全等三角形压轴题精选(1)
全等三角形压轴题(精选.)
全等三角形压轴题组卷一．选择题（共9小题）1．（2015•荆门）如图，点A，B，C在一条直线上，△，△均为等边三角形，连接和，分别交，于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：①△≌△；②∠60°；③△为等边三角形；④平分∠，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2014•山西）如图，点E在正方形的对角线上，且2，直角三角形的两直角边、分别交、于点M、N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（）A．a2B．a2C．a2D．a23．（2013•东营）如图，E、F分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点O，下列结论：（1）；（2）⊥；（3）；（4）S△四边形中正确的有（）4．（2012•长春）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点A、B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为（m﹣1，2n），则m与n的关系为（）A．21 B．m﹣21 C．2n﹣1 D．n﹣215．（2012•山西模拟）如图，点P、Q是边长为4的等边△边、上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论错误的是（）A．B．△≌△C．∠的度数不变，始终等于60°D．当第秒或第秒时，△为直角三角形6．（2012•镇平县校级一模）如图，在△中，∠90°，平分∠，⊥于D，如果3，那么等于（）A．2B．3C．4D．57．（2011•恩施州）如图，是△的角平分线，⊥，垂足为F，，△和△的面积分别为50和39，则△的面积为（）A．11 B．5.5 C．7D．3.58．（2010•武汉模拟）如图，△中，∠、∠的角平分线、交于点P，下列结论：①平分∠；②∠∠180°；③若点M、N分别为点P在、上的正投影，则；④∠2∠．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③9．（2004•内江）如图，∠30°，平分∠，∥，⊥，如果6，那么等于（）二．填空题（共5小题）10．（2015•眉山）如图，以△的三边为边分别作等边△、△、△，则下列结论：①△≌△；②四边形为平行四边形；③当，∠120°时，四边形是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的番号）．11．（2015•广西）如图，在△中，平分∠交于点D，⊥交于点E，⊥于点F，且4，2，则△的面积是．12．（2011•随州）如图，△的外角∠的平分线与内角∠平分线交于点P，若∠40°，则∠．13．（2011•杭州校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，10，6．F是线段上的动点，从点O出发，以1的速度沿方向作匀速运动，点Q在线段上．已知A、Q两点间的距离是O、F两点间距离的a倍．若用（a，t）表示经过时间t（s）时，△、△、△中有两个三角形全等．请写出（a，14．（1999•重庆）如图，△中，，∠40°，，，则∠度．三．解答题（共12小题）15．（2015•于洪区一模）如图1，在△中，∠为锐角，点D为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．（1）如果，∠90°，①当点D在线段上时（与点B不重合），如图2，线段、所在直线的位置关系为，线段、的数量关系为；②当点D在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果≠，∠是锐角，点D在线段上，当∠满足什么条件时，⊥（点C、F不重合），并说明理由．16．（2014•绍兴）（1）如图1，正方形中，点E，F分别在边，上，∠45°，延长到点G，使，连结，．求证：．（2）如图，等腰直角三角形中，∠90°，，点M，N在边上，且∠45°，若1，3，求的长．17．（2013•东营）（1）如图（1），已知：在△中，∠90°，，直线m经过点A，⊥直线m，⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠∠∠α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠平分线上的一点，且△和△均为等边三角形，连接、，若∠∠∠，试判断△的形状．18．（2013•昭通）已知△为等边三角形，点D为直线上的一动点（点D不与B、C重合），以为边作菱形（A、D、E、F按逆时针排列），使∠60°，连接．（1）如图1，当点D在边上时，求证：①；②；（2）如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，结论是否成立？若不成立，请写出、、之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出、、之间存在的数量关系．19．（2013秋•广州校级期中）在等边△的两边、所在直线上分别有两点M、N，D 为△外一点，且∠60°，∠120°，．探究：当M、N分别在直线、上移动时，、、之间的数量关系及△的周长Q与等边△的周长L的关系．（1）如图1，△是周长为9的等边三角形，则△的周长；（2）如图2，当点M、N边、上，且时，、、之间的数量关系是；此时= ；（3）点M、N在边、上，且当≠时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．20．（2012•昌平区模拟）（1）如图，在四边形中，，∠∠90°，E、F分别是边、上的点，且∠∠．求证：；（2）如图，在四边形中，，∠∠180°，E、F分别是边、上的点，且∠∠，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形中，，∠∠180°，E、F分别是边、延长线上的点，且∠∠，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．21．（2011•绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，与的大小关系是：（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作∥，交于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且．若△的边长为1，2，求的长（请你直接写出结果）．22．（2010•长春）如图，△中，，延长至D，使，点E在边上，以，为邻边做▱，过点C作∥交于点G，连接，．（1）∠与∠有怎样的数量关系？请说明理由；（2）求证：△≌△．23．（2007•常州）已知，如图，延长△的各边，使得，，顺次连接D，E，F，得到△为等边三角形．求证：（1）△≌△；（2）△为等边三角形．24．（2007•牡丹江）已知四边形中，，∠120°，∠60°，∠绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当∠绕B点旋转到时（如图1），易证；当∠绕B点旋转到≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．25．（2005•扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．）在△中，∠90°，，直线经过点C，且⊥于D，⊥于E．（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△≌△；②；（2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：﹣；（3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题．最新文件仅供参考已改成word文本。
初一全等三角形压轴题
全等三角形压轴题1. 在△ABC 中，BC=AC ，∠BCA=900，P 为直线AC 上一点，过A 作AD ⊥BP 于D ，交直线BC 于Q ．（1）如图1，当P 在线段AC 上时，求证：BP=AQ ．（2）当P 在线段AC 的延长线上时，请在图2中画出图形，并求∠CPQ ． （3）如图3，当P 在线段CA 的延长线上时，∠DBA = 时，AQ =2BD ．2.经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形，那么这条直线平分三角形的这个顶点的对边．如图1，S △ABD=S △ ADC ，则BD=CD 成立．请你直接应用上述结论解决以下问题：（1）已知：如图2，AD 是△ABC 的中线，沿AD 翻折△ADC ，使点C 落在点E ，DE 交AB 于F ，若△ADE 与△ADB 重叠部分面积等于△ABC 面积的14，问线段AE 与线段BD 有什么关系？在图中按要求画出图形，并说明理由．（2）已知：如图3，在△ABC 中，∠ACB = 900 ，AC =2，AB =4，点D 是AB 边的中点，点P 是BC 边上的任意一点，连接PD ，沿PD 翻折△ADP ，使点A 落在E ，若△PDE 与△PDB 重叠部分的面积等于△ABP 面积的14，直接写出BP 的值．CBPD A BAQCB PDAAADADCBA备用图N MC ABN MC DAB 图 1B AQDCM PG图 2N F E 3. 在△ABC 中，已知D 为边BC 上一点，若,ABC x BAD y ∠=∠=.（1）当D 为边BC 上一点，并且CD=CA ，40x =，30y =时，则AB _____ AC （填“=”或“≠”）；（2）如果把（1）中的条件“CD=CA ”变为“CD=AB ”，且x,y 的取值不变，那么（1）中的结论是否仍成立？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由；（3）若CD= CA =AB ，请写出y 与x 的关系式及x 的取值范围. （不写解答过程，直接写出结果）4. 在Rt △ABC 中，AC=BC ，P 是BC 垂直平分线MN 上一动点，直线PA 交CB 于点E ，F 是点E 关于MN 的对称点，直线PF 交AB 于点D ，连接CD 交PA 于点G. （1）如图1，若P 点在△ABC 的边BC 上时，此时点P 、E 、F 重合，线段AP 上的点Q 关于的对称点D 恰好在边AB 上，连接CQ ，求证：CQ 平分∠ACB ；（2）如图2，若点P 移到BC 上方，且∠CAP=22.5°，求∠CDP 的度数；（3）若点P 移动到△ABC 的内部时，线段AE 、CD 、DF 有什么确定的数量关系，请画出图形，并直接写出结论： .DCBAADCBEEBCGFDA5. 如图1，已知A （a ，0），B （0，b ）分别为两坐标轴上的点，且a 、b 满足221212720a b a b +--+=，OC ∶OA=1∶3. （1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）若D （1，0），过点D 的直线分别交AB 、BC 于E 、F 两点，设E 、F 两点的横坐标分别为E F x x 、.当BD 平分△BEF 的面积时，求E F x x +的值；（3）如图2，若M （2，4），点P 是x 轴上A 点右侧一动点，AH ⊥PM 于点H ，在HM 上取点G ，使HG=HA ，连接CG ，当点P 在点A 右侧运动时，∠CGM 的度数是否改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由.6. 如图，点D 、E 分别在等边△ABC 的AB 、AC 上，且CD ＞BD ，AE ＞EC ，AD 和BE 相交于点F..（1）若∠BAD=∠CBE ，则AD BE ；（填“＞”、“=”、“＜”） （2）若AD=BE ，求证：∠BAD=∠CBE ；（3）在（2）的条件下，以AB 为边作如图所示的等边△ABG ，连接FG ，若FG=11，BF=3，请直接写出线段AF 的长度为 .AB C OyOxyx图 1图 2QF EDB A7. 如图1，已知A （a ，0），B （0，b ）.（1）当a 、b 满足2288320a a b b -+-+=时，求∠BAO 的度数；（2）如图1，在（1）的条件下，点C 为线段AB 上一点（BC ＞CA ），以点C 为直角顶点，OC 为腰作等腰Rt △OCD ，连接BD ，求证：∠BDO=∠BCO ；（3）如图2，△ABO 的两条角平分线AE 、BF 交于点Q ，若△ABQ 的面积为24，求四边形AFEB 的面积.8. 已知：点A 、C 分别是∠B 的两条边上的点，点D 、E 分别是直线BA 、BC 上的点，直线AE 、CD 相交于点P(1) 点D 、E 分别在线段BA 、BC 上① 若∠B ＝60°（如图1），且AD ＝BE ，BD ＝CE ，则∠APD 的度数为___________ ② 若∠B ＝90°（如图2），且AD ＝BE ，BD ＝CE ，求∠APD 的度数(2) 如图3，点D 、E 分别在线段AB 、BC 的延长线上，若∠B ＝90°，AD ＝BC ，∠APD ＝45°，求证：BD ＝CE9. 已知A(a ，0)、B(0，b)，且满足2a2＋b2＋4a －4b ＝－6，以A 为直角顶点，且以AB 为腰作等腰直角△ABC(1) 求C点的坐标(2) 如图，若点C在第二象限，点M在BC的延长线上，且AM＝AN，AM⊥AN，则CM 与BN存在怎样的关系？请予以证明(3) 如图，若点C在第二象限，以AB为边在直线AB的另一侧做等边△ABD，连接CD，过A作AF⊥BC于F，AF与CD交于点E，试判断线段CE、AE、CD之间存在何种数量关系，并证明你的结论10.如图（1），已知A(0,a),B(b,0),且a,b满足a2+2ab+b2+（b+3)2=0,D为x轴上B点左边一动点，连AD,过A作AE⊥AD交x轴于F,且AE=AD,连BE交y轴于点P.(1) 求∠ABO的度数；(2)若AO=3OP,求E点的坐标;(3)如图（2）若C为线段BF(靠近B)的一个三等分点，且∠ACO=600,试求∠AFB的度数。
