第二十中学2019届高三《立体几何》第一轮复习教学建议WORD版
2019届二轮复习 立体几何一轮复习建议 课件(55张)
2、文科复习不必在空间角上浪费时间，关键 要把空间平行和垂直关系的论证捋清楚，对于 文科生来说，立体几何的得分比理科生更困难 些。（需要注意的是空间直角坐标系、空间中 两点间的距离文科生是要求的）
（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学）一个四 面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是 画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视 图可以为
一、考试说明分析
（ 2 ）以立体几何的上述定义、公理和定理为出 发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与 判定. 理解以下判定定理. ◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 那么该直线与此平面平行. ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都 平行，那么这两个平面平行. ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直，那么该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两 个平面互相垂直.
“立体几何”
高三第一轮复习建议
成都七中 肖国红
立体几何是高中数学的重要组成部分， 每一次课程改革这个板块都作出了一些调整 和变化，（上上次课改引进了空间向量，上 次课改有了三视图，没了三垂线）但是立体 几何的核心内容永远不会改变，老师们对这 部分内容也是熟烂于心，对于这块无论是新 课的教学还是高三的复习，都有一套自己的 教学方法和经验。
一、考试说明分析
空间向量与立体几何（文科不作要求） （ 5 ）能用向量语言表述线线、线面、面面的平 行和垂直关系. （ 6 ）能用向量方法证明有关直线和平面位置关 系的一些定理（包括三垂线定理）. （ 7 ）能用向量方法解决直线与直线、直线与平 面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在 研究几何问题中的应用.
一、考试说明分析
空间向量与立体几何（文科不作要求） （ 1 ）了解空间向量的概念，了解空间向量的基 本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标 表示. （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. （ 3 ）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能 用向量的数量积判断向量的共线与垂直. （4）了解直线的方向向量与平面的法向量.
届高三数学一轮复习教案：(教师用)第七章立体几何1
届高三数学一轮复习教案：(教师用)第七章立体几何1立体几何初步【知识图解】【方法点拨】立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。
空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。
在复习时我们要以下几点：1．注意提高空间想象能力。
在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。
2．归纳总结，分门别类。
从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。
3．抓主线，攻重点。
针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，角与距离的计算已经降低要求。
4．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。
立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。
第1课空间几何体练兵【考点导读】1．观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
【基础练习】1．一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有14 条棱，8 个面；②如果它是棱柱，那么它有12 条棱6 个面。
2. A B C 是正ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若A B C ，那么ABC的面积为。
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最新整理高三数学20 高考数学立体几何复习教案立体几何总复习一、基本符号表示.1.点A在线m上：A m；2.点A在面上：A ；3.直线m在面内：m ；4. 直线m与面交于点A：m =A；5.面与面相交于直线m： =m；二、点A到面的距离.（第一步：作面的垂线）①作法：过点A作AO 于O，连结线段AO,即所求。
②求法：（一）直接法；（二）等体法（等积法包括：等体积法和等面积法）；（三）换点法。
(例1)如图，三棱锥中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC，PA=AC=2，AB=1，M为PC的中点。
（II）求点A到平面PBC的距离.（例2）四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB//CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA= ，∠ACB=90°。
（III）求点B到平面PCD的距离。
（例3）如图，直三棱柱中，，AC⊥CB，D是棱的中点。
（I）求点B到平面的距离.三、两条异面直线m与n所成角.①作法：平移，让它们相交.（若m n,则可证出m n所在的平面）②求法：常用到余弦定理.③两条异面直线所成角的范围：；任意两条异面直线所成角的范围： .(例1)如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；四、线m与面所成角.（第一步：作面的垂线）①作法：在线m上任取一点P（异于A），作PO 于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的摄影， m与面所成的角。
②求法：一般根据直角三角形来解。
③线面角的范围： .(例1)已知正四棱柱中，AB＝2，。
（II）求直线与侧面所成的角的正切值.(例2)如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．（III）求与平面所成角的最大值．五、二面角（注：若所求的二面角为直二面角，一般转化为求它的补角—锐角）.（一）定义法：①作法：在棱c上取一“好”点P，在两个半平面内分别作c的垂线（射线）m、n,则角即二面角—c—的平面角。
