两角和与差及二倍角公式经典例题及答案电子教案
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。
如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。
1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
两角和与差及二倍角公式定理讲义,例题含规范标准答案
3.3 两角和与差及二倍角公式（答案）3.3 两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回顾】1．两角和与差的三角函数sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。
sin2α= ；cos2α= = =tan 2α= 。
3．降幂公式2sin α= ； 2cos α= .注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用4．辅助角公式证明：)sin cos x x y x x +=+=sin sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+其中，cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。
5.公式的使用技巧（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++ （2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin 1,tan124ππ==（3）收缩代换：sin cos y x x =+=)x ϕ+，（其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=---如：tan 95tan 3595tan 35-=oooo。
最新高考第一轮复习数学：4.4两角和与差、二倍角的公式(三)教案(含习题及答案)
关系： 2α+β =（ α+β ） +α ，（ α +β ）－ α =β可证得结论 .
证明： sin（ 2α +β ）－ 2cos（ α +β） sinα
=sin［（ α +β） +α ］－ 2cos（ α +β） sinα
=sin（ α +β ）cosα +cos（ α +β ） sinα － 2cos（α +β ） sinα =sin（ α +β ）cosα － cos（ α+β ） sinα =sin［（ α +β ）－ α ］=sin β. 两边同除以 sinα 得
为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”
.
2.条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的 途径把条件用上去 .常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为 目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式） 、分析法等 .
4.4 两角和与差、二倍角的公式（三）
●知识梳理
1.化简要求 （ 1）能求出值的应求出值 . （2）使三角函数种数、 项数尽量少； 分母尽量不含三角函数； 被开方式尽量不含三角函数 .
2.化简常用方法 （ 1）活用公式（包括正用、逆用、变形用） . （ 2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等 .
3.常用技巧
2 sin 20
sin 10
sin 10
cos（30 =
3 cos 20 20 ） 2 sin 20 = 2 sin 10
1 sin 20 2 sin 10
2 sin 20
3
3
cos 20 =2
2022届高考数学一轮复习 4.2 两角和与差、二倍角的公式（一）教案
两角和与差、二倍角的公式（一）●知识梳理 （αβ）的推导 角α的始边为O ，交单位圆于31P P 42P P 2πααcos sin 2121232321︒︒-︒70sin 20sin 10cos 2212332︒︒-︒-︒70sin 20sin 2030cos 2）（︒︒-︒⋅︒+︒⋅︒70sin 20sin 20sin 30sin 20cos 30cos 2）（︒︒20cos 20cos 332π2π65331352π2π2π2π36533655613513126533135655613128455078455072a 2a ⇒⇒⇒3⇒⇒⇒2β912α322π2π2βα+2β2α2π2π4π2β4π2α2π2β912β9542α322α352βα+2β2α27572βα+729239222c b a -C B A sin sin ）（-222c b a -c A b B a cos cos -c a C A sin sin c b C Bsin sin 222c b a -C A B B A sin cos sin cos sin -C B A sin sin ）（-⇔⇔2π213π3π3π214π4π4πtan tan 14πtantan ⋅-+αα1211121⨯-+3m