全等三角形压轴题及其详解
全等三角形压轴题1.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°﹣α=15°，求出即可．【解答】（1）解：∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°﹣α；（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC=BD，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB=BE，∴△ABE是等边三角形；（3）解：∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∵∠DEC=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC=CE=BC，∵∠BCE=150°，∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°，∵∠EBC=30°﹣α=15°，∴α=30°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向三角形外作等边△ABD和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．【解答】证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF中，，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3.在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．【分析】本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解．先根据直角三角形的性质，等边三角形的性质得到一些隐含的条件，然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想．【解答】解：（1）DF=EF．（2）猜想：DF=FE．证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB=90度．∵DA=DB，∠ADB=60度．∴AG=BG，△DBA是等边三角形．∴DB=BA．∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB=BG．在Rt△DBG和Rt△BAC中∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）．∴DG=BC．∵BE=EC，∠BEC=60°，∴△EBC是等边三角形．∴BC=BE，∠CBE=60度．∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．∵∠DFG=∠EFB，∠DGF=∠EBF，在△DFG和△EFB中∴△DFG≌△EFB（AAS）．∴DF=EF．（3）猜想：DF=FE．证法一：过点D作DH⊥AB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则∠DHB=90度．∵DA=DB，∴AH=BH，∠1=∠HDB．∵∠ACB=90°，∴HC=HB．在△HBE和△HCE中∴△HBE≌△HCE（SSS）．∴∠2=∠3，∠4=∠BEH．∴HK⊥BC．∴∠BKE=90°．∴∠3+∠ABC=90°∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC，∴∠HDB=∠BEH=∠ABC．∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°，∴∠3=∠DBH∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°=∠DHB又∵HB是公共边，所以△DBH≌△EHB∴DH=BE同理可以证明△DHF≌△EBF∴DF=EF．4.已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是QE=QF；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【分析】（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．【解答】解：（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，理由是：∵Q为AB的中点，∴AQ=BQ，∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，在△AEQ和△BFQ中∴△AEQ≌△BFQ，∴QE=QF，故答案为：AE∥BF，QE=QF；（2）QE=QF，证明：延长EQ交BF于D，∵由（1）知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△AEQ和△BDQ中∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF；，（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，证明：延长EQ交FB于D，如图3，∵由（1）知：AE∥BF，∴∠AEQ=∠BDQ，在△AEQ和△BDQ中∴△AEQ≌△BDQ，∴EQ=DQ，∵∠BFE=90°，∴QE=QF．5.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，点E为直线AC上一点，D为直线BC上的一点，且DA=DE．当点D在线段BC上时，如图①，易证：BD+AB=AE；当点D在线段CB的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD，AB和AE之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【分析】图②中，论：BD+AE=AB，作EM∥AB交BC于M，先证明△EMC是等边三角形得CE=CM，AE=BM，再证明△ABD≌△DEM，得DB=EM=MC由此可以对称结论．图③中，结论：BD﹣AE=AB，证明方法类似．【解答】解；如图②中，结论：BD+AE=AB．理由：作EM∥AB交BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，∴△CME是等边三角形，∴CE=CM=EM，∠EMC=60°，∴AE=BM，∵DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，∴∠BAC+∠DAB=∠C+∠EDM，∴∠DAB=∠EDM，∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，∴∠ABD=∠DME，在△ABD和△DEM中，，∴△ABD≌△DEM，∴DB=EM=CM，∴DB+AE=CM+BM=BC=AB．如图③中，结论：BD﹣AE=AB．理由：作EM∥AB交BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，∴△CME是等边三角形，∴CE=CM=EM，∠EMC=∠MEC=60°，∴AE=BM，∵DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，∴∠C+∠ADC=∠MEC+∠EDDEM，∴∠ADB=∠DEM，∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，∴∠ABD=∠DME，在△ABD和△DEM中，，∴△ABD≌△DME，∴DB=EM=CM，∴DB﹣AE=CM﹣BM=BC=AB．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意形变证明方法基本不变，属于中考常考题型．6.如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰△ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠AEB．（2）如图3，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据等边对等角可得∠EAB=∠EBA，根据四边形ABCD是互补等对边四边形，可得AD=BC，根据SAS可证△ABD≌△BAC，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质即可证明；（2）仍然成立；理由如下：如图所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，证明△AGD≌△BFC，得到AG=BF，又AB=BA，所以△ABC≌△BAF，得到∠ABD=∠BAC，根据∠ADB+∠BCA=180°，得到∠EDB+∠ECA=180°，进而得到∠AEB+∠DHC=180°，由∠DHC+∠BHC=180°，所以∠AEB=∠BHC．因为∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，所以∠ABD=∠BAC=∠AEB．【解答】解：（1）∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，在△ABD和△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SAS），∴∠ADB=∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠ADB=∠BCA=90°，在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA==90°﹣∠AEB，∴∠ABD=90°﹣∠EAB=90°﹣（90°﹣∠AEB）=∠AEB，同理：∠BAC=∠AEB，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB；（2）仍然成立；理由如下：如图③所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，又∠ADB+ADG=180°，∴∠BCA=∠ADC，又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD=∠BFC=90°，在△AGD和△BFC中，∴△AGD≌△BFC，∴AG=BF，在△ABG和△BAF中，∴△ABG≌△BAF，∴∠ABD=∠BAC，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠EDB+∠ECA=180°，∴∠AEB+∠DHC=180°，∵∠DHC+∠BHC=180°，∴∠AEB=∠BHC．∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据SAS证明△ABD≌△BAC．7.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．【分析】（1）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，从而得出结论；（2）根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CE﹣CD；（3）先根据条件画出图形，根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CD﹣CE．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE．∵BC=BD+CD，AC=BC，∴AC=CE+CD；（2）AC=CE+CD不成立，AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CE﹣CD．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE∴CE﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，∴AC=CE﹣CD；（3）补全图形（如图）AC、CE、CD之间存在的数量关系是：AC=CD﹣CE．理由：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE．∵BC=CD﹣BD，∴BC=CD﹣CE，∴AC=CD﹣CE．【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．8.如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE．G、F分别是DC与BE的中点．（1）求证：DC=BE；（2）当∠DAB=80°，求∠AFG的度数；（3）若∠DAB=α，则∠AFG与α的数量关系是．