，BC的中点知∴FG∥AB，GH∥AC∵道AB⊥回AC∴FG⊥GH即∠FGH=90°（2）连答接HM，则HM∥BD，HM=12BD=4同理GH=12CE=3∵BD⊥CE，∴HM⊥GH由勾股定理的可得GM=524．（本题满分12分）．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A、C分别在x 轴和y轴的正半轴上，点B（6，6）在第一象限，AP平分∠CAB交OB于P．（1）求∠OPA的度数和OP的长；（2）点P不动，将正方形OABC绕点O逆时针旋转至图2的位置，∠COP=60°，AP交OB于点F，连接CF．求证：OF+CF=PF；（3）如图3，在（2）的条件下，正方形的边AB交x轴于点D、OE平分∠BAD，M、N是OB、OE 上的动点，求BN+MN的最小值，请在图中画出示意图并简述理由．【解答】（1）如图1，∵AC，OB是正方形OABC的对角线，∴OA=AB，∠2=∠3=∠BAC=45°，∵AP是∠BAC的角平分线，∴∠1=∠BAC=22．5°，∴∠OAP=∠3+∠1=67．5°，在△OAP中，∠OPA=180°﹣∠2﹣∠OAP=67．5°，∴∠OAP=∠OPA，∴OA=OP，∵B（6，6），∴AB=6，∴OA=AB=6，∴OP=6；（2）如图2，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∵∠COP=60°，∴∠AOP=150°，由（1）知，OP=OA∴∠P=15°，由（1）知，∠POG=45°，∴∠AGO=∠P+∠POG=60°，∵OB是正方形的对角线，∴∠BOC=45°，∵∠COP=60°，∠POG=45°，∴∠BOG=∠COP=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG=OG，∴△COF≌△POG（SAS），∴PG=CF，∴CF+OF=PG+FG=PF；（3）如图3，过点B作BQ⊥OE于Q，延长BQ交x轴于B'，∵OE是∠DOB的平分线，∴BQ=B'Q，∴点B'与点B关于OE对称，连接B'M'交OE于N'，∴BN'+M'N'=B'N'+M'N'=B'M'，过点B'作B'M⊥OB于M，交OE于E，此时，BN+MN最小，∵OB是边长为6的正方形的对角线，∴OB=62由作图知，OB'=OB=62由（2）易知，∠BOH=30°，在Rt△B'OM中，B'M=OB'=3即：BN+MN的最小值为32．。
2020年湖北省荆州市中考数学试题及参考答案(word解析版)
荆州市2020年初中学业水平考试数学试题（满分为120分，考试时间为120分钟）一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．有理数﹣2的相反数是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣2．下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A．B．C．D．3．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（）A．B．C．D．4．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°5．八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝D．﹣＝6．若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A．+1 B．﹣1 C．2D．1﹣7．如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A．①B．②C．③D．④8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）A．（，）B．（，1）C．（2，1）D．（2，）9．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根10．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为．（用“＜”号连接）12．若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则的值为．13．已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：．（只需写一条）14．若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是．15．“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了km．16．我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a是不等式组的最小整数解．18．（8分）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4﹣5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设＝t（t≥0），则有x2+2x＝t2原方程可化为：t2+4t﹣5＝0【续解】19．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：BC∥AD；（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．20．（8分）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数/人数/年级80 85 90 95 100 七年级 2 2 3 2 1八年级 1 2 4 a 1 分析数据：平均数中位数众数方差七年级89 b 90 39八年级 c 90 d 30 根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？21．（8分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x …﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 …y … 1 2 4 4 2 m …描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①；②；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B 作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．23．（10分）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地/生产厂 A B甲20 25乙15 24 （1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．答案与解析一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1．有理数﹣2的相反数是（）A．2 B．C．﹣2 D．﹣【知识考点】相反数．【思路分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解题过程】解：有理数﹣2的相反数是：2．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了相反数，正确把握相关定义是解题关键．2．下列四个几何体中，俯视图与其它三个不同的是（）A．B．C．D．【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．【解题过程】解：选项A的俯视图是三角形，选项B、C、D的俯视图均为圆．故选：A．【总结归纳】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3．在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象是（）A．B．C．D．【知识考点】一次函数的图象．【思路分析】依据一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），即可得到一次函数y＝x+1的图象经过一二三象限．【解题过程】解：一次函数y＝x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝﹣1，∴一次函数y＝x+1的图象经过点（0，1）和（﹣1，0），∴一次函数y＝x+1的图象经过一二三象限，故选：C．