m --46437≥37D －1≤m ≤37解析：2in （α－3π）=m m --464⇒in （α－3π）=mm --432由－1≤m m --432≤1⇒－1≤m ≤37 答案：D3（2022年福建，2）tan15°cot15°等于3 D334 解析一：tan15°cot15°=︒︒15cos 15sin ︒︒15sin 15cos =︒︒︒+︒15sin 15cos 15cos 15sin 22=︒⋅30sin 211=4解析二：由tan15°=tan （45°－30°）=︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan =331331+-=3333+- ∴原式=3333+-3333-+=4答案：C 4在△ABC 中，若22b a =BAtan tan ，则△ABC 的形状为_______ 解析：左边利用正弦定理，右边“切变弦”，原式可化为BA 22sin sin =B A B A sin cos cos sin ⇒B A sin sin =⇒A Bcos cosin2A =in2B ⇒2A =2B 或2A =π－2B ⇒A =B 或AB =2π答案：等腰三角形或直角三角形 5（2022年湖南，17）已知tan （4πα）=2，求ααα2cos cos sin 21+的值 解：由tan （4πα）=ααtan tan 1-1+=2，得tan α=31于是ααα2cos cos sin 21+=ααααα222cos cos sin 2cos sin ++=1+1+ααtan 2tan 2=13121312+⨯+）（=32α=71，co （αβ）=－1411，α、β∈（0，2π），求β 解：由co α=71，co （αβ）=－1411，得co β=co ［（αβ）－α］=21， 得β=3π 培养能力 （4π－）=135，0＜＜4π，求）（x x+4πcos 2cos 的值分析：角之间的关系：（4π－）（4π）=2π及2π－2=2（4π－），利用余角间的三角函数的关系便可求之解：∵（4π－）（4π）=2π，∴co （4π）=in （4π－） 又co2=in （2π－2）=in2（4π－）=2in （4π－）co （4π－）， ∴）（x x +4πcos 2cos =2co （4π－）=2×1312=1324β=m in （2αβ）（m ≠1），求证：tan （αβ）=mm-+11tan α 证明：∵in β=m in （2αβ）， ∴in ［（αβ）－α］=m in ［（αβ）α］∴in （αβ）co α－co （αβ）in α=m in （αβ）co αm co （αβ）in α ∴（1－m ）in （αβ）co α=（1m ）co （αβ）in α ∴tan （αβ）=mm-+11tan α9（2022年北京西城区抽样测试）已知in2α=53，α∈（4π5，2π3） （1）求co α的值；（2）求满足in （α－）－in （α）2co α=－1010的锐角 解：（1）因为4π5＜α＜2π3，所以2π5＜2α＜3π 所以co2α=－α2sin 12-=－54由co2α=2co 2α－1，所以co α=－1010 （2）因为in （α－）－in （α）2co α=－1010， 所以2co α（1－in ）=－1010所以in=21 因为为锐角，所以=6π 探究创新αin β=22，求co αco β的取值范围 解：令t =co αco β，① in αin β=22，②①2②2，得t 221=22co （α－β）∴2co （α－β）=t 2－23∈［－2，2］ ∴t ∈［－214，214］ ●思悟小结1不仅要能熟练推证公式（建议自己推证一遍所有公式）、熟悉公式的正用逆用，还要熟练掌握公式的变形应用2注意拆角、拼角技巧，如α=（αβ）－β，2α=（αβ）（α－β）等3注意倍角的相对性，如3α是23α的倍角 4要时时注意角的范围的讨论 ●教师下载中心 教学点睛1本节公式多，内在联系密切，建议复习时，要使学生理清公式间的推导线索，让学生亲自推导一下C （αβ）2公式应用讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式如拆角、拼角技巧等，要注意结合题目使学生体会其间的规律拓展题例【例1】 已知a =（co α，in α），b =（co β，in β），（a ≠b ） 求证：（ab ）⊥（a －b ） 分析：只要证（ab ）·（a －b ）=0即可证法一：（ab ）·（a －b ）=|a |2－|b |2=1－1=0，∴（ab ）⊥（a －b ）证法二：在单位圆中设OA =a ，OB =b ，以OA 、OB 为邻边作□OACB ，则OACB 为菱形∴OC ⊥BA ∴OC ·BA =0， 即（ab ）·（a －b ）=0 ∴（ab ）⊥（a －b ） 【例2】 α、β∈（0，2π），3in 2α2in 2β=1，① 3in2α－2in2β=0②，求α2β的值解：由①得3in 2α=1－2in 2β=co2β 由②得in2β=23in2α ∴co （α2β）=co αco2β－in αin2β =3co αin 2α－in α·23in2α=0 ∵α、β∈（0，2π），∴α2β∈（0，2π3） ∴α2β=2π。
高考第一轮复习数学：43两角和与差、二倍角的公式(二)-教案(含习题及答案).
