2021中考数学热点题型专练三角形含解析

热点11 三角形【命题趋势】首先说明——三角形是中考必考内容,而且也是热点内容,无论是小题还是大题．因为三角形包括的内容很多,例如三角形的基本知识（内角和定理推论、三边关系）、三角形的三线（角平分线、中线、高线）五心（内心,外心,重心,垂心,旁心）,特殊的三角形（等腰三角形,直角三角形,等腰直角三角形,等边三角形）的性质及判定方法,全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,最后在此要特别强调的是直角三角形的勾股定理及逆定理、三角函数的相关知识是重中之重,它是我们计算线段长度的最重要的工具,所以这是考查的重点中的重点。

【满分技巧】一、利用思维导图的方式整理有关三角形的相关内容有关三角形的内容非常多,利用思维导图的方式可以很好地整理和归纳本部分内容,让这部分知识在我们的大脑中能形成一个完整的知识网络,这可以让我们在做题时可以快速地在大脑中搜索这部分知识．二、总结与三角形有关的基本模型（1）有关三角形全等模型（2）有关三角形相似的模型：A字型,反A字型,8字型,反8字型,母子型,一线三等角型,一线三直角型,．【限时检测】（建议用时：30分钟）一、选择题1.如图,在△ABC 中,△B=90°,tan△C=,AB=6cm ．动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动,动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．若P,Q 两点分别从A,B 两点同时出发,在运动过程中,△PBQ 的最大面积是（ ）A ．18cm 2B ．12cm 2C ．9cm 2D ．3cm 2 【答案】C【解析】△tan△C=34 ,AB=6cm,△AB BC =6BC =34 ,△BC=8,由题意得：AP=t,BP=6﹣t,BQ=2t,设△PBQ 的面积为S,则S=12 ×BP×BQ=12 ×2t×（6﹣t ）,S=﹣t 2+6t=﹣（t 2﹣6t+9﹣9）=﹣（t ﹣3）2+9,P ：0≤t≤6,Q ：0≤t≤4,△当t=3时,S 有最大值为9,即当t=3时,△PBQ 的最大面积为9cm 2；故选C ．2.如图,D,E 分别是△ABC 的边AB,AC 上的中点,如果△ADE 的周长是6,则△ABC 的周长是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】B【解析】因为DE//BC,所以△ADE△△ABC,k=12,所以△ABC 的周长为12 3.如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B 为圆心,BC 长为半径画弧,交腰AC 于点E,则下列结论一定正确的是（ ）A ．AE=ECB ．AE=BEC ．△EBC=△BACD ．△EBC=△ABE【答案】C【解析】△AB=AC,△△ABC=△ACB,△以点B 为圆心,BC 长为半径画弧,交腰AC 于点E,△BE=BC,△△ACB=△BEC,△△BEC=△ABC=△ACB,△△A=△EBC,故选C ．4.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为（）A．20B．24C．D．【答案】B【解析】设小正方形的边长为x,△a=3,b=4,△AB=3+4=7,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即（3+x）2+（x+4）2=72,整理得,x2+7x﹣12=0,解得x=或x=（舍去）,△该矩形的面积=（+3）（+4）=24,故选：B．5.如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,若△ADE的面积为4,则△ABC的面积为（）A．8B．12C．14D．16【答案】D【解析】△在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,△DE△BC,DE=BC,△△ADE△△ABC,△=,△=,△△ADE的面积为4,△△ABC的面积为：16,故选：D．6.如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB△ED,AC△FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC△△DEF的是（）A．△A＝△D B．AC＝DFC．AB＝ED D．BF＝EC【答案】A【解析】选项A、添加△A＝△D不能判定△ABC△△DEF,故本选项正确；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定,故本选项错误；选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定,故本选项错误；选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF,然后可用ASA进行判定,故本选项错误．故选：A．7.