2019-2020学年高三数学一轮复习 立体几何教案.doc
2019-2020学年高三数学一轮复习立体几何教案教学目标了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；了解一些简单组合体（如正方体和球，正四面体和球）；教学重难点柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式的使用教学参考教材,教参,学案，优化探究授课方法自学引导，讲练结合教学辅助手段多媒体专用教室教学过程设计教学二次备课一、主干知识梳理1．侧面积公式：S=直棱柱侧，S=正棱锥侧，S=正棱台侧，S=圆台侧，S=圆柱侧，S=圆锥侧．2．体积公式：V=长方体= ，V=柱体，V=锥体，V=台体．3．球：V=球体，S=球面．二、基础自测自评1．若一个球的体积为π34，则它的表面积为_______．2．已知圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积是．3．若圆锥的母线长为3cm，侧面展开所得扇形圆心角为23π，则圆锥的体积为3cmD．v≤40 km/B．v＞40 km/ D．v≤40 km/h D．a＋c＞b学生课前预习师生共同回顾主干知识通过小题巩固公式的记忆及使用教学过程设计 教 学 二次备课三、典例分析【例1】（1）一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2，则(1)圆台高 为 (2)截得此圆台的圆锥的母线长为 ．（2）若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 .（3）三棱柱的一个侧面面积为S ，此侧面所对的棱与此面的距离为h ，则此棱柱的体积为 ．【例2】 例2如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．（1）求证：EF //平面11ABC D ；（2）求证：1EF B C ⊥；（3）求三棱锥1B EFC V -的体积．四、课堂小结：了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；了解一些简单组合体（如正方体和球，正四面体和球）；练习：1．一个球的外切正方体的全面积等于26cm ，则此球的体积为 .2．等边圆柱（底面直径和高相等的圆柱）的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．课外作业 优化探究变式训练1教 学 小 结C DB FE D 1C 1B 1A A 1。
2019-2020年高考数学一轮复习 9.13 立体几何的综合问题教案
2019-2020年高考数学一轮复习 9.13 立体几何的综合问题教案●知识梳理1.线与线、线与面、面与面间的平行、垂直关系.2.空间角与空间距离.3.柱、锥、球的面积与体积.4.平面图形的翻折，空间向量的应用.●点击双基1.若Rt△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在α外，则△ABC在α上的射影是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.一条线段或一钝角三角形解析：当平面ABC⊥α时，为一条线段，结合选择肢，知选D.答案：D2.长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为A.1+B.2+C.3D.2解析：求表面上最短距离常把图形展成平面图形.答案：C3.设长方体的对角线长为4，过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60°，则长方体的体积是A.27B.8C.8D.16解析：先求出长方体的两条棱长为2、2，设第三条棱长为x，由22+22+x2=42x=2，∴V=2×2×2=8.答案：B4.棱长为a的正方体的各个顶点都在一个球面上，则这个球的体积是_____________.解析：易知球的直径2R=a.所以R=a.所以V=R3= a3.答案：a35.已知△ABC的顶点坐标为A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则△ABC的面积是_____________.解析：=（1，1，1），=（2，1，3），cos〈，〉==，∴sin A=.∴S=||||sin A=··= .答案：●典例剖析【例1】在直角坐标系O—xyz中，=（0，1，0），=（1，0，0），=（2，0，0）， =（0，0，1）.（1）求与的夹角α的大小；（2）设n=（1，p，q），且n⊥平面SBC，求n；（3）求OA与平面SBC的夹角；（4）求点O到平面SBC的距离；（5）求异面直线SC与OB间的距离.解：（1）如图，= －=（2，0，－1），= + =（1，1，0），则||==，||==.cos α=cos 〈，〉===，α=arccos. n ·=0，n ·=0.∵=（2，0，－1），= －=（1，－1，0）， 2－q =0， p =1， 1－p =0. q =2，（3）OA 与平面SBC 所成的角θ和OA 与平面SBC 的法线所夹角互余，故可先求与n 所成的角.=（0，1，0），||=1，|n |==.∴cos 〈，n 〉===，即〈，n 〉=arccos.∴θ=－arccos. （4）点O 到平面SBC 的距离即为在n 上的投影的绝对值， ∴d =|·|== .（5）在异面直线SC 、OB 的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离，故先求与SC 、OB 均垂直的向量m .设m =（x ，y ，1），m ⊥且m ⊥， 则m ·=0，且m ·=0. 2x －1=0， x =，x +y =0， y =－. ∴m =（，－，1），d ′=|·|= =. 特别提示 借助于平面的法向量，可以求斜线与平面所成的角，求点到平面的距离，类似地可以求异面直线间的距离.本题选题的目的是复习如何求平面的法向量，以及如何由法向量求角、求距离.【例2】 如图，已知一个等腰三角形ABC 的顶角B =120°，过AC 的一个平面α与顶点B 的距离为1，根据已知条件，你能求出AB 在平面α上的射影AB 1的长吗?如果不能，那么需要增加什么条件，可以使AB 1=2?解：在条件“等腰△ABC 的顶角B =120°”下，△ABC 是不能唯一确定的，这样线段AB 1也是不能确定的，需要增加下列条件之一，可使AB 1=2：①CB 1=2；②CB =或AB =；③直线AB 与平面α所成的角∠BAB 1=arcsin ；④∠ABB 1=arctan2；⑤∠B 1AC =arccos ；⑥∠AB 1C =π－arccos ；⑦AC =；⑧B 1到AC 的距离为；⑨B 到AC 的距离为；⑩二面角B —AC —B 1为arctan2等等.思考讨论本题是一个开放型题目，做这类题的思维是逆向的，即若AB 1=2，那么能够推出什么结果，∴ （2）∵n ⊥平面SBC ，∴n ⊥且n ⊥，即∴ 即n =（1，1，2）.∴ 即再回过来考虑根据这一结果能否推出AB1=2.