整式乘除法总复习
初中数学中考总复习——整式(合并同类项整式加减乘法除法混合运算分解因式图文详解)
初中数学总复习整式
多项式的项数与次数
例3 下列多项式次数为3的是（ C）
A. 5x 2 6x 1
B.x 2 x 1
C .a 2b ab b2
D.x2 y2 2x3 1
注意（1）多项式的次数不是所有项的次数的和，而是它的最高 次项次数；
（2）多项式的每一项都包含它前面的符号； （3）再强调一次， “π”当作数字，而不是字母
—
~~~——
~~~
一找
＝（4x2－3x2）+ (－8x＋6x)+ (5－4） 二移
＝ x2 －2x ＋1
三并
初中数学总复习整式
合并同类项的步骤：
1、找出同类项 用不同的线标记出各组同类项，注意每一项的符号。 2、把同类项移在一起
用括号将同类项结合，括号间用加号连接。
3、合并同类项 系数相加,字母及字母的指数不变 。
项式，最高次项是____x__23_y_2_，常数项是____13_____；
初中数学总复习整式
易错题
例5 下列各个式子中，书写格式正确的是（ F）
A.a b D.a3
B. 1 1 ab 2
C.a 3
E. 1ab
F. a2b 3
初中数学总复习整式
小结：
1、代数式中用到乘法时，若是数字与数字乘，要用“×” 若是数字与字母乘，乘号通常写成”.”或省略不写，如 3×y应写成3·y或3y，且数字与字母相乘时，字母与 字母相乘，乘号通常写成“·”或省略不写。
初中数学总复习整式
多项式的项数与次数
例4 、请说出下列各多项式是几次几项式，并写出多项式的最高次
项和常数项；
(1)25 x2 y xy3是 __四___次 __三___ 项式，最高次项是_____x_y__3_，常数项是___2__5____；
专题02 整式乘除法的三种求值题型全攻略
专题02 整式乘除法的三种求值题型全攻略【知识点梳理】整式乘法1、单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
整式除法1、单项式除单项式：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
2、多项式除单项式：多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
类型一、“不含某一项”求参例1、若()()2224x nx x x ++-的乘积中不含3x 项，求n 的值．【变式训练1】已知(－2x )·(5－3x ＋mx 2－nx 3)的结果中不含x 3项，则m 的值为( )A ．1B ．－1C ．－12D ．0【变式训练2】①先化简，再求值：（4x ＋3）（x －2）－2（x －1）（2x －3），x ＝－2；②若（x 2＋px ＋q ）（x 2－3x ＋2）的结果中不含x 3和x 2项，求p 和q 的值．【变式训练3】先化简，再求值：已知代数式2(3)(24)ax x x b -+--化简后，不含有x 2项和常数项.（1）求a 、b 的值；（2）求2()()()(2)b a a b a b a a b ---+---+的值.【变式训练4】已知将32()(34)x mx n x x ++-+展开的结果不含3x 和2x 项，（m 、n 为常数）（1）求m 、n 的值；（2）在（1）的条件下，求22()()m n m mn n +-+的值．（先化简，再求值）类型二、特殊值法求值例1、已知7765012672()3x a x a x a x a x a =++⋯⋯+++-，则0127a a a a ⋯+⋯+++=（）A ．1B ．－1C ．2D ．0【变式训练1】（1）已知：210,a a +-=则43222000a a a +++的值是_____（2）如果记162a =，那么1231512222+++++=_____（3）若232122192,x x ++-=则x=_____（4）若5543254321021),x a x a x a x a x a x a -=+++++（则24a a +=_____类型三、整体代入法求值例1、已知 5,21,a b a b +=--=-求()()()2222ab b b b ab a a b +--+-的值.【变式训练1】若11,2a b a c -=--=，则35()228b c b c --++的值是 （） A ．14 B ．38 C ．1 D ．－1【变式训练2】（1）已知2x 2＋6x ＝3，求代数式x （x ＋1）（x ＋2）（x ＋3）的值； （2）如果多项式4x 2＋kx －7被4x ＋3除后余2，求k 的值．【变式训练3】先化简，再求值：()()()31121x x x x +-+-，其中2241x x +=-．【变式训练4】已知2a 2+a -6=0，求代数式(3a +2)(3a -2)-(5a 3-2a 2)÷a 的值．。
整式的乘除法专题训练(含答案)
整式的乘除法专题训练类型一：幂的运算性质幂的运算性质共有六个：1同底数幂的乘法；2. 幂的乘方；3. 积的乘方；4.同底数幂的除法；5.负整数指数幂；6.零次幂运算需要注意的问题：1. 看清楚运算符号加、减、乘、除、乘方；2. 计算时注意“—”号；3. 3.认清楚指数和底数；4.正确联系运算性质和法则一、计算1.4353x x x x x ••+•2.()()()()x 211x 21x 21x 2432-•-+-•-3.()()4n 31n 35x x x x -•+•--4.()()()()a b b a a b b a 432-•-+-•-5.()()()344321044x 5x 2x 2x 2x 2•+-•+-6.()()()()y x xy 2y 2x x 32332•-•+-••-7.()()()2222332x x x 3x 2•+-+-8.()()()72335m m m-••-9.()()36x -x -÷10.()()63243x x x 2÷÷-11.()()()223223x -x -x x x x •÷+÷÷12.()()[]()[]322313x 2-y y -x 2y -x 2÷÷类型二：幂的运算性质的灵活运用13.已知的值。
求b a b a2,72,42+==14.已知,a 3a x =+用含a 的代数式表示.3x15.已知,5.133,63n m ==求m+n 的值。
16.已知的值。
求2n m n m a ,2a ,3a ++==17.已知的值。
求b 3a 2b a 10,610,510+==18.若的值。
求y x 328,03y 5x 3•=-+19.已知486331x 22x 2=-++，求x 的值。
20.已知(),a a a 113m 5=•求m 的值。
21.已知的值。
求n 2-1m n m 9,43,23+==22.若的值。
专题1.2 整式的乘除法【十一大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.2 整式的乘除法【十一大题型】【北师大版】【题型1 利用整式乘法求值】 (1)【题型2 利用整式乘法解决不含某项问题】 (2)【题型3 利用整式乘法解决错看问题】 (5)【题型4 利用整式乘法解决遮挡问题】 (7)【题型5 整式乘法的计算】 (8)【题型6 整式乘法的应用】 (9)【题型7 整式除法的运算与求值】 (12)【题型8 整式除法的应用】 (16)【题型9 整式乘法中的新定义问题】 (18)【题型10 整式乘法中的规律探究】 (22)【题型11 整式乘法与面积的综合探究】 (26)【知识点 整式的乘法】单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．()xy xy x y 22312æö2×=ç÷33èø单项式×多项式：乘法分配律．()m a b c ma mb mc ++=++多项式×多项式：乘法分配律．()()m n a b ma mb na nb++=+++【题型1 利用整式乘法求值】【例1】（2023春·江苏无锡·七年级期中）若(x−1)(x +b)=x 2+ax−2，则a +b 的值为 ．【答案】3【分析】由多项式乘多项式计算得x 2＋（b ﹣1）x ﹣b ＝x 2＋ax ﹣2，根据对应系数相等即可得出答案．