高中数学立体几何专题证明题训练(供参考)
高考立体几何大题及答案(理)
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（I）证明：是侧棱的中点；求二面角的大小。
2.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BACBA1B1C1DED-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小3.如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值．4.如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.5.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．（1）求证：平面⊥平面；（2）求直线与平面所成的角；（3）求点到平面的距离．6.如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段、的中点分别为、，求证：∥（III）求二面角的大小。
7.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD ＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1). (Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。
8.如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E 在AC上，且DEE.（Ⅰ）证明：平面平面; （Ⅱ）求直线AD 和平面所成角的正弦值。
9.如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段、的中点分别为、，求证：∥（III）求二面角的大小。
2023年高考数学----立体几何解答题常考全归类真题练习题(含答案解析)
2023年高考数学----立体几何解答题常考全归类真题练习题（含答案解析）1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C -中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值； (3)求平面1ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值． 【解析】（1）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面111A B C ，且AC AB ⊥，则1111AC A B ⊥以点1A 为坐标原点，1A A 、11A B 、11AC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A 、()2,2,0B 、()2,0,2C 、()10,0,0A 、()10,0,2B 、()10,0,2C 、()0,1,0D 、()1,0,0E 、11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭，则10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 易知平面ABC 的一个法向量为()1,0,0m =，则0EF m ⋅=，故EF m ⊥，EF ⊄平面ABC ，故//EF 平面ABC .（2）()12,0,0C C =，()10,1,2C D =−，()1,2,0EB =，设平面1CC D 的法向量为()111,,u x y z =，则111112020u C C x u C D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=−=⎪⎩，取12y =，可得()0,2,1u =，4cos ,5EB u EB u EB u⋅<>==⋅. 因此，直线BE 与平面1CC D 夹角的正弦值为45.（3）()12,0,2AC =，()10,1,0A D =， 设平面1ACD 的法向量为()222,,v x y z =，则122122200v AC x z v A D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取21x =，可得()1,0,1v =−，则1cos ,5u v u v u v⋅<>==−=⨯⋅因此，平面1ACD 与平面1CC D 2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．【解析】（1）因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥； 在ABD △和CBD △中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB =，又因为E 为AC的中点，所以AC BE ⊥； 又因为,DE BE ⊂平面BED ，DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BED ，因为AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .（2）连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ， 所以AC EF ⊥，所以1=2AFC S AC EF ⋅△， 当EF BD ⊥时，EF 最小，即AFC △的面积最小. 因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ==， 又因为60ACB ∠=︒，所以ABC 是等边三角形， 因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==，BE 因为AD CD ⊥，所以112DE AC ==, 在DEB 中，222DE BE BD +=，所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz −，则()()()1,0,0,,0,0,1A B D ，所以()()1,0,1,AD AB =−=−， 设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AD x z n AB x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，取y =()3,3,3n =， 又因为()31,0,0,4C F ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，所以31,4CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos ,21n CF n CF n CF⋅===设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02πθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，所以4sin cos ,7nCF θ==所以CF 与平面ABD3．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B −−的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．(1)证明：FN AD ⊥；(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．