【例3】（xx年春季北京）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=，（1）求证：BC⊥SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.剖析：本题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.（1）证法一：∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC.∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影.由三垂线定理得BC⊥SC.证法二：∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC.∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC.又DC∩SD=D，∴BC⊥平面SDC.∴BC⊥SC.（2）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，∴可以把四棱锥S—ABCD补形为长方体A1B1C1S—ABCD，如上图，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角，∵SC⊥BC，BC∥A1S，∴SC⊥A1S.又SD⊥A1S，∴∠CSD为所求二面角的平面角.在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1.∴∠CSD=45°，即面ASD与面BSC所成的二面角为45°.解法二：如下图，过点S作直线l∥AD，∴l在面ASD上.∵底面ABCD为正方形，∴l∥AD∥BC.∴l在面BSC上.∴l为面ASD与面BSC的交线.∵SD⊥AD，BC⊥SC，∴l⊥SD，l⊥SC.∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.（以下同解法一）.（3）解法一：如上图，∵SD=AD=1，∠SDA=90°，∴△SDA是等腰直角三角形.又M是斜边SA的中点，∴DM⊥SA.∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.由三垂线定理得DM⊥SB.∴异面直线DM与SB所成的角为90°.解法二：如下图，取AB的中点P，连结MP、DP.在△ABS中，由中位线定理得PM∥BS.∴DM与SB所成的角即为∠DMP.又PM2=，DP2=，DM2=.∴DP2=PM2+DM2.∴∠DMP=90°.∴异面直线DM与SB所成的角为90°.●闯关训练夯实基础1.下图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为A.180°B.120°C.60°D.45°答案：C2.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为A.arccosB.arccosC.arccosD.arccos解法一：∵=+，= +，∴·=而== = .同理，||=.如令α为所求之角，则cos α==4521=，∴α=arccos.应选D.解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，把D 点视作原点O ，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则A （1，0，0）、M （1，，1）、C （0，1，0）、N （1，1，）.∴=（0，，1），=（1，0，）.故·=0×1+×0+1×=， ||==， ||==. ∴cos α==252521⋅=.∴α=arccos. 答案：D3.图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a ，内装水若干.现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为_____________.解析：设正三棱柱的底面积为S ，将图乙竖起得图丙，则V 水=V 柱－V =S ·2a －（S ）·2a =aS .设图甲中水面的高度为x ，则S ·x =aS ，得x =a .答案：4.在三棱锥P —ABC 中，底面是边长为2 cm 的正三角形，PA =PB =3 cm ，转动点P 时，三棱锥的最大体积为.解析：点P到面ABC距离最大时体积最大，此时面PAB⊥面ABC，高PD=2.V=××4×2= .答案： cm35.把长、宽各为4、3的长方形ABCD，沿对角线AC折成直二面角，求顶点B和顶点D的距离.解：如图，作BE⊥AC于E，∵二面角B—AC—D为直二面角，BE⊥AC，∴BE⊥平面ADC，DE平面ADC，BE⊥DE.在Rt△ABC中，可得BE=，AE=，在△ADE中，DE2=AE2＋AD2－2AD·AE·cos∠EAD=＋16－2··4·=.在Rt△BDE中，BD=BE2＋ED2=.培养能力6.已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.（1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面APE⊥平面APF；（3）求异面直线PA和EF的距离.（1）证明：如下图，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，∴PA⊥平面PEF.∵EF平面PEF，∴PA⊥EF.（2）证明：∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF.又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.（3）解：在面PEF中，作PG⊥EF，垂足为G，∵AP与面PEF垂直，PG平面PEF，∴AP⊥PG，PG⊥EF，PG是AP与EF的公垂线.在等腰Rt△PEF中，PE=PF=，∠EPF=90°，∴PG=EG=.7.（文）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角.（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成的角.（1）证明：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），D（0，2a，0），P（0，0，a），· =（a，0，0）·（0，2a，－a）=0，又· =0，∴⊥，⊥.∴PD⊥BE.（2）解：∵PA⊥面ABCD，PD与底面成30°角，∴∠PDA=30°.过E作EF⊥AD，垂足为F，则AE=a，∠EAF=60°，AF=a，EF=a，∴E（0，a，a）.于是=（0，a，a）.又C（a，a，0），D（0，2a，0），∴CD=（－a，a，0）.cos〈，〉===，∴异面直线AE与CD所成的角是arccos.（理）四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD∥AB，AB=4，CD=1，点M在PB上，且MB=3PM，PB与平面ABC成30°角，（1）求证：CM∥面PAD；（2）求证：面PAB⊥面PAD；（3）求点C到平面PAD的距离.