高中数学立体几何专题证明题训练(供参考)
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A P
B C
F
E D
立体几何专题训练
1．在四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD 是菱形，
且∠ABC ＝60°．E 在棱PD 上，满足DE ＝2PE ，M 是AB 的中点．
（1）求证：平面PAB ⊥平面PMC ； （2）求证：直线PB ∥平面EMC ．
2．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、
E 分别是CC 1和AB 1的中点，点
F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3.
(1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ； (2)求证：EF ⊥BC 。
3.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是
11,BC A D 的中点，M 、N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a ===
（1）求证：//MN 面11ADD A （2）求三棱锥P DEN -的体积
4
如图1，等腰梯形ABCD 中，AD//BC,AB=AD,∠ABC=
60,E 是BC 的中点，如图2，将三角形ABE 沿AE 折起，使平面BAE ⊥平面AECD,F.P 分别是CD,BC 的中点，（1）求证：AE ⊥BD (2)求证：平面PEF ⊥平面AECD;
(3)判断DE 能否垂直于平面ABC,并说明理由。
5,如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，
AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积.
6如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2，
1AD AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形
ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ；
（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；
（Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积.
7在直三棱柱111C B A ABC -中，,900=∠ABC E 、F 分别为
11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点.
（Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B
D
A
B
C
P
E
M A
B D
C E A
B
C
D E
P
F A
B
C
D
E F
M
O
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8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2，G
为AF 的中点。
（1）求证：1F G ∥平面11BB E E ； （2）求证：平面1F AE ⊥平面11DEE D ； （3）求四面体1EGFF 的体积。
9如图①，E ，F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，90B ∠=，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角1A EF B --，若M 为线段1A C 中点．求证： （1）直线//FM 平面1A EB ； （2）平面1A FC ⊥平面1A BC ．
10如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,为AC 的中
点．
（Ⅰ）求证：//1C B 平面BD A 1； （Ⅱ）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；
（Ⅲ）设E 是1CC 上一点，试确定E 的位置使平面⊥BD A 1平面
BDE ，并说明理由．
11已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中
点．
(Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥；
(Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积
12
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，
60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是
PC 的中点．
（1）证明CD AE ⊥； （2）证明PD ⊥平面ABE ；
13如图是表示以AB =4，BC =3的矩形ABCD 为底面的长方体被一
平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH 为截面．已知AE =5，BF =8，CG =12．
（1）作出截面EFGH 与底面ABCD 的交线l ；
C 1
A
B
C
D
E
F A 1
B 1
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｅ Ｆ
图①
Ｂ Ｃ
Ｅ
Ｆ Ｍ 图②
C 1
B 1
A 1
D
B
A
A
1
D 1
C 1
B 1
A E D B
D
E
F
G
H