【详解】解：∵（x ﹣1）（x ＋b ）＝x 2＋bx ﹣x ﹣b ＝x 2＋（b ﹣1）x ﹣b ，∴x 2＋（b ﹣1）x ﹣b ＝x 2＋ax ﹣2，∴b ﹣1＝a ，﹣b ＝﹣2，解得：b ＝2，a ＝1，∴a ＋b ＝3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则进行计算是解决本题的关键．【变式1-1】（2023·七年级单元测试）已知x2+x+1=0，则x3−x2−x+7=【答案】9.【分析】观察发现，对x3−x2−x+7的前三项可以提出公因式x，即可发现解答思路.【详解】解：∵x2+x+1=0，∴x3−x2−x+7=x3+x2+x−2x2−2x−2+9=x(x2+x+1)−2(x2+x+1)+9=9【点睛】本题考查了多项式乘法的逆用，解题的关键在于寻找所求多项式与已知等式的关系.【变式1-2】（2023春·上海松江·七年级校考阶段练习）已知：x2+3x=10，则代数式(x−2)2+x(x+10)−5=．【答案】19【分析】先把代数式(x−2)2+x(x+10)−5化简得2(x2+3x)−1，再把已知整式x2+3x=10整体代入其中即可求解.【详解】原式=x2−4x+4+x2+10x−5=2x2+6x−1=2(x2+3x)−1把x2+3x=10整体代入上式：2(x2+3x)−1=2×10−1=19故答案为19.【点睛】本题主要考查整体代入的数学思想.【变式1-3】（2023·七年级单元测试）如果a、b、m均为整数，且(x+a)⋅(x+b)=x2+mx+15，则所有的m的和为.【答案】0【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出m的值.【详解】∵(x+a)⋅(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+mx+15∴a+b=m,ab=15，∴{a=1b=15或{a=−1b=−15或{a=15b=1或{a=−15b=−1或{a=3b=5或{a=−3b=−5或{a=5b=3或{a=−5b=−3，∴m取值有16，-16，8，-8.则所有的m的和为0.故答案为0.【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键.【题型2利用整式乘法解决不含某项问题】【例2】（2023春·浙江·七年级专题练习）已知将（x3+mx+n）（x2-3x+4）展开的结果不含x3和x2项，求m、n的值．【答案】m=-4，n=-12.【分析】先利用多项式乘法法则把多项式展开，那么原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．由于展开后不含x3和x2项，则含x3和x2项的系数为0，由此可以得到4+m=0，-3m+n=0，解方程组即可以求出m、n．【详解】解：原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．∵不含x3和x2项，∴4+m=0，-3m+n=0，解得m=-4，n=-12.【点睛】考查了多项式乘多项式，关键是根据多项式相乘法则以及多项式的项的定义解答．【变式2-1】（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如果（y+5）（y+m）的乘积中不含y的一次项．则m的值为（）A．-5B．5C．0D．3【答案】A【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含y的一次项，确定出m的值即可．【详解】解：原式=y2+（m+5）y+5m，由结果不含y的一次项，得到m+5=0，解得：m=-5，故选：A．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式2-2】（2023春·四川资阳·七年级统考期末）已知a为任意实数，有多项式M=x2+3ax+6，N=x+3，且MN=A，当多项式A中不含2次项时，a的值为（）．D．1A．－1B．0C．−23【答案】A【分析】根据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可．【详解】解：∵MN=(x2+3ax+6)(x+3)=x3+3ax2+6x+3x2+9ax+18=x 3+(3a +3)x 2+(9a +6)x +18∴A =MN =x 3+(3a +3)x 2+(9a +6)x +18∴3a +3=0∴a =-1故选A ．【点睛】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键．【变式2-3】（2023春·七年级课时练习）若x 2+x 2−3x +n )的积中不含有x 与x 3项．(1)直接写出m 、n 的值，即m =___________，n = ___________；(2)求代数式(−m 2n )3+(9mn )2+(3m )2014n 2016的值．【答案】(1)1，−13(2)9427【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有x 与x 3项可以求解m 、n 的值．（2）将m 、n 的值代入代数式求值即可．【详解】（1）解：x 2+x 2−3x +n ) =x 4−3x 3+n x 2+3m x 3−9m x 2+3mnx−13x 2+x−13n=x 4+(3m−3)x 3+(n−9m−13)x 2+(3mn +1)x−13n ，∵积中不含有x 与x 3项，∴3m−3=0，3mn +1=0，解得m =1，n =−13．故答案为：1，−13．（2）解：当m =1，n =−13时，(−m 2n )3+(9mn )2+(3m )2014n 2016=−12×−+9×1×−+32014×−=+(−3)2+3×−×−=127+9+19=9427．【点睛】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则．【题型3利用整式乘法解决错看问题】【例3】（2023春·四川内江·七年级校考阶段练习）在数学课堂上，老师写出一道整式乘法题：(2y+a) (3y+b)．王建由于把第一个多项式中的“+a”抄成了“−a”，得到的结果为6y2+5y−10；李楠由于漏抄了第二个多项式中y的系数，得到的结果为2y2−7y+10．（1）求正确的a，b的值；（2）计算这道乘法题的正确结果．【答案】（1）a=−3b=−2；（2）6y2−13y+6【分析】（1）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可；（2）根据多项式乘以多项式法则求出答案即可．【详解】（1）根据王建的解法得：(2y−a)(3y+b)=6y2+2by−3ay−ab=6y2+(2b−3a)y−ab=6y2+5y−10，∴2b−3a=5①根据李楠的解法的：(2y+a)(y+b)=2y2+2by+ay+ab=2y2+(2b+a)y+ab=2y2−7y+10，∴2b+a=−7②联立①②得方程组解得：a=−3b=−2；（2）这道题的正确解法是：(2y−3)(3y−2)=6y2−4y−9y+6=6y2−13y+6．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．【变式3-1】（2023春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（ ）A．3x2﹣7xy+2y2B．3x2+7xy+2y2C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y）＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2＝3x2﹣7xy+2y2，则正确计算结果为：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y）＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3．故选：C．【变式3-2】（2023春•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）【分析】根据甲的做法求出a的值，根据乙的做法求出b的值，代入原式中计算即可．