4.3 两角和与差、二倍角的公式（二）●知识梳理 1.在公式S （α+β）、C （α+β）、T （α+β）中，当α=β时，就可得到公式S 2α、C 2α、T 2α，在公式S 2α、C 2α中角α没有限制在T 2α中，只有当α≠2πk +4π且α≠k π+2π时，公式才成立.2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2α=cos 2α－sin 2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α.变形公式sin 2α=22cos 1α-，cos 2α=22cos 1α+.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用.●点击双基1.下列各式中，值为21的是A.sin15°cos15°B.2cos 212π－1C.230cos 1︒+ D.︒-︒5.22tan 15.22tan 2解析：︒-︒5.22tan 15.22tan 2=21tan45°=21. 答案：D2.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=66，则a 、b 、c 的大小关系是 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c解析：a=2sin59°，c=2sin60°，b=2sin61°，∴a ＜c ＜b. 答案：B3.若f （tanx ）=sin2x ，则f （－1）的值是A.－sin2B.－1C.21D.1解析：f （－1）=f ［tan （－4π）］=－sin 2π=－1.答案：B4.（2005年春季上海，13）若cos α=53，且α∈（0，2π），则tan 2α=____________.解析一：由cos α=53，α∈（0，2π），得sin α=α2cos 1-=54，tan 2α=2cos2sinαα=2cos 2sin 22sin 22ααα=ααsin cos 1-=54531-=21. 解析二：tan 2α=ααcos cos 1+1-=531531+-=21. 答案：215.（2005年春季北京，11）已知sin 2θ+cos 2θ=332，那么sin θ的值为____________，cos2θ的值为____________.解析：由sin 2θ+cos 2θ=332，得1+sin θ=34，sin θ=31，cos2θ=1－2sin 2θ=1－2·91=97.答案：31 97●典例剖析【例1】 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值，若x ∈［0，2π］呢？剖析：注意sinx+cosx 与sinx ·cosx 之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解.解：令t=sinx+cosx=2sin （x+4π）∈［－2，2］，则y=t 2+t+1∈［43，3+2］，即最大值为3+2，最小值为43.当x ∈［0，2π］时，则t ∈［1，2］，此时y 的最大值是3+2，而最小值是3.评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围.【例2】 已知sin （x －4π3）cos （x －4π）=－41，求cos4x 的值.剖析：4x 为2x 的二倍角，2x 为x 的二倍角.解：由已知得sin （x －2π－4π）cos （x －4π）=－41，∴cos 2（x －4π）=41.∴sin2x=cos （2π－2x ）=2cos 2（4π－x ）－1=－87.∴cos4x=1－2sin 22x=1－6498=－3217.【例3】 已知α为第二象限角，cos 2α+sin 2α=－25，求sin 2α－cos 2α和sin2α+cos2α的值.解：由cos 2α+sin2α=－25平方得 1+2sin2αcos2α=45， 即sin α=41，cos α=－415.此时k π+4π＜2α＜k π+2π.∵cos 2α+sin 2α=－25＜0，sin 2αcos 2α=81＞0，∴cos 2α＜0，sin2α＜0.∴2α为第三象限角.∴2k π+4π5＜2α＜2k π+2π3，k ∈Z. ∴sin2α＜cos2α， 即sin 2α－cos 2α＜0.∴sin2α－cos2α=－αsin 1-=－23， sin2α+cos2α=2sin αcos α+1－2sin 2α=8157-. 评述：由三角函数值判断2α的范围是关键.●闯关训练 夯实基础1.已知f （x ）=x -1，当θ∈（4π5，2π3）时，f （sin2θ）－f （－sin2θ）可化简为A.2sin θB.－2cos θC.－2sin θD.2cos θ解析：f （sin2θ）－f （－sin2θ）=θ2sin 1-－θ2sin 1+=｜sin θ－cos θ｜－｜sin θ+ cos θ｜.∵θ∈（4π5，2π3），∴－1＜sin θ＜－22＜cos θ＜0.∴cos θ－sin θ＞0，cos θ+sin θ＜0.∴原式=cos θ－sin θ+cos θ+sin θ=2cos θ. 答案：D2.（2005年春季上海，14）在△ABC 中，若A a cos =B b cos =Cccos ，则△ABC 是A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析：由A a cos =Bb cos ，得b a =B Acos cos .又A a sin =Bb sin ，∴b a =B A sin sin .∴B A sin sin =BA cos cos .∴sinAcosB=cosAsinB ， sin （A －B ）=0，A=B.同理B=C. ∴△ABC 是等边三角形. 答案：B3.若8cos （4π+α）cos （4π－α）=1，则sin 4α+cos 4α=_______.解析：由已知得8sin （4π－α）cos （4π－α）=1，∴4sin （2π－2α）=1.∴cos2α=41.sin 4α+cos 4α=（sin 2α+cos 2α）2－2sin 2αcos 2α=1－21sin 22α=1－21（1－cos 22α） =1－21（1－161）=1－21×1615=3217. 答案：32174.若tanx=2，则x x x xcos sin 1sin 2cos 22+--=_______. 解析：原式=x x x x sin cos sin cos +-=x x tan 1tan 1+-=2121+-=1212--）（=22－3.答案：22－35.化简xx x x x 2sin 1cos sin 1cos sin ））（（+--+.