浙江省名校协作体2021届高三下学期2月联考数学试题 图片版含答案
2021年高三数学2月联考试题 理
2021年高三数学2月联考试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1.设复数z的共轭复数为，若，则复数z=( )(A) (B) (C) (D)2.已知全集，，则（）A． B． C． D．3、已知与之间的一组数据：0 1 2 33 5.5 7已求得关于与的线性回归方程为＝2.1＋0.85，则的值为( )（A）（B）（C）（D）4、一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20 B．24 C．16 D．5.设函数，若，则（）A． B． C． D．6.若，，则的值为（）A． B． C． D．7.若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有位的数字和为偶数。
则这样的三位数的个数是（）A．540 B．480 C．360 D．2008.有以下命题：①命题“”的否定是：“”；②已知随机变量服从正态分布，则；③函数的零点在区间内；其中正确的命题的个数为（）A.3个B.2个C.1个D.0个9、在中，为中线上一个动点，若，则的最小值是（）A．2 B．-1 C．-2 D．-410. 已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C．D．11. 椭圆，作直线交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线的斜率为，直线OM的斜率为，.则椭圆的离心率为（）A . B. C. D.12. 设函数是函数的导函数，，且，则的解集为( )(A) (B) (C) (D)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.已知，则二项式的展开式中的系数为．14.点M（x，y）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x﹣y+m≥0总成立，则m的取值范围是15. .A，B，C，D四点在半径为的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=，AB=CD，则三棱锥D-ABC的体积是______.16、对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出如下一种解法：解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为.参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为____________．三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．在中，所对的边分别为函数在处取得最大值．（1）当时，求函数的值域；（2）若且,求的面积．18. 某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为．若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．（Ⅰ）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；（Ⅱ）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望．19.如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．（Ⅰ）若为直线上的中点，求证：平面（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.如图，已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与圆相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；交于、两点，且求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．21. 已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。
2020-2021学年浙江省高考数学二模试卷（理）及答案解析
2020-2021学年浙江省⾼考数学⼆模试卷（理）及答案解析浙江省⾼考数学⼆模试卷（理科）⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1．已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（?U B）=（）A．{2} B．{2，3} C．{3} D．{1，3}2．设l，m是两条不同的直线，α是⼀个平⾯，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m?α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m3．“”是“tanθ=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．函数（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．5．已知{a n}是等差数列，公差为2，{b n}是等⽐数列，公⽐为2．若{b n}的前n项和为，则a1+b1等于（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图，⼩于90°的⼆⾯⾓α﹣l﹣β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝⾓，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论错误的是（）A．∠A′OB′为钝⾓ B．∠A′OB′＞∠AOBC．∠AOB+∠AOA′＜πD．∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π7．如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的右顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，点p是双曲线右⽀上⼀点，PF1交左⽀于点Q，交渐近线y=x于点R，M是PQ的中点，若RF2⊥PF1，且AM ⊥PF1，则双曲线的离⼼率是（）A．B．C．2 D．8．已知0＜x＜y，2＜x2，则下列不正确的是（）A．sinx2＜sin（﹣y）B．sinx2＞sin（2﹣y）C．sin（2﹣x2）＜siny D．sinx2＜cos（y﹣1）⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知φ∈[0，π），函数f（x）=cos2x+cos（x+φ）是偶函数，则φ= ，f（x）的最⼩值为．10．已知函数，则= ，⽅程f（x）=2的解为．11．某⼏何体的三视图如图所⽰（单位：cm），则该⼏何体的体积为cm3，表⾯积为cm2．12．已知x，y∈R且满⾜不等式组，当k=1时，不等式组所表⽰的平⾯区域的⾯积为，若⽬标函数z=3x+y的最⼤值为7，则k的值为．13．已知a＞0，f（x）=acosπx+（1﹣x）sinπx，x∈[0，2]，则f（x）所有的零点之和为．14．设，已知x，y∈R，m+n=6，则F=max{|x2﹣4y+m|，|y2﹣2x+n|}的最⼩值为．15．如图，设正△BCD的外接圆O的半径为R（＜R＜），点A在BD下⽅的圆弧上，则（﹣﹣）?的最⼩值为．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，设边a，b，c所对的⾓为A，B，C，且A，B，C都不是直⾓，（bc﹣8）cosA+accosB=a2﹣b2．（Ⅰ）若b+c=5，求b，c的值；（Ⅱ）若，求△ABC⾯积的最⼤值．17．如图，长⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，点P是CD上的⼀点，PC=λPD．（Ⅰ）若A1C⊥平⾯PBC1，求λ的值；（Ⅱ）设λ1=1，λ2=3所对应的点P为P1，P2，⼆⾯⾓P1﹣BC1﹣P2的⼤⼩为θ，求cosθ的值．18．已知m∈R，函数f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m．（1）若0＜m≤，求|f（x）|在[﹣1，1]上的最⼤值g（m）；（2）对任意的m∈（0，1]，若f（x）在[0，m]上的最⼤值为h（m），求h（m）的最⼤值．19．已知椭圆C1：=1，直线l1：y=kx+m（m＞0）与圆C2：（x﹣1）2+y2=1相切且与椭圆C1交于A，B两点．（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标为，求m的值；（Ⅱ）过原点O作l1的平⾏线l2交椭圆于C，D两点，设|AB|=λ|CD|，求λ的最⼩值．20．已知点列P n（x n，）与A n（a n，0）满⾜x n+1＞x n，⊥，且||=||，其中n∈N*，x1=1．（I）求x n+1与x n的关系式；（Ⅱ）求证：n2＜++…+≤4n2．参考答案与试题解析⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1．已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（?U B）=（）A．{2} B．{2，3} C．{3} D．{1，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，可以求出集合C U B，然后根据交集的定义和运算法则进⾏计算．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，∴C U B={1，3，4}∵A={3，1，2}∴A∩（C U B）={1，3}故选D．2．设l，m是两条不同的直线，α是⼀个平⾯，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m?α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【考点】直线与平⾯平⾏的判定．【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线⾯垂直的判定定理判断．C：根据线⾯平⾏的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线⾯垂直的性质定理判断；综合可得答案．【解答】解：A，根据线⾯垂直的判定定理，要垂直平⾯内两条相交直线才⾏，不正确；C：l∥α，m?α，则l∥m或两线异⾯，故不正确．D：平⾏于同⼀平⾯的两直线可能平⾏，异⾯，相交，不正确．B：由线⾯垂直的性质可知：平⾏线中的⼀条垂直于这个平⾯则另⼀条也垂直这个平⾯．故正确．故选B3．“”是“tanθ=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由tanθ=1，解得θ=（k∈Z），即可判断出结论．【解答】解：由tanθ=1，解得θ=（k∈Z），∴“”是“tanθ=1”的充分不必要条件．故选：A．4．函数（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】分三种情况讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可判断．【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，且x≠0，故A符合，当x＞0时，且a＞0时，f（x）=x+≥2，当x＜0时，且a＞0时，f（x）=﹣x+在（﹣∞，0）上为减函数，故B符合，当x＜0时，且a＜0时，f（x）=﹣x+≥2=2，当x＞0时，且a＜0时，f（x）=x+在（0，+∞）上为增函数，故D符合，故选：C．5．已知{a n}是等差数列，公差为2，{b n}是等⽐数列，公⽐为2．若{b n}的前n项和为，则a1+b1等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知写出等差数列和等⽐数列的通项公式，得到，再写出等⽐数列的前n项和，列等式求得a1+b1的值．【解答】解：由题意可得a n=a1+2（n﹣1），，∴=，{b n}的前n项和，由，得，∴a1+b1=2．故选：B．6．如图，⼩于90°的⼆⾯⾓α﹣l﹣β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝⾓，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论错误的是（）A．∠A′OB′为钝⾓ B．∠A′OB′＞∠AOBC．∠AOB+∠AOA′＜πD．∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π【考点】与⼆⾯⾓有关的⽴体⼏何综合题．【分析】由题意画出图形，由已知⼆⾯⾓α﹣l﹣β⼩于90°，∠AOB为钝⾓，结合余弦定理可得∠A′OB′是钝⾓，由此可得答案．【解答】解：如图，在α内射线OA上取点A，过A作交线l的平⾏线AB交射线OB于点B，过A作AA′⊥β，垂⾜为A′，过B作BB′垂直于β，垂⾜为B′，连接A′B′，则有AB∥A′B′，且AB=A′B′，设OA=a，OB=b，AB=c，则OA′＜a，OB′＜b，∵∠AOB为钝⾓，∴a2+b2＜c2，则（OA′）2+（OB′）2＜a2+b2＜c2=（A′B′）2，在△A′OB′中，由余弦定理可得∠A′OB′＞∠AOB为钝⾓．∴∠AOB+∠AOA′＞π．∴错误的选项是C，故选：C．7．如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的右顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，点p是双曲线右⽀上⼀点，PF1交左⽀于点Q，交渐近线y=x于点R，M是PQ的中点，若RF2⊥PF1，且AM ⊥PF1，则双曲线的离⼼率是（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设PF1的⽅程为y=k（x+c），k＞0，联⽴渐近线⽅程求得R的坐标，代⼊双曲线的⽅程，运⽤韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得k=，代⼊化简整理，再由离⼼率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设PF1的⽅程为y=k（x+c），k＞0，联⽴渐近线⽅程y=x，可得R（，），由直线y=k（x+c）代⼊双曲线﹣=1，可得（b2﹣a2k2）x2﹣2ca2k2x﹣a2c2k2﹣a2b2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=，即有中点M（，），由A（a，0），F2（c，0），RF2⊥PF1，可得==﹣，即有bk2+2ak﹣b=0，解得k=（负的舍去），由AM⊥PF1，可得k AM==﹣，即为（c3+a3）k2=a（c2﹣a2），即有（c3+a3）（c﹣a）2=ab2（c2﹣a2）=a（c2﹣a2）2，化为c=2a，即e==2．故选：C．8．已知0＜x＜y，2＜x2，则下列不正确的是（）A．sinx2＜sin（﹣y）B．sinx2＞sin（2﹣y）C．sin（2﹣x2）＜siny D．sinx2＜cos（y﹣1）【考点】正弦函数的图象；基本不等式．【分析】利⽤基本不等式的性质和正弦函数的单调性得出答案．【解答】解：∵0＜x＜y，2＜x2+y＜，∴1＜y，∴x2＜﹣y＜，∴sinx2＜sin（）．故A正确．∵2＜x2，∴x2＜，y＜，∴＞＞x2＞2﹣y，∴sinx2＞sin（2﹣y），故B正确．∵2＜x2，∴x2＜＜=＜．∴sinx2＜sin（）=cos（y﹣1）．故D正确．故选：C．⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知φ∈[0，π），函数f（x）=cos2x+cos（x+φ）是偶函数，则φ= 0 ，f（x）的最⼩值为．【考点】三⾓函数中的恒等变换应⽤．【分析】由函数为偶函数求得φ值，得到f（x）=cos2x+cosx，展开⼆倍⾓余弦，然后利⽤配⽅法求得最值．【解答】解：∵函数f（x）=cos2x+cos（x+φ）是偶函数，∴f（﹣x）﹣f（x）=cos（﹣2x）+cos（﹣x+φ）﹣cos2x﹣cos（x+φ）=0恒成⽴，即cos（﹣x+φ）﹣cos（x+φ）=﹣2sinφ?sin（﹣x）=2sinφ?sinx=0恒成⽴，∵φ∈[0，π），∴φ=0；f（x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=．∴f（x）的最⼩值为．故答案为：0，．10．已知函数，则= 0 ，⽅程f（x）=2的解为﹣2或4 ．【考点】函数的值．【分析】由，利⽤分段函数的性质能求出的值；由⽅程f （x）=2，得到当x＞0时，log2x=2；当x≤0时，x2+x=2．由此能求出结果．【解答】解：∵，∴f（）==﹣1，∴=f（﹣1）=（﹣1）2+（﹣1）=0，∵⽅程f（x）=2，∴当x＞0时，log2x=2，解得x=4；当x≤0时，x2+x=2，解得x=﹣1或x=1（舍）．∴x=﹣2或x=4．故答案为：0；﹣2或4．11．某⼏何体的三视图如图所⽰（单位：cm），则该⼏何体的体积为cm3，表⾯积为cm2．【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由三视图可知：该⼏何体是由⼀个半球去掉后得到的⼏何体．【解答】解：由三视图可知：该⼏何体是由⼀个半球去掉后得到的⼏何体．∴该⼏何体的体积==cm3，表⾯积=++=cm2．故答案分别为：；．12．已知x，y∈R且满⾜不等式组，当k=1时，不等式组所表⽰的平⾯区域的⾯积为，若⽬标函数z=3x+y的最⼤值为7，则k的值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平⾯区域，根据z的⼏何意义，利⽤数形结合即可得到k的值．然后即可得到结论．【解答】解：若k=1，则不等式组对应的平⾯区域如图：则A（1，﹣1），B（1，3），由得，即C（，），不等式组所表⽰的平⾯区域的⾯积为S=×4×（﹣1）=2×=，由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点C时，直线y=﹣3x+z的截距最⼤，此时z最⼤，为3x+y=7由，解得，即A（2，1），此时A在kx﹣y﹣k﹣1=0上，则2k﹣1﹣k﹣1=0，得k=2．故答案为：；2；13．