第4章 三角形章末知识汇总
七年级数学下册章末小结第四章三角形作业课件新版北师大版
所以∠BAE＝∠CAD＝45°, 所以∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝45°－30°＝15°.
四、全等三角形的判定
13．如图,已知AB＝CB,若根据“SAS”判定△ABD≌△CBD,需要补充的一个条件是(C)
二、三角形的三边关系
6．(2018·长沙)下列长度的三条线段,能组成三角形的是(B)
A．4 cm,5 cm,9 cm
B．8 cm,8 cm,15 cm
C.5 cm,5 cm,10 cm
D．6 cm,7 cm,14 cm
7．(2018·陇南)已知a,b,c是△ABC的三边长,a,b满足|a－7|＋(b－1)2＝0,c为奇 数,则c＝7.
C．65°
D．75°
3．如图,AD,CE为△ABC的角平分线且交于O点,∠DAC＝30°,∠ECA＝35°,则∠ABO
等于(A)
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
4．(2018·株洲)如图,直线l1,l2被直线l3所截,且l1∥l2,过l1上的点A作AB⊥l3交
l3于点B,其中∠1＜30°,则下列结论一定正确的是(D)
17．如图,已知AD∥BC,点E是CD上一点,AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,延长BE交AD的延
长线于点F.
(1)试说明△ABE≌△理由；
(2)若AD＝2,BC＝6,求AB的长．
解：(1)因为 AE，BE 分别平分∠DAB，∠CBA， 所以∠BAE＝∠EAF，∠ABE ＝∠EBC ， 因 为 AD∥BC ，所 以 ∠EBC ＝ ∠F ，所 以 ∠ABE ＝∠F ，在 △ABE 和 △AFE 中 ， ∠ABE＝∠F， ∠BAE＝ ∠EAF ， AE＝AE ， 所以△ABE ≌△AF E(AAS)． (2)因为△ABE≌△AFE，所以 BE ＝EF，AB＝AF.
七年级数学下册第四章三角形知识归纳
第四章三角形三角形三边关系三角形三角形内角和定理角平分线三条重要线段中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形SAS全等三角形全等三角形的判定ASAAASHL（适用于RtΔ）全等三角形的应用利用全等三角形测距离作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,称为三角形,可以用符号“Δ”表示.2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边,即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。
二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.用字母可表示为a+b〉c，a+c〉b，b+c〉a;a—b<c,a-c<b,b-c 〈a.2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c〉a同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即a b c a b-<<+.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类:(1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；(2）直角三角形,即有一个内角是直角的三角形,我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”，其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边.注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数.4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半.5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角.都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。
七年级数学下册 第4章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件课件 (新版)北师大版
例2 (2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线 上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF.
图4-3-2 分析 由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS 得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减 去EC即可得BE=CF.
AD BC,
因为DAB CBA,所以△ABD≌△BAC(SAS).
AB AB,
知识点一 判定三角形全等的条件——边边边 1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判 定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE= BE;④BF=BE,可利用的是 ( )
AB=DE,BC=EF (2)已知两角
思路一(找第三边)
思路二(找角)
首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等
①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用 “SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定 全等(后面会学到)
思路一(找夹边)
思路二(找角的对边)
首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全 等
A.①或②
B.②或③
图4-3-1 C.①或③ D.①或④
答案 A 由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定, 只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可 以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④ 不可以,故选A.
架不变形,他至少要再钉上
根木条.
()
图4-3-5
A.0 解析 答案
B.1 C.2 D.3 连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性. B
第四章 三角形(单元小结)七年级数学下册(北师大版)
考点专练
考点三：关于三角形的三条重要线段
例3： 如图，已知AD，AE分别是△ABC的中线、高，且AB＝5 cm，
AC＝3 cm，则△ABD与△ACD的周长之差为 2 cm ， △ABD与
△ACD的面积之间的关系为 ___相__等____．
A
B
C DE
考点专练
1.在△ABC中，∠B = 24°，∠C=104°，则∠A 的平分线和 BC 边上的高的夹角等于___4_0_°____．
A D
2.如图3，在△ABC 中，BC 边上的高为__A__E____．
C EB
F
图3
考点专练
（四）关于全等三角形性质及判定
A
例4： 如图，在△ABC 中，AB=AC，BE=CE，则由
E
“SSS”可以判定是（C ）
A.△ABD≌△ACD C.△ABE≌△ACE
B.△BDE≌△CDE D. △ABE≌△CDE
知识专题
（五）三角形的三条重要线段 2.在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个 角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线.