【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，∴6+a＝8，∴a＝2；∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6，∴b﹣a＝1，∴b＝3，∴（x+a）（a+b）＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6．【变式3-3】（2023春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．【分析】（1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出a，b的值；（2）将a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【解答】解：（1）甲抄错了a的符号的计算结果为：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，故：对应的系数相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3；乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3．故：对应的系数相等，a+b＝2，ab＝﹣3，∴−2a+b=−7 a+b=2，解得：a=3b=−1，∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14；（2）由（1）可知，b＝﹣1正确的计算结果：（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3．【题型4利用整式乘法解决遮挡问题】【例4】（2023春•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3D．﹣10xy【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．故选：A．【变式4-1】（2023春•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）A．9x2B．﹣9x2C．9x D．﹣9x【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案．【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，故选：B．【变式4-2】（2023春•岳麓区校级期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值．【分析】将（x﹣1）（x2+mx+n）展开求得m和n的值后代入代数式即可求得其值．【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，∴m﹣1＝﹣6，n＝6，∴m ＝﹣5，∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169．【变式4-3】（2023春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x 2y （2xy 2﹣xy ﹣1）＝6x 3y 3 ﹣3x 3y 2 ﹣3x 2y ，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ﹣3x 3y 3 ．【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：∵3x2y （2xy2﹣xy ﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y ，∴横线上应填写﹣3x3y2，故答案为：﹣3x3y2，﹣3x3y2．【题型5 整式乘法的计算】【例5】（2023春·重庆渝中·七年级校考期中）（1）计算：x ⋅2x +x(x−2)；（2）(m +1)(m−5)−m(m−6)【答案】（1）3x 2−2x ；（2）2m-5【分析】（1）利用整式的混合运算法则求解即可．（2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的运算方法计算即可．【详解】（1）x ⋅2x+x(x−2)=2x 2+x 2−2x=3x 2−2x.（2）（m+1）（m-5）-m （m-6）=m 2-5m+m-5-m 2+6m=2m-5；【点睛】此题考查整式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.【变式5-1】（2023春·上海·七年级期中）−12x 2y 2⋅2−8xy +【答案】15x 6y 2−2x 5y 3+112x 4y 2【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式法则进行计算即可．【详解】解：原式=14x 4y 2⋅(45x 2−8xy +13)=15x 6y 2−2x 5y 3+112x 4y 2．【点睛】本题考查整式的混合运算，能灵活运用知识点进行化简是解题的关键．【变式5-2】（2023春·七年级课时练习）先化简，再求值：x (x +2)+(1+x )(1−x )，其中x ＝－2．【答案】2x ＋1，-3【分析】原式根据单项式乘以多项式运算法则以及平方差公式去括号，合并同类项；再代入求值即可．【详解】解：x(x+2)+(1+x)(1−x)=x2+2x+1−x2＝2x＋1，当x＝－2时，原式=2×(−2)+1=−3．【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．【变式5-3】（2023春·七年级课时练习）计算：(1)(a－1)(a2＋a＋1)；(2)(2x＋5)(2x－5)－(x＋1)(x－4)；(3)(3x－2)(2x＋3)(x－2).【答案】(1) a3－1；(2) 3x2＋3x－21；(3)6x3－7x2－16x＋12.【分析】（1）利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果；（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果；（3）利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果.【详解】(1)原式＝a·a2＋a·a＋a·1－a2－a－1＝a3－1.(2)原式＝4x2－25－x2＋3x＋4＝3x2＋3x－21.(3)原式＝(6x2＋9x－4x－6)(x－2)＝(6x2＋5x－6)(x－2)＝6x3＋5x2－6x－12x2－10x＋12＝6x3－7x2－16x＋12.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键.【题型6整式乘法的应用】【例6】（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）长方形的长和宽分别是a厘米、b厘米,如果长方形的长和宽各减少3厘米．新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少平方厘米（用含的代数式表示）？【答案】3a+3b-9【详解】分析：根据题意表示出原来长方形与新长方形的面积，相减即可得到结果；详解：根据题意得，原长方形的面积为：ab平方厘米，新长方形的面积为：(a−2)(b−2)平方厘米，则新长方形的面积比原长方形的面积减少了：ab−(a−3)(b−3)=ab−ab+3a+3b−9=3a+3b−9(平方厘米).点睛：本题考查了长方形的面积和整式的混合运算，长方形的面积=长×宽，整式的混合运算是先算乘方，再算乘除，后算加减.【变式6-1】（2023春·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）用长为24米的木条，做成一个“目”字形的窗框（如图所示，窗框外沿ABCD是长方形），若窗框的横条长度都为x米．（1）用代数式表示长方形ABCD的面积．（2）当x=3时，求出长方形ABCD的面积．【答案】（1）−2x2+12x；（2）18m2．