分析：本题主要考查空间直角坐标系的概念、空间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系，同时考查向量研究空间图形的数学思想方法.如下图，建立空间直角坐标系O—xyz，C为坐标原点O，突破点在于求出相关的向量所对应的坐标.（1）证明：如图，建立空间直角坐标系.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABC所成的角，即∠PBC=30°.∵|PC|=2，∴|BC|=2，|PB|=4.得D（1，0，0）、B（0，2，0）、A（4，2，0）、P（0，0，2）.∵|MB|=3|PM|，∴|PM|=1，M（0，，），=（0，，），=（－1，0，2），=（3，2，0）.设=x+y（x、y∈R），则（0，，）=x（－1，0，2）+y（3，2，0）x=且y=，∴= + .∴、、共面.又∵C平面PAD，故CM∥平面PAD.（2）证明：过B作BE⊥PA，E为垂足.∵|PB|=|AB|=4，∴E为PA的中点.∴E（2，，1），=（2，－，1）.又∵·=（2，－，1）·（3，2，0）=0，∴⊥，即BE⊥DA.而BE⊥PA，∴BE⊥面PAD.∵BE面PAB，∴面PAB⊥面PAD.（3）解：由BE⊥面PAD知，平面PAD的单位向量n0==（2，－，1）.∴CD=（1，0，0）的点C到平面PAD的距离d=|n0·|=|（2，－，1）·（1，0，0）|=.探究创新8.（xx年北京宣武区二模题）如图，AB为圆柱OO1的母线，BD为圆柱OO1下底面直径，AB=BD=2，点C为下底面圆周⊙O上的一点，CD=1.（1）求三棱锥C—ABD的体积；（2）求面BAD与面CAD所成二面角的大小；（3）求BC与AD所成角的大小.分析：本题主要考查直线、平面的位置关系，考查圆柱的有关概念，考查直线、平面所成角的概念及求法，考查空间想象能力和推理能力.解：（1）∵AB为圆柱OO1的母线，∴AB⊥下底面.∴AB为棱锥A—BCD的高.而点C在⊙O上，∴△BCD为直角三角形，∠BCD=90°.∵BD=2，CD=1，∴BC=.∴V三棱锥C—ABD=V三棱锥A—BCD=××1××2=.（2）过B作BE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F，连结EF.由BD为底面圆的直径，得BC⊥CD.∵AB⊥平面BCD，BC⊥CD，∴AC⊥CD.而AC∩BC=C，∴CD⊥平面ABC.而CD 平面ADC ，∴平面ABC ⊥平面ADC ，且它们的交线为AC . ∵BF 平面ABC ，BF ⊥AC ，垂足为点F ， ∴BF ⊥平面ACD .而BE ⊥AD ，AD 平面ACD ，∴EF ⊥AD .平面ABD ∩平面ACD =AD ，∴∠BEF 是面ABD 与面ACD 所成的二面角的平面角. 由BE =AD =，AC =，AB =2，可求出BF =.∴sin ∠BEF ==27212=.∵∠BEF 为锐角，∴∠BEF =arcsin. 故所求二面角的大小为arcsin.（3）过点D 在下底面作DG ∥BC 交⊙O 于点G ，则∠GDA 为BC 与AD 所成的角.连结BG 、AG ，由BD 是⊙O 的直径，得GD ⊥BG ，则AG ⊥DG ，BC =GD .∴cos ∠GDA ===. ∴∠GDA =arccos.∴所求BC 与AD 所成的角的大小为arccos. ●思悟小结1.利用向量解立体几何问题，要仔细分析问题特点，把已知条件用向量表示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，将几何的位置关系的证明问题或数量关系的运算问题转化为典型的向量运算，以算代证，以值定形.这种方法可减少复杂的空间结构分析，使得思路简捷、方法清晰、运算直接，能迅速准确地解决问题.2.线线垂直、两异面直线的夹角、两点间的距离等问题的解决往往借助于向量坐标.正方体、长方体、底面有一角为直角的直棱柱、底面为菱形的直四棱柱、四棱锥等凡能出现三条两两垂直直线的图形，常常考虑空间直角坐标系.3.在综合问题中，首先要注意是否构建直角坐标系，能较易建立直角坐标系的，尽量建立直角坐标系.其次要注意向量运算与基本性质相结合的论述，这是今后的方向，可以“形到形”，可以“数到形”，注意数形结合，向量方法与传统方法各有千秋，相得益彰.必须熟练掌握向量的基本知识和技能，尤其提出如下几点：（1）怎样选择应用基底（不设直角坐标系）和建立直角坐标系及坐标系建立技巧； （2）法向量的应用对处理角和距离的重要性； （3）怎样用向量解决立体几何中的几大常见题型；（4）准确判断是否选用向量处理问题，明确向量解题的缺点； （5）空间向量是怎样由平面向量拓展而来的. ●教师下载中心教学点睛要给学生归纳、总结，使学生系统地掌握线线、线面、面面的位置关系，特别是平行与垂直的判定与性质，通过对照，深刻理解异面直线所成的角、斜线与平面所成的角、二面角的平面角，理解点到面的距离、异面直线的距离.通过解题总结证明立体几何问题的常见方法，注意培养学生的空间想象能力.拓展题例【例1】已知直线a∥α，且a与α间的距离为d，a在α内的射影为a′，l为平面α内与a′平行的任一直线，则a与l之间的距离的取值范围是A.［d，+∞）B.（d，+∞）C.（0，d］D.{d}解析：如图，在a上任取一点P作PO⊥a′，垂足为O，过O作OA⊥l，垂足为A，连结PA.则PA⊥l，PA⊥a，故PA就是a与l之间的距离.在Rt△POA中，PA>PO=d，选B.答案：B【例2】如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是__________.解析：两个相同的几何体倒立一个，对应合缝，恰好形成一个圆柱体.答案：πr2（a+b）【例3】（xx年北京西城区一模题）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为2，P 是侧棱AA1上任意一点.（1）求证：B1P不可能与平面ACC1A1垂直；（2）当BC1⊥B1P时，求线段AP的长；（3）在（2）的条件下，求二面角C—B1P—C1的大小.（1）证明：连结B1P，假设B1P⊥平面ACC1A1，则B1P⊥A1C1.由于三棱柱ABC—A1B1C1为正三棱柱，∴AA1⊥A1C1.∴A1C1⊥侧面ABB1A1.∴A1C1⊥A1B1，即∠B1A1C1=90°.这与△A1B1C1是等边三角形矛盾.∴B1P不可能与平面ACC1A1垂直.（2）解：取A1B1的中点D，连结C1D、BD、BC1，则C1D⊥A1B1，又∵AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D.∴C1D⊥平面ABB1A1.∴BD是BC1在平面ABB1A1上的射影.∵BC1⊥B1P，∴BD⊥B1P.∴∠B1BD=90°－∠BB1P=∠A1B1P.又A1B1=B1B=2，∴△BB1D≌△B1A1P，A1P=B1D=1.∴AP=1.（3）解：连结B1C，交BC1于点O，则BC1⊥B1C.又BC1⊥B1P，∴BC1⊥平面B1CP. 过O在平面CPB1上作OE⊥B1P，交B1P于点E，连结C1E，则B1P⊥C1E，∴∠OEC1是二面角C—B1P—C1的平面角.由于CP=B1P=，O为B1C的中点，连结OP，∴PO⊥B1C，OP·OB1=OE·B1P.∴OE=.∴tan∠OEC1==.∴∠OEC1=arctan.故二面角C—B1P—C1的大小为arctan.。