解：原式=xxx x x 2sin 12sin 21sin 12sin 21sin 22））（（++---+=xxx xx x x x x cos 2cos 2sin 42sin 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 222））（（+- =xxx x x x x cos 2cos 2sin2sin 2cos 2sin 2cos ⋅+-））（（ =x x x x x cos 2cos 2sin 2sin 2cos 22⋅-）（=xx xx cos 2cos 2sincos ⋅⋅=tan 2x . 6.（2004年江苏，17）已知0＜α＜2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin （α－3π）的值.解：由已知tan 2α+cot 2α=αsin 2=25，得sin α=54.∵0＜α＜2π，∴cos α=α2sin 1-=53.从而sin （α－3π）=sin α·cos 3π－cos α·sin 3π=54×21－53×23=101（4－33）.培养能力7.已知f （x ）=2asin 2x －22asinx+a+b 的定义域是［0，2π］，值域是［－5，1］，求a 、b 的值.解：令sinx=t ，∵x ∈［0，2π］，∴t ∈［0，1］，f （x ）=g （t ）=2at 2－22at+a+b=2a （t －22）2+b. 当a ＞0时，则⎩⎨⎧=+-=，，15b a b解之得a=6，b=－5. 当a ＜0时，则⎩⎨⎧-=+=，，51b a b解之得a=－6，b=1.8.（2004年湖北，17）已知6sin 2α+sin αcos α－2cos 2α=0，α∈［2π，π），求sin （2α+3π）的值. 分析：本题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.解法一：由已知得（3sin α+2cos α）（2sin α－cos α）=0⇔3sin α+2cos α=0或2sin α－cos α=0.由已知条件可知cos α≠0，所以α≠2π，即α∈（2π，π）.于是tan α＜0，∴tan α=－32.sin （2α+3π）=sin2αcos 3π+cos2αsin 3π=sin αcos α+23（cos 2α－sin 2α）=αααα22sin cos cos sin ++23×αααα2222sin cos sin cos +-=αα2tan tan +1+23×αα22tan tan 1+1-. 将tan α=32代入上式得sin （2α+3π）=232132）（）（-+-+23×22321321）（）（-+--=－136+3265，即为所求. 解法二：由已知条件可知cos α≠0，则α≠2π，∴原式可化为6tan 2α+tan α－2=0， 即（3tan α+2）（2tan α－1）=0.又∵α∈（2π，π）.∴tan α＜0，∴tan α=－32.下同解法一. 探究创新9.将一块圆心角为120°，半径为20 cm 的扇形铁片截成一块矩形，如图，有2种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA 上或让矩形一边与弦AB 平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值.A ABBMMO O 甲乙解：对图甲，设∠MOA=θ，则S 1=200sin2θ.∴当θ=45°时，（S 1）max =200 cm 2. 对图乙，设∠MOA=α， 则S 2=33800［cos （2α－60°）－cos60°］. 当α=30°时，（S 2）max =33400 cm 2. ∵33400＞200，∴用乙种方法好. ●思悟小结 1.化简要求：（1）能求出值的应求出值. （2）使三角函数种数尽量少. （3）使项数尽量少.（4）尽量使分母不含三角函数. （5）尽量使被开方数不含三角函数. 2.常用方法：（1）直接应用公式.（2）切割化弦，异名化同名，异角化同角.（3）形如cos αcos2αcos22α…cos2n α的函数式，只需将分子、分母分别乘以2n+1sin α，应用二倍角正弦公式即可.●教师下载中心 教学点睛1.公式的熟与准，要依靠理解内涵，明确联系应用，练习尝试，不可机械记忆.2.要重视对遇到的问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，有利于缩短运算程序，提高学习效率.3.角的变换体现出将未知转化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一.拓展题例【例1】 若sin αcos β=21，求cos αsin β的取值范围.解：令t=cos αsin β，则21t=41sin2αsin2β.∴t=21sin2αsin2β∈［－21，21］.【例2】 （2004年东北三校高三第一次联考题）已知a=（cos 23x ，sin 23x ），b=（cos 2x，－sin 2x ），x ∈［0，2π］.（1）求a ·b 及|a+b|；（2）若f （x ）=a ·b －2λ|a+b|的最小值是－23，求λ的值.解：（1）a ·b=cos 23xcos 2x －sin 23xsin 2x=cos2x.|a+b|=222sin 23sin 2cos 23cos）（）（x x x x -++=2x 2cos =2cosx （∵x ∈［0，2π］）. （2）f （x ）=cos2x －4λcosx=2（cosx －λ）2－1－2λ2.∵x ∈［0，2π］，∴cosx ∈［0，1］.①当λ＜0，cosx=0时，f （x ）min =－1，矛盾.②当0≤λ≤1，cosx=λ时，f （x ）min =－1－2λ2，由－1－2λ2=－23，得λ=21. ③当λ＞1，cosx=1时，f （x ）min =1－4λ，由1－4λ=－23，得λ=85＜1，矛盾.综上，λ=21为所求.。
两角和与差及二倍角公式讲义
两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回顾】1．两角和与差的三角函数sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。
sin 2α= ；cos 2α= = =tan 2α= 。
3．降幂公式2sin α= ； 2cos α= .注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用 4．辅助角公式证明：)sin cos x x y x x +=+=sin sin cos )x x ϕϕ=+)x ϕ=+ 其中，cos ϕ=，sin ϕ=，tan b aϕ=且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。