已知M、N是线段AB上的两点,AM＝MN＝2,NB＝1,以点A为圆心,AN长为半径画弧；再以点B为圆心,BM 长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【答案】B【解析】如图所示,AC＝AN＝4,BC＝BM＝3,AB＝2+2+1＝5,△AC2+BC2＝AB2,△△ABC是直角三角形,且△ACB＝90°,故选：B．8.下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A．2cm,3cm,4cm B．1cm,2cm,3cmC．3cm,4cm,5cm D．4cm,5cm,6cm【答案】B【解析】A、2+3＞4,能构成三角形,不合题意；B、1+2＝3,不能构成三角形,符合题意；C、4+3＞5,能构成三角形,不合题意；D、4+5＞6,能构成三角形,不合题意．故选：B．9.已知n是正整数,若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n,则满足条件的n的值有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】D【解析】△若n+2＜n+8≤3n,则,解得,即4≤n＜10,△正整数n有6个：4,5,6,7,8,9；△若n+2＜3n≤n+8,则,解得,即2＜n≤4,△正整数n有2个：3和4；综上所述,满足条件的n的值有7个,故选：D．10.如图,在Rt ABC∆中,90B∠=︒,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB、AC于点D,E,再分别以点D、E为圆心,大于12DE为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G,若1BG=,4AC=,则ACG∆的面积是()A．1B．32C．2D．52【答案】C【解析】由作法得AG平分BAC∠,G∴点到AC的距离等于BG的长,即G点到AC的距离为1,所以ACG∆的面积14122=⨯⨯=．故选：C．11.满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为（）A．AB＝,BC＝4,AC＝5B．AB：BC：AC＝3：4：5C．△A：△B：△C＝3：4：5D．|cos A﹣|+（tan B﹣）2＝0【答案】C【解析】A、△,△△ABC是直角三角形,错误；B、△（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝25x2＝（5x）2,△△ABC是直角三角形,错误；C、△△A：△B：△C＝3：4：5,△△C＝,△△ABC不是直角三角形,正确；D、△|cos A﹣|+（tan B﹣）2＝0,△,△△A＝60°,△B＝30°,△△C＝90°,△△ABC是直角三角形,错误；故选：C．12.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为（）A.8B.11C.16D.17【答案】B【解析】因为DE垂直平分AB,所以BE=AE,所以BC=BE+CE=AE+CE=6又AC=5所以△ACE的周长为5+6=11故选B13.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解析】设直角三角形的斜边长为c,较长直角边为b,较短直角边为a,由勾股定理得,c2＝a2+b2,阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c）,较小两个正方形重叠部分的长＝a ﹣（c ﹣b ）,宽＝a ,则较小两个正方形重叠部分底面积＝a （a +b ﹣c ）,△知道图中阴影部分的面积,则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积,故选：C ．14.如图,在ABC ∆中,AC BC = ,40A ∠=︒ ,观察图中尺规作图的痕迹,可知BCG ∠的度数为( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【解析】由作法得CG AB ⊥,AB AC =,CG ∴平分ACB ∠,A B ∠=∠,1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒, 1502BCG ACB ∴∠=∠=︒． 故选：C ．15.如图,点D 在BC 的延长线上,DE △AB 于点E ,交AC 于点F ．若△A ＝35°,△D＝15°,则△ACB 的度数为（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．85° 【答案】B【解析】△DE △AB ,△A ＝35°△△AFE＝△CFD＝55°,△△ACB＝△D+△CFD＝15°+55°＝70°．故选：B．二、填空题16.腰长为5,高为4的等腰三角形的底边长为．【答案】6或25或45【解析】△如图1当5AD=,AB AC==,4则3==,BD CD∴底边长为6；△如图2．当5==,4AB ACCD=时,则3AD=,∴=,2BD22∴=+=,2425BC∴此时底边长为25；△如图3:当5AB AC==,4CD=时,则223AD AC CD =-=,8BD ∴=,45BC ∴=,∴此时底边长为45．故答案为：6或25或45．17.