【分析】（1）根据题意“目”字形的窗框，长有4段，总长为4AD＝4x米，则AB＝24−4x米，再根据长方形2面积计算公式即可得出答案；（2）把x＝3代入（1）中关于面积的代数式中即可得出答案．=12−2x，【详解】（1）根据题意得AB=24−4x2∴S长方形ABCD=(12−2x)⋅x=−2x2+12x．（2）当x=3时，−2x2+12x=−2×9+12×3=−18+36=18m2．答：长方形ABCD面积为18m2．【点睛】本题主要考查了列代数及代数式的求值，根据题意列出合理的代数式是解决本题的关键．【变式6-2】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，用一张高为30cm，宽为20cm的长方形打印纸打印文档，如果左右的页边距都为xcm，上下页边距比左右页边距多1cm.（1）请用x的代数式表示中间打印部分的面积.（2）当x=2时，中间打印部分的面积是多少平方厘米？【答案】（1）4x2-96x+560；（2）384cm2.【分析】（1）分别用含x的代数式表示出中间打印部分的高和宽，利用长方形面积公式即可得答案；（2）把x=2代入（1）中代数式，即可得答案.【详解】（1）∵左右的页边距都为xcm，上下页边距比左右页边距多1cm，∴中间打印部分的高为30-2(x+1)=28-2x,宽为20-2x，∴中间打印部分的面积为(28-2x)(20-2x)=4x2-96x+560.（2）由（1）得中间打印部分的面积为4x2-96x+560，∴当x=2时，中间打印部分的面积为4×22-96×2+560=384(cm2).答：当x=2时，中间打印部分的面积是384cm2.【点睛】本题考查了列代数式，正确理解题意，根据图示表示出中间打印部分的高和宽是解题关键.【变式6-3】（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．(1)那么第二次按键后，A区显示的结果为______，B区显示的结果为______．(2)计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝1时，代数式乘积的值．【答案】(1)A区显示的结果为-2a+25；B区显示的结果为6a-16(2)−12a 2+182a−400；代数式乘积的值为−230【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后将a ＝1代入求值即可．【详解】（1）第二次按键后，A 区显示的结果为25−2a ，B 区显示的结果为6a−16 故答案为：25−2a ，6a−16（2）（-2a+25）（6a -16）=−12a 2+182a−400 当a ＝1时原式=﹣12+182﹣400=−230【点睛】本题考查了列代数式、多项式乘以多项式，准确理解题意，并熟练掌握运算法则是解题的关键．【知识点2 整式的除法】单项式÷单项式：系数相除，字母相除．xy xy y21æö2¸=6ç÷3èø（）多项式÷单项式：除法性质．()a b c m a m b m c m++¸=¸+¸+¸多项式÷多项式：大除法．()()x x x x23+3¸+1=3【题型7 整式除法的运算与求值】【例7】（2023春·河北承德·七年级统考期末）下列计算27a 2÷13a 3÷9a 2的顺序不正确的是（ ）A ．27a 2÷(13a 3÷9a 2)B ．(27a 2÷13a 3)÷9a 2C ．(27÷13÷9)a 2−3−2D ．(27a 2÷9a 2)÷13a【答案】A【分析】本题是单项式的连除运算，根据运算顺序、除法的性质及单项式除以单项式的法则即可求解．【详解】解：A 、∵27a 2÷(13a 3÷9a 2)=27a 2÷127a =729a ，27a 2÷13a 3÷9a 2=81a −1÷9a 2=9a −3，∴27a 2÷(13a 3÷9a 2)≠27a 2÷13a 3÷9a 2，故A 项错误；B 、根据运算顺序连续除以两个数即从左往右依次计算，可知27a 2÷13a 3÷9a 2=(27a 2÷13a 3)÷9a 2，故B 项正确；C 、根据单项式除以单项式的法则，可知27a 2÷13a 3÷9a 2=(27÷13÷9)a 2−3−2，故C 项正确；D 、根据运算顺序及除法的性质，可知27a 2÷13a 3÷9a 2=(27a 2÷9a 2)÷13a ，故D 项正确．故选∶A ．【点睛】本题主要考查了连除的运算顺序及单项式除以单项式的法则．熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．【变式7-1】（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）已知4m 2−7m +6=0，求代数式(3m 2−2m )÷m−(2m−1)2的值．【答案】3【分析】首先求出4m 2−7m =−6，再根据完全平方公式，多项式除以单项式化简代数式得出原式−4m 2+7m−3，代入即可得出答案．【详解】解：∵ 4m 2−7m +6=0∴ 4m 2−7m =−6∴ (3m 2−2m )÷m−(2m−1)2=3m−2−(4m 2−4m +1)=3m−2−4m 2+4m−1=−4m 2+7m−3=−(4m 2−7m )−3=6−3=3．【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式，多项式除以单项式，得出4m 2−7m =−6，正确化简代数式是解题的关键．【变式7-2】（2023·四川·石室佳兴外国语学校七年级阶段练习）已知多项式2x 2﹣4x ﹣1除以一个多项式A ，得商式为2x ，余式为x ﹣1，则这个多项式A ＝_____．【分析】根据“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多项式除单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，计算即可．【解答】解：由题意可得：A =[(2x 2−4x −1)−(x −1)]÷2x =(2x 2−5x)÷2x =x −52故答案为：x−52【变式7-3】（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法.多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．如图1：∴278÷12=232，∴(x3+2x2−3)÷(x−1)=x2+3x+3．即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．②用竖式进行运算．③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.若余式为零，说明被除式能被除式整除．例如：(x3+2x2−3)÷(x−1)=x2+3x+3余式为0，∴x3+2x−3能被x−1整除．根据阅读材料，请回答下列问题：(1)多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为______ ；(2)已知x3+2x2−ax−10能被x−2整除，则a=______ ；(3)如图2，有2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片，能否将这63片拼成一个与原来总面积相等且一边长为(a+8b)的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．【答案】(1)x+3(2)3(3)能，另一边长为(2a+5b)【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案；（2）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案；（3）根据题意，得到63张卡片的总面积为2a2+21ab+40b2，列竖式计算，根据2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，即可得到答案．