已知a＞0，f（x）=acosπx+（1﹣x）sinπx，x∈[0，2]，则f（x）所有的零点之和为 2 ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】x=1，，时，f（x）≠0，因此都不是函数f（x）的零点．由f（x）=acosπx+（1﹣x）sinπx=0，化为：tanπx=，（x≠1）．分别作出函数y=tanπx，y=，（x≠1）的图象，则此两函数的图象都关于（1，0）成中⼼对称，即可得出．【解答】解：x=1时，f（1）=acosπ=﹣a＜0，因此1不是函数f（x）的零点．同理x=，，也不是函数f（x）的零点．由f（x）=acosπx+（1﹣x）sinπx=0，化为：tanπx=，（x≠1，，）．作出函数y=tanπx，y=，（x≠1）的图象，则此两函数的图象都关于（1，0）成中⼼对称，由函数的单调性与对称性可得：x∈[0，2]，两函数y=tanπx，y=，（x≠1）的图象有且仅有两个交点，并且关于（1，0）成中⼼对称，不妨设交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=2．故答案为：2．14．设，已知x，y∈R，m+n=6，则F=max{|x2﹣4y+m|，|y2﹣2x+n|}的最⼩值为．【考点】函数的最值及其⼏何意义．【分析】由题意可得F≥|x2﹣4y+m|，F≥|y2﹣2x+n|，相加，由绝对值不等式的性质和配⽅⽅法，可得最⼩值．【解答】解：F=max{|x2﹣4y+m|，|y2﹣2x+n|}，可得F≥|x2﹣4y+m|，F≥|y2﹣2x+n|，即有2F≥|x2﹣4y+m|+|y2﹣2x+n|≥|x2﹣4y+m+y2﹣2x+n|=|x2﹣2x+y2﹣4y+6|=|（x﹣1）2+（y﹣2）2+1|≥1，即有2F≥1，即F≥，可得x=1，y=2时，F取得最⼩值．故答案为：．15．如图，设正△BCD的外接圆O的半径为R（＜R＜），点A在BD下⽅的圆弧上，则（﹣﹣）?的最⼩值为﹣．【考点】平⾯向量数量积的运算．【分析】先根据三⾓形为正三⾓形，再设∠CAO=θ，得到AC=2Rcosθ，根据向量的数量的运算得到（﹣﹣）?得到2R2cos2θ﹣2Rcosθ，再构造函数y=2t2﹣2t=2（t﹣）2﹣，即可求出最值．【解答】解：∵△BCD为正三⾓形，∴∠CAD=∠CAB=∠DAB=∠CBD=60°，设∠CAO=θ，∴AC=2Rcosθ，∴（﹣﹣）?=?﹣?﹣=2R2cos2θ﹣×2Rcosθ﹣×2Rcosθ=2R2cos2θ﹣2Rcosθ，设Rcosθ=t，∵＜R＜，0°≤θ＜60°，即＜cosθ≤1，∴＜t＜则y=2t2﹣2t=2（t﹣）2﹣∴当t=，y有最⼩值，即为﹣，故答案为：﹣．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，设边a，b，c所对的⾓为A，B，C，且A，B，C都不是直⾓，（bc﹣8）cosA+accosB=a2﹣b2．（Ⅰ）若b+c=5，求b，c的值；（Ⅱ）若，求△ABC⾯积的最⼤值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利⽤余弦定理化简已知等式可得，⼜△ABC不是直⾓三⾓形，解得bc=4，⼜b+c=5，联⽴即可解得b，c的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，解得，可求，利⽤三⾓形⾯积公式即可得解三⾓形⾯积的最⼤值．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵，∴，∴，∵△ABC不是直⾓三⾓形，∴bc=4，⼜∵b+c=5，∴解得或…（Ⅱ）∵，由余弦定理可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，∴，∴，所以．∴△ABC⾯积的最⼤值是，当时取到…17．如图，长⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，点P是CD上的⼀点，PC=λPD．（Ⅰ）若A1C⊥平⾯PBC1，求λ的值；（Ⅱ）设λ1=1，λ2=3所对应的点P为P1，P2，⼆⾯⾓P1﹣BC1﹣P2的⼤⼩为θ，求cosθ的值．【考点】⼆⾯⾓的平⾯⾓及求法；直线与平⾯垂直的判定．【分析】（Ⅰ）法⼀：若A1C⊥PB，则A1C⊥平⾯PBC1，只要AC⊥PB即可，由此能求出结果．法⼆：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建⽴空间直⾓坐标系O﹣xyz，利⽤向量法能求出结果．（Ⅱ）过C作CH⊥BC1交BC1于H，连接P1H，P2H，则∠P1HP2就是所求⼆⾯⾓的⼀个平⾯⾓θ，由此能求出cosθ．【解答】解：（Ⅰ）解法⼀∵A1C⊥BC1若A1C⊥PB，则A1C⊥平⾯PBC1，只要AC⊥PB即可，在矩形ABCD中，，解得，；解法⼆：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建⽴如图空间直⾓坐标系O﹣xyz，B（1，2，0），C1（0，2，1），A1（1，0，1），C（0，2，0），设，若A1C⊥平⾯PBC1，=（﹣1，2，﹣1），=（﹣1，0，1），=（﹣1，﹣2，0），则，解得．（Ⅱ）过C作CH⊥BC1交BC1于H，连接P1H，P2H，∵长⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，∴BH=C1H，P1B=P1C1，P2B=P2C1，∴P2H⊥BC1，P1H⊥BC1，则∠P1HP2就是所求⼆⾯⾓的⼀个平⾯⾓θ∵P1C=1，，∴，tanα=tan（∠P2HC﹣∠P1HC）=，所求余弦值cosθ=．。
2021年浙江高三二模数学试卷名校新高考研究联盟(Z20联盟)-学生用卷
2021年浙江高三二模数学试卷名校新高考研究联盟（Z20联盟）-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第1题4分已知集合A={x|log2x>1}，B={x||x−1|<2}，则A∪B=（）．A. (2,3)B. (−1,3)C. (2,+∞)D. (−1,+∞)2、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第2题4分2017~2018学年5月浙江杭州西湖区杭州学军中学高三下学期月考理科第2题5分双曲线x 24−y2=1的渐近线方程为（）．A. y=±2xB. y=±4xC. y=±12x D. y=±14x3、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第3题4分已知i是虚数单位，若z=1−i，则(1+z)⋅z的模为（）．A. 1B. √2C. √5D. √104、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第4题4分设变量x，y满足约束条件{3x−y−2⩾0，x+y−6⩽0，y−1⩾0，则目标函数z=2x−y的最大值为（）．A. 0B. 1C. 9D. 105、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第5题4分某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（单位：cm3）是（）．A. 43B. 53C. 1D. 26、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第6题4分函数f(x)=(x 2−|x|)ln|x|的图象可能是（ ）．A.B.C.D.7、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第7题4分设α，β为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且m⊥α，l//β，则“l//m”是“α⊥β”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第8题4分函数f(x)=x2(e x+1−1)（e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（）．A. f(x)在R上只有一个极值点B. f(x)在R上没有极值点C. f(x)在x=0处取得极值点D. f(x)在x=−1处取得极值点9、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第9题4分已知点A 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点，F (c,0)为椭圆的右焦点，B 、E 在椭圆上，四边形OABE 为平行四边形（O 为坐标原点），过直线AE 上一点P 作圆(x −c )2+y 2=b 24的切线PQ ，Q 为切点，若△PQF 面积的最小值大于b 28，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）．A. (0,√10−23)B. (√10−23,1) C. (0,√5−13) D. (√5−13,1)10、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第10题4分已知非空集合A ⊆R ，设集合S ={x +y |x ∈A ，y ∈A 且x ≠y }，T ={x −y |x ∈A ，y ∈A 且x >y }，分别用|A |、|S |、|T |表示集合A 、S 、T 中元素的个数，则下列说法 不正确．．．的是（ ）．A. 若|A |=4，则|S |+|T |⩾8B. 若|A |=4，则|S |+|T |⩽12C. 若|A |=5，则|S |+|T |可能为18D. 若|A |=5，则|S |+|T |不可能为19二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第11题6分函数f (x )=sinx +cosx,x ∈R 的最小正周期是 ，单调递增区间为 ．12、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第12题6分二项式(2x −√x 3)7展开式中，各项系数和为 ，含x 项的系数为 ．13、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第13题4分圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为2cm ，下底面半径为3cm ，圆台母线长为4cm ，则该圆锥的侧面积为 cm 2．14、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第14题6分已知数列{a n }满足a n >0，前n 项和为S n ，若a 3=3，且对任意的k ∈N ∗，均有a 2k 2=2a 2k−1+1，a 2k+1=2log 2a 2k +1，则a 1= ；S 20= ．15、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第15题4分若a ，b 是正实数，且a +b =1，则1a +1ab 的最小值为 ．16、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第16题6分袋子里装有编号分别为“2，3，3，4，4，5”的6个大小、质量相同的小球，小明从袋子中一次任取2个球，若每个球被取到的机会均等，记取出的2个小球编号之和为X ，编号之差的绝对值为Y ，记ξ=X +Y ，则P (ξ=6)= ， E (ξ)= ．17、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第17题4分若平面向量a →，b →，c →满足a →⋅(a →+c →)=0，|c →|=1，|a →+b →−2c →|=2，则a →⋅b →的最大值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第18题14分在锐角三角形△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m→=(cosC,cosA)与n→=(2b−c,a)平行．(1) 求角A的大小．(2) 求bc的取值范围．19、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第19题15分在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AD=2，∠DAB=60°，△APB为等腰直角三角形，PA=PB=2√2，过CD的平面分别交线段PA，PB于M，N，E在线段DP上（M，N，E不同于端点）．(1) 求证：CD//平面MNE．(2) 若E为DP的中点，且DM⊥平面APB，求直线PA与平面MNE所成角的正弦值．20、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第20题15分已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，当n⩾2(n∈N∗)时，(n−1)S n−(n+1)S n−1=13(n3−n)．(1) 证明{S nn(n+1)}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式．(2) 记数列b n=a2n+1a2n (n∈N∗)，记Tn为{b n}前n项的积，证明：T n>n+1．21、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第21题15分如图，已知抛物线y2=x，过点M(1,0)作斜率为k(k>0)的直线l交抛物线于A，B两点，其中点A 在第一象限，过点A作抛物线的切线与x轴相交于点P，直线PB交抛物线另一点为C，线段AC交x轴于点N．记△APC，△AMN的面积分别为S1，S2．(1) 若k=1，求|AB|．(2) 求S1的最小值．S222、【来源】 2021年浙江高三二模名校新高考研究联盟（Z20联盟）第22题15分已知函数ℎ(x)=(x2−2x)lnx−a(x2+2x)(a∈R)．(1) 若a为整数，且ℎ(x)⩾0在(0,+∞)上恒成立，求a的最大值．x2的两个极值点分别为x1，x2，且x1<x2，证明：x2>(2) 若函数H(x)=ℎ(x)+2x−12(2a+1)x1．1 、【答案】 D;2 、【答案】 C;3 、【答案】 D;4 、【答案】 C;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 A;8 、【答案】 C;9 、【答案】 B;10 、【答案】 D;11 、【答案】2π;[2kπ−3π4,2kπ+π4](k∈Z);12 、【答案】1;14;13 、【答案】36π;14 、【答案】1;2146;15 、【答案】3+2√2;16 、【答案】15;124 15;17 、【答案】13;18 、【答案】 (1) A=π3．;(2) bc ∈(12,2)．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √33．;20 、【答案】 (1) 证明见解析；a n=n2．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) √10．;(2) 2√2+3．;22 、【答案】 (1) −1．;(2) 证明见解析．;。
2021届浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三下学期2月返校联考数学试题(解析版)
2021届浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三下学期2月返校联考数学试题一、单选题1．已知集合{}2{|04},|230M x x N x x x =<<=-++>，则M N ⋃=（ ） A ．()(),10,-∞-+∞B ．(0，3)C ．(-3，4)D ．(-1，4)【答案】D【分析】解一元二次方程求集合N ，应用集合的并运算求M N ⋃即可. 【详解】由题意，{|13}N x x =-<<，而{|04}M x x =<<， ∴{|14}M N x x ⋃=-<<. 故选：D2．已知i 是虚数单位，复数()3a ia R i-∈的虚部为1，则复数2z ai =+的模为（ ）ABCD ．3【答案】B【分析】根据复数的除法运算，化简3a ii-，由题中条件，求出a ，再由模的计算公式，即可求出结果.【详解】因为22333a i ai i ai i i--+==---，又其虚部为1，则1a -=，所以1a =-， 因此22z ai i =+=-，所以z ==.故选：B.3．已知实,x y 满足约束条件121050x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =-+的最小值是（ ） A ．-4 B ．-1C ．2D ．-5【答案】A【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，将2z x y =-+化为2y x z =+，观察图形可得，当直线2y x z =+过点C 时，z 最小，联立方程21050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得()3,2C ，则min 2324z =-⨯+=-.故选：A.4．已知m ，n 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】由//m n 能根据面面垂直的判定定理推出αβ⊥，但由αβ⊥，不能确定m ，n 的位置关系.【详解】若//m n ，则由m α⊥，可知n α⊥，又n β⊂，故αβ⊥ 若,m n αβ⊥⊂，αβ⊥，则m ，n 位置关系不确定. “αβ⊥”是“//m n ”的必要不充分条件 故选：B【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.5．某几何体的三视图如图所示，若棱长为a 的正方体的外接球表面积为12π，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．10C ．143D ．263【答案】A【分析】有三视图还原几何体的直观图，由正方体外接球表面积，求棱长a ，进而求几何体的体积即可.【详解】由三视图可得几何体为正方体中的ABD ECF -部分，如下图示：由题意知：图示正方体的外接球表面积2412ππ==S r ，即3r =，∴223412a r ==，即2a =，∴几何体体积为32315102322123a a a a V =-⋅==.故选：A6．函数()sin 1a xx xf x a ⋅=-的图像不可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】结合题中所给的函数解析式，对选项中所给的函数图象逐一分析，得到在什么情况下可取，利用sin [1,1]x ∈-，得到C 项不可能，得到答案. 