如图,在Rt△ABC 中,△ACB ＝90°,△B ＝60°,DE 为△ABC 的中位线,延长BC至F ,使CF ＝BC ,连接FE 并延长交AB 于点M ．若BC ＝a ,则△FMB 的周长为 ．【答案】【解析】在Rt△ABC 中,△B ＝60°,△△A ＝30°,△AB ＝2a ,AC ＝a ．△DE 是中位线,△CE ＝a ．在Rt△FEC 中,利用勾股定理求出FE ＝a ,△△FEC ＝30°．△△A ＝△AEM ＝30°,△EM ＝AM ．△FMB 周长＝BF +FE +EM +BM ＝BF +FE +AM +MB ＝BF +FE +AB ＝．故答案为．18.如图,在△ABC中,△ACB＝120°,BC＝4,D为AB的中点,DC△BC,则△ABC的面积是．【答案】8【解析】△DC△BC,△△BCD＝90°,△△ACB＝120°,△△ACD＝30°,延长CD到H使DH＝CD,△D为AB的中点,△AD＝BD,在△ADH与△BCD中,,△△ADH△△BCD（SAS）,△AH＝BC＝4,△H＝△BCD＝90°,△△ACH＝30°,△CH＝AH＝4,△CD＝2,△△ABC的面积＝2S△BCD＝2××4×2＝8,故答案为：8．19.如图,已知直线121//l ,含30︒角的三角板的直角顶点C 在1l 上,30︒角的顶点A 在2l 上,如果边AB 与1l 的交点D 是AB 的中点,那么1∠= 度．【答案】120【解析】D 是斜边AB 的中点,DA DC ∴=,30DCA DAC ∴∠=∠=︒,260DCA DAC ∴∠=∠+∠=︒,121//l ,12180∴∠+∠=︒,118060120∴∠=︒-︒=︒．故答案为120．20.等腰三角形的两边长分别为6cm,13cm,其周长为cm．由题意知,应分两种情况：【答案】32【解析】（1）当腰长为6cm时,三角形三边长为6,6,13,6+6＜13,不能构成三角形；（2）当腰长为13cm时,三角形三边长为6,13,13,周长＝2×13+6＝32cm．故答案为32．三、证明题21.已知：如图,△ABC是任意一个三角形,求证：△A+△B+△C=180°．【证明】：过点A作EF△BC,△EF△BC,△△1=△B,△2=△C,△△1+△2+△BAC=180°,△△BAC+△B+△C=180°,即△A+△B+△C=180°．22.如图,在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a＝6,b＝8,c＝12,请直接写出△A与△B的和与△C的大小关系；（2）求证：△ABC的内角和等于180°；（3）若＝,求证：△ABC是直角三角形．【解】：（1）△在△ABC中,a＝6,b＝8,c＝12,△△A+△B＜△C；（2）如图,过点A作MN△BC,△MN△BC,△△MAB＝△B,△NAC＝△C（两直线平行,同位角相等）,△△MAB+△BAC+△NAC＝180°（平角的定义）,△△B+△BAC+△C＝180°（等量代换）,即：三角形三个内角的和等于180°；（3）△＝,△ac＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝[（a2+2ac+c2）﹣b2],△2ac＝a2+2ac+c2﹣b2,△a2+c2＝b2,△△ABC是直角三角形．23.已知,在如图所示的“风筝”图案中,AB AD =,AC AE =,BAE DAC ∠=∠．求证：E C ∠=∠．【证明】：BAE DAC ∠=∠BAE CAE DAC CAE ∴∠+∠=∠+∠CAB EAD ∴∠=∠,且AB AD =,AC AE =()ABC ADE SAS ∴∆≅∆C E ∴∠=∠24.如图,等腰直角三角板如图放置．直角顶点C 在直线m 上,分别过点A 、B 作AE △直线m 于点E ,BD △直线m 于点D ．△求证：EC ＝BD ；△若设△AEC 三边分别为a 、b 、c ,利用此图证明勾股定理．△【证明】：△△ACB ＝90°,△△ACE +△BCD ＝90°．△△ACE +△CAE ＝90°,△△CAE ＝△BCD ．在△AEC 与△BCD 中,△△CAE △△BCD （AAS ）．△EC＝BD；△解：由△知：BD＝CE＝aCD＝AE＝b△S梯形AEDB＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2．又△S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC＝ab+ab+c2＝ab+c2．△a2+ab+b2＝ab+c2．整理,得a2+b2＝c2．25.如图,已知：在△ABC中,△BAC＝90°,延长BA到点D,使AD＝AB,点E,F分别是边BC,AC的中点．求证：DF＝BE．【证明】：△△BAC＝90°,△△DAF＝90°,△点E,F分别是边BC,AC的中点,△AF＝FC,BE＝EC,FE是△ABC的中位线,△FE＝AB,FE△AB,△△EFC＝△BAC＝90°,△△DAF＝△EFC,△AD ＝AB ,△AD ＝FE ,在△ADF 和△FEC 中,, △△ADF △△FEC （SAS ）,△DF ＝EC ,△DF ＝BE ．四、作图题26.如图,已知等腰ABC ∆顶角30A ∠=︒．（1）在AC 上作一点D ,使AD BD =（要求：尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和证明,最后用黑色墨水笔加墨）；（2）求证：BCD ∆是等腰三角形．