【总结归纳】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线．4．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】根据平行线的性质和翻折的性质解答即可．【解题过程】解：如图所示：∵将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，∴ED∥FA，∠EBC＝∠CBA，∴∠EBC＝∠ACB，∠CAB＝∠DBA＝30°，∵∠EBC+∠CBA+∠ABD＝180°，∴∠ACB+∠ACB+30°＝180°，∴∠ACB＝75°，故选：D．【总结归纳】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．5．八年级学生去距学校10km的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（）A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝D．﹣＝【知识考点】由实际问题抽象出分式方程．【思路分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合骑车的学生比乘车的学生多用20min（即h），即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解题过程】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则乘车学生的速度为2xkm/h，依题意，得：﹣＝．故选：C．【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6．若x为实数，在“（+1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（）A．+1 B．﹣1 C．2D．1﹣【知识考点】分母有理化．【思路分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可．【解题过程】解：A．（+1）﹣（+1）＝0，故本选项不合题意；B．（+1）＝2，故本选项不合题意；C．（+1）与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；D．（+1）（1﹣）＝﹣2，故本选项不合题意．故选：C．【总结归纳】本题主要考查了实数的运算，熟记平方差公式是解答本题的关键．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．7．如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE＝CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE＝DF；④∠BCE＝∠CDF．只选取其中一条添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A．①B．②C．③D．④【知识考点】全等三角形的判定；菱形的性质．【思路分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论．【解题过程】解：∵四边形BCD是菱形，∴BC＝CD，AB∥CD，∴∠B＝∠DCF，①∵添加BE＝CF，∴△BCE≌△CDF（SAS），②∵添加CE⊥AB，DF⊥BC，∴∠CEB＝∠F＝90°，∴△BCE≌△CDF（AAS），③∵添加CE＝DF，不能确定△BCE≌△CDF；④∵添加∠BCE＝∠CDF，∴△BCE≌△CDF（ASA），故选：C．【总结归纳】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．C 为OA的中点，BC＝1，则点A的坐标为（）A．（，）B．（，1）C．（2，1）D．（2，）【知识考点】坐标与图形性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．【思路分析】根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根据勾股定理可得OB的值，进而可得点A的坐标．【解题过程】解：如图，∵Rt△OAB的斜边OA在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30°．∴∠AOD＝30°，∴AD＝OA，∵C为OA的中点，∴AD＝AC＝OC＝BC＝1，∴OA＝2，∴OD＝，则点A的坐标为：（，1）．故选：B．【总结归纳】本题考查了解直角三角形、坐标与图形性质、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是综合运用以上知识．9．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【知识考点】实数的运算；根的判别式．【思路分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．【解题过程】解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．【总结归纳】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值为（）A．B．C．D．【知识考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形．【思路分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BDC，根据余弦的定义解答即可．【解题过程】解：如图，作直径BD，连接CD，由勾股定理得，BD＝＝2，在Rt△BDC中，cos∠BDC＝＝＝，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BDC，∴cos∠BAC＝cos∠BDC＝，故选：B．【总结归纳】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若a＝（π﹣2020）0，b＝﹣（）﹣1，c＝|﹣3|，则a，b，c的大小关系为．（用“＜”号连接）【知识考点】绝对值；实数大小比较；零指数幂；负整数指数幂．【思路分析】利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解题过程】解：∵a＝（π﹣2020）0＝1，b＝﹣（）﹣1＝﹣2，c＝|﹣3|＝3，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．【总结归纳】此题主要考查了负整数指数幂的性质、绝对值的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题的关键．12．若单项式2x m y3与3xy m+n是同类项，则的值为．【知识考点】算术平方根；同类项．【思路分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出n，m 的值，再代入代数式计算即可．【解题过程】解：根据题意得：m＝1，m+n＝3，解得n＝2，所以2m+n＝2+2＝4，＝＝2．故答案是：2．【总结归纳】本题考查了算术平方根和同类项的定义．解题的关键是掌握算术平方根和同类项的定义，要注意同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．13．已知：△ABC，求作：△ABC的外接圆．作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们相交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画圆．如图，⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据有：．（只需写一条）【知识考点】线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心；作图—复杂作图．【思路分析】利用线段垂直平分线的性质得到OA＝OC＝OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．【解题过程】解：∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC＝OB，∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的性质．