5.公式的使用技巧（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++（2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin1,tan 124ππ== （3）收缩代换：sin cos y x x =+=)x ϕ+，（其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形： tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=--- 如：tan95tan353tan95tan35--= 。
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
＝cos 75°＋sin 75°＝ 2cos(75°－45°)
＝
6 2.
答案：
6 2
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考点一 三角函数公式的直接应用
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[典例] (1)已知 sin α＝35，α∈π2，π，tan β＝－12，则 tan(α－β)
的值为
()
A．－121
B．121
C．121
D．－121
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ) 其中sin φ＝ a2b＋b2，cos φ＝ a2a＋b2.
()
A．－
3 2
B．
3 2
C．－12
D．12
解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝
sin 30°＝12.
答案：D
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3．设角 θ 的终边过点(2,3)，则 tanθ－π4＝
()
A．15
B．－15
C．5
D．－5
解析：由于角 θ 的终边过点(2,3)，因此 tan θ＝32，故 tanθ－π4
第五 节
两角和与差的正弦、余弦 和正切公式及二倍角公式
课前自修区
基础相对薄弱，一轮复习更需重视
基础知识的强化和落实
课堂讲练区
考点不宜整合太大，挖掘过深
否则会挫伤学习的积极性
课时跟踪检测
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两角和与差的正、余弦公式、正切公式、二倍角公式
1.已知tan 2α=，则tan 2α的值为 ． 【答案】43-【分析】222tan 224tan 21tan 123ααα⨯===---. 2．已知P （－3，4）为角α终边上的一点，则cos （π+α）= ．【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】35【分析】∵P （－3，4）为角α终边上的一点，∴x =－3，y =4，r =|OP |=5，∴cos （π+α）=－cos α=x r -=35--=35，故答案为35． 3．已知cos(α－β)=35，sin β=513-且α∈（0，π2），β∈（π2-，0），则sin α= ．【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．【答案】3365【分析】∵α∈（0，π2），β∈（π2-，0），∴α－β∈（0，π）， 又cos （α－β）=35，sin β=513-，∴sin （α－β）=21cos ()αβ--=45，cos β=21sin β-=1213，则sin α=sin[（α－β）+β]= sin （α－β）cos β+cos （α－β）sin β=45×1213+35×（513-）=3365．故答案为3365. 4.若0≤x ≤π2，则函数y =cos （x -π2）sin （x +π6）的最大值是 ．【考点】两角和与差的正余弦公式的应用．【答案】234+ 【分析】y =sin x （sin x 32⋅+12cos x ）=322sin x +12sin x cos x =()31cos 24x -+14sin2x =12sin （2x -π3）+34， ∵0≤x ≤π2，∴-π3≤2x -π3≤2π3，∴max y =12+34=234+. 5.已知过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），则tan （α+β）=________．【考点】平面的法向量． 【答案】1【分析】∵过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），∴－1－3tan β=0，12-tan α=－1．∴1tan 3β=-，tan α=2． ∴tan （α+β）=12tan tan 3111tan tan 123αβαβ-+==-+⨯，故答案为1． 6.在ABC △中，已知BC =8，AC =5，三角形面积为12，则cos2C = ．【考点】三角形面积公式，二倍角公式的应用． 【答案】725【分析】∵已知BC =8，AC =5，三角形面积为12， ∴12⋅BC ⋅AC sin C =12,∴sin C =35,∴cos2C =122sin C -=1-2×925=725. 7.某种波的传播是由曲线()()()sin 0f x A x A ωϕ=+>来实现的，我们把函数解析式()()sin f x A x ωϕ=+称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波()()11sin f x x ϕ=+与()()22sin f x x ϕ=+叠加后仍是“1类波”，求21ϕϕ-的值；（2）在“A 类波“中有一个是()1sin f x A x =，从 A 类波中再找出两个不同的波()()23,f x f x ，使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后()()()1230f x f x f x ++=，并说明理由．（3）在()2n n n ∈N,≥个“A 类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明． 【考点】两角和与差的正弦函数；归纳推理．