高考数学第一轮复习教案 专题4立体几何
专题四立体几何一、考试内容平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．二、考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（5）会用反证法证明简单的问题．（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．三、命题热点高考对立体几何的考查主要有两个方面：一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图；二是考查空间点、线、面之间的位置关系，线面平行、垂直关系的证明等；在高考试卷中，一般有1~2个客观题和一个解答题.多为容易题和中档题.四、知识回顾（一）、平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向）（二）、空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线：有且仅有一个公共点；平行直线：共面，没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，没有公共点[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[) 180,0∈θ） （直线与直线所成角(] 90,0∈θ） （斜线与平面成角() 90,0∈θ） （直线与平面所成角[] 90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）（三）、直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，12方向相同12方向不相同可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上（四）、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. P OA a P αβθM AB O证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos 2222mn d n m l +++=（θ为锐角取加，θ为钝取减，综上，都取加则必有⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πθ） 7. ⑴最小角定理：21cos cos cos θθθ=（1θ为最小角，如图）⑵最小角定理的应用（∠PBN 为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.（五）、棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1c o s c o s c o s 222=++γβα.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2c o s c o s c o s 222=++γβα.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） 图1θθ1θ2图2③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V Sh V ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α） 附： 以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --.则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =.注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的l ab c B等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.简证：A B ⊥CD ，AC ⊥BD ⇒ BC ⊥AD. 令===,, 得-=⋅⇒=-=-=,，已知()()0,0=-⋅=-⋅c a b b c a0=-⇒c b c a 则0=⋅AD BC . iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点'O ，则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'FGH BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形.若对角线等，则EFGH FG EF ⇒=为正方形.3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. ⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P .②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度.附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高）②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧 得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧AC D B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.（六）. 空间向量.1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.（×） [当0=b 时，不成立] ②向量c b a ,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]③若a ∥b ，则存在小任一实数λ，使b a λ=.（×）[与0=b 不成立]F E HG B C D A O'O rOR④若a 为非零向量，则00=⋅a .（√）[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量]（2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=.（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α的关系是平行，记作a ∥α.