【总结归纳】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．14．若标有A，B，C的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只（摘B前需先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】画出树状图，由概率公式即可得出答案．【解题过程】解：画树状图如图：共有3个可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，∴最后一只摘到B的概率为；故答案为：．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．15．“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km．若tan∠ABC＝，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了km．【知识考点】解直角三角形的应用．【思路分析】过D点作DF⊥BC，设EF＝xkm，则DF＝xkm，BF＝xkm，在Rt△BFD中，根据勾股定理得到BD，进一步求得AB，再根据三角函数可求x，可得BC＝8km，AC＝6km，AB ＝10km，从而求解．【解题过程】解：过D点作DF⊥BC，设EF＝xkm，则DF＝xkm，BF＝xkm，在Rt△BFD中，BD＝＝xkm，∵D地在AB正中位置，∴AB＝2BD＝xkm，∵tan∠ABC＝，∴cos∠ABC＝，∴＝，解得x＝3，则BC＝8km，AC＝6km，AB＝10km，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了8+10+6＝24（km）．故答案为：24．【总结归纳】此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．16．我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为．【知识考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【思路分析】根据题意令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，利用求根公式可得m，将m代入可得函数图象与x轴的交点坐标；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．【解题过程】解：根据题意，令y＝0，将关联数（m，﹣m﹣2，2）代入函数y＝ax2+bx+c，则有mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0，△＝（﹣m﹣2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2＞0，∴mx2+（﹣m﹣2）x+2＝0有两个根，由求根公式可得x＝x＝x1＝＝1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；x2＝＝，当m＝1或2时符合题意；x2＝2或1；x3＝＝，当m＝1或2时符合题意；x3＝2或1；x4＝＝1，此时m为不等于0的任意数，不合题意；所以这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）；令x＝0，可得y＝c＝2，即得这个函数图象上整交点的坐标（0，2）．综上所述，这个函数图象上整交点的坐标为（2，0），（1，0）或（0，2）；故答案为：（2，0），（1，0）或（0，2）．【总结归纳】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的特征，理解题意是解答此题的关键．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a是不等式组的最小整数解．【知识考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【思路分析】先化简分式，然后将a的整数解代入求值．【解题过程】解：原式＝•＝．解不等式组中的①，得a≥2．解不等式②，得a＜4．则2≤a＜4．所以a的最小整数值是2，所以，原式＝＝．【总结归纳】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．18．（8分）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4﹣5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设＝t（t≥0），则有x2+2x＝t2原方程可化为：t2+4t﹣5＝0【续解】【知识考点】解一元二次方程﹣因式分解法；换元法解一元二次方程；无理方程．【思路分析】利用因式分解法解方程t2+4t﹣5＝0得到t1＝﹣5，t2＝1，再分别解方程＝﹣5和方程＝1，然后进行检验确定原方程的解．【解题过程】解：（t+5）（t﹣1）＝0，t+5＝0或t﹣1＝0，∴t1＝﹣5，t2＝1，当t＝﹣5时，＝﹣5，此方程无解；当t＝1时，＝1，则x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；经检验，原方程的解为x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【总结归纳】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．19．（8分）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：BC∥AD；（2）若AB＝4，BC＝1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．【知识考点】平行线的判定与性质；轨迹；旋转的性质．【思路分析】（1）只要证明∠CBE＝∠DAB＝60°即可，（2）由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，利用弧长公式计算即可．【解题过程】（1）证明：由题意，△ABC≌△DBE，且∠ABD∠CBE＝60°，∴AB＝DB，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°，∴∠CBE＝∠DAB，∴BC∥AD．（2）解：由题意，BA＝BD＝4，BC＝BE＝1，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴A，C两点旋转所经过的路径长之和＝+＝．【总结归纳】本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．（8分）6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．整理数据：分数/人数/年级80 85 90 95 100 七年级 2 2 3 2 1八年级 1 2 4 a 1 分析数据：平均数中位数众数方差七年级89 b 90 39八年级 c 90 d 30 根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”．估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”？【知识考点】用样本估计总体；中位数；众数；方差．【思路分析】（1）根据提供数据确定八年级95分的人数，利用众数中位数及平均数分别确定其他未知数的值即可；（2）利用平均数、众数及方差确定哪个年级的成绩好即可；（3）用样本的平均数估计总体的平均数即可．【解题过程】解：（1）观察八年级95分的有2人，故a＝2；七年级的中位数为，故b＝90；八年级的平均数为：[85+85+95+80+95+90+90+90+100+90]＝90，故c＝90；八年级中90分的最多，故d＝90；（2）七、八年级学生成绩的中位数和众数相同，但八年级的平均成绩比七年级高，且从方差看，八年级学生成绩更整齐，综上，八年级的学生成绩好；（3）∵600×＝390（人），∴估计该校七、八年级这次竞赛达到优秀的有390人．【总结归纳】本题考查了中位数、众数、平均数、方差等统计基础知识，明确相关统计量表示的意义及相关计算方法是解题的关键．21．