【解】（1）()()()()1212sin sin f x f x x x ϕϕ+=+++ =1212(cos cos )sin (sin sin )cos x x ϕϕϕϕ+++，振幅是221212(cos cos )(sin sin )ϕϕϕϕ+++=()1222cos ϕϕ+-，则()1222cos ϕϕ+-=1，即()121cos 2ϕϕ-=-，所以122π2π,3k k ϕϕ-=±∈Z ． （2）设()()21sin f x A x ϕ=+，()()32sin f x A x ϕ=+， 则()()()()()12312sin sin sin f x f x f x A x A x A x ϕϕ++=++++=()()1212sin 1cos cos cos sin sin 0A x A x ϕϕϕϕ++++=恒成立， 则121cos cos 0ϕϕ++=且12sin sin 0ϕϕ+=， 即有：21cos cos 1ϕϕ=--且21sin sin ϕϕ=-，消去2ϕ可解得11cos 2ϕ=-， 若取12π3ϕ=，可取24π3ϕ=（或22π3ϕ=-等），此时，()22πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()34πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（或()32πsin 3f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭等）， 则()()()1231313sin sin cos sin cos 02222f x f x f x A x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+-++--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以是平波．（3）()1sin f x A x =，()22πsin f x A x n ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()34πsin f x A x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，…， ()()21πsin n n f x A x n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这n 个波叠加后是平波．8. (4分)已知sin α=3cos α，则cos 21sin 2αα=+ ________．【参考答案】 12-【测量目标】 运算能力/能根据法则准确的进行运算和变形. 【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦.【试题分析】 由已知先求tan α，因为sin α=3cos α，所以tan α=3，把所求的式子中的三角函数利用二倍角公式进行化简，然后化为正切形式，即可求值:222222cos 2cos sin 1tan 1911sin 2cos 2sin cos +sin 12tan tan 1692ααααααααααα---====-++++++.9.若tan （α－π4）=14，则tan α=______． 【参考答案】 53【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【考点】 两角和与差的正切函数.【试题分析】 ∵tan （α－π4）=14， ∴πtan tan4π1tan tan4αα-+=tan 11tan αα-+=14，解得tan α=53．故答案为53． 10.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos 4B =. (1)求2sin 2cos2A CB ++的值； (2)若3b =，求ABC △面积的最大值. 【考点】余弦定理，二倍角的正弦、余弦. 【解】(1)因为3cos 4B =,所以7sin 4B =, 又22π1sin 2cos2sin cos cos 2sin cos (1cos )222A CB B B B B B B +-+=+=+- =73113724488+⨯⨯+=. (2)由已知可得：2223cos 24a cb B ac +-==, 又因为3b =，所以22332a c ac +-=, 又因为223322a c ac ac +=+≥， 所以6ac ≤，当且仅当6a c ==时，ac 取得最大值.此时11737sin 62244ABC S ac B ==⨯⨯=△. 所以△ABC 的面积的最大值为374. 11.已知1sin 4θ=，则sin 2()4θπ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦__________. 【答案】78-【分析】27sin 2()cos 212sin 48θθθπ⎡⎤-=-=-+=-⎢⎥⎣⎦.12. 已知α为第二象限的角，sin α=35，则tan2α=_______________. 【答案】247-【分析】因为α为第二象限的角，又sin α=35，所以cos α=45-，tan α=sin cos αα=34-，tan2α=22tan 1tan αα-=247-.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 13.若△ABC 的内角A 满足sin2A =23，则sin A +cos A 等于（ ） A.153 B.153- C.53 D.53-【答案】A 【分析】∵0＜A ＜π，0＜2A ＜2π，又sin2A =23，即2sin A cos A =23，∴0＜A ＜π2, 2(sin cos )A A +=53，sin A +cos A =153，故选A. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 14.已知sin θ+cos θ=15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是___________. 【答案】725-【分析】由已知sin θ+cos θ=15①，2sin θcos θ= 2425-，又π2≤θ≤3π4，∴cos θ＜0，sin θ＞0. 2(cos sin )θθ-=4925，则sin θ－cos θ=75②，由①②知cos2θ=22cossin θθ-=725-. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.15.已知0＜α＜π2，sin α=45.（1）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；（2）求tan(α－5π4)的值.【解】∵0＜α＜π2，sin α=45，∴cos α=35，tan α=43.（1）22sin sin2cos cos2αααα++=222sin2sin cos2cos sinααααα+-=22tan2tan2tanααα+-=2244()23342()3+⨯-=20；（2）tan(α－5π4)=tan11tanαα-+=413413-+=17.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.16.已知x∈(π2-,0)，cos x=45，tan2x=（）A.724B.724- C.247D.247-【答案】D【分析】sin x=35-，tan x=34-，tan2x=22tan1tanxx-=247-，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.17.cos20cos351sin20︒︒-︒=（）A.1B. 2C.2D.3【答案】C【分析】cos20cos351sin20︒︒-︒=22cos10sin10cos35(cos10sin10)︒-︒︒︒-︒=cos10sin10cos35︒+︒︒=2sin55cos35︒︒=2，故选C.