【详解】当a 为正偶数时，()f x 为奇函数，图象关于原点对称， 且()f x 的符号与sin x 的符号相同，所以A 项可以； 当1a n=，且n 为偶数时，其定义域为(0,)+∞， 此时01a <<，所以10x a -<，而0a x >，所以当sin 0x >时，()0f x <，当sin 0x <时，()0f x >，所以B 项可以； 当a 为不等于1的正奇数时，()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称， 且()f x 的符号与sin x 的符号相同，所以D 项可以；因为只要a 的值确定了，1a x xa -的符号就可以确定，而sin x 的符号是不确定的，所以()f x 的图象不会都落在x 轴的上方，所以C 项不可以； 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关图象识别问题，解题思路如下：（1）观察题中所给的函数解析式，对选项中的图象逐一分析，得到对应参数取哪些值时可以得到相应的图，即可认为是可以的；（2）对参数的值进行对比，得到部分式子的符号，结合正弦函数的值域，得到其应该有零点，且函数值即有正值也有负值，分析得到结果； （3）对比得到答案.7．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2c =. 【详解】由题意，渐近线方程为by x a=±， ∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =， ∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =，∴24c ==当且仅当22a =时等号成立. 故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方8．十三世纪意大利数学家列昂那多.斐波那契从兔子繁殖中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列{}n a 满足以下关系：()*12121,1,3,n n n a a a a a n n N--===+≥∈，记其前n 项和为n S ，若2020(a m m =为常数)，则2018S 的值为（ ）A ．2m -B ．1m -C ．mD ．1m +【答案】B【分析】由()*123,n n n a a a n n N--=+≥∈关系，可得202022018aa S =+，结合已知条件即可求2018S .【详解】202020192018a a a m =+=，201920182017a a a =+，201820172016a a a =+，…，3212a a a =+=，∴20202123201822018...a a a a a a a S m =+++++=+=，而21a =， ∴20181S m =-. 故选：B9．在正三棱台111ABC A B C -中，1113362AB AA A B ===，D 是BC 的中点，设1A D 与1,,BC BB BA 所成角分别为,,αβγ，则（ ）A ．αγβ<<B ．αβγ<<C ．βγα<<D ．γβα<<【答案】D【分析】设111ABC A B C 、的中心分别为1O O ，，所以1OO 垂直于上下底面， D 是BC 的中点，所以DO BC ⊥，取BA 的中点N ，则ON AB ⊥，分别以1ON OD OO 、、为x 、y 、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，利用夹角公式可得答案. 【详解】如图正三棱台111ABC A B C -中，111ABC A B C 、均为正三角形，设111ABC A B C 、的中心分别为1O O ，，所以1OO 垂直于上下底面， D 是BC 的中点，所以DO BC ⊥，取BA 的中点N ，则ON AB ⊥，分别以1ON OD OO 、、为x 、y 、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，因为1113362AB AA A B ===，所以1116243AB AA A B BD ====，，， ，2226933AD AB BD =-=-=，取11B C 中点F ，则2211116423A F A B B F =-=-=，因为1O O ，为正三角形111ABC A B C 、的中心，所以111:2:1:2:1AO OD AO O F ==，，所以233AO OD ==，，1114323AO O F ==，，作1A G AD ⊥交AD 于G ，则11GO A O =，234323AG AO GO ==-=-，所以222112326433AG AA AG ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()()()14326023,0,03,0,33,0,33,0,0,33A D B C A ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，， 所以173260,A D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，()60,0BC =-，，13261,BB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，-，()333,0BA =--，，所以11cos 0A D BC A D BCα⋅==⋅，11111519cos 419194A D BB A D BB β⋅===⨯⋅⨯， 11212119cos 2196A D BA A D BAγ⋅===⨯⋅⨯， 综上所述，cos cos cos αβγ<<，αβγ>>. 故选：D.【点睛】本题考查了线线角的求法，关键点是建立空间直角坐标系，利用向量数量积公式求得答案，考查了学生的空间想象力和运算能力.10．已知实数,x y 满足221,01,01x y x y +=<<<<，当41x y +取最小值时，x y的值为（ ）A B C D ．1【答案】A 【分析】先设(0)x m m y =>，即x my =，结合题的条件，得到2211y m =+，将题中式子进行变形41414m x y my y my ++=+==到22816()817f m m m m m=++++，利用导数研究函数的最值即可得结果. 【详解】设(0)xm m y=>，即x my =，因为221,01,01x y x y +=<<<<， 所以2221m y y +=，所以2211y m =+，所以41414m x y my y my ++=+== 令22222222(4)(1)(816)(1)816()817m m m m m f m m m m m m m +++++===++++， 23338328(4)8'()282(4)(2)(4)m f m m m m m m m m +=+--=+-=-+，因为0m >，所以当0m <<'()0f m <，当m >'()0f m >()f m 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当m =时，()f m 取得最小值，故选：A.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关与最值相联系的问题，在解题的过程中，(0)xm m y=>，将其转化为求关于m 的函数的最值问题解决是解题的关键.二、填空题11．在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲､乙､丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为X ，则X 的数学期望为___________. 【答案】93125【分析】由题意可知抽得三球编号和为4,8,12三种情况的基本事件有31种，而总事件有125种，即三个球编号之和恰为4的倍数的概率为31125，则有31~(3,)125X B ，根据二项分布的期望公式求期望即可.【详解】三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件：(1,1,2)有3种、(1,2,5)有6种、(1,3,4)有6种、(2,2,4)有3种、(2,3,3)有3种、(2,5,5)有3种、(3,4,5)有6种、(4,4,4)有1种，而总共有555125⨯⨯=，∴三个球编号之和恰为4的倍数的概率为31125，由题意31~(3,)125X B ， ∴X 的数学期望：3193()3125125E X =⨯=. 故答案为：93125. 【点睛】关键点点睛：根据编号和分组得到三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件数，进而确定其概率，由人数为X 服从31(3,)125B 的二项分布，求期望. 12．已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1-【分析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值.【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-，当sin a x <时，211()(sin )4216b a f x x -=++-， 令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-； 当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-；当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭， ∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增； 11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1. 故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：分类讨论参数a 的取值范围，根据函数不等式恒成立求代数式范围，其中综合应用二次函数、三角函数的性质研究复合函数的单调性，进而确定代数式的最大值.13．已知||||1OA OB ==，若存在,m n R ∈，使得mAB OA +与nAB OB +夹角为60，且()()12mAB OA nAB OB +-+=，则AB 的最小值为___________. 【答案】132【分析】设a OA mAB OA '==+，b OB nAB OB '==+可得,,,A A B B ''共线，又1||||2a b B A ''-==，当1||2B A ''=为最小时AB 最小，而此时A '、B '关于y 轴对称，结合已知即可求AB 的最小值. 【详解】由题意，AB OB OA =-，∴令(1)a OA mAB OA m OA mOB '==+=-+，(1)b OB nAB OB n OB nOA '==+=+-，故有,,,A A B B ''共线，∵12a b B A '='-=，故当且仅当1||2B A ''=为最小时，AB 最小， ∴有A '、B '关于y 轴对称时，AB 最小，此时O 到AB ||3324B A ''=， ∴||3131216AB =-=，即132AB =.13. 【点睛】关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知a OA mAB OA '==+，b OB nAB OB '==+、OA 、OB 的终点共线，且1||||2a b B A ''-==可分析得A '、B '关于y 轴对称时，AB 最小，进而求最小值即可.三、双空题14．设等差数列{}n a 的公差为非零常数d ，且12a =，若124,,a a a 成等比数列，则公差d =___________，n a =___________. 【答案】2 2n【分析】由等差数列通项及等比数列的性质可得2(2)2(32)d d +=+，即可求d ，并写出通项公式n a .【详解】由题意，2141,3a a d a a d =+=+，又12a =且124,,a a a 成等比数列， ∴2(2)2(32)d d +=+，即220d d -=且0d ≠，故2d =， ∴1(1)2n a a n d n =+-=. 故答案为：2，2n15．圆22:430C x y x +-+=的半径为___________，若直线1y kx =+与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】1 4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）把圆的一般方程化成标准式即得圆的半径； （21≤即得解.【详解】（1）由题得圆的方程为22(2)1x y -+=，所以圆的半径为1； （2）因为直线10kx y -+=与圆C 有公共点， 221,4411k k k ≤∴++≤+，所以24340,(34)0,03k k k k k +≤∴+≤∴-≤≤. 故答案为：1；4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】方法点睛：判断直线和圆的位置关系常用的有两种方法：（1）判别式法（利用二次方程的判别式∆判断）；（2）几何法（比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小）.要根据已知条件灵活选择方法求解.16．二项式7x ⎛ ⎝的展开式中，各项系数和为___________，含3x 项的系数是___________.【答案】1- 280-【分析】令1x =，可得各项系数和；写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数为3，解出参数r 的值，代入计算，即可得出含3x 项的系数． 【详解】令1x =，则各项系数和为()7121-=-设()()14773317722rr r r r r rr T C x x C x ---+⎛⎫=⋅⋅-⋅=⋅-⋅ ⎪⎝⎭令4733r -=，解得3r =，即()3333472280T C x x =⋅-⋅=-， 故答案为：1-；280-17．在ABC 中，()cos 2cos 0a C c b A +-=，2b =，,43B ππ≤≤则A =___________边长c 的取值范围为___________.【答案】3π1⎡⎤+⎣⎦ 【分析】首先根据正弦定理边化角公式得到()sin cos sin 2sin cos 0A C C B A +-=，再利用正弦两角和公式即可得到1cos2A=，从而得到3Aπ=，利用正弦定理得到2sin1sinCcB==+，再求边长c的取值范围即可.【详解】因为()cos2cos0a C cb A+-=，所以()sin cos sin2sin cos0A C CB A+-=，即sin cos cos sin2sin cos0A C A CB A+-=，()sin2sin cos0A CB A+-=，sin2sin cos0B B A-=，因为sin0B>，所以1cos2A=，0Aπ<<，所以3Aπ=.由正弦定理得：2sin sincB C=，解得22sin2sin31sin sinBCcB Bπ⎛⎫-⎪⎝⎭====+，因为43Bππ≤≤，所以1tan B≤211tan B≤+≤，即1c⎡⎤∈⎣⎦.故答案为：3π；1⎡⎤+⎣⎦四、解答题18．已知()()()0,3sin,cos,cos,cos,a x xb x x f x a bωωωωω>=-==⋅，12,x x是()12y f x=-的其中两个零点，且12minx xπ-=（1）求()f x的单调递增区间；（2）若10,,2210fπαα⎛⎫⎛⎫∈=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin2α的值.【答案】（1）(),63k k k Zππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）2450+.【分析】（1）化简可得()1sin262f x xπω⎛⎫=--⎪⎝⎭，由12minx xπ-=可得Tπ=，则可得1ω=，令222,,262k x k k Zπππππ-+≤-≤+∈可解得单调递增区间；（2）由题可得3sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而4cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则可求出sin α和cos α的值，即可求出所得.【详解】解：（1）()21cos2cos cos 2xf x x x x x ωωωωω+=-=-111cos2sin 22262x x x πωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 12,x x 是函数()1sin 2126y f x x πω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭的两个零点， 即12,x x 是方程sin 216x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭的两个实根，且12min x x π-= T π∴=，222πωπ∴==，则1ω=，()1sin 262f x x π⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭令222,,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得,.63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x ∴的单调递增区间为(),.63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）113sin ,sin 2621065f αππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=∴-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.40,,cos 266365πππππααα⎛⎫<<∴-<-<∴-= ⎪⎝⎭4sin sin sin cos cos sin 66666610ππππππαααα⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4334332473sin22sin cos 2101050ααα+-+∴==⨯⨯=. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，解题的关键是正确利用二倍角公式、辅助角公式、和差化积公式进行化简.19．如图1，在矩形ABCD 中，22,BC AB E ==是AD 中点，将CDE △沿直线CE 翻折到CPE △的位置，使得3PB =，如图2.（1）求证：面PCE ⊥面ABCE ； （2）求PC 与面ABP 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）22211. 