（8分）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质共探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x …﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ 1 2 3 …y … 1 2 4 4 2 m …描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；①；②；（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y＝的图象于A，B两点，连接OA，过点B 作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝；②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝；③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y＝（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，求出m的值；补全图象；（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；（3）由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．【解题过程】解：（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，∴m＝1，故答案为：1；补全图象如图所示：（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形＝4S△OAM＝4×|k|＝2|k|＝4，OABC②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，③S四边形OABC＝2|k|＝2k，故答案为：4，4，2k．【总结归纳】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3，（1）求证：△EGC∽△GFH；（2）求AD的长；（3）求tan∠GFH的值．【知识考点】相似形综合题．【思路分析】（1）由矩形的性质得出∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠的性质得出∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，证得∠EGC＝∠GFH，则可得出结论；（2）由面积关系可得出GH：AH＝2：3，由折叠的性质得出AG＝AB＝GH+AH＝20，求出GH ＝8，AH＝12，则可得出答案；（3）由勾股定理求出DG＝16，设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，由勾股定理得出方程82+x2＝（16﹣x）2，解出x＝6，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°，∴∠EGC＝∠GFH，∴△EGC∽△GFH．（2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高，∴GH：AH＝2：3，∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处，∴AG＝AB＝GH+AH＝20，∴GH＝8，AH＝12，∴AD＝AH＝12．（3）解：在Rt△ADG中，DG＝＝＝16，由折叠的对称性可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x，∵GH2+HF2＝GF2，∴82+x2＝（16﹣x）2，解得：x＝6，∴HF＝6，在Rt△GFH中，tan∠GFH＝．【总结归纳】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．23．（10分）为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下表（单位：元/吨）．目的地/生产厂 A B甲20 25乙15 24 （1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？（2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元．求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；（3）当每吨运费均降低m元（0＜m≤15且m为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求m的最小值．【知识考点】一次函数的应用．【思路分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可；（2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可；（3）根据题意以及（2）的结论可得y＝﹣4x+11000﹣500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可．【解题过程】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，则：，解得，即这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨；（2）由题意得：y＝20（240﹣x）+25[260﹣（300﹣x）]+15x+24（300﹣x）＝﹣4x+11000，∵，解得：40≤x≤240，又∵﹣4＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝240时，可以使总运费最少，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+11000；使总运费最少的调运方案为：甲厂的200吨物资全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；（3）由题意和（2）的解答得：y＝﹣4x+11000﹣500m，当x＝240时，y最小＝﹣4×240+11000﹣500m＝10040﹣500m，∴10040﹣500m≤5200，解得：m≥9.68，而0＜m≤15且m为整数，∴m的最小值为10．【总结归纳】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）如图1，设AB与y轴交于M，先证明OE是△ABC的中位线，得BC＝2OE，E（，﹣1），利用勾股定理计算OE的长，可得BC的长，根据勾股定理的逆定理计算AC2+BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，可得结论；（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明OD与BC平行且相等，可得四边形。
2019-2020学年湖北省荆州市中考数学试卷(含解析及答案)
2019-2020学年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）1．（3.00分）下列代数式中，整式为（）A．x+1 B． C．D．2．（3.00分）如图，两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点A、点B，则下列说法正确的是（）A．原点在点A的左边B．原点在线段AB的中点处C．原点在点B的右边D．原点可以在点A或点B上3．（3.00分）下列计算正确的是（）A．3a2﹣4a2=a2B．a2•a3=a6 C．a10÷a5=a2D．（a2）3=a64．（3.00分）如图，两条直线l1∥l2，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，顶点A、B 分别在l1和l2上，∠1=20°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°5．（3.00分）解分式方程﹣3=时，去分母可得（）A．1﹣3（x﹣2）=4 B．1﹣3（x﹣2）=﹣4 C．﹣1﹣3（2﹣x）=﹣4D．1﹣3（2﹣x）=46．（3.00分）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，则可列方程组为（）A．B．C．D．7．