【解析】（1）过点E 、D 分别做直线DC 、AB 的垂线EG 、DH 并分别交于点G 、H ． ∵四边形ABCD 和EFCD 都是直角梯形，//,//,5,3,1AB DC CD EF AB DC EF ===，60BAD CDE ∠=∠=︒，由平面几何知识易知，2,90DG AH EFC DCF DCB ABC ==∠=∠=∠=∠=︒，则四边形EFCG 和四边形DCBH 是矩形，∴在Rt EGD 和Rt DHA ，EG DH == ∵,DC CF DC CB ⊥⊥，且CF CB C ⋂=，∴DC ⊥平面,BCF BCF ∠是二面角F DC B −−的平面角，则60BCF ∠=， ∴BCF △是正三角形，由DC ⊂平面ABCD ，得平面ABCD ⊥平面BCF ，∵N 是BC 的中点，∴FN BC ⊥，又DC ⊥平面BCF ，FN ⊂平面BCF ，可得FN CD ⊥，而BC CD C ⋂=，∴FN ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD FN AD ∴⊥．（2）因为FN ⊥平面ABCD ，过点N 做AB 平行线NK ，所以以点N 为原点， NK ，NB 、NF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系N xyz −，设(3,(1,0,3)A B D E，则32M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，333,,,(2,23,0),(2,22BM AD DE ⎛⎫∴=−=−−=− ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面ADE 的法向量为(,,)nx y z =由00n AD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得20230x x z ⎧−−=⎪⎨−+=⎪⎩，取(3,n =−，设直线BM 与平面ADE 所成角为θ，∴3||sin cos ,|||3n BM n BM n BMθ⋅=〈〉====⋅4．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥−P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B −−的正弦值． 【解析】（1）证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥−P ABC 的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ， 所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒， 所以ODA OAD ∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ， 又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ， 所以//OE 平面PAC（2）过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系， 因为3PO =，5AP =，所以4OA =，又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD，AB = 所以12AC =，所以()O，()B，()P ，()0,12,0C ，所以32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则332AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()43,0,0AB =，()0,12,0AC =，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z =，则33302430n AE y z n AB ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则=3y −，0x =，所以()0,3,2n =−；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =，则33302120m AE a bc m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令a =6c =−，0b =，所以()3,0,6m =−；所以cos ,13n m n m n m⋅−===设二面角C AE B −−的大小为θ，则43cos cos ,=13n m θ=， 所以11sin 13θ=，即二面角C AE B −−的正弦值为1113.5．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC −的体积．【解析】（1）由于AD CD =，E 是AC 的中点，所以AC DE ⊥.由于AD CDBD BD ADB CDB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以ADB CDB ≅△△，所以AB CB =，故AC BD ⊥，由于DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BED ， 所以AC ⊥平面BED ，由于AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD . （2）[方法一]：判别几何关系依题意2AB BD BC ===，60ACB ∠=︒，三角形ABC 是等边三角形，所以2,1,AC AE CE BE ===由于,AD CD AD CD =⊥，所以三角形ACD 是等腰直角三角形，所以1DE =. 222DE BE BD +=，所以DE BE ⊥，由于AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC . 由于ADB CDB ≅△△，所以FBA FBC ∠=∠，由于BF BF FBA FBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以FBA FBC ≅，所以AF CF =，所以EF AC ⊥， 由于12AFCSAC EF =⋅⋅，所以当EF 最短时，三角形AFC 的面积最小 过E 作EF BD ⊥，垂足为F ，在Rt BED △中，1122BE DE BD EF ⋅⋅=⋅⋅，解得EF =所以13,222DF BF DF ===−=， 所以34BF BD =过F 作FH BE ⊥，垂足为H ，则//FH DE ，所以FH ⊥平面ABC ，且34FH BF DE BD ==， 所以34FH =，所以111323324F ABC ABCV SFH −=⋅⋅=⨯⨯=[方法二]：等体积转换AB BC =，60ACB ∠=︒，2AB =ABC ∴∆是边长为2的等边三角形，BE ∴=连接EFADB CDB AF CF EF ACBED EF BD ∆≅∆∴=∴⊥∴∆⊥∆在中，当时，AFC 面积最小222,,2,,BED EF AD CD AD CD AC E AC DE BE BD BE EDBE DE EF BD BD ⊥==∴+=∴⊥⋅⊥∆==为中点DE=1若在中，32113222BEFBF S BF EF ∆∴=⋅=⋅11233F ABC A BEF C BEF BEF V V V S AC −−−∆∴=+=⋅=6．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP ====∥(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．