【分析】（1）连结BE ，可得BE EC ⊥，结合两图，可得BE EC ⊥，BE PE ⊥，又EC PE E ⋂=，根据线面垂直的判定定理证得BE ⊥面PEC ，再利用面面垂直的判定定理证得结果；（2）以点A 为原点，分别以,AB AE 直线为x 轴，y 轴，以经过点A 且垂直于平面ABCE 的直线为z 轴建立直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值得到结果. 【详解】（1）证明：连结BE ，由图1可得BE EC ⊥在图2中2,1,3,BE PE PB BE PE ===∴⊥又EC PE E BE ⋂=∴⊥面PECBE ∴⊂面ABCE ∴面PCE ⊥面ABCE（2）以点A 为原点，分别以,AB AE 直线为x 轴，y 轴，以经过点A 且垂直于平面ABCE 的直线为z 轴建立直角坐标系.由题意可知，()()()1321,0,0,1,2,0,0,1,0,,,222B C E P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()132,,,1,0,0222AP AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭设面ABP 的法向量为(),,n x y z =则0,0n AP n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩令2,y =得3,z =-所以()0,2,3n =-11,,222PC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 222sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅∴===⨯ 所以直线PC 与面ABP 所成角的正弦值为11. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题方法如下：（1）结合平面几何的知识得到线线垂直，利用线面垂直的判定定理证得线面垂直； （2）建立适当的坐标系，求得平面的法向量和直线的方向向量，求得其所成角的余弦值，进而得到线面角的正弦值.20．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2*2(2),n n S a n n N =--∈（1）求证：数列{}21n a n +-是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：*8,3n T n N <∈.【答案】（1）证明见解析，221nn a n =-+；（2）证明见解析.【分析】（1）构造等式2112(3)n n S a n --=--(2)n ≥，利用两式相减可得()12252n n a a n n -=+-≥，再根据等比数列的定义和通项公式可得解；（2）当1,2n n ==时，不等式显然成立，当3n ≥时，利用1118215322(1)2(1)28n n n n n n a =<=-⨯--放大后，根据等比数列的求和公式求和，然后再放大即可得证.【详解】（1）22(2),n n S a n =--当1n =时，1111211S a a a ==-⇒=2n ≥时2112(3)n n S a n --=--.两式相减，得221122(2)(3)n n n n n S S a a a n n ---==---+-得()12252n n a a n n -=+-≥，则()()11111223212252122112323n n n n n n a n a n a n n a n a n a n -----+-+-+-+-===+--+-+-为常数 ∴数列{}21n a n +-是等比数列，首项为1212a +-=，121222n n n a n -∴+-=⋅=，所以221n n a n =-+，（2）当1n =时，111813T a ==<， 当2n =时，2121181123T a a =+=+=<， 当3n ≥时，11121221212n n n n n a n ==--+⎛⎫- ⎪⎝⎭， 令212n nn b -=，则11212n n n b +++=，1121212212(21)2n n n nn b n n b n ++++==--， 因为3n ≥，所以212(21)320n n n +--=-<，所以212(21)n n +<-，所以11n nb b +<，所以1n n b b +<，所以当3n ≥时，数列{}n b 单调递减， 所以当3n ≥时，3212315228n n n b -⨯-=<=， 所以当3n ≥时，1118215322(1)2(1)28nn nn n n a =<=-⨯--， 所以当3n ≥时，348111113222n nT ⎛⎫≤+++++⎪⎝⎭21118288182221338312n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⨯<+⨯⨯=-，综上所述：*8,3n T n N <∈. 【点睛】关键点点睛：当3n ≥时，利用1118215322(1)2(1)28nn nn n n a =<=-⨯--放大后再求和是解题关键.21．已知椭圆221:12y C x +=，拋物线22:2(0)C y px p =>，点()1,0A -，斜率为k的直线1l 交拋物线于B C 、两点，且12AC CB =，经过点C 的斜率为12-k 的直线2l 与椭圆相交于P Q 、两点.（1）若拋物线的准线经过点A ，求拋物线的标准方程和焦点坐标：（2）是否存在p ，使得四边形APBQ 的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及p 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）标准方程为24y x =，焦点(1，0)；（2）存在，面积最大为226451p =. 【分析】(1)由抛物线的准线方程,2px =-根据条件可得1,2p -=-可求出p 的值，从而得到答案.(2) 设()()()()11223344,,,,,,,B x y C x y P x y Q x y ，由12AC CB =，即得到211,3y y =设点A 到2l 的距离d ，则四边形APBQ 的面积332APQS SPQ d ==，然后方程联立求出弦长PQ ，由点到直线的距离公式求出d ，从而求出答案.【详解】解：（1）抛物线的准线方程,2p x =-焦点坐标,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 则1,2,2pp -=-=抛物线的标准方程为24,y x =焦点(1，0) （2）设()()()()11223344,,,,,,,B x y C x y P x y Q x y由1,2AC CB =得点()1,0A -在直线1l 上，且121112,1312y y y ==+ 设点A 到2l 的距离d ，四边形APBQ 的面积332APQS SPQ d ==. ()()1233:1,:2kl y k x l y x x y =+=--+由()212y k x y px⎧=+⎨=⎩,得2220py y p k-+= 则2224Δ80,2p pp k k =-><,则 12122,2p y y y y p k +== 因为123,y y =所以2222221,,323y y p x p === 所以21,,3C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 22222233,822y y p k p x === 由12,l l 的斜率分别为1,2k k -、可设221:,23k l y x y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有2231413AC y yk k ===+ 故直线22239:88y y l y x =-+，令283t y =- 则直线2:3l x ty =+代入椭圆方程2212y x +=，得()221212160t y ty +++=()23434221216Δ1640,,1212t t y y y y t t =->+=-=++34PQ y y =-=点A 到2l 的距离d =四边形的面积289S t ==≤=-+当且仅当21764,251t p==时面积最大为【点睛】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和求四边形面积的最值问题，解答本题的关键是用点的坐标表示出故直线22239:88y y l y x =-+，令283t y =-，进一步表示出34PQ y y =-=，再求出点A 到2l 的距离d =，得到S =，属于难题.22．已知函数()1xf x e ax =--（1）讨论函数()()f xg x x=在其定义域内的单调性； （2）若()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，设()()xh x e f x =，证明：()h x 在R 上存在唯一的极大值点t ，且()3.16h t <【答案】（1）在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增；（2）证明见解析. 【分析】（1）先对函数()g x 求导，得()()211x x e g x x '-+=，令()()11xx x e ϕ=-+，则()xx xe ϕ'=，得到()x ϕ在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，结合其定义域，得到()()00ϕϕ>=x ，进而求得()g x 的单调区间； （2）根据()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，可确定1a =，()()()()1,22x x x x h x e e x h x e e x '=--=--，利用导数研究函数的图象的走向，研究得其极值点以及极值的范围，证得结果.【详解】（1）由题意()1x e ax g x x--=，定义域为()()()()211,00,,x x e g x x ∞∞'-+-⋃+=令()()11xx x e ϕ=-+，则()xx xe ϕ'=当0x <时，()0;x ϕ'<当0x >时，()0x ϕ'>()x ϕ∴在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增()()00,x ϕϕ∴>=即()g x '在(),0-∞和()0,∞+上均大于零 ()g x ∴在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增（2）易知()x f x e a '=-，由()10xf x e ax =--≥对任意的x ∈R 恒成立，即1x ax e ≤-恒成立，当0x =时显然成立，当0x >时，1x e a x-≤恒成立，当0x <时，1x e a x -≥恒成立，令1()x e u x x -=，则22(1)(1)1'()x x x e x e x e u x x x ⋅---+==， ()(1)1x v x x e =-+，'()x v x e =，可知'()0v x >，()v x 在R 上单调递增，且(0)110v =-+=，所以当0x <时，'()0u x <，当0x >时，'()0u x >，所以1()x e u x x -=在(,0)-∞上单调减，在(0,)+∞上单调增，且001lim lim 11x xx x e e x →→-==，所以1a =， 此时()()()()1,22xxx x h x eex h x e e x '=--=--令()22,xx e x τ=--则()21xx e τ='-当ln2x <-时，()0;x τ'<当ln2x >-时，()0x τ'>()x τ∴在(),ln2∞--上单调递减，在()ln2,∞-+上单调递增又()()3322223212200,20,0224e ee τττ⎛⎫=-=>-=-=-< ⎪⎝⎭∴存在唯一实数32,,2t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭使得()220t t e t τ=--=()h x ∴在(),t -∞上递增，(),0t 上递减，()0,∞+上递增 ()h x ∴在R 上唯一的极大值点，即为.t()()222231122416ttt t t t h t e e t t ++--⎛⎫∴=--=--=<⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，解题思路如下： （1）对函数求导，之后对其导数再求导，结合导数的符号确定函数的单调性，从而确定出导函数的符号，进而求得函数的单调区间；（2）首先利用导数研究恒成立问题，像最值靠拢，利用极限的思想，结合洛必达法则求得参数的值；（3）将参数的值代入函数解析式，利用导数研究其极值点，结合其范围证得结果.。
2020-2021学年浙江省五校联考高考数学二模试卷(理科)及答案解析
浙江省五校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．[0，2）2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2] C．D．[﹣4，5]4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为πD．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，2] C．（0，1] D．（1，2）6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣38．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是；几何体的体积是．10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是；函数f（x）的最大值是．11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15= ；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n项的和为S n，则S2016= ．12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是；x2+y2的最小值是．13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．20．已知正项数列{a n}满足：S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项的和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．[0，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中f（x）=，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，解得：x≥0，即A=[0，+∞），由2x+2＞2，得到y=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞），∵全集为R，∴∁R B=（﹣∞，1]，则A∩∁R B=[0，1]．故选：B．2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在△ABC中，由“a2+b2＜c2”，利用余弦定理可得：C为钝角，因此“△ABC为钝角三角形”，反之不成立．【解答】解：在△ABC中，“a2+b2＜c2”⇔cosC=＜0⇒C为钝角⇒“△ABC为钝角三角形”，反之不一定成立，可能是A或B为钝角．∴△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2] C．D．[﹣4，5]【考点】基本不等式．【分析】对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，可得+=（sin2θ+cos2θ）=5++，利用基本不等式的性质可得其最小值M．由不等式+≥|2x﹣1|恒成立，可得M≥|2x﹣1|，解出即可得出．【解答】解：∵对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，∴+=（sin2θ+cos2θ）=5++≥5+2×2=9，当且仅当时取等号．∵不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴9≥|2x﹣1|，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5，则实数x的取值范围是[﹣4，5]．故选：D．4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为πD．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明即可．B．研究四面体的底面积和高的变化进行判断即可．C．所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C的长度，求出球半径进行计算即可．D．根据正方体内切球和三角形外接圆的关系进行判断即可．【解答】解：A．∵AB1∥DC1，AC∥A1C1，且AC∩AB1=A，∴平面ACB1∥平面A1C1D，长方体的体对角线BD1=，设B到平面ACB1的距离为h，则=×1=h，即h=，则平面ACB1与平面A1C1D的距离d=﹣2h==，故A正确，B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确，C．与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C=，则2R=，R=，则球的体积V==×π×（）3=π，故C正确，D．设与正方体的内切球的球心为O，正方体的外接球为O′，则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球为O′的一个小圆，∵点M在与正方体的内切球的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，∴线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球相切的球的半径，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴线段MN长度的最小值是﹣．故D错误，故选：D．5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，2] C．