（4）①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量P 与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使b y a x P +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是P ABC 四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 z y x ++=(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31++=用+=3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =，则),,(332211b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a ++=⋅ a ∥)(,,332211R b a b a b a ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a 222321a a a ++==(=⇒⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=< ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.DB（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥那么向量叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n 方向相同，则为补角，21,n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.AB（七）、常用结论、方法和公式1. 对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180°.2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形. （在直角四面体中，记V 、l 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S 2△ABC +S 2△BCD +S 2△ABD =S 2△ACD.3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.（在等腰四面体ABCD 中，记BC = AD =a ，AC = BD = b ，AB = CD = c ，体积为V ，外接球半径为R ，内接球半径为r ，高为h ），则有 ①等腰四面体的体积可表示为22231222222222c b a b a c a c b V -+⋅-+⋅-+=； O A BCD②等腰四面体的外接球半径可表示为22242c b a R ++=； ③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为22232c b a m ++=； ④h = 4r.4、空间正余弦定理.空间正弦定理：sin ∠ABD/sin ∠A-BC-D=sin ∠ABC/sin ∠A-BD-C=sin ∠CBD/sin ∠C-BA-D 空间余弦定理：cos ∠ABD=cos ∠ABCcos ∠CBD+sin ∠ABCsin ∠CBDcos ∠A-BC-D5.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；6. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ⊂ M ，BF ⊂ N,∠EAB=1θ,∠ABF=2θ，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则;cos cos cos 21θθθ=7.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，BC 和AB 的射影BA 1成2θ，设∠ABC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ；8.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；9.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。
北京市第二十中学高三《立体几何》第一轮复习教学建议WORD版
高三第一轮《立体几何》复习教学建议第一部分：《立体几何》内容的变化一.课时二.内容设置三.教学要求变化四.考试要求的变化（一）旧考纲对立体几何考点要求（二）新课程标准对立体几何考点要求（三）变化比较（四）课改区高考及北京高考试题相关内容分析：一、教学课时分配建议第一课时空间几何体的结构特征及三视图和直观图第二课时空间几何体的表面积与体积第三课时平面基本性质及两直线的位置关系第四课时空间直角坐标系和空间向量及其运算第五课时空间中的平行关系（一）第六课时空间中的平行关系（二）第七课时空间中的垂直关系（一）第八课时空间中的垂直关系（二）第九课时空间向量应用（一）——位置关系的向量解法第十课时空间向量应用（二）——空间角第十一课时空间向量应用（三）——空间角二. 立体几何复习应突出什么样的数学思维特征？三、典型例题分析（一）.基础知识、概念1. 空间中的直线与平面（1）平面的基本性质.例1. 对于平面M、直线a、点P，已知P∈a，P∈M，则a和M的位置关系是C(A) a ⊂M (B ) a ∩M ＝P(C) a ⊂M 或a ∩M ＝P (D) a ⊄M （2）空间两直线的位置关系.例2. 有三个图形：(1)两条平行线，(2)一个四边形，它的两个相邻的内角分别是60度角和120度角 (3)一个四边形，它的两条对角线成60度角.其中一定是平面图形的是 C （A ） （1）和（2） （B ） （1）和（3） （C ） （1） （D ） （2）和（3） （3）空间直线及平面平行的概念、判定和性质例3. 对于直线a 、b 和平面M 、N ，判断下列各命题的正误. 如果a ∥b ，那么a 和任意一个过b 的平面平行；(×) 过不在a 上的一点，可以有无数个平面与a 平行；(√) 过不在M 内的一点，可以有无数条直线与M 平行；(√) 如果a ∥M ，那么a 平行M 内的无数条直线；(√) 如果a ∥M ，那么a 平行M 内的任意一条直线；(×)例4. 对于直线a 、b 和平面M 、N ，判断下列各命题的正误. 如果a ∥b ，那么分别经过a 和b 的两个平面平行；(×) 过不在M 内的一点，可以有无数个平面与M 平行；(×) 过不在M 内的一条直线，一定有一个平面与M 平行；(×)如果N ∥M ，那么N 内的任意一条直线平行M 内的无数条直线；(√) 如果N ∥M ，那么N 平行M 内的任意一条直线；(√) （3）空间直线及平面垂直的概念、判定和性质例5. 对于直线l 、m 、n 和平面α、β，判断下列各命题的正误. 如果m ⊥α，m ∥n ，那么n 和α内的任意一条直线垂直；(√) 过空间中一点，有且只有一个平面与m 垂直；(√) 过不在α上的一点，可以有无数条直线与α垂直；(×) 如果m ⊥α，n ∥α，那么m 垂直于过n 的每个平面；(×) 如果m ⊥α，那么m 垂直于α内的任意一条直线；(√)例6. 对于直线m 、n 和平面α、β，判断下列各命题的正误. 如果m ⊥n ，那么分别经过m 和n 的两个平面垂直；(×) 过空间中的一点，可以有无数个平面与α垂直；(√)过不在α上的一条直线，一定有一个平面与α垂直；(√) 如果β⊥α，那么β内的任意一条直线与平面α垂直；(×)如果β⊥α，那么过β内任意一点，垂直于交线的直线与平面α垂直；(√) （二）. 