【解析】（1）证明：在四边形ABCD 中，作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ， 因为//,1,2CD AB AD CD CB AB ====， 所以四边形ABCD 为等腰梯形， 所以12AE BF ==，故DE =BD = 所以222AD BD AB +=， 所以AD BD ⊥，因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PD BD ⊥， 又=PD AD D ⋂， 所以BD ⊥平面PAD ， 又因为PA ⊂平面PAD ， 所以BD PA ⊥；（2）如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，BD =则()()(1,0,0,,A B P ，则()()(1,0,3,0,3,3,AP BP DP =−=−=，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则有0{30n AP x n BP ⋅=−=⋅=−=，可取()3,1,1n =， 则5cos ,5n DPn DP n DP ⋅==所以PD 与平面PAB7．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ，而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ，而,,NK MK K NK MK =⊂平面MKN ，故平面//MKN 平面11BCC B ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11BCC B ，（2）因为侧面11BCC B 为正方形，故1CB BB ⊥，而CB ⊂平面11BCC B ，平面11CBB C ⊥平面11ABB A ，平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，因为AB ⊂平面11ABB A ，故NK AB ⊥，若选①，则AB MN ⊥，而NK AB ⊥，NK MN N =，故AB ⊥平面MNK ，而MK ⊂平面MNK ，故AB MK ⊥，所以1AB BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ， 故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =−，则()2,2,1n =−−， 设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯. 若选②，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，而KM ⊂平面MKN ， 故NK KM ⊥，而11,1B M BK NK ===，故1B M NK =，而12B B MK ==，MB MN =，故1BB M MKN ≅，所以190BB M MKN ∠=∠=︒，故111A B BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ， 故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =−，则()2,2,1n =−−， 设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯.8．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C −−的正弦值． 【解析】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ， 则111111112211433333A A BC A A ABC A ABC AB BC C C B V S h h V S A A V −−−=⋅===⋅==，解得h =所以点A 到平面1A BC （2）取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥, 又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =， 且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ， 在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ， 由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ， 所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得AE 12AA AB ==，1A B =2BC =， 则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1AC 的中点()1,1,1D ， 则()1,1,1BD =，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =，则020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩， 可取()1,0,1m =−，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c =，则020n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩， 可取()0,1,1n =−r ， 则11cos ,22m nm n m n ⋅===⨯⋅，所以二面角A BD C −−=本课结束。
(完整版)必修二立体几何11道经典证明题
1.如图，三棱柱 ABC — A i B i C i 中，侧棱垂直底面， 1/ ACB=90 , AC=BC= gAA i , D 是棱 AA i 的中点 (I )证明：平面 BDC i 丄平面BDC(n)平面BDC i 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的 比•2•如图5所示，在四棱锥 P ABCD 中，AB 平面 PAD , AB//CD , PD AD , E 是1PB 的中点，F 是CD 上的点且 DF —AB ,2PH PAD 中AD 边上的高•(1) 证明：PH 平面ABCD ;(2) 若 PH i , AD 2, FC i ，求三 (3)证明：EF 平面PAB .3.如图，在直三棱柱ABC ABG 中，AB i AC i , D ,E 分 别是棱BC , CC i 上的点(点D 不同于点C )，且AD DE , F 为B,G 的中点.求证：(i )平面ADE 平面BCGB,；(2)直线AF 〃平面ADE .棱锥E BCF 的体积;妥5小4. 如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△ PAD为等腰直角三角形，/ APD=90面PAD丄面ABCD，且AB=1 , AD=2 , E、F分别为PC和BD的中点.(1) 证明：EF//面PAD ;(2) 证明：面PDC丄面PAD ;(3) 求四棱锥P—ABCD的体积.5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA 平面ABCD , PD//MA , E、G、F 分别为MB、PB、PC 的中点，且AD PD 2MA.(I)求证：平面EFG 平面PDC ;(II )求三棱锥P MAB与四棱锥P ABCD的体积之比. B6. 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。