【详解】（1）解：列竖式如下：x+2x+3x2+2x3x+63x+6∴多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为x+3，故答案为：x+3；（2）列竖式如下：x−2x2+4x+(8−a)x3−2x24x2−ax−104x2−8x(8−a)x−10(8−a)x−2(8−a)2(8−a)−10∵x3+2x2−ax−10能被x−2整除，∴2（8−a）−10=0，解得：a=3，故答案为：3；（3）解：能，理由如下：根据题意，A卡片的面积是a2，B卡片的面积是ab，C卡片的面积是b2，∴2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片的总面积为2a2+21ab+40b2，列竖式如下：a+8b2a+5b2a2+16ab5ab+40b25ab+40b2∵余式为0，∴2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，商式为2a+5b，∴可以拼成与原来总面积相等且一边长为（a+8b）的长方形，另一边长为（2a+5b）．【点睛】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式=除式×商式+余式．【题型8 整式除法的应用】【例8】（2023春·七年级统考期末）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的12，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．【答案】5:8:12【分析】设青黄瓜的亩产量为x ，则白黄瓜的亩产量为12x ，白黄瓜的种植面积为2y ，青黄瓜的种植面积为3y ，水果黄瓜的种植面积为4y ，据此求出水果黄瓜的产量是8xy ，进而得到水果黄瓜的亩产量为2x ，再根据种植面积的比值即可得到答案．【详解】解：设青黄瓜的亩产量为x ，则白黄瓜的亩产量为12x ，白黄瓜的种植面积为2y ，青黄瓜的种植面积为3y ，水果黄瓜的种植面积为4y ，∴青黄瓜的产量为3xy ，白黄瓜的产量为xy ，∴水果黄瓜的产量是2(3xy +xy )=8xy ，∴水果黄瓜的亩产量为8xy4y =2x ，∴当种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为5×12x:4x:3×2x =5:8:12，故答案为：5:8:12．【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，单项式除以单项式，正确根据题意求出水果黄瓜的亩产量为2x 是解题的关键．【变式8-1】（2023春•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：52a 、2a 、32a ，小长方体的长、宽、高分别为：2a 、a 、a2；配件②是一个正方体，其棱长为a（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？（2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a 3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？【分析】（1）先算出两个长方体的体积，再相加，即可得出配件①的体积，求出棱长为a 的正方体体积，即可得出配件②的体积；（2）根据题意列出算式1000a3÷（2×172a3+a3）×30，求出即可．【解答】解：（1）生产配件①需要的原材料的体积是：52a •2a •32a+2a •a •a2=172a3；生产配件②需要的原材料的体积是：a •a •a ＝a3；（2）根据题意得：1000a3÷（2×172a3+a3）×30=50003（元），答：1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利50003元．【变式8-2】（2023春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报的整式A 作被除式，娜娜报的整式B 作除式，要求商式必须为﹣3xy （即A ÷B ＝﹣3xy ）（1）若丽丽报的是x 3y ﹣6xy 2，则娜娜应报什么整式？（2）若娜娜也报x 3y ﹣6xy 2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由．【分析】根据A ÷B ＝﹣3xy ，可知：（1）B ＝（x 3y ﹣6xy 2）÷（﹣3xy ）=−13x 2+2y ；（2）A ＝（x 3y ﹣6xy 2）（﹣3xy ）＝﹣3x 4y 2+18x 2y 3；【解答】解：（1）A ＝x 3y ﹣6xy 2，∴B ＝（x 3y ﹣6xy 2）÷（﹣3xy ）=−13x 2+2y ；（2）A ＝（x 3y ﹣6xy 2）（﹣3xy ）＝﹣3x 4y 2+18x 2y 3【变式8-3】（2023·七年级单元测试）甲、乙两个同学从A 地到B 地，甲步行的速度为3千米/小时，乙步行的速度是5千米/小时，两人骑车的速度都是15千米/小时.现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时从A 地出发，走了一段路程后，乙放下自行车步行，甲到乙放自行车的地方处改骑自行车.后面不断这样交替进行，两人恰好同时到达B 地.那么，甲走全程的平均速度是多少？【答案】457千米/小时．【分析】根据题意甲、乙从A 地到B 地，即甲步行共走的路程恰好等于乙骑车共走的路程；甲骑车共走的路程恰好等于乙步行共走的路程．故首先设甲步行共走x千米，骑车共走y千米，则乙骑车共行x千米，步行共行y千米．再根据路程=速度×时间，且甲、乙两人行走过程中经过的时间相同，那么可列出方程x3+y15=x 15+y5，解方程可得y用x表示表达式．再根据平均速度=总路程总时间，在求解过程中约去x，即可甲走完全程的平均速度．【详解】解：设甲步行共走x千米，骑车共走y千米，则乙骑车共行x千米，步行共行y千米．则根据题意，得x3+y15=x15+y5，解得y=2x．故甲的平均速度为(x+y)÷+=457（千米/时）；答：甲走完全程的平均速度457（千米/时）．【点睛】考查了一元一次方程的应用．本题解决的关键是根据题意画出路线草图，明白甲步行共走的路程恰好等于乙骑车共走的路程，甲骑车共走的路程恰好等于乙步行共走的路程；再就是求解过程中能够约去未知数．【题型9整式乘法中的新定义问题】【例9】（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为S，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作S1、S2、S3，定义：S=S1S2S32；S′1=S−S1；S′2=S−S2；S′3=S−S3；Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1，经研究发现，F s=4S2．如：三角形三条边分别为13、14、15，则S1=169，S2=196，S3=225，S=295，S′1=126；S′2=99；S′3=70；Fs=28224，所以S2=28224÷4=7056=842，故三角形的面积S=84．(1)若S 1=3，S 2=4，S 3=5，则S =_______．F s =_______．(2)当S ′1=x−3；S ′2=x +3；S ′3=5−x 时．①求F s 的表达式；②若S 1+S 2+S 3=20，求三角形的面积．【答案】(1)6，11(2)①−x 2+10x−9；②三角形的面积S =2．【分析】（1）根据定义计算即可求解；（2）①根据F s =S ′1×S ′2+S ′2×S ′3+S ′3×S ′1，利用整式乘法运算法则计算即可求解；②先求得S 的值，再根据定义分别求得S 1、S 2、S 3的值，根据S 1+S 2+S 3=20，求得x =5，代入①中即可求解.