（0，1] D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数f（x）的图象，问题转化为f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象读出即可．【解答】解：画出函数f（x）在[0，2π]的图象，如图示：，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，即f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，0＜m＜1，故选：A．6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理，化简可得|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，再由三角形的等积法，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，①由直径所对的圆周角为直角，可得PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，②②﹣①2，可得2|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2，即有|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，由三角形的面积公式可得，|PF1|•|PF2|=|PH|•|F1F2|，即有2c2﹣2a2=2ac，由e=可得，e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去）．故选：C．7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣3【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知式子可得sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，保持整体展开变形可得tan（α+β）=2tanα，再由3tan+=1和二倍角的正切公式可得tanα的值，代入计算可得．【解答】解：∵sinβ=3sin（2α+β），∴sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，∴sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα+3cos（α+β）sinα，∴2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，∴tan（α+β）===2tanα，又∵3tan+=1，∴3tan=1﹣，∴tanα==，∴tan（α+β）=2tanα=，故选：A．8．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图所示，O在AC上，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠OAE=30°，由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，由此可得顶点C1到平面α的距离的最大值．【解答】解：如图所示，AC的中点为O，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠AOE=30°由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，C1O=，OE=OA=2﹣x，∴C1E=+2﹣x，令y=+2﹣x，则y′=﹣=0，可得x=，∴x=，顶点C1到平面α的距离的最大值是2（+）．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是8π；几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，由三视图求出几何元素的长度，利用柱体、球体的体积公式计算出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，球和底面圆的半径是1，圆柱的母线长是2，∴几何体的表面积S=4π×12+2π×1×2=8π，几何体的体积是V==，故答案为：．10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是π；函数f（x）的最大值是．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式化f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），由已知求出θ得到a值，则函数的周期及最值可求．【解答】解：∵f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），又x=是函数的一条对称轴，∴，即．则f（x）=．T=；由a=tanθ=tan（）=tan=，得．∴函数f（x）的最大值是．故答案为：．11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15= 3 ；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n 项的和为S n，则S2016= ﹣2100 ．【考点】数列的求和．【分析】利用递推式计算前5项即可发现{a n}为周期为4的数列，同理{b n}也是周期为4的数列，将每4项看做一个整体得出答案．【解答】解：∵a1=2，a n+1=，∴a2==﹣3，a3==﹣，a4==，a5==2．∴a4n+1=2，a4n+2=﹣3，a4n+3=﹣，a4n=．∴a4n+1•a4n+2•a4n+3•a4n=2×=1．∴a1a2a3…a15=a13a14a15=a1a2a3=2×（﹣3）×（﹣）=3．∵b n=（﹣1）n a n，∴b4n+1=﹣2，b4n+2=﹣3，b4n+3=，b4n=．∴b4n+1+b4n+2+b4n+3+b4n=﹣2﹣3++=﹣．∴S2016=﹣×=﹣2100．故答案为：3，﹣2100．12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是24 ；x2+y2的最小值是8 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．第二问，转化为点到原点的距离的平方，求出B的坐标代入求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，由可得，A（8，8）z最大等于2×8+8=24．x2+y2的最小值是可行域的B到原点距离的平方，由可得B（2，2）．可得22+22=8．故答案为：24；8．13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．由于向量与﹣夹角为，可得：∠AOB=θ∈.∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，化简整理可得：=2+﹣=+2，即可得出．【解答】解：不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．∵向量与﹣夹角为，∴∠AOB=θ∈．∴∈，∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，∴=，=sinθ=，∴=2+﹣=+2=+2=+2∈．∴的取值范围是．故答案为：．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是f（x）=4•（）（x∈N*）．【考点】数列与函数的综合．【分析】由题意可得f（x）＞0恒成立，可对等式两边取2为底的对数，整理为log2f（x+1）﹣2=（log2f（x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}为首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式，整理即可得到f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）＞0恒成立，由f（x+1）=2，可得：log2f（x+1）=1+log2，即为log2f（x+1）=1+log2f（x），可得log2f（x+1）﹣2=（log2f（x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}是首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，可得log2f（x）﹣2=（log210﹣2）•（）x﹣1，即为log2f（x）=2+log2•（）x﹣1，即有f（x）=22•2=4•（）．故答案为：f（x）=4•（）（x∈N*）．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是8 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，写出直线AB的方程为（y0﹣y B）x ﹣x0y+x0y B=0，由直线AB与圆相切可得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0，同理：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y A，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，因为S=|y C﹣y B|x0，再结合韦达定理即可求出三角形的最小值．【解答】解：设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，所以直线AB的方程，化简得（y0﹣y B）x﹣x0y+x0y B=0直线AB与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，两边平方化简得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0同理可得：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y C，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，所以y C+y B=，y C y B=，所以S=|y C﹣y B|x0==（x0﹣2）++4≥8，所以当且仅当x0=4时，S取到最小值8，所以△ABC的面积的最小值为8．故答案为：8．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DCB，利用余弦定理可求BD，进而求得AC，AB，利用三角形面积公式即可得解．（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，由已知及基本不等式可求BD的最小值，进而可求AC的最小值．【解答】（本题满分为15分）解：（Ⅰ）∵∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB，可得A，B，C，D四点共圆，∴∠DCB=120°，∴BD2=BC2+CD2﹣2CD•CB•cos120°=1+4+2=7，即BD=，∴，∴，∴．…（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，则：x+y=3，BD2=x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy，∴，当时取到．…17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE 为二面角A﹣BF﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣BF﹣C的余弦值．（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，由AB⊥CF，得GB⊥CF，由此能求出cosθ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面AEF⊥平面CEFB，且EF⊥EC，∴AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE为二面角A﹣BF﹣C的平面角设，，，∴，∴二面角A﹣BF﹣C的余弦值为．（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，如果AB⊥CF，则根据三垂线定理有GB⊥CF，∵△BCF为正三角形，∴，则，∵，∴，∴cosθ的值为．18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．【考点】二次函数的性质；绝对值三角不等式．【分析】（1）由|f（x）|≤得|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，代入解析式即可得出a，b，c的关系，使用放缩法求出|f（2）|的最值；（2）由（1）得出|g（±1）|，故g（x）单调时结论成立，当g（x）不单调时，g（x）=a，利用不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，∴|c|≤，|a+b+c|≤，|a﹣b+c|≤；∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|3（a+b+c）+（a﹣b+c）﹣3c|≤|3（a+b+c）|+|（a﹣b+c）|+|﹣3c|≤=．∴|f（2）|的最大值为．（2）∵﹣≤a+b+c≤，﹣≤a﹣b+c≤，﹣≤c≤，∴﹣1≤a+b≤1，﹣1≤a﹣b≤1，∴﹣1≤a≤1，若c|x|+bx=0，则|g（x）|=|a|，∴|g（x）|≤1，若c|x|+bx≠0，则g（x）为单调函数，|g（﹣1）|=|a﹣b+c|≤，|g（1）|=|a+b+c|≤，∴|g（x）|．综上，|g（x）|≤1．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆立，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出存在点满足．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，∴，解得c2=1，a2=4，b2=3∴椭圆方程为（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=如果要上式为定值，则必须有验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点满足20．已知正项数列{a n}满足：S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项的和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*）与S n﹣12=a13+a23+…+a n﹣13（n≥2，n∈N*）作差、计算可知S n+S n﹣1=，并与S n﹣1﹣S n﹣2=作差、整理即得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知，一方面利用不等式的性质、累加可知（）+（）+（）+…+（）＞，另一方面通过放缩、利用裂项相消法计算可知++…+＜2，进而整理即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），∴S n﹣12=a13+a23+…+a n﹣13（n≥2，n∈N*），两式相减得：﹣=，∴a n（S n+S n﹣1）=，∵数列{a n}中每一项均为正数，∴S n+S n﹣1=，又∵S n﹣1﹣S n﹣2=，两式相减得：a n﹣a n﹣1=1，又∵a1=1，∴a n=n；证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，∴，即，令k=1，2，3，…，n，累加后再加得：（）+（）+（）+…+（）＞2+2+…+2+=（2n+1）=，又∵+++…+＜3等价于++…+＜2，而=＜=（﹣）=（﹣）＜（﹣）=2（﹣），令k=2，3，4，…，2n+1，累加得：++…+＜2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）=2（1﹣）＜2，∴．。
浙江省金丽衢十二校2021届高三下学期第二次联考数学答案