EF//AC , AB=「2 ,CE=EF=1(I)求证：AF//平面BDE(H)求证：CF丄平面BDF;7. 女口图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2EF// AB,EF 丄FB, / BFC=90° , BF=FC,H 为BC 的中点, (I )求证：FH //平面EDB;(H)求证：AC丄平面EDB;(川)求四面体B—DEF的体积；8.如图，在直二棱柱ABC Ai B1C1中，E、F分别是A i B、A1C的中点，点D在B J G上，A D BQo求证：(1) EF//平面ABC ;(2)平面AFD 平面BB i C i C .BE FB9•如图4,在边长为1的等边三角形ABC中，D, E分别是AB, AC边上的点,AD AE , FG ,将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥BCF ,其中BC10.如图，在四棱锥P ABCD中，AB//CD , AB AD , CD 2AB ,平面PAD 底面ABCD , PA AD , E和F分别是CD和PC的中点，求证：⑴ PA 底面ABCD ;(2) BE//平面PAD ;(3)平面BEF 平面PCD证明：DE //平面BCF ;证明：CF平面ABF ;2当AD 时,求三棱锥F3DEG的体积V图4是BC的中点,AF与DE交于点C11. （2013年山东卷）如图，四棱锥P ABCD中, AB AC,AB PA , AB// CD,AB 2CDE,F,G,M ,N分别为PB, AB,BC,PD,PC 的中点(I)求证:CE /平面PAD .(n )求证：平面EFG 平面EMN12立体几何经典试题参考答案1.【解析】(I)由题设知BC 丄CC 1 ,BC 丄AC CC 1 AC•••面 BDC 丄面 BDC 1 ;(n)设棱锥 B DACC i 的体积为 V , AC =1，由题意得, 由三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积V =1，•- (V V : V | =1:1,•平面BDC 1分此棱柱为两部分体积之比为1:1.2.【解析】(1)证明：因为 AB 平面PAD , 所以PHAB 。
高中数学立体几何证明题汇总
立体几何常考证明题1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形（2） 若BD=，EG=2。
求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。
2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点. 求证：（1）⊥AB 平面CDE;(2）平面CDE ⊥平面ABC 。
3、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证: 1//A C 平面BDE 。
AED 1CB 1DCBAAH G FE DCBAEDBC4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥，求证:AD ⊥面SBC ．5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点。
求证:（１) C 1O ∥面11AB D ;(2）1AC ⊥面11AB D ．6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面.SDCBAD 1ODBAC 1B 1A 1CNMPCBA7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．（1）求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； （2）若E 、F 分别是AA 1,CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且22EF AC =, 90BDC ∠=,求证：BD ⊥平面ACD9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ,M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = （1）求证:MN AB ⊥;(2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。
高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)
立体几何平行、垂直位置关系专练1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．3、如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1)B 1M ∥平面A 1BN ；(2)AD ⊥平面A 1BN.4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．7、在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．8、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .9、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．点，平面PAB ⊥底面ABCD ，90PAB ∠= ．求证：（1）//PB 平面AEC ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．11、2.（2020·江苏省镇江高三二模）如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ；()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .12、（2020·江苏省建湖高级中学高三月考）如图，在四面体ABCD 中，,90AD BD ABC =∠= ，点,E F 分别为棱,AB AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面//EFG 平面BCD ．（1）求证：12EF BC =；（2）求证：平面EFD ⊥平面ABC ．点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD .14、（2020·江苏省高三二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.求证：（1）11AC ∥平面1B EF ；（2）1AC B E ⊥.15、（2020·江苏省连云港高三）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .16、（2020·江苏省苏州高三）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17、（2020·江苏省通州高三）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证:1C F ∥平面ABE ；18、（2020·江苏省高三三模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC B C =，O 为四边形11ACC A 对角线交点，F 为棱1BB 的中点，且AF ⊥平面11BCC B .（1）证明：//OF 平面ABC ；（2）证明：四边形11ACC A 为矩形.参考答案1．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .【解析】（1）∵四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ， ∴AB PA ⊥，又AB AD ⊥，,PA AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=， ∴AB ⊥面PAD .PD ⊂面PAD ，∴AB PD ⊥. （2）连结BD AC O ⋂=，连结MO ， ∵//AD BC ，2AD BC =，2DO BO ∴=,∵在PBD ∆中，2DM MP =，2DO BO =∴//PB MO ， 又PB ⊄面MAC ，MO ⊂面MAC ，∴//PB 面MAC .2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ． 【详解】（1）因为在ΔPAC 中，E 为PA 的中点，O 为AC 的中点， 所以//EO PC又EO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ， 所以//EO 平面PCD同理可证，//FO 平面PCD ，又EO FO O = ，EO ⊂平面EFO ,FO ⊂平面EFO 所以平面//EFO 平面PCD ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又,,PA AC A PA PAC AC PAC =⊂⊂ 平面平面所以BD ⊥平面PAC 。
高中数学立体几何证明题汇总
高中数学立体几何证明题汇总立体几何常考证明题1.已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点。
1）证明EFGH是平行四边形。
2）已知BD=23，AC=2，EG=2，求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。
2.如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD=BD，E 是AB的中点。
1）证明AB垂直于平面CDE。
2）证明平面CDE垂直于平面ABC。
3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。
证明A1C平行于平面BDE。
4.已知三角形ABC中∠ACB=90，SA垂直于面ABC，AD垂直于SC。
证明AD垂直于面SBC。
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底面ABCD对角线的交点。
1）证明C1O平行于面AB1D1.2）证明AC1垂直于面AB1D1.6.正方体ABCD-A1B1C1D1中。
1）证明AC垂直于平面B1D1D。
2）证明BD1垂直于平面ACB1.7.正方体ABCD-A1B1C1D1中。
1）证明平面A1BD平行于平面B1DC。
2）已知E、F分别是AA1、CC1的中点，证明平面EB1D1平行于平面FBD。
8.四面体ABCD中，AC=BD，E、F分别为AD、BC的中点，且EF=AC/2，∠XXX。
证明BD垂直于平面ACD。
9.如图P是△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB垂直于平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB。
1）证明XXX垂直于AB。
2）当∠APB=90，AB=2BC=4时，求MN的长度。
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点。
证明平面D1EF平行于平面BDG。
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。
1）证明A1C平行于平面BDE。
2）证明平面A1AC垂直于平面BDE。
12、已知矩形ABCD，PA垂直于平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点。
高中数学立体几何专题证明题训练
立体几何专题训练1．在四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD 是菱形，且∠ABC ＝60°．E 在棱PD 上，满足DE ＝2PE ，M 是AB 的中点．（1）求证：平面PAB ⊥平面PMC ；（2）求证：直线PB ∥平面EMC ．2．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、E 分别是CC 1和AB 1的中点，点F在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3.(1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ；(2)求证：EF ⊥BC 。
DABCPEM3.如图，在长方体1111ABCDA B C D 中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，M 、N 分别是1,AE CD 的中点，1,2ADAA a ABa（1）求证：//MN 面11ADD A （2）求三棱锥P DEN 的体积4如图1，等腰梯形ABCD 中，AD//BC,AB=AD,ABC=60,E 是BC 的中点，如图2，将三角形ABE 沿AE 折起，使平面BAE 平面AECD,F.P 分别是CD,BC 的中点，（1）求证：AEBD(2)求证：平面PEF 平面AECD; (3)判断DE 能否垂直于平面ABC,并说明理由。
ABDCEA BCD E PFAPBCFED5,如图，ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，AB=4a ，BC = CF =2a ，P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ；（2）求四面体PCEF 的体积.6如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2，1AD AF ，AFBF ，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直.（Ⅰ）求证：AF 平面CBF ；（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（Ⅲ）求三棱锥C BEF 的体积.ABCDEFMO7在直三棱柱111C B A ABC中，,900ABCE 、F 分别为11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点.（Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B 8已知正六棱柱111111ABCDEFA B C D E F 的所有棱长均为2，G 为AF 的中点。
立体几何复习专题及答案-高中数学