【详解】（1）解：∵S 1=3，S 2=4，S 3=5，∴S =S 1S 2S 32=3452=6，S ′1=S−S 1=6−3=3；S ′2=S−S 2=6−4=2；S ′3=S−S 3=6−5=1；∴F s =S ′1×S ′2+S ′2×S ′3+S ′3×S ′1=3×2+2×1+1×3=11；故答案为：6，11；（2）解：①∵S ′1=x−3；S ′2=x +3；S ′3=5−x ，∴F s =S ′1×S ′2+S ′2×S ′3+S ′3×S ′1=(x−3)(x +3)+(x +3)(5−x)+(5−x)(x−3)=x 2−9+5x−x 2+15−3x +5x−15−x 2+3x =−x 2+10x−9；②∵S 1+S 2+S 3=20，∴S =S 1S 2S 32=10，∴S1′=S−S1=10−S1=x−3，故S1=10−(x−3)=13−x；S2′=S−S2=10−S2=x+3，故S2=10−(x+3)=7−x；S3′=S−S3=10−S3=5−x，故S3=10−(5−x)=5+x；∴S1+S2+S3=13−x+7−x+5+x=25−x=20，∴x=5，∴F S=−x2+10x−9=−52+10×5−9=16，∴S2=F s÷4=16÷4=4，故三角形的面积S=2．【点睛】本题考查了整式的乘法的应用，掌握新定义的内容，整式乘法的运算法则是解题的关键.【变式9-1】（2023春·浙江衢州·七年级统考期中）定义新运算|a b c d|=ad+3b−2c，如|1537|=1×7+3×5−2×3=7+15−6=16．（1）计算|23−14|的值；（2）化简：|x+y7xy−x22xy−3x2+1−3x−y|．【答案】（1）19；（2）−y2+13xy−2．【分析】（1）根据定义的新运算，把相关数值代入计算即可；（2）把相关式子代入，进行整式运算即可．【详解】（1）|23−14|=2×4+3×3−2×(−1)=19．（2）|x+y7xy−x22xy−3x2+1−3x−y|=(x+y)(−3x−y)+3(7xy−x2)−2(2xy−3x2+1)=−3x2−4xy−y2+21xy−3x2−4xy+6x2−2=−y2+13xy−2．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、整式的混合运算，正确理解定义的新运算的含义，根据数（式）位置确定a、b、c、d的值是解题关键．【变式9-2】（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）给出如下定义：我们把有序实数对(a,b,c)叫做关于x的二次多项式a x2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式a x2+bx+c叫做有序实数对(a,b,c)的特征多项式．(1)关于x的二次多项式3x2+2x−1的特征系数对为__________；(2)求有序实数对(1,4,4)的特征多项式与有序实数对(1,−4,4)的特征多项式的乘积；(3)有序实数对(2,1,1)的特征多项式与有序实数对(a,−2,4)的特征多项式的乘积不含x2项，求a的值；【答案】(1)（3，2，-1）；(2)x4−8x2+16；(3)-6【分析】（1）根据定义得到a，b，c的值即可得到答案；（2）根据特征多项式的定义得到两个多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则计算可得答案；（3）根据定义得到特征多项式，计算乘积，根据特征多项式的乘积不含x2项得到x2项的系数等于0，由此求出a．【详解】（1）解：由定义得a=3，b=2，c=-1，∴二次多项式3x2+2x−1的特征系数对为（3，2，-1），故答案为：（3，2，-1）；（2）有序实数对(1,4,4)的特征多项式为x2+4x+4，有序实数对(1,−4,4)的特征多项式为x2−4x+4，∴（x2+4x+4）（x2−4x+4）=(x+2)2(x−2)2=[(x+2)(x−2)]2=(x2−4)2=x4−8x2+16；（3）有序实数对(2,1,1)的特征多项式为2x2+x+1，有序实数对(a,−2,4)的特征多项式为a x2−2x+4，∴（2x2+x+1）（a x2−2x+4）=2a x4+(a−4)x3+(6+a)x2+2x+4，∵乘积不含x2项，∴6+a=0，解得a=-6．【点睛】此题考查了新定义，多项式乘以多项式的计算法则，以及多项式不含项的应用，正确理解新定义得到多项式是解题的关键．【变式9-3】（2023春·四川宜宾·七年级统考期中）阅读下列材料，解答下列问题：定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2＝−1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：(2−i)+(5+3i)＝(2+5)+(−1+3)i＝7+2i；(1+i)×(2−i)＝1×2−i+2×i−i2＝2+(−1+2)i+1＝3+i；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：i3＝________，i4＝________；（2）计算：（2＋3i）×（3－4i）；（3）计算：i＋i2＋i3＋ (i2019)【答案】(1) -i，1；(2) 18+i；(3)-1.【分析】（1）把i2=-1代入求出即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i2=-1代入求出即可；（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．【详解】解：（1）由题意可知，i3=i2×i=-1×i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，故答案为-i，1；（2）（2＋3i）×（3－4i）=6-8i+9 i -12i2=6+i-12×（-1）=18+i；（3）由i=i，i2=-1，i3=-i，i4=1，i5=i4•i=i，i6=i4×i2=1×（-1）=-1，i7=i4×i3=1×（-i）=-i，i8=i4×i4=1×1=1…且i+i2+i3+i4=i+（-1）+（-i）+1=0，同理：i5+i6+i7+i8=0，可以看出每隔4位相加都等于0，且第五项第于第一项，第六项等于第二项…∴i+i2+i3+…+i2019=504×0+i2017+i2018+ i2019 =i-1- i=-1．【点睛】本题考查了整式的混合运算，复数的定义，能读懂题意是解此题的关键．【题型10整式乘法中的规律探究】【例10】（2023春·广东梅州·七年级统考期末）若正整数a，b的和为10，则称a，b“互补”，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字“互补”（如24与26，52与58，简称它们“首同尾补”）；那么这两个数的积是三位数或四位数，其末尾的两位数等于两数的个位数字之积，其起始的一位或两位数等于两数的十位数字与比这个十位数字大1的数之积．例如：24×26=624（积中的6=2×(2+1)，24=4×6）52×58=3016（积中的30=5×(5+1)，16=2×8）(1)直接写出下列各式运算结果：95×95=______，81×89=______；(2)用ab和ac分别表示两个两位数，其中a表示十位数字，b和c表示它们的个位数字，且b+c=10，①依据题意，两位数ab表示为______，两位数ac表示为______；。
整式乘除法知识点总结
整式乘除法知识点总结整式的基本概念整式（polynomial）是由若干个单项式相加或相减得到的式子，其中每个单项式的系数和非负整数次幂的变量的乘积。
例如，3x^2-5x+7就是一个整式，其中3x^2、-5x和7分别是单项式，它们相加得到一个整式。
整式可以用来描述代数关系、建立数学模型，是代数中的重要概念之一。
整式中有几个重要的概念：1. 单项式：只含有一个项的代数式称为单项式。
例如，3x、-2x^2、5y^3都是单项式，它们由系数和变量的乘积组成。
2. 多项式：由多个单项式相加或相减得到的式子称为多项式。
例如，3x^2-5x+7就是一个多项式，其中3x^2、-5x和7分别是单项式，它们相加得到一个多项式。
3. 次数：整式中最高次幂的指数称为整式的次数。
例如，5x^2-3x+2的次数为2，因为最高次幂的指数为2。
4. 系数：整式中变量的乘积中的常数因子称为系数。
例如，5x^2中的系数为5。
整式乘法规则整式乘法是指两个整式相乘的运算。
对于整式乘法，可以通过分配律、合并同类项和乘法结合律进行运算。
下面介绍整式乘法的规则和步骤。