A
B EC
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE=
1 2
∠BAC.
三角形的三条角平分线交于一点.
知识专题
（五）三角形的三条重要线段 3.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点 和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
（2） 3， 4， 7；
（3） 9， 13， 5；
（4） 11， 12， 20；
（5） 14， 15， 31.
解：能摆成三角形的是（1）（3）（4），根据两边之和大于第 三边，两边之差小于第三边.
七年级下册数学第四章三角形
七年级下册数学第四章三角形一、三角形的基本概念。
1. 三角形的定义。
- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 例如，在平面内有三条线段AB、BC、AC，它们首尾相接，就构成了三角形ABC，记作△ABC。
2. 三角形的边、顶点和内角。
- 边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
在△ABC中，AB、BC、AC就是三角形的三条边。
- 顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
△ABC有三个顶点A、B、C。
- 内角：三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
△ABC 的三个内角分别是∠A、∠B、∠C。
3. 三角形的分类。
- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如Rt△ABC，其中∠C = 90°。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
- 按边分类：- 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两条边相等的三角形。
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。
两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
- 等边三角形：三条边都相等的三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
二、三角形的性质。
1. 三角形三边关系。
- 三角形两边之和大于第三边。
例如，在△ABC中，AB + BC>AC，AB+AC > BC，BC + AC>AB。
- 三角形两边之差小于第三边。
即AB - BC<AC，AB - AC<BC，BC - AC<AB。
- 可以用来判断三条线段能否组成三角形。
例如，三条线段的长分别为3cm、4cm、5cm，因为3 + 4>5，3+5>4，4 + 5>3，同时3 - 4<5，3 - 5<4，4 - 5<3，所以这三条线段能组成三角形。
第四章 三角形(单元小结)-北师大版数学七年级下册
三角形的中线分得的两个三角形 面积相等：S△ABE=S△ACE
（3）三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心
交点在三角形的内部
要点梳理
（1）定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
注意：三角形的角平分线是一条线段，而内角的角平分线是一条射线，这是二者的重要区别。
要点梳理
考点专练
例1 王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的花圃. 已知第一条边长为a米, 由于受地势限制, 第二条边长只能比第一条边长的2倍多2米.(1)请用含a的式子表示出第三条边长.(2)第一条边长可以为8米吗？为什么？请说明理由. (3)能否使围成的花圃是等腰三角形？若能, 说明你的围法；若不能,请说明理由．
考点专练
【要点指导】对于三角形中重要线段的问题, 应掌握重要线段所表示的含义, 例如与角有关的有三角形的角平分线和高线, 与此同时会涉及余角的相关知识, 同时还要注意三角形中平行线性质的运用等.
考点专练
例4 如图, 已知线段AC, BD相交于点E, AE=DE,BE=CE．(1)试说明：△ABE≌△DCE；(2)当AB=5时, 求DC的长．
考点专练
解： (1)在△ABE和△DCE中,因为AE=DE, ∠AEB=∠DEC, BE=CE,所以△ABE≌△DCE(SAS)．(2)因为△ABE≌△DCE, 所以AB=DC. 因为AB=5, 所以DC=5．
考点专练
【要点指导】全等三角形的性质为证明线段(角)相等提供了依据.三角形全等的判定方法有四种：“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”.在具体问题中, 一般只直接给出一个或两个条件(有的甚至一个条件也不直接给出), 其余条件常隐含于条件或图形中, 因此找出这些隐含条件是解答问题的关键.
