大学计算机基础第3版参考课件-Chp8-1

牛顿多项式插值
• 对于拉格朗日插值，当增加一个 节点重新计算时，一般无法在已 有插值多项式基础上直接得到。
• 牛顿插值是一种“增量式”的插 值计算方法，它可以方便的在 阶插值的基础上获得 阶插值。
• 牛顿插值的计算基础：差分与差 商。
差分的定义
• 定义：
– 给定函数 并设
及其定义域中的等距点集
其中
埃尔米特插值问题一般形式
• 埃尔米特插值问题：
– 给定节点
，给定各阶导数值
，
，……，
– 要求构造多项式
，使得
其中
，
。
• 插值多项式的形式
– 多项式
一般形如
值与约束数目有关。
，其中
， ；
的
埃尔米特插值多项式的计算 (1)
• 本节考虑如下形式的埃尔米特插值问题：
– 给出了
个互异节点
；
– 给出了这些节点的函数值
多项式插值的定义
• 泰勒展开在某一点可以与目标函数具有指 定的近似程度。
• 多项式插值是另外一种使用多项式对目标 函数进行近似的技术：
– 插值函数为某多项式的组合； – 它要求在若干点处与目标函数具有指定的近
似程度。
拉格朗日插值
• 拉格朗日插值是最基本 的插值技术：
– 它要求插值函数与目标具 有零阶近似—即在指定点 处具有相同的函数值
• 练习：编写函数计算
。
差商的概念
• 定义：
– 函数 在两个相异节点上的一次差商定义为：
–在
个互异节点
为：
上的 次差商定义
差商的性质
• 线性性：
–设
，则
• 无序性：
–
– 下标
； 是
其中， 的一个排列。
差商计算的程序实现
def diff_quo (f, l) : ””” f: the function; l: the points””” if len(l)<1 : raise ValueError(’Empty list!’) elif len(l)==1 : return f(l[0]) else : v1 = diff_quo(f, l[:-1]) v2 = diff_quo(f, l[1:]) # beware of the divided by zero exception! return (v1-v2)/(l[0]-l[-1])
埃尔米特插值多项式的计算 (4)
• 关于 的计算：
– 因为
所以有
– 代入
并化简得
埃尔米特插值多项式的余项
• 余项的形式：
– 设 在定义域内具有
由节点
、函数值
阶导数， 是 及一阶导数
值
决定的埃尔米特插值多项式；
– 在任一点 处，有
其中 与 相关。
练习：埃尔米特插值实现 (1)
def L(lx, i, x) : ”””lx: the points consisting of {x_i}; i: the index; x: the input variable @requires: i<=len(lx) @requires: elements in lx are pairwise different””” t, v = lx[i], 1 for m in lx : if m!=t: v = v*(x-m)/(t-m) return v
，。
– 归纳定义 的 次前向差分：
– 归纳定义 的 次后向差分：
差分的性质 (1)
• 线性性： • 高阶差分的原函数组合表示： • 原函数的高阶差分组合表示：
差分的性质 (2)
• 累加性质： 类比积分公式
对于差分有
差分性质 (3)
• 分部求和性质： 类比积分中的分部积分性质
对于差分有
差分的程序计算
练习：埃尔米特插值实现 (3)
def P(lx, i, x) : ”””lx: the points consisting of {x_i}; i: the index of the point; x: the input””” return (1-2*Lp(lx,i)(x-lx[i]))*L(lx,i,x)**2
练习：埃尔米特插值实现 (2)
def Lp(lx, i) : ”””lx: the points consisting of {x_i}; i: the index of the point; x: the input @requires: elements in lx are pairwise different””” t, v = lx[i], 0 for m in lx: if m!=t: v += 1/(t-m) return v
return -1.0*x*(x-3)/(1-3)+9.0*(x-1)*x/3*(3-1) x = np.linspace(-10,20,101) y = interp(x) plt.plot(x,y,’b-’) plt.show()
本章内容
• 泰勒级数及其余项
• 拉格朗日插值及误差计Байду номын сангаас • 牛顿插值及误差计算 • 埃尔米特插值及误差计算 • Python 中的符号计算
– 设函数
过点
– 由该点集确定的拉格朗日多项式为：
– 则在 的定义域任一点 处有：
拉格朗日插值余项
• 练习：
–设 以及
， 是由
，
确定的拉格朗日插值多项式。
– 试根据拉格朗日插值余项公式
估计在
区间内
的最大值。
程序实现
• 练习：绘制由点 格朗日插值多项式的图像。
确定的拉
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def interp(x):
大学计算基础
泰勒级数与插值
本章内容
• 泰勒级数及其余项
• 拉格朗日插值及误差计算 • 牛顿插值及误差计算 • 埃尔米特插值及误差计算 • Python 中的符号计算
数学函数
函数的多项式近似：泰勒级数
• 泰勒级数
– 在各类数学函数中，多项 式函数是较为简单的一类， 且具有较好的数学性质。
– 泰勒级数的思想：用一系 列多项式函数的和来“近 似”给定函数。
– 是数学分析中的重要内容。
函数的多项式近似：泰勒级数
• 泰勒级数的定义：
–设
在 附近具有 阶连续导数，现寻
找常数 ， ，……， 使得
– 可以证明：
，于是
几个重要的展开公式
•取
时，泰勒级数称为马克劳林级数
• 几个重要的马克劳林级数
–
–
–
–
几个重要的展开公式
• 几个重要的马克劳林级数（续）
– – – –
泰勒级数的余项
• 若函数 数，则
在 附近具有 阶导
• 或者，余项还可用拉格朗日形式表示为：
泰勒级数的余项
• 练习（编写程序计算）：
– 当使用公式
对 进行近似时，若
保证在
处的误差值小于 ，试问应取
几项？
– 利用拉格朗日余项公式进行估计：当使用马克
劳林公式
对 进行近似时，
在
处的绝对、相对误差各是多少？
• 提示：
–当
时， 于是
。
泰勒级数的余项
import numpy as np
err = 2*(np.e)**2 n=0 while err >=1e-5 :
err = err*2/(n+1) n = n+1 print n
# 余项的初始值 # 打印合适的 n
本章内容
• 泰勒级数及其余项
• 拉格朗日插值及误差计算 • 牛顿插值及误差计算 • 埃尔米特插值及误差计算 • Python 中的符号计算
– 即：给定 个点
以及 个值
，
寻求多项式函数 ，使得
拉格朗日插值的计算
• 求解思路：
– 构造 个多项式组合
满足：
– 于是，令
• 如何构造这些
?
– 事实上，可令
即可。 。
拉格朗日插值的计算
• 练习：
– 求由点 项式。
， ， 确定的拉格朗日多
• 解答：
–令
，
，
– 于是，
。
拉格朗日插值余项
• 拉格朗日多项式余项：
def Q(lx, i, x) : ”””lx: the points consisting of {x_i}; i: the index of the point; x: the input””” return (x-lx[i])*L(lx,i,x)**2
练习：埃尔米特插值实现 (4)
def Hermit_interp(lx, lf, lp, x) : ”””lx: the points consisting of {x_i}; lf: the values consisting of {f(x_i)}; lp: the values consisting of {f’(x_i)}; x: the input @requires: len(lx) = len(lf) = len(lp) @requires: elements in lx are pairwise different””” n = len(lx) l = [lf[i]*P(lx,i,x)+lp[i]*Q(lx,i,x) for i in range(n)] return sum(l)
本章内容
• 泰勒级数及其余项
• 拉格朗日插值及误差计算 • 牛顿插值及误差计算 • 埃尔米特插值及误差计算 • Python 中的符号计算