1. 分配律：对于整式乘法，可以利用分配律进行运算。
分配律指的是a(b+c)=ab+ac和(a+b)c=ac+bc的规则，在整式乘法中同样适用。
例如，对于整式3x(2x+5)，可以按照分配律进行运算，得到3x*2x+3x*5=6x^2+15x。
2. 合并同类项：在整式乘法中，可以合并同类项进行运算。
合并同类项指的是将具有相同变量和次数的项相加得到一个合并后的项。
例如，对于整式3x^2+4x^2-2x^2，可以合并同类项得到5x^2。
3. 乘法结合律：整式乘法同样适用于乘法的结合律，即a(bc)=(ab)c的规则。
在整式乘法中，可以先计算括号内的乘法，然后再进行外部的乘法运算。
例如，对于整式3x(2x+5)，可以先计算括号内的乘法得到6x^2+15x，然后再进行外部的乘法运算。
整式除法规则整式除法是指一个整式除以另一个整式的运算。
七年级数学下册第一章整式的乘除知识归纳
第一章整式的运算单项式 整 式多项式同底数幂的乘法幂的乘方 积的乘方幂运算 同底数幂的除法零指数幂负指数幂 整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法 多项式与多项式相乘整式运算 平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。
五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：a m ﹒a n =a m+n (m,n 都是正整数）；2、幂的乘方：（a m ）n =a mn (m,n 都是正整数）；3、积的乘方：（ab ）n =a n b n (n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：a m ÷a n =a m-n (m,n 都是正整数,a ≠0) ；六、零指数幂和负整数指数幂：1、零指数幂：a 0=1（a ≠0）;2、负整数指数幂：1(0)p p a a a -=≠p 是正整数。
七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：整 式 的 运 算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
【高效培优】北师大版七年级数学下册第一章 整式的乘除(章末整理与复习课件)
(ab)n anbn，(其中n为正整数)， (abc)n anbncn (其中n为正整数)
练习：计算下列各式。
(2xyz)4，( 1 a2b)3，(2xy2 )3，(a3b2 )3 2
温故知新 4、同底数的幂相除
法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
数学符号表示：
（其中m、n为正整数）
名师归纳
幂的乘法运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、 积的乘方.这三种运算性质贯穿全章，是整式乘法 的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负数乘方 结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.
举一反三
1.下列计算不正确的是（ D ）
A.2a3 ·a=2a4
B. (－a3)2=a6
C. a4 ·a3=a7
D. a2 ·a4=a8
（其中m、n为正整数）
[(a m )n ] p a mnp （其中m、n、P为正整数）
练习：判断下列各式是否正确。
(a4 )4 a44 a8，[(b2 )3]4 b234 b24 (x2 )2n1 x4n2，(a4 )m (am )4 (a2m )2
温故知新 3、积的乘方
法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再 把所得的幂相乘。（即等于积中各因式乘方的积。）
（一）整式的乘法
1、同底数的幂相乘 2、幂的乘方
3、积的乘方
4、同底数的幂相除
5、单项式乘以单项式 6、单项式乘以多项式
7、多项式乘以多项式 8、平方差公式
9、完全平方公式
（二）整式的除法
1、单项式除以单项式 2、多项式除以单项式
温故知新 （一）整式的乘法
1、同底数的幂相乘 法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
名师归纳
3整式的乘除法、乘法公式复习
多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项分别除以单项式， 再把所得的商相加。
1 1 （ 1）(3x y xy xy ) ( xy ) 2 2
2 2
（1）原式=
1 3x y ( xy) 2
2
1 1 1 xy ( xy ) xy ( xy) 2 2 2
(1) (-a+b)2 = (b-a)2
(2) (-2m-1)2 = -(2m+1)
2
= (2m+1)2
(3) (2x+5)(-2x-5) = -(2x+5)(2x+5) = -(2x+5)2 (4) (x+y-1)2 = (x+y)-1
2
先变形再运用乘法公式计算:
(1)( x +2y-3) (x- 2y +3) ;
练习
考点训练
2、 9
1. 已知2m=a，32n=b，求：23m+10n． 3 2
n 2
3 ，求n的值
16
ab
4
2
- 2 3、
2009
2
2010
2009 ______
1、单项式的乘法
让我们一起来回顾：
1）、系数相乘 2）、同底数幂相乘 3）、只在一个单项式出现的 字母，连同它的指数作为积得 一个因式
2
a 1 1, 则a的取值范围____ 3)、 a 1
0
2 10 4)、 4 10 2 10 ___
9 3
6
考点训练
平方差公式
(a+b)(a-b) =
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整式的乘除题型一：幂的运算 一、幂的混合运算a 5÷（－a 2）·a ＝ ； (b a 2)()3ab ∙2＝ ； (－a 3)2·(－a 2)3= ； ()mmxx x 232÷∙＝ ；（﹣a 2）3+（﹣a 3）2= ； ()21--k x = ；()734x x ∙= ； ()()=-∙342a a ；()[]52x --= ； nn 2)(-a = ；()c -1-n ()1+-∙n c = ； 323221⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-z xy = ；下列等式中正确的是①a 5+a 5=a 10； ②(﹣a)6•(﹣a)3•a=a 10；③﹣a 4•（﹣a ）5=a 20；④25+25=26． 1、()1132)(--∙÷∙n m n m x x x x2、(－3a)3－(－a)·(－3a)23、()()()23675244432xx x x xx x+∙++二、化归思想1、若2,x a =则3xa = 2、已知,43=m81434=-nm ，求n2005的值3、若1+2+3+…+n=a，求代数式（x n y ）（x n ﹣1y 2）（x n ﹣2y 3）…（x 2y n ﹣1）（xy n）的值．4、已知2x+5y=3，求4x •32y的值．5、已知25m •2•10n =57•24，求m 、n ．6、已知a x =5，a x+y =25，求a x +a y的值．7、若x m+2n =16，x n =2，求x m+n的值．8、已知10a =3，10β=5，10γ=7，试把105写成底数是10的幂的形式9、已知9n+1﹣32n=72，求n 的值．10、若（a n b m b ）3=a 9b 15，求2m+n的值．11、计算：a n ﹣5（a n+1b 3m ﹣2）2+（a n ﹣1b m ﹣2）3（﹣b 3m+2）12、已知：2x =4y+1，27y =3x ﹣1，求x ﹣y 的值．13、若（a m+1b n+2）（a 2n ﹣1b 2n ）=a 5b 3，则求m+n 的值．练习：1、计算25m ÷5m的结果为 2、若32,35nm==，则2313m n +-=3、已知a m＝2，a n＝3，求a 2m-3n的值。