【分析】（1）根据等式的性质就可以得出∠DAC=∠BAE．就可以得出△ADC≌△ABE就可以得出DC=BE；（2）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以求出∠AFG的值，（3）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以表示∠AFG与a的关系．【解答】解：（1）∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE．在△ADC和△ABE中，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴DC=BE；（2）连接AG．∵△ADC≌△ABE，∴∠ADC=∠ABE．AD=AB．∵G、F分别是DC与BE的中点，∴DG=DC，BF=BE，∴DG=BF．在△ADG和△ABF中，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠AGF=∠AFG，∠DAG﹣∠BAG=∠BAF﹣∠BAG，∴∠DAB=∠GAF．∵∠DAB=80°，∴∠GAF=80°．∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴∠AFG=50°．答：∠AFG=50°；（3）∵∠DAB=α，∴∠GAF=α．∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴α+2∠AFG=180°，∴∠AFG=90°﹣α．故答案为：∠AFG=50°，90°﹣α．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形内角和定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．9.△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD=60°．（1）如图1，求证：BD=CE；（2）如图2，FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC，求证：∠AHC=60°；（3）在（2）的条件下，若AD=2BD，FH=9，求AF长．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠C=∠ABE=60°，根据SAS推出△ABE≌△BCD，即可证得结论；（2）根据角平分线的性质定理证得CM=CN，利用∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，得出∠CEM=∠CGN，然后根据AAS证得△ECM≌△GCN，得出CG=CE，EM=GN，∠ECM=∠GCN，进而证得△AMC≌△HNC，得出∠ACM=∠HCN，AC=HC，从而证得△ACH是等边三角形，证得∠AHC=60°；（3）在FH上截取FK=FC，得出△FCK是等边三角形，进一步得出FC=KC=FK，∠ACF=∠HCK，证得△AFC≌△HKC得出AF=HK，从而得到HF=AF+FC=9，由AD=2BD 可知AG=2CG，再由=，根据等高三角形面积比等于底的比得出===2，再由AF+FC=9求得．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACE=60°BC=AC，∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，∴∠BCD=∠CAE，在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD（ASA），∴BD=CE；（2）如图2，作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，∵∠EFC=∠AFD=60°∴∠AFC=120°，∵FG为△AFC的角平分线，∴∠CFH=∠AFH=60°，∴∠CFH=∠CFE=60°，∵CM⊥AE，CN⊥HF，∴CM=CN，∵∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，∴∠CEM=∠CGN，在△ECM和△GCN中∴△ECM≌△GCN（AAS），∴CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，∴∠MCN=∠ECG=60°，∵△ABE≌△BCD，∵AE=CD，∵HG=CD，∴AE=HG，∴AE+EM=HG+GN，即AM=HN，在△AMC和△HNC中∴△AMC≌△HNC（SAS），∴∠ACM=∠HCN，AC=HC，∴∠ACM﹣∠ECM=∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE=∠HCG=60°，∴△ACH是等边三角形，∴∠AHC=60°；（3）如图3，在FH上截取FK=FC，∵∠HFC=60°，∴△FCK是等边三角形，∴∠FKC=60°，FC=KC=FK，∵∠ACH=60°，∴∠ACF=∠HCK，在△AFC和△HKC中∴△AFC≌△HKC（SAS），∴AF=HK，∴HF=AF+FC=9，∵AD=2BD，BD=CE=CG，AB=AC，∴AG=2CG，∴==，作GW⊥AE于W，GQ⊥DC于Q，∵FG为△AFC的角平分线，∴GW=GQ，∵===，∴AF=2CF，∴AF=6．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，找出辅助线根据全等三角形和等边三角形是解题的关键．10.如图1，△ABE是等腰三角形，AB=AE，∠BAE=45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD=CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P；（1）求证：AD=BE；（2）试说明AD平分∠BAE；（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE．（2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由∠BDP=∠ADC，得到∠BPD=∠DCA=90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE；（3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC=∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP=∠ACF，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF=∠ACF=90°，即AD⊥BE．【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE=45°，∴∠CBA=∠CAB，∴BC=CA，在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD，∴AD=BE．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DAC，∵∠BDP=∠ADC，∴∠BPD=∠DCA=90°，∵AB=AE，∴AD平分∠BAE．（3）AD⊥BE不发生变化．如图2，∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DAC，∵∠BFP=∠ACF，∴∠BPF=∠ACF=90°，∴AD⊥BE．【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BCE≌△ACD．11.情境观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．①写出图1中所有的全等三角形△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②线段AF与线段CE问题探究：如图2，△ABC中，∠BAC=45°，BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．求证：AE=2CD．拓展延伸：如图3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，点D在AC上，∠EDC=∠BAC，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F．求证：DF=2CE．要求：请你写出辅助线的作法，并在图3中画出辅助线，不需要证明．【分析】情境观察：①由全等三角形的判定方法容易得出结果；②由全等三角形的性质即可得出结论；问题探究：延长AB、CD交于点G，由ASA证明△ADC≌△ADG，得出对应边相等CD=GD，即CG=2CD，证出∠BAE=∠BCG，由ASA证明△ADC≌△CBG，得出AE=CG=2CD即可．拓展延伸：作DG⊥BC交CE的延长线于G，同上证明三角形全等，得出DF=CG即可．【解答】情境观察：解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB②线段AF与线段CE的数量关系是：AF=2CE；故答案为：AF=2CE．问题探究：证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ADG=90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD=GD，即CG=2CD，∵∠BAC=45°，AB=BC，∴∠ABC=90°，∴∠CBG=90°，∴∠G+∠BCG=90°，∵∠G+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠BCG，在△ABE和△CBG中，，∴△ADC≌△CBG中（ASA），∴AE=CG=2CD．拓展延伸：解：作DG⊥BC交CE的延长线于G，如图3所示．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．12.如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数．（3）如图2，若点P、Q在分别运动到点B和点C后，继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC=120度．（直接填写度数）【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°；（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；（3）解：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．13.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．（1）试说明AH=BH（2）求证：BD=CG．（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系．【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一证明；（2）证明△ACG≌△CBD，根据全等三角形的性质证明；（3）证明△ACE≌△CBF即可．【解答】证明：（1）∵AC=BC，CH⊥AB，∴AH=BH；（2）∵ABC为等腰直角三角形，CH⊥AB，∴∠ACG=45°，∵∠CAG+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE=90°，∴∠CAG=∠BCF，在△ACG和△CBD中，，∴△ACG≌△CBD（ASA），∴BD=CG；（3）AE=EF+BF，理由如下：在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF，∴AE=CF，CE=BF，∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数；（2）设∠BAD=θ，①当θ为何值时，△DFG为等腰三角形；②△DFG有可能是直角三角形吗？若有，请求出相应的θ值；若没有，请说明理由．【分析】（1）由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；（2）①当GD=GF时，就可以得出∠GDF═80°，根据∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论；②有条件可以得出∠DFG=80°，当∠GDF=90°时，就有40°+90°+40°+2θ=180°就可以求出结论，当∠DGF=90°时，就有∠GDF=10°，得出40°+10°+40°+2θ=180°求出结论．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°．∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF∠BAD=∠FAD=θ，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，，∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．答：∠DFG的度数为80°；（2）①当GD=GF时，∴∠GDF=∠GFD=80°．