浙江省金丽衢十二校2021届高三下学期第二次联考数学试题参考答案1．B 【思路点拨】分别求两个集合，再求AB .【解析】2x x >，1x >或0x <，得{1A x x =>或0}x <，11111x x -<⇔-<-<，得02x <<，{}02B x x =<<，{}12A B x x ⋂=<<.故选：B2．D 【思路点拨】由线面垂直性质得到线线平行，将空间点面距离转化为平面线段长度，再由平面中点坐标公式求解即可.【解析】如图，设AB 的中点为C ，过A 、B 分别作平面α的垂线，垂足为A '、B '. 则//AA BB ''，,,,A A B B ''四点共面. 过C 作CC A B '''⊥，垂足为C '，则//CC AA ''， 又AA α'⊥，则CC α'⊥.即C C '即为所求点到平面α的距离. 在平面AA BB ''中，5,3A A BB ''==，C 为AB 中点，则3512C C -+'==. 故选：D.3．A 【思路点拨】由已知条件可判断点P 在双曲线的左支上，设双曲线的右焦点为1F ，则由双曲线的定义可得118PF =，再利用三角形中位线定理可求得答案【解析】解：由22525x y -=，得221255x y -=，则2225,5a b ==，所以230c =，所以5,5,30a b c ===， 设双曲线的右焦点为1F ，因为P 到其左焦点F 的距离为8530a c <+= 所以点P 在双曲线的左支上，所以1210PF PF a -==，所以118PF =， 因为M 为PF 的中点，O 为1FF 的中点， 所以1192OM PF ==， 故选：A4．A 【思路点拨】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．【解析】作出可行域如图阴影部分所示，由1011z x y =+可得：10=1111z y x -+， 如图示，把直线10=1111zy x -+平移到()3,4A 时直线的纵截距最小， 此时103114=74z =⨯+⨯最小. 故选：A5．C 【思路点拨】化简方程，得到圆心和半径，求出OC ，得到sin AOC ∠，利用二倍角公式得到答案.【解析】化简()()222166800a x y a x y a +-++=≠得222(3)(4)9x a y a a ++-=，∴圆心为(3,4)a a -，半径为3a易知5OC a == ∴33sin 55AC a AOC OC a ===∠ ∴cos AOB ∠=223712sin 12525AOC ⎛⎫-=-⨯= ⎪⎝⎭∠故选：C.6．A 【思路点拨】利用充分条件和必要条件的定义逐个分析求解即可【解析】解：对于A ，因为0a >，0b >，1115a b +≤，所以5()a b ab +≤，所以ab ≥即100ab ≥，当且仅当a b =时取等号，而当100,1a b ==时，满足100ab ≥，而不满足1115a b +≤，所以“100ab ≥”的一个充分不必要条件是1115a b +≤， 所以A 正确； 对于B ，取1,20a b ==时，满足2120a b +=≥，但20ab =不满足100ab ≥，所以20a b +≥为不充分条件，所以B 错误；对于C ，取2,a e b e ==时满足22210ln ln ln ln a b e e e e a b e e--=-≤--=，但3ab e =不满足100ab ≥，所以10ln ln a ba b--≤为不充分条件，所以C 错误；对于D ，取1,20a b ==时，满足221400200a b ++=≥，但20ab =不满足100ab ≥，所以22200a b +≥为不充分条件，所以D 错误， 故选：A7．D 【思路点拨】分析各选项中函数的奇偶性，结合特殊值法可得出合适的选项. 【解析】由图可知，函数()f x 为奇函数. 对于A 选项，函数()x x f x e =的定义域为R ，()()x xx xf x f x e e---=≠-=-， 函数()x xf x e=不是奇函数，排除A 选项； 对于B 选项，函数()1x x f x e +=的定义域为R ，()()11x xx x f x f x e e --+-=≠-=-， 函数()1x x f x e+=不是奇函数，排除B 选项；对于C 选项，由0x x e e --≠可得0x ≠，即函数()2x xe ef x -=-的定义域为{}0x x ≠， ()()2x x f x f x e e --==--，函数()2x xe ef x -=-为奇函数，()22221f e e-=<-， C 选项不满足要求； 对于D 选项，由0xxe e--≠可得0x ≠，即函数x x x xe ef xe e的定义域为{}0x x ≠，()()x xx x e e f x f x e e --+-==--，函数x x x xe ef xe e为奇函数，当0x >时，()1x xx xe ef x e e--+=>-，满足题意. 故选：D.8．D 【思路点拨】根据侧视图得侧棱长与底面的高，结合垂直关系即可求解正视图的腰长． 【解析】将正三棱锥置于一长方体中如图所示：则正视图为MEF ,由侧视图可得27,33==MG AD 由于O 为底面中心，所以133==ED AD 27==MD MG 所以正视图的腰长222835=--=EM MD ED 故选：D9．A 【思路点拨】过A 作11//l B D ，作1PF AD ⊥，PE l ⊥，作PH ⊥底面ABCD ，根据图形可将PF PH =转化为6PF PE =，即可确定P 点轨迹. 【解析】过A 作11//l B D ，作1PF AD ⊥，PE l ⊥，作PH ⊥底面ABCD ，如图，设正方体棱长为1，由平面几何知识可得菱形11D B 与AE 6260︒=所以6sin 6PEH ∠==所以6PF PH PE ==所以在平面11AB D 内满足6PF PE =所以P 点的轨迹是直线， 故选：A 【点睛】关键点点睛：该题难度大，关键在于将点P 到面的距离与到线的距离相等在平面内转化出来，通过辅助线转化为平面内动点到两线的距离比为常数得到轨迹，属于难题. 10．C 【思路点拨】对于选项A 、B ：当0a =时，{}20,21,5,11,15,30,0S =---，则()=10f S . 由()f S 的定义，计算出所有()f S 的值，即可判断； 对于C 、D ：根据()g S 的定义，计算()g S ，进行判断. 【解析】对于选项A 、B ：当0a =时，{}20,21,5,11,15,30,0S =---，则()=10f S .（1）当S 的所有非空子集中只有一个元素时，显然所有的()i f A 的和为10；（2）当S 的所有非空子集中有两个元素时，共有2721C =个子集，且21个子集共有42个元素，所以S 的每一个元素都被取到6次（每个元素被取到的可能性相等），此时所有的()i f A 的和为()6=60f S ⨯；同理，以此类推，可类推出子集有3、4、5、6、7个元素时，()i f A 之和分别为()37376531015073217C f S ⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯； ()4747654410200743217C f S ⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯； ()575765435101507543217C f S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯； ()6767654326106076543217C f S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯； ()777765432171010776543217C f S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯. 故A 、B 错误； 对于C 、D ：当1a =-时，{}20,21,5,11,15,30,1S =----.（1）当子集中有7个元素时，()()()()()7120215111530g B =-⨯-⨯⨯⨯-⨯-⨯, （2）当子集中有6个元素时，记61B 为不含元素-1的子集，则有()()617g B g B =-. 其他含-1的子集分别即为()627i B i ≤≤，则有()()()7767612iii i g B g B g B ===-+∑∑.同理可以得到：当当子集中有5个元素时，记51B 为不含元素-1的子集，则有()()75162i i g B g B ==-∑.其他含-1的子集分别即为()627i B i ≤≤，则有()()()7767612iii i g B g B g B ===-+∑∑，所以对于由()7n n <个元素的子集，都可以分成两类：含-1的与不含-1的，其中，不含-1的部分刚好为()1n +元素中含-1的子集元素积之和的相反数，那么相加可以抵消，指导最后仅有一个元素的子集时，仅有含-1的一个子集未被抵消，则S 的所有()i g C 之和为-1，故C 正确，D 错误. 故选:C11．5【思路点拨】设(),z a bi a b R =+∈，列方程，利用复数相等的条件求出a 、b ，即可求出z .【解析】设(),z a bi a b R =+∈,则22z a b =+所以22=13i a a bi b ++++，由复数相等的条件可得：22=130a b a b ⎧⎪++⎨+=⎪⎩，解得：43a b =⎧⎨=-⎩，所以()22435z =+-= 故答案为：5 12．154【思路点拨】根据题意建立直角坐标系，把CE CF ⋅转化为()215=1+4CE CF t -，利用二次函数求最值即可.【解析】如图示，以A 为原点，AB 为x 轴正方向，AD 为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则：、()()()30,0,3,0,,2,0,2,2A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭不妨设()()(),0,1,002E t F t t +≤≤则31,2,,2,22CE t CF t ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()2313115,2,2=+4=1+22224CE CF t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----⨯-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴CE CF ⋅的最小值为154，当且仅当1t =时取得. 故答案为：15413．88【思路点拨】从56160S S +=入手，换成1,a d 的形式，因为关于d 的方程有实数解，故0∆≥，求出其范围即可．【解析】由题意，31020a a d <⇒+<.()()5611160510615160S S a d a d +=⇒+++=.设15a d x +=.则()()1151061516015(3)(25)160a d a d x d x d +++=⇔--+=2222516530160d xd x ⇔-++=．因为关于d 的方程有实数解，故0∆≥.即()22(165)422530160x x --⨯⨯+≥，解得8x ≥或8x ≤-（舍去）. 故()1111151188S a d x =+=≥.此时12044,315a d =-=，满足120a d +<． 即11S 的最小值为88. 故答案为：88．14．16- 20- 【思路点拨】令()()43270127112x x a a x a x a x +-=++++中的1x =，可求出017a a a +++的值，()()43112x x +-展开式中6x 的系数可由以下二种方式得到：一是用4(1)x +展开式中含3x 的项乘以3(12)x -的展开式中含3x 的项，另一种是用4(1)x +展开式中含4x 的项乘以3(12)x -的展开式中含2x 的项，从而可求得结果【解析】解：将1x =代入()()43270127112x x a a x a x a x +-=++++可得43017(11)(121)16a a a +++=+⨯-⨯=-，根据题意可知6a 为()()43112x x +-展开式中6x 的系数，而()()43112x x +-展开式中6x 的系数可由以下二种方式得到：一是用4(1)x +展开式中含3x 的项乘以3(12)x -的展开式中含3x 的项，另一种是用4(1)x +展开式中含4x 的项乘以3(12)x -的展开式中含2x 的项，因为4(1)x +展开式中含3x 的项为134C x ，含4x 的项为044C x ，3(12)x -的展开式中含3x 的项为333(2)C x -，含2x 的项为223(2)C x -，所以()()43112x x +-展开式中6x 的项为134C x 333(2)C x -044C x +223(2)C x -666321220x x x =-+=-，所以620a =-， 故答案为：16-，20-15．⎡-⎣ 【思路点拨】先把()f x 化简，利用换元法借助于sin y x =的性质求出值域；由()f x =712x π=，代入cos 2x 即可.【解析】()()1sin =2sin =2sin 0,23f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫=----∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∵()0,x π∈，∴2,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 令2,,333t x t πππ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭∴32sin 2,3,t t y ππ⎛⎫∈-= ⎝-⎪⎭，∴min2sin 2=2y π=--，32sin y π⎛- ⎝-⎪⎭<⎫∴值域为：⎡-⎣；当()f x =()0,x π∈，即2sin =3x π⎛⎫--⎪⎝⎭712x π=，所以，此时cos 2x =77cos 2cos 1262ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭故答案为：⎡-⎣； 16．23 95【思路点拨】依题意可以先求出随机变量ξ的分布列，由此可以求出甲同学能及格的概率(2)P ξ≥，也可求出随机变量ξ的期望()E ξ.【解析】依题意，ξ可取0,1,2,3，且服从超几何分布.所以，364310()(0,1,2,3)k k C C P k k C ξ-===， 所以，ξ的分布列为所以，甲同学能及格的概率为112(2)(2)(3)263P P P ξξξ≥==+==+=； 随机变量ξ的期望13119()01233010265E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：①23；②95. 17．【思路点拨】首先画出函数()x xf x e=和y x =的图象，根据分段函数存在最大值，确定a 的取值范围；存在平行于x 轴的直线与分段函数的图象有3个交点，分析()0,1a ∈和[)1,a ∈+∞的图象，确定a 的取值范围.【解析】()xx f x e=，()1x xf x e -'=，当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增，1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x =时，函数取得最大值()11f e=，如图，画出函数的图象，根据题意可得函数的最大值，将x a =平移可得，当1a e≤时，()f x 的最大值()11f e =，所以a 的取值范围是1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；用一条平行于x 轴的直线，截图象，有3个交点时，存在1x ，2x ，3x ，使()()()123f x f x f x ==，当()1,a ∈+∞时，如图，最多有2个交点，所以不成立，当()0,1a ∈时，如图，存在3个交点，所以a 的取值范围是()0,1. 故答案为：1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；()0,118．【思路点拨】（Ⅰ）根据12cos cos 2sin sin A B A B +=，利用两角和的余弦公式转化为()1cos 2A B +=-求解；，（Ⅱ）根据()()()2221tan 1tan b A c aA +=--，求出tan A ，然后利用余弦定理和正弦定理求解；【解析】（Ⅰ）因为12cos cos 2sin sin A B A B +=， 所以()1cos 2A B +=-， 所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈， 所以3C π=．（Ⅱ）因为()()()2221tan 1tan b A c aA +=--，显然2A π≠， 所以2222222cos cos tan tan 2cos cos tan c a b ab C a C AA b c a bc A c A C-----====+-， 又由tan 0A ≠， 所以tan 1=-C ， 因为()0,C π∈， 所以34C π=． 19．【思路点拨】（Ⅰ）要证明线面平行，根据判断定理，需证明线线平行，做辅助线，连接AC ，交MD 于E ，再连接NE ，证明//PC NE ，即可证明；（Ⅱ）点A 到平面的距离转化为点M 到平面PBC 的距离的2倍，利用//MD BC ，即MD 上任何一个点到平面PBC 的距离相等，通过做辅助线转化.【解析】（Ⅰ）连接AC ，交MD 于E ，再连接NE 因为//MD BC ，M 是AB 的中点，所以E 是AC 的中点， 又N 是AP 的中点，所以//NE PC ，且NE ⊂平面MND ，PC ⊄平面MND 所以//PC 平面MND ；（Ⅱ）过C 作CF MD ⊥于F ，连接PF ，又因为MD PC ⊥，且CF PF F ⋂= 所以MD ⊥平面PFC ， 所以BC ⊥平面PFC ，所以平面PFC ⊥平面PBC ，过F 作FG PC ⊥于G ， 又因为平面PFC平面PBC PC =，且FG ⊂平面PFC ， 所以FG ⊥平面PBC ． 在Rt PBC 中，2222PC PB BC =-=在直角梯形MBCD 中1MB BC ==，2CD =，则1FD FC == 在Rt PFD 中，225PF PD FD -=在PFC △中，5PF =，1FC =，22=PC则2225cos 25PF FC PC PFC PF FC +-∠==-⋅，所以sin 5PFC ∠=2sin 2PFC S PF FC PFC FG PC PC ⋅⋅∠===，又由MF FD =，PF MD ⊥，知PM PD ==所以由()22222PB PA PM MA +=+可得PA =因为点A 到平面PBC 的距离是点M 到平面PBC 的距离的2倍，点M 到平面PBC 的距离和点F 到平面PBC 距离相等，所以点A 到平面PBC 的距离是点F 到平面PBC的距离的2倍，所以直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为25FG PA =20．【思路点拨】（Ⅰ）利用相乘相消法求出通项公式即可； （Ⅱ）由()()12n n n f a +=可求出141n na =-，利用111n n nS b S ++=，由相乘相消法求出()n f b ，根据14134n n --≥⨯进行放缩，即可证明出结论.【解析】（Ⅰ）因为n a n =，()12111111n n f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()1211123411111123n n n f a n a a a n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=⨯⨯⨯⨯=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()()*1n f a n n =+∈N ；（Ⅱ）因为()()12n n n f a +=，所以1114a +=，1141a =-， 又当2n ≥时，114n n a +=，141n n a =-， 所以对任意*n ∈N ，141n na =-． 又由11111n n n n na Sb S S +++=+=， 于是()2111111414141141n n n S f b S +++++---==-由14134n n --≥⨯得()1211311114334313343434314nn n f b +⎛⎫- ⎪⨯⎛⎫⎝⎭<++++=< ⎪⨯⨯⨯⎝⎭-． 21．【思路点拨】（Ⅰ）由题得直线AB 方程为21x p +=，与抛物线联立方程，消x 得2210y p +-=， 根据12AF BF =，进一步求出答案； （Ⅱ）设直线AB 方程为()1y t x =--，联立()214y t x y x⎧=--⎨=⎩，消x 得2440ty y t +-=，求出弦长AB ，点C 到直线AB 的距离,一步求出12S S ⋅和S 化简求出答案. 【解析】（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y由题可知(0,P ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线AB方程为21x p=． 