空间直线、平面平行、垂直的判定及性质的应用 1.定理应用例7.如图，已知：等腰△ABC 与等腰△DBC 有公共底边但不在同一个平面内，O 、E 、F 分别是BC 、BD 、CD 的中点. 求证：平面AEF ⊥平面AOD . 2.用向量方法证明直线、平面垂直或平行例8．如图，已知：E 是正方体ABCD-1111A B C D 中11A B 的中点.求证：平面AC 1D ⊥平面AE 1D .例9（2009浙江）x（三）. 求空间中成角常用方法 例10（2009天津卷）（四）. 柱、锥、台、球的概念和表面积、体积公式的应用 例11. 直三棱柱ABC —A1B1C1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA1和CC1上如图，AP=C1Q ，则四棱 锥B —APQC 的体积为 （ B ）A ．2VB ．3VC ．4VD ．5V例12. (2009辽宁卷)正六棱锥P-ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D-GAC 与三棱锥P-GAC 体积之比为（ C ）（A ）1：1 （B ）1：2 （C ）2：1 （D ）3：2 例13．（2008江西卷）如图，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题： A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是 BD ．(写出所有真命题的代号) ．（五）.加强对新增内容的复习——三视图（平行投影，正投影） 例14．（2009广东卷）例15．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(C ).A.2π+B. 4π+C.2πD. 4π+例16． 一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点）. (Ⅰ)求证：MN ∥平面CDEF ； (Ⅱ)求多面体A —CDEF 的体积．P1A三视图直观图ENMFD CBA例17．已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形，且31=AA，设D 为1AA 的中点. (Ⅰ)作出该几何体的直观图并求其体积； (Ⅱ)求证：平面⊥C C BB 11平面1BDC ；(Ⅲ)BC 边上是否存在点P ，使//AP 平面1BDC ？若不存在， 说明理由；若存在，证明你的结论.。
2019-2020年高三数学一轮复习立体几何(1)教案
2019-2020年高三数学一轮复习立体几何（1）教案第节教学目标平面基本性质及公理直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系教学重难点平面基本性质及公理的运用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判断，异面直线所成的角教学参考教材,教参,学案，优化探究授课方法自学引导，讲练结合教学辅助手段多媒体专用教室教学过程设计教学二次备课一、主干知识梳理1．平面的基本性质：公理：文字语言描述为______________________,符号语言表示为___________________；公理2：文字语言描述为____________________,符号语言表示为___________________；公理3：推论1推论2推论32．空间两条直线的位置关系有________、_________、_________．3．公理4：_______________________________；等角定理：_____________________．4．异面直线判定定理：5.异面直线所成的角的定义：,范围是二、基础自测自评1．棱柱的侧面是________形，棱锥的侧面是_________形，棱台的侧面是____________形．2．圆柱、圆锥、圆台的轴截面形状分别是______、_______、________．3．用符号表示“点在直线上，在平面外”为_____________________．学生课前预习师生共同回顾主干知识通过小题巩固公式的记忆及使用4．与长方体的某一条棱平行的棱有______条，与它相交的棱有_______条，与它异面的棱有_______条．5．与正方体的某条面对角线异面的棱有_______条．6．三条直线两两相交，它们可以确定的平面有________个． 教学过程设计 教 学 二次备课三、典例分析【例1】例1填空题：（1）空间三条直线，若，则由直线确定________个平面．（2）把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表示出来．【例2】 如图，在长方体中，为棱的中（1）画出由三点所确定的平面与长方体表面的交线；（2）画出平面与平面的交线．四、课堂小结：平面基本性质及公理直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系练习：下列说法正确的有________________．(填上正确的序号)①过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线；②过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直；③若，则；④若，则．课外作业 优化探究变式训练1教 学 小 结.C A 1。
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高三第一轮《立体几何》复习教学建议
第一部分：《立体几何》内容的变化
一.课时
二.内容设置
三.教学要求变化
四.考试要求的变化
（一）旧考纲对立体几何考点要求
（二）新课程标准对立体几何考点要求
（三）变化比较
（四）课改区高考及北京高考试题相关内容分析：
1、2019年新课标卷立体几何考题与考点分布（附相关试题）
广东山东海南江苏天津辽宁浙江福建安徽
空间几何体555545+545
点、直线、平面间的
位置关系
555+45
综合题141212141212151313
分值192222191622281818
200420052006200720192019
空间几何体
点、直线、平面间的位置关系555（球）55（创新
函数）5（线面距）
综合题141414141414
分值192222191622
一、教学课时分配建议
第一课时空间几何体的结构特征及三视图和直观图
第二课时空间几何体的表面积与体积
第三课时平面基本性质及两直线的位置关系
第四课时空间直角坐标系和空间向量及其运算
第五课时空间中的平行关系（一）
第六课时空间中的平行关系（二）
第七课时空间中的垂直关系（一）
第八课时空间中的垂直关系（二）
第九课时空间向量应用（一）——位置关系的向量解法
第十课时空间向量应用（二）——空间角
第十一课时空间向量应用（三）——空间角
二. 立体几何复习应突出什么样的数学思维特征？
三、典型例题分析
（一）.基础知识、概念
1. 空间中的直线与平面
（1）平面的基本性质.