∵∠ADG=40°+θ，∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，∴θ=10°．当DF=GF时，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=80°，∴∠FDG=∠FGD=50°．∴40°+50°+40°+2θ=180°，∴θ=25°．当DF=DG时，∴∠DFG=∠DGF=80°，∴∠GDF=20°，∴40°+20°+40°+2θ=180°，∴θ=40°．∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形；②当∠GDF=90°时，∵∠DFG=80°，∴40°+90°+40°+2θ=180°，∴θ=5°．当∠DGF=90°时，∵∠DFG=80°，∴∠GDF=10°，∴40°+10°+40°+2θ=180°，∴θ=45°∴当θ=5°或45°时，△DFG为直角三角形．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B 作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：CD=2BE+DE．【分析】（1）通过证△AEB≌△AFC（SAS），得到AE=AF；（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G，通过证△BED≌△AGD（AAS），得到ED=GD，BE=AG，易证CF=BE=AG=GF．因为CD=DG+GF+FC，所以CD=DE+BE+BE，故CD=2BE+DE．【解答】证明：（1）如图，∵∠BAC=90°，AF⊥AE，∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，∴∠EAB=∠FAC，∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠EBA=∠ACF，∴在△AEB与△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE=AF；（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G．∵AG⊥EC，BE⊥CE，∴∠BED=∠AGD=90°，∵点D是AB的中点，∴BD=AD．∴在△BED与△AGD中，，∴△BED≌△AGD（AAS），∴ED=GD，BE=AG，∵AE=AF∴∠AEF=∠AFE=45°∴∠FAG=45°∴∠GAF=∠GFA，∴GA=GF，∴CF=BE=AG=GF，∵CD=DG+GF+FC，∴CD=DE+BE+BE，∴CD=2BE+DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．16.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②CM平分∠ACE．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等即可得到结论．【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM，∴CM平分∠ACE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角．17.如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM ⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．（1）求证：△DBN≌△DCM；（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据两角夹边相等的两个三角形全等即可证明．（2）结论：NE﹣ME=CM．作DF⊥MN于点F，由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN，由△DEF≌△CEM，推出ME=EF，CM=DF，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∠ABC=45°，CD⊥AB，∴∠ABC=∠DCB=45°，∴BD=DC，∵∠BDC=∠MDN=90°，∴∠BDN=∠CDM，∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM=90°﹣∠A=∠ACD，在△DBN和△DCM中，，∴△DBN≌△DCM．（2）结论：NE﹣ME=CM．证明：由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN．作DF⊥MN于点F，又ND⊥MD，∴DF=FN，在△DEF和△CEM中，，∴△DEF≌△CEM，∴ME=EF，CM=DF，∴CM=DF=FN=NE﹣FE=NE﹣ME．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．18.问题情境：如图①，在△ABD与△CAE中，BD=AE，∠DBA=∠EAC，AB=AC，易证：△ABD≌△CAE．（不需要证明）特例探究：如图②，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．求证：△ABD≌△CAE．归纳证明：如图③，在等边△ABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE．△ABD与△CAE是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC，点O是AB边的垂直平分线与AC 的交点，点D、E分别在OB、BA的延长线上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度数．【分析】特例探究：利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE．归纳证明：△ABD与△CAE全等．利用等边三角形的三条边都相等、三个内角都是60°的性质以及三角形外角定理推知AB=AC，∠DBA=∠EAC=120°，然后结合已知条件BD=AE，利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABD≌△CAE；拓展应用：利用全等三角形（△ABD≌△CAE）的对应角∠BDA=∠AEC=32°，然后由三角形的外角定理求得∠BAD的度数．【解答】特例探究：证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）；解：归纳证明：△ABD与△CAE全等．理由如下：∵在等边△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，∴∠DBA=∠EAC=120°．在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）；拓展应用：∵点O在AB的垂直平分线上，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=50°，∴∠EAC=∠DBC．在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BDA=∠AEC=32°，∴∠BAD=∠OBA﹣∠BDA=18°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．在证明两个三角形全等时，一定要找准对应角和对应边．19.情境创设：如图1，两块全等的直角三角板，△ABC≌△DEF，且∠C=∠F=90°，现如图放置，则∠ABE=90°．问题探究：如图2，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC形外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，过点E、F作射线HA的垂线，垂足分别为M、N，试探究线段EM和FN之间的数量关系，并说明理由．拓展延伸：如图3，△ABC中，AH⊥BC于H，以A为直角顶点，分别以AB、AC为一边，向△ABC形外作正方形ABME和正方形ACNF，连接E、F交射线HA于G点，试探究线段EG和FG之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）求出∠A=∠EDF，∠A+∠ABC=90°，推出∠EDF+∠ADC=90°，求出∠ADE的度数即可；（2）根据全等三角形的判定得出△EAM≌△ABH，进而求出EM=AH．同理AH=FN，因而EM=FN．（3）与（2）证法类似求出EG=FG，求出△EPG≌△FQG即可．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF，∴∠A=∠EDF，∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠EDF+∠ADC=90°，∴∠ADE=180°﹣90°=90°，故答案为：90；（2）解：EM=FN，如图2，理由如下：∵Rt△ABE是等腰三角形，∴EA=BA，∠BAE=90°，∴∠BAH+∠MAE=90°，∵AH⊥BC，EM⊥AH，∴∠AME=∠AHB=90°，∴∠ABH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠MAE，在△EAM与△ABH中∴△EAM≌△ABH（AAS），∴EM=AH．同理AH=FN．∴EM=FN；（3）解：EG=FG，如图3，作EP⊥HG，FQ⊥HG，垂足分别为P、Q，由（2）可得EP=FQ，∵EP⊥HG，FQ⊥HG，∴∠EPG=∠FQG=90°，在△EPG和△FQG中∵，∴△EPG≌△FQG，∴EG=FG．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：①全等三角形的对应角相等，对应边相等，②全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．。
初二数学全等三角形压轴题
人教版数学八年级上册第十二章全等三角形压轴题训练1.已知，是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴左侧．如图，若的坐标是，点的坐标是，求点的坐标；如图，若点的坐标为，与轴交于点，求线段的长；如图，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，则、、间有怎样的数量关系？并说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于、两点，且，满足，且，是常数．直线平分，交轴于点．若的中点为，连接交于，求证：；如图，过点作，垂足为，猜想与间的数量关系，并证明你的猜想；如图，在轴上有一个动点在点的右侧，连接，并作等腰，其中，连接并延长交轴于点，当点在运动时，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．3.如图，点，分别在直线，上，，顶点在点右侧的两边分别交线段于，直线于，，，交直线于点．若平分，求证：；已知的平分线与的平分线交于点请把图形补完整，并证明：．4.解答下列问题：如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点求证：如图，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线上，、分别是、的外角已知，且求证：如图，在中，，点在边上，，点、在线段上，若的面积为，求与的面积之和．5.在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点与点，以为边作直角三角形，并且．如图，若点在第三象限，请构造全等，求出点的坐标；若点不在第三象限，请直接写出所有满足条件的点的坐标；在的条件下，过点作交轴于点，求证：．6.已知，点在上以的速度由点向点运动，同时点在上由点向点运动．它们运动的时间为．如图，，，若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；如图，将图中的“，”为改“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．7.如图，点，将一个的角尺的直角顶点放在点处，角尺的两边分别交轴、轴正半轴于，即，求证：平分；作的平分线交于点，过点作轴于，求的值；把角尺绕点旋转时，的值是否会发生变化？若发生变化请说明理由；若不变请求出这个值．8.画，并画的平分线．图图图将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线的任意一点上，并使三角尺的一条直角边与垂直，垂足为点，另一条直角边与交于点如图证明：；把三角尺绕点旋转，三角尺的两条直角边分别交、于点、如图，与相等吗？请直接写出结论：_____填，，；若点在的反向延长线上，其他条件不变如图，与相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由．9.如图，，点是的中点，直线于点，点在直线上，直线点以每秒个单位长度的速度，从点沿路径向终点运动，运动时间设为秒．如图，当时，作直线于点，此时与全等吗请说明理由．如图，当点在上时，作于点，于点．是否存在或与全等的时刻若存在，求出的值若不存在，请说明理由．连接，当时，求的长．10.如图，已知在四边形中，，点、分别是边、上的点，连接、、，．直接写出、、三者之间的数量关系____________________；若，猜想线段、、三者之间有怎样的数量关系？并加以证明；如图，若点、分别是、延长线上的点，且，其它条件不变时，猜想线段、、三者之间有怎样的数量关系？并加以证明．11.如图：在四边形中，，，，，分别是，上的点，且探究图中线段，，之间的数量关系。