立体几何复习专题姓名： 班级：考点一、空间中的平行关系1．如图，在三棱锥P ABC -中，02,3,90PA PB AB BC ABC ====∠=,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 的中点． (1)求证：DE //平面PBC ； (2)求证：AB PE ⊥；(3)求三棱锥B PEC -的体积．2． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =，（Ⅰ）设G H ，分别为PB AC ，的中点，求证：GH ∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；3．如图，七面体ABCDEF 的底面是凸四边形ABCD ，其中2AB AD ==，120BAD ∠=︒，AC ，BD 垂直相交于点O ，2OC OA =，棱AE ，CF 均垂直于底面ABCD .（1）证明：直线DE 与平面BCF 不．平行；4.（2014新课标Ⅱ）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D AE C --为60°，AP =1，AD =3，求三棱锥E ACD -的体积．考点二、空间中的垂直关系5．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=，2EC =，2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30．（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；6．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证：BN ⊥平面11C B N ；（2）设M 为AB 中点，在C B 边上求一点P ，使//MP 平面1C NB ，求CBPP 的值．7．（2016全国I ）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60．（I ）证明：平面ABEF⊥平面EFDC ；（II ）求二面角E BC A --的余弦值．考点三、折叠问题和探究性问题中的位置关系8．如图 1，在直角梯形ABCD 中， //,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使ADEF 平面与平面ABCD 垂直， M 为ED 的中点，如图 2．（1）求证： //AM 平面BEC ；（2）求证： BC ⊥平面BDE ； .9．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且14AM AD =，将AED,DCF 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.()1试判断PB 与平面MEF的位置关系，并给出证明；()2求二面角M EF D --的余弦值.10．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． (1)求证：DF //平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值． (3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．11．如图1，在边长为4的正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD的中点，现-.将三角形DEF沿EF翻折成如图2所示的五棱锥P ABCFE（1）求证：AC//平面PEF；（2）若平面PEF⊥平面ABCFE，求直线PB与平面PAE所成角的正弦值.12．（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（1）证明：AP⊥BC；（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等边三角形，122CC AC ==.（Ⅰ）求三棱锥11C CB A -的体积；（Ⅱ）在线段1BB 上寻找一点F ，使得1CF AC ⊥，请说明作法和理由.考点四、知空间角求空间角问题14．（2014天津）如图四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，2BA BD ==2AD =,5PA PD ==E ,F 分别是棱AD ,PC 的中点．（Ⅰ）证明: EF ∥平面PAB ； （Ⅱ）若二面角P AD B --为60°， （ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面ABCD（ⅱ）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值． PCDBF15．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 的中点．(1)证明：//E PB A C 平面；(2)设13AP AD ==，，三棱锥P ABD -的体积34V =，求二面角D -AE -C 的大小16．如图，四棱锥P ABCD -中， PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒， //AD BC ， AB AC ⊥， 2AB AC ==，点E 在AD 上，且2AE ED =．（Ⅰ）已知点F 在BC 上，且2=CF FB ，求证：平面PEF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当二面角--A PB E 的余弦值为多少时，直线PC 与平面PAB 所成的角为45︒？立体几何专题参考答案1． (1)证明：∵在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC . ∵DE ⊄平面PBC 且BC ⊂平面PBC ，∴DE ∥平面PBC . (2)证明：连接PD .∵PA ＝PB ，D 为AB 的中点，∴PD ⊥AB .∵DE ∥BC ，BC ⊥AB ，∴DE ⊥AB .又∵PD 、DE 是平面PDE 内的相交直线， ∴AB ⊥平面PDE .∵PE ⊂平面PDE ，∴AB ⊥PE .(3)解：∵PD ⊥AB ，平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，∴PD ⊥平面ABC ，可得PD 是三棱锥P －BEC 的高． 又∵33,2BECPD S==，1332B PEC P BEC BEC V V S PD --∆∴==⨯=. 2．（I ）见解析；（II ）见解析；（III ）33. （I ）证明：连接BD ，易知AC BD H ⋂=，BH DH =，又由BG PG =，故GHPD ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以GH ∥平面PAD .（II ）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，依题意，得DN PC ⊥， 又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC平面PCD PC =，所以DN ⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，故DN PA ⊥， 又已知PA CD ⊥，CD DN D =，所以PA ⊥平面PCD . 3．（1）见解析；（2）23535本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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A P
B C
F
E D
立体几何专题训练
1．在四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD 是菱形，
且∠ABC ＝60°．E 在棱PD 上，满足DE ＝2PE ，M 是AB 的中点．
（1）求证：平面PAB ⊥平面PMC ； （2）求证：直线PB ∥平面EMC ．
2．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、
E 分别是CC 1和AB 1的中点，点
F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3.