例1. 对于平面M、直线a、点P，已知P a，P M，则a和M的位置关系是 C
(A) a M (B ) a∩M＝P
(C) a M或a∩M＝P (D) a M
（2）空间两直线的位置关系.
例2. 有三个图形：(1)两条平行线，(2)一个四边形，它的两个相邻的内角分别是60度角和120度角 (3)一个四边形，它的两条对角线成60度角.其中一定是平面图形的是 C
（A）（1）和（2）（B）（1）和（3）
（C）（1）（D）（2）和（3）
（3）空间直线及平面平行的概念、判定和性质
例3. 对于直线a、b和平面M、N，判断下列各命题的正误.
如果a∥b，那么a和任意一个过b的平面平行；(×)
过不在a上的一点，可以有无数个平面与a平行；(√)
过不在M内的一点，可以有无数条直线与M平行；(√)
如果a∥M，那么a平行M内的无数条直线；(√)
如果a∥M，那么a平行M内的任意一条直线；(×)
例4. 对于直线a、b和平面M、N，判断下列各命题的正误.
如果a∥b，那么分别经过a和b的两个平面平行；(×)
过不在M内的一点，可以有无数个平面与M平行；(×)
过不在M内的一条直线，一定有一个平面与M平行；(×)
如果N∥M，那么N内的任意一条直线平行M内的无数条直线；(√)
如果N∥M，那么N平行M内的任意一条直线；(√)
（3）空间直线及平面垂直的概念、判定和性质
例5. 对于直线l、m、n和平面α、β，判断下列各命题的正误.
如果m⊥α，m∥n，那么n和α内的任意一条直线垂直；(√)
过空间中一点，有且只有一个平面与m垂直；(√)
过不在α上的一点，可以有无数条直线与α垂直；(×)
如果m⊥α，n∥α，那么m垂直于过n的每个平面；(×)
如果m ⊥α，那么m 垂直于α内的任意一条直线；(√)
例6. 对于直线m 、n 和平面α、β，判断下列各命题的正误. 如果m ⊥n ，那么分别经过m 和n 的两个平面垂直；(×) 过空间中的一点，可以有无数个平面与α垂直；(√)
过不在α上的一条直线，一定有一个平面与α垂直；(√) 如果β⊥α，那么β内的任意一条直线与平面α垂直；(×) 如果β⊥α，那么过β内任意一点，垂直于交线的直线与平面α垂直；(√) （二）. 空间直线、平面平行、垂直的判定及性质的应用 1.定理应用
例7.如图，已知：等腰△ABC 与等腰△DBC 有公共底边但不在同一个平面内，O 、E 、F 分别是BC 、BD 、CD 的中点.
求证：平面AEF ⊥平面AOD .
2.用向量方法证明直线、平面垂直或平行 例8．如图，已知：E 是正方体ABCD-中
的中点.
求证：平面AC
⊥平面AE
.
例9（2019浙江）
（三）. 求空间中成角常用方法 例10（2019天津卷）
（四）. 柱、锥、台、球的概念和表面积、体积公式的应用 例11. 直三棱柱ABC —A1B1C1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA1和CC1上如图，AP=C1Q ，则四棱 锥B —APQC 的体积为 （ B ）
A ．
B ．
C ．
D ．
例12. (2019辽宁卷)正六棱锥P-ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D-GAC 与三棱锥P-GAC 体积之比为（ C ） （A ）1：1 （B ）1：2 （C ）2：1 （D ）3：2
例13．（2019江西卷）如图，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点
．如果将容器倒置，水面也恰好过点
(图2)．有下列四个命题：
A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
C ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点
D ．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是 BD ．(写出所有真命题的代号) ．
（五）.加强对新增内容的复习——三视图（平行投影，正投影） 例14．（2019广东卷）
例15．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(C ). A.
B.
C. D.
例16． 一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点）. (Ⅰ)求证：MN ∥平面CDEF ； (Ⅱ)求多面体A —CDEF 的体积． 三视图
直观图
22
2
2
2
2
2
2
E
N
M
F
D
C
B
A
例17．已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形，且 ，设
为
的中点.
(Ⅰ)作出该几何体的直观图并求其体积； (Ⅱ)求证：平面
平面
；
Q
P
C 1
B 1
A 1
C
B
A
G 1x
y
z E D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
(Ⅲ)边上是否存在点，使平面？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论.。