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.18.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c =62，则a、b、c大小关系是（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC. c＜b＜aD. a＜c＜b【答案】D【分析】由题意知，a =2sin59°，b =2sin61°，c =2sin60°，所以a＜c＜b，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.19.tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°=_____________.【答案】3【分析】tan60°= tan(20°+40°)=tan20+tan401tan20tan40︒︒-︒︒=3，∴3－3tan20°tan40°=tan20°+tan40°，移向即可得结果为3. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 20.已知sin2θ+cos 2θ=233，那么sin θ =______,cos2θ =___________. 【答案】13，79【分析】2(sin cos )22θθ+=1+ sin θ=43，sin θ=13，cos2θ=1－22sin θ=79. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 21.若1tan 1tan αα+-=2008，则1cos 2α+tan2α=_______________.【答案】2008【分析】1cos 2α+tan2α=1sin 2cos 2cos 2ααα+=1sin 2cos 2αα+=222(cos +sin )cos sin αααα-= cos +sin cos sin αααα-=1+tan 1tan αα-=2008.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 22.计算：sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=________.【答案】2+3【分析】sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=sin80cos15sin15cos10︒︒︒︒=cos15sin15︒︒=2+3．【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.23．求值：(1)sin6°sin42°sin66°sin78°;(2)22sin 20cos 50︒+︒+sin20°cos50°.【解】原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°=sin 6cos 6cos12cos 24cos 48cos 6︒︒︒︒︒︒=1sin12cos12cos 24cos 482cos6︒︒︒︒︒=1sin 24cos 24cos 484cos6︒︒︒︒=1sin 48cos 488cos6︒︒︒=1sin 9616cos6︒︒=1cos616cos6︒︒=116; (2)原式＝1cos 401cos1001(sin 70sin 30)222-︒+︒++︒-︒ ＝1+111(cos100cos 40)sin 70224︒-︒+︒-=31sin 70sin 30sin 7042-︒⋅︒+︒=34.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 24.已知tan α、tan β是方程2x -5x +6=0的两个实根，求22sin ()αβ+-3sin ()αβ+cos ()αβ++2cos ()αβ+的值． 【解】由韦达定理得tan α+tan β=5，tan α·tan β=6，所以tan(α+β)=tan tan 1tan tan αβαβ+-⋅=－1.原式=[22sin ()αβ+－3sin(α+β)cos(α+β)+2cos ()αβ+]/[22sin ()cos ()αβαβ+++]=222tan ()3tan()1tan ()1αβαβαβ+-++++=213(1)111⨯-⨯-++=3.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.。
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：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例
知识要点：
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式
2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；
2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；
3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:
tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：
1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )
711
A 、 711
B 、- 713
C 、 7
13D 、-
2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝4
5
3，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.4
5
3、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝5
13
，则cos C 的值是( )
A.1665
B.5665
C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )
A ．0
B ．±3
C ．0或 3
D ．0或
±3
5、三角式2cos55°
－3sin5°
cos5°
值为( )
A.3
2
B. 3 C ．2 D ．1 题型训练
题型1 给角求值
一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.