(1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ； (2)求证：EF ⊥BC 。
3.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是
11,BC A D 的中点，M 、N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a ===
（1）求证：//MN 面11ADD A （2）求三棱锥P DEN -的体积
4
如图1，等腰梯形ABCD 中，AD//BC,AB=AD,∠ABC=
60,E 是BC 的中点，如图2，将三角形ABE 沿AE 折起，使平面BAE ⊥平面AECD,F.P 分别是CD,BC 的中点，（1）求证：AE ⊥BD (2)求证：平面PEF ⊥平面AECD;
(3)判断DE 能否垂直于平面ABC,并说明理由。
5,如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，
AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积.
6如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2，
1AD AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形
ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ；
（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；
（Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积.
7在直三棱柱111C B A ABC -中，,900=∠ABC E 、F 分别为
11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点.
（Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B
D
A
B
C
P
E
M A
B D
C E A
B
C
D E
P
F A
B
C
D
E F
M
O
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8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2，G
为AF 的中点。
（1）求证：1F G ∥平面11BB E E ； （2）求证：平面1F AE ⊥平面11DEE D ； （3）求四面体1EGFF 的体积。
9如图①，E ，F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，90B ∠=，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角1A EF B --，若M 为线段1A C 中点．求证： （1）直线//FM 平面1A EB ； （2）平面1A FC ⊥平面1A BC ．
10如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,为AC 的中
点．
（Ⅰ）求证：//1C B 平面BD A 1； （Ⅱ）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；
（Ⅲ）设E 是1CC 上一点，试确定E 的位置使平面⊥BD A 1平面
BDE ，并说明理由．
11已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中
点．
(Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥；
(Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积
12
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，
60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是
PC 的中点．
（1）证明CD AE ⊥； （2）证明PD ⊥平面ABE ；
13如图是表示以AB =4，BC =3的矩形ABCD 为底面的长方体被一
平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH 为截面．已知AE =5，BF =8，CG =12．
（1）作出截面EFGH 与底面ABCD 的交线l ；
C 1
A
B
C
D
E
F A 1
B 1
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｅ Ｆ
图①
Ｂ Ｃ
Ｅ
Ｆ Ｍ 图②
C 1
B 1
A 1
D
B
A
A
1
D 1
C 1
B 1
A E D B
D
E
F
G
H
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（2）截面四边形EFGH 是否为菱形？并证明你的结论； （3）求DH 的长．
14
已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ＝2，F 为CD 的中点．
(1)求证：AF ⊥平面CDE ； (2)求证：AF ∥平面BCE ；
(3)求四棱锥C －ABED 的体积．
15如图，菱形ABCD 所在平面与矩形ACEF 所在
平面互相垂直，已知BD=2AF ，且点M 是线段EF 的中点.
(1)求证：AM ∥平面BDE ； (2)求证：平面DEF ⊥平面BEF.
16如图：正四棱柱1AC 中，
1O ABCD E DD 为棱的中点，是底面正方形中心，且1EO AB ⊥，
（1）求证：该正四棱柱为正方体；
（2）若1-AB a A OBB E =，求四棱锥的体积．
17
如图：M 、N 、K 分别是正方体ABCD —
1111A B C D 的棱AB 、CD 、11C D 的中点，
（1）求证：AN ∥平面1;A MK
（2）求证：111.A B C A MK ⊥平面平面 18在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，
AB =5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点，
（1）求证：AC ⊥BC 1；（2）求证：AC 1//平面CDB 1； （3）求异面直线 AC 1与 B 1C 所成角的余弦值．
A
B
C
D
E
F
M。