（3.00分）已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（）A．经过第一、二、四象限B．与x轴交于（1，0）C．与y轴交于（0，1）D．y随x的增大而减小8．（3.00分）如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（）A．B．C．D．9．（3.00分）荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到荆州观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整）．根据图中信息，下列结论错误的是（）A．本次抽样调查的样本容量是5000B．扇形图中的m为10%C．样本中选择公共交通出行的有2500人D．若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有25万人10．（3.00分）如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD 的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3.00分）计算：|﹣2|﹣+（）﹣1+tan45°=．12．（3.00分）已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC 即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是．13．（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是．14．（3.00分）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为米（≈1.73，结果精确到0.1）．15．（3.00分）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1．（填“＞”或“＜”或“=”）16．（3.00分）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是．17．（3.00分）如图，将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中，测得相关数据如图所示（图中数据单位：cm），则钢球的半径为cm（圆锥的壁厚忽略不计）．18．（3.00分）如图，正方形ABCD的对称中心在坐标原点，AB∥x轴，AD、BC 分别与x轴交于E、F，连接BE、DF，若正方形ABCD有两个顶点在双曲线y=上，实数a满足a3﹣a=1，则四边形DEBF的面积是．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（10.00分）（1）求不等式组的整数解；（2）先化简，后求值（1﹣）÷，其中a=+1．20．（8.00分）为了参加“荆州市中小学生首届诗词大会”，某校八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八（1）班86，85，77，92，85；八（2）班79，85，92，85，89．通过数据分析，列表如下：（1）直接写出表中a，b，c的值；（2）根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由．21．（8.00分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G．求证：（1）△AFG≌△AFP；（2）△APG为等边三角形．22．（8.00分）探究函数y=x+（x＞0）与y=x+（x＞0，a＞0）的相关性质．（1）小聪同学对函数y=x+（x＞0）进行了如下列表、描点，请你帮他完成连线的步骤；观察图象可得它的最小值为，它的另一条性质为；（2）请用配方法求函数y=x+（x＞0）的最小值；（3）猜想函数y=x+（x＞0，a＞0）的最小值为．23．（10.00分）问题：已知α、β均为锐角，tanα=，tanβ=，求α+β的度数．探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．24．（10.00分）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．25．（12.00分）阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P （x1，y1）、Q（x2，y2），则P、Q这两点间的距离为|PQ|=．如P（1，2），Q（3，4），则|PQ|==2．对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．（1）到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是；（2）若动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；问题拓展：（3）若（2）中的动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②+为定值．2019-2020学年湖北省荆州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）1．（3.00分）下列代数式中，整式为（）A．x+1 B． C．D．【分析】直接利用整式、分式、二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：A、x+1是整式，故此选项正确；B、，是分式，故此选项错误；C、是二次根式，故此选项错误；D、，是分式，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了整式、分式、二次根式的定义，正确把握相关定义是解题关键．2．（3.00分）如图，两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点A、点B，则下列说法正确的是（）A．原点在点A的左边B．原点在线段AB的中点处C．原点在点B的右边D．原点可以在点A或点B上【分析】根据互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等解答．【解答】解：∵点A、点B表示的两个实数互为相反数，∴原点在到在线段AB上，且到点A、点B的距离相等，∴原点在线段AB的中点处，故选：B．【点评】本题考查的是实数与数轴、相反数的概念，掌握互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等是解题的关键．3．（3.00分）下列计算正确的是（）A．3a2﹣4a2=a2B．a2•a3=a6 C．a10÷a5=a2D．（a2）3=a6【分析】根据合并同类项法则，单项式的乘法运算法则，单项式的除法运算法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、3a2﹣4a2=﹣a2，错误；B、a2•a3=a5，错误；C、a10÷a5=a5，错误；D、（a2）3=a6，正确；故选：D．【点评】本题考查了整式的除法，单项式的乘法，合并同类项法则，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．4．（3.00分）如图，两条直线l1∥l2，Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，顶点A、B 分别在l1和l2上，∠1=20°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．75°【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠CAB=∠2，∵Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∴∠2=20°+45°=65°，故选：C．【点评】本题考查的是等腰直角三角形，根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答是解答此题的关键．5．（3.00分）解分式方程﹣3=时，去分母可得（）A．1﹣3（x﹣2）=4 B．1﹣3（x﹣2）=﹣4 C．﹣1﹣3（2﹣x）=﹣4D．1﹣3（2﹣x）=4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．【解答】解：去分母得：1﹣3（x﹣2）=﹣4，故选：B．