4、已知: 8·22m －1·23m =217.求m 的值.6、解关于x 的方程:33x+1·53x+1=152x+47、计算：()()x xx ÷÷223 0422101010)101(⨯⨯+--32))(()(x y y x y x --- ()()()223223x x x x x x -⋅-⋅+÷÷(﹣2)100+(﹣2)99； 20052004532135⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛化简求值a 3·（－b 3）2＋（－21ab 2）3 ，其中a ＝41，b ＝4。
8、若23,63==n m ，求n m 323-的值。
9、如果a －4=－3b ，求a 3×b27的值。
10、先化简，再求值，x 2 · x 2n · (y n+1)2，其中，x ＝－3，y ＝1311、已知x 3=m,x 5=n,用含有m ，n 的代数式表示x 14=12、设x=3m ，y=27m+2，用x 的代数式表示y 是__ ___.13、已知x=2m+1，y=3+4m，用x 的代数式表示y 是___ __.14、已知ba 2893==，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b b a b a 25125151222的值。
15、已知:()()121613212222++=++++n n n n ,的值试求222250642++++ .16、已知10m=20,10n=51,的值求n m 239÷17、用简便方法计算：（1）（2）2×42（2）（﹣0.25）12×412（3）0.52×25×0.125 （4）[（）2]3×（23）3三、降次、整体代入法1、如果a 2+a=0（a≠0），求a 2005+a 2004+12的值．2、若代数式2425x x -+的值为7，那么代数式221x x -+的值等于 3、若3a 2-a-2=0,则 5+2a-6a 2=4、先化简，再求值222142442a a a a a a a a +--⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中a 满足a 2－2a －1=0．5、.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于 6、已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．7、已知m 2-m -1=0，求代数式m 3-2m +2005的值．练习：1、已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32259m m m +--的值.2、已知m 是方程2310x x -+=的根，求代数式10214+-m m 的值.3、已知a 是方程2200910x x -+=一个根，求22200920081a a a -++的值.5、 若0422=--a a , 求代数式2]3)2()1)(1[(2÷--+-+a a a 的值.6、已知a 2-a-4=0，求a 2-2(a 2-a+3)-21(a 2-a-4)-a 的值.7、212m -=，求34m+的值．8、已知yxy x y xy x y x ---+=-2232311，求的值9、已知,0132=+-x x 求221x x +的值.⑫若31=+x x ,求1242++x x x 的值.10、如果(a 2+b 2) 2－2(a 2+b 2)－3=0，那么a 2+b 2=_________．四、比较大小1、比较下列一组数的大小．8131，2741，9612、比较274与813的大小．3已知a ＝2－555，b ＝3－444，c ＝6－222，请用“>”把它们按从大到小的顺序连接起来，并说明理由．4、已知a 2＝- (0.3)，-2b ＝- 3，13-2c ＝(-)，130d ＝(-)，用“<”连接a 、b 、c 、d 为_________________________________5、设A=3332，B=2223，C=1115，试比较A 、B 、C 的大小关系。
6、试比较4488，5366，6244的大小。
7、已知 ，比较X 与Y 的大小。
8、1083与1442的大小关系是9999909911,99X Y ==9、已知a ＝2－555，b ＝3－444，c ＝6－222，请用“>”把它们按从小到大的顺序连接起来10、若a=8131，b=2741，c=961，则a 、b 、c 的大小关系为 .五：零指数、负指数1、要使(x －1)0－(x ＋1)-2有意义，x 的取值应满足什么条件？2、若(23)x =94,则x=3、如果等式()1122=-+a a ，则a 的值为4、已知: ()1242=--x x ,求x 的值.5、计算（x -3yz -2）2(a 3b -1)-2(a -2b 2)2(2m 2n -3)3(-mn -2)-2(x -3yz -2)2； (a 3b -1)-2(a -2b 2)2； (2m 2n -3)3(-mn -2)-2．(－12) 2 ÷(－2) 3 ÷(－2) －2 ÷(π－2005) 0(－22)3＋22×24＋(1125)0＋||－5－(17)－1()()44062242222410--⎡⎤-⨯-⨯÷-÷⨯÷⎣⎦6、如果(),990-=a ()11.0--=b ,235-⎪⎭⎫⎝⎛-=c ,那么c b a ,,三数的大小关系六、混合运算整体思想1、(a ＋b)2·(b＋a)3＝2、(2m －n)3·(n－2m)2＝ ;3、(p －q)4÷(q－p)3·(p－q)24、()a b - ()3a b -()5b a -5、()[]3m n -p()[]5)(p n m n m --∙6、()mm a b b a 25)(--()ma b 7-÷ (m 为偶数,b a ≠)7、()()y x x y --2+3）（y x -+()x y y x -∙-2)(28、(p －q)4÷(q －p)3·(p －q)29、（a ﹣b ）m+3•（b ﹣a ）2•（a ﹣b ）m •（b ﹣a ）5七、平方差、完全平方公式 一、计算11()32x y +11()32x y -； （2）（-2a-b ）(2a+b);(3)(a+b-2c)(-a+b+2c) (4)(x-2)(x+2)2(4)x + 4(16)x +(2m-3n)(-2m-3n)化简求值：4a -（1-a ）(1+a)(1+2a ),其中a=12-二、应用完全平方公式进行简便计算 （1）145×435； （2）2012×2014-22013；（3）（2+1）（221+）4(21)+8(21)+16(21)++1(4)10.4×9.6； (5)2997-998×996(6)()22m n --； (7)()2x y z-+ (8)()22x 3y - ()22x 3y +⑨22(1)(1)a a +-- ⑩变式训练计算（1）212a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （2）()2222a b +；（3）()21a +()21a -()221a +；（4）22y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-22y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭考点6：逆用完全平方公式 【例6】已知a+b=8,ab=16,求()2212a b +的值。
变式训练1、已知0x ≠且x+ 1x =5，求221x x+的值。
2、（1）2(2)2z x y +-； （2）（a-2b+3c ）(a-3c-2b)题型五：公式变形题型六：配方（1）214a2=212a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）24x xy +)22x y +3、如果2x +kx+81是一个完全平方式，那么常数k6.化简求值：（2x-1）（x+2）-2(2)x --2(2)x +，其中x=32-。
例1. 计算()()x x 252522+--例2.22222222129596979899100-⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-________________。