联立2212xp y px⎧=⎪⎨⎪=⎩，消x 得2210y p -=， 由韦达定理得212y y +=，212y y p =-②． ∵12AF BF =，∴212y y =-③，由①②③解得2p =． （Ⅱ）设()33,C x y ，()0,P t ，由（Ⅰ）知()1,0F ． 则直线AB 方程为()1y t x =--联立()214y t x y x⎧=--⎨=⎩，消x 得2440ty y t +-=， 由韦达定理得124y y t +=-，124y y =-．弦长()2241t AB t+=．设直线PC 方程为y kb t =+，联立24y kx ty x=+⎧⎨=⎩，消x 得2440ky y t -+=，由直线PC 与抛物线相切得16160kt ∆=-=，即1kt =．由韦达定理得3424y t k ==，∴()2,2C t t ．点C 到直线AB的距离为d = 由直线AC 方程为()13134y y y x y y +=+，得134D y y x =-， 同理可得234E y y x =-． ∴()()212121323121114412264S S DF y EF y y y y y y y t ⋅=⋅⋅⋅=++=+()3222112t S AB d t+=⋅= ∴()21222221111441611S S t S t t t ⋅=⋅=⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤，等号成立当且仅当1t =±．22．【思路点拨】（1）由于()'21x f x e x =+-为增函数，且()'00f =，所以()f x 在,0递减，在0,递增，从而可求出其最小值；（2）利用导数先求出()min 1g x =，再求出对任意a R ∈，存在唯一实数3x ，使得()'30fx =，即3326xa e x =+-，且()()3min f x f x =，于是有()()3333333626148248x x x e x x e x e x +---+++--≥，即()()333310x x e x -+-≤，而()1xv x e x =+-单调递增且()00v =，从而可求出3x 的值范围，进而可求得a 的取值范围【解析】解：（1）当5a =-时，()'21x fx e x =+-为增函数，且()'00f =，所以()f x 在,0递减，在0,递增，所以()()min 01629f x f a ==+=-．（2）因为()'2ln 111ln ln xx xx g x e e e x x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，由于函数2ln x y x e x =+在0,上单增，且1'210e g e e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()'10g e =>，所以存在唯一的01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()'00g x =．且()()0min g x g x =．再令()ln u x x x =，()'1ln u x x =+，可知()u x 在1,单增，而由()'00g x =可知()01x u eu x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，01x e>，011x >，所以001x e x =． 于是()000001ln 11x x g x e x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=-+= ⎪⎝⎭，所以()min 1g x =． 又()'26x fx e x a =+--为增函数，当0a ≥时，()'050f a =--<，当0a <时，'2602a a f e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭；又当6a ≥时，'2602aa f e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 当6a <时()'330f e a =->，所以对任意a R ∈，存在唯一实数3x ，使得()'30fx =，即3326xa e x =+-，且()()3min f x f x =．由题意，即使得()()min min 48f x g x a +-≥，也即()()3333333626148248xxxe x x e x e x +---+++--≥，即()()333310xx e x -+-≤，又由于()1xv x e x =+-单调递增且()00v =，所以3x 的值范围为[]0,3，代入3326xa e x =+-求得a 的取值范围为35,e ⎡⎤-⎣⎦．。
2022-2023学年浙江省名校协作体高三(下)月考数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年浙江省名校协作体高三（下）月考数学试卷1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.已知复数z满足：，则( )A. B. C. D.3.若向量，满足，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.4.设x，y为正实数，若，则的最小值是( )A. 4B. 3C. 2D. 15.刍甍是如图所示五面体ABCDEF，其中，底面ABCD是平行四边形，《九章算术商功》对其体积有记载：“求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一”，意思是：若，，AB、CD之间的距离是h，直线EF与平面ABCD之间的距离是H，则其体积，现有刍甍ABCDEF，，，AB、CD之间的距离是2，EF与平面ABCD之间的距离是4，过AE的中点G，作平面平面ABCD，将该刍甍分为上下两部分，则上下体积之比为( )A. 1：3B. 1：7C. 5：7D. 5：236.已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若，则( )A. 3B. 4C. 5D. 67.已知函数，两个等式，，对任意实数x均成立，在上单调，则的最大值为( )A. 17B. 16C. 15D. 138.对任意正整数对，定义函数如下：，，，则( )A. B.C. D.9.下列结论中，正确的有( )A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为5B. 若随机变量，则C. 已知经验回归方程为，且，则D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于10.已知函数，则( )A. 有两个极值点B.若方程有三个实根，则或C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线11.已知正三棱锥的底面边长为2，表面积为，A，B，C三点均在以O为球心的球O 的球面上，Q是该球面上任意一点，下列结论正确的有( )A. 球O的半径为B. 三棱锥的内切球半径为C. 的取值范围是D. 若平面ABC，则异面直线AC与QB所成角的余弦值为12.已知F为双曲线C：的右焦点，P在双曲线C的右支上，点设，，，下列判断正确的是( )A. 最大值为B.C. D. 存在点P满足13.展开式中含项的系数为______ .14.直线与圆相交于A，B两点，且为坐标原点，则______ .15.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是______ .16.已知定义在R上可导函数，对于任意的实数x都有成立，且当时，都有成立，若，则实数m的取值范围是______ .17.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，C为锐角.求C；若，的面积.18.已知等比数列的前n项和为，且满足，数列满足：，求数列，的通项公式；设数列的通项，求数列的前n项和19.第二十二届世界足球赛于2022年11月21日在卡塔尔举行，是历史上首次在中东国家境内举行，也是第二次再亚洲举行的世界杯足球赛，在此火热氛围中，某商场设计了一款足球游戏：场地上共有大、小2个球门，大门和小门依次射门，射进大门后才能进行小门射球，两次均进球后可得到一个世界杯吉祥物“拉伊卜”.已知甲、乙、丙3位顾客射进大门的概率均为，射进小门的概率依次为，，，假设各次进球与否互不影响.求这3人中至少有2人射进大门的概率；记这3人中得到“拉伊卜”的人数为X，求X的分布列及期望.20.如图，在多面体ABCDE中，面BCDE为平行四边形，，，，，F为AC中点.求证：；二面角的正切值为4，求多面体ABCDE的体积.21.已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；若恒成立，求实数m的取值范围.22.已知椭圆的离心率为，且经过点，，为椭圆C的左右焦点，为平面内一个动点，其中，记直线与椭圆C在x轴上方的交点为，直线与椭圆C在x轴上方的交点为求椭圆C的标准方程；①若，证明：；②若，探究，，之间关系.答案和解析1.【答案】B【解析】解：由集合，，，故选：先化简集合A，再进行集合的运算即可．本题考查交、并、补集的混合运算，可查学生的计算能力，比较基础．2.【答案】B【解析】解：，则，故故选：根据复数的四则运算可求得z，再根据模长公式即可得出结果．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：，则，解得，，与的夹角为故选：根据平面垂直向量和向量数量积的定义，即可求解．本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：因为x，y为正实数，且，令，，则，则，当且仅当，即，时取等号．故选：由，令，，即可得到，则，利用基本不等式计算可得．本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由，得，，所以，所以上下体积之比为5：故选：根据题意中的体积公式分别求出总体积和上部分的体积，即可求解．本题考查多面体的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：设，，AB：，联立，得，，，解得，，，，，消去整理可得，又，故选：利用设而不求的思想，联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，根据弦长公式建立方程，求得直线斜率，结合向量数乘的坐标表示，可得答案．本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：，，的一个对称中心为，，，的对称轴方程，有，解得，又，所以，，为奇数，在上单调，则，得，由选项知，需要依次验证，15，13，⋯，直至符合题意为止，当时，，有，得，由得，此时，可以验证在上不单调，不符合题意；当时，，有，得，由得，此时，可以验证在上单调，符合题意；综上，的最大值为故选：根据题意中的两个等式可得的一个对称中心和对称轴方程，利用正弦函数的周期性和单调性求得且，依次分析选项求出得出相应的解析式，依次验证函数的单调性即可．本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：因为，所以，令，则，所以，A错误；因为，，，…，，累乘得：，因为，所以，令，则B错误；因为…，所以…，，则C正确；，则D错误．故选：根据新定义得，令即可判断A，根据，，，…，累乘可判断B，利用二项式定理求得…，结合判断C，，结合等比数列的前n项和公式判断本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：数据4，1，6，2，9，5，8整理为1，2，4，5，6，8，9，，则数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为第五位数据6，所以选项A错误：随机变量，，则，所以选项B正确；经验回归方程为，且，则，所以选项C正确；根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率大于，所以选项D错误．故选：第60百分位数为第五位数据6，所以选项A错误：，所以选项B正确；，所以选项C正确；此推断犯错误的概率大于，所以选项D错误．本题主要考查了百分位数的计算，考查了正态分布曲线的对称性，以及线性回归方程的性质，属于中档题．10.【答案】ACD【解析】解：由解得，，则函数在，上单调递增，在上单调递减，所以在，处取得极值，所以函数有两个极值点，所以选项A正确；由选项A可知，若方程有三个实根，需要a的取值介于两个极值点之间，即，即，所以选项B错误；计算得，则点是曲线的对称中心，所以选项C正确；当时，解得，而，，所以直线是曲线在点处得切线，所以选项D正确．故选：有两个极值点，，所以选项A正确；得，所以选项B错误；函数满足，所以选项C正确；直线是曲线在点处得切线，所以选项D正确．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：设G，H，，分别为BC，AB，AQ的中点，为的中心，，，，故选项A正确；设三棱维的内切球半径为，，，，故选项B正确；，，，故选项C错误；，，所以异面直线AC与QB所成角就是或其补角，因为，，所以异面直线AC与QB所成角的余弦值为，故选项D正确．故选：设G，H，分别为BC，AB，AQ的中点，为的中心，求出，故选项A正确；求出三棱推的内切球半径为，故选项B正确；，故选项C错误；求出㫒面直线AC与QB所成角的余弦值为，故选项D正确．本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：A：设，于是，设，得，于是其中，所以，解得，即，A错误；B：，，，，令，则，当，即时，，B正确；C：，而，所以，C正确；D：当P纵坐标接近0时，很小而很大，当P纵坐标很大时，接近而很小，故必存在点P满足，D正确．故选：设，利用两点求斜率公式和换元法、辅助角公式可得，解不等式即可判断A；根据两点求距离公式和换元法可得，结合二次函数的性质即可判断B；根据和计算即可判断C；根据点P纵坐标与、的变化关系即可判断本题考查双曲线的几何性质，三角换元，函数思想，属中档题．13.【答案】21【解析】解：展开式的通项公式为，令则，所以含项为，所以系数为21，故答案为：根据二项展开通项公式求解．本题主要考查二项式定理，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由，得，又O到直线的距离为，所以，得故答案为：先求出O到直线的距离为，再解方程即得解．本题考查圆的几何性质，直线与圆的位置关系，化归转化思想，属中档题．15.【答案】【解析】解：法1：由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，则；，小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是，法2：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率，故答案为：法1：设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，利用贝叶斯公式即可得到答案；法2：直接在迟到的前提下计算概率本题主要考查了条件概率的概率公式，属于基础题．16.【答案】【解析】解：令，，则易得，即为偶函数，当时，有，即函数在上单调递减，故在上单调递增，由，得，即，由为偶函数得，又在上单调递增，所以，故答案为：构造函数，，讨论奇偶性和单调性，根据函数的单调性和奇偶性解不等式．本题考查函数与导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，由正弦定理得化简得，化简得，即，所以，又因为，所以，代入上式得，即，因为C为锐角，所以，则，故由可得：，根据余弦定理可知，代入数据后得：，解得，根据面积公式，所以的面积为【解析】利用正弦定理将边化角可得，根据三角恒等变换即可求得；由余弦定理以及可求得ab，再由三角形面积公式计算可得结果．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．18.【答案】解：设数列的公比为q，因为，即，解得或，当时，，不合题意，舍去，所以，由，解得，所以，对于，因为①，当时，，则，当时，②，由①-②得，即，又，也适合上式，故，，所以，所以；由可得，则数列的前n项和，①当n为偶数，时，，因为，，所以，②当n为奇数，且时，由可得，此时，当时，，也适合上式，所以，综上所述，【解析】对于，由题意列出关于，q的方程，求解即可；对于，由条件可得，采用累乘法求通项即可；对n分为两种情况，当n为偶数，时，根据的表达式，采用分组求和法求出结果；当n为奇数，且时，为偶数，，结合中结论及验证当时的情形，即可得出结果．本题主要考查了累乘法求数列的通项公式，考查了分组求和法的应用，属于中档题．19.【答案】解：设三人中射进大门的人数为Y，则，；甲获得“拉伊卜”的概率，乙、丙获得“拉伊卜”的概率，，，，的分布列如下：X0123P【解析】根据二项分布求概率公式计算即可求解；分别求出甲和乙、丙获得“拉伊卜”的概率，再求出、、、，列出分布列，结合数学期望的求法即可求解．本题考查二项分布的概率的求解，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．20.【答案】解：证明：取AB中点M，连接EM，FM，，M为AB中点，，为AB中点，F为AC中点，，，，，，，面MEF，面MEF，，平面MEF，由知，是二面角的平面角，，为锐角，由，解得，，，，，在中，由余弦定理得：，，，以M为坐标原点，MB所在直线为x轴，MF所在直线为y轴，过M作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设面BCDE的法向量，，取，得，点A到面BCDE的距离为，多面体ABCDE的体积为：【解析】取AB中点M，连接ME，MF，通过证明平面MEF，由此能证明；根据二面角的正切值以及余弦定理计算边长，利用向量法求得点A到面BCDE的距离，进而求得多面体ABCDE的体积．本题考查线面垂直、线线垂直的判定与性质、多面体体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：当时，，所以所以，，所以曲线在点处的切线的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即由题易得，由，得：，令，则，所以在R上单调递增，式等价于，即，所以，，令，，则有，令，即，解得，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，所以；所以只需，即综上，实数m的取值范围是【解析】利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；利用指数对数同构及构造函数，再利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的应用及分离参数法解决不等式恒成立问题，然后利用导数法研究函数的最值即可求解．本题主要考查了导数的几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．22.【答案】解：由题意得，解得，，所以椭圆C的标准方程为；①证明：由知，，，则可得，消去x可得，即，整理可得，，即，又，若，则，，即，，，即；②解：设：，令，则：，联立消去x得：，，整理得，，，，，设，令，，消去x得：，整理得，，两边同时除以得，，，【解析】由已知根据椭圆的性质即可求解；①根据两点求斜率公式和直线的点斜式方程表示出直线、，得根据平面平行向量的坐标表示可得，即可证明；②设直线方程，联立椭圆方程，消去x，得关于y的一元二次方程，化简整理方程可得同理可得，对于化简计算即可求解．本题主要考查了椭圆的性质的应用，还考查了直线与椭圆位置关系，数学运算的核心素养，属于难题．。