专题01 全等三角形(解析版)
2021-2022学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题01 全等三角形一．选择题1．（2020秋•东城区期末）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）A．20B．30C．50D．100【思路引导】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．【完整解答】解：过O作OE⊥AB于点E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，∴OE＝OD＝5，∴△AOB的面积＝，故选：C．2．（2020秋•定西期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）A．4B．3C．2D．1【思路引导】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长最小，求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质得出此时DP＝AD，再得出选项即可．【完整解答】解：当DP⊥BC时，DP的长最小，∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∵∠A＝90°，∠ADB＝∠C，∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠BDC+∠C+∠CBD＝180°，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠A＝90°，∴当DP⊥BC时，DP＝AD，∵AD＝4，∴DP的最小值是4，故选：A．3．（2020秋•莫旗期末）如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为（ ）A．8B．5C．4D．2【思路引导】过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，求出AD⊥CD，根据角平分线的性质求出AE＝DE＝PE，求出AE的长即可．【完整解答】解：过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，∴AE＝PE，ED＝PE，∴AE＝ED＝PE，∵AD＝8，∴PE＝4，即PE的最小值是4，故选：C．4．（2020秋•鞍山期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，点E在边AC上，若DE＝DB，则下列结论不正确的是（ ）A．DC＝DF B．DE＝BF C．AC＝AF D．AB＝AC+CE【思路引导】根据全等三角形的判定和性质解答即可．【完整解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，∴DC＝DF，故A正确，在Rt△DCE与Rt△DFB中，，∴Rt△DCE≌Rt△DFB（HL），∴CE＝BF，故B错误，在Rt△ADC与Rt△ADF中，，∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），∴AC＝AF，故C正确，∴AB＝AF+BF＝AC+CE，故D正确，故选：B．5．（2020秋•新宾县期末）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD＝BE；③∠DOB＝50°；④点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【思路引导】证明△ADC≌△ABE（SAS），可得出CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，则得出∠DOB＝50°，连接OA，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥BE于点N，证明△ABN≌△ADM（AAS），则可得出点A在∠DOE的平分线上．【完整解答】解：∵∠DAB＝∠CAE＝50°，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△ADC与△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴CD＝BE；故①，②正确；如图1，若AB与CD相交于点F，∵△ABE≌△ADC，∴∠ADC＝∠ABE，∵∠AFD＝∠CFB，∴∠DOB＝∠DAB＝50°．故③正确．如图2，连接OA，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥BE于点N，∴∠AMD＝∠ANB＝90°，∵△ABE≌△ADC，∴∠ABN＝∠ADM，在△ABN和△ADM中，，∴△ABN≌△ADM（AAS），∴AN＝AM，∴点A在∠DOE的平分线上．故④正确．故选：D．6．（2020秋•金昌期末）如图，AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为F．若∠CAB＝30°，∠B＝55°，则∠BDE的度数为（ ）A．35°B．40°C．45°D．50°【思路引导】根据三角形的内角和求出∠ACB＝95°，利用三角形全等，求出DC＝DE，再利用外角求出答案．【完整解答】解：∵∠CAB＝30°，∠B＝55°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣55°＝95°，∵CE⊥AD，∴∠AFC＝∠AFE＝90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝∠EAD＝×30°＝15°，又∵AF＝AF，∴△ACF≌△AEF（ASA）∴AC＝AE，∵AD＝AD，∠CAD＝∠EAD，∴△ACD≌△AED（SAS），∴DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵∠ACE＝90°﹣15°＝75°，∴∠DCE＝∠DEC＝∠ACB﹣∠ACE＝95°﹣75°＝20°，∴∠BDE＝∠DCE+∠DEC＝20°+20°＝40°，故选：B．7．（2020秋•宜兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）A．B．C．D．【思路引导】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．【完整解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴BH＝2，AH＝2，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AH＝CH＝2，∴AC＝＝＝2，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，得矩形ENCK，∴CK＝EN，∴AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为2，综上所述，AE+BF的最大值为2．故选：B．8．（2020秋•江岸区校级月考）如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（ ）个．（不含△ABC）A．28B．29C．30D．31【思路引导】当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，由此即可判断．【完整解答】解：当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，∴一共有：8+24﹣1＝31（个）三角形与△ABC全等，故选：D．二．填空题9．（2020秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝5，则CH的长为 2 ．【思路引导】先由AD⊥BC，CE⊥AB，判断出∠ADB＝∠AEH＝90°，再判断出∠BAD＝∠BCE，进而判断出△HEA≌△BEC，得出AE＝EC＝5，即可得出结论．【完整解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEH＝90°，∵∠AHE＝∠CHD，∴∠BAD＝∠BCE，在△HEA和△BEC中，，∴△HEA≌△BEC（AAS），∴AE＝EC＝5，则CH＝EC﹣EH＝AE﹣EH＝5﹣3＝2．故答案为：2．10．（2020•松北区一模）在△ABC中，点D在AC上，AD＝5，AB+AC＝16，E是BD中点，∠ACB＝∠ABC+2∠BCE，则CD＝ 2 ．【思路引导】延长CE于F，使CE＝EF，交AB于点G，根据SAS证明△BEF与△DEC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【完整解答】解：延长CE于F，使CE＝EF，交AB于点G，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，在△BEF与△DEC中，，∴△BEF≌△DEC（SAS），∴∠F＝∠DCE，BF＝DC，∵∠ACB＝∠ABC+2∠BCE，∴∠DCE＝∠ACB﹣∠BCE＝∠ABC+∠BCE，∵∠AGC＝∠ABC+∠BCE，∴∠AGC＝∠DCE，∴∠F＝∠DCE＝∠AGC＝∠BGF，AG＝AC，∴BF＝BG＝CD，设BF＝BG＝CD＝x，∵AD＝5，AB+AC＝16，∴，解得：x＝2，∴CD＝2，故答案为：2．11．（2020•荷塘区模拟）在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝4，则△PAC的面积为 4 ．【思路引导】如图，延长BP交AC于D，先说明△ABD是等腰直角三角形，△ADP是30°的直角三角形，可得PD和AD的长，根据费马点的定义可得∠APC＝120°，从而可知△PDC也是30°的直角三角形，可得CD的长，根据三角形的面积公式可得结论．【完整解答】解：如图，延长BP交AC于D，∵∠BAC＝∠PBA＝45°，∴∠ADB＝90°，AD＝BD，∵P为△ABC的费马点，∴∠APB＝∠CPA＝120°，∴∠BAP＝180°﹣120°﹣45°＝15°，∴∠PAC＝45°﹣15°＝30°，∴∠APD＝60°，Rt△PAD中，∵PA＝4，∴PD＝2，AD＝2，∵∠APC＝120°，∴∠CPD＝120°﹣60°＝60°，Rt△PDC中，∠PCD＝30°，∴CD＝2，∴AC＝AD+CD＝2+2＝4，∴△PAC的面积为＝＝4．故答案为：4．12．（2020秋•海珠区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE＝DG，△ADG 和△ADE的面积分别为50和39，则△EDF的面积为 5.5 ．【思路引导】在线段AC上取一点M，使DM＝DE，过点D作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN＝DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．【完整解答】解：如图，在线段AC上取一点M，使DM＝DE，过点D作DN⊥AC于点N，∵DE＝DG，∴DM＝DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG ＝S△ADG﹣S△ADM＝50﹣39＝11，∴S△DNM ＝S△EDF＝S△MDG＝×11＝5.5．故答案是：5.5．13．（2020秋•青羊区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB中点，FD⊥ED于D，BE＝，AF＝，则EF＝ 3 ．【思路引导】延长DE到H，使DH＝DE，连接FH，先证△BED≌△AHD（SAS），得AH＝BE，∠B＝∠DAH，再求出∠FAH＝90°，然后由勾股定理求出FH＝3，最后由线段垂直平分线上的性质即可得出答案．【完整解答】解：如图，延长DE到H，使DH＝DE，连接FH，∵D是AB中点，∴AD＝BD，在△BED和△AHD中，，∴△BED≌△AHD（SAS），∴AH＝BE＝，∠B＝∠DAH，∵∠C＝90°，∴∠FAH＝∠BAC+∠DAH＝∠BAC+∠B＝180°﹣90°＝90°，由勾股定理得，FH＝＝＝3，∵FD⊥ED，DE＝DH，∴EF＝FH＝3，故答案为：3．14．（2020秋•温岭市期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，给出下列结论：①DE＝DF；②△ADF≌△ADE；③△ABD和△ACD的面积相等．其中正确结论的序号是 ①② ．【思路引导】根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【完整解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，∴DE＝DF，故①正确；在Rt△ADF与Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），故②正确；∵得不出AB＝AC，∴△ABD和△ACD的面积无法判断相等，故③错误；故答案为：①②．15．