变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20
︒︒
︒
- 题型2给值求值
三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()()
ααβαβ=++-，
2()()
αβαβα=+--，
22
αβαβ++=⋅
，()(
)
222αββ
ααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19
，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝2
3，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．
变式2：π3π33π5
0π,cos(),sin(),4445413
βααβ<<
<<-=+=已知求sin(α+β)的值.
题型3给值求角
已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
例3已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7
，求2α－β的值．
变式3：已知tan α=
17，tan β= 1
3
，并且α,β 均为锐角,求α+2β的值.
题型4辅助角公式的应用
()
sin cos a x b x x θ+=+ (其中θ角所在的象限由a ,
b 的符号确定，θ角的值由
tan b
a
θ=
确定) 在求最值、化简时起着重要作用。
例4求函数2
5f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间？
变式4（
1）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= ；
（2）若方程sin x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________. 题型5公式变形使用
二倍角公式的升幂降幂
tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±m tan tan tan tan 1tan()
αβ
αβαβ±=±m
例5（1）设ABC ∆中，33tan A tan B tan Atan B ++=，3
4
sin Acos A =，则此三角形是____三角形
（2）化简1-sin822cos8++
变式5已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝ ； 专题自测
1、下列各式中，值为
1
2
的是 （ ） A 、1515sin cos o
o
B 、2
2
1212cos sin
π
π
- C 、22251225tan .tan .-o o D 、1302
cos +o
2、命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，
则P 是Q 的 （ ） A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件
3、已知3sin 5α=
,tan 0α<则tan()4
π
α-= . 4、=︒+︒
-︒20sin 6420cos 120sin 32
2
2 5、2sin()2sin()3cos()333
x x x πππ
++---=______________.
6、0
cos(27)cos(18)sin(18)sin(27)x x x x +---+=
7、若25sin 5α=
,310
sin 10
β=,,αβ都为锐角,则αβ+= 8、在△ABC 中，已知tan A 、tan B 是方程3x 2
＋8x －1＝0的两个根，则tan C 等于 9、
1310sin -o = ； 10、
︒
︒
-︒70sin 20sin 10cos 2=
11、(1tan 22)(1tan 23)︒︒
++=
12、)20tan 10(tan 320tan 10tan ︒+︒+︒︒=
13、（福建理17）在ABC △中，1tan 4A =，3
tan 5
B =． （Ⅰ）求角
C 的大小；
（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．
14、（四川理17）已知0,14
13
)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,
(1)求α2tan 的值. （2）求β.
15、(2008·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点,已知A,B 两点的横坐标分别为225
,. (1)求tan(α+β)的值; (2)求α+2β的值.
答案：考点自测:1-5BCADD 变式1、3 2、
5665 3：4
π
4（1）－2 （2）[－2,2] 5、22-
专题自测：1、C 2、C 3、7- 4、32 5、0 62 7、3
4π 8、2 9、4 10
11、2 12、1 13、()31π4C = ()2BC =、()147- ()23
π
β= 15（1）—3 （2）
3π4。