（1）解：如图,点D 为所作；（2）证明：AB AC =, 1(18036)722ABC C ∴∠=∠=︒-︒=︒, DA DB =,36ABD A ∴∠=∠=︒,363672BDC A ABD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒,BDC C ∴∠=∠,BCD ∴∆是等腰三角形．五、应用题27.如图,小东在教学楼距地面9米高的窗口C 处,测得正前方旗杆顶部A 点的仰角为37°,旗杆底部B 点的俯角为45°,升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25米处,若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75）解：在Rt △BCD 中,BD=9米,∠BCD=45°,则BD=CD=9米． 在Rt △ACD 中,CD=9米,∠ACD=37°,则AD=CD•tan37°≈9×0.75=6.75（米）． 所以,AB=AD+BD=15.75米,整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣2.25=13.5（米）,因为耗时45s,所以上升速度v==0.3（米/秒）．答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．28.在△ABC 中,AB =15,BC =14,AC =13,求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．根据勾股定理,利用AD 作为“桥梁”,建立方程模型求出x 作AD ⊥BC 于D ,设BD = x ,用含x 的代数式表示CD 利用勾股定理求出AD 的长,再计算三角形面积A C【解】：如图,在△ABC 中,AB =15,BC =14,AC =13,设BD x =,△14CD x =-．由勾股定理得：2222215AD AB BD x =-=-, 2222213(14)AD AC CD x =-=--,△2215x -=2213(14)x --,解之得：9x =．△12AD =．△12ABC S BC AD ∆=•11412842=⨯⨯=． 六．探究题29.如图△,△ABC 与△CDE 是等腰直角三角形,直角边AC 、CD 在同一条直线上,点M 、N 分别是斜边AB 、DE 的中点,点P 为AD 的中点,连接AE 、BD ．（1）猜想PM 与PN 的数量关系及位置关系,请直接写出结论；（2）现将图△中的△CDE 绕着点C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°）,得到图△,AE 与MP 、BD 分别交于点G 、H ．请判断（1）中的结论是否成立？若成立,请证明；若不成立,请说明理由；（3）若图△中的等腰直角三角形变成直角三角形,使BC=kAC,CD=kCE,如图△,写出PM 与PN 的数量关系,并加以证明．【解析】（1）PM=PN,PM△PN,理由如下：△△ACB和△ECD是等腰直角三角形,△AC=BC,EC=CD,△ACB=△ECD=90°．在△ACE和△BCD中,,△△ACE△△BCD（SAS）,△AE=BD,△EAC=△CBD,△点M、N分别是斜边AB、DE的中点,点P为AD的中点,△PM=BD,PN=AE,△PM=PM,△△NPD=△EAC,△MPN=△BDC,△EAC+△BDC=90°,△△MPA+△NPC=90°,△△MPN=90°,即PM△PN；（2）△△ACB和△ECD是等腰直角三角形,△AC=BC,EC=CD,△ACB=△ECD=90°．△△ACB+△BCE=△ECD+△BCE．△△ACE=△BCD．△△ACE△△BCD．△AE=BD,△CAE=△CBD．又△△AOC=△BOE,△CAE=△CBD,△△BHO=△ACO=90°．△点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点,△PM=BD,PM△BD；PN=AE,PN△AE．△PM=PN．△△MGE+△BHA=180°．△△MGE=90°．△△MPN=90°．△PM△PN．（3）PM=kPN△△ACB和△ECD是直角三角形,△△ACB=△ECD=90°．△△ACB+△BCE=△ECD+△BCE．△△ACE=△BCD．△BC=kAC,CD=kCE,△=k．△△BCD△△ACE．△BD=kAE．△点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点,△PM=BD,PN=AE．△PM=kPN．30.已知：如图,△ABC,射线BC上一点D．求作：等腰△PBD,使线段BD为等腰△PBD的底边,点P在△ABC内部,且点P到△ABC两边的距离相等．【解析】：△点P在△ABC的平分线上,△点P到△ABC两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等）,△点P在线段BD的垂直平分线上,△PB=PD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）,如图所示：。