（2019秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＝AC，点E在BC边上，CE＝BD，过点E作EF⊥CD交AB于点F，若AF＝2，BC＝8，则DF的长为 4 ．【思路引导】设∠BCD＝α，延长AC到点G，使AG＝AB，连接BG，延长EF和CA交于点H，根据已知条件证明△CEH≌△CGB，即可解决问题．【完整解答】解：设∠BCD＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣α，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，∴∠CAB＝180°﹣2∠ACD＝2α，∴∠ABC＝90°﹣2α，∵EF⊥CD，∴∠CKF＝90°，∴∠DFK＝90°﹣（90°﹣α）＝α，∴∠CEF＝90°﹣α，如图，延长AC到点G，使AG＝AB，连接BG，∵AD＝AC，∴CD∥GB，BD＝CG＝CE，∴∠GBC＝∠BCD＝α，∴∠G＝90°﹣α，∴∠G＝∠CEF，延长EF和CA交于点H，∴∠H＝α＝∠GBC，∵∠CAB＝2α，∴∠AFH＝α，∴∠H＝∠AFH，∴AH＝AF＝2，在△CEH和△CGB中，，∴△CEH≌△CGB（ASA），∴CH＝CB＝8，∴DF＝AD﹣AF＝AC﹣AH＝CH﹣2AH＝8﹣4＝4．故答案为：4．16．（2019秋•江汉区期中）如图，AB⊥CD于点E，且AB＝CD＝AC，若点I是△ACE的角平分线的交点，点F是BD的中点．下列结论：①∠AIC＝135°；②BD＝BI；③S△AIC ＝S△BID；④IF⊥AC．其中正确的是 ①③④ （填序号）．【思路引导】如图，延长IF到G，使得FG＝FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K．利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质一一判断即可．【完整解答】解：如图，延长IF到G，使得FG＝FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K．∵AB ⊥CD ，∴∠AEC ＝90°，∴∠EAC +∠ECA ＝90°，∴∠IAC +∠ICA ＝∠EAC +∠ECA ＝45°，∴∠AIC ＝180°﹣45°＝135°，故①正确，∵AB ＝AC ，∠IAB ＝∠IAC ，AI ＝AI ，∴△AIB ≌△AIC （SAS ），∴∠AIB ＝∠AIC ＝135°，IA ＝ID ，∴∠BIC ＝360°﹣135°﹣135°＝90°，同法可证：△ICA ≌△ICD （SAS ），∴∠AIC ＝∠CID ＝135°，IA ＝ID ，∴∠AID ＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∴∠DIB +∠AIC ＝180°，∵DF ＝FB ，IF ＝FG ，∴四边形IBGD 是平行四边形，∴ID ＝BG ＝AI ，ID ∥BG ，∴∠DIB +∠IBG ＝180°，∴∠AIC ＝∠IBG ，∵IA ＝ID ，IC ＝IB ，∴△AIC ≌△GBI （SAS ），∴∠GIB ＝∠ACI ，S △AIC ＝S △BGI ＝S 平行四边形DGBI ＝S △BDI ，故③正确，∵∠GIB +∠CIK ＝90°，∴∠CIK +∠ICK ＝90°，∴∠IKC ＝90°，即IF ⊥AC ，故④正确，不妨设BI ＝BD ，则△BDI 是等腰直角三角形，显然ID ＝IB ，即AI ＝IC ，显然题目不满足这个条件，故②错误．故答案为①③④．17．（2018秋•襄城县期末）如图，△ABC 的内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线相交于点E ，BE 交AC 于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：①∠BEC＝∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG＝CH+GH；④∠AEB+∠ACE＝90°，其中正确的结论有 ①③④ （将所有正确答案的序号填写在横线上）．【思路引导】①根据角平分线的定义得到∠EBC＝∠ABC，∠DCE＝ACD，根据外角的性质即可得到结论；②根据相似三角形的判定定理得到两个三角形相似，不能得出全等；③由BG＝GE，CH＝EH，于是得到BG﹣CH＝GE﹣EH＝GH．即可得到结论；④由于E是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点E到BA、AC、BC和距离相等，从而得出AE为∠BAC外角平分线这个重要结论，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论．【完整解答】解：①BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABC，∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝ACD，∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠DCE＝∠CBE+∠BEC，∴∠EBC+∠BEC＝（∠BAC+∠ABC）＝∠EBC+BAC，∴∠BEC＝∠BAC，故①正确；∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所有不能得出全等的结论，故②错误．③BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵GE∥BC，∴∠CBE＝∠GEB，∴∠ABE＝∠GEB，∴BG＝GE，同理CH＝HE，∴BG﹣CH＝GE﹣EH＝GH，故③正确．④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图，∵BE平分∠ABC，∴EM＝ED，∵CE平分∠ACD，∴EN＝ED，∴EN＝EM，∴AE平分∠CAM，设∠ACE＝∠DCE＝x，∠ABE＝∠CBE＝y，∠MAE＝∠CAE＝z，如图，则∠BAC＝180°﹣2z，∠ACB＝180﹣2x，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴2y+180°﹣2z+180°﹣2x＝180°，∴x+z＝y+90°，∵z＝y+∠AEB，∴x+y+∠AEB＝y+90°，∴x+∠AEB＝90°，即∠ACE+∠AEB＝90°，故④正确；故答案为：①③④．18．（2019秋•潍坊月考）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于 5.5 ．【思路引导】可通过作辅助线，即延长FM到N，使MN＝MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论．【完整解答】解：如图，延长FM到N，使MN＝MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，∵M是BC中点，∴BM＝CM，∠BMN＝∠CMF，∴△BMN≌△CMF，∴BN＝CF，∠N＝∠MFC，又∵∠BAD＝∠CAD，MF∥AD，∴∠E＝∠BAD＝∠CAD＝∠CFM＝∠AFE＝∠N，∴AE＝AF，BN＝BE，∴AB+AC＝AB+AF+FC＝AB+AE+FC＝BE+FC＝BN+FC＝2FC，∴FC＝（AB+AC）＝5.5．故答案为5.5．三．解答题19．（2021春•铁岭月考）如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，CE平分∠BCD交AB于点E，连接DE．（1）若∠A＝50°，∠B＝70°，求∠BEC的度数；（2）若∠A＝∠1，试说明∠CDE＝∠DCE．【思路引导】（1）求出∠A+∠BCD＝180°，求出∠BCD，求出∠BCE，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据三角形内角和定理和∠A+∠BCD＝180°求出∠CDE＝∠BCE，即可得出答案．【完整解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠BCD+∠ADC＝360°，∠B+∠ADC＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠A＝50°，∴∠BCD＝130°，∵CE平分∠BCD∴∠BCE＝∠BCD＝×130°＝65°，∵∠B＝70°，∴∠BEC＝180°﹣65°﹣70°＝45°，（2）证明：由（1）知∠A+∠BCD＝180°，∴∠A+∠BCE+∠DCE＝180°，∵∠CDE+∠DCE+∠1＝180°，∠1＝∠A，∴∠BCE＝∠CDE，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠CDE＝∠DCE．20．（2021•南岗区模拟）已知：点E，F在BC上，AF＝DE，BE＝CF，∠AFE＝∠DEF．（1）如图1，求证：AB＝CD；（2）如图2，连接AC，BD，AE，DF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四组平行线．【思路引导】（1）证△ABF≌△DCE（SAS），即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得∠B＝∠C，得AB∥CD，再证四边形ABDC是平行四边形，得AC∥BD，同理证出AF∥DE，AE∥DF．【完整解答】（1）证明：∵BE＝CF，∴BE﹣EF＝CF﹣EF，即BF＝CE，∵∠AFE＝∠DEF，∴∠AFB＝∠DEC，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴AB＝CD；（2）解：图2中的四组平行线为：AB∥CD，AC∥BD，AF∥DE，AE∥DF，理由如下：由（1）得：△ABF≌△DCE，∴AB＝DC，∠B＝∠C，∴AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC∥BD，∵∠AFE＝∠DEF，∴AF∥DE，∵AF＝DE，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE∥DF．21．（2020秋•来宾期末）如图，在五边形ABCDE中，AB＝DE，AC＝AD．（1）请你添加一个与角有关的条件，使得△ABC≌△DEA，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若∠CAD ＝65°，∠B ＝110°，求∠BAE 的度数．【思路引导】（1）添加∠BAC ＝∠EDA ，根据SAS 即可判定两个三角形全等；（2）根据全等三角形对应角相等，运用三角形内角和定理，即可得到∠BAE 的度数．【完整解答】解：（1）添加一个角方面的条件为：∠BAC ＝∠EDA ，使得△ABC ≌△DEA ，理由如下：在△ABC 和△DEA 中，，∴△ABC ≌△DEA （SAS ），（2）在（1）的条件下，∵△ABC ≌△DEA ，∴∠ACB ＝∠DAE ，∵∠CAD ＝65°，∠B ＝110°，∴∠ACB +∠BAC ＝180°﹣∠B ＝70°，∴∠DAE +∠BAC ＝∠ACB +∠BAC ＝70°，∴∠BAE ＝∠DAE +∠BAC +∠CAD ＝70°+65°＝135°．22．（2020秋•云南期末）如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是152cm 2，AB ＝20cm ，AC ＝18cm ，求DE 的长．【思路引导】根据S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，再利用角平分线的性质即可解决问题．【完整解答】解：∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴DE ＝DF ，∵S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，∴S △ABC ＝，∵△ABC 面积是152cm 2，AB ＝20cm ，AC ＝18cm ，∴152＝，∴10DE +9DF ＝152，∵DE ＝DF ，∴19DE ＝152，∴DE ＝8．23．（2021春•萧山区月考）如图，在△ABC 中，OE ⊥AB 与点E ，OF ⊥AC 与点F ，且OE ＝OF ．（1）如图①，当O 为BC 中点时，试说明AB ＝AC ；（2）如图②，当点O 在△ABC 内部，且OB ＝OC ，试判断AB 与AC 的关系．【思路引导】（1）证Rt △OBE ≌Rt △OCF （HL ），得∠B ＝∠C ，即可得出AB ＝AC ；（2）由等腰三角形的性质得∠OBC ＝∠OCB ，再证Rt △OBE ≌Rt △OCF （HL ），得∠ABO ＝∠ACO ，则∠ABC ＝∠ACB ，即可得出结论．【完整解答】（1）说明如下：∵O 为BC 中点，∴BO ＝CO ，∵OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，∴∠OEB ＝∠OFC ＝90°，在Rt △OBE 和Rt △OCF 中，，∴Rt △OBE ≌Rt △OCF （HL ），∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ；（2）解：AB＝AC，理由如下：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠OEB＝∠OFC＝90°，在Rt△OBE和Rt△OCF中，，∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），∴∠ABO＝∠ACO，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．