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．6．（3.00分）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，则可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，，故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．7．（3.00分）已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（）A．经过第一、二、四象限B．与x轴交于（1，0）C．与y轴交于（0，1）D．y随x的增大而减小【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．【解答】解：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1，A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误；C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确；D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误；故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．8．（3.00分）如图，将一块菱形ABCD硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以分别求得矩形的面积和菱形的面积，从而可以解答本题．【解答】解：设CD=5a，∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，sinD=，∴CF=4a，DF=3a，∴AF=2a，∴命中矩形区域的概率是：=，故选：B．【点评】本题考查几何概率、菱形的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．9．（3.00分）荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到荆州观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整）．根据图中信息，下列结论错误的是（）A．本次抽样调查的样本容量是5000B．扇形图中的m为10%C．样本中选择公共交通出行的有2500人D．若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有25万人【分析】结合条形图和扇形图，求出样本人数，进而进行解答．【解答】解：A、本次抽样调查的样本容量是=5000，正确；B、扇形图中的m为10%，正确；C、样本中选择公共交通出行的有5000×50%=2500人，正确；D、若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有50×40%=20万人，错误；故选：D．【点评】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，熟悉样本、用样本估计总体是解题的关键，另外注意学会分析图表．10．（3.00分）如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD 的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，求出⊙P的半径，进而结合勾股定理得出答案．【解答】解：连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D 到弦OB的距离最大，∵A（8，0），B（0，6），∴AO=8，BO=6，∵∠BOA=90°，∴AB==10，则⊙P的半径为5，∵PE⊥BO，∴BE=EO=3，∴PE==4，∴ED=9，∴tan∠BOD==3．故选：B．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及勾股定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（3.00分）计算：|﹣2|﹣+（）﹣1+tan45°=3．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：|﹣2|﹣+（）﹣1+tan45°=2﹣2+2+1=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12．（3.00分）已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC 即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是SSS．【分析】利用基本作图得到OM=ON，CM=CN，加上公共边OC，则可根据SSS证明三角形全等．【解答】解：由作法①知，OM=ON，由作法②知，CM=CN，∵OC=OC，∴△OCM≌△OCN（SSS），故答案为：SSS．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．13．（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是5．【分析】根据运算程序可找出前几次输出的结果，根据输出结果的变化找出变化规律“第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．【解答】解：∵第1次输出的结果是25，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是5，第5次输出的结果是5，…，∴第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数），∴第2018次输出的结果是5．故答案为：5．【点评】本题考查了代数式求值以及规律型中数字的变化类，根据输出结果的变化找出变化规律是解题的关键．14．（3.00分）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为24.1米（≈1.73，结果精确到0.1）．【分析】设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，进而得出BE=CE=33，AE=a+33，在Rt△ACE中，依据tanA=，即可得到a的值．【解答】解：如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，∴CE=33，∵∠CBE=45°=∠BCE，∠CAE=30°，∴BE=CE=33，∴AE=a+33，∵tanA=，∴tan30°=，即33=a+33，解得a=33（﹣1）≈24.1，∴a的值约为24.1米，故答案为：24.1．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，关键是根据在直角三角形中三角函数的定义列出算式，得出关于a的方程．15．（3.00分）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1＞．（填“＞”或“＜”或“=”）【分析】依据勾股定理即可得到AD==，AB==，BD+AD=+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到+1＞．【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1，∴CD=2，AD==，AB==，∴BD+AD=+1，又∵△ABD中，AD+BD＞AB，∴+1＞，故答案为：＞．【点评】本题主要考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边．16．（3.00分）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是4．【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1•x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值．