新北师大版数学八年级下第一章三角形的证明导学案

新北师大版数学八年级下第一章三角形的证明导学案（一）模块一预习反馈（P2P9）一、知识点1、等腰三角形两个底角的平分线相等；2、等腰三角形腰上的高相等；3、等腰三角形腰上的中线相等；4、推理论证：等腰三角形腰上的中线相等；（以上定理画图、写出已知、求证、证明过程）5、等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60。

6、两个角相等的三角形是等腰三角形。

（等角对等边）7、反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。

模块二基础训练1、在如图的等腰三角形ABC中，(1)如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么结论?2、想想出反证法证明问题的一般步骤。

把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。

a)三角形中必有一个内角不少于60度；b)一个三角形中不能有两个角是钝角；c)垂直于同一条直线的两条直线平行。

3、如图，中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD = CE。

求证：是等腰三角形。

模块三能力提升1、如图，在△ABC中，AB = AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形。

2、如图，E是△ABC内的一点，AB = AC，连接AE、BE、CE，且BE = CE，延长AE，交BC边于点D。

求证：AD⊥BC。

模块四：课下练习1、在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50，∠B等于________度、2、如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于E，过E作DF∥BC交AB于D，交AC于F、若BD＋CF＝8，则线段DF的长（）、A、9B、7C、8D、63、在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB于D，AB ＝a，则DB等于（）、A、B、C、D、第一节等腰三角形（三）模块一预习反馈（P10P16）一、知识点1、直角三角形的两个锐角互余。

（性质）2、有两个角互余的三角形是直角三角形。

（判定）3、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

（性质）4、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（判定）5、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

6、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

模块二基础训练1、如图，BA⊥DA于A，AD =12，DC =9，CA =15，求证：BA∥DC。

2、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a，则a=__________。

3、已知：如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=。

（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：△ABC是直角三角形、模块三能力提升1、填空：（1）直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为；直角三角形的斜边为13，其中一条直角边为5，则另一条直角边为。

（2）如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是三角形。

2、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。

1）等边对等角；2）对顶角相等；3）平行四边形的两组对边相等；4）正方形的四条边都相等；3、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？图5模块四：课下练习1、找出下列定理有哪些存在逆定理，并判断每对命题的真假。

（1）矩形是平行四边形。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）如果，则。

（4）全等三角形对应角相等。

（5）对顶角相等（6）如果ab=0,那么a=0,b=0；2、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60，AB=3，CE=4，则AD等于。

3 、如图所示的一块地，∠ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。

第二节直角三角形（二）模块一预习反馈（P18P29）一、知识点1、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（性质）2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

（判定）论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）模块二基础训练1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且∠1 =∠2。

求证：OB = OC。

2、如图，AB = AC，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E。

求证：BE + EC = AB。

3、如图，在△ABC中，AC = BC，∠C =90，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。

（1）已知CD =4cm，求AC的长；（2）求证：AB = AC + CD。

模块三能力提升1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且OB = OC。

求证：∠1 =∠2。

2、如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD。

求证：AD平分∠BAC。

模块四：课下练习1、如图，E是线段AC上的一点，AB⊥EB于B，AD⊥ED于D，且∠1 =∠2，CB = CD。

求证：∠3 =∠4。

2、如图，在△ABC中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE相交于点P，AE = BD。

求证：P在∠ACB的角平分线上。

3、如图，E为AB边上的一点，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∠1 =∠C，DE = EC。

求证：DA + CB = AB。

第四节角平分线（二）模块一预习反馈（P30—P31）一、知识点1、三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）模块二基础训练1、用尺规作图法作下列各个角的平分线。

2、如图，求作一点P，使PC = PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等。

3、（1）利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点。

（2）在右图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线距离相等的点。

模块三能力提升1、填空：（1）如图1，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF、（2）如图2，P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________、（3）如图3，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=________度，∠3______∠4，CE_______CF、图1 图2 图32、已知：如图在△ABC中，∠C=90，AD平分∠BAC，交BC 于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离、模块四：课下练习☆能力提升1、如图，Rt△ABC中，∠C=90，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，BC=6，CD=3，AE=4，ABCDE则DE=_______，AD=_______，△ABC的周长是_______、2、如图，△ABC中，∠C=90，BD平分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE=BD，且BCDEADE=1、5cm，则AC等于（）、A、3cmB、7、5cmC、6cmD、4、5cm3、已知，Rt△ABC中，∠C=90，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为（）、A、18B、16C、14D、12第一章回顾与思考【学习目标】1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。

2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。

【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合、【学习重难点】重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：本章知识的综合性应用。

【学习过程】模块一预习反馈一、预习要求1、请同学们阅读教材1页～39的内容，并选做教材41页的复习题。

2、预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的习题；⑶数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。

二、知识点1、等腰三角形的性质：（边）；（角）；“三线合一”的内容。

2、等边三角形的性质：（边）；（角）。

3、判定等腰三角形的方法有：（边）；（角）。

4、判定等边三角形的方法有：（边）；（角）。

5、线段垂直平分线的性质定理：。

逆定理：。

三角形的垂直平分线性质：。

6、角的性质定理：。

逆定理：。

三角形的角平分线性质：。

7、三角形全等的判定方法有：。

8、30锐角的直角三角形的性质：。

9、方法总结：（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。

（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。

（4）等腰三角形的证明：主要利用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。

模块二基础训练2、已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且DE=DF。

求证：△ABC是等腰三角形。

2、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2、求AB与BC的长、模块三能力提升1、已知，等腰三角形的一边长为，另一边长为，则此等腰三角形的周长是2、等腰三角形的底角为15,腰上的高为16,那么腰长为_____ _____3、等腰三角形的一个角是80度，则它的另两个角是4、如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB 于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，则BC的长为。

5、如图2，在△ABC中，∠C=90，∠A的平分线交BC于E，DE⊥AB于D，BC=8，AC=6，AB=10，则△BDE的周长为_________。