24．（2021春•南山区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝ 30° ，∠AED＝ 70° ．（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【思路引导】（1）由平角的定义和三角形外角的性质可求∠EDC，∠DEC的度数；（2）当DC＝3时，由“AAS”可证△ABD≌△DCE；（3）分AD＝DE，DE＝AE，AE＝AD三种情况讨论，由三角形内角和和三角形外角的性质可求∠BDA 的度数．【完整解答】解：（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝110°，∴∠EDC＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝30°+40°＝70°，故答案为：30°，70°；（2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，且AB＝CD＝3，∠B＝∠C＝40°，∴△ABD≌△DCE（ASA）；（3）若AD＝DE时，∵AD＝DE，∠ADE＝40°，∴∠DEA＝∠DAE＝70°，∵∠DEA＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝30°，∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°，若AE＝DE时，∵AE＝DE，∠ADE＝40°，∴∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠AED＝100°，∵∠DEA＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝60°，∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，若AE＝AD时，∠AED＝∠ADE＝40°，∠DAE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，此时D与B重合，不合题意，舍去．综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形．25．（2021春•沂源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC 上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．【思路引导】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案；（2）根据全等三角形的性质定理得到AC＝AE，根据（1）的结论得到答案．【完整解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△DCF≌Rt△DEB，∴CF＝EB；（2）AF+BE＝AE．∵Rt△DCF≌Rt△DEB，∴AC＝AE，∴AF+FC＝AE，即AF+BE＝AE．26．（2020秋•腾冲市期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．【思路引导】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM＝AH＝GN，可得EM＝GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG 的中点．【完整解答】解：（1）如图1，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）DE＝BD+CE．如图2，证明如下：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中．．∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．∴∠EMI＝GNI＝90°由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN∴EM＝GN在△EMI和△GNI中，，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI＝GI，∴I是EG的中点．27．（2020秋•大武口区期末）如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AE∥BC，且∠E＝∠CAD，求∠C的度数．【思路引导】（1）由∠1＝∠2＝∠3，可得∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，已知AC＝AE，即可证得：△ABC≌△ADE；（2）由题意可得，∠ADB＝∠ABD＝4x，在△ABD中，可得x+4x+4x＝180°，解答处即可；【完整解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∵∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS）；（2）∵AE∥BC，∴∠E＝∠3，∠DAE＝∠ADB，∠2＝∠C，又∵∠3＝∠2＝∠1，令∠E＝x，则有：∠DAE＝3x+x＝4x＝∠ADB，又∵由（1）得AD＝AB，∠E＝∠C，∴∠ABD＝4x，∴在△ABD中有：x+4x+4x＝180°，∴x＝20°，∴∠E＝∠C＝20°．28．（2020秋•船营区期末）如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由．【思路引导】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑AAS证明三角形全等，从而推出线段相等．【完整解答】解：影子一样长．证明：∵AB⊥BC，A′B′⊥B′C′∴∠ABC＝∠A′B′C′＝90°∵AC∥A′C′∴∠ACB＝∠A′C′B′在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）∴BC＝B′C′即影子一样长．。
八年级上册全等三角形压轴题
八年级上册全等三角形压轴题一、题目1. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，E为AC边的中点，过点A作AD ⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF =∠CBG。
（1）求证：AF = CG；（2）若AG = 6，求BD的长。
二、解析（1）证明AF = CG在△ACF和△CBG中：已知∠ACF =∠CBG（题目所给条件）。
因为AC = BC（题目中已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB = 90°，AC = BC）。
由于∠ACB = 90°，CG平分∠ACB，所以∠BCG=45°。
又因为△ABC是等腰直角三角形，∠CAB =∠CBA = 45°，所以∠CAF =∠BCG。
根据“角边角”（ASA）全等判定定理，可得△ACF≌△CBG。
全等三角形对应边相等，所以AF = CG。
（2）求BD的长因为E为AC中点，AC = BC，设AC = BC = 2a，则CE=a。
由∠ACB = 90°，AD⊥AB，可得∠DAB = 90°。
又因为∠AEB+∠CBE = 90°，∠D+∠DBE = 90°（直角三角形两锐角互余），且∠AEB =∠DEB（对顶角相等），所以∠D =∠CBE。
在△BCE和△ACD中：∠D =∠CBE（已证）。
∠BCE =∠ACD = 90°。
BC = AC（已知）。
根据“角角边”（AAS）全等判定定理，可得△BCE≌△ACD。
所以AD = CE=a。
由（1）知△ACF≌△CBG，所以CF = BG。
因为CG平分∠ACB，∠ACB = 90°，所以∠BCG = 45°，又∠CBA = 45°，所以△BCG是等腰直角三角形，BG = CG。
又因为AF = CG，设AF = x，则BG = CG=x，AB=公式，BF = 2\sqrt{2}a x。
2022-2023学年江苏八年级数学上学期压轴题精练专题01 全等三角形(解析版)
2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题01 全等三角形考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·遂宁期末）△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，A、B分别与D、E对应，且AB=35cm，DF=30cm，则EF的长为（）A．35cm B．30cm C．45cm D．55cm【答案】A【完整解答】解：∵△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，∴△DEF的周长为100cm，AB＝DE=35cm，AC=DF=30cm，∴EF=100-35-30=35cm，故答案为：A.【思路引导】利用全等三角形的的周长相等，对应边相等，可得到△DEF的周长及DE的长，然后求出EF 的长.2．（2分）（2021八上·诸暨期末）如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点A，D，E在同一条直线上，∠ACB ＝25°，则∠ADC的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．70°【答案】D【完整解答】解：∵BC⊥CD，∠ACB＝25°，∴∠ACD=65°，∵△ABC≌△EDC，∴AC=CE，∠DCE= ∠ACB＝25°，∴∠ACE=90°，∴∠E=∠CAE=12×（180°-90°）=45°，∴∠ADC=∠DCE+∠E=70°.故答案为：D.【思路引导】根据全等三角形的性质得出AC=CE ，∠DCE= ∠ACB ＝25°， 从而得出∠ACE=90°，再根据等腰三角形的性质得出∠E=45°，利用∠ADC=∠DCE+∠E ，即可得出答案.3．（2分）（2021八上·林州期末）如图，点D ，E ，F 分别在ABC 的边AB ，BC ，CA 上（不与顶点重合），设αBAC ∠=，θFED ∠=.若BED CFE ≌，则α，θ满足的关系是（ ）A ．αθ90+=︒B ．α2θ180+=︒C ．αθ90-=︒D ．2αθ=180+︒【答案】B【完整解答】解：∵BED CFE ≌，∴∠B=∠C ，∠BED=∠EFC ， ∵αBAC ∠=，θFED ∠=，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°， ∴180α2B C ︒-∠=∠=，θ180BED FEC ∠++∠=︒， ∴θ180EFC FEC ∠++∠=︒，∵在△EFC 中，180EFC C FEC ∠+∠+∠=︒，∴θC =∠，即180αθ2︒-=， ∴α2θ180+=︒.故答案为：B.【思路引导】由全等三角形性质得∠B=∠C ，∠BED=∠EFC ，由三角形内角和求出180α2B C ︒-∠=∠=，根据平角的定义得θ180BED FEC ∠++∠=︒，即得θ180EFC FEC ∠++∠=︒，在△EFC 中，180EFC C FEC ∠+∠+∠=︒，从而得出θC =∠，继而得出结论.4．（2分）（2021八上·龙泉期末）下列命题中，是真命题的是( )A ．对应角相等的两个三角形是全等三角形B ．三个内角之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形C ．平面直角坐标系中，点的横坐标是点到x 轴的距离D ．角平分线上的点到角两边的距离相等【答案】D【完整解答】解：A 、 对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，错误；B 、∵最大角=180°×512=75°≠90°，不是直角三角形，错误； C 、∵坐标值正负不确定，∴点的横坐标不一定是点到x 轴的距离，错误；D 、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确.故答案为：D.【思路引导】根据全等三角形的判定定理判断A ；根据三角形内角和定理求最大角判断B ；根据坐标和点到直线的距离判断C ；根据角平分线的性质判断D.5．（2分）（2021八上·海珠期末）如图，△ABC ≌△ADE ，点D 在BC 上，且∠B ＝60°，则∠EDC 的度数等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C【完整解答】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴∠B=∠ADE=60°，AB=AD ，∴∠ADB=∠B=60°，∴∠EDC=60°．故答案为：C ．【思路引导】根据全等三角形的性质可得∠B=∠ADE=60°，AB=AD ，再利用等边对等角的性质可得∠ADB=∠B=60°，最后利用角的运算可得∠EDC=60°。
2023年湖北省中考数学高频压轴题突破——全等三角形