【解答】解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k，∵x12+x22=4，∴=4，（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，2k2+2k﹣4=0，k2+k﹣2=0，k=﹣2或1，∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，k≥0，∴k=1，∴x1•x2=k2﹣k=0，∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4．故答案为：4．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．17．（3.00分）如图，将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中，测得相关数据如图所示（图中数据单位：cm），则钢球的半径为cm（圆锥的壁厚忽略不计）．【分析】根据相似三角形的性质先求出钢球的直径，进一步得到钢球的半径．【解答】解：钢球的直径：×20=（cm），钢球的半径：÷2=（cm）．答：钢球的半径为cm．故答案为：．【点评】考查了圆锥的计算，相似三角形的性质，关键是求出钢球的直径．18．（3.00分）如图，正方形ABCD的对称中心在坐标原点，AB∥x轴，AD、BC 分别与x轴交于E、F，连接BE、DF，若正方形ABCD有两个顶点在双曲线y=上，实数a满足a3﹣a=1，则四边形DEBF的面积是6或2或10．【分析】根据乘方，可得a的值，根据正方形的对称中心在坐标原点，可得B 点的横坐标等于纵坐标，根据平行四边形的面积公式，可得答案．【解答】解：由a3﹣a=1得a=1，或a=﹣1，a=3．①当a=1时，函数解析式为y=，由正方形ABCD的对称中心在坐标原点，得B点的横坐标等于纵坐标，x=y=，四边形DEBF的面积是2x•y=2×=6②当a=﹣1时，函数解析式为y=，由正方形ABCD的对称中心在坐标原点，得B点的横坐标等于纵坐标，x=y=1，四边形DEBF的面积是2x•y=2×1×1=2；③当a=3时，函数解析式为y=，由正方形ABCD的对称中心在坐标原点，得B点的横坐标等于纵坐标，x=y=，四边形DEBF的面积是2x•y=2×=10，故答案为：6或2或10．【点评】本题考查了反比例函数的意义，利用乘方的意义得出a的值是解题关键，又利用了中心对称的正方形，平行四边形的面积．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．（10.00分）（1）求不等式组的整数解；（2）先化简，后求值（1﹣）÷，其中a=+1．【分析】（1）分别解每个不等式，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集，从而得出答案；（2）先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：（1）解不等式①，得：x≥﹣1，解不等式②，得：x＜1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜1，∴不等式组的整数解为﹣1、0；（2）原式=（﹣）÷=•=，当a=+1时，原式==．【点评】本题主要考查分式的化简求值与解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解不等式的能力．20．（8.00分）为了参加“荆州市中小学生首届诗词大会”，某校八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八（1）班86，85，77，92，85；八（2）班79，85，92，85，89．通过数据分析，列表如下：（1）直接写出表中a，b，c的值；（2）根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由．【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的概念解答即可；（2）根据它们的方差，从而可以解答本题．【解答】解：（1）a=，b=85，c=85，（2）∵22.8＞19.2，∴八（2）班前5名同学的成绩较好，【点评】本题考查平均数、众数、中位数、方差，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．21．（8.00分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G．求证：（1）△AFG≌△AFP；（2）△APG为等边三角形．【分析】（1）由折叠的性质得到M、N分别为AD、BC的中点，利用平行线分线段成比例得到F为PG的中点，再由折叠的性质得到AF垂直于PG，利用SAS即可得证；（2）由（1）的全等三角形，得到对应边相等，利用三线合一得到∠2=∠3，由折叠的性质及等量代换得到∠PAG为60°，根据AP=AG且有一个角为60°即可得证．【解答】证明：（1）由折叠可得：M、N分别为AD、BC的中点，∵DC∥MN∥AB，∴F为PG的中点，即PF=GF，由折叠可得：∠PFA=∠D=90°，∠1=∠2，在△AFP和△AFG中，，∴△AFP≌△AFG（SAS）；（2）∵△AFP≌△AFG，∴AP=AG，∵AF⊥PG，∴∠2=∠3，∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠3=30°，∴∠2+∠3=60°，即∠PAG=60°，∴△APG为等边三角形．【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．22．（8.00分）探究函数y=x+（x＞0）与y=x+（x＞0，a＞0）的相关性质．（1）小聪同学对函数y=x+（x＞0）进行了如下列表、描点，请你帮他完成连线的步骤；观察图象可得它的最小值为2，它的另一条性质为当x＞1时，y随x的增大而增大；（2）请用配方法求函数y=x+（x＞0）的最小值；（3）猜想函数y=x+（x＞0，a＞0）的最小值为2．【分析】（1）根据函数图象可以得到函数y=x+（x＞0）的最小值，然后根据函数图象，可以写出该函数的一条性质，注意函数的性质不唯一，写的只要复合函数即可；（2）根据配方法可以求得函数y=x+（x＞0）的最小值；（3）根据配方法可以求得函数y=x+（x＞0，a＞0）的最小值．【解答】解：（1）由图象可得，函数y=x+（x＞0）的最小值是2，它的另一条性质是：当x＞1时，y随x的增大而增大，故答案为：2，当x＞1时，y随x的增大而增大；（2）∵y=x+（x＞0），∴y=，∴当时，y取得最小值，此时x=1，y=2，即函数y=x+（x＞0）的最小值是2；（3）∵y=x+（x＞0，a＞0）∴y=，∴当时，y取得最小值，此时y=2，故答案为：2．【点评】本题考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（10.00分）问题：已知α、β均为锐角，tanα=，tanβ=，求α+β的度数．探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．【分析】（1）连结AM、MH，则∠MHP=∠α，然后再证明△AMH为等腰直角三角形即可；（2）先求得MH的长，然后再求得弧MR所对圆心角的度数，最后，再依据弧长公式求解即可．【解答】解：（1）连结AM、MH，则∠MHP=∠α．∵AD=MC，∠D=∠C，MD=HC，∴△ADM≌△MCH．∴AM=MH，∠DAM=∠HMC．∵∠AMD+∠DAM=90°，∴∠AMD+∠HMC=90°，∴∠AMH=90°，∴∠MHA=45°，即α+β=45°．（2）由勾股定理可知MH==．∵∠MHR=45°，∴==．【点评】本题主要考查的是弧长的计算、等腰直角三角形的判定，锐角三角函数的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．24．（10.00分）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；（2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意；（3）利用二次函数的性质求出y的最大值，设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b=8600，可得a+7b=1500，推出b的最大值为214，此时a=2，再求出实际植物面积即可判断；【解答】解：（1）y=x（36﹣2x）=﹣2x2+36x．（2）由题意：﹣2x2+36x=160，解得x=10或8．∵x=8时，36﹣16=20＜18，不符合题意，∴x的值为10．