章末总结

空间线面位置关系的 转化
【例 2】 如图所示,已知
四棱锥 P ABCD 的侧面是 正三角形,E 是 PC 的中点. 求证:(1)PA∥平面 BDE; (2)平面 BDE⊥平面 PAC.
名师导引:(1)如何证明直线与平面平行?(证 明直线与平面内的一条直线平行或利用平面与 平面平行的性质证明) (2)如何证明两个平面垂直?(证明两个平面所 成的二面角为直角或利用面面垂直的判定定理 证明) 证明:(1)设 AC 接 EO. BD=O,连
又 CE 平面 ABCD,P EC, ∴P 平面 ABCD. 即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点,而平面 ABCD 平面 AA1D1D=AD. ∴P AD. ∴CE,D1F,DA 三线共点.
证明三线共点常用的方法是 先证明两条直线共面且相交于一点;然后证明 这个点在两个平面内,于是该点在这两个平面 的交线上,从而得到三线共点.也可以证明直线 a、b 相交于一点 A,直线 b 与 c 相交于一点 B, 再证明 A、B 是同一点,从而得到 a、b、c 三线 共点.
空间中直线与直线、直线与平 面、平面与平面之间位置关系的转化主要有: ①不同层次的平行关系的转化.
②不同层次的垂直关系的转化. 线线垂直 线面垂直 面面垂直
③平行与垂直的转化.
这种转化既可以是平行与平行的转化,垂直与 垂直的转化,又可以是垂直和平行的相互转化. 从思维角度看,这种转化为立体几何中位置关 系的证明提供了广阔的思维空间.

因为 OB=MO=
3 ,MO∥AB,
,所以 EO=OB=
EO MO 1 所以 = = EB AB 2
所以 EB=2
3,
3 =AB,所以∠AEB=45°.
故直线 AM 与平面 BCD 所成角的大小为 45°.
(2)CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线, 由(1)知,O 是 BE 的中点,则四边形 BCED 是菱形. 作 BF⊥EC 于 F,连接 AF,则 AF⊥EC, 所以∠AFB 就是二面角 A EC B 的平面角,设为θ. 因为∠BCE=120°,所以∠BCF=60°. 所以 BF=BC·sin 60°= 又 AB=2
空间角的求法
【例 4】 如图所示,△BCD 与△MCD 都是边长为
2 的正三角形,平面 MCD⊥平面 BCD,AB⊥平面 BCD,AB=2
3.
(1)求直线 AM 与平面 BCD 所成角的 大小; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面 角的正弦值.
解:(1)如图所示,取 CD 中点 O,连接 OB,OM, 则 OB⊥CD,OM⊥CD. 又平面 MCD⊥平面 BCD, 所以 MO⊥平面 BCD. 所以 MO∥AB,所以 A、B、 O、M 四点共面. 延长 AM,BO 相交于 E, 则∠AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角.
(2)如图所示,连接 AD1,AE,D1E,
设 AD1 A1D=M,BD AE=N,连接 MN. ∵平面 AD1E 平面 A1BD=MN, 要使 D1E∥平面 A1BD, 需使 MN∥D1E,
又 M 是 AD1 的中点, ∴N 是 AE 的中点, 又易知△ABN≌△EDN, ∴AB=DE. 即 E 是 DC 的中点. 综上所述,当 E 是 DC 的中点时,可使 D1E∥平面 A1BD.
3.
3 ,AB⊥BF,
所以 AF=
15 ,
2 5 θ= . 5
所以 sin
2 5 所以所求二面角的正弦值是 . 5
求角度问题时,无论哪种情况最 终都归结到两条相交直线所成的角的问题上,求 角度的解题步骤是:(1)找出这个角;(2)证该角 符合题意;(3)构造出含这个角的三角形,解这个 三角形,求出角.空间角包括以下三类: ①两条异面直线所成的角的范围是(0°,90°], 找两条异面直线所成的角,关键是选取合适的点 引两条异面直线的平行线,这两条相交直线所成 的锐角或直角即为两条异面直线所成的角.特殊 时,两条异面直线垂直,可由线面垂直得到.
∵四棱锥 P ABCD 的侧面是正三角形, ∴AB=BC=CD=DA. ∴四边形 ABCD 为菱形. ∴BO=OD. 又∵E 为 PC 的中点, ∴OE 为△CPA 的中位线. ∴PA∥OE. ∵OE 平面 EDB,PA 平面 EDB, ∴PA∥平面 DEB.
(2)由(1)知四边形 ABCD 为菱形, ∴AC⊥BD. 又∵△PDC 和△PBC 都是正三角形, ∴DE=EB,即△DEB 为等腰三角形. 又∵BO=OD,∴EO⊥BD. 又∵AC EO=O, ∴BD⊥平面 PAC. 又∵BD 平面 DEB, ∴平面 BDE⊥平面 PAC.
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平面的基本性质的应用
【例 1】 如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E 为
AB 中点,F 为 AA1 的中点,求证: (1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点.
证明:(1)分别连接 EF,A1B,D1C. ∵E,F 分别是 AB 和 AA1 的中点, ∴EF 又∵A1D1
【例 3】 如图所示,在四棱柱 ABCD A1B1C1D1
中,AA1⊥底面 ABCD,已知 DC=DD1=2AD=2AB, AD⊥DC,AB∥DC. (1)求证:D1C⊥AC1; (2)设 E 是 DC 上的一点, 试确定 E 的位置,使 D1E∥平面 A1BD,并说明 理由.
证明:(1)连接 C1D,∵DC=DD1, ∴四边形 DCC1D1 是正方形, ∴DC1⊥D1C. ∵AD⊥DC,AD⊥DD1,DC DD1=D, ∴AD⊥平面 DCC1D1. 又 D1C 平面 DCC1D1,∴AD⊥D1C. 又 AD DC1=D,∴D1C⊥平面 ADC1, ∴D1C⊥AC.
1 2
A1B. B1C1 BC,
∴四边形 A1D1CB 是平行四 边形,
∴A1B∥CD1,从而 EF∥CD1. ∴EF 与 CD1 确定一个平面. ∴E,C,D1,F 四点共面. (2)∵EF
1 2
CE=P.
CD1,
∴延长 D1F 和 CE 必相交, 设 D1F ∵D1F 平面 AA1D1D, P D1F, ∴P 平面 AA1D1D.