2023年湖北省中考数学高频压轴题突破——全等三角形1．如图1，OA OB ⊥，OC OD ⊥，OA OB =，OC OD =，连接AD 、BC ，交于点H ．(1)写出AD 和BC 的数量关系及位置关系，并说明理由；(2)如图2，连接BD ，若DO 、BO 分别平分ADB ∠和CBD ∠，求BOD ∠的度数；(3)如图3，连接AC 、BD ，设AOC 的面积为1S ，BOD 的面积为2S ，探究1S 与2S 的数量关系，并说明理由．2．如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．解答下列问题(1)如果AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为，数量关系为． ②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90°点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？并说明理由．3．设点P 在矩形ABCD 内部，当点P 到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P 为该边的“中轴点”．例如：若点P 在矩形ABCD 内部，且P A ＝PD ，则称P 为边AD 的“中轴点”．已知点P 是矩形ABCD 边AD 的“中轴点”，且AB ＝10，BC ＝8，如图1．(1)求证：P 是矩形ABCD 边BC 的“中轴点”；(2)如图2，连接P A ，PB ，若△P AB 是直角三角形，求P A 的值；(3)如图3，连接P A ，PB ，PD ，求tan ∠PDC ·tan ∠PBA 的最小值．4．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D ，E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC 的边AB ，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△，则AEI S =△______．5．（1）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，且45EAF ∠=︒．直接写出BE 、DF 、EF 之间的数量关系；（2）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，求证：EF BE DF =+；（3）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得12EAF BAD ∠=∠，则结论EF BE DF =+是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．6．如图，△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∠ABC ＜105°，AE 与DC 交于点F ．（1）求证：AE ＝DC ；（2）求∠BFE 的度数；（3）若AF ＝9.17cm ，BF ＝1.53cm ，CF ＝7.53cm ，求CD ．7．如图，点C 为线段BD 上一点，,ABC CDE △△都是等边三角形，AD 与CE 交于点,F BE 与AC 相交于点G ．（1）求证：≌ACD BCE ；（2）求证：ACF BCG ≌（3）若8,25CF CG BD +==，求ACD 的面积．8．在MAN ∠内有一点D ．过点D 分别作DB AM ⊥，DC AN ⊥，垂足分别为B ，C ．且BD CD =，点E ，F 分别在边AM 和AN 上．（1）如图1，若//DE AN ，//DF AM ．40A ∠=︒．则FDC ∠=______°；（2）如图2，若BED CFD ，7DE =，求DF 的长；（3）如图3，若120BDC ∠=︒，60EDF ∠=︒，猜想EF ，BE ，CF 三条线段间具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．9．如图1，//AD BC DE ，平分,ADB BDC BCD ∠∠=∠．（1）求证：90DEC ECD ∠+∠=︒；（2）如图2，BF 平分ABD ∠交CD 的延长线于F 点，若100ABC ∠=︒，求F ∠的大小；（3）如图3，若H 是BC 上一动点，K 是BA 延长线上一点，KH 交BD 于M ，交AD 于,O KG 平分BKH ∠,交DE 于N ，交BC 于G ，当H 在线段BC 上运动时（不与B 重合），求BAD DMH DNG∠+∠∠．10．已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作△ACD 和△BCE ，且CA=CD ，CB=CE ，∠ACD=∠BCE ，直线AE 与BD 交于点F ，（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= ；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB= ；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB= ；（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB= （用含α的式子表示）；（3）将图4中的△ACD 绕点C 顺时针旋转任意角度（交点F 至少在BD 、AE 中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB 与α的有何数量关系？并给予证明．11．在ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线l 经过顶点C ，过A 、B 两点分别作l 的垂线AE 、BF ，E 、F 为垂足．（1）如图1，当直线l 不与底边AB 相交时，求证：EF=AE+BF ．（2）如图2，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下三种可能的位置时，EF、AE、BF三者之间的数量关系．①当AD>BD时；②当AD<BD时．（①②直接写出答案）12．小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD，BC=BD，则△ACB与△ADB 有怎样的关系？（1）请你帮他们解答，并说明理由．（2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE=DE，你知道为什么吗？（如图2）（3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论．请你帮他画出图形，并证明结论．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．14．如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s（0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts（0≤t≤5）．（1）当t＝2时，S△AQF＝3S△BQC，则a＝；（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．15．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四边形=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．ABCD（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积．16．现给出一个结论：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；该结论是正确的，用图形语言可以表示为：如图1在ABC ∆中，90︒∠=C ,若点D 为AB 的中点，则12CD AB =． 请结合上述结论解决如下问题：已知，点P 是射线BA 上一动点（不与A,B 重合）分别过点A,B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E,F,其中Q 为AB 的中点（1）如图2，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系____________；QE 与QF 的数量关系是__________（2）如图3，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．(3)如图4，当点P 在线段BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．17．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD ，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC ，BC 于点M ，N ．（1）如图（1），若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M ，N 分别改在CA ，BC 的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM ，MN ，BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．18．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD 上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是（直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF ＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．。
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全等三角形压轴题精选（1）
1．（2016•常德）已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．
（1）如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF=EF；
（2）如图2，当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论．
2．（2015•菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
3．（2015•于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为______，线段CF、BD的数量关系为______；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF ⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．
4．（2013•庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，
（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．
5．（2013春•北京校级期中）探究
问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为______．
拓展
问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．
推广
问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．
6．（2012•昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分
别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．
求证：EF=BE+FD；
（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的
点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延
长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
7．（2012•重庆模拟）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC于点E，交AC于点F，∠ACB=45°，连接BF，∠FBC=∠EDC．
（1）求证：BF=CD；
（2）若AB=5，BC=7，求梯形ABCD的面积．
8．（2015•江西三模）已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．
（1）如图1，若∠DAB=60°，则∠AFG=______；如图2，若∠DAB=90°，则∠AFG=______；（2）如图3，若∠DAB=α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明；
（3）如果∠ACB为锐角，AB≠AC，∠BAC≠90°，点M在线段BC上运动，连接AM，以AM为一边以点A为直角顶点，且在AM的右侧作等腰直角△AMN，连接NC；试探究：若NC⊥BC（点C、M重合除外），则∠ACB等于多少度？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）。