（3）∵y=﹣2x2+36x=﹣2（x﹣9）2+162，∴x=9时，y有最大值162，设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，由题意：14（400﹣a﹣b）+16a+28b=8600，∴a+7b=1500，∴b的最大值为214，此时a=2，需要种植的面积=0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214=162.8＞162，∴这批植物不可以全部栽种到这块空地上．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（12.00分）阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P （x1，y1）、Q（x2，y2），则P、Q这两点间的距离为|PQ|=．如P（1，2），Q（3，4），则|PQ|==2．对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．（1）到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是x2+（y﹣）2=1；（2）若动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；问题拓展：（3）若（2）中的动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，分别过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②+为定值．【分析】（1）利用两点间的距离公式即可得出结论；（2）利用两点间的距离公式即可得出结论；（3）①先确定出m+n=2k，mn=﹣1，再确定出M（m，﹣），N（n，﹣），进而判断出△AMN是直角三角形，再求出直线AQ的解析式为y=﹣x+，即可得出结论；②先确定出a=mk+，b=nk+，再求出AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，即可得出结论．【解答】解：（1）设到点A的距离等于线段AB长度的点D坐标为（x，y），∴AD2=x2+（y﹣）2，∵直线y=kx+交y轴于点A，∴A（0，），∵点A关于x轴的对称点为点B，∴B（0，﹣），∴AB=1，∵点D到点A的距离等于线段AB长度，∴x2+（y﹣）2=1，故答案为：x2+（y﹣）2=1；（2）∵过点B作直线l平行于x轴，∴直线l的解析式为y=﹣，∵C（x，y），A（0，），∴AC2=x2+（y﹣）2，点C到直线l的距离为：（y+），∵动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，∴x2+（y﹣）2=（y+）2，∴动点C轨迹的函数表达式y=x2，（3）①如图，设点E（m，a）点F（n，b），∵动点C的轨迹与直线y=kx+交于E、F两点，∴，∴x2﹣2kx﹣1=0，∴m+n=2k，mn=﹣1，∵过E、F作直线l的垂线，垂足分别是M、N，∴M（m，﹣），N（n，﹣），∵A（0，），∴AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n）2﹣2mn+2=4k2+4，MN2=（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=4k2+4，∴AM2+AN2=MN2，∴△AMN是直角三角形，MN为斜边，取MN的中点Q，∴点Q是△AMN的外接圆的圆心，∴Q（k，﹣），∵A（0，），∴直线AQ的解析式为y=﹣x+，∵直线EF的解析式为y=kx+，∴AQ⊥EF，∴EF是△AMN外接圆的切线；②证明：∵点E（m，a）点F（n，b）在直线y=kx+上，∴a=mk+，b=nk+，∵ME，NF，EF是△AMN的外接圆的切线，∴AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，∴+=+====2，即：+为定值，定值为2．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，直角三角形的判定和性质，根与系数的关系，圆的切线的判定和性质，利用根与系数的确定出m+n=2k，mn=﹣1是解本题是关键．。
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湖北省荆州市实验中学2019-2020学年八年级下学
期期中数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 下列根式中是最简二次根式的是( )
B．C．D．
A．
2. 下列各组线段中，不能组成直角三角形的一组是（）
A．，2，B．0.3，0.4，0.5 C．8，24，25 D．5，12，13
3. 如图，数轴上的点可近似表示的值是（）
A．点A B．点B C．点C D．点D
4. 要使有意义，则x应满足（）
A．≤x≤3B．x≤3且x≠C．＜x＜3 D．＜x≤3
5. 如图，?ABCD的对角线交于点，且AC：
：3，那么AC的长为（）
A．B．C．3 D．4
6. 如图，一棵大树在离地面3，5两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6处，则大树折断前的高度是（）
A．B．C．D．
7. 如图，在△ABC中，点D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，下列四个判断中不正确的是( )
A．四边形AEDF是平行四边形
B．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形
C．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是矩形
D．若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形
8. 如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（）
A．2个B．3个C．4个D．6个
9. 如图，在中，点为的中点，为的外角平分线，且
，若，则的长为( )
A．3
B．C．5
D．
10. 如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝BD，AC⊥BD，若AB＝4，AD＝5，则DC的长（）
A．7 B．C．D．
二、填空题
11. 把化为最简二次根式，结果是_________.
12. 最简二次根式与是同类二次根式，则______ ．
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1）．若平移点B到点D，使四边形OADB是平行四边形，则点D的坐标是_____．
14. 如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，点B、D到直线a的距离分别为3、4，则正方形的周长为_____．
15. 如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是
_____．
16. 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则的周长为
_______________．
17. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P是AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF∥BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为_____．
18. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，
CH⊥AF于点H，那么CH的长是_____．
三、解答题
19. 计算：．
20. 已知，计算x﹣y2的值．
21. 如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°．
（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积.
22. 如图，在?ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数．
23. 如图，中，，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为秒．（1）若点在上，且满足时，求此时的值；
（2）若点恰好在的平分线上，求的值．。