第四章 三角形知识点
第四章三角形一、认识三角形●三角形的有关概念1、三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。
2、三角形的边：组成三角形的线段叫作三角形的边，可以用两个大写英文字母表示，也可以用一个小写英文字母表示。
3、三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点。
4、三角形的角：相邻两边组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角。
5、角与边的对应关系：大边对大角。
6、三角形的表示：用符号“△”表示，以A,B,C为顶点的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
●三角形的分类1、按内角的大小分类锐角三角形（三个角都是锐角）直角三角形（最大内角为直角），互相垂直的两条边叫作直角边，最长的边叫作斜边，直角三角形ABC可以用符号“Rt△ABC”表示钝角三角形（最大内角为钝角）注：在一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个直角，最多有一个钝角。
2、按边的相等关系分类等腰三角形：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两条边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。
等边三角形：三条边都相等的三角形叫作等边三角形，即腰和底边相等的等腰三角形叫作等边三角形，也叫正三角形。
不等边三角形：三边都不相等的三角形。
注：●三角形的三边关系1、三角形的两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
（证明可以依据两点之间线段最短，大角对大边，不等式性质）2、三边关系的运用（1）判断以已知的三条线段为边能否构成三角形（2）确定三角形的第三边长（或周长）的取值范围（3）解决线段的不等关系问题（如证明几何不等式）●三角形的高1、三角形的高的概念：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足所连线段叫做三角形的高。
2、三角形高的几何语言表达形式AD是△ABC的边BC上的高，或AD是△ABC的高，或AD垂直BC与点D，或∠BDA=∠CDA=90°3、三角形三条高的位置锐角三角形三条高都在三角形的内部。
初一下册数学第四章知识点：三角形
初一下册数学第四章知识点：三角形三角形是初一下学期学习的第四章内容，并且也是初中数学中几何部分的基础图形，这一部分是初中、高中乃至整个数学的基础，是很重要的一部分内容，具体内容请看下文初一下册数学第四章知识点的内容。
一、目标与要求1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。
2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。
3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。
4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。
5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。
二、重点三角形内角和定理;对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。
三、难点三角形内角和定理的推理的过程;在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。
三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180推论1 直角三角形的两个锐角互余;推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和;推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角; 三角形的内角和是外角和的一半。
三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。
三角形外角的性质(1)顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线;(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;(3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角;(4)三角形的外角和是360。
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
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章末知识汇总
类型一三角形内角和定理的运用
命题点：三角形内角和
例1在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，则△ABC是()
A．等边三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
解析：由三角形的内角和定理得，∠A＋∠B＋∠C＝180°，故∠C＝180°－20°－60°＝100°，故△ABC是钝角三角形，故选D．
答案：D
类型二三角形三边关系定理的运用
例2若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长
为()
A．7B．5
C．5或7D．6
解析：当3为底时，其他两边都为1，因为1＋1<3，所以不能构成三角形，故舍去；当3为腰时，其他两边为3和1，3，3，1可以构成三角形，周长为7，故选项A正确．
答案：A
类型三三角形全等的条件与性质的运用
例3如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.试说明AB与CD的位置关系．
解析：由题意分析可知AB ∥CD ，说明这一结论需得一组内错角相等即可．
解：在△DOC 和△BOA 中，
⎩⎪
⎨⎪
⎧OA ＝OC ，∠DOC ＝∠BOA ，OB ＝OD ，
所以△DOC ≌△BOA ，所以∠A ＝∠C .所以AB ∥CD . 类型四 三角形的作图
例4 如图，已知：线段a 及∠O ，只用直尺和圆规，求作：△ABC ，使BC ＝a ，∠B ＝∠O ，∠C ＝2∠B .(在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法)
解析：先作一个角等于已知角，即∠MBN ＝∠O ，在边BN 上截取BC ＝a ，以射线CB 为一边，C 为顶点，作∠PCB ＝2∠O ，CP 交BM 于点A ，
△ABC即为所求．
解：如图所示．
类型五三角形全等的实际应用
例5如图，七年级数学兴趣小组要测量河中浅滩B(可看成一点)与对岸4之间的距离．先在另一岸边确定点C，使C，A，B三点在同一条直线上，再在AC的垂直方向上作线段CD，取CD的中点O，然后过点D作DF⊥CD，使F，O，A三点在同一条直线上，在DF上取一点E，使E，O，B三点也在同一条直线上．那么EF的长就是浅滩B与对岸A之间的距离，你能说出同学们这样做的根据吗？
解析：要得到FE ＝AB ，只要说明△FEO ≌△ABO 即可，而要说明△FEO ≌△ABO ，则需要先说明△AOC ≌△FOD .
解：因为AC ⊥CD ，FD ⊥CD ，所以∠C ＝∠D ＝90°.在△AOC 和△FOD
中，⎩⎪
⎨⎪
⎧∠AOC ＝∠FOD ，CO ＝DO ，∠C ＝∠D ，
所以△AOC ≌△FOD (ASA)．所以OA ＝OF ，∠A
＝∠F .在△AOB 和△FOE
中，⎩⎪
⎨⎪
⎧∠A ＝∠F ，OA ＝OF ，∠AOB ＝∠FOE ，
所以
△AOB ≌△FOE (ASA)．
所以AB ＝FE ，即EF 的长就是浅滩B 与对岸A 之间的距离．。