浙江省七彩阳光新高考研究联盟2021届高考数学联考试卷(2月份)(含答案解析)
浙江省七彩阳光新高考研究联盟2021届高考数学联考试卷(2月份)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={1,2，4}，B={x|x2=1}，那么A∪B=()A. {1}B. {1,2，4}C. {−1,1，2，4}D. {2,4}2.复数z的共轭复数z−满足z−(l+i)=2i，则|z|=()A. 2B. √2C. √22D. 123.若实数x，y满足不等式组：则该约束条件所围成的平面区域的面积是()A. 3B.C. 2D.4.“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.若某多面体的三视图如图所示，则此多面体外接球的表面积是()A. 6B. 18+√144C. 12πD. 3π6.已知函数f(x)满足f(−x)=f(x)，当x≥0时，f(x)=x2−1e x，则f(x)的图象大致是()A. B.C. D.7. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆(x −2)2+y 2=2相切，则此双曲线的离心率等于( )A. √22B. √2C. √3D. 28.已知∣∣∣ab c d ∣∣∣=ad −bc ，则∣∣∣46810∣∣∣+∣∣∣12141618∣∣∣+⋯+∣∣∣2012201420162018∣∣∣=( ) A. −2008B. 2008C. 2010D. −20169.如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，E 为边AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，点A 折至A 1处(A 1∉平面ABCD)，若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 折起过程中，下列说法错误的是( )A. 始终有MB//平面A 1DEB. 不存在某个位置，使得A 1C ⊥平面A 1DEC. 三棱锥A 1￣ADE 体积的最大值是2√23D. 一定存在某个位置，使得异面直线BM 与A 1E 所成角为30˚10. 函数的最大值是( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知函数f(x)满足：f(m +n)=f(m)f(n)，f(1)=2，则f 2(1)+f(2)f(1)+f 2(2)+f(4)f(3)+f 2(3)+f(6)f(5)+⋯+f 2(1005)+f(2010)f(2009)=______．12. 若直线ax +by +1=0(a >0,b >0)把圆(x +4)2+(y +1)2=16分成面积相等的两部分，则12a +2b取得最小值时，b 的值为______．13. 已知a >0，若(x 2+1)(ax +1)6的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中x 2项的系数为______ ．14. (1)设数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2020，则a 3的值为______． (2)不等式1x−2>2的解集是______．(3)在锐角Δ ABC 中，已知内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a =√7, b =3, sinA +√7sinB =2 √3，则Δ ABC 的面积______．(4)已知函数f(x)={x2+2x, x≤0f(x−1)+1 ,x>0，当x∈[0,100]时，关于x的方程f(x)=x−15的所有解的和为______．15.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量Y描述1次试验的成功次数，则D(Y)=______．16.设当x=θ时，函数f(x)=cosx−2sinx取得最大值，则cosθ=．17.平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为2π3，|a⃗|=1，|b⃗ |=1，则|3a⃗−2b⃗ |=______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.(本小题满分13分)19. 如图(1)所示，五边形ABEDC中，AB=AC，∠EBC=∠BCD=90°，M，P分别是线段DE，BC的中点，且BE=P=13CD=1，现沿BC翻折，使得∠MPA=90°，得到的图形如图(2)所示．(I)证明：DE⊥平面APE；(II)若平面ADE与平面ABC所成角的平面角的余弦值为14，求AP的值．20. 已知数列{a n}的通项公式a n与前n项和公式S n之间满足关系S n=2−3a n．(1)求a1；(2)求a n与a n−1(n≥2,n∈N∗)的递推关系；(3)求S n与S n−1(n≥2,n∈N∗)的递推关系．21. 已知椭圆C：x2+y2=1的左、右焦点分别为F1、F2．2(1)若点P在椭图C上，且PF1⊥PF2，求点P的坐标；(2)直线y=k(x−1)与椭圆C交于不同的两点M，N，O为坐标原点，当△OMN的面积为2时，求k3的值．(a为实数)．22. 已知函数f(x)=lnx，g(x)=2−ax(Ⅰ)当a=1时，求函数ϕ(x)=f(x)−g(x)的最小值；(Ⅱ)若方程e2f(x)=1.5g(x)(其中e为自然对数的底数)在区间[0.5,2]上有解，求实数a的取值范围；(Ⅲ)若u(x)=f(x)+x2+2mx，当y=u(x)存在两个极值时，求m的取值范围，并证明两个极值之和小于,n∈N∗．T n=(2n−1)⋅3n−12【答案与解析】1.答案：C解析：解：因为集合A ={1,2，4}，B ={x|x 2=1}={−1,1}， 所以A ∪B ={−1,1，2，4}． 故选：C ．通过解方程求出集合B ，然后利用并集的运算法则求出A ∪B 即可． 本题考查集合的并集的求法，集合的基本知识，考查计算能力．2.答案：B解析：解：由z −(l +i)=2i ，得z −=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ， ∴|z|=|z −|=√2． 故选：B ．把已知等式变形，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：C解析：可行域为直角三角形，其面积为S =×2×=2．4.答案：A解析：取a =5，b =−1，c =2，d =6，满足a +c >b +d.但推不出a >b 且c >d; 而若a >b 且c >da +c >b +d ，故“a +c >b +d ”是“a >c 且c >d ”的必要不充分条件．5.答案：D解析：解：由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体(红颜色)． ∴此多面体外接球的直径是此正方体的对角线√3． 因此其球的表面积是4π(√32)2=3π．故选：D ．由三视图可知：该几何体是正方体的内接正四面体．可得此多面体外接球的直径是次正方体的对角线√3.即可得出．本题考查了正方体的三视图、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：根据题意，函数f(x)满足f(−x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B ，当x ≥0时，f(x)=x 2−1e ，则区间(0,1)上，f(x)<0，在区间(1,+∞)上，f(x)>0，排除D ，当x →+∞时，f(x)→0，排除A ， 故选：C ．根据题意，由f(x)满足f(−x)=f(x)可得函数f(x)为偶函数，排除B ，再分析f(x)>0与f(x)<0的区间，排除D ，又由当x →+∞时，f(x)→0，排除A ，即可得答案． 本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的性质，属于基础题．7.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于基础题．求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到a 、b 关系，然后求解双曲线的离心率． 解析：解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx +ay =0， 圆(x −2)2+y 2=2的圆心(2,0)，半径为√2， 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与圆(x −2)2+y 2=2相切， 可得：√a 2+b 2=√2，可得a 2=b 2，c =√2a ， e =ca =√2． 故选B ．8.答案：D解析：解：∵∣∣∣2n 2n +22n +42n +6∣∣∣=2n(2n +6)−(2n +2)(2n +4)=−8． 又2012=4+8(n −1)，解得n =252． ∴∣∣∣46810∣∣∣+∣∣∣12141618∣∣∣+⋯+∣∣∣2012201420162018∣∣∣=(4×10−6×8)+(12×18−16×14)+⋯+(2012×2018−2014×2016)=−8×252 =−2016．故选：D．利用∣∣∣2n2n+22n+42n+6∣∣∣=2n(2n+6)−(2n+2)(2n+4)=−8.即可得出．本题考查了行列式的计算、等差数列的通项公式、乘法公式的运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：D解析：解：对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，由E为AB的中点，可得B为CH的中点，又M为A1C的中点，可得BM//A1H，BM⊄平面A1DE，A1H⊂平面A1DE，则BM//平面A1DE，故A正确；不论A1在何位置，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，则DE与A1C不垂直，可得A1C 与平面A1DE不垂直，故B正确；对于C，设O为DE的中点，连接OA1，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得OA1=√2，当平面A1DE⊥平面ADE时，三棱锥A1−ADE的体积最大，最大体积为V=13S△ADE⋅A1O=1 3×12×22×√2=2√23，故C正确；对于D，AB=2AD=4，过E作EG//BM，G∈平面A1DC，则∠A1EG是异面直线BM与A1E所成的角或所成角的补角，且∠A1EG=∠EA1H，在△EA1H中，EA1=2，EH=DE=2√2，A1H=√22+2×22−2×2×2√2×cos135°=2√5，则∠EA1H为定值，即∠A1EG为定值，∴不存在某个位置，使得异面直线BM与A1E所成角为30˚，故D 错误．故选：D．对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM//平面A1DE，即可判断A；对于B，不论A1在何位置，A1C在平面ABCD中的射影为AC，由AC与DE不垂直，得DE与A1C不垂直，从而可得A1C与平面A1DE不垂直，由此判断B；对于C，由题意知平面A1DE⊥平面ADE时，三棱锥A1−ADE的体积最大，求出即可；对于D，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，求出异面直线所成的角，说明D错误．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.答案：B解析：试题分析：根据均值不等式：，，则，故选B．考点：1.均值不等式．11.答案：4020解析：解：∵f(m+n)=f(m)f(n)，∴f(2n)=f(n)f(n)，即f(2n)=f2(n)，且有：f(n+1)=f(n)f(1)=2f(n)，即f(n+1)f(n)=2∴则f2(1)+f(2)f(1)+f2(2)+f(4)f(3)+f2(3)+f(6)f(5)+⋯+f2(1005)+f(2010)f(2009)=2f(2)f(1)+2f(4)f(3)+⋯+2f(2010)f(2009)=2×2+2×2+⋯+2×2=4×1005=4020．故答案为4020．由题中条件：“f(m+n)=f(m)f(n)”利用赋值法得到f(n+1)f(n)=2和f(2n)=f2(n)，后化简所求式子即得．本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．12.答案：12解析：解：直线ax+by+1=0(a>0,b>0)把圆(x+4)2+(y+1)2=16分成面积相等的两部分，故直线过圆心(−4,−1)点，代入得−4a−b+1=0，即4a+b=1，(1 2a +2b)(4a+b)≥(√2+√2)2=8，当且仅当b=4a=12成立，故答案为：12．根据题意得4a+b=1，代入利用柯西不等式求出即可．考查直线与圆的位置关系，柯西不等式的应用，基础题．13.答案：61解析：本题考查了二项式定理的应用问题，属于基础题．根据展开式中各项系数的和求出a的值，再由通项公式T r+1求出展开式中x2项的系数．解：根据题意，展开式中各项系数的和是(12+1)(a+1)6=1458，∴a=2，(2x+1)6的通项公式是T r+1=C6r⋅(2x)r，∴展开式中x2项的系数是1+C62×4=61．故答案为：61．14.答案：(1) 5(2){x|2<x<52}(3)3√32(4)10000解析：(1)本题考查数列的前n项和的概念，属基础题．解：因为S n=n2+2020，所以a3=S3−S2=2020+9−(2020+4)=5，故答案为5．(2)本题考查分式不等式的解法，属基础题．注意不能直接去分母．解：将1x−2>2变形为：2(x−2)−1x−2<0，即2x−5x−2<0，即(2x−5)(x−2)<0，解得2<x<52，所以原不等式的解集为{x|2<x<52}，故答案为{x|2<x<52}．(3)本题考查三角形的正弦定理、面积公式，三角形内三角函数问题，属中档题．灵活运用正弦定理是关键，由正弦定理得bsinA =asinB ，代入sinA +√7sinB =2√3，进而求出sinA =√32，sinB =√32√7 ，sinC =sin(A +B)=√3√7，即可求面积． 解：由正弦定理得asinA =bsinB ⇒bsinA =asinB ，因为a =√7,b =3, 则sinA +√7sinB =sinA +asinB =sinA +bsinA =4sinA +bsinA =2√3， 所以sinA =√32，又ΔABC 锐角三角形，所以cosA =12，代入sinA +√7sinB =2√3， 解得sinB =√32√7cosB =2√7， 所以sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√3√7所以S =12absinC =12×3×√7×√37=3√32， 故答案为3√32． (4)本题考查分段函数、函数的解析式和方程的根的和，涉及一元二次方程的根的韦达定理属难题． 根据函数解析式求分段函数在各段上的根的和，找出规律即可．解：当x ∈[0,1) 时，f(x)=(x −1)2+2(x −1)+1=x 2，令f(x)=x −15， 得x 2−x +15=0，所以x 1+x 2=1;当x ∈[1,2) 时，f(x)=(x −1)2+1，令f(x)=x −15，得x 3+x 4=3， 当x ∈[2,3) 时，f(x)=(x −2)2+2，令f(x)=x −15，x 5+x 6=5，........当x ∈[n,n +1) 时，f(x)=(x −n)2+n ，令f(x)=x −15，x 2n+1+x 2n+2=2n +1; 当x ∈[99,100) 时，f(x)=(x −99)2+99，令f(x)=x −15，x 199+x 200=199， 关于x 的方程f(x)=x −15的所有解的和1+3+5+⋯+199=100(199+1)2=10000，故答案为10000．15.答案：29解析：解：设失败率为p ，则成功率为2p ． “Y =0”表示试验失败，“Y =1”表示试验成功，由p +2p =1得p =13， ∴P(Y =0)=13．P(Y =1)=23，∴Y 的分布列为：E(Y)=0×13+1×23=23，D(Y)=(0−23)2×13+(1−23)2×23=29． 故答案为：29．设失败率为p ，则成功率为2p.由p +2p =1得p =13，从而P(Y =0)=13.P(Y =1)=23，由此能求出D(Y)．本题考查方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．16.答案：√55解析：本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题．根据三角函数的诱导公式进一步分析得cosθ=−sinα，从而求出cosθ的值即可． 解：函数f(x)=−2sinx +cosx =−√5(√5−√5=−√5sin(x +α)， (其中，cosα=√5，sinα=√5，当x =θ时，函数f(x)取得最大值−√5sin(θ+α)， ∴θ+α=2kπ−π2，k ∈Z ，即θ=2kπ−π2−α，k ∈Z ， ∴cosθ=cos(2kπ−π2−α)=cos(π2+α)=−sinα=√55， 故答案为：√55．17.答案：√19解析：解：根据题意，平面向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为2π3，|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=1，则a⃗ ⋅b ⃗ =−12，则|3a⃗−2b⃗ |2=9a⃗2+4b⃗ 2−12a⃗⋅b⃗ =19，则|3a⃗−2b⃗ |=√19；故答案为：√19，又由|3a⃗−2b⃗ |2=9a⃗2+4b⃗ 2−12a⃗⋅b⃗ ，计算可根据题意，由数量积的计算公式可得a⃗⋅b⃗ =−12得|3a⃗−2b⃗ |2的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式，属于基础题．18.答案：(1)∵向量。